精品解析：陕西省渭南市临渭区前进路中学2025-2026学年上学期第二次月考九年级数学

数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 计算：（　　） A. B. C. D. 2. 如图，已知，平分，且交于点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 若实数、在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在菱形中，对角线相交于点，下列结论中不一定正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，于点D，且，于点E，连接，则的长为（　　） A. B. C. 5 D. 6 6. 在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x向上平移3个单位，平移后的直线经过点（﹣1，m），则m的值为（ ） A. ﹣1 B. 1 C. ﹣5 D. 5 7. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 若二次函数的图象只经过第一、二、三象限，则m满足的条件一定是（ ） A. B. C. 或 D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 在实数、、0、中，无理数有___________个． 10. 如图，在平面直角坐标系中，线段的端点的坐标分别为，，若将线段平移至，点的坐标分别为，则的值为_______． 11. 因式分解：_______． 12. 小芳用三个全等的正边形硬纸片和一个正三角形硬纸片拼了一个平面图形，这四个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，是所拼的这个平面图形的一部分，则______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，，点A坐标是，若反比例函数的图像经过点B，则k的值为_____________． 14. 如图，在菱形中，，，点分别在边，上，连接，点关于的对称点在线段上，则的最大值为_________________． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 解分式方程：． 17. 解不等式组：，并把解集表示在如图所示的数轴上． 18. 如图，在中，于点．请用尺规作图法在上求作一点，使（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，是的边的中点，连接，且，求证：四边形是矩形． 20. 如图所示某地铁站有三个闸口． （1）一名乘客随机选择此地铁闸口通过时，选择A闸口通过的概率为 ． （2）当两名乘客随机选择此地铁闸口通过时，请用树状图或列表法求两名乘客选择不同闸口通过的概率． 21. 为了全面贯彻党的教育方针，培养学生劳动技能，学校组织七年级学生乘车前往某社会实践基地进行劳动实践活动．若单独调配37座客运班车若干辆，则有2人没有座位；若只调配25座客运班车，则用车数量增加4辆，并空出2个座位．该校七年级共有多少名学生？ 22. 为了了解学生的排球垫球训练情况，某中学体育组从参加排球训练的所有学生的排球成绩（一分钟垫球个数）中，随机抽取了60名学生的排球成绩，根据成绩分布情况，他们将抽取的全部成绩分成A、B、C、D、E五组，绘制了如下统计图表： 组别 一分钟垫球个数个 频数 4 26 10 请根据所给信息，解答下列问题： （1）　　，　　； （2）这60名学生一分钟垫球个数的中位数落在　　组； （3）该校共有450名学生参加排球训练，请估计这些学生中一分钟垫球个数不少于30个的人数． 23. 某餐厅为了追求顾客的消费满意度，推出一种“沙漏计时”单方案，即点餐完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免单．某数学小组观察发现：该沙漏在计时过程中上面玻璃球所剩沙子质量（克）与流入时间（分钟）成一次函数关系（不考虑其他因素），当流入时间3分钟时，上面玻璃球所剩沙子质量为84克，当流入时间10分钟时，上面玻璃球所剩沙子质量为35克． （1）求沙漏在计时过程中上面玻璃球所剩沙子质量（克）与流入时间（分钟）之间的函数解析式； （2）求客人点餐完成后，最晚多长时间菜全部上桌． 24. 数学活动小组欲测量山坡上一棵大树的高度，如图，于点，在处测得大树底端的仰角，沿水平地面前进30米到达处，测得大树顶端的仰角，测得山坡坡角（图中各点均在同一平面内）．求这棵大树的高度．（结果取整数．参考数据：） 25. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为． （1）求出a，b的值； （2）火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭第一级运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． 26. 问题提出 （1）如图1，在中，于点，于点，若，，求的值； 问题探究 （2）如图2，在矩形中，点、分别在边、上，连接、，且．求证：； 问题解决 （3）如图3，某地有一足够大的空地，现想在这片空地上修建一个平行四边形状的休闲区，其中，点、、分别在边、、上，管理部门欲从到、到分别修建小路，两条小路、交汇于点，且满足，，为使美观现要沿平行四边形的四条边修建绿化带（宽度忽略不计），求所修绿化带的长度（的周长）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 计算：（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加法运算，根据有理数的加法法则计算即可求解，掌握有理数的加法法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 2. 如图，已知，平分，且交于点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质，角平分线的意义，三角形外角性质计算即可． 【详解】∵， ∴； ∵平分， ∴； ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的意义，三角形外角性质，熟练掌握性质是解题的关键． 3. 若实数、在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴确定a，b的属性，利用实数的大小比较原则计算即可． 【详解】A、∵，∴，错误，不符合题意； B、∵，，正确，符合题意； C、∵，∴，错误，不符合题意； D、∵，∴错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了数轴表示数，实数的大小比较，熟练掌握大胸比较的原则是解题的关键． 4. 在菱形中，对角线相交于点，下列结论中不一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，理解其性质是解题的关键． 根据菱形的性质解题即可． 【详解】解：∵ 四边形是菱形， ∴ ，，， ∴选项、、不合题意； 不一定成立（仅当菱形为正方形时对角线相等） ∴选项符合题意． 故选：D． 5. 如图，在中，，于点D，且，于点E，连接，则的长为（　　） A. B. C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先求解，再利用直角三角形斜边上的中线的性质可得答案. 【详解】解：∵，且， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，熟记基本图形的性质是解本题的关键. 6. 在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x向上平移3个单位，平移后的直线经过点（﹣1，m），则m的值为（ ） A. ﹣1 B. 1 C. ﹣5 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平移规律求出直线向上平移3个单位的直线解析式，再把点代入，即可求出的值． 【详解】解：将直线向上平移3个单位，得到直线， 把点代入，得． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键． 7. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图：连接， 由题意得：， ， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 在中，，， ∴， 故选：A． 8. 若二次函数的图象只经过第一、二、三象限，则m满足的条件一定是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线只经过第一、二、三象限，可得抛物线与轴有两个交点，且与轴的交点的纵坐标大于等于0，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴抛物线的开口向上，当时，， ∵抛物线的图象只经过第一、二、三象限， ∴抛物线与轴有两个交点，， ∴，， ∴； 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的图象与性质，是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 在实数、、0、中，无理数有___________个． 【答案】2 【解析】 【分析】无限不循环小数是无理数，根据定义判断． 【详解】解：是分数，属于有理数；0是整数，属于有理数；和是无限不循环小数，属于无理数； 故答案为：2． 【点睛】此题考查了无理数的定义，正确掌握无理数的定义及与有理数的区别是解题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，线段的端点的坐标分别为，，若将线段平移至，点的坐标分别为，则的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移及平移特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键 根据平移的性质解题即可 【详解】解：由题意可知，由的对应点为，知，线段向上平移了2个单位， 由的对应点为知，线段向右平移了3个单位， ∴，， ∴． 故答案为：2． 11. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的提公因式法与公式法，熟练掌握提公因式法和完全平方公式是解题的关键． 先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解. 【详解】解：， 故答案为：． 12. 小芳用三个全等的正边形硬纸片和一个正三角形硬纸片拼了一个平面图形，这四个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，是所拼的这个平面图形的一部分，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无缝拼接的条件，多边形的内角和，正多边形的定义，理解无缝拼接的条件和正多边形的定义，掌握多边形的内角和公式：是解题的关键．由无缝拼接的条件得，由多边形的内角和公式和正多边形的定义，进行列式计算，即可求解； 【详解】解：由题意得：正m边形的内角为， ， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，，点A坐标是，若反比例函数的图像经过点B，则k的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】过点B作于D，先利用已知证明三角形相似，再利用相似三角形性质求出点B的坐标，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点B作于D， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 反比例函数的图像经过点B， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，三角形相似的判定与性质，同角的余角相等等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质求出点B坐标是解答此题的关键． 14. 如图，在菱形中，，，点分别在边，上，连接，点关于的对称点在线段上，则的最大值为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，作于点，连接、，根据菱形的性质可得，在中可求出的长，根据折叠的性质，可得是的垂直平分线，可得，当时，的值最小，则的值最大，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，作于点，则，连接、， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， ∵点关于的对称点在线段上， ∴垂直平分， ∴， ∵由垂线段最短可知，当时，的值最小， ∴的最小值为， ∵当最小时，最大， ∴的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，折叠的性质，特殊角的三角函数的综合，掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的性质，根式的运算及零指数幂的运算，分别根据绝对值的性质，根式的运算法则和零指数幂的运算法则对各项进行化简，再进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 16. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．根据解分式方程的步骤求解即可； 【详解】解：原方程两边都乘以得， 去括号得， 移项合并同类项得， 解得， 检验：当时，， 所以原分式方程的解为． 17. 解不等式组：，并把解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】不等式组的解集为：，在数轴上表示出来为： 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先解不等式组，然后在数轴上把解集表示出来即可． 【详解】解：， 由①得：， 解得：， 由②得：， ， ， 解得：， ∴不等式组的解集为：． 18. 如图，在中，于点．请用尺规作图法在上求作一点，使（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图，点即为所作． 【解析】 【分析】作线段的垂直平分线即可． 【详解】解：∵，， ∴． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的作图方法，正确掌握平行四边形的性质是解题的关键． 19. 如图，是的边的中点，连接，且，求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，根据“边边边”可证和全等，可得，由此可证，结合矩形的证明方法即可求证． 【详解】略 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的证明，掌握以上知识是解题的关键． 20. 如图所示某地铁站有三个闸口． （1）一名乘客随机选择此地铁闸口通过时，选择A闸口通过的概率为 ． （2）当两名乘客随机选择此地铁闸口通过时，请用树状图或列表法求两名乘客选择不同闸口通过的概率． 【答案】（1）选择A闸口通过的概率为； （2）两名乘客选择不同闸口通过的概率； 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式计算； （2）画树状图展示所有9种等可能的结果，找出两名乘客选择不同闸口通过的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：一共有三个闸口， ∴选择A闸口通过的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图为： 共有9种等可能的结果，其中两名乘客选择不同闸口通过的结果数为6， 所以两名乘客选择不同闸口通过的概率； 【点睛】本题考查了列表法与树状图法，利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率． 21. 为了全面贯彻党的教育方针，培养学生劳动技能，学校组织七年级学生乘车前往某社会实践基地进行劳动实践活动．若单独调配37座客运班车若干辆，则有2人没有座位；若只调配25座客运班车，则用车数量增加4辆，并空出2个座位．该校七年级共有多少名学生？ 【答案】298名 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系是解题关键．设该校七年级共有x名学生，根据若单独调配37座客运班车若干辆，则有2人没有座位；若只调配25座客运班车，则用车数量增加4辆，并空出2个座位．列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设该校七年级共有x名学生，根据题意得， 解得． 答：设该校七年级共有298名学生． 22. 为了了解学生的排球垫球训练情况，某中学体育组从参加排球训练的所有学生的排球成绩（一分钟垫球个数）中，随机抽取了60名学生的排球成绩，根据成绩分布情况，他们将抽取的全部成绩分成A、B、C、D、E五组，绘制了如下统计图表： 组别 一分钟垫球个数个 频数 4 26 10 请根据所给信息，解答下列问题： （1）　　，　　； （2）这60名学生一分钟垫球个数的中位数落在　　组； （3）该校共有450名学生参加排球训练，请估计这些学生中一分钟垫球个数不少于30个的人数． 【答案】（1）2；18 （2）D （3）270人 【解析】 【分析】（1）根据频数分布直方图即可得出的值，用总数分别减去其它组的频数即可得出的值； （2）直接根据中位数的定义求解即可； （3）利用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 故， 故答案为：2；18； 【小问2详解】 解：这60名学生一分钟垫球个数的中位数落在组， 故答案为：； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计这些学生中一分钟垫球个数不少于30个的人数为270人． 【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 23. 某餐厅为了追求顾客的消费满意度，推出一种“沙漏计时”单方案，即点餐完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免单．某数学小组观察发现：该沙漏在计时过程中上面玻璃球所剩沙子质量（克）与流入时间（分钟）成一次函数关系（不考虑其他因素），当流入时间3分钟时，上面玻璃球所剩沙子质量为84克，当流入时间10分钟时，上面玻璃球所剩沙子质量为35克． （1）求沙漏在计时过程中上面玻璃球所剩沙子质量（克）与流入时间（分钟）之间的函数解析式； （2）求客人点餐完成后，最晚多长时间菜全部上桌． 【答案】（1） （2）15分钟 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出一次函数关系式是解题的关键． （1）设上面玻璃球所剩沙子质量克与流入时间分钟之间的函数解析式为，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意，沙漏恰好完成第一次倒置，令，即可求解． 【小问1详解】 解：设上面玻璃球所剩沙子质量克与流入时间分钟之间的函数解析式为， 由题知当时，；时，， ， 解得：， 与x的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：， 答：最晚15分钟菜全部上桌． 24. 数学活动小组欲测量山坡上一棵大树的高度，如图，于点，在处测得大树底端的仰角，沿水平地面前进30米到达处，测得大树顶端的仰角，测得山坡坡角（图中各点均在同一平面内）．求这棵大树的高度．（结果取整数．参考数据：） 【答案】20米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用中仰角俯角问题，坡度角问题，解题关键是熟练掌握锐角三角函数的定义并正确运用． 根据题意可得米，根据三角形的外角性质可求出，从而得出米．在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：由题意得，米， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， 在中，，（米）， ∴（米）， ∴（米）， 在中，， ∴(米)， ∴（米）， ∴这棵大树的高度约为20米． 25. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为． （1）求出a，b的值； （2）火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭第一级运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将代入即可求解； （2）将变为，即可确定顶点坐标，即最高点，由比火箭运行的最高点低，得出，进而对应的x的值，然后进行比较再计算即可． 【小问1详解】 解：∵火箭第二级的引发点的高度为 ∴抛物线和直线均经过点 ∴， 解得，． 【小问2详解】 由①知，， ∴ ∴最大值 当时， 则 解得， 又∵火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为． ∴不合题意舍去； ∴当火箭第二级高度时，在第二次则 解得 ∴这两个位置之间的距离． 26. 问题提出 （1）如图1，在中，于点，于点，若，，求的值； 问题探究 （2）如图2，在矩形中，点、分别在边、上，连接、，且．求证：； 问题解决 （3）如图3，某地有一足够大的空地，现想在这片空地上修建一个平行四边形状的休闲区，其中，点、、分别在边、、上，管理部门欲从到、到分别修建小路，两条小路、交汇于点，且满足，，为使美观现要沿平行四边形的四条边修建绿化带（宽度忽略不计），求所修绿化带的长度（的周长）． 【答案】（1）； （2）证明：在矩形中，， ， ． ， ． ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形面积公式即可得出结果； （2）证明即可； （3）过点作于，过点作于，先根据平行四边形面积公式得到，再证明，得到即可． 【详解】解：（1）四边形是平行四边形， ， 于点，于点， ，即， ． （2）略 （3）如图，过点作于，过点作于，则， 四边形是平行四边形， ，，， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 又在中，， ， ， 的周长． 故所修绿化带的长度为． 【点睛】此题考查四边形的综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的性质和判定，关键是根据矩形的判定和性质以及三角形面积公式解答． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $