6.2.4二次函数的图象与性质（4）教学设计2026-2027学年苏科版九年级数学下册

课题名称

6.2二次函数的图象与性质（第4课时）

课型

新授课

教学资源

课件、教材、几何画板

教学内容解析

内容

二次函数y=a(x−h)²+k的图象与性质；用配方法把y=ax²+bx+c化成y=a(x−h)²+k，并由此得到一般式的对称轴、顶点坐标与最值.

内容解析

本课时是“二次函数的图象与性质”的收官.前面三课时分别研究了y=ax²、y=ax²+c、y=a(x−h)²，本课时把三条线索合成顶点式y=a(x−h)²+k，再用配方把一般式y=ax²+bx+c纳入同一个框架.

配方是代数变形，平移是几何变换，两条路指向同一个结论——让学生体会“数”与“形”在这里的呼应，是本节最重要的教学价值.

目标与目标解析

单元整体目标

本章是在学习一次函数、反比例函数的基础上，进一步研究二次函数的概念、图象、性质与应用.

通过本章学习，学生能理解二次函数的意义，会用描点法画二次函数的图象，掌握y=ax²、y=ax²+c、y=a(x−h)²、y=a(x−h)²+k、y=ax²+bx+c的图象特征与性质，会用待定系数法确定二次函数的表达式，能用二次函数解决最值等实际问题，理解二次函数与一元二次方程的联系.

在此过程中，发展抽象能力、推理能力、运算能力与模型观念，积累“由式想形、由形说性”的函数研究经验.

课时目标

1.能说出y=a(x−h)²+k的图象与y=ax²的图象之间的平移关系，会直接读出顶点坐标、对称轴与最值.【几何直观】

2.会用配方法把y=ax²+bx+c化成顶点式，并写出对称轴、顶点坐标与最值.【运算能力、推理能力】

3.经历“由图看性、由式算性”两条路径的对照，体会代数变形与几何变换的一致性.【推理能力、几何直观】

课时目标解析

达成目标1的标志是：给出y=−2(x−3)²+5，学生能立刻说出开口向下、对称轴x=3、顶点(3,5)、最大值5，并能说出它由y=−2x²先右移3个单位再上移5个单位得到.

达成目标2的标志是：学生能把y=x²−4x+1配方成y=(x−2)²−3，并写对对称轴与最小值，配方过程中不漏掉常数项的处理.

达成目标3的标志是：学生能说出“配方算出的顶点”与“平移看出的顶点”为什么一定相同.

学情分析

已有的知识、认知水平

学生已掌握y=ax²、y=ax²+c、y=a(x−h)²三类图象的平移规律，会由表达式直接读出顶点与对称轴；也学过用配方法解一元二次方程，具备代数变形的基础.

困惑点或探索点

困惑点：配方法用于解方程时两边同时加同一个数，用于变形时只在一边加减，学生容易混用；把y=ax²+bx+c配方时，a≠1的情况常常忘记先提公因式.

探索点：既然平移与配方都能得到顶点，能不能不配方、直接用系数写出顶点？

教学

重难点

教学重点

二次函数y=a(x−h)²+k的图象与性质，用配方法化一般式为顶点式.

教学难点

对y=ax²+bx+c（a≠1）正确配方，理解配方结果与对称轴、顶点坐标的对应关系.

教学策略分析

（为什么学、学什么、怎么学）

为什么学：只知道y=ax²+bx+c的三个系数，就能说出它的最高点、最低点在哪里——这是解决最值问题的关键一步.

学什么：顶点式y=a(x−h)²+k的图象与性质，配方法，一般式的对称轴公式与顶点坐标.

怎么学：先由y=(x+1)²+2的两条画图思路引出顶点式，再用配方把一般式“变成”顶点式，最后用例题把两条路径对照起来.

教学流程

流程叙述

开场直接给问题：y=(x+1)²+2的图象怎么画？学生自然会想到两条路——列表描点，或者由y=x²平移.两条路都让他们走一遍，再比一比哪条快，结论是平移省事，但平移的依据正是上一课的两个规律.

接着把顶点式y=a(x−h)²+k正式给出，说明a管开口、h管对称轴、k管顶点高低，四个要素一眼可读.然后转向一般式：y=ax²+bx+c怎么变成顶点式？学生用配方法操作，教师示范一个、学生跟做两个，配完再把结果与图象对照，确认顶点就是(−b/2a,(4ac−b²)/4a).

例题挑的是y=2x²−8x+3，三问分别求对称轴与顶点、求最小值、说平移关系，把配方、读图、平移三件事连起来.学生在配方时最容易漏乘a，巡视时重点看这一步.

练习给两个一般式让学生化成顶点式并说出对称轴、顶点与最值.小结时把“看到一般式先配方”作为一条经验交给学生，并提醒最值要看开口方向.

教学过程

教学环节

学习任务设计

师生活动

评价要点

设计意图

问题导入

问题：如何画出二次函数y=(x+1)²+2的图象？

想一想：能不能不列表，直接由y=x²的图象得到它？

师：按老办法，列表、描点、连线，可以画出来.但有没有更省力的路？

生：它和y=(x+1)²只差一个“+2”，应该可以平移得到.

师：那就先说说y=(x+1)²的图象是怎么来的.

生：把y=x²的图象向左平移1个单位.

学生能提出“用平移画图”的思路，并说清平移的方向与距离.

用“能不能不列表”制造认知冲突，把学生推向平移的思路.