专题16 三角形的内切圆、正多边形与圆 同步培优讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题16三角形的内切圆、正多边形与圆同步培优讲义 ✺知识框架 一、三角形的内切圆 1.核心要素：内心（角平分线交点） 2.核心性质：到三边距离相等 3.核心计算：面积法求内切圆半径、切线长切点分边 4.综合方向：内心角度模型、内心 + 平行线、内心与外接圆结合证明 二、正多边形与圆 1.基本概念：中心、半径、中心角、边心距 2.核心模型：半径、边心距、半边长构成直角三角形 3.常用特例：正三、四、六边形的边长与半径关系 4.综合方向：边长、边心距、面积计算 ✺学习目标 1.理解内切圆、内心的概念与性质，区分内心与外心，会求内切圆半径。 2.掌握正多边形的中心、半径、中心角、边心距概念，会算边长、边心距与面积。 3.会用面积法、勾股定理、切线长定理、圆周角定理解决本节综合与证明题，规范几何书写。 ✺题型归纳 题型1.三角形内心有关应用 题型2.一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型3.三角形内切圆与外接圆综合 题型4.求正多边形的中心角 题型5.已知正多边形的中心角求边数 题型6.正多边形和圆的综合 题型7.尺规作图——正多边形 题型8.分层专项训练 ✺知识清单 知识点01三角形的内切圆 1.定义：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。 2.内心性质：（1）三角形的内心是三条角平分线的交点，必在三角形内部。 （2）三角形的内心到三角形各边距离相等，等于半径 r。 （3）内心与各顶点连线平分对应内角。 几何语言：设⊙O 切 AC、AB、BC 于D、E、F，则 OA 平分∠BAC，OB 平分∠ABC，OC 平分∠ACB；OD=OE=OF=r；OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC。 3.半径公式：（1）面积法：r=，S 为面积，a、b、c 为三边。（2）在直角三角形中，∠C=90°，斜边为c：则r=。 4．内心与外心对比： 内心 —— 角平分线交点；到三边距离相等；在三角形内部。 外心 —— 垂直平分线交点；到三个顶点距离相等。 5.提示：∠BOC=90°+∠A 知识点02正多边形与圆 1.定义：把圆分成 n (n≥3) 等份，顺次连分点得内接正 n 边形，这个圆叫它的外接圆；过各分点作切线，得外切正 n 边形。 2.正多边形有关概念：中心为外接圆圆心；半径 R 为中心到顶点的距离；中心角为每边所对圆心角；边心距 r 为中心到边的距离；边长为 a。 3.正多边形有关计算： 正多边形的内角= 正多边形的中心角= 正多边形的边心距: 4.常见结论：正六边形：a=R；正方形：a=R；正三角形：a=R。 易错：半径是中心到顶点距离，边心距是中心到边距离，勿混；各边相等的圆内接多边形是正多边形，各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形（如矩形）。 ✺题型精讲 题型1.三角形内心有关应用 1．如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，连接、、，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 2．如图，是的内切圆，，则________． 3．如图，在三角形中，O是外心，I是内心． (1)若，求的度数；求的度数． (2)求与的关系． 题型2.一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 1．如图，在中，，于D，为的内切圆，设的半径为R，的长为h，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．若等边三角形的边长为2，则其内切圆半径为______________． 3．的周长为l，内切圆的半径为r．求该三角形的面积S． 题型3.三角形内切圆与外接圆综合 1．如图示例，已知一等腰三角形钢板的底边长为．为了保护该钢板，需用一个圆形包装盒将其完全覆盖，已知该包装盒的最小半径为．设的内心为I，底边上的高为．有下列三个推断：①若的平分线交边于点E，则的值可能为或；②内心I将高线分成的两段比例的值可能为或；③线段的长度可能为或；其中，正确推断的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．设等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R，边长为a，则______． 3．如图，已知中，，．请按照题意用无刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)请在图中作一个能覆盖且面积最小的，则的半径为 ； (2)请在图的纸片中剪出一个面积最大的，则的半径为 ． 题型4.求正多边形的中心角 1．如图，是的内接正边形的一边，点在上．若，则的值是（     ） A．10 B．12 C．14 D．15 2．如图，正六边形的外接圆的直径为，过圆心的直线与圆周交于，两点，则图中的阴影部分的面积和为___________． 3．如图1，在中，，锐角所对的直角边与相邻的直角边的比值称为的坡度，记为“”，即，同样地，．对于锐角的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应． 请回答以下问题： (1)______的函数（填“是”或“不是”） (2)在中，，，则______； (3)在中，，，则______； (4)在中，，，则______； (5)如图2，在中，，是的中点，过点作的垂线交于点，，，则______； (6)如图3，两个边长相等的正六边形的公共边为，点，，在同一直线上，点，分别为两个正六边形的中心，则______； 题型5.已知正多边形的中心角求边数 1．如图，是内接正边形的一条边，，这个正边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 2．若一个正多边形中心角的度数为，则这个正多边形的边数是_________． 3．如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为该正多边形外接圆的圆心，连接、，，则这个正多边形是边数为____________． 题型6.正多边形和圆的综合 1公园里有一个亭子，它的地基是边长为米的正六边形，则这个正六边形的边心距是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．如图，半径为1的与正五边形的边，分别相切于点，，则的度数为_______． 3．如图，的周长等于，正六边形内接于，求边心距的长． 题型7.尺规作图——正多边形 1．如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下： 甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 对于甲、乙两人的作法，可判断（  ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都不对 D．两人都对 2．如图，、、是上顺次三点，若、、分别是内接正三角形、正方形、正边形的一边，则______． 3．如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形． 已知，点为正方形的对角线交点，正八边形内嵌于正方形，点，分别在，上，且过点． (1)请你在图（1）中补全正八边形（画图工具不限）； (2)若改变正八边形的大小和位置，使得正八边形的所有顶点都恰好落在正方形边上，如图（2）所示，若此时，求的长． ✺课堂小练 一、单选题 1．正六边形的边长为2，下列有关这个正六边形的结论中错误的是（     ） A．中心角是 B．内角是 C．边心距为1 D．半径为2 2．已知为的外接圆，点E是的内心，的延长线交于点F，交于点D．如图，为的直径，若，，则的长为（     ） A．2 B． C．1 D． 3．如图，边长为的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．一个正多边形的中心角是，则这个多边形是正________边形． 5．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，O为格点，⊙经过格点A． （1）⊙的周长等于____； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出⊙的内接等边，并简要说明点B，C的位置是如何找到的（不要求证明）_____． 6．在中，，．若是的内切圆，则的半径的最大值是________． 三、解答题 7．如图，在中，O是外心，I是内心，，求的度数． 8．用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：如图，已知为的直径． 步骤一：作出半径的垂直平分线，与分别交于E，F两点，垂足为D． 步骤二：以为半径，在上依次截取． 步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形． 动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知中作出正七边形．要求：不写作法，但保留作图痕迹． 9．如图，六边形是的内接正六边形． (1)求证：在六边形中，过顶点的三条对角线四等分； (2)设的面积为，六边形的面积为，求的值（结果保留）． 10．如图，的内切圆与分别相交于点，若． (1)求的长； (2)求的半径． (3)连接，求与围成的劣弧的弧长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16三角形的内切圆、正多边形与圆同步培优讲义 ✺知识框架 一、三角形的内切圆 1.核心要素：内心（角平分线交点） 2.核心性质：到三边距离相等 3.核心计算：面积法求内切圆半径、切线长切点分边 4.综合方向：内心角度模型、内心 + 平行线、内心与外接圆结合证明 二、正多边形与圆 1.基本概念：中心、半径、中心角、边心距 2.核心模型：半径、边心距、半边长构成直角三角形 3.常用特例：正三、四、六边形的边长与半径关系 4.综合方向：边长、边心距、面积计算 ✺学习目标 1.理解内切圆、内心的概念与性质，区分内心与外心，会求内切圆半径。 2.掌握正多边形的中心、半径、中心角、边心距概念，会算边长、边心距与面积。 3.会用面积法、勾股定理、切线长定理、圆周角定理解决本节综合与证明题，规范几何书写。 ✺题型归纳 题型1.三角形内心有关应用 题型2.一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型3.三角形内切圆与外接圆综合 题型4.求正多边形的中心角 题型5.已知正多边形的中心角求边数 题型6.正多边形和圆的综合 题型7.尺规作图——正多边形 题型8.分层专项训练 ✺知识清单 知识点01三角形的内切圆 1.定义：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。 2.内心性质：（1）三角形的内心是三条角平分线的交点，必在三角形内部。 （2）三角形的内心到三角形各边距离相等，等于半径 r。 （3）内心与各顶点连线平分对应内角。 几何语言：设⊙O 切 AC、AB、BC 于D、E、F，则 OA 平分∠BAC，OB 平分∠ABC，OC 平分∠ACB；OD=OE=OF=r；OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC。 3.半径公式：（1）面积法：r=，S 为面积，a、b、c 为三边。（2）在直角三角形中，∠C=90°，斜边为c：则r=。 4．内心与外心对比： 内心 —— 角平分线交点；到三边距离相等；在三角形内部。 外心 —— 垂直平分线交点；到三个顶点距离相等。 5.提示：∠BOC=90°+∠A 知识点02正多边形与圆 1.定义：把圆分成 n (n≥3) 等份，顺次连分点得内接正 n 边形，这个圆叫它的外接圆；过各分点作切线，得外切正 n 边形。 2.正多边形有关概念：中心为外接圆圆心；半径 R 为中心到顶点的距离；中心角为每边所对圆心角；边心距 r 为中心到边的距离；边长为 a。 3.正多边形有关计算： 正多边形的内角= 正多边形的中心角= 正多边形的边心距: 4.常见结论：正六边形：a=R；正方形 ：a=R；正三角形：a=R。 易错：半径是中心到顶点距离，边心距是中心到边距离，勿混；各边相等的圆内接多边形是正多边形，各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形（如矩形）。 ✺题型精讲 题型1.三角形内心有关应用 1．如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，连接、、，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同弧所对圆周角相等求出，由三角形内心性质得到，结合三角形内角和定理，求出，进而求出的度数． 【详解】解：， ， 点是的内心， 平分， ， ， 平分，平分， ， ． 2．如图，是的内切圆，，则________． 【答案】 【分析】根据内切圆结合角平分线的判定得到平分，平分，再利用三角形内角和求解即可． 【详解】解：设内切圆的切点分别为、、，连接、、， ∵是的内切圆， ∴，，，， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在三角形中，O是外心，I是内心． (1)若，求的度数；求的度数． (2)求与的关系． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得出，代入求出即可； 求出，求出，根据三角形内角和定理求出即可； （2）分别推导、与的关系式，以为中间量消元，得到与的数量关系． 【详解】（1）解∶为的内心， ，． ， ． ，即， ． 点O为的外心， 由圆周角定理得． ， ． （2）解： 是的内心， 平分，平分． ． 在中，由三角形内角和定理： 在中，， ∴ 是的外心，由圆周角定理：同弧所对圆心角等于圆周角的2倍． ∴，即， ∴． 题型2.一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 1．如图，在中，，于D，为的内切圆，设的半径为R，的长为h，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设与的切点为E、F、G，，，的半径为R，连接，结合，可得三角形周长为．一方面面积，另一方面三角形面积等于内切圆半径乘以周长的一半，即．因为两个表达式都表示的面积，所以联立两个式子消去和，即可得到与的比值． 【详解】设与的切点为E、F、G，，，的半径为R，连接， 由题得，， ∴的周长为． 以为底、为高，的面积为， 又∵的面积可表示为 ， ∴联立等式， 得， ∴． 2．若等边三角形的边长为2，则其内切圆半径为______________． 【答案】 【分析】先利用等边三角形的性质确定相关线段长度和角度，再通过直角三角形中的三角函数关系求出内切圆半径． 【详解】解：是边长为2的等边三角形，是其内切圆，与切于点D，连接，，如图： ∵是的内切圆， ∴，是的平分线， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 即内切圆的半径是． 3．的周长为l，内切圆的半径为r．求该三角形的面积S． 【答案】 【分析】根据题意画出图形，与圆切于点、、，连接、、，可得，，，进而根据三角形面积列出等式即可求出的面积． 【详解】解：如图， 与圆切于点、、， 连接、、， 则，，， ， 连接、、， 则 题型3.三角形内切圆与外接圆综合 1．如图示例，已知一等腰三角形钢板的底边长为．为了保护该钢板，需用一个圆形包装盒将其完全覆盖，已知该包装盒的最小半径为．设的内心为I，底边上的高为．有下列三个推断：①若的平分线交边于点E，则的值可能为或；②内心I将高线分成的两段比例的值可能为或；③线段的长度可能为或；其中，正确推断的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】首先，判断最小覆盖圆是该的外接圆，外接圆的半径，再由I为的内心，均为的角平分线，①设等腰外接圆的圆心为O，边上的高为，连接，过E分别作，，垂足分别为，然后，由勾股定理得，可求得的长，接着，由角平分线的性质得，再由，得，最后，分别求得的长，再分别代入计算即可；②过点I作于H，由角平分线的性质得，再由，得，最后，将的值分别代入计算即可；③由①的结论对应的比值及对应求得的的长，分别代入对应数据计算即可． 【详解】解：∵等腰的底边长为，， ∴，， ∵包装盒的最小半径为，直径为，且， ∴最小覆盖圆是该的外接圆，外接圆的半径． ∵I为的内心， ∴均为的角平分线， ①如图1，设等腰外接圆的圆心为O，边上的高为，连接，过E分别作，，垂足分别为， ∴， ∵，， ∴点O在线段上， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴，解得或， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴，即， 当时，， ∴； 当时，， ∴； ∴若的平分线交边于点E，则的值可能为或，推断①正确； ②如图2，过点I作于H， ∵均为的角平分线，， ∴， ∵， ∴，即， 当时，； 当时，； 内心I将高线分成的两段比例的值可能为或，推断②正确； ③由①得当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴； ∴线段的长度可能为或，推断③正确； 综上，正确推断的个数为3． 2．设等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R，边长为a，则______． 【答案】 【分析】由等边三角形的边长、外接圆半径、内切圆半径正好组成一个直角三角形，从而求得它们的比． 【详解】解：等边三角形的边长为， 外接圆半径， 内切圆半径， ． 3．如图，已知中，，．请按照题意用无刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)请在图中作一个能覆盖且面积最小的，则的半径为 ； (2)请在图的纸片中剪出一个面积最大的，则的半径为 ． 【答案】(1) 解：如图，即为所求： (2) 解：如图，即为所求： 【分析】（1）分别作线段，的垂直平分线，相交于点，以点为圆心，的长为半径画圆，则即为所求；设线段的垂直平分线交于点，结合等腰三角形的性质可得直线过点，由勾股定理可求得的长；设的半径为，则，在中，由勾股定理得，，代入求出的值即可； （2）分别作和的平分线，相交于点，再过点作的垂线，交于点，以点为圆心，线段的长为半径画圆，则即为所求；为的内切圆，记与相切于点，与相切于点，连接，设的半径为，结合等腰三角形的性质可得直线过点，，由勾股定理可求得的长；根据三角形的面积公式以及，进而可得答案． 【详解】（1）解：如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点，以点为圆心，的长为半径画圆， 设线段的垂直平分线交于点， ． ， 为等腰三角形， 直线过点， ． 设的半径为，则． 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 的半径为． 故答案为：； （2）解：如图，分别作和的平分线，相交于点，再过点作的垂线，交于点，以点为圆心，线段的长为半径画圆， 由题意得，为的内切圆， 记与相切于点，与相切于点，连接， 设的半径为， ， 为等腰三角形， 直线过点，， ， ， ， ， 解得， 的半径为． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图—复杂作图：作垂直平分线、作角平分线、作垂线，等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的外接圆与内切圆，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 题型4.求正多边形的中心角 1．如图，是的内接正边形的一边，点在上．若，则的值是（     ） A．10 B．12 C．14 D．15 【答案】B 【分析】先根据圆周角定理求出圆心角的度数，再根据正边形的中心角公式求出的值即可． 【详解】解：∵是的圆周角，是的圆心角，且， ∴． ∵是的内接正边形的一边， ∴， 解得． 2．如图，正六边形的外接圆的直径为，过圆心的直线与圆周交于，两点，则图中的阴影部分的面积和为___________． 【答案】 【分析】连接，，作于点，由中心对称图形的性质可知，阴影部分的面积等于弓形的面积，证明是等边三角形可得出，由勾股定理可得，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，连接，，作于点，则， 与正六边形都是中心对称图形， 阴影部分的面积和弓形的面积． ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 故阴影部分的面积和为． 3．如图1，在中，，锐角所对的直角边与相邻的直角边的比值称为的坡度，记为“”，即，同样地，．对于锐角的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应． 请回答以下问题： (1)______的函数（填“是”或“不是”） (2)在中，，，则______； (3)在中，，，则______； (4)在中，，，则______； (5)如图2，在中，，是的中点，过点作的垂线交于点，，，则______； (6)如图3，两个边长相等的正六边形的公共边为，点，，在同一直线上，点，分别为两个正六边形的中心，则______； 【答案】(1)是 (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）根据函数的定义，进行判断即可； （2）根据题意得到是等腰直角三角形，，结合坡度的计算方法即可求解； （3）根据题意得到，结合坡度的计算方法即可求解； （4）根据题意得到是等腰三角形，过点作于点，在上取点，连接，使得，设，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，则，根据坡度的计算方法即可求解； （5）根据题意，得到，由垂直平分线得到，根据，由此即可求解； （6）根据题意，正六边形的每个内角为，每条边对应的圆心角的度数为，如图所示，连接，过点作于点，设正六边形的边长为，由此得到，结合坡度的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：∵对于锐角的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应， ∴是的函数； （2）解：如图所示，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 故答案为：； （3）解：如图所示，，， ∴，， ∴； （4）解：如图所示，，， ∴，是等腰三角形， 过点作于点，在上取点，连接，使得， ∴， ∴， 设，则， 由（2）的计算得到， ∴， ∴； （5）解：在中，， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在中，， ∴； （6）解：正六边形的每个内角为，每条边对应的圆心角的度数为， 如图所示，连接，过点作于点，设正六边形的边长为， ， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型5.已知正多边形的中心角求边数 1．如图，是内接正边形的一条边，，这个正边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用等腰三角形的定义结合三角形内角和定理求出，即可求出，再利用多边形内角和公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴这个正边形的内角和是． 2．若一个正多边形中心角的度数为，则这个正多边形的边数是_________． 【答案】9 【分析】根据正多边形的性质求解即可． 【详解】解：∵正多边形中心角的度数， ∴该正多边形的边数． 3．如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为该正多边形外接圆的圆心，连接、，，则这个正多边形是边数为____________． 【答案】9/九 【分析】连接，圆周角定理求出，再根据正多边形的中心角的计算公式，进行求解即可. 【详解】解：连接，则， ∵， ∴， ∵A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为该正多边形外接圆的圆心， ∴这个正多边形是边数为. 题型6.正多边形和圆的综合 1公园里有一个亭子，它的地基是边长为米的正六边形，则这个正六边形的边心距是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】连接、，作于点，容易判断是等边三角形，利用等边三角形的性质与勾股定理计算出即可． 【详解】解：如图，连接、，作于点， ∵六边形是边长为米的正六边形， ∴，米， 又∵， ∴是等边三角形， ∴米， ∵， ∴米， 在中，（米）， ∴这个正六边形的边心距是米． 2．如图，半径为1的与正五边形的边，分别相切于点，，则的度数为_______． 【答案】/度 【分析】根据正五边形性质及多边形内角和公式求出，再根据圆的切线性质得，最后再根据四边形内角和为即可求出的度数． 【详解】解：如图， ∵五边形是正五边形， ∴， ∵与正五边形的边，分别相切于点，， ∴， ∴， ∴的度数为． 3．如图，的周长等于，正六边形内接于，求边心距的长． 【答案】边心距的长为 【分析】先求出的半径和一边所对的圆心角，再作出边心距，解直角三角形即可求出答案． 【详解】解：如图，连接，，作于点H． 的周长等于， ∴． 六边形是正六边形， ， ， 在直角三角形中， ， ， 解得（负值舍去）， 边心距的长为． 题型7.尺规作图——正多边形 1．如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下： 甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 对于甲、乙两人的作法，可判断（  ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都不对 D．两人都对 【答案】D 【分析】甲的做法可根据对角线垂直平分可得到菱形，从而可得到多个等边三角形和各边和各角相等，乙的做法根据等边三角的内角是60°，求出其他等边三角形，从而得出各边和各角相等 【详解】甲： ∵BF是中垂线   ∴四边形OCDE是菱形    ∴△OCD, △OED都是等边三角形， 同理可得△OAB, △OAF也是等边三角形    ∴∠BOC=∠EOF=60° ∴△OBC, △OEF也是等边三角形 ∴内接六边形各边相等，各角相等都是120° ∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形 乙： ∵AB=AO=BO=AF=OF ∴△OAB, △OAF都是等边三角形， 同理可得△OCD, △OED也是等边三角形    ∴∠BOC=∠EOF=60° ∴△OBC, △OEF也是等边三角形 ∴内接六边形各边相等，各角相等都是120° ∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形 故选D 【点睛】本题关键是想办法求出多个等边三角形，从而得到六条边，六个角也相等 2．如图，、、是上顺次三点，若、、分别是内接正三角形、正方形、正边形的一边，则______． 【答案】12 【分析】如图，连接OA、OC、OB，根据角的转换求出中心角即可解决问题． 【详解】如图，连接OA、OC、OB． ∵若AC、AB分别是内接正三角形、正方形的一边， ∴，， ∴， 由题意得：， ∴12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，一次连接各分点所得到的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆，熟练的掌握正多边形的有关概念是解答本题的关键． 3．如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形． 已知，点为正方形的对角线交点，正八边形内嵌于正方形，点，分别在，上，且过点． (1)请你在图（1）中补全正八边形（画图工具不限）； (2)若改变正八边形的大小和位置，使得正八边形的所有顶点都恰好落在正方形边上，如图（2）所示，若此时，求的长． 【答案】(1)所求图形如下： (2) 【分析】（1）根据正八边形的性质即可求解； （2）连接，得到等腰直角三角形，求出即可求出，根据正八边形的性质，可得，从而求出，再根据，可以求出，最后即可求出，进而求出． 【详解】（1）略． （2）解：连接， 是正方形对角线的交点 在正八边形中，， 同理 ． ✺课堂小练 一、单选题 1．正六边形的边长为2，下列有关这个正六边形的结论中错误的是（     ） A．中心角是 B．内角是 C．边心距为1 D．半径为2 【答案】C 【分析】根据正多边形中心角、内角、边心距、半径的定义并结合边长为2逐项判断即可． 【详解】解：A．∵ 正边形中心角和为，正六边形， ∴中心角为，故选项A正确； B．∵ 边形内角和为，正六边形， ∴ 内角和为，每个内角为，故选项B正确； C、D．∵ 正六边形的外接圆半径等于边长，已知边长为， ∴ 正六边形半径为，故选项D结论正确； ∵ 边心距是正六边形中心到边的距离，边长一半为，半径为，由勾股定理得：边心距， 故选项C错误，符合题意． 2．已知为的外接圆，点E是的内心，的延长线交于点F，交于点D．如图，为的直径，若，，则的长为（     ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】连接，，，根据内心的性质可知平分，结合为直径，利用垂径定理可得且，在中利用勾股定理求出，进而得到的长，在中求出的长，利用圆周角定理和三角形外角性质证明，进而求出的长，最后根据求解． 【详解】解：连接，，， ∵点E是的内心， ∴平分，平分， ∵为的直径， ∴，，， ∴在中，， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．如图，边长为的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相关性质定理是解题的关键．连接，，过点作，垂足为点，根据正多边形的性质和圆的性质证明是等边三角形， 得到、的长，然后利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接，，过点作，垂足为点， 六边形是正六边形，点是它的中心， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 在中， ， 即它的内切圆半径为 ， 故选：D． 二、填空题 4．一个正多边形的中心角是，则这个多边形是正________边形． 【答案】十二/12 【分析】根据正多边形的边数周角中心角，计算即可得． 【详解】解：∵正多边形的中心角是， ∴边数为， ∴这个多边形是正十二边形． 5．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，O为格点，⊙经过格点A． （1）⊙的周长等于____； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出⊙的内接等边，并简要说明点B，C的位置是如何找到的（不要求证明）_____． 【答案】 如图，延长交网格线于点D，取格点E，F，连接交网格线于点G，作直线交于点B，C，连接，，则即为所求． 【分析】（1）利用勾股定理可得答案； （2）延长交网格线于点D，取格点E，F，连接交网格线于点G，作直线交于点B，C，连接，，则即为所求． 【详解】（1）∵⊙的半径为：， ∴⊙的周长， 故答案为： （2）如图： ∵， 又∵， ∴， ∴． ∵，   ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴．   ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形． ∴， ∴， ∵， ∴，   ∴， ∴． ∵， ∴， ∵过圆心, ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【点睛】此题考查作图中的复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型． 6．在中，，．若是的内切圆，则的半径的最大值是________． 【答案】1 【分析】设的内切圆的半径为r，与、、分别相切于D、E、F，连接、、， 则平分，，可得，利用切线长定理可得，，进而得出，当r最大时，最大，延长至，使，连接，则点在以为弦，所对圆周角为的圆弧上运动，作的外接圆，当为的直径，即点A与点重合时，的值最大，此时为等边三角形，即可求得答案． 【详解】解： 设的内切圆的半径为r，与、、分别相切于D、E、F，连接、、， 则， ， ， ， ， ， ． ， ． ， ，， 平分． ． ， ． ． 当r最大时，最大． 延长至，使，连接则． ， ， ， 点在以为弦，所对圆周角为的圆弧上运动， 作的外接圆，当为的直径，即点A与点重合时，的值最大， 此时， ， ， 为等边三角形． ． ． ． 的内切圆的半径为r的最大值为1， 故答案为：1 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形内切圆，三角形外接圆，解直角三角形等，作出辅助圆，利用直径是圆中最大弦是解题关键． 三、解答题 7．如图，在中，O是外心，I是内心，，求的度数． 【答案】的度数是 【分析】先利用三角形内心的性质得到，则可计算出，然后利用圆周角定理得到的度数． 【详解】解：∵I是的内心， ∴，分别平分，， ∴，， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵O是的外心， ∴． 8．用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：如图，已知为的直径． 步骤一：作出半径的垂直平分线，与分别交于E，F两点，垂足为D． 步骤二：以为半径，在上依次截取． 步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形． 动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知中作出正七边形．要求：不写作法，但保留作图痕迹． 【答案】如图所示，七边形即为所求． 【详解】解：略 9．如图，六边形是的内接正六边形． (1)求证：在六边形中，过顶点的三条对角线四等分； (2)设的面积为，六边形的面积为，求的值（结果保留）． 【答案】(1)证明：如图，连接，，． 六边形是的内接正六边形， ， ， ， 过顶点的三条对角线四等分． (2) 【分析】（1）如图，连接，根据正六边形的性质得到，求得，于是得到，即可得到结论； （2）如图，过O作于G，连接，设的半径为，推出是等边三角形，得到，根据勾股定理得到，根据三角形和圆的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作于点，连接． 设的半径为， ，， 是边长为的等边三角形， 六边形的周长． 在中，，， 由勾股定理，得， 正六边形的面积． 的面积， ． 10．如图，的内切圆与分别相交于点，若． (1)求的长； (2)求的半径． (3)连接，求与围成的劣弧的弧长． 【答案】(1) (2)的半径为 (3) 【分析】本题主要考查三角形的内切圆的性质、切线长定理、三角函数及弧长公式，熟练掌握三角形的内切圆的性质、切线长定理、三角函数及弧长公式是解题的关键； （1）由切线长定理可得，设，则有，进而求解即可； （2）连接，过点A作于点H，由题意易得，设，则，然后根据勾股定理可得，进而根据等积法可进行求解； （3）如（2）的解图，由（2）可知：，，的半径为，然后可得，则有，进而根据弧长计算公式可进行求解． 【详解】（1）解：∵是的内切圆， ∴， 设，且， ∴，解得：， ∴； （2）解：连接，过点A作于点H，如图所示： 由题意得：， 设，则， 在中，由勾股定理可得：， 同理可得：， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的半径为； （3）解：如（2）的解图： 由（2）可知：，，的半径为， ∴， ∴， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴， ∴， ∴与围成的劣弧的弧长为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $