第14讲三角形内切圆、正多边形与圆 培优讲义 2026--2027学年人教版九年级数学上册
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精品
内容正文：
第14讲 三角形内切圆、正多边形与圆 培优讲义
2026年人教版九年级数学上册
参考答案与试题解析
📌 思维导图
🎯 课程目标
· 掌握三角形内心性质与内切圆半径
· 会求内心相关角度与线段长
· 理解正多边形中心角与边长关系
· 会计算正多边形弧长面积边心距
· 熟练正多边形综合与尺规作图
📚 知识梳理
☆ 1.三角形内心与内切圆
内心=三角角平分线交点，到三边距离相等
∠BOC=90°+∠A
直角三角形内切圆半径 r=
一般三角形 r=（p为半周长）
概念辨析例题：Rt△ABC∠C=90°，a=3,b=4,c=5，求内切圆半径。
答案：r=1。
解析：r===1。
☆ 2.内心与外心综合
外心=三边中垂线交点，到三顶点距离相等
外心 ∠BOC=2∠A
内心外心位置关系随三角形形状变化
等腰三角形内心外心都在对称轴上
概念辨析例题：△ABC中∠A=50°，I为内心，求∠BIC。
答案：115°。
解析：∠BIC=90°+∠A=90°+25°=115°。
☆ 3.正多边形与圆
中心角=
边长 a=2Rsin
边心距 r=Rcos
面积 S=nar=nR2sin
概念辨析例题：正六边形半径R=1，求边长与面积。
答案：边长1，面积。
解析：中心角60°，边长=R=1；S=6××1×=。
☆ 4.正多边形计算与作图
弧长 l=
扇形面积 S==lR
正六边形可由半径直接等分圆周
无刻度直尺作图利用对称性
概念辨析例题：正五边形半径R=5，求中心角度数。
答案：72°。
解析：中心角==72°。
📋 知识总结表
核心概念
公式/性质
注意事项
内心
角平分线交点，到三边等距
在三角形内部
外心
中垂线交点，到三顶点等距
锐角内/直角斜边中点/钝角外
内切圆半径
r=
直角三角形 r=
中心角
n为边数
正六边形
边长=半径
中心角60°
弧长
l=
n为圆心角度数
⚠️ 核心考点
【考点1】三角形内心与内切圆基础（第1-8题）
· 记住∠BIC=90°+∠A
· 直角三角形用r=
· 一般三角形用面积法r=
1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，点恰好与的内心重合，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】折叠问题、三角形内角和定理的应用、三角形内心有关应用
【分析】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，三角形内心的性质，角平分线的定义等，熟练掌握三角形内心的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理得出，根据折叠的性质和三角形内心的性质得出，平分，平分，求得，即可求解．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵沿折叠，点恰好与的内心重合，
∴，平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
2．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，点是外任意一点，分别是的切线，是切点．设与交于点．则点是的（ ）
A．内心 B．重心 C．垂心 D．外心
【答案】A
【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、线段垂直平分线的性质、应用切线长定理求解、三角形内心有关应用
【分析】本题考查了了切线长定理，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，圆周角定理，连接，由切线长定理得，，然后证明垂直平分，则有，，由全等三角形的性质可得，，再通过角度和差得，再由圆周角定理可得，最后得出，根据内心的定义即可判断，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
∵分别是的切线，
∴，，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是的内心，
故选：．
3．（2026·湖北武汉·一模）如图，，，，内切圆半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、半圆（直径）所对的圆周角是直角、用勾股定理解三角形、三角形内心有关应用
【分析】由图中A、B、C、D四点共圆，且，可得，因此是圆的直径，进一步可得，同时．先在中用勾股定理求的长度，再在中求出的长度．过点A作于点E，用勾股定理求出的长度，即得的长度。设的内心为点I，内切圆半径为r，过点I作于点F，作于点G，作于点H，则，由，代入的值，即可求出内切圆半径．
【详解】解：连接，∵，
∴，，
∴，
∴是圆的直径．
∴，
在中，，，
∴ ，
∴，
∴ ．
过点A作于点E，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
设的内心为点I，内切圆半径为r，过点I作于点F，作于点G，作于点H，
则，
∵，
∴，
化简得，
解得．
4．（24-25九年级上·河南安阳·期中）如图，如图，在中，点D是的内心，连接，过点D作分别交于点E，F，若，则的长度为________．
【答案】10
【知识点】两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质和判定、三角形角平分线的定义、三角形内心有关应用
【分析】本题主要考查了内心，角平分线的定义，平行线的性质，
根据内心的性质得平分，可得，再根据平行线的性质，然后根据“等角对等边”得，即可得出答案．
【详解】∵点D是的内心，
∴平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
故答案为：10．
5．（24-25九年级上·广东汕头·阶段检测）若等腰直角三角形的外接圆半径的长为3，则其内切圆半径的长为______．
【答案】/
【知识点】等腰三角形的定义、三角形内切圆与外接圆综合、用勾股定理解三角形
【分析】由于直角三角形的外接圆半径是斜边的一半，由此可求得等腰直角三角形的斜边长，进而可求得两条直角边的长；然后根据直角三角形内切圆半径公式求出内切圆半径的长．本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心．等腰三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：∵等腰直角三角形外接圆半径为3，
∴此直角三角形的斜边长为6，
设等腰两条直角边为，
则，
∴，
∴它的内切圆半径为：，
故答案为．
6．（2025·宁夏·中考真题）如图，⊙是的内切圆，，则_____．
【答案】
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内心有关应用
【分析】本题考查三角形的内切圆的性质与三角形内角和定理，此题难度不大．
根据是的内切圆，得出，，进而得出，即可得出答案．
【详解】解：∵是的内切圆，
∴，，
∵，
∴，
∴
故答案为：．
7．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知分别是的外心和内心，，则的大小是__________．
【答案】或
【知识点】圆周角定理、三角形内心有关应用
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，利用圆周角定理得到或，由于I是的内心，则，然后把的度数代入计算即可．
【详解】解：∵O是的外心，
∴（如图1）或，（如图2）
∵I是的内心，
∴，
∴ ，
当时，；
当时，；
即的度数为或．
故答案为：或．
8．（2020年浙江省富阳中学提前招生数学模拟试卷）直角中，，的内切圆半径r．
（1）设直角边，将r表示成x的函数为__________，
（2）r的最大值为__________．
【答案】
【知识点】应用切线长定理求解、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定证明、三角形内心有关应用
【分析】（1）本题根据题意画出图形进行分析，由题意可得四边形为正方形，推出，由切线长定理可知，，,根据，建立等式，即可解题．
（2）本题根据当时，r有最大值，建立等式求出的值，即可解题．
【详解】解：如图为的内切圆，与三角形三边相切于点D、E、F，连接，，，，，，
由题易知，四边形为正方形，
，
由切线长定理可知，，，
的内切圆半径r，
，
，，
，
，
，
整理得；
故答案为：．
（2）解： ，
当且仅当时，等号成立，
，
，
，
r的最大值为，
故答案为：．
法二：当时，r有最大值，
即，解得，（不合题意，舍去），
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查对勾股定理，正方形的性质和判定，切线长定理，三角形的内切圆与内心等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键．
【考点2】三角形内心与内切圆综合（第9-12题）
· 内心外心同在对称轴上
· 坐标法求O1O2距离
· 结合圆周角定理
9．（23-24九年级上·山东烟台·期末）等腰中，，，，点，分别是的内心和外心，则_____．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的判定、用勾股定理解三角形、求三角形外心坐标、三角形内心有关应用
【分析】本题侧重考查三角形的内切圆与圆心、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．连接、，根据题意分别求出及，再作差即可求得的长．
【详解】解：连接、，如图，
，，
为线段的垂直平分线，
．
在中，，
设的半径为，
，
，
，
，
，为的内心，
为内切圆的半径．
设内切圆的半径为，则，
，
即，
．
故答案为：．
10．（24-25九年级下·广东广州·阶段检测）如图1，在中，，是的外接圆，点在上且．
(1)求证：；
(2)在图2中，求作的内心（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(3)在（2）的条件下，若，求的长．
【答案】(1)
证明：，
．
，，
．
．
(2)
如图，点即为所求．
(3)5
【知识点】等腰三角形的性质和判定、圆周角定理、三角形内心有关应用、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题主要考查圆的相关知识，涉及同弧所对的圆周角相等、等腰三角形的性质、三角形内心的概念以及相似三角形的判定与性质．熟练运用相关知识点是正确解答此题的关键．
（1）要证明，可通过证明，利用同弧所对的圆周角相等以及已知条件进行角度转化．
（2），根据三角形内心是三角形三条角平分线的交点，利用尺规作角平分线的方法来作出的内心．
（3），通过证明，利用相似三角形的性质得到对应边成比例，从而求出的长．
【详解】（1）略
（2）解： ，
是的平分线，
作的角平分线，两条角平分线的交点即为的内心．
作法：以为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点距离一半的长为半径画弧，两弧相交于一点，过和这个交点作射线；交于点．
（3）解：，．
是的内心，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
11．（24-25九年级上·河南周口·阶段检测）如图，已知，
(1)尺规作图：请在图中作的内切圆，使得与射线相切于点，同时与相切，切点记为．
(2)在的条件下，若，，则所作的的与，所围成图形的面积和周长各是多少？（结果保留和根号）
【答案】(1)如下图所示，点就是内切圆的圆心；
(2)，．
【知识点】解直角三角形的相关计算、求扇形面积、求弧长、三角形内心有关应用
【分析】利用尺规作图作出内切圆的圆心，然后再作出的内切圆；
根据切线长定理可知，根据四边形内角和定理可以求出，的与，所围成图形的面积是四边形的面积减去扇形的面积，周长，根据扇形面积公式和弧长公式计算即可．
【详解】（1）解：分别作和的平分线，交于点；
（2）解：如下图所示，
、分别是的切线，
，，
，
，
，，
，
同理可得：，
的与，所围成图形的面积为：
；
与，所围成图形的周长为：
．
【点睛】本题主要考查了尺规作图、切线的性质、弧长公式、扇形面积公式、解直角三角形．解决本题的关键是利用尺规作图作出图形，然后再利用扇形的面积公式和弧长公式进行计算．
12．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）如图，在三角形中，O是外心，I是内心．
(1)若，求的度数；求的度数．
(2)求与的关系．
【答案】(1)；
(2)
【知识点】三角形内角和定理的应用、圆周角定理、三角形内切圆与外接圆综合、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内心有关应用
【分析】（1）根据圆周角定理得出，代入求出即可； 求出，求出，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）分别推导、与的关系式，以为中间量消元，得到与的数量关系．
【详解】（1）解∶为的内心，
，．
，
．
，即，
．
点O为的外心，
由圆周角定理得．
，
．
（2）解： 是的内心，
平分，平分．
．
在中，由三角形内角和定理：
在中，，
∴
是的外心，由圆周角定理：同弧所对圆心角等于圆周角的2倍．
∴，即，
∴．
【考点3】正多边形与圆的基本概念（第13-15题）
· 中心角=
· 已知中心角反求边数
· 内接四边形对角互补
13．（23-24九年级上·广东珠海·期末）如图，已知的周长等于，则圆内接正六边形的边长（ ）．
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定和性质、正多边形和圆的综合
【分析】此题考查了正多边形与圆的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．连接，，由的周长等于，可得的半径，又由圆的内接多边形的性质，即可求得答案．
【详解】解：连接，，
设的半径为r，
的周长等于，
，
，
的半径为，
，，
是等边三角形，
，
故选：B
14．（22-23九年级下·安徽安庆·阶段检测）如图，是正五边形外接圆的一条直径，则的度数是（ ）
A．18° B．36° C．54° D．72°
【答案】A
【知识点】已知圆内接四边形求角度、正多边形和圆的综合、半圆（直径）所对的圆周角是直角
【分析】根据正五边形的性质和圆周角定理即可求出答案．本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，能正确做出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图所示，连接，，
∵是直径，
∴，
∵正五边形，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴．
故选A．
15．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）如图，在中，点为上的点，，若，且是的内接正边形的一边，则的值为_____．
【答案】
【知识点】已知圆内接四边形求角度、圆周角定理、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了正多边形和圆、圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键；
根据题意求出，继而求出，再根据求出的度数，即可求解．
【详解】解：连接，在优弧上取点，连接，，
，，
，
∴，
∵，
，
，
，
；
故答案为：．
【考点4】正多边形与圆的计算（第16-42题）
· 边长边心距半径构成直角三角形
· 正六边形边长=半径
· 扇形面积与弧长互求
· 阴影面积用割补法
16．（24-25九年级上·江西南昌·期末）我们知道，除三角形外，其他多边形都不具有稳定性．如图，将正五边形的边固定，向右推动该正五边形，使得O为的中点，且点A，B，C，D在以点O为圆心的圆上，过点C作的切线，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】切线的性质定理、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了正多边形的性质，圆的性质，等边三角形的判定和性质，先由正多边形的性质得，再由圆的性质得，进而得是等边三角形，，再由切线的性质得，最后由可得答案．
【详解】解：如图，连接，，
∵是正五边形，
∴，
∵点A，B，C，D在以点O为圆心的圆上，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵是的切线，切点为C，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
17．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估计圆周率，理论上能把的值计算到任意精度．“割圆术”的第一步是计算圆内接正六边形的面积，若圆的半径为1，则圆内接正六边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的相关计算、等边三角形的判定和性质、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了正六边形与圆的相关计算，涉及等边三角形的判定和性质，连接，过点O作于点G，先证明为等边三角形，再求出的面积，根据正六边形的面积为6倍的面积，求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】如图，连接，过点O作于点G，
∵正六边形的中心角，
∴为等边三角形，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴圆内接正六边形的面积为，
故选：B．
18．（2025·安徽六安·三模）我国古代数学家刘徽在《九章算术》中提出“割圆术”，即用圆内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设的半径为1，若用如图所示的的内接正十二边形的面积来近似估计的面积，则产生的正误差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正多边形和圆的综合
【分析】此题考查了正多边形与圆，含角直角三角形的性质等知识．根据正多边形的性质和含角直角三角形的性质求出的内接正十二边形的面积为，即可求出答案．
【详解】解：如图，在中，，作于点，
∴，
∴，
∴的内接正十二边形的面积，
∴产生的正误差为，
故选：D
19．（2025·四川南充·二模）在正六边形中，是对角线上一点，．则的面积与的面积的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求正多边形的中心角、求一次函数解析式、解直角三角形的相关计算、相似三角形的综合问题
【分析】本题考查了正六边形的性质、等腰三角形的性质、三角函数和相似三角形的判定与性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；
作，垂足为，然后分别证明得和，然后得到，通过相似三角形的性质即可求解；
【详解】解：作，垂足为，如图：
，
在正六边形中，
∴， ，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∵，
∴在中，设，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的面积，的面积，
∴，
∴，
故选：C；
20．（23-24九年级下·云南昆明·阶段检测）已知，正六边形内接于，若四边形的面积为，则的半径等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的相关计算、等边三角形的判定和性质、正多边形和圆的综合、根据菱形的性质与判定求面积
【分析】连接，，相交G，则，均为等边三角形，进而可证四边形是菱形，求出，然后利用菱形的面积公式求解即可．
【详解】连接，，相交点G，
∵，正六边形内接于，
∴，
∵，
∴，均为等边三角形，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴（负值舍去）．
故选B．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，解直角三角形等知识，熟知正六边形的性质是解答此题的关键．
21．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，分别是直径为的的内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若，给出下面四个结论： ； ； ； ；上述结论中，所有正确结论的序号是 （ ）
A．①② B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、正多边形和圆的综合、等边三角形的性质
【分析】本题考查了圆的内接多边形，圆心角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
连接，，，根据的内接正六边形、正方形、等边三角形的性质求出圆心角，，，可得是等边三角形，是等腰直角三角形，是等腰三角形且，逐个判断即可．
【详解】解：连接，，，
分别是直径为的的内接正六边形、正方形、等边三角形的一边，
，，．
，
是等边三角形，是等腰直角三角形，是等腰三角形且．
，
，
．
故说法正确；
，是等腰直角三角形，
．
故说法正确；
，是等腰三角形且，
，
．
故说法不正确；
，，，
，，
．
故说法正确；
正确结论的序号为：．
故选：B．
22．（24-25九年级上·甘肃平凉·期末）如图，正六边形内接于，的半径为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正多边形和圆的综合、求弧长
【分析】本题主要考查了正多边形和圆、弧长公式．连接，，根据正六边形内接于，可以求出，根据弧长公式即可求出的长度．
【详解】解：连接，，
多边形为正六边形，
，
的长，
故选：B．
23．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，六边形是的内接正六边形，连接，，，若的面积为6，则正六边形的面积为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、等边三角形的判定和性质、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查正多边形和圆，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定，关键是由正六边形的性质证明．
连接，由正六边形的性质得到把圆六等分，推出，得到是等边三角形，由证明，得到的面积的面积，同理：的面积的面积，的面积的面积，因此的面积的面积的面积的面积，即可得到答案．
【详解】解：连接，
∵六边形是的内接正六边形，
∴把圆六等分，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴的面积的面积，
同理：的面积的面积，的面积的面积，
∴的面积的面积的面积的面积，
故选：B．
24．（23-24九年级上·北京昌平·期末）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同，天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，作出“雪花”图案（正六边形）的外接圆，已知正六边形的边长是4，则长为______．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定和性质、正多边形和圆的综合、求弧长
【分析】本题考查了正多边形的性质，弧长公式，先根据中心角定义求出的度数，然后证明是等边三角形，可求出圆的半径，最后根据弧长公式求解即可．
【详解】解∶如图，
∵正六边形的边长是4，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故答案为：．
25．（23-24九年级上·广西南宁·阶段检测）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形，如图所示，若正六边形半径为5，则这个正六边形的周长是______．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定和性质、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，证明为等边三角形，得出，即可得出六边形的周长．
【详解】解：如图所示：
六边形是正六边形，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∵正六边形半径为5，
∴这个正六边形的周长是
故答案为：．
26．（25-26九年级上·北京丰台·期末）如图，内接正五边形的半径为5，则的长为______．
【答案】
【知识点】正多边形和圆的综合、求弧长
【分析】本题主要考查正多边形与圆、弧长公式等知识，得出圆心角度数是解题关键．
利用正五边形的性质得出中心角度数，进而利用弧长公式求出即可．
【详解】解：如图所示：连接、．
∵内接正五边形的半径为5，
∴，，
∴的长为．
故答案为：．
27．（23-24九年级上·北京密云·期末）如图，正六边形内接于，若的半径为4，则正六边形的面积为_______.
【答案】
【知识点】解直角三角形的相关计算、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了正多边形与圆，三角函数的应用，连接，，根据正六边形的性质可得，进而可得是等边三角形，则得，再求出等边的面积，进而可求解．
【详解】解：连接，，过F点作于点H，如图：
六边形是正六边形，的半径为4，
，
，且，
是等边三角形，且边长，
等边的面积为：，
正六边形的面积为：，
故答案为：．
28．（23-24九年级上·河南周口·阶段检测）如图，取正六边形的各边中点并依次连接，得到正六边形，再取正六边形的各边中点并依次连接，得到正六边形，则正六边形与正六边形的边长之比为______．
【答案】
【知识点】解直角三角形的相关计算、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，如图，设，求出，(用表示)，可得结论．
【详解】解：如图，连接，依题意，为的中点，，
设，
∵，，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴与正六边形的边长之比=，
故答案为：．
29．（23-24九年级上·山东泰安·期末）如图，正六边形的边长为，以为圆心，得，连接，则图中阴影部分的面积为 _____ ．
【答案】
【知识点】正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了正多边形的性质，扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是关键．
根据正多边形的内角和定理及性质得到，如图所示，过点作于点，，由此扇形面积公式即可求解．
【详解】解：∵图形是边长为4的正六边形，
∴，每个内角的度数，
∴，
∴，
同理，，
∴，
如图所示，过点作于点，
∴，，
∴，
∴，
故答案为： ．
30．（24-25九年级下·安徽安庆·阶段检测）如图，已知六边形是的内接正六边形，点是的中点．若的半径为6，则的长为_____．
【答案】
【知识点】正多边形和圆的综合、同弧或等弧所对的圆周角相等、求弧长
【分析】本题考查的是正六边形和圆，弧长公式．连接，求出，然后根据弧长公式求解即可．
【详解】解：如图，连接 ，
∵正六边形内接于，
∴，
∵点是的中点．
∴，
∴，
∵的半径为6，，
∴的长为：．
故答案为．
31．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，正六边形的边长为6，以点为圆心，的长为半径画圆，则正六边形的中心在________（填“内”、“上”或“外”）；若将图中阴影部分剪下来围成圆锥，则圆锥的底面直径为________．
【答案】 上 4
【知识点】正多边形和圆的综合、求圆锥底面半径、判断点与圆的位置关系
【分析】本题考查的是正多边形和圆、圆锥的计算、点与圆是位置关系、弧长公式，掌握正多边形的性质、弧长公式是解题的关键．设点O为正六边形的中心，连接，先证明是等边三角形，根据点与圆是位置关系的判断方法确定点O与的位置关系，根据正六边形的性质求出，根据弧长公式、圆的周长公式计算即可．
【详解】解：如图，设点O为正六边形的中心，连接，
六边形为正六边形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴正六边形的中心在上，
六边形为正六边形，
，
的长为：，
圆锥的底面周长为：，
圆锥的底面直径为：，
故答案为：上，4
32．（2025九年级下·河北·专题练习）如图，在中心为的正六边形中，点同时、同速从点出发，点沿的延长线向右运动，点沿方向运动，当点运动到点时，两点都停止运动，此时与多边形和的延长线所围成图形的面积记为，若 ，则___________用含的代数式表示）．
【答案】
【知识点】正多边形和圆的综合、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查正六边形的性质，相似三角形的判定和性质，先根据题意得出，,且，再利用相似三角形得出且，故，求出的值即可．
【详解】如图, 连接、，
设与的交点为点，三角形面积为，
∵且，
∴，
∴,
∴，即面积为，
∵与的高相同，
∴面积比，即，
∴
则
则
∴．
故答案为：．
33．（23-24九年级下·江苏南京·阶段检测）如图，分别以正六边形的顶点，，为圆心、边长为半径作弧，构成了阴影部分的“三叶草”图案．若该正六边形的边长是2，则“三叶草”的面积是______．
【答案】
【知识点】求其他不规则图形的面积、正多边形和圆的综合、根据菱形的性质与判定求线段长
【分析】此题主要考查了正六边形和圆以及扇形面积求法，注意圆与多边形的结合得出阴影面积是解题关键．连接，，，根据正六边形的性质得到，，得到，同理，推出四边形是菱形，过作于，得到，根据勾股定理得到，根据菱形和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接，，，
正多边形是正六边形，
，，
，
是等边三角形，
，
同理，
，
四边形是菱形，
过作于，
，
，
“三叶草”的面积（扇形的面积-菱形的面积），
故答案为：．
34．（2025·江苏泰州·一模）如图，点是边长为1的正六边形的中心，以为半径的扇形的圆心角，，则阴影部分的面积为_____．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定和性质、求其他不规则图形的面积、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了正多边形的性质、扇形面积公式、等边三角形的判定与性质，连接、，令交于 ，交于，作交于，由正六边形的性质可得，，，，从而可得为等边三角形，由等边三角形的性质可得，，，，证明，得出，即可得解．
【详解】解：如图：连接、，令交于 ，交于，作交于，
，
∵点是边长为1的正六边形的中心，
∴，，，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
35．（2026·广东广州·三模）如图，正五边形的边长为10，点、在上，则的长是_______．
【答案】
【知识点】正多边形和圆的综合、求弧长
【分析】根据五边形是正五边形可得，的半径为10，即可求解．
【详解】解：∵五边形是正五边形，边长为10，
∴，的半径为10，
∴的长．
36．（24-25九年级上·海南·期中）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图5是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）______．（结果保留）
【答案】
【知识点】解直角三角形的相关计算、等边三角形的判定和性质、正多边形和圆的综合、求弧长
【分析】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，掌握正六边形的性质，三角形的内心的性质以及直角三角形的边角关系，弧长的计算方法是正确解答的关键．根据正六边形的性质，三角形内心的性质以及直角三角形的边角关系求出所对应的圆心角的度数及半径，由弧长公式求出弧的长，再计算长的6倍即可．
【详解】解：如图，过点作于点，则，
六条等弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点，
，
，
是正三角形，
点是的内心，
，，
在中，，，
，
的长为，
花窗的周长为．
故答案为：．
37．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径为6的正六边形的中心为点，顶点在轴上，则顶点的坐标是___________．
【答案】
【知识点】含30度角的直角三角形、正多边形和圆的综合、写出直角坐标系中点的坐标
【分析】本题利用了正六边形的对称性，直角三角形的角所对的边等于斜边的一半，勾股定理等知识．
连接，设交轴于点，由正六边形是轴对称图形知，在中，，再解含的直角三角形即可．
【详解】连接，设交轴于点，
由正六边形是轴对称图形知，
在中，，
，
．
故答案为：．
38．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段检测）正六边形的边长为8，求这个正六边形的周长和面积．
【答案】周长，面积
【知识点】求正多边形的中心角、正多边形和圆的综合
【分析】本题主要考查了正六边形的性质，根据正多边形的性质，得出为等边三角形，即可解答．解题的关键是掌握正多边形每条边相等，以及中心角的求法．
【详解】解：正六边形的周长；
连接，过点O作于点G，
∵该六边形为正六边形，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
正六边形的面积．
39．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，六边形是的内接正六边形，连接，．
(1)填空：的度数为_____．
(2)若正六边形的边心距为，求图中阴影部分的周长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】正多边形和圆的综合、求弧长、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了正多边形与圆、直角三角形性质、勾股定理、弧长公式等知识，掌握这些是解题的关键．
（1）根据正n边形中心角为，即可求解；
（2）过点O作于点P，求得是等边三角形，利用直角三角形性质结合勾股定理求得半径是4，再利用弧长公式求解即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：如图，过点O作于点P，
，
是等边三角形，
，
，
，
由勾股定理得：，
即，
解得（舍去负值），
，
，
的长为，
阴影部分的周长为．
40．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，正外接圆的半径为，求正的边长，边心距，周长和面积．
【答案】边心距，边长为，周长是，面积是．
【知识点】正多边形和圆的综合
【分析】连接，延长交于D，根据等边三角形性质得出，，进而求得；再根据勾股定理求出，即可求出，进而求得周长和面积．
【详解】解：如图：连接，延长交于D，
∵正外接圆是，
∴，
∴边心距，
由勾股定理得：，
∴三角形边长为，，
∴的周长是；
的面积是．
【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的外接圆、三角形的面积等知识点，正确作辅助线后求出的长是解题的关键．
41．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，正六边形内接于，边长为2．
(1)求的直径的长；
(2)求的度数．
【答案】(1)
(2)
【知识点】圆周角定理、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理：
（1）连接，求出的度数，得到是等边三角形，得到，即可得出结果；
（2）根据圆周角定理，即可得出结果．
【详解】（1）解：连接．
∵正六边形内接于，
∴，
又，
∴是等边三角形．
∴．
∴．
（2）解：∵，
∴．
42．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段检测）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为，如图，若的半径为1．（在求圆内接正多边形面积时，通过分割成三角形，利用特殊角解决）
(1)求圆内接正六边形面积．
(2)圆内接正八边形的面积为_____．
(3)运用“割圆术”，用圆内接正十二边形近似估计的面积，可得圆内接正十二边形面积是_____，可得的估计值为_____．
【答案】(1)
(2)
(3)3；3
【知识点】等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、正多边形和圆的综合、用勾股定理解三角形
【分析】（1）设正多边形相邻两个顶点为，连接，过点O作于点C；求出的面积即可求解；
（2）设正多边形相邻两个顶点为，连接，过点B作于点C；求出的面积即可求解；
（3）设正多边形相邻两个顶点为，连接，过点O作于点C；求出的面积即可求解．
【详解】（1）解：如图，设正多边形相邻两个顶点为，连接，过点O作于点C；
由题意知，，
∴是等边三角形，
∴，；
由勾股定理得，
∴，
∴正六边形的面积为；
（2）解：如图，设正多边形相邻两个顶点为，连接，过点B作于点C；
由题意知，，
∴，
∴；
由勾股定理得，
∴，
∴，
∴圆内接正八边形的面积为；
故答案为：；
（3）解：如图，设正多边形相邻两个顶点为，连接，过点B作于点C；
由题意知，，
∴，
∴，
∴圆内接正十二边形的面积为；
圆的面积为，则；
故答案为：3；3．
【考点5】正多边形综合与尺规作图（第43-50题）
· 正六边等分圆周
· 无刻度直尺利用对称性
· 阅读题提取新定义信息
43．作直径．
以点为圆心，为半径作圆弧，与交于点，．
连接，，．
(1)是正三角形吗？请说明理由．
(2)从点开始，以的长为边长，在上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正边形，求的值．
【答案】(1)
是正三角形．
理由如下：如图，连接，NF，
由题意可得，
是等边三角形，
同理可得
是正三角形．
(2)15
【知识点】等边三角形的判定和性质、圆周角定理、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，等边三角形的判定与性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角定理是解本题的关键．
（1）连接，NF，可得，得到，，即可得证；
（2）连接OD，得到，再根据求出，计算即可得解；
【详解】（1）略
（2）如图，连接，
，
，
，
，
的值是15．
44．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）平面内一个正n边形，将平面内与正n边形的各顶点距离都小于等于边长的所有点组成的图形称为这个正n边形的“伴侣形”．将正n边形内与其各顶点距离都大于等于边长的所有点组成的图形称为这个正n边形的“远伴侣形”．
【观察】如图1，边长为1的等边，分别以A、B、C为圆心，长为半径画圆弧，则三条弧，，及其内部所组成的图形上的点到各顶点距离都小于等于1，我们把这个图形称为正的“伴侣形”．
【判断】
(1)______（填“是”或“不是”）所有的正多边形都有“伴侣形”，______（填“是”或“不是”）所有的正多边形都有“远伴侣形”；
【操作】
(2)如图2，边长为1的正方形，请作出正方形的“伴侣形”（将此“伴侣形”打上阴影），求此正方形的“伴侣形”的周长；
【探究】
(3)结合图3分析，若正n边形的边长为1，则当时，其“远伴侣形”的周长为______，则当时，“远伴侣形”的周长为______；
【归纳】
(4)边长为1的正n边形（），其“远伴侣形”的周长为______．
【答案】(1)不是；不是
(2)
正方形的“伴侣形”即为所求：
(3)，
(4)
【知识点】等边三角形的判定和性质、正多边形的内角问题、正多边形和圆的综合、求弧长
【分析】（1）根据定义判断正多边形的中心点到顶点的距离即可得到结论；
（2）利用定义即可画出正方形的“伴侣形”， 连接、和，根据定义有为等边三角形，得，求得，结合弧长公式即可求得答案；
（3）当，连接、、和，由题意得，则和为等边三角形，得，由和的度数，即可求得的长度，则有“远伴侣形”的周长；当时，“远伴侣形”的周长同理即可求得；
（4）结合前面的求解过程先求一段弧长对应的角度，再求其弧长即可解得“远伴侣形”的周长．
【详解】（1）解：不是所有的正多边形都有“伴侣形”，当时，“伴侣形”为一个点，当时没有“伴侣形”，即当正多边形的中心到顶点的距离大于边长便没有“伴侣形”；
不是所有的正多边形都有“远伴侣形”，当时没有“远伴侣形”，即当正多边形的中心到顶点的距离小于边长便没有“伴侣形”；
（2）设“伴侣形”的两个顶点为E、F，连接、和，如图，
由题意得，则为等边三角形，得，
∴，同理，
∴，
则，
故正方形的“伴侣形”的周长，
（3）
连接、、和，如图，
由题意得，则和为等边三角形，得，
∵，
∴
则，
故当时，其“远伴侣形”的周长为，
当时，“远伴侣形”的周长为，
（4）．
【点睛】本题主要考查新定义下的正多边形中心点到顶点的距离、正多边形一边对应新定义下所围成的角度和弧长公式，解题的关键是要理解并画出“伴侣形”和“远伴侣形”，再结合角度和弧长公式．
45．（2025·陕西·模拟预测）补全下面的步骤并依照下面的步骤制作八角星．
步骤1：任意画一个圆；
步骤2：以圆心为顶点，连续画 度的角，与圆相交于 个点；
步骤3：连接每隔一个点的两个点；
步骤4：擦去多余的线，就得到八角星，再把它剪下来．
请你仿照上面的方法，利用圆规、量角器、直尺画出图形．（要求：保留画图痕迹，不写画图过程）
【答案】45；8，
画出图形如图所示：
【知识点】尺规作图——正多边形、求正多边形的中心角
【分析】本题主要考查了中心角，圆和正多边形，尺规作图，
先求出中心角，并作出8个点，再隔一个点依次连接，可得答案.
【详解】解：步骤1：任意画一个圆；
步骤2：以圆心为顶点，连续画的角，与圆相交于8个点；
步骤3：连接每隔一个点的两个点；
步骤4：擦去多余的线，就得到八角星，再把它剪下来．
答案为：45；8．
46．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，已知，请用尺规作图法作圆的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】
六边形即为所求．
【知识点】正多边形和圆的综合
【分析】本题考查作图—复杂作图、正多边形和圆，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．任意作一条直径，以点A为圆心，的长为半径画弧，分别交于点B，F，再分别以点B，F为圆心，的长为半径画弧，分别交于点C，E，顺次连接，，，，，，即可得六边形．
【详解】略
47．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）根据以下素材，回答问题：
素材1：在魏晋时期，数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割圆术，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的周长与面积无限接近圆的周长与面积，进而求得较为精确的圆周率．刘徽形容“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．”
素材2：“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和即有，其中a，b，c，d为正整数，则是x的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为；由于，可得，之后可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数．
(1)任务1：①如图①，已知圆的内接正六边形可分为六个全等的等边三角形，每个三角形的边长均为圆的半径若将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，则可得的估计值为 ．
②如图②，已知圆的内接正十二边形可分为十二个全等的等腰三角形，且等腰三角形的顶角为若将圆内接正十二边形的面积等同于圆的面积，则可得的估计值为 ．
(2)任务2：约公元前240年，阿基米德算得，已知，请在此基础上使用两次“调日法”得到的更为精确的近似分数．
【答案】(1)3；3
(2)3.1412
【知识点】 圆的面积、正多边形和圆的综合、 圆的周长、无理数的大小估算
【分析】本题主要考查了正多边形和圆，圆周长和面积，无理数的估算，
对于（1），根据圆的周长公式计算，再根据圆的面积公式可得估计值；
对于（2），根据“调日法”的理解，两次使用即可得出近似值.
【详解】（1）解：①根据题意可知，
解得；
故答案为：3；
②如图，过点B作，交于点C，
∵，
∴，
∴.
∵正十二边形的面积等同于圆的面积，
∴，
解得.
故答案为：3；
（2）解：∵，即，
利用一次“调日法”可得的精确的近似分数为；
由于，得，
再利用一次“调日法”可得的精确的近似分数为.
48．（24-25七年级上·广东深圳·期末）金字塔是一种古老的建筑结构．它的底面是一个正多边形（如正三角形、正方形、正五边形等），侧面是由多个形状和大小一样的三角形构成，这些三角形的底边是底面多边形的边，顶点汇聚于一个共同的点，称为金字塔的顶点．
【提出问题】如何利用一张正多边形硬纸片制成一个无底的金字塔模型？
【理解问题】在正多边形中，到各顶点距离相等的点是正多边形的中心．将正多边形相邻的两个顶点与中心相连，所得的三角形面积均相等．
【探究问题】
（1）如图，点O是正n边形硬纸片的中心，将其沿虚线剪开，分割成的多个四边形形状和大小也一样．将分割成的三角形拼接成一个无底的金字塔模型，此时正n边形的中心变为了金字塔的顶点．
已知正三角形、正方形、正五边形硬纸片的面积均为180，几种简单情形的数据如下：
【归纳总结】（2）如图4，按照以上方式，则的度数为 °（用含有n的代数式表示），金字塔模型中每个侧面的面积为 （用含有S与n的代数式表示）．
【应用结论】（3）按照上述方式，若想剪拼出每个侧面的面积均为的无底金字塔模型，需要用面积多大的正八边形硬纸片？
【答案】（1）120；90；12；（2），；（3）1200
【知识点】正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了正多边形的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．
（1）由题意可得出答案；
（2）由正多边形的性质可得出答案；
（3）由（2）中的结论可得出答案．
【详解】解：（1）由图1可知，；
由图2可知，，
由图3可知，金字塔模型中每个侧面的面积为；
故答案为：；
（2）∵分割成的多个三角形形状和大小一样，
∴的度数为；
∵正n边形硬纸片的面积为S，
∴金字塔模型中每个侧面的面积为.
故答案为：，；
（3）根据题意可得，
∵，
所以，，
所以．
49．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径，老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如图所示：
(1)通过计算（结果保留根号与）．
（Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为______；
（Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为______；
（Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为______．
(2)其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径．
【答案】(1)
(2)
【知识点】正多边形和圆的综合、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了正多边形与圆、勾股定理，解题的关键是理解三个正方形摆放．
（1）（Ⅰ）连接正方形的对角线，利用勾股定理求出的长即可；
（Ⅱ）利用勾股定理求出小正方形对角线的长即可；
（Ⅲ）找出过三点的圆的圆心及半径，利用勾股定理求解即可；
（2）连接，延长交于点P，则，P为中点，设，则，再根据勾股定理解答即可．
【详解】（1）解：（Ⅰ）如下图，连接，
，
（），
图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为；
（Ⅱ）如下图，
三个正方形的边长均为4，
三点在以O为圆心，以为半径的圆上，
（），
图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为；
（Ⅲ）如下图所示，
，
是过三点的圆的直径，
，
为圆心，
的半径为，
（），
图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为；
（2）如下图，为盖住三个正方形时直径最小的放置方法，连接，延长交于点P，则，P为中点，
设，则，
则有：，
解得：，
则，
圆形硬纸板的直径是．
50．（2024·辽宁鞍山·三模）【发现问题】
蜂巢的结构非常精美，每个巢室都是由多个正六边形组成（如图1），某数学兴趣小组的同学用若干个形状，大小均相同的正六边形模具，模仿蜂巢结构拼成如图2所示的若干个图案，同学们发现：在每个拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数随着第一层（最下面一层）正六边形模具个数的变化而变化．
【提出问题】
在拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数y与第一层正六边形模具的个数x之间有怎样的函数关系?
【分析问题】
同学们结合实际操作和计算得到如下表所示的数据
然后在平面直角坐标系中描出上面表格中各对数值所对应的点得到图3，同学们根据图3中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分．
为了验证猜想，同学们从“形”的角度出发，借助“割补”的方法，把某一拼接图案中上半部分的正六边形模具（虚线部分）移到下面（如图4），并把第一层缺少的正六边形模具（阴影部分）补全，再拼接到一起（如图5），使每一层正六边形模具的数量相同，借此图求出正六边形模具的总个数，再减去用于补全图形的正六边形模具的个数，即可求出y与x之间的关系式．
【解决问题】
(1)直接写出y与x的关系式；
(2)若同学按图2的方式拼接图案，共用了169个正六边形模具，求拼接成的图案中第一层正六边形模具的个数；
(3)如图6，作正六边形模具的外接圆，圆心为O，A，B为正六边形模具相邻的两个顶点，的长为，现有一张长100cm，宽80cm的长方形桌子，若按图2的拼接方式拼接图案（模具间的接缝忽略不计），最多可以放下多少个正六边形模具?（）
【答案】(1)
(2)8个
(3)469个
【知识点】正多边形和圆的综合、图形问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式
【分析】本题主要考查求二次函数式，二次函数的应用以及正多边形和圆：
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）将代入求解即可；
（3）设正六边形其它顶点分别为，连接，，求出，，设第一层有x个正六边形模具，求出拼接图案的最大宽度为，最大高度为，分拼接图案的高与长方形桌子的长平行和拼接图案的高与长方形桌子的宽平行两种情况求出x的值，代入函数关系式求出y的值即可求解
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
将点代入关系式，得：
解得，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：由（2）知，，
将代入，得，
解得，，（不合题意，舍去）
所以，他拼接成的图案中第一层有8个六边形模具；
（3）解：如图，设正六边形其它顶点分别为，连接，，
由正六边形及其外接圆的性质得，为的直径，，线段的长即为边，间的距离，
∴，
∴
∵的长为，
∵的周长为，
∴的直径，即，
∴，
设第一层有x个正六边形模具，
∴第x层的正六边形模具个数最多，有个，拼接成的图案共有层，其中有x层的高度按的直径计算，层的高度按正六边形的边长计算，
所以，拼接图案的最大宽度为，最大高度为，
①当拼接图案的高与长方形桌子的长平行时，有，
解得，，
∵x为整数，
∴x最大取12；
②当拼接图案的高与长方形桌子的宽平行时，有，
解得，，
∵x为整数，
∴x最大取13；
将代入，得，；
将代入得，，
∵，
∴最多可以放下469个正六边形模具
💯 课后巩固
复习建议
· 内心记住角度公式
· 内切圆半径两法
· 中心角公式
· 正六边形特例
· 作图留痕迹
【作业1】．（22-23八年级下·广东潮州·期中）下面命题中，真命题是（ ）
A．等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形
B．三角形的内心是三角形三条中线的交点
C．有两边一角对应相等的三角形一定全等
D．等腰三角形的周长为l，腰长为x，则
【答案】D
【知识点】判断命题真假、确定第三边的取值范围、三角形内心有关应用、轴对称图形的识别
【分析】根据中心对称图形、三角形的内心、等腰三角形的性质和全等三角形的判定判断即可．
【详解】解：A、等边三角形既是轴对称图形，但不是中心对称图形，原命题是假命题；
B、三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，原命题是假命题；
C、有两边及其夹角对应相等的三角形一定全等，原命题是假命题；
D、等腰三角形的周长为，腰长为，则，是真命题；
故选：D．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
【作业2】．（2024·上海·模拟预测）下列关于正多边形说法正确的数量为（ ）
（1）正多边形一定是轴对称图形
（2）正多边形一定是中心对称图形
（3）正多边形的中心角与其一个外角的度数相等
（4）正多边形的外角和与其边数成正比
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】多边形内角和与外角和综合、求正多边形的中心角、中心对称图形的识别、轴对称图形的识别
【分析】本题主要考查正多边形、中心对称图形、轴对称图形，根据正多边形的定义及性质、中心对称图形的定义、轴对称图形的定义，即可求得答案．
【详解】（1）说法正确；
（2）正多边形不一定是中心对称图形，例如正五边形不是中心对称图形，说法错误；
（3）正边形的中心角与其一个外角的度数均为，说法正确；
（4）正多边形的外角和为，与其边数不成正比，说法错误；
说法正确的为（1）（3）．
故选：B．
【作业3】．（23-24九年级上·山东济南·阶段检测）如图，在中，，点是它的内心，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理的应用、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内心有关应用
【分析】本题考查求角度，涉及三角形内心定义、角平分线性质和三角形内角和定理等，由内心定义得到平分、平分，再由角平分线性质及三角形内角和定理求解即可得到答案，熟练掌握三角形内心定义是解决问题的关键．
【详解】解：点是的内心，
平分、平分，
，，
在中，，则，
在中，，则，
故选：B．
【作业4】．（25-26九年级上·全国·周测）如图，正六边形内接于，过点A的切线与过点E的切线之间所夹锐角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】切线的性质定理、正多边形和圆的综合
【分析】本题主要考查了正多边形与圆以及切线的性质定理，关键是根据正多边形的性质得出的度数．
根据正多边形的性质可得出，进而利用切线的性质可得出，再利用四边形内角和为即可求出的度数．
【详解】解：如图，连接
正六边形内接于，
．
是的切线，
，
．
故选：B．
【作业5】．（2024·宁夏银川·二模）如图，正五边形内接于，P为劣弧上的动点，则的度数为__________°．
【答案】144
【知识点】已知圆内接四边形求角度、圆周角定理、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了正多边形和圆，圆内接四边形的性质，圆周角定理，作出圆中常用辅助线是解题的关键．连接，正多边形的性质得的度数，由圆周角定理得的度数，再圆内接四边形的性质即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵五边形是正五边形，
∴，
∵，
∴，
∵正五边形的外接圆为，
∴四边形是内接四边形，
∴，
∴；
故答案为：．
【作业6】．（25-26九年级上·四川广安·期末）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
【知识点】已知正多边形的中心角求边数
【分析】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算，正多边形的所有中心角之和为，且每个中心角相等，因此边数n可由公式“中心角”计算得出．
【详解】解：∵正多边形的中心角和为，中心角为，
∴，
∴这个正多边形的边数为5．
故选：D．
【作业7】．（24-25九年级下·山东德州·开学考试）如图，正五边形内接于，则的度数为________．
【答案】
【知识点】正多边形的内角问题、等边对等角、正多边形和圆的综合
【分析】根据正多边形内角公式求出，根据三角形内角和及等边对等角得到，即可求出的度数．
【详解】解：∵正五边形内接于，
∴，，
∴，
∴．
【作业8】．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，点O为正五边形的中心，连接，，则的度数为__________．
【答案】/72度
【知识点】求正多边形的中心角
【分析】本题考查正多边形的中心角，根据正n边形的中心角为进行求解即可．
【详解】解：∵点O为正五边形的中心，
∴．
故答案为：
【作业9】．（23-24九年级上·全国·单元测试）要使正六边形旋转后能与自身重合，至少应将它绕中心逆时针方向旋转___________．
【答案】60
【知识点】正多边形和圆的综合、求旋转对称图形的旋转角度
【分析】本题主要考查了正六边形与圆．根据正六边形的性质可得相邻的对应点与中心连线的夹角，即可求解．
【详解】解：根据正六边形的性质得，相邻的对应点与中心连线的夹角为：，即至少应将它绕中心逆时针方向旋转．
故答案为：60
【作业10】．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）一个正多边形的中心角为，那么这个正多边形的边数是_______
【答案】4
【知识点】已知正多边形的中心角求边数
【分析】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．
根据正n边形的中心角的度数为进行计算即可得到答案．
【详解】解：根据正n边形的中心角的度数为，
则，
故这个正多边形的边数为4，
故答案为：4．
【作业11】．（25-26九年级上·陕西安康·期末）如图，是“雪花”图案（正六边形）的外接圆，则正六边形中心角的度数为______．
【答案】
【知识点】正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了正多边形和圆，用计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【作业12】．（23-24九年级上·山东烟台·期末）半径为1的圆内接正六角形的边心距为______．
【答案】/
【知识点】求正多边形的中心角、利用垂径定理求值、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形
【分析】连接、，作，根据圆内接正六边形的性质得到是等边三角形，利用垂径定理及勾股定理即可求出边心距．
【详解】解：如图，连接、，作，
∵六边形是圆内接正六边形，
∴
又∵
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查圆内接正六边形的性质，垂径定理，勾股定理．解题中熟记正六边形的性质得到是解题的关键，由此即可证得是等边三角形，利用勾股定理解决问题．
【作业13】．（24-25九年级上·山西大同·期末）阅读与思考
下面是小宇同学的一篇数学日记（节选），请仔细阅读并完成相应的任务
探究三角形的特殊点
通过学习我知道了三角形有重心、外心、内心三个特殊点．通过百度搜索，我发现三角形还有很多特殊点，如垂心、旁心、费马点等．下面是我对三角形垂心的学习收获．
定义：三角形的垂心是指三角形的三条高或其延长线的交点．
性质：三角形的垂心关于三边的对称点，均在三角形的外接圆上．
如图，已知是锐角三角形，是其外接圆，点是的垂心，分别连接并延长，交于点．
求证：点分别是点关于边的对称点．
证明：如图，连接．
∵点是的垂心，
∴，，
∴，，
∴，
又（依据），
∴，
∴直线和关于对称．
∴点和点关于对称．
任务：
(1)上面日记中“依据”指的是 ；
(2)下列说法正确的是 ；
A．锐角三角形的垂心在三角形外 B．直角三角形的垂心在直角顶点处
C．钝角三角形的垂心在三角形内 D．等腰三角形的内心和外心重合
(3)请仿照小宇的思路证明点和点关于对称．
【答案】(1)同弧或等弧所对的圆周角相等
(2)B
(3)
证明：如图所示，连接，设于交于点，
∵点是的垂心，
∴，，
∴，，
∴，
又（同弧或等弧所对圆周角相等），
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴点与点是对应点，
∴直线和关于对称．
∴点和点关于对称．
【知识点】垂心、根据成轴对称图形的特征进行求解、三角形内切圆与外接圆综合、同弧或等弧所对的圆周角相等
【分析】本题主要考查三角形与圆的综合，掌握垂心，内心，外心的定义，同弧或等弧所对圆周角相等是解题的关键．
（1）根据图示可得与所对的弧均是，由此即可求解；
（2）根据垂心的定义，内心的定义，外心的定义进行判定即可求解；
（3）根据材料提示方法证明即可．
【详解】（1）解：根据图示可得，与所对的弧均是，
∴依据是：同弧或等弧所对的圆周角相等；
（2）解：根据图示可得，
A、锐角三角形的垂心在三角形内部，故原选项错误，不符合题意；
B、直角三角形的垂心在直角顶点处，正确，符合题意；
C、钝角三角形的垂心在三角形外，故原选项错误，不符合题意；
D、等腰三角形的内心是角平分线的交点，等腰三角形的外心是三边垂直平分线的交点，不一定重合，故原选项错误，不符合题意；
故选：B；
（3）略
【作业14】．（23-24九年级上·甘肃平凉·阶段检测）如图，是一块三角形的纸板，要从这块纸板上裁下一块圆形的用料，并使圆形用料的面积最大，请你确定此圆的圆心，并画出该圆．（尺规作图，保留痕迹，不写作法和证明．）
【答案】
如图所示即为所求作：
【知识点】作垂线(尺规作图)、作角平分线(尺规作图)、三角形内心有关应用
【分析】本题考查了尺规作图，作圆内接三角形，作角平分线．要使用料的面积最大，所以要与三个边相切即可，分别作三角形任意两个内角的角平分线交于一点，即，点即为所要求圆的圆心．
【详解】解：分别作三角形任意两个内角的角平分线交于一点，即，点即为所要求圆的圆心，作于点，以为圆心，为半径作．
与三角形三边都相切时圆的半径最大，故此时圆的面积最大．
【作业15】．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期末）如图1，正五边形内接于，阅读以下作图过程，并回答下列问题：
作法：如图2．
【答案】
(1)△AMN是正三角形．理由：连接ON，NF，由作法知FN=OF=ON，故△FON为等边三角形，∠NFA=60°，由圆周角定理∠NMA=60°，同理∠ANM=60°，故△AMN为正三角形．
(2)n=15．由∠AOD=144°，∠AON=120°，得∠NOD=24°，360°÷24°=15．
【作业16】．（23-24九年级下·江西九江·期中）如图，正六边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1的正六边形内部作一点，连接，使得．
(2)在图2的正六边形内部作一点，连接，使得．
【答案】(1)
解：如图1，点M为所求作；
(2)
解：如图2，点N即为所求作：
【知识点】求正多边形的中心角、解直角三角形的相关计算、正多边形的内角问题、无刻度直尺作图
【分析】本题考查正六边形的性质、锐角三角函数等知识，掌握正六边形的性质是解答的关键．
（1）连接、，设交点为M，根据正六边形的性质可得，可得点M即为所求；
（2）连接，，设交点为N，可得，，，则，由可得结论．
【详解】（1）略
（2）略
【作业17】．（2026九年级下·浙江·专题练习）在等边中，按如下步骤作图：
①延长；
②以为圆心，以为半径作圆，交于点；
③以为圆心，以为半径作圆，交于点；
④以为圆心，以为半径作圆，交于点；
⑤连接．
(1)求证：．
(2)尺规作图完成正六边形．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】(1)
证明：连接，由作图可知：，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
(2)
作图如下：
【知识点】尺规作图——正多边形、等边三角形的判定和性质、圆的基本概念辨析
【分析】（1）连接，易得，进而得到为等边三角形，得到，再根据平角的定义即可得出结论；
（2）以为圆心，的长为半径画圆交于点，以为圆心，的长为半径画圆，两圆交于点，连接，即可．
【详解】（1）略
（2）略
【作业18】．（23-24九年级下·重庆·期中）已知为直角三角形，，为平面内的一个动点．
(1)如图1，点在内部，将绕点顺时针旋转恰好得到，若、、三点共线且．求的面积；
(2)如图2，将绕点旋转一定角度得到，连接，点为中点，连接．在左侧作直角，，取中点，连接．若，平分．求证：；
(3)如图3，，，且点在右侧，分别作和的角平分线交于点，过点分别作于点，于点，请直接写出线段的最小值．
【答案】(1)9
(2)
取中点R，连接、、，
∵R、F、H分别为、、中点，
∴，，，．
∴，
又∵，
∴，，
∵，R为中点，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
(3)PQ的最小值为
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据旋转的性质求解、圆周角定理、三角形内心有关应用
【分析】（1）根据旋转的性质证明，即可作答；
（2）取中点R，连接、、，根据中位线的性质可得，，，．即有，再证明，即有，可得，即可证明，问题得解；
（3）连接，取中点为N，连接、，根据直角三角形的性质有，即可得P、Q、B在以N为圆心，为半径的圆上，可得，进而有，先得出M为的内心，以及，进而确定点M在点O为圆心，为半径，圆心角为的圆上运动，则有，当O、M、B三点共线时等号成立，此时，，过点B作交的延长线于点T，结合勾股定理，问题随之得解．
【详解】（1）∵将绕点C顺时针旋转恰好得到，
∴，，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴．
（2）略
（3）连接，取中点为N，连接、，
∵为直角三角形，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴P、Q、B在以N为圆心，为半径的圆上，
∴，
∴，
由、分别平分、，知点M为的内心，
∴，
又∵为定长，
∴点M在点O为圆心，为半径，圆心角为的圆上运动，
∴，当O、M、B三点共线时等号成立，
此时，，
∴是等边三角形，即有，
∴，
∴，
过点B作交的延长线于点T，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴PQ的最小值为：．
【点睛】本题是一道三角形的综合题，难度大，主要考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，三角形内心的性质，圆周角定理，三角形中位线的性质以及勾股定理等知识，作出合理的辅助线，构造出全等三角形，确定点M在点O为圆心，为半径，圆心角为的圆上运动，是解答本题的关键．
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第14讲 三角形内切圆、正多边形与圆 培优讲义
2026年人教版九年级数学上册
📌 思维导图
🎯 课程目标
· 掌握三角形内心性质与内切圆半径
· 会求内心相关角度与线段长
· 理解正多边形中心角与边长关系
· 会计算正多边形弧长面积边心距
· 熟练正多边形综合与尺规作图
📚 知识梳理
☆ 1.三角形内心与内切圆
内心=三角角平分线交点，到三边距离相等
∠BOC=90°+∠A
直角三角形内切圆半径 r=
一般三角形 r=（p为半周长）
概念辨析例题：Rt△ABC∠C=90°，a=3,b=4,c=5，求内切圆半径。
答案：r=1。
解析：r===1。
☆ 2.内心与外心综合
外心=三边中垂线交点，到三顶点距离相等
外心 ∠BOC=2∠A
内心外心位置关系随三角形形状变化
等腰三角形内心外心都在对称轴上
概念辨析例题：△ABC中∠A=50°，I为内心，求∠BIC。
答案：115°。
解析：∠BIC=90°+∠A=90°+25°=115°。
☆ 3.正多边形与圆
中心角=
边长 a=2Rsin
边心距 r=Rcos
面积 S=nar=nR2sin
概念辨析例题：正六边形半径R=1，求边长与面积。
答案：边长1，面积。
解析：中心角60°，边长=R=1；S=6××1×=。
☆ 4.正多边形计算与作图
弧长 l=
扇形面积 S==lR
正六边形可由半径直接等分圆周
无刻度直尺作图利用对称性
概念辨析例题：正五边形半径R=5，求中心角度数。
答案：72°。
解析：中心角==72°。
📋 知识总结表
核心概念
公式/性质
注意事项
内心
角平分线交点，到三边等距
在三角形内部
外心
中垂线交点，到三顶点等距
锐角内/直角斜边中点/钝角外
内切圆半径
r=
直角三角形 r=
中心角
n为边数
正六边形
边长=半径
中心角60°
弧长
l=
n为圆心角度数
⚠️ 核心考点
【考点1】三角形内心与内切圆基础（第1-8题）
· 记住∠BIC=90°+∠A
· 直角三角形用r=
· 一般三角形用面积法r=
1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，点恰好与的内心重合，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，点是外任意一点，分别是的切线，是切点．设与交于点．则点是的（ ）
A．内心 B．重心 C．垂心 D．外心
3．（2026·湖北武汉·一模）如图，，，，内切圆半径为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25九年级上·河南安阳·期中）如图，如图，在中，点D是的内心，连接，过点D作分别交于点E，F，若，则的长度为________．
5．（24-25九年级上·广东汕头·阶段检测）若等腰直角三角形的外接圆半径的长为3，则其内切圆半径的长为______．
6．（2025·宁夏·中考真题）如图，⊙是的内切圆，，则_____．
7．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知分别是的外心和内心，，则的大小是__________．
8．（2020年浙江省富阳中学提前招生数学模拟试卷）直角中，，的内切圆半径r．
（1）设直角边，将r表示成x的函数为__________，
（2）r的最大值为__________．
【考点2】三角形内心与内切圆综合（第9-12题）
· 内心外心同在对称轴上
· 坐标法求O1O2距离
· 结合圆周角定理
9．（23-24九年级上·山东烟台·期末）等腰中，，，，点，分别是的内心和外心，则_____．
10．（24-25九年级下·广东广州·阶段检测）如图1，在中，，是的外接圆，点在上且．
(1)求证：；
(2)在图2中，求作的内心（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(3)在（2）的条件下，若，求的长．
11．（24-25九年级上·河南周口·阶段检测）如图，已知，
(1)尺规作图：请在图中作的内切圆，使得与射线相切于点，同时与相切，切点记为．
(2)在的条件下，若，，则所作的的与，所围成图形的面积和周长各是多少？（结果保留和根号）
12．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）如图，在三角形中，O是外心，I是内心．
(1)若，求的度数；求的度数．
(2)求与的关系．
【考点3】正多边形与圆的基本概念（第13-15题）
· 中心角=
· 已知中心角反求边数
· 内接四边形对角互补
13．（23-24九年级上·广东珠海·期末）如图，已知的周长等于，则圆内接正六边形的边长（ ）．
A． B．2 C． D．4
14．（22-23九年级下·安徽安庆·阶段检测）如图，是正五边形外接圆的一条直径，则的度数是（ ）
A．18° B．36° C．54° D．72°
15．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）如图，在中，点为上的点，，若，且是的内接正边形的一边，则的值为_____．
【考点4】正多边形与圆的计算（第16-42题）
· 边长边心距半径构成直角三角形
· 正六边形边长=半径
· 扇形面积与弧长互求
· 阴影面积用割补法
16．（24-25九年级上·江西南昌·期末）我们知道，除三角形外，其他多边形都不具有稳定性．如图，将正五边形的边固定，向右推动该正五边形，使得O为的中点，且点A，B，C，D在以点O为圆心的圆上，过点C作的切线，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
17．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估计圆周率，理论上能把的值计算到任意精度．“割圆术”的第一步是计算圆内接正六边形的面积，若圆的半径为1，则圆内接正六边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
18．（2025·安徽六安·三模）我国古代数学家刘徽在《九章算术》中提出“割圆术”，即用圆内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设的半径为1，若用如图所示的的内接正十二边形的面积来近似估计的面积，则产生的正误差为（ ）
A． B． C． D．
19．（2025·四川南充·二模）在正六边形中，是对角线上一点，．则的面积与的面积的关系为（ ）
A． B． C． D．
20．（23-24九年级下·云南昆明·阶段检测）已知，正六边形内接于，若四边形的面积为，则的半径等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
21．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，分别是直径为的的内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若，给出下面四个结论： ； ； ； ；上述结论中，所有正确结论的序号是 （ ）
A．①② B．①②④ C．①③④ D．②③④
22．（24-25九年级上·甘肃平凉·期末）如图，正六边形内接于，的半径为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
23．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，六边形是的内接正六边形，连接，，，若的面积为6，则正六边形的面积为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
24．（23-24九年级上·北京昌平·期末）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同，天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，作出“雪花”图案（正六边形）的外接圆，已知正六边形的边长是4，则长为______．
25．（23-24九年级上·广西南宁·阶段检测）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形，如图所示，若正六边形半径为5，则这个正六边形的周长是______．
26．（25-26九年级上·北京丰台·期末）如图，内接正五边形的半径为5，则的长为______．
27．（23-24九年级上·北京密云·期末）如图，正六边形内接于，若的半径为4，则正六边形的面积为_______.
28．（23-24九年级上·河南周口·阶段检测）如图，取正六边形的各边中点并依次连接，得到正六边形，再取正六边形的各边中点并依次连接，得到正六边形，则正六边形与正六边形的边长之比为______．
29．（23-24九年级上·山东泰安·期末）如图，正六边形的边长为，以为圆心，得，连接，则图中阴影部分的面积为 _____ ．
30．（24-25九年级下·安徽安庆·阶段检测）如图，已知六边形是的内接正六边形，点是的中点．若的半径为6，则的长为_____．
31．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，正六边形的边长为6，以点为圆心，的长为半径画圆，则正六边形的中心在________（填“内”、“上”或“外”）；若将图中阴影部分剪下来围成圆锥，则圆锥的底面直径为________．
32．（2025九年级下·河北·专题练习）如图，在中心为的正六边形中，点同时、同速从点出发，点沿的延长线向右运动，点沿方向运动，当点运动到点时，两点都停止运动，此时与多边形和的延长线所围成图形的面积记为，若 ，则___________用含的代数式表示）．
33．（23-24九年级下·江苏南京·阶段检测）如图，分别以正六边形的顶点，，为圆心、边长为半径作弧，构成了阴影部分的“三叶草”图案．若该正六边形的边长是2，则“三叶草”的面积是______．
34．（2025·江苏泰州·一模）如图，点是边长为1的正六边形的中心，以为半径的扇形的圆心角，，则阴影部分的面积为_____．
35．（2026·广东广州·三模）如图，正五边形的边长为10，点、在上，则的长是_______．
36．（24-25九年级上·海南·期中）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图5是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）______．（结果保留）
37．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径为6的正六边形的中心为点，顶点在轴上，则顶点的坐标是___________．
38．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段检测）正六边形的边长为8，求这个正六边形的周长和面积．
39．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，六边形是的内接正六边形，连接，．
(1)填空：的度数为_____．
(2)若正六边形的边心距为，求图中阴影部分的周长．
40．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，正外接圆的半径为，求正的边长，边心距，周长和面积．
41．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，正六边形内接于，边长为2．
(1)求的直径的长；
(2)求的度数．
42．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段检测）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为，如图，若的半径为1．（在求圆内接正多边形面积时，通过分割成三角形，利用特殊角解决）
(1)求圆内接正六边形面积．
(2)圆内接正八边形的面积为_____．
(3)运用“割圆术”，用圆内接正十二边形近似估计的面积，可得圆内接正十二边形面积是_____，可得的估计值为_____．
【考点5】正多边形综合与尺规作图（第43-50题）
· 正六边等分圆周
· 无刻度直尺利用对称性
· 阅读题提取新定义信息
43．作直径．
以点为圆心，为半径作圆弧，与交于点，．
连接，，．
(1)是正三角形吗？请说明理由．
(2)从点开始，以的长为边长，在上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正边形，求的值．
44．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）平面内一个正n边形，将平面内与正n边形的各顶点距离都小于等于边长的所有点组成的图形称为这个正n边形的“伴侣形”．将正n边形内与其各顶点距离都大于等于边长的所有点组成的图形称为这个正n边形的“远伴侣形”．
【观察】如图1，边长为1的等边，分别以A、B、C为圆心，长为半径画圆弧，则三条弧，，及其内部所组成的图形上的点到各顶点距离都小于等于1，我们把这个图形称为正的“伴侣形”．
【判断】
(1)______（填“是”或“不是”）所有的正多边形都有“伴侣形”，______（填“是”或“不是”）所有的正多边形都有“远伴侣形”；
【操作】
(2)如图2，边长为1的正方形，请作出正方形的“伴侣形”（将此“伴侣形”打上阴影），求此正方形的“伴侣形”的周长；
【探究】
(3)结合图3分析，若正n边形的边长为1，则当时，其“远伴侣形”的周长为______，则当时，“远伴侣形”的周长为______；
【归纳】
(4)边长为1的正n边形（），其“远伴侣形”的周长为______．
45．（2025·陕西·模拟预测）补全下面的步骤并依照下面的步骤制作八角星．
步骤1：任意画一个圆；
步骤2：以圆心为顶点，连续画 度的角，与圆相交于 个点；
步骤3：连接每隔一个点的两个点；
步骤4：擦去多余的线，就得到八角星，再把它剪下来．
请你仿照上面的方法，利用圆规、量角器、直尺画出图形．（要求：保留画图痕迹，不写画图过程）
46．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，已知，请用尺规作图法作圆的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）．
47．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）根据以下素材，回答问题：
素材1：在魏晋时期，数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割圆术，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的周长与面积无限接近圆的周长与面积，进而求得较为精确的圆周率．刘徽形容“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．”
素材2：“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和即有，其中a，b，c，d为正整数，则是x的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为；由于，可得，之后可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数．
(1)任务1：①如图①，已知圆的内接正六边形可分为六个全等的等边三角形，每个三角形的边长均为圆的半径若将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，则可得的估计值为 ．
②如图②，已知圆的内接正十二边形可分为十二个全等的等腰三角形，且等腰三角形的顶角为若将圆内接正十二边形的面积等同于圆的面积，则可得的估计值为 ．
(2)任务2：约公元前240年，阿基米德算得，已知，请在此基础上使用两次“调日法”得到的更为精确的近似分数．
48．（24-25七年级上·广东深圳·期末）金字塔是一种古老的建筑结构．它的底面是一个正多边形（如正三角形、正方形、正五边形等），侧面是由多个形状和大小一样的三角形构成，这些三角形的底边是底面多边形的边，顶点汇聚于一个共同的点，称为金字塔的顶点．
【提出问题】如何利用一张正多边形硬纸片制成一个无底的金字塔模型？
【理解问题】在正多边形中，到各顶点距离相等的点是正多边形的中心．将正多边形相邻的两个顶点与中心相连，所得的三角形面积均相等．
【探究问题】
（1）如图，点O是正n边形硬纸片的中心，将其沿虚线剪开，分割成的多个四边形形状和大小也一样．将分割成的三角形拼接成一个无底的金字塔模型，此时正n边形的中心变为了金字塔的顶点．
已知正三角形、正方形、正五边形硬纸片的面积均为180，几种简单情形的数据如下：
【归纳总结】（2）如图4，按照以上方式，则的度数为 °（用含有n的代数式表示），金字塔模型中每个侧面的面积为 （用含有S与n的代数式表示）．
【应用结论】（3）按照上述方式，若想剪拼出每个侧面的面积均为的无底金字塔模型，需要用面积多大的正八边形硬纸片？
49．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径，老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如图所示：
(1)通过计算（结果保留根号与）．
（Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为______；
（Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为______；
（Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为______．
(2)其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径．
50．（2024·辽宁鞍山·三模）【发现问题】
蜂巢的结构非常精美，每个巢室都是由多个正六边形组成（如图1），某数学兴趣小组的同学用若干个形状，大小均相同的正六边形模具，模仿蜂巢结构拼成如图2所示的若干个图案，同学们发现：在每个拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数随着第一层（最下面一层）正六边形模具个数的变化而变化．
【提出问题】
在拼接成的图案中，所需正六边形模具的总个数y与第一层正六边形模具的个数x之间有怎样的函数关系?
【分析问题】
同学们结合实际操作和计算得到如下表所示的数据
然后在平面直角坐标系中描出上面表格中各对数值所对应的点得到图3，同学们根据图3中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分．
为了验证猜想，同学们从“形”的角度出发，借助“割补”的方法，把某一拼接图案中上半部分的正六边形模具（虚线部分）移到下面（如图4），并把第一层缺少的正六边形模具（阴影部分）补全，再拼接到一起（如图5），使每一层正六边形模具的数量相同，借此图求出正六边形模具的总个数，再减去用于补全图形的正六边形模具的个数，即可求出y与x之间的关系式．
【解决问题】
(1)直接写出y与x的关系式；
(2)若同学按图2的方式拼接图案，共用了169个正六边形模具，求拼接成的图案中第一层正六边形模具的个数；
(3)如图6，作正六边形模具的外接圆，圆心为O，A，B为正六边形模具相邻的两个顶点，的长为，现有一张长100cm，宽80cm的长方形桌子，若按图2的拼接方式拼接图案（模具间的接缝忽略不计），最多可以放下多少个正六边形模具?（）
💯 课后巩固
复习建议
· 内心记住角度公式
· 内切圆半径两法
· 中心角公式
· 正六边形特例
· 作图留痕迹
【作业1】．（22-23八年级下·广东潮州·期中）下面命题中，真命题是（ ）
A．等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形
B．三角形的内心是三角形三条中线的交点
C．有两边一角对应相等的三角形一定全等
D．等腰三角形的周长为l，腰长为x，则
【作业2】．（2024·上海·模拟预测）下列关于正多边形说法正确的数量为（ ）
（1）正多边形一定是轴对称图形
（2）正多边形一定是中心对称图形
（3）正多边形的中心角与其一个外角的度数相等
（4）正多边形的外角和与其边数成正比
A．1 B．2 C．3 D．4
【作业3】．（23-24九年级上·山东济南·阶段检测）如图，在中，，点是它的内心，则等于（ ）
A． B． C． D．
【作业4】．（25-26九年级上·全国·周测）如图，正六边形内接于，过点A的切线与过点E的切线之间所夹锐角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【作业5】．（2024·宁夏银川·二模）如图，正五边形内接于，P为劣弧上的动点，则的度数为__________°．
【作业6】．（25-26九年级上·四川广安·期末）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【作业7】．（24-25九年级下·山东德州·开学考试）如图，正五边形内接于，则的度数为________．
【作业8】．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，点O为正五边形的中心，连接，，则的度数为__________．
【作业9】．（23-24九年级上·全国·单元测试）要使正六边形旋转后能与自身重合，至少应将它绕中心逆时针方向旋转___________．
【作业10】．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）一个正多边形的中心角为，那么这个正多边形的边数是_______
【作业11】．（25-26九年级上·陕西安康·期末）如图，是“雪花”图案（正六边形）的外接圆，则正六边形中心角的度数为______．
【作业12】．（23-24九年级上·山东烟台·期末）半径为1的圆内接正六角形的边心距为______．
【作业13】．（24-25九年级上·山西大同·期末）阅读与思考
下面是小宇同学的一篇数学日记（节选），请仔细阅读并完成相应的任务
探究三角形的特殊点
通过学习我知道了三角形有重心、外心、内心三个特殊点．通过百度搜索，我发现三角形还有很多特殊点，如垂心、旁心、费马点等．下面是我对三角形垂心的学习收获．
定义：三角形的垂心是指三角形的三条高或其延长线的交点．
性质：三角形的垂心关于三边的对称点，均在三角形的外接圆上．
如图，已知是锐角三角形，是其外接圆，点是的垂心，分别连接并延长，交于点．
求证：点分别是点关于边的对称点．
证明：如图，连接．
∵点是的垂心，
∴，，
∴，，
∴，
又（依据），
∴，
∴直线和关于对称．
∴点和点关于对称．
任务：
(1)上面日记中“依据”指的是 ；
(2)下列说法正确的是 ；
A．锐角三角形的垂心在三角形外 B．直角三角形的垂心在直角顶点处
C．钝角三角形的垂心在三角形内 D．等腰三角形的内心和外心重合
(3)请仿照小宇的思路证明点和点关于对称．
【作业14】．（23-24九年级上·甘肃平凉·阶段检测）如图，是一块三角形的纸板，要从这块纸板上裁下一块圆形的用料，并使圆形用料的面积最大，请你确定此圆的圆心，并画出该圆．（尺规作图，保留痕迹，不写作法和证明．）
【作业15】．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期末）如图1，正五边形内接于，阅读以下作图过程，并回答下列问题：
作法：如图2．
【作业16】．（23-24九年级下·江西九江·期中）如图，正六边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1的正六边形内部作一点，连接，使得．
(2)在图2的正六边形内部作一点，连接，使得．
【作业17】．（2026九年级下·浙江·专题练习）在等边中，按如下步骤作图：
①延长；
②以为圆心，以为半径作圆，交于点；
③以为圆心，以为半径作圆，交于点；
④以为圆心，以为半径作圆，交于点；
⑤连接．
(1)求证：．
(2)尺规作图完成正六边形．（不写作法，保留作图痕迹）
【作业18】．（23-24九年级下·重庆·期中）已知为直角三角形，，为平面内的一个动点．
(1)如图1，点在内部，将绕点顺时针旋转恰好得到，若、、三点共线且．求的面积；
(2)如图2，将绕点旋转一定角度得到，连接，点为中点，连接．在左侧作直角，，取中点，连接．若，平分．求证：；
(3)如图3，，，且点在右侧，分别作和的角平分线交于点，过点分别作于点，于点，请直接写出线段的最小值．
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