精品解析：河北廊坊市香河县第三中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题

高二数学9月月考试卷 一、单选题（每题5分，共45分） 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是（    ） A. B. C. D. 2. 空间向量（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 4. 在正方体中，与向量相反的向量是（    ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，则向量 在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 长方体，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 9. 在中，若，，则是（ ） A. 顶角为锐角的等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 顶角为钝角的等腰三角形 二、多选题（每题6分，共18分） 10. 下列说法正确的是（ ） A. 空间向量与的长度相等 B. 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 C. 若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆 D. 空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底 11. 已知四边形的顶点分别是，，，，那么以下说话中正确的是（ ） A. B. C. 的中点坐标为 D. 四边形是一个梯形 12. 已知在空间直角坐标系中，O为坐标原点，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则P，A，B，C四点共面 三、填空题（每题5分，共20分） 13. 已知，(2，1，1)，则________． 14. 已知向量，若，则的值为 ____． 15. 在空间直角坐标系中，向量，是平面的一个法向量，若平面，则______． 16. 已知空间四边形（见图），其各边及其对角线的长都是6，，，，则_____. 四、解答题（共37分） 17. 已知向量，，，且． （1）求实数的值； （2）若，求实数的值． 18. 如图，在直三棱柱中，线段，，的中点分别为，，.已知，，. （1）证明：； （2）求. 19. 如图所示，正四棱的底面边长1，侧棱长4，中点为，中点为．求证：平面平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学9月月考试卷 一、单选题（每题5分，共45分） 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系中点关于x轴对称的坐标变换规则求解对称点坐标，对应选项即可. 【详解】对于任意点，其关于轴对称的点的坐标满足横坐标不变，纵坐标、竖坐标均取原坐标的相反数，即对称点坐标为. 将已知点代入上述规律： 横坐标保持不变，纵坐标变为，竖坐标变为，因此所求对称点坐标为. 2. 空间向量（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的加减法则即可求解. 【详解】 故选：D 3. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据共线向量基本定理确定与的关系，再分别求出和，进而求解. 【详解】解：若，则， 因为已知向量，，所以，解得， 所以. 故选：. 4. 在正方体中，与向量相反的向量是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反向量的定义，结合正方体结构特征，通过空间直角坐标系计算各向量坐标即可判断结果. 【详解】设正方体棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 可得，其相反向量为,对各选项逐一计算： 选项A：，与互为相反向量，符合要求； 选项B：，与是相等向量，不符合要求； 选项C：，不符合要求； 选项D：，不符合要求. 5. 已知向量，，则向量 在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得. 【详解】向量，， 则，， 所以向量 在向量上的投影向量为. 故选：C. 6. 若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】空间的基向量必定不共面，即不能互相表出，而判断选项中的三个向量是否共面，只需判断能否找到唯一的实数，使其中一个向量能用另外两个向量线性表出即可. 【详解】因构成空间的一个基底，故不共面， 对于A项，若共面，则必存在唯一的，满足， 即，显然此方程组无解，即不共面，故A项错误； 对于B项，若共面，则必存在唯一的，满足， 即，显然此方程组无解，即不共面，故B项错误； 对于C项，因，故共面，即C项正确； 对于D项，若共面，则必存在唯一的，满足， 即，显然此方程组无解，即不共面，故D项错误. 故选：C. 7. 如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合几何图形，利用向量的线性运算公式，即可求解. 【详解】， ， . 故选：A 8. 长方体，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出异面直线与所成角的余弦值. 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 可得，， 设异面直线与所成角为， 则. 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 9. 在中，若，，则是（ ） A. 顶角为锐角的等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 顶角为钝角的等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标运算计算的坐标，由模长公式分别计算，，的值，可得，再计算可判断为锐角，进而可得正确答案. 【详解】， ，，， 所以， 因为，， 因为， 所以为锐角， 所以是顶角为锐角的等腰三角形， 故选：A. 二、多选题（每题6分，共18分） 10. 下列说法正确的是（ ） A. 空间向量与的长度相等 B. 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 C. 若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆 D. 空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底 【答案】AB 【解析】 【分析】利用空间向量的有关概念逐项判断. 【详解】对于A，向量与是相反向量由相反向量的定义知，向量与的长度相等，故A正确； 对于B，平行于平面m的向量，均可平移至一个平行于m的平面，故它们为共面向量，故B正确； 对于C，若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个球面，故C错误； 对于D，空间任意三个不共面的非零向量都可以构成空间的一个基底，故D错误. 故选：AB. 11. 已知四边形的顶点分别是，，，，那么以下说话中正确的是（ ） A. B. C. 的中点坐标为 D. 四边形是一个梯形 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算判断A，B，C，通过判断，的关系，判断四边形的形状，由此判断D. 【详解】设点为坐标原点，因为，，，， 所以，，，， 所以，A正确； 所以，B错误； 设的中点为点，则， 所以点的坐标为，C错误； 因为，，所以，所以，，所以四边形是一个梯形，D正确； 故选：AD. 12. 已知在空间直角坐标系中，O为坐标原点，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则P，A，B，C四点共面 【答案】BD 【解析】 【分析】由条件求，根据向量的模的个数，数量积运算公式，数量积的性质，向量共面定理依次判断各选项. 【详解】因为， 所以， 所以，A错误； ，B正确； ，所以不垂直，C错误； 因为，所以， 所以， 所以，即， 所以共面， 所以P，A，B，C四点共面，D正确； 故选：BD. 三、填空题（每题5分，共20分） 13. 已知，(2，1，1)，则________． 【答案】 【解析】 【分析】以向量的代数运算律解之即可. 【详解】由，(2，1，1) 可得 故答案为： 14. 已知向量，若，则的值为 ____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题中条件，求出的坐标，再由向量垂直的坐标表示列出方程求解，即可得出结果. 【详解】因为， 所以， 又，所以，解得. 故答案为：2. 15. 在空间直角坐标系中，向量，是平面的一个法向量，若平面，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】由题意得，再根据空间向量平行公式求解即可. 【详解】由题意得，则，得． 故答案为：8 16. 已知空间四边形（见图），其各边及其对角线的长都是6，，，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的线性运算及中点公式，将逐步用基底向量表示，对比系数即可求得的值. 【详解】由可知，为线段的中点， 根据向量的中点公式可得， 又由可知，为线段上靠近点的三等分点， 所以， 将代入的表达式中，得， 因为，根据空间向量基本定理，对应向量的系数相等， 所以． 四、解答题（共37分） 17. 已知向量，，，且． （1）求实数的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）由已知，使得.解方程组，即可得出答案； （2）求出，，根据向量垂直的坐标表示，列出方程，求解即可得出的值． 【小问1详解】 因为，所以，使得， 所以有，解得，所以，. 【小问2详解】 由（1）知，，所以，. 因为，所以， 即，解得. 18. 如图，在直三棱柱中，线段，，的中点分别为，，.已知，，. （1）证明：； （2）求. 【答案】（1）由题意易知，，两两相互垂直，以A为坐标原点，，，分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，. 因为，， 所以，因此. （2） 【解析】 【分析】（1）建系，利用空间向量的坐标运算证明线线垂直； （2）根据空间向量的坐标运算求，进而可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，， 则，， 可得， 所以. 19. 如图所示，正四棱的底面边长1，侧棱长4，中点为，中点为．求证：平面平面. 【答案】 以为原点，，，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图 则，0，，，1，，，0，，，0，，，1，，，1，， ，，同理， 平面，平面，平面， 平面，平面，平面， 又平面 平面与平面平行． 【解析】 【分析】以为原点，，，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证，同理，再结合面面平行判定定理即可证明结论. 【详解】略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $