精品解析：河北唐山市遵化市第一中学2026-2027学年度第一学期高二年级月考1数学学科试题

2026—2027 学年度第一学期 遵化市第一中学高二年级月考 1 数学学科试题 说明：本试题共 3 页，共 23 题，满分 150 分，考试时间为 120 分钟 一、单选题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知直线l倾斜角为，且过点，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用斜率定义及点斜式直线方程即可得到选项. 【详解】由直线l倾斜角为，得直线l的斜率为， 又由直线l过点，则由点斜式直线方程可得：， 故选：C. 2. 若直线与直线互相平行，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先根据两直线平行的系数等价关系列方程求解的值可得. 【详解】因为直线与直线互相平行， 所以，，解得. 因此. 3. 关于空间直角坐标系中的一点，下列说法正确的是（　　） A. 点关于平面对称的点的坐标为 B. 点关于轴对称的点的坐标为 C. 点到平面的距离为 D. 点到轴的距离为 【答案】D 【解析】 【详解】对A，点关于平面对称的点的坐标为，故A错误； 对B，点关于轴对称的点的坐标为，故B错误； 对C，点到平面的距离为，故C错误； 对D，点到轴的距离为，故D正确. 4. 直线关于点对称的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果. 【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为， 则其关于点对称的点的坐标为， 因为点在直线上， 所以即. 故选：D. 5. 若向量 （ 都是不共面的非零向量），则称 在基底 下的坐标为 ，若 在单位正交基底 下的坐标为 ，则 在基底 下的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理，设出向量在新基底下的坐标，通过向量相等时对应基底的系数相等列方程组求解. 【详解】由题意可知，在单位正交基底下的坐标为，因此， 设在基底下的坐标为， 根据向量坐标的定义可得：  ，将上式整理为：  ， 由于是不共面的非零向量，根据空间向量基本定理，向量的分解是唯一的， 因此对应系数相等，得到方程组： ， 解得， 因此在新基底下的坐标为. 6. 已知点是直线 上一点，点是直线 外一点，且，则点到直线的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出直线l上点P的坐标，结合向量的坐标得到Q的坐标，代入点到直线的距离公式，利用P在直线l上的条件化简即可得结果. 【详解】设点，因为在直线上，故满足，即, 由，可得点的坐标为, 则点到直线的距离为 ，因此. 7. 如图，在平行六面体 中，，，点 ， 分别是棱 ， 的中点，则下列说法中错误的是（　　） A. B. 向量，， 共面 C. D. 若，则该平行六面体的高为 【答案】B 【解析】 【分析】选项A，通过向量点积为，证明线线垂直；选项B，用基底表示向量，， ，根据共面向量定理列方程，由基底不共面推出系数矛盾，证明三者不共面；选项C，，经过整理后与选项表达式一致；选项D，利用点到面的距离公式计算平行六面体的高，验证数值正确. 【详解】设，不妨设， 由题意可知. 对于选项A，因为分别是的中点， 所以， 又， 所以， 所以，故A正确； 对于选项B，， 而，， 若向量共面，则存在实数使得， 即，整理得， 因为不共面，所以，矛盾， 所以向量不共面，故B错误； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，设平面的法向量为， 则，取，解得， 所以， 则， 所以该平行六面体的高为，故D正确. 8. 已知直线：.当点到的距离最大时，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出动直线恒过的定点，当直线与该定点和点的连线垂直时，到直线的距离最大，利用两直线垂直的斜率关系求解. 【详解】将直线的方程整理为关于参数的形式： 令，解得，即直线恒过定点， 当直线时，点到直线的距离最大，最大值为， 因为直线的斜率为，直线的斜率为（）， 所以，由两直线垂直的斜率关系得：，化简解得，验证，符合条件. 所以，. 9. 在棱长为1的正方体中，是棱上的一个动点，为线段 上的一个动点，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，通过参数表示动点，的坐标.利用空间两点间距离公式构造二次函数，通过分步求最值的方法得到结果. 【详解】 以为坐标原点，射线，，分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，. 设()， 点在线段上，设()，得. 由距离公式得 . 对关于的二次函数，其对称轴为， 由于，则，在范围内， 故当时，取得最小值. 将代入化简得. 对关于的二次函数，当时取得最小值， 且，此时. 综上，当，时，取得最小值，最小值为. 10. 已知，.若点在线段上，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由直线的两点式方程，得直线的方程为，整理得， 过点作直线的垂线，垂线的斜率为， 则垂线的方程为，即， 联立，解得，得垂足为. 因为，所以垂足在线段的延长线上， 由点在线段上，所以的最小值必定在线段的端点处取得. 又，，， 所以的最小值为5. 11. 已知正方体 的棱长为 1， 为 的中点，点 在平面 内.以 为原点，以 为空间的一个单位正交基底建立空间直角坐标系 ，则点 的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用共面向量定理，将用平面内两个不共线向量线性表示，列方程组求解横坐标即可得到点的坐标. 【详解】根据坐标系的建立规则，可得各点坐标：，为中点，故，， 故，，， 因为在平面内，故四点共面，由共面向量定理，存在实数，使得， 代入向量坐标得：  ， 根据向量相等的坐标对应关系列方程组：，解得， 因此点的坐标为. 12. 已知，点在函数的图象上，则的面积（　　） A. 既有最大值，也有最小值 B. 没有最大值，但有最小值 C. 有最大值，但没有最小值 D. 既没有最大值，也没有最小值 【答案】C 【解析】 【分析】设，由题得到三角形面积公式为，因为，所以. 所以面积有最大值1，无最小值. 【详解】已知，得到直线的方程为， 设，因为， 点C到直线AB的距离为； 三角形面积公式为， 因为 ，所以，所以. 所以面积有最大值1，无最小值. 故选：C. 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分. 13. 下列说法正确的是（　　） A. 若直线与直线平行，则它们之间的距离是 B. “”是“直线 与直线互相垂直”的充分不必要条件 C. 过点 且在 轴， 轴上的截距相等的直线方程为 D. 若两直线，的倾斜角分别为，，斜率分别是，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合直线平行、垂直的判定，平行直线距离公式，截距的概念以及倾斜角与斜率的关系，逐个验证选项即可. 【详解】对于A，若直线与直线平行，则，解得， 代入得两直线为和，距离为，故A错误； 对于B，直线与直线 互相垂直的充要条件为， 解得或，故能推出两直线垂直，充分性成立；两直线垂直推不出，必要性不成立， “”是“直线 与直线 互相垂直”的充分不必要条件，故B正确； 对于C，当截距均为时，此时过的直线为，满足条件； 当截距不为时，设直线方程为，代入点， 得，此时直线， 因此满足条件的直线有两条：和，故C错误； 对于D，取，，满足， 此时，， 即，故D错误. 14. 在空间直角坐标系中，已知向量 （），点 ，点 . （1）若直线 经过点 ，且以 为方向向量， 是直线 上的任意一点且其坐标满足 ，称为直线 的方程； （2）若平面 经过点 ，且以 为法向量， 是平面 内的任意一点且其坐标满足 ，称为平面 的方程.设直线 的方程为 ，平面 的方程为 ，，，下列说法正确的是（　　） A. 平面 的一般式方程为 ，其法向量为 B. ， C. 直线 与平面 所成角的余弦值为 D. 向量 是平面 内的任意一个向量，则存在唯一的有序实数对 ，使得 ，其中 ， 【答案】ABD 【解析】 【分析】A：平面 内所有点的竖坐标恒为 0，平面方程为，对应法向量为；B：将点M坐标分别代入直线对称式方程与平面方程，不满足直线方程、满足平面方程，故，；C：直线与平面所成角的正弦值等于方向向量与法向量夹角余弦的绝对值，再由求解余弦值；D：均与平面法向量垂直且不共线，构成平面内的一组基底，因此平面内任意向量都可由二者唯一线性表示. 【详解】选项A：平面 内所有点的z坐标恒为0，故其一般式方程为，其法向量为，A正确； 选项B：将代入直线的方程，得，，，三者不相等，故； 代入平面的方程，得，满足平面方程，故，B正确； 选项C：直线的方向向量，平面的法向量，得， 设直线与平面所成的角为，则，故，C错误； 选项D：，， 故均与平面的法向量垂直，即二者平行于平面，且不共线，是平面的一组基底， 根据空间向量基本定理，平面内任意向量都存在唯一有序实数对使得，D正确. 15. 已知集合，集合，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线平行和两线交于点时，交集为空集，可得结果． 【详解】解：因为集合，集合，且， 所以直线与直线平行或交于点， 当两线平行时，； 当两线交于点时，，解得． 综上得a等于或2． 故选：AD． 16. 如图，棱长为2的正方体中，分别是棱，棱的中点，动点满足，其中，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则三棱锥的体积为定值 C. 若，则直线与直线所成角的最小值为60° D. 若动点在三棱锥外接球的表面上，则点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法可证明判断A，若，点在直线，可得体积为定值判断B；上求得直线与直线所成角的最小值判断C；确定外接球的球心，进而轨迹的周长判断D. 【详解】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以， 所以，即 ， 所以，又， 所以， 所以，所以，故A正确； 因为，，所以点在直线上， 又因为，，所以四边形是平行四边形， 所心，又平面，平面，所以平面， 所以到平面的距离为定值，又的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故B正确； 点为的中点，坐标为，点的坐标为 ， 向量，向量， 设直线与直线所成的角为， ， 又因为，当 时，， 即直线与直线所成角的最小值为，故C错误； 因为三棱锥即为三棱锥，又底面是直角三角形， 过的中点作平面，是三棱锥外接球的球心， 因为平面，所以，又， 所以三棱锥外接球的半径， 因为点在平面内，又在三棱锥外接球的表面上， 所以 的轨迹是平面截三棱锥外接球的截面圆， 又易得到平面的距离为1，所以截面圆的半径为， 所以 的轨迹的周长为 ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 17. 已知两点所在直线的倾斜角为45°，则m＝________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意利用斜率公式列方程求解即可 【详解】由题意知k＝tan 45°＝1． 由斜率公式得，解得m＝2. 故答案为：2 18. 在棱长为 的正四面体（四个面都是正三角形） 中，， 分别为 ， 的中点，且 在 方向上的投影向量为 ，则 的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义可知 ，选取 为基底，利用向量线性运算及数量积公式求解即可. 【详解】由题意可知， 在 方向上的投影向量为 ， 因为投影向量为 ，所以 ， 设 ，，， 因为四面体 为棱长为 的正四面体， 所以 ，且 ， 因为 为 的中点，所以 ， 则 ， 因为 为 的中点，所以 ， 则 ， 所以 ， 又 ， 所以 . 19. 已知点，点， P为直线上一动点，则 的最小值是____________. 【答案】 【解析】 【分析】、在直线的同侧，可通过对称将距离和转化为(为点关于直线对称的点)，当为与直线的交点时，取得最小值. 【详解】设点关于直线对称的点为，则，解得，即点. 的最小值为. 20. 两条异面直线，所成的角为，在直线，上分别取点、和点、，使得，且.已知，，，则_____. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由两边同时平方计算可得答案． 【详解】如图，两条异面直线，所成的角为， ，，，，， 或，， ， 则 ， 得或（舍去） 故答案为： 四、解答题：本题共 3 小题，共 46 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为. （1）求顶点的坐标； （2）若点为边 上一点，且的面积为 3，求点的坐标； （3）在轴上是否存在一点，使得轴平分，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）， （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）设点，，利用三角形中线与高线的性质列方程组求解即得两点坐标； （2）先求出直线与直线的方程，依题设，求出点到直线的距离，利用三角形面积列方程求出的值即得点的坐标； （3）假设存在点，由题意直线的斜率必满足，代入斜率公式计算求出的值即可判断. 【小问1详解】 设点，则边的中点在直线上， 可得，即① 因点在上的高线上，则② 联立①②，解得，即； 设，因点在上的中线上，则③ 依题意，上的高线的斜率为，则的斜率为④ 联立③④，解得，即； 【小问2详解】 如图，由上分析，，，则直线的方程为，即， 因点为边 上一点，可设，，又， 则，且直线的方程为，即， 点到直线的距离为， 于是的面积为，解得或， 因，则，； 【小问3详解】 假设存在点，使得轴平分，则直线的斜率必满足， 即，解得. 即存在点，使得轴平分. 22. 如图：在四面体中，，，，，，，、、，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，. （1）求； （2）当时， ①用向量表示； ②求的值； （3）在线段上是否存在一点，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）①​​；② （3）存在，，理由如下： 由，所以 ， ， ， 若，则， 得，， ， 又因为，，， 代入上式，，即， 所以，解得. 因此线段上是存在一点，使得，且. 【解析】 【分析】（1）将，再由向量的数量积计算可得； （2）①直接根据向量的线性运算可得；②由①知，再由向量的数量积计算向量的模可得； （3）先用向量表示，得，再结合向量垂直的条件计算可得. 【小问1详解】 因为，所以 ， 因此 【小问2详解】 ①当时，则，所以. 又因为，所以， 所以，  因此， 所以. ②由①知， 所以 ， 因此. 【小问3详解】 略 23. 如图，在空间平移 到 ，连接对应顶点， 为棱 （不包括端点）上一动点，若，，. （1）若，求的长； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）当在棱 （不包括端点）上运动时，求平面与平面的夹角的余弦值的最大值. 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意判断几何体为直三棱柱，根据条件建系，求出相关点的坐标，利用向量垂直的充要条件建立方程求解即得； （2）根据（1）中的坐标系，利用空间向量的夹角公式计算即得； （3）设，分别求出平面与平面的法向量，利用空间向量的夹角公式得到两平面的夹角余弦值的表达式，结合二次函数的性质即可求得其最大值. 【小问1详解】 根据平移的性质，可知几何体为三棱柱，则，因， 可得，因平面，则平面，即为直三棱柱. 取中点，连接，因，，可得等边，则. 故可以点为坐标原点，所在直线为轴，以过点与平行的直线为轴， 如图建立空间直角坐标系. 则， 设，则，，， 因，则，解得，即的长为1； 【小问2详解】 显然，平面的法向量可取为， 因， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面与平面夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为； 【小问3详解】 设，，则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 又因平面的法向量可取为， 设平面 与平面 的夹角为， 则， 因，则当时，取得最小值，此时取得最大值， 即平面与平面的夹角的余弦值的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027 学年度第一学期 遵化市第一中学高二年级月考 1 数学学科试题 说明：本试题共 3 页，共 23 题，满分 150 分，考试时间为 120 分钟 一、单选题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知直线l倾斜角为，且过点，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 若直线与直线互相平行，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 关于空间直角坐标系中的一点，下列说法正确的是（　　） A. 点关于平面对称的点的坐标为 B. 点关于轴对称的点的坐标为 C. 点到平面的距离为 D. 点到轴的距离为 4. 直线关于点对称的直线方程是（ ） A. B. C. D. 5. 若向量 （ 都是不共面的非零向量），则称 在基底 下的坐标为 ，若 在单位正交基底 下的坐标为 ，则 在基底 下的坐标为（　　） A. B. C. D. 6. 已知点是直线 上一点，点是直线 外一点，且，则点到直线的距离为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在平行六面体 中，，，点 ， 分别是棱 ， 的中点，则下列说法中错误的是（　　） A. B. 向量，， 共面 C. D. 若，则该平行六面体的高为 8. 已知直线：.当点到的距离最大时，（ ） A. B. C. D. 9. 在棱长为1的正方体中，是棱上的一个动点，为线段 上的一个动点，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 10. 已知，.若点在线段上，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 11. 已知正方体 的棱长为 1， 为 的中点，点 在平面 内.以 为原点，以 为空间的一个单位正交基底建立空间直角坐标系 ，则点 的坐标为（　　） A. B. C. D. 12. 已知，点在函数的图象上，则的面积（　　） A. 既有最大值，也有最小值 B. 没有最大值，但有最小值 C. 有最大值，但没有最小值 D. 既没有最大值，也没有最小值 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分. 13. 下列说法正确的是（　　） A. 若直线与直线平行，则它们之间的距离是 B. “”是“直线 与直线互相垂直”的充分不必要条件 C. 过点 且在 轴， 轴上的截距相等的直线方程为 D. 若两直线，的倾斜角分别为，，斜率分别是，，，则 14. 在空间直角坐标系中，已知向量 （），点 ，点 . （1）若直线 经过点 ，且以 为方向向量， 是直线 上的任意一点且其坐标满足 ，称为直线 的方程； （2）若平面 经过点 ，且以 为法向量， 是平面 内的任意一点且其坐标满足 ，称为平面 的方程.设直线 的方程为 ，平面 的方程为 ，，，下列说法正确的是（　　） A. 平面 的一般式方程为 ，其法向量为 B. ， C. 直线 与平面 所成角的余弦值为 D. 向量 是平面 内的任意一个向量，则存在唯一的有序实数对 ，使得 ，其中 ， 15. 已知集合，集合，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 16. 如图，棱长为2的正方体中，分别是棱，棱的中点，动点满足，其中，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则三棱锥的体积为定值 C. 若，则直线与直线所成角的最小值为60° D. 若动点在三棱锥外接球的表面上，则点的轨迹长度为 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 17. 已知两点所在直线的倾斜角为45°，则m＝________． 18. 在棱长为 的正四面体（四个面都是正三角形） 中，， 分别为 ， 的中点，且 在 方向上的投影向量为 ，则 的值为____________． 19. 已知点，点， P为直线上一动点，则 的最小值是____________. 20. 两条异面直线，所成的角为，在直线，上分别取点、和点、，使得，且.已知，，，则_____. 四、解答题：本题共 3 小题，共 46 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为. （1）求顶点的坐标； （2）若点为边 上一点，且的面积为 3，求点的坐标； （3）在轴上是否存在一点，使得轴平分，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 22. 如图：在四面体中，，，，，，，、、，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，. （1）求； （2）当时， ①用向量表示； ②求的值； （3）在线段上是否存在一点，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 23. 如图，在空间平移 到 ，连接对应顶点， 为棱 （不包括端点）上一动点，若，，. （1）若，求的长； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）当在棱 （不包括端点）上运动时，求平面与平面的夹角的余弦值的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $