吉林省通化市梅河口市第五中学2026-2027学年高三上学期10月期中测试数学试题

高三数学期中测试

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数z满足，则

A．0 B．-1 C．i D．-i

2．函数的最小正周期为

A． B． C． D．

3．已知2和8的等比中项为x，则x的值为

A．4 B．-4 C．±4 D．16

4．已知，是模长均为1的平面向量，且，则

A． B． C． D．

5．已知，则

A． B． C． D．

6. 函数在区间上的单调递减区间为（   ）

A.  B.

C.  D.

7. 如图，是一个垂直于水平地面的长方形大门的门框，现测得长为，是立于门前垂直于水平地面的测量标杆，高为，点，，在水平地面上，在标杆顶点处测得点的仰角为，点的仰角为，且测得，则门框的高为（   ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知，，，则（   ）

A.  B.  C.  D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知，，则下列结论正确的是（   ）

A.  B.

C.  D.

10. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，，，以下结论正确的是（   ）

A.  B. 外接圆的半径为

C. 的取值范围为 D. 的取值范围为

11. 定义为，，中的最小值，设，若方程在区间上有8个不同的实数根，则实数的取值范围为下列哪些集合的子集（   ）

A.  B.

C.  D.

三、填空题（本题共3小题，每个小题5分，共15分．）

12. 已知非零向量，满足，则与的夹角等于_________.

13. 已知函数在区间内无零点，则的取值范围是______.

14. 已知函数有两个极值点，，且，则__________.

四、解答题（共5个题，共77分）

15. 已知中角所对的边分别为，满足，且

（1）求的值；

（2）求的最大值.

16. 定义：设某数列的前项和为，若为常数，则称此数列为“吉祥数列”．已知等差数列的首项为1，公差不为0，且数列为“吉祥数列”；非零数列满足，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和．

17. 记的内角的对边分别为，已知，．

（1）求；

（2）若的面积为，求边上的中线长．

18. 已知函数，其中且，曲线经过，两点．

（1）求，的值；

（2）求函数在区间上的值域；

（3）设，若，且，求的取值范围．

19．设函数，其中．已知．

(1)求；

(2)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值．

(3)若存在，使等式成立，求实数的取值范围；