精品解析：吉林省通化市梅河口市第五中学2026-2027学年高三上学期10月期中测试数学试题

高三数学期中测试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，则（ ） A. 0 B. C. i D. 【答案】A 【解析】 【详解】设，则， 所以， 因为都是实数，平方非负，所以只能， 所以. 2. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】函数的最小正周期为． 3. 已知和的等比中项为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】等比中项满足，所以． 4. 已知，是模长均为1的平面向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，即，可得. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，则，解得． 6. 函数在区间上的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，， 令，即，得. 所以在上单调递减. 7. 如图，是一个垂直于水平地面的长方形大门的门框，现测得长为，是立于门前垂直于水平地面的测量标杆，高为，点，，在水平地面上，在标杆顶点处测得点的仰角为，点的仰角为，且测得，则门框的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】如图，过点作于点，作于点，则，. 设，则，，由，得.易得，， 又，， 所以由余弦定理可得，解得（舍去负根）. 所以. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，并利用导数分析函数的单调性比较代数式大小. 【详解】设，， 则恒成立，所以在上单调递增. 所以时，，即. 因为，所以. 设，， 则， 所以在上单调递增. 所以，即， 即. 构造函数，，则. 令，，则. 令，，则， 所以在上单调递减. 所以， 所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增. 所以，即，即. 综上所述，. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，因为，， 所以， 所以，故A正确. 对于B，， 所以，，故B错误. 对于C，， 所以，故C正确. 对于D，由，得， 所以， 所以，故D正确. 10. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，，，以下结论正确的是（ ） A. B. 外接圆的半径为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由结合三角恒等变换和正弦定理求得，求出判断选项A；利用正弦定理求外接圆的半径判断选项B；由正弦定理得，结合角的范围求的取值范围判断C选项；设，，结合正弦定理和三角恒等变换得，由的范围求的取值范围. 【详解】锐角中，，， ，，. 因为，所以， 化简得，所以. 由，得，由正弦定理得， 所以，则，所以. 对于A，，，A错误； 对于B，由正弦定理得（为外接圆的半径），即，解得，B正确； 对于C，因为为锐角三角形，所以， 得，则. 由正弦定理，得， 所以，即的取值范围为，C正确； 对于D，设，，由为锐角三角形，得，则. 由正弦定理得，则，. 所以， 即的取值范围是，D正确. 11. 定义为，，中的最小值，设，若方程在区间上有8个不同的实数根，则实数的取值范围为下列哪些集合的子集（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】结合函数图象可知，方程有4个不同的实数根时的取值范围为，再求出函数在上有2个不同的零点时的条件即可. 【详解】如图，画出在上的图象，观察图象可知，， 令，当时，方程有4个不同的实数根， 方程在上有8个不同的实数根， 所以函数在上有2个不同的零点， 所以解得. 实数的取值范围为，是AC选项中集合的子集. 三、填空题（本题共3小题，每个小题5分，共15分．） 12. 已知非零向量，满足，则与的夹角等于_________. 【答案】 【解析】 【分析】将两边平方化简后可得，于是推出，从而得解． 【详解】解：，，即， 与的夹角为． 故答案为：． 13. 已知函数在区间内无零点，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】把 看作整体，由 的范围写出相位 的范围（开区间）； 在该区间内无零点，等价于相位开区间完整落在相邻两零点 与 之间（端点可以重合），据此建立 的不等式组，再对整数 分类讨论. 【详解】因为 ，，所以 ，且该区间为开区间. 在 内无零点， 等价于开区间 内不含 （），即存在整数 ，使得 且 . 由不等式组解得 . 该不等式组有解，需 ，解得 . 又 ：当 时，； 当 时，，结合 得 （此时相位范围为 ，右端点处的零点取不到，故 满足题意）； 当 时，，与 矛盾. 综上， 的取值范围是 . 14. 已知函数有两个极值点，，且，则__________. 【答案】7 【解析】 【分析】极值点处导数值等于零，将去掉绝对值后求解. 【详解】，由题知， 不妨设，则或时,时, 则是极大值点，是极小值点，，，， 因为，所以， 若，则，舍去； 若，则， 即， 又，所以， 解得. 四、解答题（共5个题，共77分） 15. 已知中角所对的边分别为，满足，且 （1）求的值； （2）求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过三角形三个角的关系及正弦定理化简，解得，利用余弦定理化简求得； （2）由正弦定理化简，由三角函数的性质求得其最大值. 【小问1详解】 因为在中，， 所以由，得， 于是由正弦定理得， 所以， 因为，则， 所以，，所以， 所以，. 于是由，得， 再由正弦定理、余弦定理得， 化简得. 【小问2详解】 由正弦定理可得, ， 其中锐角满足，， 所以当，，即，时， 所以取得最大值为． 16. 定义：设某数列的前项和为，若为常数，则称此数列为“吉祥数列”．已知等差数列的首项为1，公差不为0，且数列为“吉祥数列”；非零数列满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，根据“吉祥数列”的定义，利用 为常数建立关于 的恒等式，求出 ，进而得到 ；再由 判断 为等比数列，结合首两项求其通项公式． （2）由 ，将 的前 项和拆成等差数列 与等比数列 的前 项和，分别求和后相加即可． 【小问1详解】 设等差数列的公差为，．因为， 则， 整理得， 因为对任意上式均成立， 所以解得， 所以数列的通项公式为． 因为，又， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列． 所以． 【小问2详解】 由（1）知． 因为，数列的前项和为， 所以 ． 所以数列的前项和． 17. 记的内角的对边分别为，已知，． （1）求； （2）若的面积为，求边上的中线长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，利用正弦定理和两角和的正弦公式，求得，即可求解； （2）由的面积为，求得，再由，联立方程组，求得的值，设的中点为，结合，即可求解. 【小问1详解】 解：因为，由正弦定理可得， 又因为且，可得， 所以，即 因为， 所以 ， 整理得，所以． 【小问2详解】 解：因为的面积为，可得，解得， 由，可得，所以，且， 所以，所以， 联立方程组，解得， 设边的中点为，则， 所以， 所以边上的中线长为． 18. 已知函数，其中且，曲线经过，两点． （1）求，的值； （2）求函数在区间上的值域； （3）设，若，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，即可求解； （2）设，转化为，结合对数函数和二次函数的性质，即可求解； （3）设，，得到，画出的图象，结合图象，得到和的根，求得的表达式，由，得到，，，，结合指数幂的运算性质和的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：因为函数，且曲线经过点和， 可得，解得. 【小问2详解】 解：当时，可得， 设，则， 则当时，单调递减；当时，单调递增． 则当时，取得最小值；当时，取得最大值， 所以函数的值域为， 即函数在区间上的值域为． 【小问3详解】 解：不妨设，令，则， 画出函数的图象，如图所示， 由图可得，所以方程和各有两个不同的根， 其中方程的两根为， 方程的两根为， 所以，，，，且 ， 由，则对应的，则，，，， 所以， ， 令，其中，则， 设函数，令，所以 在上单调递增， 所以函数 在上单调递增，故， 则， 即的取值范围是 . 19. 设函数，其中．已知． （1）求； （2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值． （3）若存在，使等式成立，求实数的取值范围； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式展开 ，合并同类项后通过辅助角公式化简为 ，代入 建立方程，结合 的范围确定 . （2）先根据三角函数图像的横坐标伸缩变换、向左平移变换规则逐步推导，得到 ；再由 的范围求出内层角的取值区间，结合正弦函数的值域求出 的最小值. （3）通过换元 ，将原方程转化为关于 的一元二次方程，分离参数得到 ；结合 的取值范围，利用对勾函数的单调性求出 的取值范围. 【小问1详解】 因为， 所以 , 由题设知，所以，． 故，，又， 所以． 【小问2详解】 由（1）得，所以． 因为，所以， 当即时，取得最小值． 【小问3详解】 由（2）知令， 当时，，则， 即存在，使成立， 即存在，成立， 而函数在单调递减，单调递增， 当，函数在单调递增， ，所以实数m的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学期中测试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，则（ ） A. 0 B. C. i D. 2. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 3. 已知和的等比中项为，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，是模长均为1的平面向量，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数在区间上的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是一个垂直于水平地面的长方形大门的门框，现测得长为，是立于门前垂直于水平地面的测量标杆，高为，点，，在水平地面上，在标杆顶点处测得点的仰角为，点的仰角为，且测得，则门框的高为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，，，以下结论正确的是（ ） A. B. 外接圆的半径为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 11. 定义为，，中的最小值，设，若方程在区间上有8个不同的实数根，则实数的取值范围为下列哪些集合的子集（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每个小题5分，共15分．） 12. 已知非零向量，满足，则与的夹角等于_________. 13. 已知函数在区间内无零点，则的取值范围是______. 14. 已知函数有两个极值点，，且，则__________. 四、解答题（共5个题，共77分） 15. 已知中角所对的边分别为，满足，且 （1）求的值； （2）求的最大值. 16. 定义：设某数列的前项和为，若为常数，则称此数列为“吉祥数列”．已知等差数列的首项为1，公差不为0，且数列为“吉祥数列”；非零数列满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 17. 记的内角的对边分别为，已知，． （1）求； （2）若的面积为，求边上的中线长． 18. 已知函数，其中且，曲线经过，两点． （1）求，的值； （2）求函数在区间上的值域； （3）设，若，且，求的取值范围． 19. 设函数，其中．已知． （1）求； （2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值． （3）若存在，使等式成立，求实数的取值范围； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $