1.1 曲线与方程 讲义-2027届高三数学一轮复习

高三数学 解析几何基础篇 1.1 曲线与方程 解析 第一章 基础篇 高三解析几何专题 1.1 曲线与方程 解析 掌握求轨迹方程的方法 重视方程与范围的检验 本讲学习曲线与方程的关系，以及求轨迹方程的常用方法. 求出方程后，还要检查动点的取值范围、曲线的分支和需要除去的点，说明所得图形与题设轨迹完全一致. 本讲学习路径 学习建议 知识梳理 → 二级结论 → 8道例题 → 16道训练 先独立解答，再对照解析订正；注意取值范围、分类讨论和等号成立条件. 本讲思维导图 01 知识梳理 曲线与方程 要作双向检验 方程和轨迹相对应，既要不漏掉原来的点，也要不多出题意以外的点. 左图表示；右图的深色部分表示，含两个顶点，浅色虚线部分不符合. 从轨迹到方程 设是轨迹上的任意一点，由题设推出所列方程及限制条件. 这一步要覆盖原轨迹上的每一个点，不能因除以零或选参不全而漏点. 从方程回到原题 反之，任取满足方程及限制条件的点，检验距离、角度和交点条件. 若图形中含有不符合题意的点，就应补上范围或注明除去的点. 看图辨别多出的部分 等价于且. 只写会多出轴下方的部分；两个顶点应保留. 把结论写成完整的一组条件 轨迹方程、动点范围、除去的点应同时给出；必要时说明是哪段圆弧或哪一支曲线. 题图用于辅助观察，不能替代题设条件和双向证明. 求轨迹方程 沿着五步往前走 每次变形都保留条件，每次得到图形都回到原题检验. 先把点与范围交代清楚 利用对称轴、定点连线等建立坐标系，设动点为，写出有关定点坐标. 位置与范围以题设为准，不能从示意图自行增加条件. 把几何关系换成等式 距离用两点间或点到直线的距离公式；垂直可用向量数量积为零表示. 用斜率列式前，先检查直线的斜率是否存在. 变形时把条件一起带走 平方保留符号条件；约分或除以某个式子前，先检查它能否为零. 消去参数时，同时保留参数范围对应的限制. 特别检查容易遗漏的位置 逐查顶点、与坐标轴的交点、分母为零的位置，以及原题已经排除的点. 反向检验：满足所得条件的点，是否都能实现原题中的几何关系？ 方程与限制缺一不可 写出方程、取值范围和需要除去的点；必要时说明圆弧或曲线分支. 圆与交于两点；与相切. 只有左图能把两个交点作为一条弦的端点. 平方后可能多出解 设为实数，则等价于且. 除法与约分可能漏掉解 有意义须满足. 若除以，应先讨论. 例如表示两条坐标轴；直接除以只剩，会漏掉轴上的非原点. 两个交点必须不同 直线与二次曲线联立后，若确实得到一元二次方程，两个不同实根要求判别式；对应重根，不能作为弦的两个不同端点. 先认条件 再选方法 直接、定义、相关点 把条件直接列出、识别曲线定义、借助已知动点，是三条不同的起点. 直接法 从动点坐标列关系 适用：题设可直接表示为距离、斜率或数量积关系. 设点、列式、化简，再回题检验. 示意：，且. 由，得，即，但须除去. 定义法 先确认距离条件 适用：条件符合圆、椭圆、双曲线或抛物线的定义. 先核对条件，再确定类型、参数和范围. 到定点距离为正常数，可识别圆；到定点与定直线距离相等，且定点不在直线上，可识别抛物线. 示意：，，得椭圆. 相关点法 把原动点表示出来 适用：所求点与已知曲线上的点之间有中点、定比等关系. 示意：满足且；，为中点. 由，代入得且. 还要核对原动点确实存在，保留端点限制. 直接法的边界 平方检查符号；用斜率列式时另查竖直直线. 直角必须由两条非零向量构成，所以本例要删去. 定义法先排查退化情形 设，. 距离和等于时，轨迹是线段；距离差的绝对值等于时，轨迹是两条射线（含端点）. 与一般不同，平方后仍须保留原来的符号要求. 相关点法的边界 代入方程并不自动保留原动点范围；中点、定比分点的端点与参数限制应同时换成所求点的限制. 参数与几何 也要把所有位置检查完整 参数要取遍题设允许的情况；几何判断要能正向说明、反向构造. 参数法 坐标与参数范围一起写 适用：动点坐标便于用某个实数、角或动直线斜率表示. 先选参并写范围，再消参、检验. 示意：且，得且，是去掉两端点的上半圆弧. 若用斜率作参数，应另查竖直直线；还须说明参数能表示题设允许的全部情况. 几何法 先认图形，再写方程 适用：中点、垂足、定角等关系可直接确定轨迹；先作几何判断，再写方程，并检验反向构造. 示意：固定，直线经过，为在上的垂足. 当时，. 轨迹为以为直径的圆. 取可得，取可得，所以两端点也应保留. 几何性质也有使用前提 用圆周角等性质时，先检查点是否重合、角是否有意义；退化位置应回到原来的垂足或中点条件单独判断. 方法不同，检验要求相同 不漏原轨迹上的点，不多出不符合题意的点；写全方程、范围及需除去的点. 同一题可能有多种方法，选关系最直接、检验最完整的一条. 02 二级结论与适用边界 使用下列结论时，应注意其适用条件. 结合图形理解结论，解答时写出必要的推理步骤. 结论01 由向量关系求轨迹 条件 已知定点，动点在曲线上运动，并满足题设中的范围条件. 设为非零常数，点满足. 结论 设，则. 因此的轨迹方程为，并应保证上述点的坐标满足原来的范围条件. 若为线段的中点，则，从而. 浅色曲线表示原动点的轨迹，深色曲线表示对应中点的轨迹；两条轨迹均保留端点. 推导 由向量关系及坐标运算，得、. 因，解得、. 将这两个式子代入已知曲线的方程和范围条件，即得所求轨迹. 反之，由所得方程和范围条件确定的每个点，都能按上述坐标关系确定符合题意的原动点，因而没有增点或漏点. 使用提醒 必须保留原动点的范围条件. 当时，点恒为，不能使用上述含分母的式子；当且时，两向量方向相反. 结论02 到两定点的距离和或距离差确定的轨迹 条件 已知、，其中，且. 设动点为. 结论 若，则：时，轨迹为椭圆；时，轨迹为线段；时，不存在这样的点. 若，则：时，轨迹为双曲线；时，轨迹为直线；时，轨迹为轴上满足或的两条射线；时，不存在这样的点. 当时，若条件为，轨迹只取上述双曲线的右支；若条件为，轨迹只取左支. 从左至右依次为椭圆、线段、双曲线、两条射线；距离和或距离差取不同值时，应检查是否出现退化情形. 推导 由三角形三边关系，有，等号成立当且仅当在线段上；又有，等号成立当且仅当在所述两条射线上. 当时，设、. 由及，得、，整理得椭圆方程. 反之，椭圆上的点满足，上述两式均为正，平方后分别等于和，故距离和为. 当且时，由得，从而、. 整理得双曲线方程，并由距离非负确定右支. 反之，右支上的点代入这两式可恢复原距离关系；左支的情况同理. 使用提醒 应用圆锥曲线定义前，应先比较常数与的大小. 当时，不能把直接代入含零分母的标准方程；题设若排除了、，还应相应除去射线或线段的端点. 结论03 点到定点与定直线距离的比值问题 条件 已知定点、定直线，其中. 设点到直线的距离为，且，其中为常数. 结论 由距离公式可得方程. 配方后可判断：时为椭圆，时为抛物线，时为双曲线. 若另讨论，即定点在定直线上，则时只有原点，时为直线，时为两条相交直线. 三个图中的定点和定直线相同，距离之比不同，所得轨迹的类型随之改变. 推导 点到直线的距离为，故原条件为. 两边均非负，平方后整理，得. 当时，配方得，该方程表示椭圆. 当时，方程为. 因，也可直接由抛物线定义判断轨迹. 当时，设，配方得，该方程表示双曲线. 当时，方程为. 分别比较与的大小，即得原点、直线或两条直线. 使用提醒 这里是根据坐标方程识别曲线的二级结论. 点到直线的距离应写为，不能直接写成；使用抛物线定义时，还应检查定点不在定直线上. 结论04 到两定点距离之比为定值的轨迹 条件 已知、，其中. 设动点满足，其中为常数. 结论 当时，轨迹为线段的垂直平分线. 当时，轨迹为圆，圆心为，半径为. 当时，点、都不在轨迹上. 若另允许，则只有点符合条件. 左图的轨迹为垂直平分线，右图的轨迹为圆；列出圆的方程前，应先讨论距离比等于一的情况. 推导 设，原条件等价于，整理得. 当时，得；当时，两边除以并配方，得上述圆心和半径. 因距离均非负，所得方程上的点也满足原距离等式. 使用提醒 应先讨论，再在时作除法，不能漏掉垂直平分线这一情况. 结论05 数量积为零与直角条件的区别 条件 已知两个不同定点、，为线段的中点，. 结论 满足的点组成以为直径的圆，即. 满足的点组成上述圆除去、后的部分. 左图表示数量积为零，包含直径的两个端点；右图表示顶角为直角，须除去这两个端点. 推导 以为原点、直线为轴建立平面直角坐标系，设、、. 则、，所以. 因此数量积为零等价于，即. 当且时，两向量都不是零向量，数量积为零等价于夹角为直角；当或时，数量积仍为零，但没有意义. 使用提醒 零向量与任意向量的数量积都为零，但不能据此谈论零向量与另一向量的夹角. 因而数量积条件与几何角条件所确定的点集可能不同. 结论06 点差法与弦的斜率 条件 已知、是相应二次曲线上的两个不同点，为线段的中点. 结论 若、在椭圆（）上，则. 当且时，直线的斜率为. 若、在双曲线（、）上，则. 当且时，直线的斜率为. 若、在抛物线（）上，则. 当弦不垂直于轴时，，直线的斜率为. 从左至右为椭圆、双曲线、抛物线；将弦端点所满足的方程作差，得到弦的方向与中点坐标的关系. 推导 将、的坐标分别代入椭圆或双曲线方程，两式相减. 利用、，即得前两式；只有在相应分母不为零时，才能进一步写出斜率. 对抛物线，将两点坐标代入后相减，得. 再用，得. 当时，右端不为零，所以，可求得斜率. 使用提醒 用点差法求中点轨迹时，还要检查直线是否与曲线有两个不同交点. 中点在坐标轴上或原点处时，应单独检查，不能直接套用含零分母的斜率公式. 结论07 椭圆弦的中点应在椭圆内部 条件 已知椭圆，其中，为原点. 设，弦的两个端点必须不同. 结论 存在以为中点的弦，当且仅当. 当时，这条弦所在直线唯一，其方程为. 当时，任意过椭圆中心的直线都能截得以为中点的弦. 左图中，非中心的内点确定唯一弦；右图中，以椭圆中心为中点的弦可有不同方向. 边界上的点不能作为非退化弦的中点. 推导 设弦的两个端点为、，其中、不全为零. 将两点坐标代入椭圆方程，两式相减，得；两式相加，得. 因，所以. 反之，若，先取不全为零的，使. 当时，可取、；当时，可取、. 再取，则、都在椭圆上，且是两个不同的点，中点正是. 当时，由可知弦所在直线只能是. 当时，上式对任意方向都成立. 使用提醒 若等号成立，两个端点只能重合，不能得到题设中的弦. 本结论针对椭圆，不能不加检验地用于双曲线. 结论08 用参数表示椭圆上动点时的取值范围 条件 已知，动点的坐标满足、，其中. 结论 当取遍实数集时，点的轨迹为椭圆除去点后的部分. 参数取遍实数时，可描出椭圆上除左顶点外的全部点；左顶点只能任意趋近，不能取得. 推导 将两个坐标表达式代入，利用，得. 又，因此点不能取得. 反之，设在椭圆上且，则. 令，由椭圆方程可得，代入即可得到原来的两个坐标表达式. 特别地，点对应. 使用提醒 消去参数后，还要检查参数能否取到曲线上的每一点. 实数无论取多大，都不能使，所以不能把点补入轨迹. 03 分型例题 先独立分析题意，选择适当的方法，并在留白处写出解答. 完成后可对照本讲解析订正. 例1 由线段中点求轨迹方程 基础 2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II卷） 第5题 选编 已知半圆弧（），点在上运动，为在轴上的射影，为线段的中点. 则点的轨迹方程为（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 答案 A 分析 设中点的坐标，由中点坐标公式表示原动点的坐标，再代入半圆弧的方程，并保留纵坐标为正的条件. 解题图 详解 设，则、. 因，所以，且，即，且. 反之，若点满足上述方程及，取点，则在半圆弧上，且线段的中点为. 因此所得方程和范围条件恰好表示所求轨迹. 例2 斜率条件中需要除去的点 提升 闽侯一中2024—2025学年度第一学期高三数学12月月考卷 第18（1）题 选编 已知、. 动点满足直线、的斜率、均存在，且. 求点的轨迹. 答案 ，且，即该椭圆除去左、右顶点后的部分. 分析 由斜率存在确定横坐标的限制，再根据斜率乘积列式，化简后检查所得椭圆上的点是否都符合题意. 解题图 详解 设. 因两条直线的斜率均存在，所以，且. 整理，得，即. 在该椭圆上，横坐标为或的点只有、，这两点不符合原斜率条件，应予除去. 椭圆上的其余点均满足两条直线的斜率存在，且斜率乘积为，故所求轨迹如上. 例3 距离成定比时的轨迹与距离范围 提升 原创经典题 本讲重新编拟 已知、，为坐标原点. 动点满足. 则点的轨迹方程为________，的取值范围为________. 答案 ； 分析 由距离关系列式，平方、配方后确定圆的方程，再由圆心和半径求动点到原点的距离范围. 解题图 详解 设，由，得，整理得，即. 因两边距离均非负，上述平方变形是等价的. 圆心为，半径为，所以. 设圆上点的坐标为，则. 当取遍时，取遍，从而取遍. 最小值、最大值分别在、时取得. 例4 由距离差确定双曲线的分支 提升 原创经典题 本讲重新编拟 已知、，动点满足. 求点的轨迹，并指出若只写，会多出哪一部分. 答案 轨迹为双曲线的右支，即的部分. 若只写双曲线方程，会多出左支. 分析 由两点间距离公式列式，平方时保留距离非负的条件，以确定双曲线的分支，再代回原条件检验. 解题图 详解 由，两边平方，得，所以，即. 再次平方，得，整理得. 由双曲线方程可知或，结合，得. 反之，若且，则、，从而. 因此轨迹为右支，顶点可以取得. 左支上的点满足，不符合原条件. 例如点虽满足双曲线方程，但. 例5 过椭圆内定点的弦的中点轨迹 综合 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆及其内部的定点，为坐标原点. 过且不垂直于轴的直线与椭圆交于两个不同点、，设线段的中点为. （1）求点的轨迹方程，并写出相应的限制条件. （2）当点位于第一象限时，求的取值范围，并判断是否有最大值和最小值. 答案 （1），且；（2），没有最大值，也没有最小值. 分析 （1）设直线的斜率为参数，联立直线与椭圆方程，利用根与系数的关系求中点坐标，消去参数后检验范围. （2）由轨迹方程将表示为的式子，再结合第一象限条件求范围. 解题图 详解 （1）设，其中. 联立直线与椭圆方程，得. 其判别式，所以每个实数都对应两个不同交点. 由根与系数的关系及中点坐标公式，得、. 消去，得，即. 又，所以点不能取得. 反之，在上述椭圆上，除点外均有. 令，利用，可得、. 因此相应直线与原椭圆的两个交点的中点为. 特别地，直线对应；题设若允许直线，才会补入点. （2）由、及轨迹方程，得，且. 所以. 因，故. 任取，由，解得正根. 再取，即可得到. 因此的取值范围为，两端都不能取得. 例6 射线上动点的坐标与轨迹 综合 2025全国I卷第18题（2）条件改编 已知椭圆（），为坐标原点. 椭圆的离心率为，下顶点为，右顶点为，且. （1）求椭圆的方程. （2）点不在轴上，点在射线上，且. 求点的坐标；若直线、的斜率、满足，求点的轨迹. 答案 （1）；（2）设，则. 点的轨迹方程为，且，即该圆除去与轴的两个交点后的部分. 分析 （1）由离心率和两顶点间的距离，建立关于半轴长的方程求解. （2）先用向量的共线关系表示射线上的点，再由距离乘积确定比例系数，最后利用斜率关系列出轨迹方程并检验. 解题图 详解 （1）由，得. 又，解得、，所以椭圆方程为，且. （2）设. 因，所以. 设，其中. 由，得，所以，从而. 因，两条直线的斜率均存在，且、. 由，整理得，即. 反之，该圆上任一点，只要，就有. 按上述坐标取点，可验证点在射线上，并满足距离乘积和斜率关系. 因此只需除去圆上两点、. 例7 消去参数后仍应保留参数范围 综合 原创经典题 本讲重新编拟 已知动点的坐标满足、，其中. 求点的轨迹，并判断点是否在该轨迹上. 答案 ，且；点不在该轨迹上. 分析 消去参数时，既要得到、的等式，还要保留所产生的不等式条件. 检验时将与分开讨论. 解题图 详解 由、，得，且. 反之，若，且、，则. 令，可得、，于是、. 若，则方程给出，而时可得点. 因此所求轨迹恰由上述方程和不等式共同确定. 点满足，但，所以不在所求轨迹上. 例8 交点的轨迹及曲线类型 挑战 2026年普通高等学校招生全国统一考试（全国II卷） 第18题 选编 已知椭圆（），过右焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的弦长为. （1）求椭圆的离心率. （2）已知（），点在椭圆上运动，且，为在轴上的射影. 当直线与直线相交时，记交点为，其中为坐标原点. 求点的轨迹；求轨迹有对称中心时的取值，并将对称中心平移到原点后，判断轨迹所在曲线的类型. 答案 （1）；（2），且. 当且仅当时，有对称中心. 当时，轨迹所在曲线为椭圆；当时，轨迹所在曲线为双曲线，以上两种情况都应除去曲线与轴的两个交点. 当时，轨迹为抛物线除去顶点后的部分，没有对称中心. 分析 （1）由给定弦长求长半轴长，再求离心率. （2）用原动点的坐标表示交点坐标，代入椭圆方程后求轨迹. 对二次项系数为零的情况单独讨论，其余情况配方判断中心和曲线类型. 解题图 详解 （1）设右焦点为，则. 令，得，所以给定弦长为. 解得，故. （2）由，得，且. 设，则点的坐标为. 由、、三点共线，得，所以. 当时，两直线平行，不存在交点，应排除此情况. 设，由上式解得、. 代入椭圆方程，整理得. 由，还须保留. 反之，若点满足上述方程及，则不可能有，否则方程左边为. 因此可按上述公式求出、，并验证在椭圆上，且、. 所以该点确为两直线的交点，不必再增加其他限制. 当时，方程为，且，即抛物线除去顶点后的部分，没有对称中心. 当时，令、，即将点平移到原点. 若，方程化为；若，方程化为. 两种情况均保留，分别表示椭圆或双曲线除去与轴的两个交点后的部分. 除去的两点关于原点对称，所以轨迹仍有对称中心. 04 分层训练 请独立完成下列各题，写明必要的推理过程、参数的取值范围及等号成立条件. 训练01 由函数图象理解轨迹的范围 基础 原创经典题 本讲重新编拟 已知曲线是函数的图象. 求曲线的方程，并说明只写是否完整. 答案 曲线可表示为且. 只写圆的方程不完整. 由原式，得，且. 平方后得. 反之，若且，则，所以. 因而上述方程和范围条件恰好表示原函数图象. 圆上轴下方的点，如，不满足原函数关系，所以不能包括在曲线中. 分析 先由算术平方根确定纵坐标的范围，再平方得到方程，并检验方程与范围条件是否能推出原函数关系. 解题图 详解 略 训练02 抛物线方程与动点的位置限制 基础 原创经典题 本讲重新编拟 动点到定点的距离等于它到直线的距离，且点在轴上或轴上方. 则点的轨迹为（ ） A. B. ，且 C. ，且 D. ，且 答案 B 分析 用距离公式列出等式，平方后化简，同时保留题设对纵坐标的限制. 解题图 详解 由题意，得，且. 两边均非负，平方后得，即. 反之，满足且的点代入后，两边距离的平方相等. 因距离非负，所以两距离相等. 原点也符合题意，因此应保留，不能改为. 训练03 根据距离和求椭圆的方程 基础 海南中学2024—2025学年度第一学期期中考试 高二数学 第12题 选编 已知动点到定点、的距离之和为. 求点的轨迹方程. 答案 . 分析 先比较距离和与两定点间距离，由椭圆定义确定曲线，再求半轴长并写出标准方程. 解题图 详解 因，由椭圆定义，点的轨迹是以、为焦点的椭圆. 由、，得、，从而. 因此轨迹方程为. 该椭圆上的每一点到两焦点的距离之和都为，所以不需要除去其他点. 训练04 由两种距离相等求轨迹 基础 原创经典题 本讲重新编拟 动点到定点的距离等于它到轴的距离. 求点的轨迹方程. 答案 分析 根据两点间距离公式和点到坐标轴的距离列式，平方化简后检验. 解题图 详解 设，则. 两边均非负，平方后得，整理得. 由所得方程可知，且. 两边取算术平方根，即得原距离等式. 因此方程表示所求轨迹，不需要再增加范围条件. 训练05 由面积条件求线段中点的轨迹 基础 原创经典题 本讲重新编拟 已知为坐标原点，动直线分别与轴、轴的正半轴交于、两点，且的面积为. 求线段中点的轨迹. 答案 ，且、. 分析 用两条坐标轴上的正截距表示面积，再由中点坐标公式表示所求动点的坐标，并作检验. 解题图 详解 设、，其中、. 由面积条件，得，即. 设中点为，则、，所以，且、. 反之，任取满足且、的点，取、，则的面积为，且线段的中点为. 因此轨迹为双曲线在第一象限的分支. 训练06 半圆上动点与线段中点的轨迹 基础 原创经典题 本讲重新编拟 已知，动点在圆的上半圆上运动（包含直径的两个端点），且. 设线段的中点为，则点的轨迹为________. 答案 ，且、 分析 利用中点坐标公式表示原动点的坐标，再代入圆方程，同时保留半圆范围和题设除去的点. 解题图 详解 由中点坐标公式，得. 将其代入圆方程，得，整理得. 因点的纵坐标非负，所以；又，所以. 反之，任取满足上述方程和限制条件的点，按中点坐标公式确定的点都在给定上半圆上，且. 因此所列条件恰好表示所求轨迹. 训练07 数量积为零时能否得到直角（多选） 基础 原创经典题 本讲重新编拟 已知、. 记为满足的点的集合，为满足的点的集合. 下列结论正确的是（ ） A. B. 是圆 C. 是圆除去、后的部分 D. 答案 BC 分析 先由数量积求出方程，再根据角有意义的条件检查点是否可以与两个定点重合. 解题图 详解 设，则、. 所以. 因此为圆，B正确. 当且时，两个向量均非零向量，数量积为零等价于. 当或时，角没有意义，所以为上述圆除去、后的部分，C正确. 由此可知，且，所以A、D错误. 训练08 斜率乘积与双曲线的范围 提升 南宁市2025届普通高中毕业班摸底测试 数学 第5题 选编 实际考试年份2024 已知定点、，动点位于轴上方，直线、的斜率乘积为. 则点的轨迹为（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 答案 B 分析 用斜率关系列出方程，保留纵坐标为正的条件，注意所得轨迹可能同时包含双曲线的两支. 解题图 详解 设，则、，且. 整理，得，并保留. 反之，满足上述方程及的点有，因此两条直线的斜率均存在，且乘积为. 所以轨迹是双曲线左、右两支在轴上方的部分，不能再附加的限制. 训练09 与坐标轴相切的动圆的圆心轨迹 提升 原创经典题 本讲重新编拟 动圆经过定点，且与轴相切. 设圆心为，求点的轨迹，并说明轨迹上的每一点都能作为圆心. 答案 轨迹方程为. 设动圆半径为，则. 由动圆经过，得，整理得. 由该方程可知，所以. 反之，任取方程上的点，以为圆心、为半径作圆，则该圆与轴相切，且，所以圆经过. 因此方程上的每一点都符合题意. 分析 由相切和过定点的条件表示半径，求圆心坐标之间的关系，并检验半径是否为正. 解题图 详解 略 训练10 动直线上垂足的轨迹 提升 原创经典题 本讲重新编拟 已知定点和坐标原点. 过的直线不垂直于轴，从点向作垂线，垂足为. 求点的轨迹. 答案 ，且. 分析 由垂足确定向量的垂直关系，再用数量积列式. 点与原点重合及点与定点重合的情形，应单独检查. 解题图 详解 设. 点不能与重合，否则直线为轴，与题设不符. 当时，. 由、，得，即. 当时，取为轴即可，因此原点应保留. 反之，任取圆上不同于、的点，由圆的方程可知，所以直线不垂直于轴. 又由方程得，所以，点确为垂足. 因此所求轨迹为上述圆除去点后的部分. 训练11 由坐标关系求另一个动点的轨迹 提升 原创经典题 本讲重新编拟 已知动点在椭圆上运动，点与点的坐标满足、. 求点的轨迹方程，并检验所得轨迹是否完整. 答案 轨迹方程为. 由、，解得、. 代入原椭圆方程，得. 反之，任取满足所得方程的点，按上述公式确定点，则点在原椭圆上，并满足、. 因此所得方程上的点都符合题意，不需要再除去其他点. 分析 先由已知关系解出原动点的坐标，再代入椭圆方程，并检验能否由所得轨迹上的点确定符合题意的原动点. 解题图 详解 略 训练12 距离和限制下的轨迹与最高点 提升 原创经典题 本讲重新编拟 已知、，动点满足、，且. 求点的轨迹及轨迹上最高点的坐标. 答案 轨迹为中满足且的圆弧，最高点为. 分析 先由距离成定比确定圆，再由距离和的限制确定圆弧. 求最高点时，只能在所得圆弧上比较纵坐标. 解题图 详解 设，由，平方、整理得，即. 在该圆上，有. 又，所以距离和不超过等价于，即. 由圆的方程可知，结合，得所求圆弧. 反之，圆弧上的点满足，且，从而，所有题设条件均成立. 圆弧两端点、都可取得. 圆弧上的点满足. 若，则相应纵坐标满足. 因，所以纵坐标随横坐标的增大而增大. 当时，，故最高点为. 训练13 过抛物线焦点的弦及其中点轨迹 综合 原创经典题 本讲重新编拟 已知抛物线的焦点为. 动直线经过，与抛物线交于两个不同点、，设线段的中点为. （1）求点的轨迹方程. （2）求弦长的最小值，以及取得最小值时直线的方程. 答案 （1）；（2）弦长的最小值为，此时，两个交点为、. 分析 （1）用表示除水平直线外所有过焦点的直线，联立抛物线方程，再由根与系数的关系求中点坐标. （2）由两交点的纵坐标之差及直线的方程求弦长，注意竖直直线已包含在参数表示中. 解题图 详解 （1）直线与抛物线只有一个交点，不符合题设. 其余过焦点的直线都可写为，其中，时为直线. 联立直线与抛物线方程，得，其判别式. 设两个交点的纵坐标为、，则. 由中点坐标公式，得、，消去，得. 反之，对方程上的任一点，令，则对应直线与抛物线有两个不同交点，且中点正是该点. 因此所得方程表示完整轨迹，顶点也可以取得. （2）由一元二次方程两根的关系，得. 又，所以. 当且仅当，即直线的方程为时，等号成立. 此时交点为、，所以弦长的最小值为. 训练14 由距离乘积研究曲线的性质（多选） 综合 2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I卷） 第11题 改编 曲线由满足下列条件的所有点组成：横坐标大于，且到定点的距离与到直线（）的距离之积等于. 已知曲线经过坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点在曲线上 C. 曲线在第一象限部分的纵坐标最大值为 D. 若点在曲线上，则 答案 ABD 分析 先利用原点在曲线上求出直线方程，再用距离公式表示曲线. 对错误结论，可举出满足题意的点加以说明. 解题图 详解 由曲线经过原点，得. 结合，解得，A正确. 设点在曲线上. 因，所以点到直线的距离为，从而. 两边非负，平方、整理得，即，同时保留. 将点的坐标代入原距离等式，可验证等式成立，B正确. 取，可得，且该点位于第一象限并满足题设条件，所以C错误. 由，知D正确. 最后仍应保留. 若只写平方后的方程，会包含不符合这一横坐标限制的点. 训练15 由距离乘积研究对称性与最值（多选） 综合 2025年四川省遂宁市中学校高2022级高三二模考试 第11题 选编 已知定点、，动点满足，其轨迹记为. 下列结论正确的是（ ） A. 若点在上，则点、也在上 B. 点的横坐标取值范围为 C. 上点的纵坐标最大值为 D. 与圆只有一个公共点 答案 AC 分析 先由距离乘积列式并平方，再令，将坐标范围问题转化为二次函数的范围问题；公共点个数可由两个圆的位置关系判断. 解题图 详解 设，由，平方得，整理得. 因距离均非负，所得方程与原条件等价. 方程只含、，所以曲线关于轴、轴及原点都对称，A正确. 令，则、. 由，得，所以. 反之，当取遍时，取遍，并可取相应的实数，横坐标范围为，B错误. 由，得. 当或时等号成立，所以纵坐标的最大值为，C正确. 若点还在给定圆上，则，由距离乘积条件得. 因此公共点是以为圆心、半径为的圆与以为圆心、半径为的圆的交点. 两圆圆心距为，且，所以有两个交点，其坐标为、，D错误. 训练16 射线上动点的轨迹与距离范围 综合 原创经典题 本讲重新编拟 已知为坐标原点，动点在椭圆上运动. 在射线上取点，使. 设的坐标为. （1）求点的轨迹方程及相应的限制条件. （2）某同学认为，该轨迹是以原点为中心，长轴在轴上，长半轴长为、短半轴长为的椭圆. 判断这一说法是否正确. （3）求的取值范围，以及取最小值和最大值时点的坐标. 答案 （1），且；（2）不正确，例如轨迹上的点不满足所说的椭圆方程；（3）. 当或时取得最小值，当或时取得最大值. 分析 （1）由同一射线上的向量关系和距离乘积，表示原动点坐标，再代入原椭圆方程，并检查原点是否符合题意. （2）只需找出轨迹上的一点，说明它不在所说的椭圆上. （3）先求的范围，再由求的范围及取等点. 解题图 详解 （1）因在椭圆上，所以；又，故. 设，由两点在同一射线上，得，所以. 代入椭圆方程，整理得. 反之，任取满足该方程的非原点，按上式确定点，可验证，且与同向，并有，所以符合原条件. 原点虽然满足所得方程，但不满足距离乘积条件，应予除去. （2）所说的椭圆方程为. 取椭圆上的点，则，对应点为. 将该点代入，得，所以该说法不正确. （3）设，则. 当取遍时，取遍，所以取遍. 由，得. 当或时，分别有或；当或时，分别有或. 05 专题回看与易错诊断 易错说法 修正与检查 平方后忽略原式的符号条件 先记录算术平方根非负、距离非负等条件，再将所得结果代回原式检验. 约分后漏查原分母为零的情况 约分前应先讨论分母是否可能为零；原来无意义的点不能因约分而补入. 用斜率表示过定点的所有直线 斜率不能表示竖直直线，应另行讨论，或选用能包含竖直直线的参数表示. 得到中点关系就认定轨迹已求出 应检查是否有两个不同交点，并确认所得中点都能取得. 将方程上的所有点都作为轨迹点 应继续检查方程中是否包含多余分支、孤立点或题设已经排除的点. 完成后的自查 □ 能够说明轨迹点满足所得方程，也能说明满足方程及限制条件的点符合题意. □ 能够根据距离、中点、斜率等关系选择合适的方法，并写明参数的取值范围. □ 能够说明图中空心点为何不能取得，并检查原点、顶点和与坐标轴的交点. □ 能够将轨迹上的距离或坐标范围问题，转化为一个变量的范围或最值问题. 订正记录 错在第______步；遗漏的条件是________________；下次先检查________________. 学科网（北京）股份有限公司 $高三数学 解析几何基础篇 1.1 曲线与方程 原卷 第一章 基础篇 高三解析几何专题 1.1 曲线与方程 原卷 掌握求轨迹方程的方法 重视方程与范围的检验 本讲学习曲线与方程的关系，以及求轨迹方程的常用方法. 求出方程后，还要检查动点的取值范围、曲线的分支和需要除去的点，说明所得图形与题设轨迹完全一致. 本讲学习路径 学习建议 知识梳理 → 二级结论 → 8道例题 → 16道训练 先独立解答，再对照解析订正；注意取值范围、分类讨论和等号成立条件. 本讲思维导图 01 知识梳理 曲线与方程 要作双向检验 方程和轨迹相对应，既要不漏掉原来的点，也要不多出题意以外的点. 左图表示；右图的深色部分表示，含两个顶点，浅色虚线部分不符合. 从轨迹到方程 设是轨迹上的任意一点，由题设推出所列方程及限制条件. 这一步要覆盖原轨迹上的每一个点，不能因除以零或选参不全而漏点. 从方程回到原题 反之，任取满足方程及限制条件的点，检验距离、角度和交点条件. 若图形中含有不符合题意的点，就应补上范围或注明除去的点. 看图辨别多出的部分 等价于且. 只写会多出轴下方的部分；两个顶点应保留. 把结论写成完整的一组条件 轨迹方程、动点范围、除去的点应同时给出；必要时说明是哪段圆弧或哪一支曲线. 题图用于辅助观察，不能替代题设条件和双向证明. 求轨迹方程 沿着五步往前走 每次变形都保留条件，每次得到图形都回到原题检验. 先把点与范围交代清楚 利用对称轴、定点连线等建立坐标系，设动点为，写出有关定点坐标. 位置与范围以题设为准，不能从示意图自行增加条件. 把几何关系换成等式 距离用两点间或点到直线的距离公式；垂直可用向量数量积为零表示. 用斜率列式前，先检查直线的斜率是否存在. 变形时把条件一起带走 平方保留符号条件；约分或除以某个式子前，先检查它能否为零. 消去参数时，同时保留参数范围对应的限制. 特别检查容易遗漏的位置 逐查顶点、与坐标轴的交点、分母为零的位置，以及原题已经排除的点. 反向检验：满足所得条件的点，是否都能实现原题中的几何关系？ 方程与限制缺一不可 写出方程、取值范围和需要除去的点；必要时说明圆弧或曲线分支. 圆与交于两点；与相切. 只有左图能把两个交点作为一条弦的端点. 平方后可能多出解 设为实数，则等价于且. 除法与约分可能漏掉解 有意义须满足. 若除以，应先讨论. 例如表示两条坐标轴；直接除以只剩，会漏掉轴上的非原点. 两个交点必须不同 直线与二次曲线联立后，若确实得到一元二次方程，两个不同实根要求判别式；对应重根，不能作为弦的两个不同端点. 先认条件 再选方法 直接、定义、相关点 把条件直接列出、识别曲线定义、借助已知动点，是三条不同的起点. 直接法 从动点坐标列关系 适用：题设可直接表示为距离、斜率或数量积关系. 设点、列式、化简，再回题检验. 示意：，且. 由，得，即，但须除去. 定义法 先确认距离条件 适用：条件符合圆、椭圆、双曲线或抛物线的定义. 先核对条件，再确定类型、参数和范围. 到定点距离为正常数，可识别圆；到定点与定直线距离相等，且定点不在直线上，可识别抛物线. 示意：，，得椭圆. 相关点法 把原动点表示出来 适用：所求点与已知曲线上的点之间有中点、定比等关系. 示意：满足且；，为中点. 由，代入得且. 还要核对原动点确实存在，保留端点限制. 直接法的边界 平方检查符号；用斜率列式时另查竖直直线. 直角必须由两条非零向量构成，所以本例要删去. 定义法先排查退化情形 设，. 距离和等于时，轨迹是线段；距离差的绝对值等于时，轨迹是两条射线（含端点）. 与一般不同，平方后仍须保留原来的符号要求. 相关点法的边界 代入方程并不自动保留原动点范围；中点、定比分点的端点与参数限制应同时换成所求点的限制. 参数与几何 也要把所有位置检查完整 参数要取遍题设允许的情况；几何判断要能正向说明、反向构造. 参数法 坐标与参数范围一起写 适用：动点坐标便于用某个实数、角或动直线斜率表示. 先选参并写范围，再消参、检验. 示意：且，得且，是去掉两端点的上半圆弧. 若用斜率作参数，应另查竖直直线；还须说明参数能表示题设允许的全部情况. 几何法 先认图形，再写方程 适用：中点、垂足、定角等关系可直接确定轨迹；先作几何判断，再写方程，并检验反向构造. 示意：固定，直线经过，为在上的垂足. 当时，. 轨迹为以为直径的圆. 取可得，取可得，所以两端点也应保留. 几何性质也有使用前提 用圆周角等性质时，先检查点是否重合、角是否有意义；退化位置应回到原来的垂足或中点条件单独判断. 方法不同，检验要求相同 不漏原轨迹上的点，不多出不符合题意的点；写全方程、范围及需除去的点. 同一题可能有多种方法，选关系最直接、检验最完整的一条. 02 二级结论与适用边界 使用下列结论时，应注意其适用条件. 结合图形理解结论，解答时写出必要的推理步骤. 结论01 由向量关系求轨迹 条件 已知定点，动点在曲线上运动，并满足题设中的范围条件. 设为非零常数，点满足. 结论 设，则. 因此的轨迹方程为，并应保证上述点的坐标满足原来的范围条件. 若为线段的中点，则，从而. 浅色曲线表示原动点的轨迹，深色曲线表示对应中点的轨迹；两条轨迹均保留端点. 推导 由向量关系及坐标运算，得、. 因，解得、. 将这两个式子代入已知曲线的方程和范围条件，即得所求轨迹. 反之，由所得方程和范围条件确定的每个点，都能按上述坐标关系确定符合题意的原动点，因而没有增点或漏点. 使用提醒 必须保留原动点的范围条件. 当时，点恒为，不能使用上述含分母的式子；当且时，两向量方向相反. 结论02 到两定点的距离和或距离差确定的轨迹 条件 已知、，其中，且. 设动点为. 结论 若，则：时，轨迹为椭圆；时，轨迹为线段；时，不存在这样的点. 若，则：时，轨迹为双曲线；时，轨迹为直线；时，轨迹为轴上满足或的两条射线；时，不存在这样的点. 当时，若条件为，轨迹只取上述双曲线的右支；若条件为，轨迹只取左支. 从左至右依次为椭圆、线段、双曲线、两条射线；距离和或距离差取不同值时，应检查是否出现退化情形. 推导 由三角形三边关系，有，等号成立当且仅当在线段上；又有，等号成立当且仅当在所述两条射线上. 当时，设、. 由及，得、，整理得椭圆方程. 反之，椭圆上的点满足，上述两式均为正，平方后分别等于和，故距离和为. 当且时，由得，从而、. 整理得双曲线方程，并由距离非负确定右支. 反之，右支上的点代入这两式可恢复原距离关系；左支的情况同理. 使用提醒 应用圆锥曲线定义前，应先比较常数与的大小. 当时，不能把直接代入含零分母的标准方程；题设若排除了、，还应相应除去射线或线段的端点. 结论03 点到定点与定直线距离的比值问题 条件 已知定点、定直线，其中. 设点到直线的距离为，且，其中为常数. 结论 由距离公式可得方程. 配方后可判断：时为椭圆，时为抛物线，时为双曲线. 若另讨论，即定点在定直线上，则时只有原点，时为直线，时为两条相交直线. 三个图中的定点和定直线相同，距离之比不同，所得轨迹的类型随之改变. 推导 点到直线的距离为，故原条件为. 两边均非负，平方后整理，得. 当时，配方得，该方程表示椭圆. 当时，方程为. 因，也可直接由抛物线定义判断轨迹. 当时，设，配方得，该方程表示双曲线. 当时，方程为. 分别比较与的大小，即得原点、直线或两条直线. 使用提醒 这里是根据坐标方程识别曲线的二级结论. 点到直线的距离应写为，不能直接写成；使用抛物线定义时，还应检查定点不在定直线上. 结论04 到两定点距离之比为定值的轨迹 条件 已知、，其中. 设动点满足，其中为常数. 结论 当时，轨迹为线段的垂直平分线. 当时，轨迹为圆，圆心为，半径为. 当时，点、都不在轨迹上. 若另允许，则只有点符合条件. 左图的轨迹为垂直平分线，右图的轨迹为圆；列出圆的方程前，应先讨论距离比等于一的情况. 推导 设，原条件等价于，整理得. 当时，得；当时，两边除以并配方，得上述圆心和半径. 因距离均非负，所得方程上的点也满足原距离等式. 使用提醒 应先讨论，再在时作除法，不能漏掉垂直平分线这一情况. 结论05 数量积为零与直角条件的区别 条件 已知两个不同定点、，为线段的中点，. 结论 满足的点组成以为直径的圆，即. 满足的点组成上述圆除去、后的部分. 左图表示数量积为零，包含直径的两个端点；右图表示顶角为直角，须除去这两个端点. 推导 以为原点、直线为轴建立平面直角坐标系，设、、. 则、，所以. 因此数量积为零等价于，即. 当且时，两向量都不是零向量，数量积为零等价于夹角为直角；当或时，数量积仍为零，但没有意义. 使用提醒 零向量与任意向量的数量积都为零，但不能据此谈论零向量与另一向量的夹角. 因而数量积条件与几何角条件所确定的点集可能不同. 结论06 点差法与弦的斜率 条件 已知、是相应二次曲线上的两个不同点，为线段的中点. 结论 若、在椭圆（）上，则. 当且时，直线的斜率为. 若、在双曲线（、）上，则. 当且时，直线的斜率为. 若、在抛物线（）上，则. 当弦不垂直于轴时，，直线的斜率为. 从左至右为椭圆、双曲线、抛物线；将弦端点所满足的方程作差，得到弦的方向与中点坐标的关系. 推导 将、的坐标分别代入椭圆或双曲线方程，两式相减. 利用、，即得前两式；只有在相应分母不为零时，才能进一步写出斜率. 对抛物线，将两点坐标代入后相减，得. 再用，得. 当时，右端不为零，所以，可求得斜率. 使用提醒 用点差法求中点轨迹时，还要检查直线是否与曲线有两个不同交点. 中点在坐标轴上或原点处时，应单独检查，不能直接套用含零分母的斜率公式. 结论07 椭圆弦的中点应在椭圆内部 条件 已知椭圆，其中，为原点. 设，弦的两个端点必须不同. 结论 存在以为中点的弦，当且仅当. 当时，这条弦所在直线唯一，其方程为. 当时，任意过椭圆中心的直线都能截得以为中点的弦. 左图中，非中心的内点确定唯一弦；右图中，以椭圆中心为中点的弦可有不同方向. 边界上的点不能作为非退化弦的中点. 推导 设弦的两个端点为、，其中、不全为零. 将两点坐标代入椭圆方程，两式相减，得；两式相加，得. 因，所以. 反之，若，先取不全为零的，使. 当时，可取、；当时，可取、. 再取，则、都在椭圆上，且是两个不同的点，中点正是. 当时，由可知弦所在直线只能是. 当时，上式对任意方向都成立. 使用提醒 若等号成立，两个端点只能重合，不能得到题设中的弦. 本结论针对椭圆，不能不加检验地用于双曲线. 结论08 用参数表示椭圆上动点时的取值范围 条件 已知，动点的坐标满足、，其中. 结论 当取遍实数集时，点的轨迹为椭圆除去点后的部分. 参数取遍实数时，可描出椭圆上除左顶点外的全部点；左顶点只能任意趋近，不能取得. 推导 将两个坐标表达式代入，利用，得. 又，因此点不能取得. 反之，设在椭圆上且，则. 令，由椭圆方程可得，代入即可得到原来的两个坐标表达式. 特别地，点对应. 使用提醒 消去参数后，还要检查参数能否取到曲线上的每一点. 实数无论取多大，都不能使，所以不能把点补入轨迹. 03 分型例题 先独立分析题意，选择适当的方法，并在留白处写出解答. 完成后可对照本讲解析订正. 例1 由线段中点求轨迹方程 基础 2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II卷） 第5题 选编 已知半圆弧（），点在上运动，为在轴上的射影，为线段的中点. 则点的轨迹方程为（ ） A. （） B. （） C. （） D. （）   例2 斜率条件中需要除去的点 提升 闽侯一中2024—2025学年度第一学期高三数学12月月考卷 第18（1）题 选编 已知、. 动点满足直线、的斜率、均存在，且. 求点的轨迹.   例3 距离成定比时的轨迹与距离范围 提升 原创经典题 本讲重新编拟 已知、，为坐标原点. 动点满足. 则点的轨迹方程为________，的取值范围为________.   例4 由距离差确定双曲线的分支 提升 原创经典题 本讲重新编拟 已知、，动点满足. 求点的轨迹，并指出若只写，会多出哪一部分.   例5 过椭圆内定点的弦的中点轨迹 综合 原创经典题 本讲重新编拟 已知椭圆及其内部的定点，为坐标原点. 过且不垂直于轴的直线与椭圆交于两个不同点、，设线段的中点为. （1）求点的轨迹方程，并写出相应的限制条件. （2）当点位于第一象限时，求的取值范围，并判断是否有最大值和最小值.   例6 射线上动点的坐标与轨迹 综合 2025全国I卷第18题（2）条件改编 已知椭圆（），为坐标原点. 椭圆的离心率为，下顶点为，右顶点为，且. （1）求椭圆的方程. （2）点不在轴上，点在射线上，且. 求点的坐标；若直线、的斜率、满足，求点的轨迹.   例7 消去参数后仍应保留参数范围 综合 原创经典题 本讲重新编拟 已知动点的坐标满足、，其中. 求点的轨迹，并判断点是否在该轨迹上.   例8 交点的轨迹及曲线类型 挑战 2026年普通高等学校招生全国统一考试（全国II卷） 第18题 选编 已知椭圆（），过右焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的弦长为. （1）求椭圆的离心率. （2）已知（），点在椭圆上运动，且，为在轴上的射影. 当直线与直线相交时，记交点为，其中为坐标原点. 求点的轨迹；求轨迹有对称中心时的取值，并将对称中心平移到原点后，判断轨迹所在曲线的类型.   04 分层训练 请独立完成下列各题，写明必要的推理过程、参数的取值范围及等号成立条件. 训练01 由函数图象理解轨迹的范围 基础 原创经典题 本讲重新编拟 已知曲线是函数的图象. 求曲线的方程，并说明只写是否完整.   训练02 抛物线方程与动点的位置限制 基础 原创经典题 本讲重新编拟 动点到定点的距离等于它到直线的距离，且点在轴上或轴上方. 则点的轨迹为（ ） A. B. ，且 C. ，且 D. ，且   训练03 根据距离和求椭圆的方程 基础 海南中学2024—2025学年度第一学期期中考试 高二数学 第12题 选编 已知动点到定点、的距离之和为. 求点的轨迹方程.   训练04 由两种距离相等求轨迹 基础 原创经典题 本讲重新编拟 动点到定点的距离等于它到轴的距离. 求点的轨迹方程.   训练05 由面积条件求线段中点的轨迹 基础 原创经典题 本讲重新编拟 已知为坐标原点，动直线分别与轴、轴的正半轴交于、两点，且的面积为. 求线段中点的轨迹.   训练06 半圆上动点与线段中点的轨迹 基础 原创经典题 本讲重新编拟 已知，动点在圆的上半圆上运动（包含直径的两个端点），且. 设线段的中点为，则点的轨迹为________.   训练07 数量积为零时能否得到直角（多选） 基础 原创经典题 本讲重新编拟 已知、. 记为满足的点的集合，为满足的点的集合. 下列结论正确的是（ ） A. B. 是圆 C. 是圆除去、后的部分 D.   训练08 斜率乘积与双曲线的范围 提升 南宁市2025届普通高中毕业班摸底测试 数学 第5题 选编 实际考试年份2024 已知定点、，动点位于轴上方，直线、的斜率乘积为. 则点的轨迹为（ ） A. （） B. （） C. （） D. （）   训练09 与坐标轴相切的动圆的圆心轨迹 提升 原创经典题 本讲重新编拟 动圆经过定点，且与轴相切. 设圆心为，求点的轨迹，并说明轨迹上的每一点都能作为圆心.   训练10 动直线上垂足的轨迹 提升 原创经典题 本讲重新编拟 已知定点和坐标原点. 过的直线不垂直于轴，从点向作垂线，垂足为. 求点的轨迹.   训练11 由坐标关系求另一个动点的轨迹 提升 原创经典题 本讲重新编拟 已知动点在椭圆上运动，点与点的坐标满足、. 求点的轨迹方程，并检验所得轨迹是否完整.   训练12 距离和限制下的轨迹与最高点 提升 原创经典题 本讲重新编拟 已知、，动点满足、，且. 求点的轨迹及轨迹上最高点的坐标.   训练13 过抛物线焦点的弦及其中点轨迹 综合 原创经典题 本讲重新编拟 已知抛物线的焦点为. 动直线经过，与抛物线交于两个不同点、，设线段的中点为. （1）求点的轨迹方程. （2）求弦长的最小值，以及取得最小值时直线的方程.   训练14 由距离乘积研究曲线的性质（多选） 综合 2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I卷） 第11题 改编 曲线由满足下列条件的所有点组成：横坐标大于，且到定点的距离与到直线（）的距离之积等于. 已知曲线经过坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点在曲线上 C. 曲线在第一象限部分的纵坐标最大值为 D. 若点在曲线上，则   训练15 由距离乘积研究对称性与最值（多选） 综合 2025年四川省遂宁市中学校高2022级高三二模考试 第11题 选编 已知定点、，动点满足，其轨迹记为. 下列结论正确的是（ ） A. 若点在上，则点、也在上 B. 点的横坐标取值范围为 C. 上点的纵坐标最大值为 D. 与圆只有一个公共点   训练16 射线上动点的轨迹与距离范围 综合 原创经典题 本讲重新编拟 已知为坐标原点，动点在椭圆上运动. 在射线上取点，使. 设的坐标为. （1）求点的轨迹方程及相应的限制条件. （2）某同学认为，该轨迹是以原点为中心，长轴在轴上，长半轴长为、短半轴长为的椭圆. 判断这一说法是否正确. （3）求的取值范围，以及取最小值和最大值时点的坐标.   05 专题回看与易错诊断 易错说法 修正与检查 平方后忽略原式的符号条件 先记录算术平方根非负、距离非负等条件，再将所得结果代回原式检验. 约分后漏查原分母为零的情况 约分前应先讨论分母是否可能为零；原来无意义的点不能因约分而补入. 用斜率表示过定点的所有直线 斜率不能表示竖直直线，应另行讨论，或选用能包含竖直直线的参数表示. 得到中点关系就认定轨迹已求出 应检查是否有两个不同交点，并确认所得中点都能取得. 将方程上的所有点都作为轨迹点 应继续检查方程中是否包含多余分支、孤立点或题设已经排除的点. 完成后的自查 □ 能够说明轨迹点满足所得方程，也能说明满足方程及限制条件的点符合题意. □ 能够根据距离、中点、斜率等关系选择合适的方法，并写明参数的取值范围. □ 能够说明图中空心点为何不能取得，并检查原点、顶点和与坐标轴的交点. □ 能够将轨迹上的距离或坐标范围问题，转化为一个变量的范围或最值问题. 订正记录 错在第______步；遗漏的条件是________________；下次先检查________________. 学科网（北京）股份有限公司 $