专题1.1集合基础复习讲义-2027届高三数学一轮复习

【名师基础】　2027年高考数学一轮复习·名师基础系列　基础不牢，地动山摇 专题 1.1 集合（基础复习讲义） 【新高考专用】 考点要求 1．了解集合的含义，体会元素与集合的"属于"关系； 2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； 3．理解两个集合的并集、交集与补集的含义，能进行集合的基本运算； 4．能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会数形结合的思想。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 基础层拿分策略 元素特性与集合判定 选择题 卷首第1~3题 易 牢记确定性与互异性，直接判定 元素与数集的关系 选择题 卷首 易 背熟常用数集的含义 集合间关系与子集个数 选择题、填空题 卷首 易 会用 系列结论 集合的基本运算 选择题、填空题 卷首 易 数轴法+Venn图，注意端点开闭 含参的集合问题 选择题 卷首 中 列不等式，解完必须代回检验 命题规律分析 集合是高考的送分板块，常年位于选择题第1～3题的位置，难度中低档，是基础层"必须拿满"的分数。从新高考命题规律看，集合题呈现"一小一大"的特点：选择题考概念与运算（5分），偶与不等式、函数等知识交汇成中档题；新定义集合题是近年热点，但本质仍是集合运算的包装。基础层目标：概念题不丢分，运算题按"一定义、二画图、三作答"稳拿分，含参题养成"解完代回检验"的习惯。 考点1 集合的概念与表示方法 知识点1 集合的概念与元素特性 一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。 元素的三大特性：①确定性——任何一个对象是否属于这个集合是明确的；②互异性——集合中的元素互不相同；③无序性——集合中元素不分先后。 元素与集合的关系：（ 属于 ），（ 不属于 ）。 常用数集：自然数集 ，正整数集 （或 ），整数集 ，有理数集 ，实数集 。 【方法技巧】 1．判断一组对象能否构成集合，只看"确定性"：标准明确、能对任意对象回答"是或否"即可； 2．见到含参的集合，先默念"互异性"，把重复的元素舍去； 3．数集判断记口诀："N含0与正整，Z加负整，Q含分数小数，R包一切"。 【易错清单】 1．"比较大的数""著名的球星"等描述对象不确定，不能构成集合； 2． 写法违反互异性，应写成 ； 3． 但 ，正整数集不含0，最易出错。 知识点2 集合的表示方法 列举法：把元素一一列举出来写在花括号内，如 ，适用于元素较少的集合。 描述法：在花括号内画一条竖线，竖线前写代表元素及其范围，竖线后写元素的属性，如 ，在实数范围内可简写为 。 Venn图法：用封闭曲线表示集合，直观表达集合间的关系与运算。 列举法与描述法可以互转：先明确元素范围，再把满足条件的元素逐一写出。 【方法技巧】 1．描述法化列举法三步：定范围（如 ）→ 找候选 → 逐一代入筛选； 2．竖线前的"代表元素"决定集合元素是什么，读题先看代表元素。 【易错清单】 1． 是函数值的集合， 是抛物线上点的集合，二者不同； 2．省略范围时默认在实数范围内讨论，如 即 。 考点2 集合间的基本关系与基本运算 知识点3 集合间的基本关系 子集：如果集合 的任意一个元素都是集合 的元素，就说 是 的子集，记作 。 集合相等：如果 且 ，那么 。 真子集：如果 ，但 中至少有一个元素不属于 ，记作 。 空集：不含任何元素的集合，记作 。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 含 个元素的集合：子集有 个，真子集有 个，非空子集有 个，非空真子集有 个。 【方法技巧】 1．证明 的套路：任取 ，推出 ； 2．计数先数元素个数 ，再套 系列公式，"真""非空"各减1或2； 3． 是"隐形"条件：题中涉及 时，先想 能不能是空集。 【易错清单】 1．（属于）与 （包含于）是两回事，前者 是元素，后者 是集合； 2．"真子集个数"与"子集个数"差1（少它本身），"非空真子集"再少1（少空集）。 知识点4 集合的基本运算 交集： 且 ，即取公共元素。 并集： 或 ，即合在一起去重。 补集：设 为全集， 且 ，即"全集中去掉 "。 Venn图记忆：交集取"重叠"部分，并集取"覆盖"部分，补集取"框内圈外"部分。 【方法技巧】 1．区间运算画数轴：交集取公共部分，并集取覆盖部分，补集取"剩余"部分； 2．端点开闭看不等号：带等号的端点画实心、解集用方括号；不带等号的画空心、用圆括号。 【易错清单】 1．，顺序不能乱； 2．解集写成区间时，"或"连接两边，如 或 记作 。 知识点5 集合中的参数问题与元素个数 由 列不等式：把集合间的关系"翻译"成端点数的不等关系，借助数轴求解，解完后必须代回检验端点。 含参集合问题：把参数值逐一代入，利用元素的确定性、互异性检验取舍。 元素个数（容斥原理）：，其中 表示集合 中元素的个数。 【方法技巧】 1．含参三步：列关系（画数轴）→ 解不等式 → 代端点检验； 2．容斥原理两步：先加两集合人数，再减去重复计算的重叠部分； 3．"都不满足"的人数 = 总人数 减去 "至少满足一个"的人数。 【易错清单】 1．端点取不取等号必须单独检验：如 中 是否成立要代入原集合； 2．容斥原理只减一次重叠部分，不能重复减。 【题型1 集合的概念与元素特性】 【例1】下列各组对象能构成集合的是（　　） A．比较大的数　B．著名的数学家　C．2026年入学的高一新生　D．接近0的实数 【答案】C 【解题思路】依据集合元素的确定性逐一判断每组对象是否"能明确判断是否属于该集合"。 【解答过程】A中"比较大"、B中"著名"、D中"接近"都没有明确标准，对象不确定，不能构成集合；C中"2026年入学的高一新生"对象确定，能构成集合。故选C。 【方法点睛】判断一组对象能否构成集合，只看"确定性"：标准明确、能对任意对象回答"是或否"即可，与元素个数多少、元素"好不好找"无关。 【变式1-1】集合 中的元素（　　） A．可以是任意对象　B．互不相同　C．按从小到大排列　D．只能是数字 【答案】B 【解题思路】回顾元素的确定性、互异性、无序性。 【解答过程】集合中的元素具有互异性，必须互不相同，B正确；集合元素可以是任何确定的对象，A、D错误；元素具有无序性，C错误。故选B。 【变式1-2】下列各组对象：① 不超过2的实数；② 2026年诺贝尔文学奖获得者；③ 很接近0的数；④ 方程 的实数根。其中能构成集合的是（　　） A．①②③　B．①②④　C．①③④　D．②③④ 【答案】B 【解题思路】逐组按"确定性"判断，注意"很接近0"标准不明。 【解答过程】①"不超过2"标准明确；②获奖者确定唯一；④方程的实数根为 ，确定；③"很接近"标准不明确，不能构成集合。所以能构成集合的是①②④。故选B。 【变式1-3】用描述法表示"大于2的实数"组成的集合，正确的是（　　） A．　B．　C．　D．A和B都正确 【答案】D 【解题思路】描述法中范围可省略，省略时默认在实数范围内讨论。 【解答过程】A写明了范围 ，正确；B省略范围，默认实数范围，也表示同一集合，正确。故选D。 【题型2 元素与集合的关系、常用数集】 【例2】下列关系正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】按常用数集的定义判断各个数是否属于对应的数集。 【解答过程】0是自然数，A正确； 是整数，B错误； 是无理数，不属于有理数集 ，C错误； 是实数，D错误。故选A。 【方法点睛】数集判断先归类：整数看有没有小数部分，有理数看能否写成分数 ，实数集最大，根号开不尽的数（如 ）是无理数但仍是实数。 【变式2-1】已知集合 ，则集合 中元素的个数为（　　） A．1　B．2　C．3　D．4 【答案】C 【解题思路】先在给定范围内找出所有满足条件的自然数，再数个数。 【解答过程】在 内的自然数有 ，所以 ，共3个元素。故选C。 【变式2-2】下列关系不正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】找"不正确"的一项，用反例思维逐个排查。 【解答过程】 是整数，A正确；0是自然数，B正确； 是无理数，不属于 ，C不正确； 是有理数，D正确。故选C。 【变式2-3】已知集合 ，则集合 用列举法表示为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】在范围内找自然数，注意端点是否可取。 【解答过程】在 内的自然数有 ，所以 。故选A。 【题型3 集合间的基本关系与子集个数】 【例3】集合 的子集个数为（　　） A．6　B．7　C．8　D．9 【答案】C 【解题思路】直接使用"含 个元素的集合有 个子集"的结论。 【解答过程】集合 含3个元素，子集个数为 。故选C。 【方法点睛】子集个数不要"数"：先数集合元素个数 ，子集 、真子集 、非空子集 、非空真子集 ，一套公式全解决。 【变式3-1】集合 的非空真子集个数为（　　） A．1　B．2　C．3　D．4 【答案】B 【解题思路】非空真子集个数为 。 【解答过程】，非空真子集个数为 ，分别是 、。故选B。 【变式3-2】已知集合 ，，则（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】子集关系的含义是"A中每个元素都属于B"，注意区分"属于"与"包含于"。 【解答过程】 中每个元素都属于 ，所以 ，B正确； 中元素3不属于 ，故C、D错误； 是集合不是 的元素，A错误。故选B。 【变式3-3】已知集合 满足 ，则集合 的个数为（　　） A．2　B．3　C．4　D．5 【答案】B 【解题思路】先定"必含元素"，再数"可选元素"的组合。 【解答过程】 必含 ，从 中至少选1个（真子集），可以全选（子集）。所以 为 、、，共3个。故选B。 【题型4 集合的基本运算】 【例4】已知集合 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】交集取两个集合的公共元素。 【解答过程】公共元素为 ，所以 。故选B。 【方法点睛】列举法求交并补：交集"找相同"，并集"合一起去重复"，补集"在全集里去掉A"，三步都在草稿纸上划一遍，比口算可靠。 【变式4-1】已知集合 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】把两个集合画在数轴上，取公共部分，注意端点开闭。 【解答过程】，，公共部分为 ，即 。故选C。 【变式4-2】设全集 ，集合 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】补集是"在全集 中去掉 的元素后剩下的元素"。 【解答过程】从 中去掉 ，剩下 ，即 。故选B。 【变式4-3】设全集 ，集合 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】数轴上取 之外的部分，注意 归属。 【解答过程】，其补集为 ，即 。故选B。 【题型5 集合中的参数问题与元素个数】 【例5】已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】借助数轴， 就是"区间 整体落在区间 内"，转化为端点数的不等关系，再检验端点。 【解答过程】，。要使 整体落在 内，需 中最小的元素 满足 ，即 。检验：若 ，则 不包含 ，不合题意。所以 。故选A。 【方法点睛】含参集合问题三步：画数轴定位置 → 列端点不等式 → 代端点检验。端点检验是保分关键，宁可慢一步，不可错一分。 【变式5-1】已知全集 ，集合 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】先求并集，再在实数集中取补集，注意端点开闭。 【解答过程】，所以 。故选B。 【变式5-2】已知集合 ，若 ，则实数 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 或 【答案】D 【解题思路】由 分"哪个元素等于3"两种情况讨论，分别解方程并代回检验互异性。 【解答过程】①若 ，则 ，，满足互异性；②若 ，则 ，代入均满足互异性。所以 或 。故选D。 【变式5-3】某班有50名学生，参加A活动的有30人，参加B活动的有25人，两项活动都参加的有15人，则两项活动都不参加的有（　　） A．5人　B．10人　C．15人　D．20人 【答案】B 【解题思路】先用容斥原理求"至少参加一项"的人数，再用总人数减。 【解答过程】至少参加一项的有 人，都不参加的有 人。故选B。 【题型6 集合的新定义问题（基础）】 【例6】定义集合运算 且 。已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】按定义分两步：先算 ，再从中去掉 的元素。 【解答过程】，。所以 去掉 ，即 。故选A。 【方法点睛】新定义题"翻译"定义再计算：把新符号拆成"交并补"的旧运算，计算时严格按定义顺序来，不跳步。 【变式6-1】定义 且 。已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】同定义分两步计算。 【解答过程】，，所以 。故选A。 【变式6-2】定义 且 。已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】逐字读定义：同时在两个集合中的元素。 【解答过程】同时在 、 中的元素为 ，所以 。故选B。 【变式6-3】定义 为属于 或属于 、但不同时属于两者的元素组成的集合。已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】把新定义翻译成"并集去掉交集"，再逐个元素判断。 【解答过程】先在草稿上写出 、，再按要求删去同时属于两者的元素 ，得 。故选C。 一、单选题 1．（★）下列各组对象能构成集合的是（　　） A．著名的运动员　B．学习好的同学　C．大于2的实数　D．比较高大的树 【答案】C 【解题思路】根据元素的确定性判断。 【解答过程】A、B、D中"著名""学习好""比较高大"标准不明确，对象不确定，不能构成集合；C对象确定。故选C。 2．（★）已知集合 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】交集取公共元素。 【解答过程】公共元素为 ，所以 。故选B。 3．（★）集合 的真子集个数为（　　） A．6　B．7　C．8　D．9 【答案】B 【解题思路】真子集个数为 。 【解答过程】，真子集个数为 。故选B。 4．（★）设全集 ，集合 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】补集是全集中去掉 后剩下的元素。 【解答过程】去掉 后剩下 ，即 。故选B。 5．（★）已知集合 ，，则 中元素的个数为（　　） A．3　B．4　C．5　D．6 【答案】B 【解题思路】先求并集再数个数，注意去重。 【解答过程】，共4个元素。故选B。 6．（★）设集合 ，则下列关系正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把数代入区间条件逐一检验。 【解答过程】： 正确； 在区间内，B错误；，C错误；，D错误。故选A。 7．（★★）集合 的非空真子集个数为（　　） A．13　B．14　C．15　D．16 【答案】B 【解题思路】非空真子集个数为 。 【解答过程】，非空真子集个数为 。故选B。 8．（★★）已知集合 ，则集合 的子集个数为（　　） A．3　B．4　C．7　D．8 【答案】D 【解题思路】先用列举法数出元素个数，再套 。 【解答过程】，共3个元素，子集个数为 。故选D。 二、多选题 9．（★）下列关系式正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】ABC 【解题思路】逐一按数集定义判断。 【解答过程】0是自然数，A正确； 是实数，B正确； 是整数，C正确； 不是整数，D错误。故选ABC。 10．（★）已知集合 ，，则（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】ABC 【解题思路】分别求出交集、并集并判断包含关系。 【解答过程】，A正确；，元素个数为4，B、C正确； 中元素1不属于 ，D错误。故选ABC。 11．（★★）已知集合 ，则（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】BCD 【解题思路】区分"属于"（元素）与"包含于"（集合）是本题唯一考点。 【解答过程】 的元素是 ，不是集合 ，A错误； 是 的元素，B正确； 中元素都属于 ，C正确； 中元素都属于 ，D正确。故选BCD。 三、填空题 12．（★）已知集合 ，用列举法表示集合 ____________。 【答案】 【解题思路】在给定范围内找出所有满足条件的整数。 【解答过程】在 内的整数有 ，所以 。 13．（★）集合 的非空子集个数为____________。 【答案】15 【解题思路】非空子集个数为 。 【解答过程】，非空子集个数为 。 14．（★）已知全集 ，集合 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】在全集 中去掉 的元素。 【解答过程】去掉元素1，剩下 ，所以 。 四、解答题 15．（★）已知集合 ，。 (1) 求 ； (2) 求 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】借助数轴求交集、并集，再取补集，注意每个端点的开闭。 【解答过程】(1) 在数轴上，，，公共部分为 ，所以 。 (2) ，所以 。 16．（★）已知集合 ，。 (1) 若 ，求实数 的取值范围； (2) 若 ，求实数 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】把集合关系画在数轴上，转化为端点数的不等关系，并单独检验端点。 【解答过程】(1) ，。要使 整体落在 内，需 ，即 。 (2) 要使 ，两区间不能相交，需 。检验： 时 ，与 无公共元素，符合题意。 17．（★）已知全集 ，集合 ，。 (1) 求 和 ； (2) 求 。 【答案】(1) ，； (2) 。 【解题思路】先分别求两个补集，再取交集；也可用结论 验证。 【解答过程】(1) 公共元素只有3，合并去重后为 。 (2) ，，二者交集为 。 验证：，一致。 18．（★★）已知集合 ，。 (1) 若 ，求实数 的取值范围； (2) 若 恰有2个元素，求实数 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 最小元素要大于 ；(2) 交集中恰有2个元素，即 只能圈住 两个数。 【解答过程】(1) 中最小元素为 ，要 ，即 。 (2) 恰有2个元素，这2个元素是 ，所以 要满足 ： 时 ，交集中有 ； 时 ，交集中只有2，不合题意。 19．（★★）某班有学生45人，其中参加数学兴趣小组的有28人，参加物理兴趣小组的有22人，两个小组都参加的有12人。 (1) 求至少参加一个小组的人数； (2) 求两个小组都不参加的人数。 【答案】(1) 38人； (2) 7人。 【解题思路】容斥原理：两部分相加，重叠部分只算一次。 【解答过程】(1) 至少参加一个小组的有 人。 (2) 都不参加的有 人。 【名师基础】　—— 本讲义完 —— 【名师基础】专题1.1 集合　1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $【名师基础】　2027年高考数学一轮复习·名师基础系列　基础不牢，地动山摇 专题 1.1 集合（基础复习讲义） 【新高考专用】 考点要求 1．了解集合的含义，体会元素与集合的"属于"关系； 2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； 3．理解两个集合的并集、交集与补集的含义，能进行集合的基本运算； 4．能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会数形结合的思想。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 基础层拿分策略 元素特性与集合判定 选择题 卷首第1~3题 易 牢记确定性与互异性，直接判定 元素与数集的关系 选择题 卷首 易 背熟常用数集的含义 集合间关系与子集个数 选择题、填空题 卷首 易 会用 系列结论 集合的基本运算 选择题、填空题 卷首 易 数轴法+Venn图，注意端点开闭 含参的集合问题 选择题 卷首 中 列不等式，解完必须代回检验 命题规律分析 集合是高考的送分板块，常年位于选择题第1～3题的位置，难度中低档，是基础层"必须拿满"的分数。从新高考命题规律看，集合题呈现"一小一大"的特点：选择题考概念与运算（5分），偶与不等式、函数等知识交汇成中档题；新定义集合题是近年热点，但本质仍是集合运算的包装。基础层目标：概念题不丢分，运算题按"一定义、二画图、三作答"稳拿分，含参题养成"解完代回检验"的习惯。 考点1 集合的概念与表示方法 知识点1 集合的概念与元素特性 一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。 元素的三大特性：①确定性——任何一个对象是否属于这个集合是明确的；②互异性——集合中的元素互不相同；③无序性——集合中元素不分先后。 元素与集合的关系：（ 属于 ），（ 不属于 ）。 常用数集：自然数集 ，正整数集 （或 ），整数集 ，有理数集 ，实数集 。 【方法技巧】 1．判断一组对象能否构成集合，只看"确定性"：标准明确、能对任意对象回答"是或否"即可； 2．见到含参的集合，先默念"互异性"，把重复的元素舍去； 3．数集判断记口诀："N含0与正整，Z加负整，Q含分数小数，R包一切"。 【易错清单】 1．"比较大的数""著名的球星"等描述对象不确定，不能构成集合； 2． 写法违反互异性，应写成 ； 3． 但 ，正整数集不含0，最易出错。 知识点2 集合的表示方法 列举法：把元素一一列举出来写在花括号内，如 ，适用于元素较少的集合。 描述法：在花括号内画一条竖线，竖线前写代表元素及其范围，竖线后写元素的属性，如 ，在实数范围内可简写为 。 Venn图法：用封闭曲线表示集合，直观表达集合间的关系与运算。 列举法与描述法可以互转：先明确元素范围，再把满足条件的元素逐一写出。 【方法技巧】 1．描述法化列举法三步：定范围（如 ）→ 找候选 → 逐一代入筛选； 2．竖线前的"代表元素"决定集合元素是什么，读题先看代表元素。 【易错清单】 1． 是函数值的集合， 是抛物线上点的集合，二者不同； 2．省略范围时默认在实数范围内讨论，如 即 。 考点2 集合间的基本关系与基本运算 知识点3 集合间的基本关系 子集：如果集合 的任意一个元素都是集合 的元素，就说 是 的子集，记作 。 集合相等：如果 且 ，那么 。 真子集：如果 ，但 中至少有一个元素不属于 ，记作 。 空集：不含任何元素的集合，记作 。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 含 个元素的集合：子集有 个，真子集有 个，非空子集有 个，非空真子集有 个。 【方法技巧】 1．证明 的套路：任取 ，推出 ； 2．计数先数元素个数 ，再套 系列公式，"真""非空"各减1或2； 3． 是"隐形"条件：题中涉及 时，先想 能不能是空集。 【易错清单】 1．（属于）与 （包含于）是两回事，前者 是元素，后者 是集合； 2．"真子集个数"与"子集个数"差1（少它本身），"非空真子集"再少1（少空集）。 知识点4 集合的基本运算 交集： 且 ，即取公共元素。 并集： 或 ，即合在一起去重。 补集：设 为全集， 且 ，即"全集中去掉 "。 Venn图记忆：交集取"重叠"部分，并集取"覆盖"部分，补集取"框内圈外"部分。 【方法技巧】 1．区间运算画数轴：交集取公共部分，并集取覆盖部分，补集取"剩余"部分； 2．端点开闭看不等号：带等号的端点画实心、解集用方括号；不带等号的画空心、用圆括号。 【易错清单】 1．，顺序不能乱； 2．解集写成区间时，"或"连接两边，如 或 记作 。 知识点5 集合中的参数问题与元素个数 由 列不等式：把集合间的关系"翻译"成端点数的不等关系，借助数轴求解，解完后必须代回检验端点。 含参集合问题：把参数值逐一代入，利用元素的确定性、互异性检验取舍。 元素个数（容斥原理）：，其中 表示集合 中元素的个数。 【方法技巧】 1．含参三步：列关系（画数轴）→ 解不等式 → 代端点检验； 2．容斥原理两步：先加两集合人数，再减去重复计算的重叠部分； 3．"都不满足"的人数 = 总人数 减去 "至少满足一个"的人数。 【易错清单】 1．端点取不取等号必须单独检验：如 中 是否成立要代入原集合； 2．容斥原理只减一次重叠部分，不能重复减。 【题型1 集合的概念与元素特性】 【例1】下列各组对象能构成集合的是（　　） A．比较大的数　B．著名的数学家　C．2026年入学的高一新生　D．接近0的实数 【变式1-1】集合 中的元素（　　） A．可以是任意对象　B．互不相同　C．按从小到大排列　D．只能是数字 【变式1-2】下列各组对象：① 不超过2的实数；② 2026年诺贝尔文学奖获得者；③ 很接近0的数；④ 方程 的实数根。其中能构成集合的是（　　） A．①②③　B．①②④　C．①③④　D．②③④ 【变式1-3】用描述法表示"大于2的实数"组成的集合，正确的是（　　） A．　B．　C．　D．A和B都正确 【题型2 元素与集合的关系、常用数集】 【例2】下列关系正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-1】已知集合 ，则集合 中元素的个数为（　　） A．1　B．2　C．3　D．4 【变式2-2】下列关系不正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-3】已知集合 ，则集合 用列举法表示为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型3 集合间的基本关系与子集个数】 【例3】集合 的子集个数为（　　） A．6　B．7　C．8　D．9 【变式3-1】集合 的非空真子集个数为（　　） A．1　B．2　C．3　D．4 【变式3-2】已知集合 ，，则（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-3】已知集合 满足 ，则集合 的个数为（　　） A．2　B．3　C．4　D．5 【题型4 集合的基本运算】 【例4】已知集合 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-1】已知集合 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-2】设全集 ，集合 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-3】设全集 ，集合 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型5 集合中的参数问题与元素个数】 【例5】已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-1】已知全集 ，集合 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-2】已知集合 ，若 ，则实数 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 或 【变式5-3】某班有50名学生，参加A活动的有30人，参加B活动的有25人，两项活动都参加的有15人，则两项活动都不参加的有（　　） A．5人　B．10人　C．15人　D．20人 【题型6 集合的新定义问题（基础）】 【例6】定义集合运算 且 。已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-1】定义 且 。已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-2】定义 且 。已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-3】定义 为属于 或属于 、但不同时属于两者的元素组成的集合。已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 一、单选题 1．（★）下列各组对象能构成集合的是（　　） A．著名的运动员　B．学习好的同学　C．大于2的实数　D．比较高大的树 2．（★）已知集合 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 3．（★）集合 的真子集个数为（　　） A．6　B．7　C．8　D．9 4．（★）设全集 ，集合 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 5．（★）已知集合 ，，则 中元素的个数为（　　） A．3　B．4　C．5　D．6 6．（★）设集合 ，则下列关系正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★）集合 的非空真子集个数为（　　） A．13　B．14　C．15　D．16 8．（★★）已知集合 ，则集合 的子集个数为（　　） A．3　B．4　C．7　D．8 二、多选题 9．（★）下列关系式正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 10．（★）已知集合 ，，则（　　） A．　B．　C．　D． 11．（★★）已知集合 ，则（　　） A．　B．　C．　D． 三、填空题 12．（★）已知集合 ，用列举法表示集合 ____________。 13．（★）集合 的非空子集个数为____________。 14．（★）已知全集 ，集合 ，则 ____________。 四、解答题 15．（★）已知集合 ，。 (1) 求 ； (2) 求 。 16．（★）已知集合 ，。 (1) 若 ，求实数 的取值范围； (2) 若 ，求实数 的取值范围。 17．（★）已知全集 ，集合 ，。 (1) 求 和 ； (2) 求 。 18．（★★）已知集合 ，。 (1) 若 ，求实数 的取值范围； (2) 若 恰有2个元素，求实数 的取值范围。 19．（★★）某班有学生45人，其中参加数学兴趣小组的有28人，参加物理兴趣小组的有22人，两个小组都参加的有12人。 (1) 求至少参加一个小组的人数； (2) 求两个小组都不参加的人数。 【名师基础】　—— 本讲义完 —— 【名师基础】专题1.1 集合　1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $