专题1.1集合（讲义）-2027届高三数学一轮复习

2027届高考数学一轮复习培优系列 专题1.1 集合（培优复习讲义） 【全国通用】 目　录 一、命题透视·考情前瞻 2 二、思维建模·脉络梳理 3 三、知识精讲·靶向突破 4 知识点1 集合的概念与元素的三大特性 4 知识点2 集合的表示方法与元素和集合的关系 4 知识点3 集合间的基本关系与子集个数 5 知识点4 集合的基本运算与运算性质 6 知识点5 集合中的常用结论与核心思想 7 四、重难点培优 8 重难点培优01 集合的概念与元素的三大特性重 8 重难点培优02 元素与集合的关系及集合的表示重 10 重难点培优03 集合间的基本关系与（真）子集个数重 13 重难点培优04 集合的基本运算（交、并、补）重 15 重难点培优05 含参集合的求值问题（元素特性型）重 18 重难点培优06 含参集合的取值范围问题（空集陷阱型）难 21 重难点培优07 Venn图的应用与容斥原理重 23 重难点培优08 集合中的新定义问题难 26 五、过关检测 30 一、单选题 30 二、多选题 32 三、填空题 33 四、解答题 34 一、命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 考点要求 具体要求 集合的含义与表示 了解集合的含义，体会元素与集合的"属于"关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题 集合间的基本关系 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；理解空集是任何集合的子集这一特殊地位 集合的基本运算 理解并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集 近三年高考真题对集合板块的考查一览（2024—2026；全国一、二卷即新课标Ⅰ、Ⅱ卷）： 年份 试卷·题号 考查内容 难度 2026 全国一卷 T3 交集运算，与特殊角三角函数交汇 ★★ 2026 全国二卷 T2 交集运算，与根式方程交汇 ★ 2025 全国一卷 T2 补集运算，求补集元素个数 ★ 2025 全国二卷 T3 交集运算，与三次方程交汇 ★ 2024 新课标Ⅰ卷 T1 交集运算，与不等式交汇 ★ 2024 全国甲卷·理 T2 补集与交集运算 ★★ 2024 全国甲卷·文 T1 交集运算 ★ 2024 天津卷 T1 交集运算 ★ 考情分析 集合是高考的"必考送分题"，近三年稳定出现在选择题第 1~3 题，分值固定 5 分，难度以容易题为主。但从 2024—2026 年的命题看，"集合＋其它知识"的交汇考查明显增强：2026 年全国一卷以特殊角三角函数值为元素构造集合，全国二卷把集合与根式方程结合；2025 年全国一卷求补集的元素个数，全国二卷与三次方程交汇；2024 年新课标Ⅰ卷与一元三次不等式交汇，全国甲卷（理）则把补集与交集嵌套考查。依据《普通高中数学课程标准》与《中国高考评价体系》，集合板块的核心素养指向"数学抽象、逻辑推理与数学运算"。预测 2027 年高考仍以"集合的基本运算"为主线，并以"新定义、含参、区间交汇、Venn 图与容斥"为载体提升区分度。 复习目标 1．准确辨析元素与集合、集合与集合的关系，熟练运用""等符号； 2．夯实"交、并、补"三大运算，能用数轴与Venn图处理区间型集合问题； 3．突破含参集合的求值与取值范围问题，牢记"空集优先"的分类讨论思想； 4．掌握子集个数公式、容斥原理（德摩根律）与集合新定义问题的通性通法。 二、思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 图 1　集合知识体系思维导图 三、知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知识点1　集合的概念与元素的三大特性 一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称集）。集合中的元素具有三大特性： ①确定性——给定集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是明确的； ②互异性——同一个集合中的元素互不相同； ③无序性——集合中的元素没有先后顺序。 元素与集合的关系：若 是集合 的元素，记作 ；若 不是集合 的元素，记作 。 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 记号 或 【方法技巧】 1．判断一组对象能否构成集合，只看"确定性"：标准明确、能对任意对象回答"是或否"即可，与元素个数多少无关； 2．含参集合问题先"亮出互异性"：求出参数后必须代回，剔除会使元素重复的参数值； 3．数集判断记口诀：" 含 0 与正整数， 再加负整数， 含分数小数， 包一切， 添虚数"。 【易错清单】 1．"绝对值比较大的数""著名的科学家"等描述对象不确定，不能构成集合； 2．集合 违反互异性，应写成 ；含参集合求参后不检验互异性是最高频失分点； 3． 含 ，而 （即 ）不含 ，最易混淆。 知识点2　集合的表示方法与元素和集合的关系 集合的三种表示法： 列举法：把元素逐一列举在花括号内，如 ，适用于元素较少的有限集； 描述法：在花括号内用竖线""分隔，竖线前写代表元素及其范围，竖线后写元素的属性，如 、； Venn图法：用平面内的封闭曲线表示集合，直观表达集合间的关系与运算。 【方法技巧】 1．描述法识别三步：看竖线前的"代表元素"（是数还是点）→ 看竖线后的"属性"→ 明确默认范围（未写范围默认在实数集 内讨论）； 2． 表示函数 的定义域（即 ）， 表示其值域（即 ）， 表示抛物线上所有点，三者完全不同； 3．列举法与描述法可互化：先定范围，再依次筛选。 【易错清单】 1．""用于元素与集合之间，""用于集合与集合之间，不可混用； 2．元素 与单元素集合 不是一回事， 成立而 无意义。 知识点3　集合间的基本关系与子集个数 关系 符号 核心含义 子集 （或 ） 中任意一个元素都是 中的元素 真子集 ，且 中至少有一个元素不属于 相等 且 空集 不含任何元素的集合，是任何集合的子集 若有限集合 中含 个元素，则： ① 的子集个数为 ；② 的真子集个数为 ；③ 的非空子集个数为 ；④ 的非空真子集个数为 。 【方法技巧】 1．子集个数不要"数"：先数清元素个数 ，一套公式 全解决； 2．证明 的套路是"任取 ，推出 "； 3．区间型集合用数轴定范围：端点是否取到由不等号决定，实心取、空心不取。 【易错清单】 1．空集优先：涉及 且 可为空集时，必须先讨论 的情形，否则漏解； 2．子集个数与"真子集"差 （少它本身），"非空真子集"再少 （少空集）； 3．判断子集关系时，不能把" 中元素的个数比 少"当作 的依据。 知识点4　集合的基本运算与运算性质 运算 文字语言 集合语言 交集 与 的公共元素组成的集合 并集 与 的所有元素合并（去重）组成的集合 补集 全集 中不属于 的元素组成的集合 三大运算性质（含德摩根律）： ①； ②； ③； ④德摩根律：，。 【方法技巧】 1．求交、并、补的几何意义：交取"重叠"、并取"覆盖"、补取"框内圈外"； 2．区间运算画数轴：交集取公共部分，并集取覆盖部分，补集取"剩余"部分；端点开闭与不等号一致； 3．重要转化：，，。 【易错清单】 1．求补集时先明确全集范围，" 中不属于 "缺一不可； 2．端点取舍错误（ 与 ）是选择题高频陷阱，务必在数轴上标清虚实； 3．解集用区间表示时，"或"连接的两段取并集，如 或 记作 。 知识点5　集合中的常用结论与核心思想 1．容斥原理：，其中 表示集合 中元素的个数； 2．三集合容斥：； 3．“补集思想（正难则反）”：当正面情况复杂、反面情况简单时，先求反面再取补集； 4．集合与不等式、函数定义域（值域）交汇时，先化成区间，再按区间运算处理。 【方法技巧】 1．容斥原理两步走：先加各部分人数，再减去重复计算的重叠部分； 2．"都不满足"的人数 = 总人数 "至少满足一个"的人数； 3．三集合Venn图分区记忆：只属于一个集合、恰属于两个集合、三个集合都属的元素，分区计算不易错。 【易错清单】 1．容斥原理只减一次重叠部分，不可重复减； 2．含参集合问题求参后要检验端点、检验互异性、检验空集，三重检验缺一不可。 四、重难点培优 ——聚焦高频难点，突破思维瓶颈 重难点培优01　集合的概念与元素的三大特性　★★ 【解题技巧】集合概念题的"三步定音"：先看确定性，再用互异性，最后验无序性。含参集合一律"求参先求值、求值后代回原集合检验互异性"——这一步是拿满分的最后一道防线。 【注意事项】元素"三大特性"是本重难点的核心：确定性用于"能否构成集合"，互异性用于"含参求值取舍"，无序性用于"集合相等"。含参题若不做互异性检验，几乎必错。 【例1-1】（2026·河南·河南省实验中学·临门押题实战演练）已知集合 ，，若 ，则实数 的取值集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先解一元二次方程得 ，由 得 ，列方程求 ，最后用"互异性"排除增根。 【解答过程】令 ，解得 或 ，所以 。 因为 ，所以 ，即 或 。 若 ，则 ，此时 ，满足 ； 若 ，则 。当 时，，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；当 时，，满足 。 综上， 的取值集合为 。故选 C。 【例1-2】（2026·福建·南安市成功中学·考前推送）已知集合 ，，若 ，则 （　　） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 或 【答案】A 【解题思路】由 得 ，将 的元素逐个"塞入"，再检验互异性。 【解答过程】由 ，得 。因为 ，所以只需 ，即 或 。 若 ，则 ，此时 ，符合题意； 若 ，则 ，解得 或 。当 时，，与互异性矛盾，舍去；当 时，，符合题意。 综上， 或 。故选 A。 【变式1-1】下列各组对象不能构成集合的是（　　） A．2027年高考数学的考试科目 B．所有大于 的实数 C．著名的科学家 D．方程 的实数根 【答案】C 【解题思路】依据集合元素的"确定性"逐一判断各组对象的判定标准是否明确。 【解答过程】A、B、D 中对象的判定标准都明确，能构成集合；C 中"著名"没有明确标准，对象不确定，不能构成集合。故选 C。 【变式1-2】（2026·河北·石家庄·模拟改编）已知集合 ，则 的真子集个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先解方程求出元素，再数清元素个数，套用真子集公式。 【解答过程】由 得 ，所以 ，含 个元素。真子集个数为 。故选 B。 【变式1-3】若集合 中恰有一个元素，则实数 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 【答案】C 【解题思路】分 （一次方程）与 （二次方程判别式为零）两种情况讨论。 【解答过程】当 时，方程变为 ，解得 ，此时 中恰有一个元素； 当 时，方程为一元二次方程，要使 中恰有一个元素，须 ，解得 。 综上， 或 。故选 C。 【变式1-4】已知集合 ，若 ，则实数 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 或 【答案】B 【解题思路】由 分三个含参元素分别等于 讨论，求出参数后逐一检验互异性。 【解答过程】分三种情况： ①若 ，则 ，此时 ，元素重复，舍去； ②若 ，则 或 。当 时，，符合；当 时，，元素重复，舍去； ③若 ，即 ，则 或 ，均与前面分析矛盾（都会造成元素重复），舍去。 综上，。故选 B。 【变式1-5】（2026·安徽·合肥·模拟）已知集合 ，则 的子集个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先由 与范围确定元素并写出集合，再套用子集公式。 【解答过程】因为 且 ，所以 ，即 ，含 个元素，子集个数为 。故选 C。 重难点培优02　元素与集合的关系及集合的表示　★★ 【解题技巧】判断"元素与集合"关系要"三看"：一看代表元素（竖线前是数还是点），二看属性（竖线后的方程或不等式），三看范围（未注明时默认在实数集 内讨论）。含字母的集合要"先认元素，再辨关系，最后才动笔算"。 【注意事项】元素与集合（）、集合与集合（）两套符号不可混用；描述法中"代表元素"是数还是点，决定了集合的本质，务必看清竖线前的记号。 【例2-1】（2026·安徽·合肥市第一中学·高三最后一卷）已知集合 ，若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先由不等式确定 的范围（含参数 ），再由 转化为" 不在区间内"求 ，注意补集思想。 【解答过程】不等式 的解集为 。 由 知 不在区间 内，即 ，解得 。 （也可反面思考：若 ，则 ，即 或 ，取其补集得 。） 所以 的取值范围为 。故选 B。 【例2-2】（2025·重庆·学业质量调研抽测·第二次）已知全集 ，集合 满足 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由补集的定义先"还原"出 ，再逐项判断元素与集合的关系。 【解答过程】因为 ，所以 。 故 ，，，。故选 D。 【变式2-1】下列关系式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】逐一比对"元素与集合""集合与集合"两套符号的适用范围。 【解答过程】 是无理数，A 错；空集不含任何元素，B 错；空集是任何集合的子集，C 正确； 与 是集合与集合的关系，""用于元素与集合，D 错。故选 C。 【变式2-2】（2026·四川·成都·模拟）已知集合 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先认清 表示非负偶数集，再逐项判断元素归属。 【解答过程】 表示非负偶数集 。，A 错； 是奇数，，B 错；，C 正确；元素与集合用""， 不是 的元素，D 错。故选 C。 【变式2-3】用描述法表示"被 除余 的整数"组成的集合，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用带余除法刻画"被 除余 "，并注意参数范围应是全体整数。 【解答过程】"被 除余 "即 ，且范围应为全体整数，故 C（限定 ）不正确，B、D 表示的数不相同。故选 A。 【变式2-4】（2026·陕西·西安·三模）已知集合 ，则下列点属于 的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】把点的坐标代入直线方程检验是否满足 。 【解答过程】 是直线 上所有点组成的集合，逐项代入：，，，。只有 满足。故选 B。 【变式2-5】已知集合 ，则用列举法表示 为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】在整数范围内逐一举出满足不等式的元素，注意右端点是开端点。 【解答过程】 为整数且满足 ，故 ，即 ，注意端点 取不到。故选 A。 重难点培优03　集合间的基本关系与（真）子集个数　★★★ 【解题技巧】子集个数问题"先定 、后套公式"：子集 个，真子集 个，非空子集 个，非空真子集 个。判断两个数集相等，常用"通项对照法"——把两边的代表元素化成同一形式再比较，比逐一列举更快更稳。 【注意事项】①子集个数公式要先数清元素个数，元素个数看错一切皆错；②判断集合相等不能只比"元素个数"，要证明两个方向的包含；③ 这类"以集合为元素"的问题，务必牢记 的元素是"集合"而不是"数"。 【例3-1】（2026·湖南·衡阳市衡阳县·考前学情调研）设集合 ，，则 的子集的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求出 ，再求 ，数清元素个数 ，套用 。 【解答过程】由 且 ，得 ，即 。 所以 ，含 个元素，其子集个数为 。故选 D。 【例3-2】（2026·江西·重点中学协作体·第二次联考）已知集合 ，集合 ，则集合 的真子集个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分别解不等式求出 、，再用数轴求交集，最后套真子集公式 。 【解答过程】由 ，得 且 ，即 ，所以 。 由 且 ，得 ，整数解为 ，所以 。 所以 ，含 个元素，真子集个数为 。故选 C。 【例3-3】（2025·辽宁·一模）已知集合 ，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先判断两个集合所表示的数的本质（奇偶性、余数特征），再比较关系。 【解答过程】 表示所有奇数组成的集合。 中， 与 都表示奇数（分别为 的倍数加 、加 ），两者合起来仍是全部奇数，所以 也表示所有奇数。 因此 。故选 C。 【变式3-1】集合 的子集个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】直接使用"含 个元素的集合有 个子集"的结论。 【解答过程】 含 个元素，子集个数为 （含空集与 本身）。故选 D。 【变式3-2】（2026·贵州·六盘水·一模改编）集合 的真子集个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】解一元二次不等式并在整数范围内列举元素，再套真子集公式。 【解答过程】由 得 ，即 。又 ，故 ，即 ，含 个元素，真子集个数为 。故选 C。 【变式3-3】已知集合 ，，若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】借助数轴，把 转化为区间右端点的不等式。 【解答过程】，。要使 ，只需区间 右端点不超过 ，即 。故选 A。 【变式3-4】（2026·云南·昆明·模拟）已知集合 ，，则 与 的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分别列举两个集合的元素，判断二者所表示数的本质是否相同。 【解答过程】（ 得 ）；（ 得 ）。两个集合都表示"被 除余 的自然数"，故 。故选 C。 【变式3-5】已知集合 ，，则 中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】认清 的元素是 的子集（集合的集合），逐一列举。 【解答过程】 的元素是 的所有子集，即 ，共 个元素。故选 C。 重难点培优04　集合的基本运算（交、并、补）　★★★ 【解题技巧】集合运算"三步走"：先化简（解方程、解不等式、算特殊值）→ 再定元素（离散数集列举、连续数集画数轴）→ 后运算（交取公共、并取覆盖、补取剩余）。求补集前，务必先明确全集 。 【注意事项】高考集合题常"先算元素再运算"：如例 4-3 需先算特殊角三角函数，变式 4-1、4-2 需先解方程。忽略"先化简"直接配对，是翻车主因。补集问题先确认全集范围。 【例4-1】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】开立方求出集合 的范围，估计 、 的大致位置，再逐项判断 中元素。 【解答过程】由 得 ，所以 。 因为 ，所以在 中，只有 和 满足 ，其余均不在 内。 所以 。故选 A。 【例4-2】（2025·全国一卷·高考真题）已知集合 ，，则 中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先把全集 用列举法写出，再由补集定义求出 ，最后数元素个数。 【解答过程】因为 ，， 所以 ，其中元素的个数为 。故选 C。 【例4-3】（2026·全国一卷·高考真题）已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先用诱导公式把集合 的三个三角值算出，写出 （注意互异性），再与 求交集。 【解答过程】； ； 。 所以 ，又 ， 则 。故选 C。 【变式4-1】（2025·全国二卷·高考真题）已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先解方程 化简 ，再求 。 【解答过程】由 得 ，即 ，解得 ，所以 。 所以 。故选 D。 【变式4-2】（2026·全国二卷·高考真题）已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由根式方程先确定 ，平方后解方程化简 。 【解答过程】由 知 ，两边平方得 ，即 ，解得 或 （均非负），所以 。 所以 。故选 A。 【变式4-3】（2024·全国甲卷·理·高考真题）已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先由 求出 ，再求 及其在 中的补集。 【解答过程】由 得 ，即 ，所以 。 则 ，所以 。故选 D。 【变式4-4】（2024·天津·高考真题）集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】直接取两个集合的公共元素。 【解答过程】两个集合的公共元素为 ，所以 。故选 B。 【变式4-5】（2026·广东·肇庆·二模）设全集 ，集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分析两个集合所表示数的余数特征，先求并集再取补集。 【解答过程】 表示"被 除余 "的整数， 表示"被 除余 "的整数，两者合起来恰为所有奇数，即 。 所以 为所有偶数组成的集合，即 。故选 B。 【变式4-6】（2026·天津·二模改编）已知全集 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由补集定义得 ，比较两集合的元素对应关系求 。 【解答过程】由补集定义知 ，故 ， 比较得 且 ，解得 。故选 A。 重难点培优05　含参集合的求值问题（元素特性型）　★★★ 【解题技巧】含参"求值"型问题的通用步骤：① 由包含或相等关系列出"元素对应"的方程（组）；② 解方程得候选值；③ 逐个代回原集合，用互异性筛选。切记第 ③ 步不能省。 【注意事项】"含参求值"型问题有三类陷阱：①漏解（只考虑一种元素对应关系）；②增解（未检验互异性）；③错解（相等关系未双向验证）。养成"列方程 → 求候选 → 代回检验"的固定动作，可稳拿分。 【例5-1】（2026·西藏·日喀则·模拟）集合 ，，若 ，则实数 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由 得 且 ，列出 满足的方程，再检验互异性。 【解答过程】由 得 且 。 ： 或 ，即 或 ； ： 或 ，即 或 。 两者取交集得 或 。检验： 时 ，元素重复，舍去； 时 ，，满足 。 所以 。故选 D。 【例5-2】（2026·江西·宜春中学等校·5月高考大练兵）若集合 ，，且 ，则 的值为（　　） A． B． 或 C． 或 D． 或 【答案】C 【解题思路】由 得 ，分 与 讨论，再用互异性一一排除。 【解答过程】由 得 。 若 ，则 ，满足 ； 若 ，则 或 。当 时，，元素重复，舍去；当 时，，满足 。 综上， 或 。故选 C。 【变式5-1】（2026·河南·二模改编）已知集合 ，，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由 得 ，分 的三种可能取值讨论并检验互异性。 【解答过程】由 得 ，所以 。 若 ，则 ，均使 或 出现重复元素，舍去； 若 ，则 。当 时 ，重复舍去；当 时 ，，满足； 若 ，则 或 ，均使元素重复，舍去。 综上，。故选 D。 【变式5-2】已知集合 ，，若 ，则 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 【答案】C 【解题思路】由集合相等建立方程 ，解出后检验互异性。 【解答过程】由 得 （当 时），即 ，解得 或 。 检验： 时 ，，满足； 时 ，，满足； 时 ，元素重复，舍去。 所以 或 。故选 C。 【变式5-3】（2026·广西·模拟）已知集合 ，且 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 或 【答案】C 【解题思路】由 分两个含参元素讨论，求出参数后检验互异性。 【解答过程】由 ，得 或 。 若 ，则 ，元素重复，舍去； 若 ，即 ，解得 或 。当 时，，元素重复，舍去；当 时，，符合。 综上，。故选 C。 【变式5-4】（2026·湖北·武汉·二模改编）设集合 ，，若 ，则实数 的取值构成的集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先解 ，再把 因式分解，由 确定 的取值。 【解答过程】。对 ：，所以 。 由 得 ，即 或 （当 时 ，仍满足）。 所以 的取值构成的集合为 。故选 C。 【变式5-5】已知集合 ，，若 ，则 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 或 【答案】C 【解题思路】由 得 ，分两种情况求 后检验。 【解答过程】，则 （成立）且 。 由 得 或 。若 ，则 ，此时 ，，，符合； 若 ，则 。当 时 ，重复舍去；当 时 ，，，符合。 综上， 或 。故选 C。 重难点培优06　含参集合的取值范围问题（空集陷阱型）　★★★★ 【解题技巧】"空集优先"是含参子集问题最重要的思想：空集是任何集合的子集，当结论中含 而 的端点含参时， 的情形极易漏解。列端点不等式组时，端点能否取到要逐个检验。 【注意事项】含参"取值范围"型问题的两大高频错误：①漏掉""的情形；②端点取等号判断错误。建议每道题都在草稿纸上画数轴，把端点"实心/空心"画出来，再逐一检验。 【例6-1】（2026·辽宁·铁岭市开原市高级中学等校·考前模拟）已知集合 ，，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先由指数不等式求出 ，再由 把"集合包含"翻译成"端点不等式组"，注意端点开闭。 【解答过程】由 得 ，因为 单调递增，所以 ，即 。 又 且 ，所以 且 ，解得 。 所以 的取值范围是 。故选 D。 【例6-2】（2026·河南·二模）已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． 或 D． 或 【答案】D 【解题思路】"空集优先"：先讨论 ，再讨论 时用数轴列端点不等式组。 【解答过程】①当 时，，解得 ，此时 成立； ②当 时，。要使 ，需 ，解得 。 综上， 或 。故选 D。 【变式6-1】（2026·安徽·模拟）已知集合 ，，若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】 即区间 完全落入 ，列端点不等式组。 【解答过程】 即区间 完全落在 内，需 且 ，解得 。故选 A。 【变式6-2】已知集合 ，，若 ，则实数 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】区间 被 覆盖，需左端点不大于 、右端点不小于 。 【解答过程】要使 ，需 且 ，即 且 ，故 。故选 A。 【变式6-3】（2026·山东·青岛·模拟）已知集合 ，，若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先解二次不等式求 ，再由 得右端点不等式。 【解答过程】由 得 ，即 。要使 ，需 ，即 （注意 取不到，故不能取等号）。故选 B。 【变式6-4】已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】"空集优先"：先讨论 ，再在 时列端点不等式组。 【解答过程】①若 ，则 ，解得 ，满足 ； ②若 ，则 ，需 且 ，解得 ，与 取交集得 。 综上，。故选 A。 【变式6-5】（2026·福建·厦门·模拟）已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】两区间的并覆盖数轴，比较端点确定 的范围。 【解答过程】，。要覆盖整个实数轴，需 。故选 A。 重难点培优07　Venn图的应用与容斥原理　★★★ 【解题技巧】解集合应用题（容斥问题）的三步：① 设未知数（重叠量）→ ② 画 Venn 图分区表示 → ③ 由"总数 = 各部分之和"列方程。三集合问题切忌直接套公式而不分区，分区计算最稳。 【注意事项】Venn图问题有三坑：①看错阴影区域（把 看成 ）；②容斥问题遗漏"都不参加/都不赞成"的人；③三集合问题重复计数。务必分区、画图、列方程。 【例7-1】（2026·广东·广东实验中学越秀学校·考前自测）已知集合 ，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先解三次不等式化简 ，认清阴影部分表示 ，再逐元素判断。 【解答过程】由 得 ，即 ，解得 或 。 所以 ，。 由图知阴影部分为 。逐一判断：，符合；；，不符合；，符合；，符合。 所以阴影部分表示的集合为 。故选 A。 【例7-2】（2026·安徽·合肥市肥东一中·大数据联考）为了丰富学生的课余生活，某校开设了劳动实践、研学参观、AI技术培训 类拓展课程。高三某班学生共有 人报名参加拓展课程，其中有 人报名劳动实践， 人报名研学参观， 人报名AI技术培训，同时报名劳动实践和研学参观的有 人，同时报名研学参观和AI技术培训的有 人，则只参加AI技术培训的人数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设三个量：三类都参加 人、只参加劳动与AI 人，用Venn图分区表示各部分人数，由总人数列方程求 。 【解答过程】设三类课程都参加的有 人，只参加劳动实践和AI技术培训的有 人。 按Venn图分区：只劳动 ；只研学 ；只AI ；劳动研学（不含三）；研学AI（不含三）；劳动AI（不含三）；三类都参加 。 由总人数为 得 ， 化简得 … 整理各分区之和为 ，故 。 所以只参加AI技术培训的人数为 （人）。故选 C。 【变式7-1】（2026·福建·泉州·模拟）设集合 ，，则Venn图中阴影部分（ 去掉 后的部分）表示的集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先化简 ，认清阴影部分为 去掉 后的部分。 【解答过程】由 且 单调递增，得 ，即 ，所以 。 阴影部分为 。故选 C。 【变式7-2】（2026·河北·唐山·一模）已知全集 及其两个非空真子集 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】直接用德摩根律，或用 Venn 图验证结论。 【解答过程】由德摩根律 ，也可画Venn图验证： 之外的部分正是既不在 又不在 的部分。故选 C。 【变式7-3】（2026·内蒙古·赤峰·模拟）某试验田中，在高茎作物的样本中约有 抗倒伏，在抗倒伏的作物样本中约有 为高茎，且样本中约有 的作物既不高茎也不抗倒伏，则样本中兼备两种优良性状的植株占比约为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设"兼备两种性状"的占比为 ，用条件概率表示高茎、抗倒伏各自占比，再由容斥原理列方程。 【解答过程】设高茎作物占比为 ，抗倒伏作物占比为 ，兼备两种性状的占比为 。 由"高茎中 抗倒伏"得 ，故 ；由"抗倒伏中 高茎"得 ，故 。 又"既不高茎也不抗倒伏"占 ，故 。 由容斥原理 ，解得 。 所以兼备两种性状的占比约为 。故选 A。 【变式7-4】某班有 名学生，其中 人喜欢篮球， 人喜欢乒乓球， 人对这两项运动都不喜欢，则同时喜欢篮球和乒乓球的人数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求"至少喜欢一项"的人数，再用容斥原理列方程。 【解答过程】至少喜欢一项的有 （人）。设同时喜欢两项的有 人，由容斥原理 ，解得 。故选 B。 【变式7-5】向 名学生调查对 、 两事件的态度：赞成 的人数是全体的 ，赞成 的比赞成 的多 人，对 、 都不赞成的学生人数比对 、 都赞成的学生人数的 多 人。下列说法错误的是（　　） A．赞成 但不赞成 的有 人 B．赞成 但不赞成 的有 人 C．对 、 都赞成的有 人 D．对 、 都不赞成的有 人 【答案】B 【解题思路】用 Venn 图分区，设都赞成的人数为 ，由总人数列方程，再逐一验证选项。 【解答过程】赞成 的有 （人），赞成 的有 （人）。 设对 、 都赞成的有 人，则都不赞成的有 人。由容斥原理 ，解得 。 于是赞成 不赞成 的有 （人），赞成 不赞成 的有 （人），都不赞成的有 （人）。 所以 B 选项错误。故选 B。 重难点培优08　集合中的新定义问题　★★★★ 【解题技巧】新定义集合问题"三字诀"：读（逐字读清定义中的条件与运算）、译（把新符号翻译成交、并、补、列举等旧运算）、算（严格按定义顺序代入计算，最后用互异性检验）。切忌用惯性思维套用常规公式。 【注意事项】新定义问题的常见错误是"想当然"：把新符号当成"交并补"直接套用旧公式。务必逐字阅读定义，尤其是"且/或""∈/∉""同时满足/至少满足一个"等关键词。 【例8-1】（2026·辽宁·多校联考·三模）定义集合运算：。设集合 ，，则集合 的所有元素之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】严格按新定义，把 、 中的元素两两相乘，列出所有可能的 ，再用互异性去重。 【解答过程】由定义， 的所有可能取值为 ，，，， 所以 ，其所有元素之和为 。故选 D。 【例8-2】（2026·河南·开封·二模）定义集合 。已知集合 ，，若 ，则下列一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】把 翻译为" 且 ，且 "，再结合元素互异性逐项判断。 【解答过程】由 知：（成立）、，且 中另一个元素 满足 ，即 （注意 ）。 逐项判断： A 选项：，则 或 ，故 不一定成立，错误； B 选项：因为 ，所以 一定成立，正确； C 选项：取 ，则 ，，，错误； D 选项：取 ，，则 ，，，错误。 故选 B。 【变式8-1】定义 ，，，则 中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】按新定义把 、 中元素两两相加，去重后数元素个数。 【解答过程】所有可能和：，，，，故 ，含 个元素。故选 B。 【变式8-2】（2025·浙江·绍兴·模拟）定义集合运算 ，若 ，，则 的子集个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】按定义先求并集与交集，再作差得新集合，最后套子集公式。 【解答过程】，，故 ，含 个元素，其子集个数为 。故选 C。 【变式8-3】（2026·山东·济南·模拟）设集合 ，若 的子集 满足" 中任意两个元素之和都不等于 "，则称 为"好子集"，则"好子集"的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】把"好子集"问题转化为"不能同时含有两对和为 的元素"，用总数减去不合题意的个数。 【解答过程】 的所有子集共 个。和为 的元素对为 与 。 含 的子集有 个，含 的子集有 个，同时含这两对的只有 本身（ 个）。 由容斥，不合题意的子集有 个，故"好子集"的个数为 。故选 C。 【变式8-4】定义 。已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】按定义从 中去掉属于 的元素。 【解答过程】 表示"在 中但不在 中"的元素，即从 中去掉 ，得 。故选 A。 【变式8-5】（2026·上海·模拟）对于非空数集 ，定义 。若 ，则 中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】按定义把 中元素两两相加，去重后数元素个数。 【解答过程】所有可能和：，，，故 ，含 个元素。故选 B。 五、过关检测 ——分层训练，验收获能 一、单选题 1．【巩固】下列各组对象能构成集合的是（　　） A．很大的自然数 B．接近 的实数 C．方程 的实数根 D．著名的数学家 【答案】C 【解题思路】按集合元素的"确定性"逐一判断各组对象的标准是否明确。 【解答过程】A、B、D 中"很大""接近""著名"标准不明确，对象不确定，不能构成集合；C 中方程的实数根确定，能构成集合。故选 C。 2．【巩固】（2025·全国二卷·高考真题）已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先解方程 化简 ，再求交集。 【解答过程】由 得 ，解得 ，即 ，所以 。故选 D。 3．【巩固】（2026·湖北·武汉·模拟）已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】解一元二次不等式化简 ，再与 取交集。 【解答过程】由 得 ，即 ，所以 ，。故选 A。 4．【巩固】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】开立方确定 的范围，估计端点大小后逐项判断。 【解答过程】，而 ，故 中只有 在 内，。故选 A。 5．【进阶】（2026·浙江·模拟）已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先解方程求 ，再与 取交集。 【解答过程】，，。故选 A。 6．【进阶】（2026·湖南·模拟）已知集合 ，，则 中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先写出 、，再求交集并数清元素个数。 【解答过程】，，，含 个元素。故选 A。 7．【进阶】（2026·河北·模拟）已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先解二次不等式求 ，再由 得端点不等式。 【解答过程】由 得 ，即 。 即 与 无公共元素，需 。故选 A。 8．【进阶】（2026·福建·模拟）已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分别解指数不等式与对数不等式求 、，再取并集。 【解答过程】，，所以 。故选 B。 二、多选题 9．【进阶】（2026·全国·模拟）已知集合 ，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． 中元素的个数为 D． 【答案】ABC 【解题思路】先写出 （ 的幂集），再逐项判断元素与集合、集合与集合的关系。 【解答过程】。，A 正确；，B 正确； 含 个元素，C 正确； 是 的元素而非子集， 不成立（应为 ），D 错误。故选 ABC。 10．【进阶】（2026·安徽·模拟）已知集合 ，，若 ，则实数 的取值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解题思路】先解 ，再由 分 与 讨论。 【解答过程】。当 时 ，符合；当 时 ，需 或 ，即 或 。 综上 。故选 BCD。 11．【进阶】（2026·四川·模拟）设全集 ，，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解题思路】先写出全集 ，再逐一验证四个选项。 【解答过程】。，A 正确；，B 正确；，C 正确；，D 错误。故选 ABC。 12．【培优】（2026·辽宁·模拟）定义集合运算 ，已知 ，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． 的子集个数为 D． 【答案】ABC 【解题思路】按新定义先求 ，再逐项判断。 【解答过程】，，故 。，A 正确；，B 正确；含 个元素，子集个数为 ，C 正确；，故 ，D 错误。故选 ABC。 三、填空题 13．【巩固】（2026·全国·模拟）已知集合 ，则 的子集个数为 ______． 【答案】 【解题思路】先把元素逐一列举，再套子集个数公式。 【解答过程】 为整数且 ，得 ，即 ，含 个元素，子集个数为 。 14．【进阶】（2026·山西·模拟）已知集合 ，，若 ，则实数 的值是 ______． 【答案】 或 【解题思路】先解 ，再由 分 与 讨论。 【解答过程】。当 时，，符合；当 时，，由 得 ，即 。综上 或 。 15．【进阶】（2026·重庆·模拟）某班有 名学生，其中订阅甲报的有 人，订阅乙报的有 人，两种报纸都不订的有 人，则两种报纸都订的有 ______ 人． 【答案】 【解题思路】先求"至少订一种"的人数，再用容斥原理。 【解答过程】至少订一种报纸的有 （人）。设两种都订的有 人，由容斥原理 ，解得 。 16．【培优】（2026·陕西·模拟）已知集合 ，，则集合 的所有子集的个数为 ______． 【答案】 【解题思路】先写出 （ 的幂集）及其元素个数，再套子集公式。 【解答过程】，含 个元素，故 的所有子集个数为 。 四、解答题 17．【进阶】已知集合 ，． (1) 当 时，求 ； (2) 若 ，求实数 的取值范围． 【答案】(1) ；(2) 或 ． 【解题思路】(1) 直接代入 求并集；(2) 分 与 讨论。 【解答过程】(1) 当 时，，所以 。 (2) ①若 ，则 ，解得 ，满足 ； ②若 ，则 ，由 得 ，解得 。 综上，实数 的取值范围为 或 。 18．【培优】已知集合 ，，若 ，求实数 的值． 【答案】 或 ． 【解题思路】由 得 ，先化简 、，再列方程求 ，注意检验。 【解答过程】。，所以 。 由 得 ，所以 ，即 或 ， 解得 或 。经检验： 时 ， 时 ，均满足 。 所以 或 。 19．【培优】已知集合 ，． (1) 当 时，求 ； (2) 若 ，求实数 的取值范围． 【答案】(1) ；(2) 或 ． 【解题思路】(1) 代入 ；(2) 分 与 讨论。 【解答过程】(1) 当 时，，所以 。 (2) ①若 ，则 ，解得 ，满足 ； ②若 ，则 ，由 得 或 ，即 或 ，与 取交集得 或 。 综上，实数 的取值范围为 或 。 20．【培优】某学校对高一 名学生进行"是否喜欢数学、是否喜欢物理"的问卷调查，结果显示：喜欢数学的有 人，喜欢物理的有 人，同时喜欢数学和物理的有 人． (1) 求至少喜欢其中一门学科的人数； (2) 求两门学科都不喜欢的人数． 【答案】(1) 人；(2) 人． 【解题思路】先用容斥原理求"至少喜欢一门"的人数，再用总人数相减。 【解答过程】(1) 设喜欢数学的学生组成集合 ，喜欢物理的学生组成集合 ，则 ，，。 由容斥原理 （人）。 (2) 两门学科都不喜欢的人数为 （人）。 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高考数学一轮复习培优系列 专题1.1 集合（培优复习讲义） 【全国通用】 目　录 一、命题透视·考情前瞻 2 二、思维建模·脉络梳理 3 三、知识精讲·靶向突破 4 知识点1 集合的概念与元素的三大特性 4 知识点2 集合的表示方法与元素和集合的关系 4 知识点3 集合间的基本关系与子集个数 5 知识点4 集合的基本运算与运算性质 6 知识点5 集合中的常用结论与核心思想 7 四、重难点培优 8 重难点培优01 集合的概念与元素的三大特性重 8 重难点培优02 元素与集合的关系及集合的表示重 9 重难点培优03 集合间的基本关系与（真）子集个数重 10 重难点培优04 集合的基本运算（交、并、补）重 11 重难点培优05 含参集合的求值问题（元素特性型）重 13 重难点培优06 含参集合的取值范围问题（空集陷阱型）难 14 重难点培优07 Venn图的应用与容斥原理重 15 重难点培优08 集合中的新定义问题难 16 五、过关检测 18 一、单选题 18 二、多选题 19 三、填空题 20 四、解答题 20 一、命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 考点要求 具体要求 集合的含义与表示 了解集合的含义，体会元素与集合的"属于"关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题 集合间的基本关系 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；理解空集是任何集合的子集这一特殊地位 集合的基本运算 理解并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集 近三年高考真题对集合板块的考查一览（2024—2026；全国一、二卷即新课标Ⅰ、Ⅱ卷）： 年份 试卷·题号 考查内容 难度 2026 全国一卷 T3 交集运算，与特殊角三角函数交汇 ★★ 2026 全国二卷 T2 交集运算，与根式方程交汇 ★ 2025 全国一卷 T2 补集运算，求补集元素个数 ★ 2025 全国二卷 T3 交集运算，与三次方程交汇 ★ 2024 新课标Ⅰ卷 T1 交集运算，与不等式交汇 ★ 2024 全国甲卷·理 T2 补集与交集运算 ★★ 2024 全国甲卷·文 T1 交集运算 ★ 2024 天津卷 T1 交集运算 ★ 考情分析 集合是高考的"必考送分题"，近三年稳定出现在选择题第 1~3 题，分值固定 5 分，难度以容易题为主。但从 2024—2026 年的命题看，"集合＋其它知识"的交汇考查明显增强：2026 年全国一卷以特殊角三角函数值为元素构造集合，全国二卷把集合与根式方程结合；2025 年全国一卷求补集的元素个数，全国二卷与三次方程交汇；2024 年新课标Ⅰ卷与一元三次不等式交汇，全国甲卷（理）则把补集与交集嵌套考查。依据《普通高中数学课程标准》与《中国高考评价体系》，集合板块的核心素养指向"数学抽象、逻辑推理与数学运算"。预测 2027 年高考仍以"集合的基本运算"为主线，并以"新定义、含参、区间交汇、Venn 图与容斥"为载体提升区分度。 复习目标 1．准确辨析元素与集合、集合与集合的关系，熟练运用""等符号； 2．夯实"交、并、补"三大运算，能用数轴与Venn图处理区间型集合问题； 3．突破含参集合的求值与取值范围问题，牢记"空集优先"的分类讨论思想； 4．掌握子集个数公式、容斥原理（德摩根律）与集合新定义问题的通性通法。 二、思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 图 1　集合知识体系思维导图 三、知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知识点1　集合的概念与元素的三大特性 一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称集）。集合中的元素具有三大特性： ①确定性——给定集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是明确的； ②互异性——同一个集合中的元素互不相同； ③无序性——集合中的元素没有先后顺序。 元素与集合的关系：若 是集合 的元素，记作 ；若 不是集合 的元素，记作 。 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 记号 或 【方法技巧】 1．判断一组对象能否构成集合，只看"确定性"：标准明确、能对任意对象回答"是或否"即可，与元素个数多少无关； 2．含参集合问题先"亮出互异性"：求出参数后必须代回，剔除会使元素重复的参数值； 3．数集判断记口诀：" 含 0 与正整数， 再加负整数， 含分数小数， 包一切， 添虚数"。 【易错清单】 1．"绝对值比较大的数""著名的科学家"等描述对象不确定，不能构成集合； 2．集合 违反互异性，应写成 ；含参集合求参后不检验互异性是最高频失分点； 3． 含 ，而 （即 ）不含 ，最易混淆。 知识点2　集合的表示方法与元素和集合的关系 集合的三种表示法： 列举法：把元素逐一列举在花括号内，如 ，适用于元素较少的有限集； 描述法：在花括号内用竖线""分隔，竖线前写代表元素及其范围，竖线后写元素的属性，如 、； Venn图法：用平面内的封闭曲线表示集合，直观表达集合间的关系与运算。 【方法技巧】 1．描述法识别三步：看竖线前的"代表元素"（是数还是点）→ 看竖线后的"属性"→ 明确默认范围（未写范围默认在实数集 内讨论）； 2． 表示函数 的定义域（即 ）， 表示其值域（即 ）， 表示抛物线上所有点，三者完全不同； 3．列举法与描述法可互化：先定范围，再依次筛选。 【易错清单】 1．""用于元素与集合之间，""用于集合与集合之间，不可混用； 2．元素 与单元素集合 不是一回事， 成立而 无意义。 知识点3　集合间的基本关系与子集个数 关系 符号 核心含义 子集 （或 ） 中任意一个元素都是 中的元素 真子集 ，且 中至少有一个元素不属于 相等 且 空集 不含任何元素的集合，是任何集合的子集 若有限集合 中含 个元素，则： ① 的子集个数为 ；② 的真子集个数为 ；③ 的非空子集个数为 ；④ 的非空真子集个数为 。 【方法技巧】 1．子集个数不要"数"：先数清元素个数 ，一套公式 全解决； 2．证明 的套路是"任取 ，推出 "； 3．区间型集合用数轴定范围：端点是否取到由不等号决定，实心取、空心不取。 【易错清单】 1．空集优先：涉及 且 可为空集时，必须先讨论 的情形，否则漏解； 2．子集个数与"真子集"差 （少它本身），"非空真子集"再少 （少空集）； 3．判断子集关系时，不能把" 中元素的个数比 少"当作 的依据。 知识点4　集合的基本运算与运算性质 运算 文字语言 集合语言 交集 与 的公共元素组成的集合 并集 与 的所有元素合并（去重）组成的集合 补集 全集 中不属于 的元素组成的集合 三大运算性质（含德摩根律）： ①； ②； ③； ④德摩根律：，。 【方法技巧】 1．求交、并、补的几何意义：交取"重叠"、并取"覆盖"、补取"框内圈外"； 2．区间运算画数轴：交集取公共部分，并集取覆盖部分，补集取"剩余"部分；端点开闭与不等号一致； 3．重要转化：，，。 【易错清单】 1．求补集时先明确全集范围，" 中不属于 "缺一不可； 2．端点取舍错误（ 与 ）是选择题高频陷阱，务必在数轴上标清虚实； 3．解集用区间表示时，"或"连接的两段取并集，如 或 记作 。 知识点5　集合中的常用结论与核心思想 1．容斥原理：，其中 表示集合 中元素的个数； 2．三集合容斥：； 3．“补集思想（正难则反）”：当正面情况复杂、反面情况简单时，先求反面再取补集； 4．集合与不等式、函数定义域（值域）交汇时，先化成区间，再按区间运算处理。 【方法技巧】 1．容斥原理两步走：先加各部分人数，再减去重复计算的重叠部分； 2．"都不满足"的人数 = 总人数 "至少满足一个"的人数； 3．三集合Venn图分区记忆：只属于一个集合、恰属于两个集合、三个集合都属的元素，分区计算不易错。 【易错清单】 1．容斥原理只减一次重叠部分，不可重复减； 2．含参集合问题求参后要检验端点、检验互异性、检验空集，三重检验缺一不可。 四、重难点培优 ——聚焦高频难点，突破思维瓶颈 重难点培优01　集合的概念与元素的三大特性　★★ 【解题技巧】集合概念题的"三步定音"：先看确定性，再用互异性，最后验无序性。含参集合一律"求参先求值、求值后代回原集合检验互异性"——这一步是拿满分的最后一道防线。 【注意事项】元素"三大特性"是本重难点的核心：确定性用于"能否构成集合"，互异性用于"含参求值取舍"，无序性用于"集合相等"。含参题若不做互异性检验，几乎必错。 【例1-1】（2026·河南·河南省实验中学·临门押题实战演练）已知集合 ，，若 ，则实数 的取值集合为（　　） A． B． C． D． 【例1-2】（2026·福建·南安市成功中学·考前推送）已知集合 ，，若 ，则 （　　） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 或 【变式1-1】下列各组对象不能构成集合的是（　　） A．2027年高考数学的考试科目 B．所有大于 的实数 C．著名的科学家 D．方程 的实数根 【变式1-2】（2026·河北·石家庄·模拟改编）已知集合 ，则 的真子集个数为（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】若集合 中恰有一个元素，则实数 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 【变式1-4】已知集合 ，若 ，则实数 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 或 【变式1-5】（2026·安徽·合肥·模拟）已知集合 ，则 的子集个数为（　　） A． B． C． D． 重难点培优02　元素与集合的关系及集合的表示　★★ 【解题技巧】判断"元素与集合"关系要"三看"：一看代表元素（竖线前是数还是点），二看属性（竖线后的方程或不等式），三看范围（未注明时默认在实数集 内讨论）。含字母的集合要"先认元素，再辨关系，最后才动笔算"。 【注意事项】元素与集合（）、集合与集合（）两套符号不可混用；描述法中"代表元素"是数还是点，决定了集合的本质，务必看清竖线前的记号。 【例2-1】（2026·安徽·合肥市第一中学·高三最后一卷）已知集合 ，若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例2-2】（2025·重庆·学业质量调研抽测·第二次）已知全集 ，集合 满足 ，则（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】下列关系式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·四川·成都·模拟）已知集合 ，则（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】用描述法表示"被 除余 的整数"组成的集合，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-4】（2026·陕西·西安·三模）已知集合 ，则下列点属于 的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-5】已知集合 ，则用列举法表示 为（　　） A． B． C． D． 重难点培优03　集合间的基本关系与（真）子集个数　★★★ 【解题技巧】子集个数问题"先定 、后套公式"：子集 个，真子集 个，非空子集 个，非空真子集 个。判断两个数集相等，常用"通项对照法"——把两边的代表元素化成同一形式再比较，比逐一列举更快更稳。 【注意事项】①子集个数公式要先数清元素个数，元素个数看错一切皆错；②判断集合相等不能只比"元素个数"，要证明两个方向的包含；③ 这类"以集合为元素"的问题，务必牢记 的元素是"集合"而不是"数"。 【例3-1】（2026·湖南·衡阳市衡阳县·考前学情调研）设集合 ，，则 的子集的个数为（　　） A． B． C． D． 【例3-2】（2026·江西·重点中学协作体·第二次联考）已知集合 ，集合 ，则集合 的真子集个数为（　　） A． B． C． D． 【例3-3】（2025·辽宁·一模）已知集合 ，，则（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】集合 的子集个数为（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·贵州·六盘水·一模改编）集合 的真子集个数为（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】已知集合 ，，若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3-4】（2026·云南·昆明·模拟）已知集合 ，，则 与 的关系是（　　） A． B． C． D． 【变式3-5】已知集合 ，，则 中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 重难点培优04　集合的基本运算（交、并、补）　★★★ 【解题技巧】集合运算"三步走"：先化简（解方程、解不等式、算特殊值）→ 再定元素（离散数集列举、连续数集画数轴）→ 后运算（交取公共、并取覆盖、补取剩余）。求补集前，务必先明确全集 。 【注意事项】高考集合题常"先算元素再运算"：如例 4-3 需先算特殊角三角函数，变式 4-1、4-2 需先解方程。忽略"先化简"直接配对，是翻车主因。补集问题先确认全集范围。 【例4-1】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【例4-2】（2025·全国一卷·高考真题）已知集合 ，，则 中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 【例4-3】（2026·全国一卷·高考真题）已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·全国二卷·高考真题）已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·全国二卷·高考真题）已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式4-3】（2024·全国甲卷·理·高考真题）已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式4-4】（2024·天津·高考真题）集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式4-5】（2026·广东·肇庆·二模）设全集 ，集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式4-6】（2026·天津·二模改编）已知全集 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 重难点培优05　含参集合的求值问题（元素特性型）　★★★ 【解题技巧】含参"求值"型问题的通用步骤：① 由包含或相等关系列出"元素对应"的方程（组）；② 解方程得候选值；③ 逐个代回原集合，用互异性筛选。切记第 ③ 步不能省。 【注意事项】"含参求值"型问题有三类陷阱：①漏解（只考虑一种元素对应关系）；②增解（未检验互异性）；③错解（相等关系未双向验证）。养成"列方程 → 求候选 → 代回检验"的固定动作，可稳拿分。 【例5-1】（2026·西藏·日喀则·模拟）集合 ，，若 ，则实数 （　　） A． B． C． D． 【例5-2】（2026·江西·宜春中学等校·5月高考大练兵）若集合 ，，且 ，则 的值为（　　） A． B． 或 C． 或 D． 或 【变式5-1】（2026·河南·二模改编）已知集合 ，，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式5-2】已知集合 ，，若 ，则 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 【变式5-3】（2026·广西·模拟）已知集合 ，且 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 或 【变式5-4】（2026·湖北·武汉·二模改编）设集合 ，，若 ，则实数 的取值构成的集合为（　　） A． B． C． D． 【变式5-5】已知集合 ，，若 ，则 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 或 重难点培优06　含参集合的取值范围问题（空集陷阱型）　★★★★ 【解题技巧】"空集优先"是含参子集问题最重要的思想：空集是任何集合的子集，当结论中含 而 的端点含参时， 的情形极易漏解。列端点不等式组时，端点能否取到要逐个检验。 【注意事项】含参"取值范围"型问题的两大高频错误：①漏掉""的情形；②端点取等号判断错误。建议每道题都在草稿纸上画数轴，把端点"实心/空心"画出来，再逐一检验。 【例6-1】（2026·辽宁·铁岭市开原市高级中学等校·考前模拟）已知集合 ，，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例6-2】（2026·河南·二模）已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． 或 D． 或 【变式6-1】（2026·安徽·模拟）已知集合 ，，若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】已知集合 ，，若 ，则实数 的值为（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026·山东·青岛·模拟）已知集合 ，，若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式6-4】已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式6-5】（2026·福建·厦门·模拟）已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 重难点培优07　Venn图的应用与容斥原理　★★★ 【解题技巧】解集合应用题（容斥问题）的三步：① 设未知数（重叠量）→ ② 画 Venn 图分区表示 → ③ 由"总数 = 各部分之和"列方程。三集合问题切忌直接套公式而不分区，分区计算最稳。 【注意事项】Venn图问题有三坑：①看错阴影区域（把 看成 ）；②容斥问题遗漏"都不参加/都不赞成"的人；③三集合问题重复计数。务必分区、画图、列方程。 【例7-1】（2026·广东·广东实验中学越秀学校·考前自测）已知集合 ，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（　　） A． B． C． D． 【例7-2】（2026·安徽·合肥市肥东一中·大数据联考）为了丰富学生的课余生活，某校开设了劳动实践、研学参观、AI技术培训 类拓展课程。高三某班学生共有 人报名参加拓展课程，其中有 人报名劳动实践， 人报名研学参观， 人报名AI技术培训，同时报名劳动实践和研学参观的有 人，同时报名研学参观和AI技术培训的有 人，则只参加AI技术培训的人数为（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】（2026·福建·泉州·模拟）设集合 ，，则Venn图中阴影部分（ 去掉 后的部分）表示的集合是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026·河北·唐山·一模）已知全集 及其两个非空真子集 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式7-3】（2026·内蒙古·赤峰·模拟）某试验田中，在高茎作物的样本中约有 抗倒伏，在抗倒伏的作物样本中约有 为高茎，且样本中约有 的作物既不高茎也不抗倒伏，则样本中兼备两种优良性状的植株占比约为（　　） A． B． C． D． 【变式7-4】某班有 名学生，其中 人喜欢篮球， 人喜欢乒乓球， 人对这两项运动都不喜欢，则同时喜欢篮球和乒乓球的人数为（　　） A． B． C． D． 【变式7-5】向 名学生调查对 、 两事件的态度：赞成 的人数是全体的 ，赞成 的比赞成 的多 人，对 、 都不赞成的学生人数比对 、 都赞成的学生人数的 多 人。下列说法错误的是（　　） A．赞成 但不赞成 的有 人 B．赞成 但不赞成 的有 人 C．对 、 都赞成的有 人 D．对 、 都不赞成的有 人 重难点培优08　集合中的新定义问题　★★★★ 【解题技巧】新定义集合问题"三字诀"：读（逐字读清定义中的条件与运算）、译（把新符号翻译成交、并、补、列举等旧运算）、算（严格按定义顺序代入计算，最后用互异性检验）。切忌用惯性思维套用常规公式。 【注意事项】新定义问题的常见错误是"想当然"：把新符号当成"交并补"直接套用旧公式。务必逐字阅读定义，尤其是"且/或""∈/∉""同时满足/至少满足一个"等关键词。 【例8-1】（2026·辽宁·多校联考·三模）定义集合运算：。设集合 ，，则集合 的所有元素之和为（　　） A． B． C． D． 【例8-2】（2026·河南·开封·二模）定义集合 。已知集合 ，，若 ，则下列一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式8-1】定义 ，，，则 中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】（2025·浙江·绍兴·模拟）定义集合运算 ，若 ，，则 的子集个数为（　　） A． B． C． D． 【变式8-3】（2026·山东·济南·模拟）设集合 ，若 的子集 满足" 中任意两个元素之和都不等于 "，则称 为"好子集"，则"好子集"的个数为（　　） A． B． C． D． 【变式8-4】定义 。已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式8-5】（2026·上海·模拟）对于非空数集 ，定义 。若 ，则 中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 五、过关检测 ——分层训练，验收获能 一、单选题 1．【巩固】下列各组对象能构成集合的是（　　） A．很大的自然数 B．接近 的实数 C．方程 的实数根 D．著名的数学家 2．【巩固】（2025·全国二卷·高考真题）已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 3．【巩固】（2026·湖北·武汉·模拟）已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 4．【巩固】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 5．【进阶】（2026·浙江·模拟）已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 6．【进阶】（2026·湖南·模拟）已知集合 ，，则 中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 7．【进阶】（2026·河北·模拟）已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．【进阶】（2026·福建·模拟）已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．【进阶】（2026·全国·模拟）已知集合 ，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． 中元素的个数为 D． 10．【进阶】（2026·安徽·模拟）已知集合 ，，若 ，则实数 的取值可以是（　　） A． B． C． D． 11．【进阶】（2026·四川·模拟）设全集 ，，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 12．【培优】（2026·辽宁·模拟）定义集合运算 ，已知 ，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． 的子集个数为 D． 三、填空题 13．【巩固】（2026·全国·模拟）已知集合 ，则 的子集个数为 ______． 14．【进阶】（2026·山西·模拟）已知集合 ，，若 ，则实数 的值是 ______． 15．【进阶】（2026·重庆·模拟）某班有 名学生，其中订阅甲报的有 人，订阅乙报的有 人，两种报纸都不订的有 人，则两种报纸都订的有 ______ 人． 16．【培优】（2026·陕西·模拟）已知集合 ，，则集合 的所有子集的个数为 ______． 四、解答题 17．【进阶】已知集合 ，． (1) 当 时，求 ； (2) 若 ，求实数 的取值范围． 18．【培优】已知集合 ，，若 ，求实数 的值． 19．【培优】已知集合 ，． (1) 当 时，求 ； (2) 若 ，求实数 的取值范围． 20．【培优】某学校对高一 名学生进行"是否喜欢数学、是否喜欢物理"的问卷调查，结果显示：喜欢数学的有 人，喜欢物理的有 人，同时喜欢数学和物理的有 人． (1) 求至少喜欢其中一门学科的人数； (2) 求两门学科都不喜欢的人数． 【名师培优】　—— 本讲义完 —— 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $