精品解析：云南省昆明市官渡区第一中学2026-2027学年高一上学期期中考试数学试卷

昆明市官渡区第一中学教育集团 高一年级2026-2027学年上学期期中考试 数 学 试 卷 （试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 5. 已知，则函数的解析式为（    ） A. B. C. （） D. （） 6. 燃油的价格有升也有降，小王本月要加两次油，第一次油价为元/升，第二次油价为元/升，，现有两种加油方案：第一种方案，每次加40升的燃油；第二种方案，每次加300元的燃油．从两次加油的燃油均价角度看，下列说法正确的是（ ） A. 采用第一种方案划算 B. 采用第二种方案划算 C. 两种方案一样划算 D. 无法确定采用哪种方案划算 7. 若函数是增函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数为上的偶函数，，，都有，且，则不等式的解集为（     ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 11. 设，用表示不超过的最大整数，则 称为高斯函数，也叫取整函数，例如，.令函数，以下结论正确的有（    ） A. B. C. 的值域为 D. 与图象有2个交点 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知函数，则______. 13. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是__________. 14. 若对任意，有，写出符合要求的一个解析式________，则函数在上的最大值与最小值的和________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. （1）计算； （2）已知集合，，若，求实数的取值范围． 16. 设函数，． （1）解关于的不等式； （2）求函数在区间上的最小值． 17. 已知函数． （1）用定义法证明：函数在区间上单调递增； （2）若，且，恒成立，求实数的取值范围． 18. 某AI公司为提高经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入10万元，对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润，乙产品的利润与研发投入（单位：万元）分别满足，，设甲产品的投入为（单位：万元），两种产品的总利润为（单位：万元）． （1）求的表达式； （2）试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大，最大总利润是多少万元？ 19. 已知幂函数在上单调递减． （1）求函数的解析式； （2）若，，求的取值范围； （3）若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明市官渡区第一中学教育集团 高一年级2026-2027学年上学期期中考试 数 学 试 卷 （试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，故，所以，， ， 故 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】“”的否定为“”． 3. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】分别判断两个函数的定义域和对应关系是否相同即可. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，故与不是同一个函数，错误； 对于B，的定义域为，的定义域为，故与不是同一个函数，错误； 对于C，与的定义域均为，对应关系相同，故与是同一个函数，正确； 对于D，的定义域为，的定义域为，故与不是同一个函数，错误. 4. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【详解】由基本不等式可得， 当时等号成立，因此的最小值为9． 5. 已知，则函数的解析式为（    ） A. B. C. （） D. （） 【答案】D 【解析】 【详解】令,则, 已知, 所以, 所以. 6. 燃油的价格有升也有降，小王本月要加两次油，第一次油价为元/升，第二次油价为元/升，，现有两种加油方案：第一种方案，每次加40升的燃油；第二种方案，每次加300元的燃油．从两次加油的燃油均价角度看，下列说法正确的是（ ） A. 采用第一种方案划算 B. 采用第二种方案划算 C. 两种方案一样划算 D. 无法确定采用哪种方案划算 【答案】B 【解析】 【详解】第一种方案的均价是，第二种方案的均价是， 由，所以第二种方案的均价更低，更划算. 7. 若函数是增函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性求实数的取值范围. 【详解】若为增函数，则，所以. 因此实数a的取值范围为. 8. 已知函数为上的偶函数，，，都有，且，则不等式的解集为（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知，可得，构造函数，由其单调性和奇偶性即可求解. 【详解】由题意，，，则， 由，得， 即， 因为，，得， 设，则函数在上单调递增， 又，则， 则不等式，即， 即则，所以， 又函数为定义在上的偶函数， 在上是奇函数， 所以在上是奇函数， 所以函数在上单调递增，且 所以当时，不等式，即， 即.则，所以， 综上不等式的解集为. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，若，则．若，则． 故，A正确； 对于B，若，，满足，则，B错误； 对于C，若，则，，C正确； 对于D，若，，则，， 故，即，D正确． 10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A，因为不等式的解集为， 所以方程的两根为和2，且，故A正确； 对于B，由韦达定理得，解得， 所以，故B正确； 对于C，由，得，因为，所以，故C错误； 对于D，由，得，因为，所以， 即，解得或， 所以不等式的解集为或.故D错误. 11. 设，用表示不超过的最大整数，则 称为高斯函数，也叫取整函数，例如，.令函数，以下结论正确的有（    ） A. B. C. 的值域为 D. 与图象有2个交点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，直接根据高斯函数的定义直接计算即可；对于B，根据高斯函数的定义分析判断；对于C，由选项B可知是周期为1的周期函数，再分析在上的解析式，即可求出函数值域；对于选项D，由选项C可知的解析式，在同一坐标系中作出两函数图象，根据图象即可判断. 【详解】对于选项A，，故A正确； 对于选项B，因为，故B正确； 对于选项C，由选项B可知，是周期为1的周期函数， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，的值域为，故C错误； 对于选项D，由选项C可知，，且的周期为1， 作出与图象，如图所示： 由图象可知，函数与有2个交点，故D正确. 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的定义域划分，先将代入对应的递推关系式，转化为求时的函数值，再代入对应解析式计算即可. 【详解】满足分段函数的条件，因此， 可得： ， 满足的条件，因此， 代入计算得： ， 将代入 ，得. 13. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是__________. 【答案】 【解析】 【详解】函数的定义域是， 所以函数的定义域满足. 14. 若对任意，有，写出符合要求的一个解析式________，则函数在上的最大值与最小值的和________． 【答案】 ①. （符合题意任写一个即可） ②. 8 【解析】 【分析】由对任意，有，得函数是奇函数，从而写出符合要求的一个解析式，从而得到是奇函数，并求得其在上的最大值与最小值的和，进而得到的值. 【详解】因为对任意，有， 所以令，得，所以； 令，得，所以，即， 所以函数为奇函数. 若，则，， 所以，符合要求. 所以符合要求的一个解析式可以是. 此时，， 令，则的定义域为，且， 所以为奇函数，所以的图象关于原点对称. 记在上的最大值为与最小值为，则. 所以函数在上的最大值与最小值的和. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. （1）计算； （2）已知集合，，若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算法则即可计算； （2）由可得，再对和两种情况进行分类讨论，即可求解． 【详解】（1） ． （2）由得，解得，故， 又由得， 当时，即，解得，此时满足； 当时，则，解得， 综上：实数的取值范围为． 16. 设函数，． （1）解关于的不等式； （2）求函数在区间上的最小值． 【答案】（1）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． （2） 【解析】 【小问1详解】 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【小问2详解】 函数，则的对称轴为， 当，即时，在上单调递增， 则 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则， 综上，在区间上的最小值为． 17. 已知函数． （1）用定义法证明：函数在区间上单调递增； （2）若，且，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）任取，，且， 则 由于，，，，所以， 因此，即， 故在上单调递增． （2） 【解析】 【分析】（1）通过取值、作差变形、定号、下结论的步骤，利用单调性定义证明结论； （2）将条件转化为恒成立，通过分，两种情况讨论求参. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以，得， 则． 于是，恒成立即为恒成立 整理得恒成立 1、当时，，不合题意 2、当时，，解得 综上所述，的取值范围为. 18. 某AI公司为提高经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入10万元，对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润，乙产品的利润与研发投入（单位：万元）分别满足，，设甲产品的投入为（单位：万元），两种产品的总利润为（单位：万元）． （1）求的表达式； （2）试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大，最大总利润是多少万元？ 【答案】（1） （2）甲投入26万元，乙投入74万元时，才能使总利润最大，最大总利润是204万元 【解析】 【分析】（1）根据题意，分情况列出关系式，写成分段函数形式即可； （2）分情况求出各段的最大值，利用换元法结合二次函数的性质、基本不等式计算最值并比较即可. 【小问1详解】 甲产品的投入为（单位：万元），则乙产品的投入为（单位：万元）， 则乙产品的利润 当时，， 所以， 当时，， 所以， 综上所述，. 【小问2详解】 当时，令，则，， 则， 当时，函数有最大值， 即当时，函数有最大值． 当时， ， 当且仅当，即时等号成立 因为． 所以当甲投入26万元，乙投入74万元时，才能使总利润最大，最大总利润是204万元. 19. 已知幂函数在上单调递减． （1）求函数的解析式； （2）若，，求的取值范围； （3）若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依据幂函数系数为 1 的定义求解m的取值，再结合函数的单调性验证取舍，最终得到函数解析式； （2）先判断的奇偶性与正半轴单调性，利用偶函数性质将函数不等式转化为自变量绝对值的大小关系，平方后解二次不等式得到解集； （3）将 “任意，都存在” 的双量词问题转化为最值关系，利用关于的一次函数单调性求出右侧表达式的最大值，解二次不等式得到的取值范围. 【小问1详解】 由幂函数在上单调递减， 可得，解得或， 当时，，为偶函数，在上单调递减，在上单调递增，不合题意， 当时，，在上单调递减，满足题意， 所以． 【小问2详解】 由知，定义域为，为偶函数且在上单调递增， 则可化为，平方得， 化简得，解得，所以的取值范围是． 【小问3详解】 由（1）知， 因为对，都成立， 所以，其中， 由（1）可得函数在上的最大值为4，所以， 因为存在，使得成立，可得， 又因为，所以是关于的单调递增函数， 所以，即，解得或， 所以实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $