精品解析：云南省昆明市第一中学2026-2027学年高一上学期第一阶段考试数学试题

昆明第一中学2026-2027学年度上学期第一阶段考试 高一 数学 总分150分 时间120分钟 注意事项：1．本试卷共4页，19题． 2．答题前，先将自己的姓名、考号填写在试卷和答题卡上． 3．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 4．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合并集运算求解即可. 【详解】，，则. 2. 已知，若集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性即可得到结果. 【详解】若，则，所以，故充分性满足； 若，则或，显然必要性不满足； 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 3. 设全集，且，若，则的值等于（ ） A. 4或6 B. 6 C. 4 D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得，将，代入方程求解即可. 【详解】由，可得， 所以方程的两根为， 所以. 4. 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【详解】当，即，方程为，解得，方程有实数根，符合题意； 当，即，∵此时一元二次方程有实数根，∴，解得且； 综上，的取值范围是． 5. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意推出对应的全称量词命题为真命题，利用判别式法求解即可. 【详解】因命题“，”为假命题， 则命题“，”为真命题， 故，解得. 6. 已知不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由不等式的解集为， 则，且方程的两根为和． 则由韦达定理有，解得 所以． 7. ，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知， ，分、两种情况讨论，在第一种情况下，可得出关于实数的不等式；在第二种情况下，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为，，，则， 若，则，解得； 若且，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 8. 已知，，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据“1”的变形技巧，利用均值不等式求最值即可得解. 【详解】因为，， 所以，即， 所以 ，当且仅当，即时等号成立， 故. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的有（ ） A. 当时， B. 当时，最小值为2 C. 当时， D. 当时， 【答案】AD 【解析】 【分析】由基本不等式结合题意可判断各选项正误. 【详解】对于A，当时，，，所以， 当且仅当，即时取等号，故A正确； 对于B，时，，当且仅当，即时取等号，又因为，故等号取不到，故B错误； 对于C，当时，，则，所以， 当且仅当，即时等号成立，故C错误； 对于D，当时，，，，当且仅当，即时取等号，故D正确. 故选：AD 10. 已知关于的不等式解集为，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 关于的不等式的解集为或 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知不等式的解集可得，由韦达定理可得的关系，即可求解. 【详解】对于A，由已知可得和 是方程  的两个实根，且，故A正确； 对于B，，即，所以，故B正确； 对于C，，即，所以，故C错误； 对于D，，代入不等式 可得， 结合，整理得，解得或， 所以不等式的解集为或，故D正确. 11. 设为实数，已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，方程的两个实数根之和为 B. 方程无实数根的一个必要条件是 C. 方程有两个不相等的正根的一个充分条件是 D. 方程有一个正根和一个负根的充要条件是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别，结合充分条件与必要条件的定义，可得答案. 【详解】对于A，当时，方程为，而方程无实根，故A错误； 对于B，由题意可得， 由，解得，，故B正确； 对于C，由题意可得， 由B可知不等式的解集为， 解不等式可得， 所以不等式组的解集为，，故C错误， 对于D，由题意可得，解得，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若集合只有2个子集，则a的取值集合是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由子集个数判断集合只有一个元素，分和讨论即可求解. 【详解】因为集合只有两个子集，所以集合只有一个元素， 当时，方程的解为，符合题意； 当时，，解得，所以实数取值集合为. 故答案为： 13. 已知正数a，b满足，则的最小值为___________． 【答案】9 【解析】 【分析】利用“乘1法”，结合基本不等式即可求得. 【详解】因， 由， 当且仅当时取等，由解得， 即当时，取得最小值9. 14. 对任意满足的正实数，一元二次不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式得到，再利用一元二次不等式在上恒成立得，从而可得实数的取值范围. 【详解】已知正实数满足，所以，当且仅当时，取得最大值9. 因为一元二次不等式在上恒成立， 所以，即，解得. 所以. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合，全集为. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用集合的交并补运算即可得解； （2）利用集合混合运算的结果，得到关于的不等式，解之即可得解. 【小问1详解】 因为，所以或， 又， 所以. 【小问2详解】 因为，， 所以， 又，， 所以与有交集， 则，即实数的取值范围为. 16. （1）已知，求的最大值及的值； （2）已知正实数满足．求的最小值及取最值时的值． 【答案】（1），；（2）的最小值为6，． 【解析】 【分析】（1）由，结合基本不等式求解即可； （2）将已知等式变形为积定值和取最大值，或结合基本不等式建立关于的不等式求解． 【详解】（1）由题知， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为． （2）因为，所以，整理得， 解得或（舍）， 当且仅当时，取得最小值为6． 17. 已知二次函数． （1）求关于的不等式的解集； （2）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时,解集为或;当时,解集为;当时,解集为或. （2） 【解析】 【分析】（1）把因式分解得,方程的两根为与. 二次项系数为正,故的解集在两根之外,应按两根的大小关系分三种情况讨论. （2）的解集为两根之间的区间,需先按两根的大小关系分类讨论;再由区间内恰有3个整数,确定区间端点应满足的条件. 【小问1详解】 因为,所以方程的两根为,. 二次项系数为,故的解集为两根之外的实数,需按两根的大小分类讨论. 当,即时,解集为或. 当,即时,,不等式的解集为. 当,即时,解集为或. 【小问2详解】 即,其解集为两根之间的部分. 当时,两根满足,解集为,其中整数最大为. 若恰有3个整数,则这3个整数只能是,故,解得. 当时,解集为,不含整数,不合题意. 当时,两根满足,解集为,其中整数最小为. 若恰有3个整数,则这3个整数只能是,故,解得. 故的取值范围为. 18. （1）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（）与货价p元/件之间的关系为，生产件所需成本为元.问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元? （2）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站10km处建仓库，则和分别为2万元和8万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小? 【答案】（1）且；（2）5km 【解析】 【分析】（1）先根据“日获利=日销售额-成本”列出获利函数，再通过解一元二次不等式，得出日产量的取值范围即可； （2）先根据已知条件求出反比例函数与正比例函数的系数，得到总费用表达式，再利用均值不等式求最值即可. 【详解】（1）因为日获利等于销售额减去成本， 销售额为，成本为， 故利润函数为：， 要求日获利不少于1300元，即解不等式：， 化简得：，解得：， 又因为，故日产量为20到45之间的整数. （2）设土地占地费，库存货物费， 由题意知，当时，， ， 得：，所以，即； ，所以，即， 则两项费用之和为：， 由均值不等式得：，当且仅当，即时等号成立， 此时费用之和取到最小值，故仓库应建在距离车站5km处. 19. 已知二次函数． （1）若关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集； （2）已知，，若，求关于的不等式的解集． 【答案】（1）或 （2）当时，的解集为；当时，的解集为 【解析】 【分析】（1） 利用一元二次不等式与一元二次方程的关系来求解即可. （2） 分讨论，结合二次函数的图象即可求解. 【小问1详解】 由题意可知方程有两个解分别为，，且， 即，则，代入，得， 又，所以， 解得或， 故所求不等式的解集为或. 【小问2详解】 依题意，, 的函数图象的对称轴为直线， 已知，则； ①若，即时， 在上恒成立； ②若，即或， 令，解得，，其中， （a）若，则，故， 可知在上恒成立； （b）若，则，故， 可知，即的解集为， 综上所述，当时，的解集为；当时，的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明第一中学2026-2027学年度上学期第一阶段考试 高一 数学 总分150分 时间120分钟 注意事项：1．本试卷共4页，19题． 2．答题前，先将自己的姓名、考号填写在试卷和答题卡上． 3．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 4．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，若集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设全集，且，若，则的值等于（ ） A. 4或6 B. 6 C. 4 D. 不存在 4. 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A. 且 B. C. 且 D. 5. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 6. 已知不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 7. ，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的有（ ） A. 当时， B. 当时，最小值为2 C. 当时， D. 当时， 10. 已知关于的不等式解集为，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 关于的不等式的解集为或 11. 设为实数，已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，方程的两个实数根之和为 B. 方程无实数根的一个必要条件是 C. 方程有两个不相等的正根的一个充分条件是 D. 方程有一个正根和一个负根的充要条件是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若集合只有2个子集，则a的取值集合是__________. 13. 已知正数a，b满足，则的最小值为___________． 14. 对任意满足的正实数，一元二次不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合，全集为. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 16. （1）已知，求的最大值及的值； （2）已知正实数满足．求的最小值及取最值时的值． 17. 已知二次函数． （1）求关于的不等式的解集； （2）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围． 18. （1）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（）与货价p元/件之间的关系为，生产件所需成本为元.问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元? （2）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站10km处建仓库，则和分别为2万元和8万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小? 19. 已知二次函数． （1）若关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集； （2）已知，，若，求关于的不等式的解集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $