期中复习：带电粒子在匀强电场中的类平抛运动与圆周运动、示波器的相关计算专项训练-2026-2027学年高二上学期物理粤教版必修第三册

期中复习：带电粒子在匀强电场中的类平抛运动与圆周运动、示波器的相关计算专项训练 期中复习：带电粒子在匀强电场中的类平抛运动与圆周运动、示波器的相关计算专项训练 考点目录 带电粒子在匀强电场中的类平抛运动 带电粒子在匀强电场中的圆周运动 示波器的相关计算 考点一 带电粒子在匀强电场中的类平抛运动 带电粒子在匀强电场中的类平抛运动解题技巧 （1）把运动分解为两个分运动：沿初速度方向做匀速直线运动，沿电场力方向做初速度为零的匀加速直线运动，两分运动相互独立、时间相同。 （2）先求加速度 ，再由板长求运动时间 ，这是后续计算的基础。 （3）偏转位移用 ，偏转角满足 ，注意偏转角是速度方向与初速度方向的夹角。 （4）重要推论：粒子射出电场时，速度的反向延长线通过水平位移的中点；且 （ 为位移偏角）。 （5）判断是否考虑重力：电子、质子等基本粒子忽略重力；带电液滴、小球等宏观物体一般要考虑重力。 （6）注意电场力方向与电荷正负有关，偏转方向要结合电荷正负和电场方向判断。 例1．（26-27高二上·云南昆明·阶段检测）两平行金属板间电压，极板长度，极板间距离。金属板表面涂有很薄的绝缘介质，若带电粒子与金属板相碰，沿板表面方向速度不变，垂直板表面方向速度反向、大小不变。将两个质量均为，电荷量分别为、的带电粒子从两极板间中轴线处垂直射入电场，正电粒子恰好从上极板边缘射出电场，轨迹如图所示；负电粒子也恰好从下极板边缘射出电场，轨迹未知。忽略粒子受到的重力，求： (1)带正电粒子初速度的大小； (2)带负电粒子初速度的范围。 例2．（26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）如图所示，粒子发射器发射出一束质量为，电荷量为的粒子（不计重力），从静止经加速电压加速后，沿垂直于电场方向射入两平行板中央，受偏转电压作用后，以某一速度离开电场。已知平行板长为，两板间距离为，求： (1)粒子进入偏转电场速度大小； (2)粒子在离开偏转电场时的纵向偏移量； (3)粒子射出电场时速度偏转角度的正切值。 例3．（2026·陕西宝鸡·一模）如图所示，长为L、间距为d的两金属板A、B水平放置，ab为两板的中心线，质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从左侧极板附近由静止开始经电压为的电场加速后，从a点水平射入。求： (1)粒子从a点射入的速度大小； (2)若将A、B两金属板接上恒定电压，使粒子恰好打到金属板的右边缘，求电压的大小。 变式1．（26-27高二上·北京海淀·阶段检测）如图所示装置放置在真空中，炽热的金属丝可以发射电子，金属丝和竖直金属板之间加一电压，发射出的电子被加速后，从金属板上的小孔水平射出，装置右侧有平行金属极板水平正对放置，板长，相距，两极板间加一电压的偏转电场。已知电子的电荷量，电子的质量，设电子刚离开金属丝时的速度为0，忽略金属极板边缘对电场的影响，不计电子受到的重力。 (1)求电子经过小孔的速度大小（可用分数表示）； (2)求电子射出偏转电场时在竖直方向上的侧移量； (3)求电子离开偏转电场后偏角的正切值。 变式2．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）计算机断层（CT）扫描仪是医院常用设备，如图是部分结构的示意图。图中两对平行金属极板MN、EF分别竖直、水平放置。靠近M极板的电子从静止开始沿EF极板间的中线，经MN间电场加速后进入EF板间，射出EF极板后打到水平放置的圆形靶台上。已知MN板间电压为，EF极板长为、板间距也为；靶台直径、与的距离为、左端与EF极板右端的水平距离为；电子质量为、电荷量为；电子所受重力和空气阻力的影响可忽略，忽略电场的边缘效应影响。 (1)求电子离开加速电场时速度大小； (2)若电子刚好打在靶台中点，求EF极板所加电压； (3)若只改变EF极板间电压，使打在靶台上的电子动能最小，求此动能的最小值。 变式3．（26-27高二上·辽宁营口·阶段检测）计算机断层扫描（CT）仪是医院常用设备，其部分结构的示意图如图所示，平行金属板C、D水平放置，粒子源A发射的电子（初速度可视为零）先沿CD极板间的中线，经加速电场加速后射入CD极板间，射出CD极板后，电子打在水平放置的靶台PQ上。已知加速电压，CD极板间的电压，长度，间距；水平靶台左端P点到CD极板右端的水平距离，P点到D极板的竖直距离，靶台的长度，电子的电荷量为e，质量为m，忽略电子重力。 (1)求电子从CD极板射出时到中线的竖直距离y； (2)要使电子能够打到水平靶台PQ上，求CD极板间的电压的取值范围。 考点二 带电粒子在匀强电场中的圆周运动 带电粒子在匀强电场中的圆周运动解题技巧 （1）匀强电场中的电场力是恒力，不能单独提供向心力，圆周运动多为绳、轨道约束，或电场力与重力共同作用的复合场模型。 （2）用等效重力法：先求重力与电场力的合力，把它看作”等效重力”，，据此确定等效最高点和最低点。 （3）临界条件出现在等效最高点：绳的拉力（轨道弹力）为零，由等效重力单独提供向心力，此处速度最小。 （4）列式优先用动能定理：重力做功与电场力做功之和等于动能变化，避免复杂的动力学过程。 （5）画好受力和矢量合成图，注意电场力方向随电荷正负改变，进而改变等效最低点位置。 （6）区分模型：绳模型最高点有最小速度限制，杆（管）模型最高点速度可以为零，临界条件不能混用。 例1．（26-27高二上·陕西榆林·阶段检测）如图所示，粗糙绝缘的水平面上竖直放置光滑的半圆绝缘轨道，轨道半径，轨道的圆心为，最低点在水平面上，水平面上方存在水平向左的匀强电场，电场强度，现在水平面上点由静止释放一个质量、电荷量带正电的小滑块，滑块经轨道的最高点飞出，且经点时对轨道无压力，滑块与水平面间的动摩擦因数，重力加速度取，求： (1)滑块在点时的速度大小； (2)、两点间的距离； (3)滑块经半圆轨道时对轨道压力的最大值。 例2．（26-27高二上·河北衡水·阶段检测）如图所示，BCD是光滑绝缘的半圆形轨道，位于竖直平面内，直径BD竖直，轨道半径为R，下端与水平光滑绝缘轨道在B点平滑连接，整个轨道处在水平向左的匀强电场中。现有一质量为m、带正电的小球（可视为质点）由水平轨道上的A点静止释放，已知AB之间的距离，小球受到的静电力大小为0.5mg，重力加速度为g。 (1)求小球到达B点时的速度大小； (2)小球到达D点时轨道对小球的弹力大小： (3)小球从D点飞出轨道后，落在水平地面上的P点（未画出），求PB之间的距离。 (4)求圆弧轨道上最大速度及轨道对小球的最大力。 例3．（26-27高二上·江西赣州·阶段检测）如图所示，粗糙水平轨道与半径为R的竖直光滑半圆轨道在B点平滑连接，在过圆心O的水平界面MN的下方分布有水平向右的匀强电场，场强，现有一质量为m、电量为＋q的小球（可视为质点）从水平轨道上A点由静止释放，小球运动到C点离开圆轨道后经界面MN上的P点进入电场（P点恰好在A点的正上方）。已知A、B间距离为2R，重力加速度为g，求： (1)小球在C处的速度大小； (2)小球从A运动到B克服阻力所做的功； (3)若轨道各处能承受的最大压力均为，当轨道某位置受到的压力达到时，轨道在此处断裂。假设轨道断裂后该点的上方轨道立即清除，求小球运动到最高点时离水平轨道AB的高度。 变式1．（26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）如图所示，竖直虚线的左右两侧区域Ⅰ、Ⅱ分别存在竖直向下和水平向左的匀强电场，区域Ⅰ的场强大小为，区域Ⅱ的场强大小为，紧靠虚线的右侧沿竖直方向固定一光滑绝缘的圆弧形轨道，为弧形轨道的圆心，为竖直方向的直径，与的夹角为，质量为、电荷量为，可视为质点的小球由区域Ⅰ中的点以水平向右的初速度（大小未知）进入电场，经过一段时间小球恰好沿切线方向从点进入弧形轨道，已知、两点的高度差为，重力加速度，，，求： (1)小球在区域Ⅰ运动的时间； (2)小球到达点的速度大小； (3)小球沿弧形轨道段运动的过程中，欲使小球不脱离轨道，则轨道半径的取值范围是多少？ 变式2．（26-27高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）如图所示，足够长的粗糙绝缘水平轨道与竖直光滑绝缘的半圆轨道在点平滑连接，半圆轨道半径，过半圆轨道圆心的水平界面的下方、竖直直径的左侧空间分布有水平向右的匀强电场，电场强度 ，一个质量为，带电量的小滑块从水平轨道上点由静止释放，沿轨道运动，滑块恰能通过最高点。已知滑块与水平轨道间的动摩擦因数为，重力加速度，整个运动过程中滑块电荷量保持不变，不计空气阻力，求： (1)滑块通过最高点时的速度大小； (2)释放点到半圆轨道最低点的距离； (3)滑块通过最高点后，再次到达水平轨道时距点的距离。（结果可用根式表示） 变式3．（26-27高二上·河南·阶段检测）如图所示，竖直面内直角坐标系，第一象限内存在竖直向上的匀强电场，第四象限存在水平向左的匀强电场，第四象限内有一个绝缘圆弧轨道与轴交于点，圆弧轨道在点的切线与轴正方向的夹角，圆弧轨道与轴相切于点。某时刻将一质量为、带电量为的小球从轴上的点以水平速度抛出，小球恰好在点沿切线方向进入轨道，已知小球进入轨道后不脱离轨道，重力加速度为。求： (1)小球释放点到的距离； (2)轨道圆心所在的位置坐标； (3)小球在轨道上运动时的最大动能。 考点三 示波器的相关计算 示波器的相关计算解题技巧 （1）电子先在电子枪中加速，由 求出进入偏转电场的初速度。 （2）在偏转电极内做类平抛运动：、，求出极板内的偏转量 和偏转角 。 （3）离开偏转电极后电子做匀速直线运动，荧光屏上的总偏移用 或相似三角形求解。 （4）核心结论：亮点偏移量与偏转电压 成正比，这是示波器能把电压信号转化为图像的原理。 （5）两组偏转电极分工明确：YY′ 控制竖直方向偏移，XX′ 控制水平方向偏移，光点位置由两个方向合成。 （6）显示稳定波形的条件：XX′ 加锯齿形扫描电压、YY′ 加信号电压，且两者频率相同（同步）。 例1．（26-27高二上·江西鹰潭·阶段检测）如图所示，示波管由电子枪、竖直方向偏转电极、水平方向偏转电极和荧光屏组成。电极、的长度均为、间距均为。若电子枪的加速电压为，极板间的电压为（端接为高电势），极板间的电压为零。电子刚离开金属丝时速度可视为零，从电子枪射出后沿示波管轴线方向（在荧光屏正中央）进入偏转电极。电子电荷量为则电子（     ） A．会打在荧光屏左上角形成光斑 B．打在荧光屏上时的动能大小为 C．打在荧光屏上的位置与的距离为 D．打在荧光屏上时，速度方向与的夹角满足 例2．（25-26高二上·广东珠海·阶段检测）示波器是一种多功能电学仪器，由加速电场和偏转电场组成的。如图所示，、、三种粒子在电压为的加速电场中从O点由静止开始加速，从M孔水平射出，然后射入电压为的平行金属板间的电场中，入射方向与极板平行，在满足粒子能射出平行板电场区域的条件下，下列说法正确的是（　　） A．三种粒子在加速电场中运动的时间相等 B．加速电场和偏转电场对三种粒子做的总功相等 C．三种粒子射出偏转电场时的速率相等 D．三种粒子射出偏转电场时的偏转角度不相等 例3．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测·多选）如图所示是阴极射线管示意图，当偏转电极板、间不加电压时，电子束经电场加速后打到荧屏中央处形成亮斑。若偏转电极板带正电，已知电子在偏转电场中运动时间极短且不打到极板上，在其他条件不变的情况下，则（　　） A．电子通过极板过程中电场力对电子做正功，电子偏转时电势能增大 B．电子束经电场加速后打到荧屏形成亮斑，亮斑在点上方 C．偏转电压不变时，若荧屏上亮斑向上移动，可知加速电压在增大 D．加速电压不变时，若荧屏上亮斑向上移动，可知偏转电压在增大 变式1．（25-26高二上·北京丰台·期中）电子束光刻技术以其分辨率高、性能稳定、功能强大而著称，其原理简化如图所示，电子枪发射的电子经过成型孔后形成电子束，在束偏移器间不加扫描电压时，电子束垂直射到晶圆上某芯片表面并过中心O点。电子通过束偏移器的时间极短，可以认为这个过程中束偏移器的电压是不变的。电子的重力不计，以下说法正确的是（　　） A．电子在束偏移器内做非匀变速运动 B．束偏移器间加的电压越大，电子通过束偏移器的时间越短 C．电子通过束偏移器射到晶圆表面时距O点的距离与所加扫描电压成正比 D．电子通过束偏移器射到晶圆表面时距O点的距离与电子进入束偏移器的初动能成正比 变式2．（24-25高二上·陕西汉中·期末）有一种电子仪器叫示波器，可以用来观察电信号随时间变化的情况。示波器的核心部件是示波管，如图所示，如果两偏转电极都不加偏转电压，电子束将刚好打在荧光屏的中心处，形成亮斑。如果在偏转电极XX'上不加电压，在偏转电极YY'上加电压，YY'两极板间距为d，现有一电子以速度v₀进入示波管的YY'偏转电场，最后打在荧光屏上的位置与中心点竖直距离为 y，电子从进入偏转电场到打在荧光屏上的时间为 t，下列说法正确的是（　　） A．若则电子打在荧光屏中心位置下方 B．若仅增大偏转电压 则 t增大 C．若仅减小 YY '极板间距离 d，则y增大 D．若 则可以让电子打在荧光屏正中心处 变式3．（25-26高二上·陕西渭南·期末·多选）在示波管中，电子通过电子枪加速，进入偏转电极，然后射到荧光屏上。如图所示，电子的质量为m（不考虑所受重力），电荷量为e，电子从静止开始，经过电压为的加速电场水平加速后进入偏转电场，偏转电场中两板之间的距离为d，板长为L，偏转电压为，下列说法正确的是（　　） A．电子离开加速电场时速度大小为 B．电子离开偏转电场时速度方向和水平方向夹角的正切值为 C．电子离开偏转电场时速度大小为 D．电子射到荧光屏上的动能为 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中复习：带电粒子在匀强电场中的类平抛运动与圆周运动、示波器的相关计算专项训练 期中复习：带电粒子在匀强电场中的类平抛运动与圆周运动、示波器的相关计算专项训练 考点目录 带电粒子在匀强电场中的类平抛运动 带电粒子在匀强电场中的圆周运动 示波器的相关计算 考点一 带电粒子在匀强电场中的类平抛运动 带电粒子在匀强电场中的类平抛运动解题技巧 （1）把运动分解为两个分运动：沿初速度方向做匀速直线运动，沿电场力方向做初速度为零的匀加速直线运动，两分运动相互独立、时间相同。 （2）先求加速度 ，再由板长求运动时间 ，这是后续计算的基础。 （3）偏转位移用 ，偏转角满足 ，注意偏转角是速度方向与初速度方向的夹角。 （4）重要推论：粒子射出电场时，速度的反向延长线通过水平位移的中点；且 （ 为位移偏角）。 （5）判断是否考虑重力：电子、质子等基本粒子忽略重力；带电液滴、小球等宏观物体一般要考虑重力。 （6）注意电场力方向与电荷正负有关，偏转方向要结合电荷正负和电场方向判断。 例1．（26-27高二上·云南昆明·阶段检测）两平行金属板间电压，极板长度，极板间距离。金属板表面涂有很薄的绝缘介质，若带电粒子与金属板相碰，沿板表面方向速度不变，垂直板表面方向速度反向、大小不变。将两个质量均为，电荷量分别为、的带电粒子从两极板间中轴线处垂直射入电场，正电粒子恰好从上极板边缘射出电场，轨迹如图所示；负电粒子也恰好从下极板边缘射出电场，轨迹未知。忽略粒子受到的重力，求： (1)带正电粒子初速度的大小； (2)带负电粒子初速度的范围。 【答案】(1) (2)且满足 【详解】（1）平行板间电场强度为 带正电粒子的加速度 由正电微粒的运动轨迹可知正电粒子无碰撞直接从极板上边缘射出，设带正电粒子初速度的大小为，平行极板方向做匀速直线运动，则 垂直极板方向做初速度为0的匀加速直线运动，位移为 又 解得， （2）带负电粒子所带电荷量的绝对值与带正电粒子相等，带负电粒子的加速度沿垂直极板向下，大小同样为。 带负电粒子恰好从下极板边缘射出，存在两类运动情况： [1]无碰撞直接射出：和带正电粒子对称，垂直极板方向位移 运动时间同样为，对应初速度 [2]和极板发生次碰撞后射出。 由于碰撞时平行极板方向速度不变、垂直方向速度原速率反弹，该运动可等效为:垂直方向始终以加速度a单向匀加速的“镜像类平抛”，垂直方向总位移 则： 综合解得 平行极板方向始终做匀速直线运动，因此初速度满足 因此带负电粒子初速度的范围为:，且初速度取值满足 例2．（26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）如图所示，粒子发射器发射出一束质量为，电荷量为的粒子（不计重力），从静止经加速电压加速后，沿垂直于电场方向射入两平行板中央，受偏转电压作用后，以某一速度离开电场。已知平行板长为，两板间距离为，求： (1)粒子进入偏转电场速度大小； (2)粒子在离开偏转电场时的纵向偏移量； (3)粒子射出电场时速度偏转角度的正切值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子从静止经加速电压加速后，沿垂直于电场方向射入两平行板中央，则由动能定理得 解得 （2）粒子沿垂直于电场方向射入两平行板中央，之后粒子受偏转电压做类平抛运动，偏转电场的电场强度 由牛顿第二定律得 联立解得 由平抛运动公式得水平方向 竖直方向 联立解得 （3）由平抛运动速度方向的反向延长线经过水平位移中点得粒子射出电场时速度偏转角度的正切值 例3．（2026·陕西宝鸡·一模）如图所示，长为L、间距为d的两金属板A、B水平放置，ab为两板的中心线，质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从左侧极板附近由静止开始经电压为的电场加速后，从a点水平射入。求： (1)粒子从a点射入的速度大小； (2)若将A、B两金属板接上恒定电压，使粒子恰好打到金属板的右边缘，求电压的大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在加速电场中，由动能定理得 解得 （2）在偏转电场中带电粒子做类平抛运动，则，， 解得 变式1．（26-27高二上·北京海淀·阶段检测）如图所示装置放置在真空中，炽热的金属丝可以发射电子，金属丝和竖直金属板之间加一电压，发射出的电子被加速后，从金属板上的小孔水平射出，装置右侧有平行金属极板水平正对放置，板长，相距，两极板间加一电压的偏转电场。已知电子的电荷量，电子的质量，设电子刚离开金属丝时的速度为0，忽略金属极板边缘对电场的影响，不计电子受到的重力。 (1)求电子经过小孔的速度大小（可用分数表示）； (2)求电子射出偏转电场时在竖直方向上的侧移量； (3)求电子离开偏转电场后偏角的正切值。 【答案】(1) (2)0.45cm (3)0.15 【详解】（1）电子在加速电场中，由动能定理得： 解得电子经过小孔的速度大小： （2）电子进入偏转电场后做类平抛运动。水平方向做匀速直线运动，运动时间： 竖直方向受电场力做匀加速直线运动，加速度： 射出偏转电场时的竖直侧移量： 结合（1）中，化简得： 代入数据得： （3）设电子离开偏转电场时偏角为。竖直方向的分速度： 偏角的正切值： 结合，化简得： 代入数据得： 变式2．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）计算机断层（CT）扫描仪是医院常用设备，如图是部分结构的示意图。图中两对平行金属极板MN、EF分别竖直、水平放置。靠近M极板的电子从静止开始沿EF极板间的中线，经MN间电场加速后进入EF板间，射出EF极板后打到水平放置的圆形靶台上。已知MN板间电压为，EF极板长为、板间距也为；靶台直径、与的距离为、左端与EF极板右端的水平距离为；电子质量为、电荷量为；电子所受重力和空气阻力的影响可忽略，忽略电场的边缘效应影响。 (1)求电子离开加速电场时速度大小； (2)若电子刚好打在靶台中点，求EF极板所加电压； (3)若只改变EF极板间电压，使打在靶台上的电子动能最小，求此动能的最小值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）电子在M、N两极板间做匀加速直线运动，由动能定理得 解得 （2）因靶台位于中线下方，电子进入EF板间后向F板一侧偏转，取垂直极板向下的方向为正方向，板间电场强度为 由牛顿第二定律得 电子在板间运动的时间为 射出EF极板时，垂直极板方向的位移与分速度分别为， 射出后电子做匀速直线运动，到靶台所在水平面的竖直距离为，水平位移为 故电子打在靶台上时，到EF极板左端的水平距离为 电子刚好打在靶台中点，靶台左端到EF极板右端的水平距离为、直径为 故靶台中点到EF极板左端的水平距离为 联立解得 （3）电子在加速电场中由静止开始加速，电场力做功为 进入EF板间后，电场力为，电子沿电场方向的位移为，故电场力做功为 电子射出EF极板后不再受电场力作用，动能不变，由动能定理得 代入、及得 可见随增大而增大，而电子要打在靶台上，需满足 由随增大而减小，可得 故时打在靶台上的电子动能最小； 代入得，即为电子打在靶台上动能的最小值。 变式3．（26-27高二上·辽宁营口·阶段检测）计算机断层扫描（CT）仪是医院常用设备，其部分结构的示意图如图所示，平行金属板C、D水平放置，粒子源A发射的电子（初速度可视为零）先沿CD极板间的中线，经加速电场加速后射入CD极板间，射出CD极板后，电子打在水平放置的靶台PQ上。已知加速电压，CD极板间的电压，长度，间距；水平靶台左端P点到CD极板右端的水平距离，P点到D极板的竖直距离，靶台的长度，电子的电荷量为e，质量为m，忽略电子重力。 (1)求电子从CD极板射出时到中线的竖直距离y； (2)要使电子能够打到水平靶台PQ上，求CD极板间的电压的取值范围。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）电子在加速电场中运动时，由动能定理可得 电子在极板间做类平抛运动。水平方向有 竖直方向有 根据牛顿第二定律，有 联立可得 （2）射出极板时竖直分速度 可得射出极板时速度偏转角的正切值 极板中线到靶台的竖直距离 电子射出极板后做匀速直线运动。设射出极板后水平位移为 ，打在板上的竖直距离为 可得 ①打到左端时，水平距离 解得 ②打到右端Q时，水平距离 解得 要使电子落在靶台PQ上，CD极板间的电压满足 考点二 带电粒子在匀强电场中的圆周运动 带电粒子在匀强电场中的圆周运动解题技巧 （1）匀强电场中的电场力是恒力，不能单独提供向心力，圆周运动多为绳、轨道约束，或电场力与重力共同作用的复合场模型。 （2）用等效重力法：先求重力与电场力的合力，把它看作”等效重力”，，据此确定等效最高点和最低点。 （3）临界条件出现在等效最高点：绳的拉力（轨道弹力）为零，由等效重力单独提供向心力，此处速度最小。 （4）列式优先用动能定理：重力做功与电场力做功之和等于动能变化，避免复杂的动力学过程。 （5）画好受力和矢量合成图，注意电场力方向随电荷正负改变，进而改变等效最低点位置。 （6）区分模型：绳模型最高点有最小速度限制，杆（管）模型最高点速度可以为零，临界条件不能混用。 例1．（26-27高二上·陕西榆林·阶段检测）如图所示，粗糙绝缘的水平面上竖直放置光滑的半圆绝缘轨道，轨道半径，轨道的圆心为，最低点在水平面上，水平面上方存在水平向左的匀强电场，电场强度，现在水平面上点由静止释放一个质量、电荷量带正电的小滑块，滑块经轨道的最高点飞出，且经点时对轨道无压力，滑块与水平面间的动摩擦因数，重力加速度取，求： (1)滑块在点时的速度大小； (2)、两点间的距离； (3)滑块经半圆轨道时对轨道压力的最大值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）滑块通过轨道的最高点C受轨道弹力为0 由重力提供向心力有 解得 （2）滑块由A点到C点由动能定理有 解得A、B两点间的距离 （3）滑块在轨道运动时，由等效重力可知滑块与圆心O连线与竖直方向成处滑块速度最大，滑块对轨道压力最大。 设滑块经该位置速度为，滑块受弹力为 由动能定理有 解得 由合力提供向心力有 解得 由牛顿第三定律可知滑块对轨道压力的最大值为 例2．（26-27高二上·河北衡水·阶段检测）如图所示，BCD是光滑绝缘的半圆形轨道，位于竖直平面内，直径BD竖直，轨道半径为R，下端与水平光滑绝缘轨道在B点平滑连接，整个轨道处在水平向左的匀强电场中。现有一质量为m、带正电的小球（可视为质点）由水平轨道上的A点静止释放，已知AB之间的距离，小球受到的静电力大小为0.5mg，重力加速度为g。 (1)求小球到达B点时的速度大小； (2)小球到达D点时轨道对小球的弹力大小： (3)小球从D点飞出轨道后，落在水平地面上的P点（未画出），求PB之间的距离。 (4)求圆弧轨道上最大速度及轨道对小球的最大力。 【答案】(1) (2) (3) (4)， 【详解】（1）小球从A到B做匀加速直线运动，由动能定理可得 解得 （2）小球从A到D的过程中，由动能定理可得 小球在D点，由牛顿第二定律可得 联立解得 （3）小球从D点飞出轨道后做匀变速曲线运动，竖直方向有 水平方向有 设PB之间的距离为x，则有 联立解得 （4）当小球运动到等效最低点时，小球对半圆轨道的压力最大，设电场力与重力的合力与竖直方向夹角为，则有 解得 小球从点到该位置的过程，根据动能定理可得 可得 根据牛顿第二定律 联立解得 例3．（26-27高二上·江西赣州·阶段检测）如图所示，粗糙水平轨道与半径为R的竖直光滑半圆轨道在B点平滑连接，在过圆心O的水平界面MN的下方分布有水平向右的匀强电场，场强，现有一质量为m、电量为＋q的小球（可视为质点）从水平轨道上A点由静止释放，小球运动到C点离开圆轨道后经界面MN上的P点进入电场（P点恰好在A点的正上方）。已知A、B间距离为2R，重力加速度为g，求： (1)小球在C处的速度大小； (2)小球从A运动到B克服阻力所做的功； (3)若轨道各处能承受的最大压力均为，当轨道某位置受到的压力达到时，轨道在此处断裂。假设轨道断裂后该点的上方轨道立即清除，求小球运动到最高点时离水平轨道AB的高度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由平抛运动规律知竖直方向 解得 水平方向 解得在C点的速度 （2）从A→C过程，由动能定理得 解得小球从A运动到B克服阻力所做的功 （3）如图，利用复合场等效法，小球在圆周D处速度最大， 设OD连线与竖直方向夹角为，则 由几何知识得， 从A→D过程，根据动能定理得 分析D点受力有 解得， 所以轨道在D处断裂。 从D点到最高点的过程中，竖直方向有 解得 B到D竖直高度 最高点离水平轨道的高度 变式1．（26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）如图所示，竖直虚线的左右两侧区域Ⅰ、Ⅱ分别存在竖直向下和水平向左的匀强电场，区域Ⅰ的场强大小为，区域Ⅱ的场强大小为，紧靠虚线的右侧沿竖直方向固定一光滑绝缘的圆弧形轨道，为弧形轨道的圆心，为竖直方向的直径，与的夹角为，质量为、电荷量为，可视为质点的小球由区域Ⅰ中的点以水平向右的初速度（大小未知）进入电场，经过一段时间小球恰好沿切线方向从点进入弧形轨道，已知、两点的高度差为，重力加速度，，，求： (1)小球在区域Ⅰ运动的时间； (2)小球到达点的速度大小； (3)小球沿弧形轨道段运动的过程中，欲使小球不脱离轨道，则轨道半径的取值范围是多少？ 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）小球从A到B过程，做类平抛运动，在竖直方向有 根据牛顿第二定律有 联立解得， （2）小球到达点时竖直方向速度大小 小球到达点时速度大小为 （3）小球在区域Ⅱ中运动时，电场力与重力的合力大小为 设F方向斜向左下方与竖直方向的夹角为。小球沿弧形轨道BCD段运动的过程中，设等效最高点为H，如图 若小球在H点时，小球与弧形轨道之间的作用力为零，由合力提供向心力，则有 小球由B点到H点的过程中，由动能定理得 联立解得 若小球运动到与O点连线垂直于BH的G点时，速度减为零，对小球，由B到G的过程中，由动能定理得 联立解得 由以上分析可知，小球在BCD段不脱离轨道的条件是或。 变式2．（26-27高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）如图所示，足够长的粗糙绝缘水平轨道与竖直光滑绝缘的半圆轨道在点平滑连接，半圆轨道半径，过半圆轨道圆心的水平界面的下方、竖直直径的左侧空间分布有水平向右的匀强电场，电场强度 ，一个质量为，带电量的小滑块从水平轨道上点由静止释放，沿轨道运动，滑块恰能通过最高点。已知滑块与水平轨道间的动摩擦因数为，重力加速度，整个运动过程中滑块电荷量保持不变，不计空气阻力，求： (1)滑块通过最高点时的速度大小； (2)释放点到半圆轨道最低点的距离； (3)滑块通过最高点后，再次到达水平轨道时距点的距离。（结果可用根式表示） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）滑块恰能通过最高点，说明在点轨道对滑块的压力恰好为零，只有重力提供向心力 解得 （2）从到的过程中，由动能定理有 解得 （3）小滑块从飞出后，竖直方向做自由落体运动，满足 解得 从到边界的过程，竖直方向有 解得 则小滑块在以下运动的时间为 小滑块从到边界的过程，水平位移 从边界以下到落回水平面的过程，根据牛顿第二定律 解得 水平位移为 解得 则小滑块再次到达水平轨道时距的距离为 变式3．（26-27高二上·河南·阶段检测）如图所示，竖直面内直角坐标系，第一象限内存在竖直向上的匀强电场，第四象限存在水平向左的匀强电场，第四象限内有一个绝缘圆弧轨道与轴交于点，圆弧轨道在点的切线与轴正方向的夹角，圆弧轨道与轴相切于点。某时刻将一质量为、带电量为的小球从轴上的点以水平速度抛出，小球恰好在点沿切线方向进入轨道，已知小球进入轨道后不脱离轨道，重力加速度为。求： (1)小球释放点到的距离； (2)轨道圆心所在的位置坐标； (3)小球在轨道上运动时的最大动能。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）带电小球在点以速度水平抛出后，在电场力和重力作用下做类平抛运动 竖直方向加速度 设小球从点运动到点，需要的时间为 由题意可知 解得 则到的距离 （2）设轨道半径为，圆心坐标为，如图所示 由几何关系可得， 解得 圆心在第四象限，可知 故轨道圆心的坐标为 （3）（3）设重力和电场力的合力与竖直方向的夹角为，则有 解得 则当小球在第四象限圆弧轨道上运动到等效最低点时，小球的速度最大，从到的过程 根据动能定理可得     结合     联立解得 考点三 示波器的相关计算 示波器的相关计算解题技巧 （1）电子先在电子枪中加速，由 求出进入偏转电场的初速度。 （2）在偏转电极内做类平抛运动：、，求出极板内的偏转量 和偏转角 。 （3）离开偏转电极后电子做匀速直线运动，荧光屏上的总偏移用 或相似三角形求解。 （4）核心结论：亮点偏移量与偏转电压 成正比，这是示波器能把电压信号转化为图像的原理。 （5）两组偏转电极分工明确：YY′ 控制竖直方向偏移，XX′ 控制水平方向偏移，光点位置由两个方向合成。 （6）显示稳定波形的条件：XX′ 加锯齿形扫描电压、YY′ 加信号电压，且两者频率相同（同步）。 例1．（26-27高二上·江西鹰潭·阶段检测）如图所示，示波管由电子枪、竖直方向偏转电极、水平方向偏转电极和荧光屏组成。电极、的长度均为、间距均为。若电子枪的加速电压为，极板间的电压为（端接为高电势），极板间的电压为零。电子刚离开金属丝时速度可视为零，从电子枪射出后沿示波管轴线方向（在荧光屏正中央）进入偏转电极。电子电荷量为则电子（     ） A．会打在荧光屏左上角形成光斑 B．打在荧光屏上时的动能大小为 C．打在荧光屏上的位置与的距离为 D．打在荧光屏上时，速度方向与的夹角满足 【答案】D 【详解】A．极板电压为零，电子在竖直方向不受电场力，不发生竖直偏转，不会打在荧光屏左上角，故A错误； B．电子经加速电场加速，由动能定理得 进入偏转电场后，电场力做功为，其中为电子在偏转电场中的侧移量 由于 因此 因此打在荧光屏上的动能不是，故B错误； C．电子在偏转电场中的侧移量 电子离开电场后，电子做匀速直线运动，打在荧光屏上的位置与距离还需要加上出电场后匀速直线运动产生的偏移量。题目未给出荧光屏到偏转电极的距离，无法确定总偏移距离，故C错误； D．离开偏转电场时竖直方向的分速度大小为 结合 可得，故D正确。 故选D。 例2．（25-26高二上·广东珠海·阶段检测）示波器是一种多功能电学仪器，由加速电场和偏转电场组成的。如图所示，、、三种粒子在电压为的加速电场中从O点由静止开始加速，从M孔水平射出，然后射入电压为的平行金属板间的电场中，入射方向与极板平行，在满足粒子能射出平行板电场区域的条件下，下列说法正确的是（　　） A．三种粒子在加速电场中运动的时间相等 B．加速电场和偏转电场对三种粒子做的总功相等 C．三种粒子射出偏转电场时的速率相等 D．三种粒子射出偏转电场时的偏转角度不相等 【答案】B 【详解】A．粒子在加速电场中由静止开始运动，由动能定理得 解得 设加速电场板间距为，粒子做匀加速直线运动，平均速度为，运动时间 与成正比，三种粒子质量不同，故运动时间不相等，故A错误； B．设偏转板长度为、间距为，粒子在偏转电场偏转的距离为，粒子离开电场的竖直方向分速度为，有电场总功 粒子射出极板的时间为 由动能定理得 又运动学公式 结合 解得 与粒子质量无关，则三种粒子相同，都相同，故总功相等，故B正确； C．由动能定理 总功相等，但粒子质量不同，因此末速率不相等，故C错误； D．由B选项可知粒子离开电场的竖直方向分速度 又 偏转角正切值 与、无关，故三种粒子偏转角度相等，故D错误。 故选B。 例3．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测·多选）如图所示是阴极射线管示意图，当偏转电极板、间不加电压时，电子束经电场加速后打到荧屏中央处形成亮斑。若偏转电极板带正电，已知电子在偏转电场中运动时间极短且不打到极板上，在其他条件不变的情况下，则（　　） A．电子通过极板过程中电场力对电子做正功，电子偏转时电势能增大 B．电子束经电场加速后打到荧屏形成亮斑，亮斑在点上方 C．偏转电压不变时，若荧屏上亮斑向上移动，可知加速电压在增大 D．加速电压不变时，若荧屏上亮斑向上移动，可知偏转电压在增大 【答案】BD 【详解】A．电子通过极板过程中电场力对电子做正功，则电子的电势能减小，故A错误； B．偏转电极板带正电，则电子所受电场力向上，亮斑在点上方，故B正确； CD．设加速电场的加速电压为，偏转电场的电压为，之间的距离为d、板长为L，电子射出时的偏转位移为y，电子在加速电场中，根据动能定理可得 在偏转电场中，根据类平抛运动的规律可得，， 联立解得 可知，偏转电压不变时，加速电压减小，则亮斑向上移动；加速电压不变时，偏转电压增大，则亮斑向上移动，故C错误，D正确。 故选BD。 变式1．（25-26高二上·北京丰台·期中）电子束光刻技术以其分辨率高、性能稳定、功能强大而著称，其原理简化如图所示，电子枪发射的电子经过成型孔后形成电子束，在束偏移器间不加扫描电压时，电子束垂直射到晶圆上某芯片表面并过中心O点。电子通过束偏移器的时间极短，可以认为这个过程中束偏移器的电压是不变的。电子的重力不计，以下说法正确的是（　　） A．电子在束偏移器内做非匀变速运动 B．束偏移器间加的电压越大，电子通过束偏移器的时间越短 C．电子通过束偏移器射到晶圆表面时距O点的距离与所加扫描电压成正比 D．电子通过束偏移器射到晶圆表面时距O点的距离与电子进入束偏移器的初动能成正比 【答案】C 【详解】A．束偏移器间加上不变电压，电子在束偏移器内做类平抛运动，是匀变速曲线运动，故A错误； B．电子通过束偏移器，在初速度方向做匀速直线运动，所以通过束偏移器的时间与所加的扫描电压无关，故B错误； C．设束偏移器的长度为，间距为，束偏移器下端到晶圆表面的距离为，所加扫描电压为。电子在束偏移器中的偏移量为 根据平抛运动的推论，电子从束偏移器中射出时，其速度方向的反向延长线一定过束偏移器的中心位置，设电子束到达芯片时的位置离点的距离为，如图所示 根据几何关系有 所以有 与所加扫描电压成正比，故C正确； D．由C分析可知，电子通过束偏移器射到晶圆表面时距O点的距离与电子进入束偏移器的初动能成反比，故D错误。 故选C。 变式2．（24-25高二上·陕西汉中·期末）有一种电子仪器叫示波器，可以用来观察电信号随时间变化的情况。示波器的核心部件是示波管，如图所示，如果两偏转电极都不加偏转电压，电子束将刚好打在荧光屏的中心处，形成亮斑。如果在偏转电极XX'上不加电压，在偏转电极YY'上加电压，YY'两极板间距为d，现有一电子以速度v₀进入示波管的YY'偏转电场，最后打在荧光屏上的位置与中心点竖直距离为 y，电子从进入偏转电场到打在荧光屏上的时间为 t，下列说法正确的是（　　） A．若则电子打在荧光屏中心位置下方 B．若仅增大偏转电压 则 t增大 C．若仅减小 YY '极板间距离 d，则y增大 D．若 则可以让电子打在荧光屏正中心处 【答案】C 【详解】A．若则电子受到的电场力竖直向上，所以电子打在荧光屏中心位置上方，故A错误； B．电子在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做匀加速直线运动，所以若仅增大偏转电压，电子从进入偏转电场到打在荧光屏上的时间t不变，故B错误； C．电子在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做匀加速直线运动，则偏转位移 可知时间不变，若仅减小YY’极板间距离d，偏转位移y变大，故C正确； D．若 ，则电子受到的电场力竖直向上，所以电子打在荧光屏中心位置上方；若，则电子受到的电场力水平向左，所以电子打在荧光屏中心位置左方，综合可知电子不会打在荧光屏正中心处，故D错误。 故选C 。 变式3．（25-26高二上·陕西渭南·期末·多选）在示波管中，电子通过电子枪加速，进入偏转电极，然后射到荧光屏上。如图所示，电子的质量为m（不考虑所受重力），电荷量为e，电子从静止开始，经过电压为的加速电场水平加速后进入偏转电场，偏转电场中两板之间的距离为d，板长为L，偏转电压为，下列说法正确的是（　　） A．电子离开加速电场时速度大小为 B．电子离开偏转电场时速度方向和水平方向夹角的正切值为 C．电子离开偏转电场时速度大小为 D．电子射到荧光屏上的动能为 【答案】BD 【详解】A．电子离开加速电场时速度大小为，由动能定理得 解得，A错误； B．电子在偏转电场中做类平抛运动，有 其中， 代入解得 设电子离开偏转电场时速度方向和水平方向夹角为，则，B正确； C．电子离开偏转电场时速度大小 代入解得，C错误； D．电子离开偏转电场时竖直方向上的位移 解得 电子在加速电场和偏转电场中，电场力做正功，离开偏转电场后，做匀速直线运动，所以由动能定理可得，射到荧光屏上的动能 解得，D正确。 故选BD。 2 学科网（北京）股份有限公司 $