1.1.2 空间向量基本定理 知识清单-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

1.1.2 空间向量基本定理　知识清单

人教B版　选择性必修第一册　第一章　空间向量与立体几何

◆ 一、本节导览

上一节把平面向量的运算搬进了空间：加法、减法、数乘、数量积，一条一条都对得上。可运算再熟练，也只解决“已知向量算向量”的事。真正做立体几何题时，摆在面前的是另一个问题——题目给的是棱、是面、是点的位置，怎么把它们变成一个能算的式子？

回答这个问题要靠一条定理：空间里任意一个向量，都能用三个不共面的向量表示出来，三个，不多不少。一条直线只需要一个方向，一个平面只需要两个方向，撑满整个空间要三个。这条“三”就是空间向量基本定理，它把几何图形翻译成代数式子，后面所有的计算才有落脚点。

学习目标 ①　说出共线向量定理、共面向量定理、空间向量基本定理的条件与结论，理清“1→2→3”的升维线索； ②　理解基底与基向量的含义，会判断三个向量能否构成基底； ③　会用走路法、中点公式、定比分点，把空间向量用基底表示出来； ④　会用 判断四点共面，并能写出这条结论的证明； ⑤　会用基底法求线段长度与夹角，知道选基底的三条原则。

 

环节	这一环要回答什么	落在这几个结论上
共线定理	一个向量何时能用另一个表示	（）， 唯一
共面定理	一个向量何时能用两个表示	（、 不共线），() 唯一
基本定理	一个向量何时能用三个表示	（三向量不共面），() 唯一
基底	三个不共面的向量能干什么	表示向量、判定共面、求长度与夹角
坐标	基底再特殊一点得到什么	单位正交基底 → 空间直角坐标系（下节）

 

与前后两节的接口 前面：1.1.1 讲的是运算，本节讲的是表示。两条线合起来，才能把几何条件写成代数式子。 后面：把基底取成两两垂直的单位向量，表示式 中的 就是坐标，下一节 1.1.3 从这里接着讲。 再往后：1.2 节用向量求线面角、二面角，第一步都是“选基底”或“建系”，根都在本节。

 

◆ 二、三个基本定理：一维、二维、三维

三个定理是同一个思想的三个层次，不必一上来就背。先看清它们其实在回答同一个问题：用几个向量，才能把一个向量表示出来？

共线向量定理（一维）

对空间中两个向量 ，若 ，则 与 共线 存在唯一实数 ，使

  (1)

三句话要说清：条件不能省——若 ，则 永远是零向量，任何非零的 都表示不出来；符号管方向—— 同向， 反向， 得零向量；唯一——所以“共线”与“成比例”是一回事。

最常用的场合是证三点共线：A、B、C 三点共线 ，且两个向量有公共点 A。

共面向量定理（二维）

如果两个向量 不共线，那么向量 与 共面 存在唯一的有序实数对 ，使

  (2)

几何上很好懂：把 平移到同一起点 O，以 、 为邻边作平行四边形， 就是它的对角线（图1）。所以“共面”这件事根本不用去找平面，只要看 能不能写成 的线性组合——这是本节第一个能直接下手的判据。

图1　p = xa + yb：以 xa、yb 为邻边的平行四边形

唯一性的来历要记住：若 ，两式相减得 。因为 不共线，只能 、。这一步用的正是“不共线”，换成共线就不成立了。

两个必须记住的细节 ①　“不共线”不能少。若 ，则 只能表示与它们共线的向量，表示不出整个平面。 ②　“有序”不是废话： 永远配 ， 永远配 ，交换就是另一个向量。

 

空间向量基本定理（三维）

如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在唯一的有序实数组 ，使

  (3)

图2 画的是最常用的情形：在平行六面体中，从同一顶点 D 出发的三条棱 不共面，它们的和恰好是体对角线 。反过来说，体对角线被“拆”成了三条棱上的三段——这就是“分解向量”的几何原型。

图2　以 D 为起点：DB₁ = DA + DC + DD₁；一般地 p = xa + yb + zc

“三个向量不共面”与“它们能张成整个空间”是同一句话。少一个不行：两个不共线的向量只能张成一个平面，平面外的向量无论如何也凑不出来。多一个也不行：四个向量里必然有一个能由其余表示，表示法就不唯一了。

定理的证明：两次降维

这个定理的证明几乎不靠计算，靠作图，思路只有八个字：先降一维，再降一维。设 ，，，。

第一步（三维→二维）　过点 P 作平面 π，使 π 平行于 所确定的平面，设 π 与直线 OA 交于点 Q。因为 Q 在直线 OA 上，由共线定理，存在实数 使 。

第二步（二维→一维）　 在平面 π 内，而 π 平行于 张成的平面，由共面向量定理，存在实数 使 。

第三步（相加）　。

图3　先把 OP 压到平面内（得 OQ），再沿 c 的方向补上 zc

“过 P 作平行平面、交出 Q”这个动作，是本节所有分解的通用骨架。做题时未必真的作图，但心里要有这张图：先把目标向量压到某个平面里，再从平面里压到某条直线上。写不出表示式的时候，多半是没想清楚“先压到哪个平面”。

唯一性

设 ，两式相减得

 

若 ，则

 

这说明 能由 线性表示，即三向量共面，与题设矛盾。故 ；同理 ，。

为什么偏偏是三个 ①　一个非零向量只能张成一条直线； ②　两个不共线的向量只能张成一个平面； ③　三个不共面的向量才能张成整个空间； ④　四个及以上一定有冗余：若前三个已张成空间，第四个必能由它们表示，表示法随之不再唯一。 这就是“空间的维数是 3”的直观含义，也是“基底”这个词的来源。

 

定理	前提	结论	表示法
共线向量定理	a≠0		唯一
共面向量定理	a、b 不共线		() 唯一
空间向量基本定理	a、b、c 不共面		() 唯一

 

三行看下来，规律很清楚：前提里“独立”的向量有几个，表示式里就有几个系数；而“唯一”三个字是逐层保留下来的。下一节把基底取成两两垂直的单位向量，“唯一”就变成了“坐标唯一”。

◆ 三、基底与基向量

由基本定理，只要 不共面，空间的每个向量都能被它们唯一表示。这时给这组向量一个名字。