1.2.3 直线与平面的夹角-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修第一册人教B版 故BF=(-7,7,0),AD=(-2,0,3), 故AD.BF=14. 1.2.3直线与平面的夹角 要点精析 例1(1)证明：PA⊥平面ABC,BCC平面ABC, .PA⊥BC. 又.∠BCA=90°，，AC⊥BC.又.ACC平面PAC, PAC平面PAC,PA∩AC=A,.BC⊥平面PAC (2)解：如图所示，取PC的中点 E,连接DE D为PB的中点，.DE∥BC DE⊥平面PAC. 连接AE,则AE是AD在平面 PAC内的射影， 例1答图 .∠DAE是直线AD与平面PAC的夹角. 设PA=AB=a,在Rt△ABC中， ∠ABC=60,∠BCA=90,BC-=号，DE=4 4 在Rt△ABP中，AD=V2， 2a. ∴sin DAE=DE= 4 、V2 AD V2 4 2 -a 即AD与平面PAC夹角的正弦值为V2 4 变式训练1D【解析】连接 D BD,BD,BB1⊥平面ABCD, DA⊥平面AABB,所以BD与 平面ABCD和平面AABB所成 的角分别为∠BDB,∠ABD, .∠BDB=∠ABD=30° 变式训练1答图 设AD=1,则AB1=V3,BD=2,∴BB1=1,BD= V3,.AB=V2..AB=V2AD,故A错误： 易求AC=V3,CB=V2,AC≠CB,故C错 误；过B作BH⊥AB,交AB,于H,.∠HAB为AB 与平面AB,CD所成的角，BH=ABBB=V6 AB 3 sin∠HAB=BH=Y了，故B错误： AB 3 又.∠DB1C为BD与平面BB1C1C所成的角， m∠BC-%=,六∠DBC-45,故D正箱 例2解：方法一：OA=OB=0C=a, 28 N ∠AOB=∠AOC=60°，.AB=AC=a 又BC=V2a,∴AB2+AC=BC .△ABC为等腰直角三角形 同理△BOC也为等腰直角三角形 如图所示，取BC的中点H, 连接AH,OH, 例2答图 AH-V2 a,OH-V2a,A0-a, 2 2 AH+OHP=AO2. .△AHO为等腰直角三角形..AH⊥OH. 又.AH⊥BC,OH∩BC=H,∴AH⊥平面ax. .OH为A0在平面内的射影，∠AOH为OA与平 面a所成的角 在R△AOH中，sin∠AOH=AH-V2 A02 .,∠A0H=45°..0A与平面所成的角为45° 方法二：，'∠AOB=∠AOC=60°， .OA在a内的射影为∠BOC的平分线 作∠BOC的平分线OH交BC于H, 又.OB=0C=a,BC=V2a,∴.∠BOC90° 故∠B0H=45°.由公式cos0=cos01·cos02, 得cos∠AOH=Cos∠AOB=V2 Cos∠BOH2 .0A与平面a所成的角为45°. 变式训练2解：由题意得∠CBD=45°， ∠PBD即为直线PB与平面ABCD所成的角A. .cos∠PBC=cos0·cos∠CBD,∠PBC=60° 即cos60°=c0s0:c0s45,cos9V2,949 例3(1)证明：在直三棱柱AB,C-ABC中，AC⊥ BC,AC=BC=1,CC=2,点M是AB,的中点. 以C为原点，建立如图所示的 空间直角坐标系， 则B(0,1,2),C(0,0,0), A(1,0,0),C1(0,0,2), A1(1,0,2), B w3,3,2, 例3答图 B,C=(0,-1,-2),AC=(-1,0,2), af-(3,3,2 设平面ACM的法向量n=(x,y,z), nAC1=-x+2z=0, 则 n4=++2-0， 取z=1,得n=(2,-2,1). BCn=0,B,Ct平面ACM,B,C∥平面ACM. (2)解：AA1=(0,0,2),平面ACM的一个法向 量n=(2,-2,1), 设AA,与平面ACM所成角为0， 则AA,与平面ACM所成角的正弦值为 sino-uA'm21 IAA:linl 2x33 AA,与平面ACM所成角的正弦值为】 3 变式训练3ABC【解析】可以 把正四面体ABCD放在正方体 AGBH-MCND中，设正方体的棱 长为2，以A为坐标原点，AG, A月，AM所在直线分别为x,y, z轴建立如图所示的空间直角坐 变式训练3答图 标系，则A(0,0,0),B(2, 2,0),C(2,0,2),D(0,2,2),E(1,1,0), F(1,1,2). 对于A,EF=(0,0,2),AB=(2,2,0),EF.AB= O,所以EFLAB,即直线EF与AB所成的角为7，A对： 对于B,AD=(0,2,2),则cos(EF,AD)= 丽287学，直战8默与0所成全 EFA 为平，B对： 对于C,BC=(0,-2,2),BD=(-2,0,2), 设平面BCD的法向量为m=(x,1,),则 mBC=-2+2z=0,取=l,可得m=(1,1,1),所以 m-BD=-2x+2z1=0, ,m=2己，故直线与 IEFl-Iml 2V3 平面BCD所成角的正弦值为Y,C对： 对于D,设平面ABD的法向量为=(x2,y2,2), nAB=2+20取=1，n=(1,-山，1） 则 n·AD=2y2+222=0, cos(E7,n)=EF”=Y,3.故D错误.故选ABC, 参考答案。 数学文化 (1)证明：.PO⊥平面ABCD,ACC平面ABCD, .PO⊥AC. 又.AC⊥BD,PO∩BD=O,POC平面PBD,BDC 平面PBD,AC⊥平面PBD. 又PDC平面PBD,PD⊥AC (2)解：方法一：如图1所示，以0为坐标原点， 分别以OB,OC,OP的方向为x轴、y轴、z轴的正方 向，建立空间直角坐标系0-xz,则B(4,0,0), C(0,8,0),D(-4,0,0),P(0,0,2), PB=(4,0,-2),PC=(0,8,-2),PD=(-4,0, -2). 设m=(a,b,c）为平面PBC的法向量， m-PB=0,即 则 4a-2c=0, m.PC=0, 8b-2c=0, 令c=4,则m=(2,1,4). 设直线PD与平面PBC所成角为O, 则sin6P四：ml_4x2+0x1-2x4l=8V105 IPD1lmlV16+4×V4+1+16 105 方法二：如图2所示， 在Rt△POB中，由PB2=PO+OB2,得PB=2V5 在Rt△POC中，由PC=PO+0C,得PC=2V17. 在Rt△POD中，由PD2=PO+OD2,得PD=2V/5. 在Rt△BOC中，由BC=BO2+OC2,得BC=4V5. 在△PBC中，由余弦定理，得 Cos∠PBC=PB+BCPC 2PB·BC =(2V5)4(4V5)2-(2V1722 2x2V5×4V5 -5 sin L PBC=V1-cosL PBC=V21 5 Sam-2PB:Bcsn∠PBC=7x2V5x4V万× 21=4V21 5 设点D到平面PBC的距离为h, 由V三枚维PB广V三棱锥8C, 得兮×号XBDx0cx0r号x5mh, h=BDXOCXOP=8x8x2_16V21 2S△2x4V2121 设直线PD与平面PBC所成的角为O, 29 高中数学选择性必修第一册人教B版 1621 则sin0=h=21-8V105 PD 2V5 105 D B 1 图1 图2 例题答图 1.2.4二面角 要点精析 例1解：如图所示，取AC的中点D, 连接OD,PD. .PO⊥底面，.PO⊥AC, OA=OC,D为AC的中点， ∴.OD⊥AC. A∈ 又P0∩0D=0 例1答图 .AC⊥平面POD,则AC⊥PD .∠PDO为二面角PAC-B的平面角 .△PAB是边长为2的正三角形，CO⊥AB P0=V3,0A=0C=L,0D=V2 2 则VV4要 2 '.sin L PDO=PO=V3=V42 PD 14 7 2 ·二面角PACB的正弦值为V42 7 变式训练1}【解析】如图， 过A作AO⊥BD,交BD于O, 连接PO,·矩形ABCD的两边 --0 D AB=3,AD=4,PA⊥平面ABCD, 变式训练1答图 且PA=号，BD-=V34=5,POLRD,∠P0A是面 角A-BD-P的平面角.】BDA0=之ABAD,A0 2 4 BD ，tan∠po=PA=寸1 AB·AD=12 A012=3·二面角A 5 BDP的正切值为？ 例2(1)证明：四边形ACCA,和四边形BDDB,均 30 为矩形，.CC⊥AC,DD1⊥BD. 又CC1∥DD1∥001，.001⊥AC,001⊥BD. AC∩BD=O,.O,O⊥底面ABCD (2)解：四棱柱的所有 棱长都相等，.四边形ABCD 为菱形，AC⊥BD.又O0⊥ 底面ABCD,∴.OB,OC,O0 两两垂直.如图所示，以0为 原点，OB,0C,001所在直 B C 线分别为x轴、y轴、z轴，建 例2答图 立空间直角坐标系。 设棱长为2，∠CBA=60°，….0B=V3,OC=1, .0(0,0,0),B1(V3,0,2),C(0,1,2), 平面BDDB,的一个法向量为=(0,1，O). 设平面OCB,的法向量为m=(x,y,z), 则由m10B,m⊥0C,得V3x+22=0,y+2z=0, 取=-V3,则x=2,y=2V3, m=(2,2V3,-V3), m器语2 19 由图形可知二面角C1-OB-D的大小为锐角，.二面 角C-OB-D的余弦值为2VS7 19 变式训练2解：(1)如图，连接BD.PD⊥平面 ABCD,AMC平面ABCD,.AM⊥PD,又由题知， AM⊥PB,且PB∩PD=P,'AM⊥平面PDB,BDC平面 PDB,.AM⊥BD 由题知：PD⊥平面ABCD, 且矩形ABCD中，AD⊥DC,所 以AD,PD,DC两两垂直.以D 为坐标原点，DA,DC,DP所 在直线分别为x轴、y轴、：轴 建立空间直角坐标系.设BC= -- 2x,则D(0,0,0),A(2x,0, 0),B(2x,1,0),M(x,1,0), 变式训练2答图 所以AM=(-x,1,0),DB=(2x,1,0),AM1DB, .(-x,1,0)-(2x,1,0)=0,解得=V2(负值舍 去)，所以BC=V2. (2)由(1)知，A(V2,0,0),B(V2,1,0), C(0,1,0),P0,0,1),M2,1,0,则A= 2第一章空间向量与立体几何。 1.2.31 直线与平面的夹角 面PAC夹角的正弦值， 学习目标 分析 （1)证明BC和平面PAC内的 1.理解斜线和平面所成的角的定义，体 两条相交直线垂直 会夹角定义的唯一性、合理性 (2)作出AD在平面PAC内的射影后， 2.会求直线与平面的夹角. 构造三角形求解。 要点精析 川要点1直线与平面的夹角 1.垂线与平面所成的角：一条直线垂直 于平面，则它们所成的角是90° 2.一条直线和平面平行或在平面内，则 它们所成的角为0° 3.斜线和平面所成的角：一条直线与平 面相交，但不和平面α垂直，这条直线称 为平面的斜线.斜线与平面α的交点称为 斜足，过斜线上斜足以外的点向平面引垂 线，过垂足与斜足的直线称为斜线在平面α 内的射影.平面的一条斜线和它在平面内的 反思感悟 射影所成的角，称为这条斜线和这个平面所 找直线在平面内的射影，充分利用面 成的角， 面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角. 4.斜线和平面所成角的范围为(0°， 90). B变式训练① 思考用定义法求直线与平面夹角的 在长方体ABCD-ABCD1中，BD与平 关键是什么？ 面ABCD和平面AABB所成的角均为30°， 例1如图1-2-11所示， 则() 在三棱锥PABC中，PA⊥平 A.AB=2AD 面ABC,PA=AB,∠ABC= B.AB与平面ABCD所成的角为30° 60°，∠BCA=90°. C.AC=CB (1)求证：BC⊥平面PAC; 图1-2-11 D.BD与平面BBC,C所成的角为45 (2)若D为PB的中点，试求AD与平 学 19 高中数学选择性必修第一册人教B版 川要点2最小角定理 变式训练2 如图，AB⊥a,则图中0,0， 如图1-2-12所示，在四棱锥P-ABCD中， 02之间的关系是cos0=cos01· 四边形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD. 线线角、线面 c0s02 角的关系式 若∠PBC=60°，求直线PB与平面ABCD所 最 小 成的角0. 理 最小角 平面的斜线和它在平面内的射影所 成的角，是斜线和这个平面内所有 定理 直线所成角中最小的角 图1-2-12 例2∠BOC在平面a内，OA是平面 a的一条斜线，若∠AOB=∠AOC=60°，OA= OB=OC=a,BC=V2a,求OA与平面a所 成的角。 反思感悟 川要点3用空间向量求直线与平面的夹角· 求线面角的关键是确定斜线在平面上 如果v是直线l的一个方向向量，n是平 射影的位置，只有确定了射影，才能将空 面α的一个法向量，设直线I与平面a所成角 间角转化为平面角.在本例中，也可以直接 作AH⊥BC于H,进而证明AH⊥平面a, 的大小为0，则0=7-，m)或=(，n 从而证明H是点A在平面α内的射影.灵 .特别地，cos=siny,n〉或sinf=osy,n儿 2 活应用公式cos0=c0s0·cos02求线面角，也 思考直线1的方向向量y与平面的法 是常用的方法. 向量的夹角一定是直线和平面的夹角吗？ 20) 学 N 第一章空间向量与立体几何。 例3如图1-2-13，在直三棱柱ABC1 变式训练3 ABC中，AC⊥BC,AC=BC=1,CC=2,点M 是AB,的中点. (多选题)如图1-2-14，在正四面体 (1)求证：BC∥平面ACM; ABCD中，E,F分别为AB,CD的中点，则 (2)求AA,与平面ACM所成角的正 () 弦值 图1-2-14 图1-2-13 A.直线EF与AB所成的角为T B.直线EF与AD所成的角为平 C.直线EF与平面BCD所成的角的正 弦值为V3 3 D.直线EF与平面ABD所成的角的正 弦值为V② 2 数学文化 例中国是风筝的故乡，南方称风筝为 “鹞”，北方称风筝为“鸢”.如图，某种风 筝的骨架模型是四棱锥P-ABCD,其中AC⊥ BD于点0，OA=0B=OD=4,OC=8,P0⊥平 反思感悟 面ABCD 用向量法求线面角的步骤： (1)建立空间直角坐标系. (2)求直线的方向向量AB」 (3)求平面的法向量n. (4)计算：设线面角为0，则sin0= 图1-2-15(A) 图1-2-15(B) In-AB (1)求证：PD⊥AC; InllA BI 学(21 N 高中数学选择性必修第一册人教B版 (2)试验表明，当P0=201时，风筝 表现最好，求此时直线PD与平面PBC所成 角的正弦值 分析(1)利用PO⊥平面ABCD可 得PO⊥AC,再利用AC⊥BD即可. (2)以0为坐标原点，分别以OB, 0C,OP的方向为x轴、y轴、名轴的正方 向，建立空间直角坐标系即可求出；或 利用等体积法V三技锥PBCD=V三技锥DPC也可. (22)学