精品解析：北京市海淀区首都师范大学第二附属中学2026-2027学年八年级上学期期中数学试题

首都师大二附中2026-2027学年第一学期期中练习 初二数学 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列线段为边能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高 B. 角平分线、高、中线 C. 高、中线、角平分线 D. 角平分线、中线、高 5. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，添加一个条件后，仍然不能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，，，，点P是边上的动点，则的长可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在Rt中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若，，则的面积是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列四个结论： ① ②点到各边的距离相等 ③若，，，则的周长为 ④若，，则． 其中正确的结论有（　　） A. ①② B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11. 如图，的度数为______． 12. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______． 13. 已知，则___________． 14. 如图，在中，边的垂直平分线分别交于点D， 交于点E．若，的周长为8，则的周长为________． 15. 若，，则_____． 16. 如图，将长方形沿对角线折叠，使点恰好落在点的位置，若，则_________． 17. 等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是_____． 18. 如图，点为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两条边分别与，相交于，两点．则以下结论： ①的值不变； ②； ③的长度不变； ④四边形的面积不变； 其中正确的是________．（写出所有正确结论的序号） 三、解答题（共8小题，19题6分，20、21、22题每题5分，23题6分，24题5分，25、26题每题7分，共46分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图的过程． 已知：如图1，． 求作：，使，且点在射线上． 作法： ①如图2，在射线上任取一点； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③连接． 则即为所求作的角． 根据上述作图过程，回答问题： （1）用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：是线段的垂直平分线， _________（_________）（填推理的依据）． （_________）（填推理的依据）． ， ． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．点的坐标为，直线是经过点，并且垂直于轴的直线． （1）在图中画出与关于直线对称的图形，并写出点的坐标：_________． （2）若轴上存在一点，使得最小，在图中画出符合条件的点，并写出点的坐标：_________．（保留画图痕迹） 23. 如图，测量一池塘的宽度，测量点B，F，C，E在直线l上，测量点A，D在直线l的异侧，且，，． （1）求证：≌； （2）若，，求的长． 24. 【阅读观察】 在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫作从特殊到一般．如下所示： ①； ②； ③； 【归纳猜想】 （1）由此可得_________； 【问题解决】 请运用上面的结论，解决下列问题： （2）计算的值； 【迁移拓展】 （3）比较与的大小． 25. 在中，是的角平分线，于点． （1）如图1，连接，求证：是等边三角形； （2）若点是线段上的一点（不与点重合），以为一边，在的下方作，交边于点交延长线于点．请你在图2中画出完整图形，探究与之间的数量关系，并说明理由． 26. 在平面直角坐标系中，已知点． 对于点给出如下定义：先将点向上或向下平移个单位长度，再关于直线对称，得到点，则称点为点的“移对称点”． （1）如图1，点坐标为． ①当点坐标为时，则点的“移对称点”的坐标为_________； ②若点为点的“移对称点”，则的坐标是_________； （2）如图2，点，点在正方形边上， ①当时，点坐标为，画出点所有的“移对称点”； ②点，若线段上存在点的“移对称点”，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 首都师大二附中2026-2027学年第一学期期中练习 初二数学 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形的概念．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 以下列线段为边能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．根据三角形两边之和大于第三边判断即可． 【详解】解：、， 长度为，，的三条线段不能组成三角形，不符合题意； B、， 长度为，，的三条线段不能组成三角形，不符合题意； C、， 长度为，，的三条线段不能组成三角形，不符合题意； D、， 长度为，，的三条线段能组成三角形，符合题意； 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了整式的运算，涉及的知识有：合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘以多项式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘以多项式等知识点进行判断即可． 【详解】A．与不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意； B．，故本选项正确，符合题意； C．，故本选项错误，不符合题意； D．，故本选项错误，不符合题意． 故选：B． 4. 如图所示是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高 B. 角平分线、高、中线 C. 高、中线、角平分线 D. 角平分线、中线、高 【答案】B 【解析】 【分析】角平分线是指将角的两边重合折叠，折痕即为角平分线；高是指将顶点向对边折叠，使折痕与对边垂直，折痕即为高；中线是指将底边的两个端点重合折叠，折痕经过顶点，则折痕与底边的交点为中点，连接顶点与该点的线段即为中线． 【详解】解：观察图①的折纸方式，是将的两边和重合折叠，折痕为． 根据角平分线的定义，折痕平分了， 即 ． 所以，是的角平分线． 观察图②的折纸方式，是将顶点向底边折叠，折痕为． 从图中可以看出，折痕与底边垂直(即)，所以，是的高． 观察图③的折纸方式，是将点折叠到点的位置，图中标注，折痕经过点交于点．这意味着点和点关于折痕对称，即，点是的中点． 根据三角形中线的定义，连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线． 所以，是的中线． 综上所述，依次是的角平分线、高、中线． 5. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理．直接利用全等三角形的性质得出对应角相等进而得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 故选：B． 6. 如图，已知，添加一个条件后，仍然不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定方法（、、、、），并明确不能作为判定三角形全等的依据是解题的关键． 已知，且公共边，逐一分析各选项添加条件后能否满足全等三角形的判定定理（、、、等），从而判断是否能判定． 【详解】解：在和中，已知，． 选项： ∵， ∴（）． 选项： ∵，，， ∴不满足全等三角形的判定定理（不能判定全等）， ∴不能判定． 选项： ∵， ∴（）． 选项： ∵， ∴（）． 故选：． 7. 如图，中，，，，点P是边上的动点，则的长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线段最短的性质和含30度角的直角三角形的理解和掌握，解答此题的关键是利用含30度角的直角三角形的性质得出． 利用垂线段最短分析可知：的最小值为3；根据含30度角的直角三角形的性质得出；接下来可知的最大值为6，由此即可得到答案． 【详解】解：根据垂线段最短，可知的最小值为3． 中，，，， ， 的最大值为6， ∴的长可能是， 故选：B． 8. 如图，在Rt中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若，，则的面积是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本作图得到平分，利用角平分线的性质得到G点到的距离为，然后根据三角形面积公式计算的面积； 【详解】解：由作法得平分， 点到的距离等于的长，即点到的距离为， 所以的面积； 故选：A． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了角平分线的性质． 9. 下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列代数式，不规则图形的面积，掌握相关知识是解决问题的关键．将题目中的阴影部分进行不同的组合，可求得阴影部分的面积，逐项判断即可． 【详解】A． 是表示整个长方形的面积减去空白部分的面积，可以表示阴影部分的面积，故此选项不符合题意；   B． 是表示上面两个长方形的面积和加上右下方的长方形面积，可以表示阴影部分的面积，故此选项不符合题意；     C． ，是表示右侧两个长方形的面积和加上左上方的正方形面积，可以表示阴影部分的面积，故此选项不符合题意；      D． 不能表示阴影部分的面积，符合题意；   故选D． 10. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列四个结论： ① ②点到各边的距离相等 ③若，，，则的周长为 ④若，，则． 其中正确的结论有（　　） A. ①② B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】①根据和的平分线相交于点可得出、，得出，根据三角形内角和即可得出结论； ②根据角平分线性质定理，即可得出结论； ③由可知、，故可得出、，由此可得出结论； ④连接，根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：①∵和的平分线相交于点 ∴， ∴ ， 即，故本结论正确； ②∵和的平分线相交于 ∴点到和的距离相等，点G到和的距离相等， ∴点到各边的距离相等，故本结论正确； ③∵和的平分线相交于点 ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，故本结论正确； ④如图，连接， ∵点到各边的距离相等，，， ∴，故本结论正确； 综上分析可知：①②③④都正确，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、平行线的性质、三角形的内角和定理以及三角形的面积公式，作为一道选择题综合性较、强难度较大，需结合图形认真推理论证． 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11. 如图，的度数为______． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的外角的定义和性质，熟记三角形的外角的性质是解本题的关键．根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和求解即可． 【详解】解： 故答案为： 12. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于轴对称点的坐标；根据关于轴对称点的坐标特点，纵坐标不变，横坐标互为相反数． 【详解】解：∵点关于轴对称，横坐标变为相反数，即，纵坐标不变，仍为， ∴对称点的坐标为 故答案为：． 13. 已知，则___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查同底数幂乘法的逆运算，根据即可求解． 【详解】解：已知 ，， 由同底数幂的乘法法则，得 ， 故答案为： 6． 14. 如图，在中，边的垂直平分线分别交于点D， 交于点E．若，的周长为8，则的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等是解题关键．由垂直平分线的性质，得到，，再结合的周长，得到，即可求出的周长． 【详解】解：垂直平分，， ，， 的周长为8， ， 的周长为， 故答案为： 15. 若，，则_____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．将原式展开，将已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：若，， 则， 故答案为：． 16. 如图，将长方形沿对角线折叠，使点恰好落在点的位置，若，则_________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】先利用长方形对边平行、内角为直角的性质，求出与的度数，再根据折叠的性质得到，最后通过角的差计算出． 【详解】解：四边形是长方形， ，． ． ． 由折叠性质得：． ． 17. 等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是_____． 【答案】10或11 【解析】 【分析】分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可． 【详解】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4， ∵此时能组成三角形， ∴周长＝3+3+4＝10； ②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4， 此时能组成三角形， 所以周长＝3+4+4＝11． 综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11． 故答案为：10或11． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，根据题意，正确分情况讨论是解题的关键． 18. 如图，点为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两条边分别与，相交于，两点．则以下结论： ①的值不变； ②； ③的长度不变； ④四边形的面积不变； 其中正确的是________．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．作于，于，如图所示，根据题中条件，只要证明，，根据三角形全等的性质得到结论，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：作于，于，如图所示： ， ， ， ， ， 平分，于，于， ， 在和中， ， ∴， ， 在和中， ， ， ，， ， 为定值，故①正确， ∵，设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ， 定值，故④正确， 在旋转过程中，是顶角不变的等腰三角形， 的长度是变化的， 的长度是变化的，故③错误； 则正确的有①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题（共8小题，19题6分，20、21、22题每题5分，23题6分，24题5分，25、26题每题7分，共46分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别计算同底数幂乘法、幂的乘方，再合并同类项； （2）分别计算单项式乘单项式、积的乘方，再合并同类项． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先利用多项式乘多项式、单项式乘多项式法则展开原式，再合并同类项进行化简，最后将代入化简后的式子求出结果． 【详解】解： ； 当时，原式． 21. 下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图的过程． 已知：如图1，． 求作：，使，且点在射线上． 作法： ①如图2，在射线上任取一点； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③连接． 则即为所求作的角． 根据上述作图过程，回答问题： （1）用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：是线段的垂直平分线， _________（_________）（填推理的依据）． （_________）（填推理的依据）． ， ． 【答案】（1） 解：如图， 即为所求作： （2），线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；等边对等角 【解析】 【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）先根据线段垂直平分线的性质得到，则根据等腰三角形的性质得到，然后根据三角形外角性质得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：∵是线段的垂直平分线， (线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等)， (等边对等角）， ， ． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．点的坐标为，直线是经过点，并且垂直于轴的直线． （1）在图中画出与关于直线对称的图形，并写出点的坐标：_________． （2）若轴上存在一点，使得最小，在图中画出符合条件的点，并写出点的坐标：_________．（保留画图痕迹） 【答案】（1） 点的坐标是； （2） 点的坐标为 【解析】 【分析】（1）找到直线，作出的三个顶点关于直线对称的对应点，顺次连接即可； （2）找到点关于轴的对称点，连接与轴相交于点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，测量一池塘的宽度，测量点B，F，C，E在直线l上，测量点A，D在直线l的异侧，且，，． （1）求证：≌； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ，                             在与中， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定以及性质的运用，熟练掌握全等的判定定理以及运用全等的性质求解线段的长度是解决本题的关键． （1）利用得到，再结合已知条件利用“角角边”判定两个三角形全等； （2）根据全等的性质得到，再根据已知条件结合线段的和差计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， 又， ． 24. 【阅读观察】 在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫作从特殊到一般．如下所示： ①； ②； ③； 【归纳猜想】 （1）由此可得_________； 【问题解决】 请运用上面的结论，解决下列问题： （2）计算的值； 【迁移拓展】 （3）比较与的大小． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）观察已知等式，归纳得到一般规律； （2）利用（1）的结论，将式子乘后计算； （3）先利用（1）的结论化简、，再通过幂的乘方变形比较大小． 【小问1详解】 解：， ， ， ． 【小问2详解】 解：令，，代入（1）的结论， 得， ， ． 【小问3详解】 解：化简：令，，代入（1）的结论，得， ， ； 化简：令，，代入（1）的结论，得， ， ． 比较大小：，，， ，即， ， ， ． 25. 在中，是的角平分线，于点． （1）如图1，连接，求证：是等边三角形； （2）若点是线段上的一点（不与点重合），以为一边，在的下方作，交边于点交延长线于点．请你在图2中画出完整图形，探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：如图， 在中， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∵于点， ∴为的中点， ∵ ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2），理由如下： 如图，在的延长线上取点，使得连接，在射线上取点，使位于点的下方，且连接， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∵且 ∴， ∵， ∴， ∴ 设，则 ∵, ∴ 由于在的下方，射线与射线重合，又因为在的延长线上，故点与点重合， ∴ ∴． 【解析】 【分析】（1）证明，且即可得到结论； （2）在的延长线上取点，使得连接，在射线上取点，使位于点的下方，且连接，证明，则，证明，则，设，则，，由于在的下方，射线与射线重合，又因为在的延长线上，故点与点重合，则，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 在平面直角坐标系中，已知点． 对于点给出如下定义：先将点向上或向下平移个单位长度，再关于直线对称，得到点，则称点为点的“移对称点”． （1）如图1，点坐标为． ①当点坐标为时，则点的“移对称点”的坐标为_________； ②若点为点的“移对称点”，则的坐标是_________； （2）如图2，点，点在正方形边上， ①当时，点坐标为，画出点所有的“移对称点”； ②点，若线段上存在点的“移对称点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；② （2）①如图所示，长方形的边即为所求②或 【解析】 【分析】（1）①根据定义可得，据此根据点P和点W的坐标求解即可；②根据定义可得，根据点Q和点P的坐标求解即可； （2）①根据定义可得，分别求出点W在正方形四条边上时点对应的位置，从而确定点的轨迹；②同（2）①确定点的轨迹，再结合点M和点N的坐标求解即可． 【小问1详解】 解：①∵先将点向上或向下平移个单位长度，再关于直线对称，得到点，则称点为点的“移对称点”， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为； ②∵先将点向上或向下平移个单位长度，再关于直线对称，得到点，则称点为点的“移对称点”， ∴， ∵点为点的“移对称点”， ∴， ∴， ∴点W的坐标为； 【小问2详解】 解：①∵先将点向上或向下平移个单位长度，再关于直线对称，得到点，则称点为点的“移对称点”， ∴； 当时，， 当点W在上时，设， ∴， ∴， ∴此时点在线段上，其中； 当点W在上时，设， ∴， ∴， ∴此时点在线段上，其中； 同理可得当点W在上时，点在线段上，其中， 当点W在上时，点在线段上， 综上所述，当点W在正方形上时，点在长方形的边上， 画图见答案； ②同理可得， ∵， ∴， 当点W在上时，设， ∴， ∴， ∴此时点在线段上，其中； 当点W在上时，设， ∴， ∴， ∴此时点在线段上，其中； 同理可得当点W在上时，点在线段上，其中， 当点W在上时，点在线段上， 综上所述，当点W在正方形上时，点在长方形的边上， 如图所示，当点M恰好在上时， ∴， 解得； 如图所示，当点N恰好在上时， ∴， 解得； ∴当时，线段上存在点的“移对称点”； 如图所示，当点M恰好在上时， ∴， 解得； 如图所示，当点N恰好在上时， ∴， 解得； ∴当时，线段上存在点的“移对称点”； 综上所述，当或时，线段上存在点的“移对称点”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $