精品解析：北京市朝阳区北京中学2026-2027学年八年级上学期数学期中试题

初二年级数学学科试卷 满分100分 考试时间90分钟 考生须知 1．本试卷共8页，满分100分，考试时间90分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名、座位号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共24分，每题3分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 小篆，是在秦始皇统一六国后，推行“书同文，车同轨”，统一度量衡的政策，在大篆籀文的基础上，进行化简，创制了统一文字的汉字书写形式．下列小篆汉字图形最接近轴对称图形的是（ ） A. 尸 B. 己 C. 也 D. 女 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念逐项分析即可得解，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 5，5，11 B. 5，6，11 C. 3，6，10 D. 3，5，7 【答案】D 【解析】 【分析】比较各选项中两条较短线段之和与最长线段的大小，判断能否组成三角形． 【详解】解：A选项、，不能组成三角形； B选项、，不能组成三角形； C选项、，不能组成三角形； D选项、，能组成三角形． 3. 平面直角坐标系中．点关于轴的对称点的坐标是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于轴对称点的坐标规律，用到的知识点是：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，根据规律计算即可求解． 【详解】解：∵平面直角坐标系中，关于轴对称的点满足横坐标不变，纵坐标互为相反数， 又∵点的坐标为，其横坐标为，纵坐标为，的相反数为， ∴点关于轴的对称点坐标是． 4. 如图，现有两把一样的直尺，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在的内部交于点，作射线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的判定与性质．根据题意得到是的角平分线，由角平分线定义求解即可得到的度数． 【详解】解：过点作、，如图所示： 两把一样的直尺， ， 由角平分线的判定定理可得是的角平分线， ， ， 故选：D． 5. 画中边上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的高可进行排除选项． 【详解】解：由题意可知只有D选项符合的边上的高． 6. 已知等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长等于（ ） A. 20 B. 20或16 C. 16 D. 20或18 【答案】A 【解析】 【分析】题目中没有明确腰和底边，故要分情况讨论，再结合三角形的三边关系分析即可． 【详解】解：当腰为4时，另外两边为4和8，但，不能构成三角形； 当腰为8时，另外两边为4和8，此时能构成三角形，周长为． 7. 已知的三边长分别是a，b，c，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再去绝对值符号化简． 【详解】解：∵，，是的三边长， ∴，， ∴，， ∴ ． 8. 如图，把的三边、和分别向外延长一倍，将得到的点、、顺次连接成，若的面积是，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】连接，由题意得，，由三角形的中线性质即可得出的面积． 【分析】解：如图，连接， 由题意得：， ∴，，， ∴． 二、填空题（共24分，每题3分） 9. 如图，建高层建筑需要用塔吊来吊建筑材料，塔吊的上部是三角形结构，其中的数学原理是_______． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】根据三角形的特性可直接进行求解． 【详解】由题意可得：塔吊的上部是三角形的结构是利用了三角形的稳定性； 故答案为三角形的稳定性． 【点睛】本题主要考查三角形的特性，正确理解三角形的特性是解题的关键． 10. 如图，已知，要用“边角边（）”判定，还需添加一个条件，这个条件是_____．（只需添加一个条件，不添加辅助线） 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理“边角边”，已知一组对应角相等和一组公共边，需补充夹角的另一组对应边相等． 【详解】解：∵要用“边角边（）”判定，已知一组对应角相等和一组公共边， ∴需补充夹角的另一组对应边相等， 即． 11. 如图，中，，的垂直平分线交于点，交于点．的周长为，，则________， ________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用垂直平分线性质得，将的周长转化为，结合已知，列方程组求解出和，再由得到的长度． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴． 12. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意角，这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D、E可在槽中滑动．若，则的度数是______． 【答案】##105度 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，三角形的外角，根据等边对等角，求出，外角的性质，得到，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 13. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，与所在的直线重合，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，由折叠的性质得，，即可求解． 【详解】解：由折叠得 ， ， ， ， ， 解得， 故答案为：． 14. 我们知道，晾衣架中存在多组平行关系，现将其侧面抽象成几何图形（如图所示），已知，如果，，那么______°． 【答案】 【解析】 【分析】延长到点，由，得到，进而求出，再根据得到． 【详解】解：如图，延长到点， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 已知，中，，过线段的中点作的垂线交直线于点，若，则_____． 【答案】1或3##3或1 【解析】 【分析】题目主要考查含30度角的直角三角形的性质，理解题意，分情况分析，作出相应图形是解题关键． 根据题意分两种情况：①当点Q在线段上时，②当点Q在线段的延长线上时，结合图形，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：分两种情况：①当点Q在线段上时，如图1， ∵，， ， ； ②当点Q在线段的延长线上时，如图2， ∵，， ， ； 综上所述，或3． 故答案为：1或3． 16. 已知，，，其中，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的倍； ②当、两点同时到达点时，； ③若，，时，； ④若与全等，则或． 以上选项，正确的是________ 【答案】 ①②④ 【解析】 【分析】①若，即点P的速度是点Q的2倍，即可求解； ②求出P、Q的运动时间即可求解； ③证明．即可求解； ④若与全等，则且或且，即可求解． 【详解】解：①若，即点P的速度是点Q的2倍，点P运动路程是，点Q运动路程为，故点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍，故①正确，符合题意； ②点P到达A的时间为：，当时，点Q到达点A的时间为：，故②正确，符合题意； ③若，，时，如图， 此时，， ， ， 若，则， 而， 故③错误，不符合题意； ④由题意得，， 则，， 则， 若与全等， ∵， ∴有两种情况：情况一：且；情况二：且， 情况一得：且 情况二得：且， 解得：或， 故④正确，符合题意， 三、解答题（共52分，第17-18题，每题4分，第19-23题，每题5分，第24-25题，每题6分，第27题7分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形． （2）写出点，，的坐标． 【答案】（1）解：根据轴对称的性质，作图如下： 则即为所求． （2），， 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质，作图即可． （2）根据图形求解即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：由，，， 得，，． 18. 如图，与交于点，点分别是线段、的中点，连接、．则与全等吗？请说明理由． 【答案】与全等，理由如下： ∵点分别是线段、的中点 ∴ ∵ ∴． 【解析】 【详解】略 19. 如下图，在中，，分别为边，上的高，．求证：是等边三角形． 【答案】 证明：，分别为边，上的高， ，， ． ， ， 是等边三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的证明，熟练掌握证明方法是解决问题的关键． 由直角三角形的两个锐角互余，可推出即可证明． 【详解】略 20. 小北在物理课上学到平面镜成像的规律是物与像关于镜面对称，随后他利用家中带脚撑的无边框平面试衣镜（如图）展开观察，记试衣镜镜面长为，小北身高为．为确定像的位置，他调节脚撑，使镜面与地面垂直，然后直立在试衣镜的正前方． 小北的作法：如图1， ①以点为圆心，适当长为半径作弧，交直线于点和点； ②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； ③作直线，以点为圆心，的长为半径作弧交直线于点，则线段就是所求像的位置． （1）使用直尺和圆规，依据小北的作法确定像的位置（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）完成下面的证明： 证明：∵________， ________， ∴直线是线段的垂直平分线（______________）（填推理的依据）． ∵线段与线段关于镜面对称， ∴． 即线段就是所求的像的位置． 【答案】（1）如图2，线段即为所求． （2）；；到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 【解析】 【分析】（1）按作法先以为圆心作弧定出、，再分别以、为圆心作弧定出，连后在上截取； （2）由同圆半径相等得、，用垂直平分线的判定定理得到是的垂直平分线，再由“人直立在地面上”说明像与人平行且等长． 【小问1详解】 解：以点为圆心、适当长为半径作弧，交直线于、两点； 分别以、为圆心、大于的一半的长为半径作弧，两弧在直线的上方相交于点； 作直线，以点为圆心、的长为半径作弧交直线于点，点取在直线的上方； 线段即为所求的像，所作图形与作图痕迹如图2所示． 【小问2详解】 证明：∵，， ∴直线是线段的垂直平分线（到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）． ∵线段与线段关于镜面对称， ∴． 即线段就是所求的像的位置． 21. 如图，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，． （1）若，求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是是解题的关键． （1）先根据是高，得出的度数，再由得出的度数，由是的平分线得出的度数，由即可得出结论； （2）由得出的度数，再由、是角平分线可得出的度数，由三角形外角的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：是高，， ， ， ， 是的平分线， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 、是角平分线， ， 是的外角， ． 22. 乐乐与爸爸、妈妈在操场上荡秋千．乐乐坐在秋千上的起始位置是A处，起始位置与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面 1.2 m 高的处接住她，妈妈用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到秋千起始位置的水平距离分别为 和． （1）与全等吗？ 请说明理由； （2）爸爸在距离地面多高的地方接住乐乐？ 【答案】（1） ，理由如下： ， ， ； ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明是解答本题的关键． （1）由直角三角形的性质得出，根据可证明； （2）由全等三角形的性质得出，求出的长则可得出答案； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ； ∵分别为和， ， ； ∵妈妈在距地面 高的处，且， ∴爸爸在距离地面高的地方接住乐乐． 23. 【问题】小旺同学想利用本学期所学证明三角形“大角对大边”． 【问题探究】他发现可以借助代数方法来完成这个证明，以下是他部分的证明过程： 已知：如图，在中，．求证：． 证明：以B为顶点作， ∵，∴，（理由1） 在中，∵，（理由2） ∴．即． （1）请你填写证明中的两处理由： 理由1：_________________________，理由2：_________________________； 【拓展应用】 （2）请你应用“大角对大边”这一结论，完成以下证明： 在中，，，求证：． 【答案】（1）等角对等边；三角形任意两边之和大于第三边． （2）证明：∵ ， ∴ ． ∵ ，， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴ ． 【解析】 【分析】（1）由点 在边 上把 写成 ，与 凑成同一个三角形内的两个等角，用等角对等边得 ；再在 中用三角形的三边关系，把 换成 即得证； （2）由 得 ，用三角形内角和把 用 表示，先比较 与 的大小，再用“大角对大边”把角的大小关系转化为边的大小关系． 【小问1详解】 解：理由1为“等角对等边”． 理由2为“三角形任意两边之和大于第三边”． 【小问2详解】 略 24. 综合与实践 对于均质等厚薄板（平面组合图形）的重心位置可通过分割法计算，即将组合图形分解为若干个简单规则图形（如矩形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再利用加权平均公式计算组合图形的重心．以下是具体公式和步骤，根据以下素材，探索完成任务． 素材 1 在使用分割法前，需先掌握以下基本图形的重心位置 图形 重心 说明 矩形 几何中心 对角线的交点 三角形 若三个顶点坐标为 则重心坐标为 三条中线的交点 圆 几何中心 圆心 素材 2 建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤： 1．建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系，使图形的各部分在同一坐标系中便于描述，比如让对称轴与坐标轴重合等． 2．分割图形：若将平面组合图形分割成两个简单平面图形，确定每个简单图形的面积分别为． 3．确定简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标为、． 4．代入公式计算：组合图形重心坐标，其中，，． 素材 3 负面积法（挖空图形）：若组合图形包含挖空部分（如矩形中挖去圆形），可将挖空部分视为“负面积”，重心公式调整为，其中 ． （1）任务一：如图，在平面直角坐标系中，A，B，C各点坐标分别为，，，则三角形的重心坐标为______； （2）任务二：求阴影部分图形的重心坐标； （3）任务三：求阴影部分图形的重心坐标（结果保留）． 【答案】（1） （2）重心坐标为； （3）重心坐标为． 【解析】 【分析】（1）直接使用素材1给出的三角形重心坐标公式，把三个顶点横坐标、纵坐标分别求平均数； （2）将图形分为：矩形和矩形，根据素材2计算即可； （3）将图形分为：整体和挖空部分，由任务二可知：整体重心坐标为，整体面积，根据素材3计算即可． 【小问1详解】 解：设三角形的重心坐标为， ，；，；，；，， 则三角形的重心坐标为； 【小问2详解】 解：如图：矩形的重心，面积，矩形的重心，面积， 重心坐标为； 【小问3详解】 解：由任务二可知：整体重心坐标为，整体面积， 挖空部分重心坐标为，整体面积， 重心坐标为． 25. 如图所示，在钝角中，（），在上方取一点D，使，连接． （1）直接写出与的数量关系； （2）若，过点C作交的延长线于点H，点M是线段上一点，且M是的中点，连接． ①补全图形； ②猜想线段与有何数量关系时，并证明． 【答案】（1） （2）①如图，（点M和点G位置不固定，画对即可） ②当时， 证明：在的延长线上取一点，使，连接， ， ， ， ， ， ， ∴是线段的垂直平分线， ， ， ， ， ， ∵是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）在中，根据三角形内角和定理得出，结合，即可解答； （2）①根据题意作图即可； ②在的延长线上取一点，使，连接，则是线段的垂直平分线，得出，证明，，结合是的中点，，得出，结合，证明，从而得出，即可证明； 【小问1详解】 解：在中，根据三角形内角和定理：， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①补图略 ②略 26. 在平面直角坐标系中，若点P和点关于直线对称，点和点关于直线对称，则称点为点P的“联合点”． 已知点． （1）如图1，若直线为x轴，直线为y轴，则点A的“联合点”坐标为__________； （2）若直线为y轴，直线为过且与y轴平行的直线． ①若点是点A的“联合点”，则n的值为__________； ②已知点，，，若线段上存在点M，使得点M的“联合点”恰好能落在线段上，直接写出n的取值范围：__________________________； （3）已知，，，，若直线为x轴，直线为过且与一、三象限角平分线平行的直线．若对于四边形上的任意一点P，坐标轴上都不存在点P的“联合点”，请直接写出m的取值范围：__________________________． 【答案】（1） （2）①；② （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据点P的“联合点”定义理解即可求得点A的“联合点”坐标； （2）①先求出点的坐标，再得出是过且平行于轴的直线，即直线，利用中点坐标公式即可求得n的值； ②先求出点的坐标，再得出点的坐标，进而利用中点坐标公式得到点G的坐标，要使线段上存在点M，使得点M的“联合点”恰好能落在线段上，即线段与有交点，通过列一元一次不等式组即可求解n的取值范围； （3）先得出四边形是正方形，再根据题意分别求出x，y轴关于直线对称，再关于对称的直线，要使得坐标轴上都不存在点P的“联合点”，则直线与与正方形没有交点，分情况讨论m的取值范围即可． 【小问1详解】 解：点关于轴（​）对称的点为， 点关于轴（​）对称的点为， ∴点A的“联合点”坐标为； 【小问2详解】 解：①点关于轴（​）对称的点​为，是过且平行于轴的直线，即直线， ∵关于的对称点为， ∴，解得； ②由题意知，点B关于y轴对称，再关于直线对称得到点， 同理点， ∴的中点坐标为， 若线段上存在点M，使得点M的“联合点”恰好能落在线段上， 即线段与有交点， ∵，， ∴，解得：． 【小问3详解】 解：∵，，，， ∴， 又∵，，， ∴四边形是正方形， 由题意知，将x轴关于直线对称，再关于对称，可得直线， 将y轴关于直线对称，再关于对称，可得直线， 要使得坐标轴上都不存在点P的“联合点”， ∴直线与与正方形没有交点， 此时分情况讨论： ①当时，正方形在第一象限，直线与不过第一象限，符合题意； ②当时，或， 解得：或， 综上所述，m的取值范围是或或． 附加题（10分）： 27. 台球中蕴含着推理与预判，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，为了使母球最终击中目标球，击球者需根据需要作出不同的设计，确定击球方向．图为母球A撞击边反射后撞击目标球G的过程．因此，台球既复杂又有趣，台球运动成为智慧和技能的较量． （1）如图①，当母球P在边上（不包括点A，B），先撞击边，反射到边，再反射到边，最后回到出发点，问：母球P的初始路线应该满足什么条件？ （2）如图②，给出一张长、宽分别为a，b（，且m和n为互质正整数）的台球桌，母球P从桌的一个角落，以角击出，在桌子边缘回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球袋．问：球落入球袋前，在桌子边缘回弹多少次？ 【答案】（1） （2）次 【解析】 【分析】（1）利用轴对称翻折把反弹的折线拉直成直线，当时，母球三次反射后回到起点； （2）以角击出，则每次横向移动量和纵向移动量相同，要使得桌子边缘回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球袋，在互质条件下横向纵向反弹次数相加即可得到总次数． 【小问1详解】 解：如图，作关于，的对称点H，G，连接，，过点P作交于点M，过点作射线，使得， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即母球P的初始路线应该满足． 【小问2详解】 解：由题意知，以角击出，则每次横向移动量和纵向移动量相同， 要使得桌子边缘回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球袋， ∴横向需要穿过n个桌子长，纵向需要穿过m个桌子宽， ∴一共穿过条竖线，条横线， ∴总反弹次数为（次）， 即在桌子边缘回弹了次． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二年级数学学科试卷 满分100分 考试时间90分钟 考生须知 1．本试卷共8页，满分100分，考试时间90分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名、座位号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共24分，每题3分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 小篆，是在秦始皇统一六国后，推行“书同文，车同轨”，统一度量衡的政策，在大篆籀文的基础上，进行化简，创制了统一文字的汉字书写形式．下列小篆汉字图形最接近轴对称图形的是（ ） A. 尸 B. 己 C. 也 D. 女 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 5，5，11 B. 5，6，11 C. 3，6，10 D. 3，5，7 3. 平面直角坐标系中．点关于轴的对称点的坐标是（） A. B. C. D. 4. 如图，现有两把一样的直尺，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在的内部交于点，作射线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 画中边上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长等于（ ） A. 20 B. 20或16 C. 16 D. 20或18 7. 已知的三边长分别是a，b，c，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，把的三边、和分别向外延长一倍，将得到的点、、顺次连接成，若的面积是，则的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共24分，每题3分） 9. 如图，建高层建筑需要用塔吊来吊建筑材料，塔吊的上部是三角形结构，其中的数学原理是_______． 10. 如图，已知，要用“边角边（）”判定，还需添加一个条件，这个条件是_____．（只需添加一个条件，不添加辅助线） 11. 如图，中，，的垂直平分线交于点，交于点．的周长为，，则________， ________． 12. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意角，这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D、E可在槽中滑动．若，则的度数是______． 13. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，与所在的直线重合，，则______． 14. 我们知道，晾衣架中存在多组平行关系，现将其侧面抽象成几何图形（如图所示），已知，如果，，那么______°． 15. 已知，中，，过线段的中点作的垂线交直线于点，若，则_____． 16. 已知，，，其中，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的倍； ②当、两点同时到达点时，； ③若，，时，； ④若与全等，则或． 以上选项，正确的是________ 三、解答题（共52分，第17-18题，每题4分，第19-23题，每题5分，第24-25题，每题6分，第27题7分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形． （2）写出点，，的坐标． 18. 如图，与交于点，点分别是线段、的中点，连接、．则与全等吗？请说明理由． 19. 如下图，在中，，分别为边，上的高，．求证：是等边三角形． 20. 小北在物理课上学到平面镜成像的规律是物与像关于镜面对称，随后他利用家中带脚撑的无边框平面试衣镜（如图）展开观察，记试衣镜镜面长为，小北身高为．为确定像的位置，他调节脚撑，使镜面与地面垂直，然后直立在试衣镜的正前方． 小北的作法：如图1， ①以点为圆心，适当长为半径作弧，交直线于点和点； ②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； ③作直线，以点为圆心，的长为半径作弧交直线于点，则线段就是所求像的位置． （1）使用直尺和圆规，依据小北的作法确定像的位置（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）完成下面的证明： 证明：∵________， ________， ∴直线是线段的垂直平分线（______________）（填推理的依据）． ∵线段与线段关于镜面对称， ∴． 即线段就是所求的像的位置． 21. 如图，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，． （1）若，求的度数； （2）求的度数． 22. 乐乐与爸爸、妈妈在操场上荡秋千．乐乐坐在秋千上的起始位置是A处，起始位置与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面 1.2 m 高的处接住她，妈妈用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到秋千起始位置的水平距离分别为 和． （1）与全等吗？ 请说明理由； （2）爸爸在距离地面多高的地方接住乐乐？ 23. 【问题】小旺同学想利用本学期所学证明三角形“大角对大边”． 【问题探究】他发现可以借助代数方法来完成这个证明，以下是他部分的证明过程： 已知：如图，在中，．求证：． 证明：以B为顶点作， ∵，∴，（理由1） 在中，∵，（理由2） ∴．即． （1）请你填写证明中的两处理由： 理由1：_________________________，理由2：_________________________； 【拓展应用】 （2）请你应用“大角对大边”这一结论，完成以下证明： 在中，，，求证：． 24. 综合与实践 对于均质等厚薄板（平面组合图形）的重心位置可通过分割法计算，即将组合图形分解为若干个简单规则图形（如矩形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再利用加权平均公式计算组合图形的重心．以下是具体公式和步骤，根据以下素材，探索完成任务． 素材 1 在使用分割法前，需先掌握以下基本图形的重心位置 图形 重心 说明 矩形 几何中心 对角线的交点 三角形 若三个顶点坐标为 则重心坐标为 三条中线的交点 圆 几何中心 圆心 素材 2 建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤： 1．建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系，使图形的各部分在同一坐标系中便于描述，比如让对称轴与坐标轴重合等． 2．分割图形：若将平面组合图形分割成两个简单平面图形，确定每个简单图形的面积分别为． 3．确定简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标为、． 4．代入公式计算：组合图形重心坐标，其中，，． 素材 3 负面积法（挖空图形）：若组合图形包含挖空部分（如矩形中挖去圆形），可将挖空部分视为“负面积”，重心公式调整为，其中 ． （1）任务一：如图，在平面直角坐标系中，A，B，C各点坐标分别为，，，则三角形的重心坐标为______； （2）任务二：求阴影部分图形的重心坐标； （3）任务三：求阴影部分图形的重心坐标（结果保留）． 25. 如图所示，在钝角中，（），在上方取一点D，使，连接． （1）直接写出与的数量关系； （2）若，过点C作交的延长线于点H，点M是线段上一点，且M是的中点，连接． ①补全图形； ②猜想线段与有何数量关系时，并证明． 26. 在平面直角坐标系中，若点P和点关于直线对称，点和点关于直线对称，则称点为点P的“联合点”． 已知点． （1）如图1，若直线为x轴，直线为y轴，则点A的“联合点”坐标为__________； （2）若直线为y轴，直线为过且与y轴平行的直线． ①若点是点A的“联合点”，则n的值为__________； ②已知点，，，若线段上存在点M，使得点M的“联合点”恰好能落在线段上，直接写出n的取值范围：__________________________； （3）已知，，，，若直线为x轴，直线为过且与一、三象限角平分线平行的直线．若对于四边形上的任意一点P，坐标轴上都不存在点P的“联合点”，请直接写出m的取值范围：__________________________． 附加题（10分）： 27. 台球中蕴含着推理与预判，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，为了使母球最终击中目标球，击球者需根据需要作出不同的设计，确定击球方向．图为母球A撞击边反射后撞击目标球G的过程．因此，台球既复杂又有趣，台球运动成为智慧和技能的较量． （1）如图①，当母球P在边上（不包括点A，B），先撞击边，反射到边，再反射到边，最后回到出发点，问：母球P的初始路线应该满足什么条件？ （2）如图②，给出一张长、宽分别为a，b（，且m和n为互质正整数）的台球桌，母球P从桌的一个角落，以角击出，在桌子边缘回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球袋．问：球落入球袋前，在桌子边缘回弹多少次？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $