精品解析：广东东莞市第十高级中学2026-2027学年高二上学期10月阶段性学情检测数学试题

东莞十中2026-2027学年高二上学期10月阶段性学情检测 高二数学试题 (满分150分　时间：120分钟) 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1. 若直线的一个法向量是，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 3 3. 若圆的一般方程为，则圆的圆心和半径分别为（ ） A. ； B. ； C. ； D. ； 4. 一束光线从点出发，经轴反射后经过点，则入射光线所在直线斜率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线，，则“”是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 如图，在三棱柱中，点M在线段上，且．若，，，则可表示为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，若三个向量不能构成空间的一个基底，则实数等于（ ） A. 6 B. 5 C. D. 8. 设为直线：上的动点，为直线：上的动点，是线段的中点，点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分.） 9. 关于空间向量，下列说法正确的是（ ） A. 若向量和向量都是单位向量，则 B. 若向量与向量的夹角为钝角，则 C. 若四点共面，对空间中任意一点，有，则 D. 若，，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为 10. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 直线的一个方向向量是 B. 若，则 C. 若，则直线，之间的距离为 D. 直线过定点 11. 如图，四棱锥的底面为正方形，平面，，，动点在线段上，则（ ） A. 四棱锥的外接球表面积为 B. 存在点，使得 C. 的最小值为 D. 点到直线距离的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知三条直线：，：，：相交于一点，则________． 13. 若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________． 14. 直线与直线交于点，是实数，则的最大值为___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 根据下列条件，求圆的标准方程． （1）圆心在，且过点； （2）圆心在直线：上，且过和点． 16. 已知的三个顶点，，. （1）求边上的中线所在的直线方程； （2）求过点且与直线平行的直线的方程； （3）求的面积. 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 在长方体中，，，，，． （1）求证：面； （2）求面与面的夹角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 19. 如图，已知四边形是菱形，，是平面外一点，且，（）． （1）当时，求证：，，，四点共面； （2）若平面平面，平面平面， （i）求证：直线平面； （ii）求的值，使直线与平面所成角最大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东莞十中2026-2027学年高二上学期10月阶段性学情检测 高二数学试题 (满分150分　时间：120分钟) 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1. 若直线的一个法向量是，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设直线的法向量，直线的方向向量为， 因为法向量与方向向量相互垂直，所以， 即， 令，得，可取方向向量， 直线斜率：. 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】由，可得， 因为，则，即，解得． 3. 若圆的一般方程为，则圆的圆心和半径分别为（ ） A. ； B. ； C. ； D. ； 【答案】A 【解析】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程求解即可. 【详解】将圆的一般方程，化为标准方程得到， 所以圆的圆心为，半径为. 故选：A. 4. 一束光线从点出发，经轴反射后经过点，则入射光线所在直线斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出点关于轴的对称点，则入射光线所在直线的斜率即直线的斜率. 【详解】点关于轴的对称点为，则直线的斜率， 所以入射光线所在直线的斜率为. 5. 已知直线，，则“”是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】当时，，，则直线斜率为，截距为， 直线斜率为，截距为，因为两条直线斜率，且在轴上的截距， 所以，此“”是的充分条件； 若，当时，，，显然两条直线有交点， 当时，若，则需满足两条直线斜率相等且在轴上的截距不相等， 即：，解得：，因此“”是的必要条件， 所以“”是的充要条件. 6. 如图，在三棱柱中，点M在线段上，且．若，，，则可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得： . 7. 已知，若三个向量不能构成空间的一个基底，则实数等于（ ） A. 6 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据题意，得到存在实数使得，列出方程组，即可求解. 【分析】三个向量不能构成空间基底，即共面，即存在实数，使， 所以， 所以，解得. 8. 设为直线：上的动点，为直线：上的动点，是线段的中点，点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到点在平行于的直线上，且到的距离相等，根据平行线的距离公式得到所在的直线，最后利用点到直线的距离即可求解. 【详解】 如图所示，点在与之间，且到这两条直线的距离相等，所以点在平行于这两条直线的直线上， 设该直线的方程为，则，解得， 故的最小值为点到直线的距离，即. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分.） 9. 关于空间向量，下列说法正确的是（ ） A. 若向量和向量都是单位向量，则 B. 若向量与向量的夹角为钝角，则 C. 若四点共面，对空间中任意一点，有，则 D. 若，，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据单位向量的定义判断A，根据数量积的定义判断B，根据空间共面定理的推论判断C，根据投影向量的定义判断D. 【详解】对于A，向量和向量都是单位向量，所以模相等，但是方向不一定相同，因此与不一定相等，故A错误； 对于B，若、的夹角为钝角，显然向量和向量都不是零向量， 则为负数，因此，故B正确； 对于C，由四点共面，且，所以， 解得，故C正确； 对于D，因为，， 所以，， 所以向量在向量方向上的投影向量为，故D正确． 故选：BCD． 10. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 直线的一个方向向量是 B. 若，则 C. 若，则直线，之间的距离为 D. 直线过定点 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线方向向量的定义、两条直线垂直的性质、结合平行线间的距离公式、直线的点斜式方程逐一判断即可. 【详解】，所以该直线的斜率为. ，所以该直线的斜率为，恒过点. 对于A，因为直线的斜率为， 所以直线的一个方向向量是，设， 显然，所以直线的一个方向向量是， 故A正确； 对于B，当时，直线的斜率为， 因为， 所以不成立，故B错误； 对于C，若，所以， 所以， 所以直线，之间的距离为，故C错误； 对于D，直线过定点 ，故D正确. 故选：AD 11. 如图，四棱锥的底面为正方形，平面，，，动点在线段上，则（ ） A. 四棱锥的外接球表面积为 B. 存在点，使得 C. 的最小值为 D. 点到直线距离的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，将动点在线段上的位置用参数表示，从而把外接球直径、向量垂直条件、及点到直线距离等几何问题全部转化为关于的代数运算，其中外接球可通过补成长方体快速求解，垂直问题化为向量数量积为零，距离最值则归结为闭区间上二次函数的最值. 【详解】由题意以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系. 则，由动点在线段上， 可设，则， 所以，即. 对于A：将四棱锥补成长、宽、高分别为1，1，2的长方体，其外接球即为四棱锥的外接球，外接球直径等于长方体体对角线长， 即，所以， 所以外接球表面积为，故A正确； 对于B：因为， 所以， 令，得，故存在点使，故B正确； 对于C：因为，， 故， 因为二次函数在时取到最小值， 所以，故C错误； 对于D：直线即轴， 点到的距离为， 二次函数在时取最小值， 所以，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知三条直线：，：，：相交于一点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出前两条直线的交点坐标，再将交点代入第三条直线方程求解参数. 【详解】联立直线与的方程： ， 两式相加消去，得，解得， 将代入，得，解得，因此与的交点为， 由于三条直线相交于一点，故点在直线上， 将代入的方程，得  解得. 13. 若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】圆上两点关于直线对称时该直线必过圆心，代入圆心坐标即可求解参数. 【详解】圆的圆心. 因为圆：上存在不同两点、关于直线对称， 所以圆心在直线上，故，解得. 14. 直线与直线交于点，是实数，则的最大值为___________． 【答案】18 【解析】 【分析】先由两直线方程确定两直线的位置关系以及所过定点，从而进一步确定交点的轨迹方程，确定所求表达式的几何意义后，再由与圆有关的最值问题处理方式即可求解． 【详解】当时，直线的斜率，直线的斜率， 可得，两直线垂直； 当时，直线的方程为，直线的方程为，两直线仍垂直． 因此对任意实数，都有 ． 直线，当时，，则恒过定点； 直线，当时，，则恒过定点． 因为，交点为，所以． 代入坐标，可得， 即， 即点的轨迹是以为圆心，半径的圆． 而表示点到定点的距离的平方． 圆心到点的距离为， 圆上点到的最大距离为， 因此距离的平方最大值为． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 根据下列条件，求圆的标准方程． （1）圆心在，且过点； （2）圆心在直线：上，且过和点． 【答案】（1）圆的标准方程为 （2）圆的标准方程为 【解析】 【分析】（1）小问由圆心和圆上的点，可得圆的半径，根据两点间的距离公式，可计算出圆的半径，进而可得圆的标准方程； （2）小问首先设圆心为，半径为，由圆心在直线：上，可得，再根据圆过点和点，可得，由两点间的距离公式，可得，整理可得，联立方程组，解得，再将，代入，解得，最后可得圆的标准方程. 【小问1详解】 因为圆心在，且过点， 可得，圆的半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 设圆心为，半径为，圆的标准方程为. 因为圆心在直线：上，所以， 又因为圆过点和点，所以， 即， 两边平方可得，， 整理得，， 联立方程，，解得， 则， 综上所述，圆的标准方程为. 16. 已知的三个顶点，，. （1）求边上的中线所在的直线方程； （2）求过点且与直线平行的直线的方程； （3）求的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出边上的中点的坐标，即可求出，再由点斜式计算可得； （2）求出，即可求出所求直线方程； （3）首先求出所在直线方程，再求出点到的距离，以及，即可得解. 【小问1详解】 因为，， 所以边上的中点，又，所以， 所以边上的中线所在的直线方程为，即； 【小问2详解】 因为， 所以过点且与直线平行的直线的方程为，即； 【小问3详解】 依题意直线的方程为，即， 所以点到的距离， 又， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明:底面为矩形， 所以， 又因为平面，平面，所以， 又平面， 所以平面，又平面， 可知平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直性质可知，再由线面垂直判定定理可证明平面，即可得平面平面； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法计算可得结果. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）可知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 易知， 则， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 可得， 所以； 因此直线与平面所成角的正弦值为. 18. 在长方体中，，，，，． （1）求证：面； （2）求面与面的夹角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）方法一：如图，过点作//,交于点，则有,. 连接,则四点共面,平面即平面. 由，，可得与相似, 所以，则可得,所以. 长方体中，平面， 因为平面，所以. 又,平面，所以平面. 方法二： 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系. 则. 所以. 所以， 所以，即. 又,平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证； （2）方法一：建立空间直角坐标系，根据平面与平面的夹角的定义转化为异面直线所成的角，利用向量法求该角的余弦值可得；方法二：由面面角的向量求法可得；方法三：作辅助线，可证平面，进而可知平面与平面的夹角为，即可得面面夹角余弦值； （3）方法一：由向量法证明，从而求得的面积，由向量法求得点C到平面的距离，再根据棱锥的体积公式求得三棱锥的体积； 方法二：由向量法求得点A到平面的距离，根据棱锥的体积公式可得三棱锥的体积； 方法三：由（2）可知点到平面的距离为，进而可求三棱锥体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：过点作//,交于点，则有，， 连接，则四点共面，平面即平面. 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则 ，，所以， 所以. 取的中点P，则，所以， ，所以. 所以异面直线与所成的角等于平面与平面的夹角. 又， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 方法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系. 则. 所以， 设平面的法向量为， 则，故可取. 由（1）知平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 方法三：由题意可知：，，， 则，则， 过点作，设，，连接， 由（1）可知：平面，则平面，可得，， 且，平面，可得平面，则， 可知平面与平面的夹角为， 因为，，， 则，可得，， 则，所以平面与平面的夹角的余弦值为； 【小问3详解】 方法一：由，，得， 所以. 所以的面积为. 由（2）知，平面的一个法向量为， 点C到平面的距离为. 所以三棱锥的体积， 所以三棱锥的体积为. 方法二：点A到平面的距离为. 因为//，所以到的距离相等， 所以的面积等于的面积，即. 所以三棱锥的体积为. 方法三：由题意可知：，，，， 则的面积， 由（2）可知点到平面的距离为， 所以三棱锥的体积. 19. 如图，已知四边形是菱形，，是平面外一点，且，（）． （1）当时，求证：，，，四点共面； （2）若平面平面，平面平面， （i）求证：直线平面； （ii）求的值，使直线与平面所成角最大． 【答案】（1）证明：因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以，． 又因为四边形为菱形，所以，， 从而有，， 所以四边形为平行四边形，所以，，，四点共面． （2）（i）证明：设平面，且，． 因为平面平面，为交线，所以平面． 设平面，且，． 因为平面平面，为交线，所以平面． 因为平面，平面，所以． 又因为平面，平面，所以平面． 因为平面平面，所以，所以平面． （ii）． 【解析】 【分析】（1）由，可判断出，借此求证，即可判断； （2）（i）设平面，由面面垂直得到平面，同理设平面，得到平面，再证明与位置关系，即可判断； （ii）令为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线与平面所成角的正弦值，然后利用函数的最值问题处理方式，求得线面角的正弦值的范围，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（i）知，平面． 又已知四边形是菱形，且，记为边的中点，故可以为原点， ，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 不妨设，则，， ，，． 所以，，． 设是平面的一个法向量， 则，特取，得，即． 记直线与平面所成的角为， 则， 即， 所以当，即时，，即． 综上，当时，直线与平面所成角最大，且最大角为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $