第2章 实数的初步认识——实数的估算与整数部分、小数部分问题 专题复习讲义 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

第2章 实数的初步认识 实数的估算与整数部分、小数部分问题 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版八年级数学上册（学生版） 内容导航 一、知识梳理 第 1 页 二、典例与变式 第 6 页 A组 基础训练 第 9 页 B组 重点突破 第 10 页 C组 综合运用 第 12 页 D组 期中期末真题衔接 第 13 页 一、知识梳理 范围约定：本讲只讨论非负实数的整数部分、小数部分；负实数仅用于大小比较与数轴定位，不使用负数取整约定。 专题导图 中心：先看题目要求，再确定估算范围。 分支一：确定位置——平方/立方作比较；有负号，注意数轴方向。 分支二：判断整数部分——变形后是否落在同一对相邻整数之间？ 分支三：由整数部分反求——还原成范围；多个条件取共同部分。 分支四：处理小数部分——原数减整数部分；相加时检查是否进位。 （一）根据题目要求逐步缩小范围 比较正数，常把开方转成乘方。 若、均不小于，，则。 例如，所以。若只求的整数部分，到这里就够了。 若要比较与，只知道它在与之间还不够。计算，便可得到。无需先求出一长串近似小数。 平方比较前必须先看符号。例如与的比较，先由，再得；数轴上取相反数后，左右次序改变。 立方根可比较立方，负数也按原次序排列。 例如，所以。 不要因出现负号，就把平方根“先判断非负”的规则机械套到立方根上。 估算时可以用小数，也可以用分数作比较。 要比较与正数，比较与即可；不必是整数。 例如比较与：因为，所以。 选哪个数去平方，应看题目要比较哪个数、要区分哪两个整数， 不是每题都从十分位逐次试下去。 分子相同的正分数，分母越大，分数越小。分母未知时，还要同时注意这一顺序和分母为整数的条件。 够不够用的判断表 目标 已有范围/比较 判断 的整数部分 已够用：整数部分为。 与的大小 不够用：两数仍可能在同一区间内。 与的大小 已够用：。 的整数部分 不够用：范围跨过和。 的整数部分 已够用：整个范围落在与之间。 （二）变形后求整数部分：看整个式子，不只看根式 对非负实数，若是非负整数，且，则的整数部分是。 左端可以取到，右端不能取到。时，小数部分为；一旦到达，整数部分就变成。 因此不能把“整数部分是”写成，也不能写成。 根据已有范围做乘除、加减，再判断是否需要进一步估算。 短例：由，只能得到，不能确定的整数部分。 因为，所以。 两边同时乘，得；因此，整数部分为。 求和与求差时，范围的两端怎样选？ 例如、。 求时，用两个较小的数相加、两个较大的数相加，得。 求时，要使差尽可能小，用较小的减较大的：；要使差尽可能大，用较大的减较小的：。所以。 这些范围两端的数通常称为下界、上界。上面的不能等于或，因为、都不能取到所给范围两端的数。 概括地说，若，，则： ； 。 端点能否取到，要随着每步计算一起检查。例如，则。原范围左端的可以取到，减后右端的也可以取到；原范围右端的不能取到，减后左端的也不能取到。 若变形中乘或除以负数，不等号方向要改变。本讲的整数部分仍只对最终非负的式子使用。 常见误区 已知的整数部分为，并不能直接认定的整数部分为。倍增后，小数部分也被倍增，可能越过下一个整数。必须检查变形后整个式子的范围。 （三）由整数部分反求整数：把条件放到同一范围里 正向与反向对应。 “的整数部分为” ⇔ “” ⇔ “”。这里、为非负整数。 “的整数部分为”（） ⇔ “”。 注意：平方后左端仍含等号、右端仍不含等号。 若为整数，则可写成。最后的“”来自是整数，不适用于任意实数。 两个条件不是任选一个，而是同时满足。 短例：正整数满足的整数部分为，的整数部分为。 第一个条件：，得。 第二个条件：，得。 两个条件要同时满足，所以。又为整数，所以、。 检查两个条件的作用：第一个条件单独允许、、、、； 第二个条件单独允许、、。 第一个条件排除，第二个条件排除、、，两者缺一不可。 共同的整数部分未知时，先确定它的可能值，再逐项检查。 可以设共同整数部分为，把两个条件分别写成含的范围。每一个只保留两个范围的共同部分；没有共同部分的情形应舍去。最后合并各组结果，检查有没有遗漏或重复。 若各组得到的是分开的整数，不能只写最小值到最大值的整个区间。 （四）小数部分与进位：先准确表示，再判断跨不跨 小数部分是一个准确的数，不是随手截下几位近似小数。 非负实数可以唯一写成，其中是非负整数，。 是整数部分，是小数部分。 短例：，故。的整数部分是，小数部分是，而不是把计算器近似值中的“……”直接当作准确答案。 整数的小数部分为；“小数部分”不要求一定大于。 两个小数部分相加，只有“不进位”与“进”两种情况。 若、，则。 范围 的整数部分 的小数部分 例如，不进位；，进。 当恰好等于时，整数部分为，小数部分为，不能仍按“不进位”处理。 两个原数相加，也要把整数部分和进位分开看。 若、，先算是否达到。 若，的整数部分为； 若，的整数部分为。 不能简单地把“两个整数部分相加”当作“和的整数部分”。 比较小数部分前，先看两个原数的整数部分是否相同。 若整数部分相同，减去相同的整数，大小次序不变。 若整数部分不同，不能仅凭原数较大就判断小数部分较大；应先分别写出“小数部分＝原数−整数部分”，再作比较。 解题后核对四件事 ①估算范围够用了吗：是否还跨着需要区分的整数？ ②端点处理对了吗：等号、严格不等号有没有变？ ③多个条件都满足了吗：有没有只用其中一个？ ④小数部分是否满足小数部分：等于时是否已经进位？ 二、典例与变式 （一）比较实数大小与数轴定位 例1、 整数、分别满足，，求的值。 变式1-1、 比较大小：______（填“>”“＝”或“<”）。 变式1-2、 数轴上、两点表示的数分别为、。点在线段上（可与端点重合），点表示整数，且它到原点的距离不小于。求符合条件的点共有多少个。 变式1-3、 一个分数的分子为，分母为正整数。若这个分数大于且小于，求的值。 （二）变形后的整数部分 例2、 是的整数部分，是的整数部分，求的值。 变式2-1、 求的整数部分。 变式2-2、 求的整数部分。 变式2-3、 求的整数部分。 （三）由整数部分反求整数 例3、 正整数满足，且与的整数部分相同。求所有符合条件的的个数。 变式3-1、 正整数满足：的整数部分为，的整数部分为。求的所有可能值。 变式3-2、 正整数满足，且与的整数部分相同。求的所有可能值。 变式3-3、 正整数满足，且与的整数部分相同。求的所有可能值。 （四）小数部分与进位 例4、 、分别是、的小数部分，求的整数部分和小数部分。 变式4-1、 、分别是、的小数部分，求的整数部分和小数部分。 变式4-2、 、分别是、的小数部分，求的整数部分和小数部分。 变式4-3、 、分别是、的小数部分，求的值。 A组 基础训练 A1、 下列各数中，大于且小于的是（ ）。 A2、 整数满足，则______。 A3、 已知，其中为整数，，求、的值。 A4、 已知，求的整数部分。 A5、 正整数满足的整数部分为，求的所有可能值。 A6、 非负实数的整数部分为，则的整数部分可能为______。 A7、 、分别是、的小数部分，比较与的大小。 A8、 、分别是两个非负实数的小数部分，则的整数部分可能为______。 B组 重点突破 B1、 无理数满足，求的整数部分。 B2、 一个正实数的整数部分是它的小数部分的倍，求这个实数的所有可能值。 B3、 是的小数部分，求的整数部分和小数部分。 B4、 非负实数与的整数部分相同，而的整数部分比的整数部分大。求的小数部分的取值范围。 B5、 正整数满足：的整数部分为，的整数部分为。求的所有可能值。 B6、 正整数的算术平方根的整数部分为。设的整数部分为，求的所有可能值，并分别写出对应的的取值范围。 B7、 正整数满足，求的所有可能值。 B8、 已知正整数的值等于的整数部分，求的所有可能值。 C组 综合运用 C1、 正整数满足，且与的整数部分之和为。求的所有可能值。 C2、 整数满足，、分别是、的小数部分。已知的整数部分为，求的所有可能值。 C3、 非负实数、的整数部分分别为、，且的整数部分为。求的整数部分的所有可能值。 C4、 正整数满足，且与的小数部分相同。求的值。 D组 期中期末真题衔接 D1、 （·北京西城·七下期末，第题） 如图，数轴上点表示的数是，，，，四个点中，有一个点是将点沿数轴向左平移个单位长度得到的，则这个点是（ ）。 点 点 点 点 D2、 （·四川资阳·八上期中，第题） 已知，分别是的整数部分和小数部分，则的值为______。 D3、 （·湖南祁阳浯溪二中·七下期中，第题节选） （1）已知的整数部分为，小数部分为，求的值。 （2）若是的整数部分，是的相反数，比较，的大小。 D4、 （·四川南部振兴初中·七下期中，第题节选） （1）的整数部分是______，小数部分是______。 （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值。 （3）已知，其中是整数，且，直接写出的相反数。 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 实数的初步认识 实数的估算与整数部分、小数部分问题 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版八年级数学上册（教师详解版） 内容导航 一、知识梳理 第 1 页 二、典例与变式 第 6 页 A组 基础训练 第 9 页 B组 重点突破 第 10 页 C组 综合运用 第 12 页 D组 期中期末真题衔接 第 13 页 一、知识梳理 范围约定：本讲只讨论非负实数的整数部分、小数部分；负实数仅用于大小比较与数轴定位，不使用负数取整约定。 专题导图 中心：先看题目要求，再确定估算范围。 分支一：确定位置——平方/立方作比较；有负号，注意数轴方向。 分支二：判断整数部分——变形后是否落在同一对相邻整数之间？ 分支三：由整数部分反求——还原成范围；多个条件取共同部分。 分支四：处理小数部分——原数减整数部分；相加时检查是否进位。 （一）根据题目要求逐步缩小范围 比较正数，常把开方转成乘方。 若、均不小于，，则。 例如，所以。若只求的整数部分，到这里就够了。 若要比较与，只知道它在与之间还不够。计算，便可得到。无需先求出一长串近似小数。 平方比较前必须先看符号。例如与的比较，先由，再得；数轴上取相反数后，左右次序改变。 立方根可比较立方，负数也按原次序排列。 例如，所以。 不要因出现负号，就把平方根“先判断非负”的规则机械套到立方根上。 估算时可以用小数，也可以用分数作比较。 要比较与正数，比较与即可；不必是整数。 例如比较与：因为，所以。 选哪个数去平方，应看题目要比较哪个数、要区分哪两个整数， 不是每题都从十分位逐次试下去。 分子相同的正分数，分母越大，分数越小。分母未知时，还要同时注意这一顺序和分母为整数的条件。 够不够用的判断表 目标 已有范围/比较 判断 的整数部分 已够用：整数部分为。 与的大小 不够用：两数仍可能在同一区间内。 与的大小 已够用：。 的整数部分 不够用：范围跨过和。 的整数部分 已够用：整个范围落在与之间。 （二）变形后求整数部分：看整个式子，不只看根式 对非负实数，若是非负整数，且，则的整数部分是。 左端可以取到，右端不能取到。时，小数部分为；一旦到达，整数部分就变成。 因此不能把“整数部分是”写成，也不能写成。 根据已有范围做乘除、加减，再判断是否需要进一步估算。 短例：由，只能得到，不能确定的整数部分。 因为，所以。 两边同时乘，得；因此，整数部分为。 求和与求差时，范围的两端怎样选？ 例如、。 求时，用两个较小的数相加、两个较大的数相加，得。 求时，要使差尽可能小，用较小的减较大的：；要使差尽可能大，用较大的减较小的：。所以。 这些范围两端的数通常称为下界、上界。上面的不能等于或，因为、都不能取到所给范围两端的数。 概括地说，若，，则： ； 。 端点能否取到，要随着每步计算一起检查。例如，则。原范围左端的可以取到，减后右端的也可以取到；原范围右端的不能取到，减后左端的也不能取到。 若变形中乘或除以负数，不等号方向要改变。本讲的整数部分仍只对最终非负的式子使用。 常见误区 已知的整数部分为，并不能直接认定的整数部分为。倍增后，小数部分也被倍增，可能越过下一个整数。必须检查变形后整个式子的范围。 （三）由整数部分反求整数：把条件放到同一范围里 正向与反向对应。 “的整数部分为” ⇔ “” ⇔ “”。这里、为非负整数。 “的整数部分为”（） ⇔ “”。 注意：平方后左端仍含等号、右端仍不含等号。 若为整数，则可写成。最后的“”来自是整数，不适用于任意实数。 两个条件不是任选一个，而是同时满足。 短例：正整数满足的整数部分为，的整数部分为。 第一个条件：，得。 第二个条件：，得。 两个条件要同时满足，所以。又为整数，所以、。 检查两个条件的作用：第一个条件单独允许、、、、； 第二个条件单独允许、、。 第一个条件排除，第二个条件排除、、，两者缺一不可。 共同的整数部分未知时，先确定它的可能值，再逐项检查。 可以设共同整数部分为，把两个条件分别写成含的范围。每一个只保留两个范围的共同部分；没有共同部分的情形应舍去。最后合并各组结果，检查有没有遗漏或重复。 若各组得到的是分开的整数，不能只写最小值到最大值的整个区间。 （四）小数部分与进位：先准确表示，再判断跨不跨 小数部分是一个准确的数，不是随手截下几位近似小数。 非负实数可以唯一写成，其中是非负整数，。 是整数部分，是小数部分。 短例：，故。的整数部分是，小数部分是，而不是把计算器近似值中的“……”直接当作准确答案。 整数的小数部分为；“小数部分”不要求一定大于。 两个小数部分相加，只有“不进位”与“进”两种情况。 若、，则。 范围 的整数部分 的小数部分 例如，不进位；，进。 当恰好等于时，整数部分为，小数部分为，不能仍按“不进位”处理。 两个原数相加，也要把整数部分和进位分开看。 若、，先算是否达到。 若，的整数部分为； 若，的整数部分为。 不能简单地把“两个整数部分相加”当作“和的整数部分”。 比较小数部分前，先看两个原数的整数部分是否相同。 若整数部分相同，减去相同的整数，大小次序不变。 若整数部分不同，不能仅凭原数较大就判断小数部分较大；应先分别写出“小数部分＝原数−整数部分”，再作比较。 解题后核对四件事 ①估算范围够用了吗：是否还跨着需要区分的整数？ ②端点处理对了吗：等号、严格不等号有没有变？ ③多个条件都满足了吗：有没有只用其中一个？ ④小数部分是否满足小数部分：等于时是否已经进位？ 二、典例与变式 （一）比较实数大小与数轴定位 例1、 整数、分别满足，，求的值。 解答 ，所以，。 又，所以，。因此。 变式1-1、 比较大小：______（填“>”“＝”或“<”）。 解答 ，而、均为正数，所以。因此。填“>”。 变式1-2、 数轴上、两点表示的数分别为、。点在线段上（可与端点重合），点表示整数，且它到原点的距离不小于。求符合条件的点共有多少个。 解答 ，，所以线段上的整数为、、、、、、、、。其中到原点的距离不小于的有、、、，共个。 变式1-3、 一个分数的分子为，分母为正整数。若这个分数大于且小于，求的值。 解答 若，则，不符合题意。 若，则，不符合题意，其中。 所以只可能。因为，且，所以。因此。 （二）变形后的整数部分 例2、 是的整数部分，是的整数部分，求的值。 解答 ，所以，。粗略范围还不足以确定。因为，所以，即，。因此。 变式2-1、 求的整数部分。 解答 ，所以。于是，因此整数部分为。 变式2-2、 求的整数部分。 解答 由、，得。又，，所以，，得。因此整数部分为。 变式2-3、 求的整数部分。 解答 ，，所以，，从而。另一方面，，，故。因此整数部分为。 （三）由整数部分反求整数 例3、 正整数满足，且与的整数部分相同。求所有符合条件的的个数。 解答 设共同整数部分为。因为，所以。 两个整数部分相同，要求且。为整数，所以。 只有时才可能有解。逐组列出： 、、、：无符合条件的； ：，共个； ：，共个； ：，共个； ：，共个。 这些数均在至之间，且各组不重叠。因此共有个。 变式3-1、 正整数满足：的整数部分为，的整数部分为。求的所有可能值。 解答 由第一个条件得，即。由第二个条件得，即。两个条件同时成立，且为整数，所以为、、、、、。 变式3-2、 正整数满足，且与的整数部分相同。求的所有可能值。 解答 设共同整数部分为，则，。 相加得，即，所以。 于是，，即。合起来得。 因此为、、、、、、、、。 变式3-3、 正整数满足，且与的整数部分相同。求的所有可能值。 解答 设共同整数部分为。由，得只能为、、、。 时：，且，故、、； 时：，且，故； 时：，且，没有共同的； 时：，且，没有共同的。 所以的所有可能值为、、、。 （四）小数部分与进位 例4、 、分别是、的小数部分，求的整数部分和小数部分。 解答 由、，得，，所以。 因为，，所以，故。又、，故。因此的整数部分为，小数部分为。 变式4-1、 、分别是、的小数部分，求的整数部分和小数部分。 解答 ，。因为，，所以，。于是，因此整数部分为，小数部分为。 变式4-2、 、分别是、的小数部分，求的整数部分和小数部分。 解答 ，所以。于是，，。因此整数部分为，小数部分为。 变式4-3、 、分别是、的小数部分，求的值。 解答 ，。因为，所以；因为，所以。因此，。 A组 基础训练 A1、 下列各数中，大于且小于的是（ ）。 解答 ，，；因为，所以。选。 A2、 整数满足，则______。 解答 ，，所以。 A3、 已知，其中为整数，，求、的值。 解答 ，得，所以，。 A4、 已知，求的整数部分。 解答 ，所以，得。又，因此整数部分为。 A5、 正整数满足的整数部分为，求的所有可能值。 解答 ，所以，即。为整数，故、、。 A6、 非负实数的整数部分为，则的整数部分可能为______。 解答 由的整数部分为，得，所以。 当时，，整数部分为；当时，，整数部分为。 因此可能为或。 A7、 、分别是、的小数部分，比较与的大小。 解答 ，所以，，故。 A8、 、分别是两个非负实数的小数部分，则的整数部分可能为______。 解答 ，，所以，整数部分只能为或。 时取；时取。 B组 重点突破 B1、 无理数满足，求的整数部分。 解答 是有理数，而是无理数，所以≠，即。 于是，整数部分为。 B2、 一个正实数的整数部分是它的小数部分的倍，求这个实数的所有可能值。 解答 设这个实数的整数部分为，小数部分为，则，。 于是。为整数，且这个数为正数；若，则，原数为，不合题意。因此只能为、、。 分别有、、，所以原数分别为、、。 这三个数的整数部分与小数部分均满足题设，故所有可能值为、、。 B3、 是的小数部分，求的整数部分和小数部分。 解答 ，所以。于是。由，得整数部分为，小数部分为。 B4、 非负实数与的整数部分相同，而的整数部分比的整数部分大。求的小数部分的取值范围。 解答 设的整数部分为，则，。第一个条件给，即；第二个条件给，即。合起来得。 B5、 正整数满足：的整数部分为，的整数部分为。求的所有可能值。 解答 由第一个条件得，所以。由第二个条件得，即，因此，得。合起来得。为整数，所以、。 B6、 正整数的算术平方根的整数部分为。设的整数部分为，求的所有可能值，并分别写出对应的的取值范围。 解答 由的整数部分为，得。又，，，所以、时，，；时，，。全部均已包含，没有其他可能。 B7、 正整数满足，求的所有可能值。 解答 两边均为正数，比较它们的平方，可得，即。因为正整数，，所以、、、、、。以上变形均等价，这些值都满足原条件。 B8、 已知正整数的值等于的整数部分，求的所有可能值。 解答 若，则，所以，不符合题意。 若，则的整数部分为；若，则，均不符合题意。 只需检查、：，，两者都符合题意。所以或。 C组 综合运用 C1、 正整数满足，且与的整数部分之和为。求的所有可能值。 解答 设与的整数部分分别为、。因为，所以，。又、均为正整数且，只需考虑、、、。 ：，，合得。 ：，，合得、、、、。 ：，，合得。 ：，要求，没有共同的。 所以的所有可能值为、、、、、、。 C2、 整数满足，、分别是、的小数部分。已知的整数部分为，求的所有可能值。 解答 因为，所以，，，且。 若，则。由得，不符合条件。 若，由，， 得，即，符合条件。 所以或。 C3、 非负实数、的整数部分分别为、，且的整数部分为。求的整数部分的所有可能值。 解答 设，，其中，。的整数部分为，所以。 ，故，整数部分只能为或。 当、时，，，整数部分为；当、时，，，整数部分为。两个值均能取得，因此所有可能值为、。 C4、 正整数满足，且与的小数部分相同。求的值。 解答 设与的整数部分分别为、。小数部分相同，得。 因为，所以是正整数，并且。 两边平方，得。因为，所以，只能为或。 时，，得。 时，，得，不是整数，舍去。 当时，，，两个小数部分都为，符合题意。因此。 D组 期中期末真题衔接 D1、 （·北京西城·七下期末，第题） 如图，数轴上点表示的数是，，，，四个点中，有一个点是将点沿数轴向左平移个单位长度得到的，则这个点是（ ）。 点 点 点 点 解答 向左平移后表示的数为。因为，所以，得。原图中位于与之间的是点，所以选。 D2、 （·四川资阳·八上期中，第题） 已知，分别是的整数部分和小数部分，则的值为______。 解答 因为，所以，得。 因此，。 所以。 D3、 （·湖南祁阳浯溪二中·七下期中，第题节选） （1）已知的整数部分为，小数部分为，求的值。 （2）若是的整数部分，是的相反数，比较，的大小。 解答 （1）由，得，所以，，。 因此。 （2）因为，所以，得，因此。 。由，得，所以。因此。 D4、 （·四川南部振兴初中·七下期中，第题节选） （1）的整数部分是______，小数部分是______。 （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值。 （3）已知，其中是整数，且，直接写出的相反数。 解答 （1）因为，所以，整数部分为，小数部分为。 （2）由，得，所以。由，得，所以。 由于，所以，故。 （3）由，得，所以。于是，。 的相反数为。 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $