第2章·实数的初步认识·期中复习·培优提高讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版八年级数学上册

第2章·实数的初步认识·期中复习·培优提高讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握平方根、算术平方根、立方根的概念与求法，理解三者区别与联系 · 会识别无理数，能对实数进行分类，理解实数与数轴上点的一一对应关系 · 掌握实数大小比较与无理数估算（夹逼法）的基本方法 · 会进行实数的混合运算，能利用平方根、立方根解方程 · 掌握非负性综合、规律探索与实际应用类问题的解法 📚 知识梳理 ☆ 1.平方根与算术平方根 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个数 x 叫做 a 的平方根，记作 ±（a≥0） 正数 a 的算术平方根是 ，0 的算术平方根是 0；算术平方根是非负数 正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根 被开方数越大，对应的算术平方根越大；求字母范围先保证被开方数非负 概念辨析例题：一个正数的两个平方根分别是 2a-3 和 5-a，求这个正数。 答案：49 解析：正数的两个平方根互为相反数，故 (2a-3)+(5-a)=0，解得 a=-2，则两个平方根为 -7 和 7，这个正数为 72=49。 ☆ 2.立方根 如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3=a，那么这个数 x 叫做 a 的立方根，记作 ∛a 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0，任何实数都有唯一立方根 立方根的被开方数没有符号限制，且 ∛(-a)=-∛a 平方根与立方根的区别：平方根成对出现、被开方数非负；立方根唯一、被开方数任意 概念辨析例题：求 ∛(-27) 与 的值。 答案：-3 与 6 解析：因为 (-3)3=-27，所以 ∛(-27)=-3；因为 62=36，所以 =6。 ☆ 3.无理数与实数的分类 无理数：无限不循环小数，常见有 π、开方开不尽的数（如 、∛3）、有规律但不循环的小数（如 0.1010010001…） 实数按定义分为有理数与无理数；有理数包括整数与分数（有限小数、无限循环小数） 实数与数轴上的点一一对应；数轴上右边的数总比左边的大 判断一个数是否无理数，应先化简再判断；分数与含 π 的数是两类不同情形 概念辨析例题：下列各数中是无理数的是（　　）A．　B．　C．π　D．0.5 答案：C 解析： 是分数、=2、0.5 是有限小数，均为有理数；π 是无限不循环小数，是无理数，故选 C。 ☆ 4.实数的大小比较、估算与运算 比较实数大小：平方法、开方法、数轴法、与中间值比较法 估算无理数用夹逼法：n2<a<(n+1)2，则 n<<n+1 近似数与科学记数法：精确到某一位看下一位四舍五入；a×10n 中 1≤a<10 实数混合运算按先乘方开方、再乘除、后加减的顺序，含绝对值先化简 概念辨析例题：估计 的值在（　　）A．2和3之间　B．3和4之间　C．4和5之间　D．5和6之间 答案：B 解析：因为 9<13<16，即 32<13<42，所以 3<<4，故选 B。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 平方根 x2=a，x=±（a≥0） 正数有两个，互为相反数 算术平方根 （a≥0） ≥0，被开方数非负 立方根 x3=a，x=∛a 任何实数都有唯一立方根 无理数 无限不循环小数 π、开方开不尽的数 科学记数法 a×10n（1≤a<10） 精确度看四舍五入位 实数运算 先乘方开方，再乘除，后加减 绝对值先化简再运算 ⚠️ 核心考点 【考点1】无理数的识别与实数的分类 · 判断无理数抓住“无限不循环”：π、开方开不尽的根式、有规律不循环小数 · 分数、有限小数、无限循环小数都是有理数，化简后再判断 · 写出比某数大的无理数：构造开方开不尽的根式或 π 的倍数 · 分类计数题逐项判断，注意带根号的数不一定是无理数 1．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）下列四个实数中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）在实数，，0.7，，中无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）下列7个数：（每两个8之间1的个数逐渐增加1），0.112134，其中无理数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）写出一个比5大的正无理数是__________． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各数填入相应的横线内： ，0，，，，，，80%，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”），． 无理数：{ ___________…}； 整数：{ ___________…}； 分数：{ ___________…}； 实数：{ ___________…}． 6．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）在下列各数：，，，，，，（两个1之间依次多一个0），中，无理数有_____个． 7．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段检测）将下列各数填入相应的括号里： 20，，0，，，，，，，． 负数集合{ …}； 分数集合{ …}； 正整数集合{ …}； 无理数集合{ …}； 【考点2】平方根、算术平方根与立方根 · 求平方根先判断被开方数非负，正数平方根有两个、算术平方根取非负值 · 立方根不要求被开方数符号，负号保留在根号内 · 根式有意义问题转化为被开方数 ≥0 或 ≥0 的分式条件 · 求字母取值范围注意同时满足多个非负条件 8．（24-25八年级上·山东德州·开学考试）一个正数的两个不同的平方根为和，则这个正数是（    ） A．7 B．11 C．49 D．324 9．（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）的算术平方根是______；的算术平方根是______；的平方根是______． 10．（2025·山西吕梁·二模）计算：________． 11．（25-26八年级上·江苏南京·期末）_____；____ 12．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）一个正数a的两个不同的平方根分别是和，则的立方根为________． 13．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知的算术平方根是2，的立方根是b．求的平方根． 14．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）已知的算术平方根是2，的立方根是1． (1)求和的值． (2)求的平方根． 15．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）一个正数的两个平方根分别为和，求m和这个正数的值． 16．（江苏省宿迁市南京师范大学附属中学宿迁分校2023-2024学年八年级上学期期中数学试题）（1）已知正数的平方根分别是和2，的立方根是2，求a、b的值． （2）已知一个正数x的两个平方根分别是和，求x的值． 【考点3】实数的大小比较与估算 · 平方比较：两正数平方后比较；与 0、1 比较判断正负与大小 · 夹逼法估算：n2<a<(n+1)2 则 n<<n+1 · 数轴比较：数轴上右边的数大于左边的数 · 实际最值问题（如网格植树）结合勾股定理与无理数估算判断距离 17．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）下面无理数大于，并且小于的是（   ） A． B． C． D． 18．（2025·河北·一模）下列各数中，比小的数是（　　） A． B． C． D． 19．（江苏省南京市中考数学仿真预测卷-2024年中考数学【热点�重点�难点】专练（江苏专用））估计的值在（    ） A．0到1之间 B．到之间 C．到之间 D．到0之间 20．（2025八年级上·江苏·专题练习）下列四个实数最大的是（   ） A． B．0 C． D．2 21．（25-26八年级上·广东广州·开学考试）一个正方形的面积是11，估计它的边长大小在（    ） A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间 22．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）估算的取值范围在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 23．（23-24八年级上·内蒙古·阶段检测）若，则估计m的值所在范围是（   ） A． B． C． D． 24．（25-26八年级上·江苏南京·期中）下列各数中最小的是（   ） A． B． C． D． 25．（24-25八年级上·广东河源·期中）已知，则的小数部分是（   ） A． B． C． D． 26．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）若，，，则m，n，k的大小关系是（    ） A． B． C． D． 27．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）比较大小：_____2（填“>，<或=”） 28．（23-24八年级上·北京延庆·期末）已知是无理数，且，写出一个满足条件的的值是______________． 29．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）如果，那么正整数m的值是________． 30．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）要做一个面积为的正方形，它的边长的整数部分是__________，十分位是__________，百分位是__________，千分位是__________． 31．（24-25七年级下·山东临沂·期中）任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，对81只需进行3次操作后变为1，那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ____ ． 32．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段检测）观察：，即的整数部分为2，小数部分为．请你运用上述规律解决下面的问题： (1)规定用符号表示实数的整数部分，例如：，按此规定的值为_______； (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的值． 【考点4】近似数与科学记数法 · 四舍五入到哪一位，看该位的下一位确定进舍 · 科学记数法：|a| 在 1 到 10 之间，10 的指数为整数位数减 1 · 精确度：保留几位小数或精确到某一位，注意有效数字 · 较大数与较小数统一用科学记数法便于比较 33．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）2023年我国低空经济规模达到了5059.5亿元，预计到2035年有望达到3.5万亿元．近似数5059.5亿是精确到（   ） A．十分位 B．百分位 C．千万位 D．亿位 34．（23-24七年级上·陕西西安·期末）《年国民经济和社会发展统计公报》显示，我国全年国内生产总值突破百万亿元大关，达亿元，比上年增长，是全球唯一实现经济正增长的主要经济体．数据用科学记数法（精确到万亿）表示为（    ） A． B． C． D． 35．（23-24七年级上·全国·单元测试）用四舍五入法取近似数，1.825精确到0.01的值为_____． 36．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）新年第一天，扬州市2024年元旦长跑主会场活动在运河三湾风景区举行，近万名市民参加了全程为迎新年长跑活动．将数字3158用精确到千位可表示为______． 37．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）把数精确到百位后的近似数是______（结果用科学记数法表示）． 38．（2023·山东泰安·模拟预测）近似数精确到______位，它有______个有效数字． 【考点5】实数的性质与数轴 · 实数与数轴上的点一一对应，数形结合理解大小关系 · 相反数、绝对值、倒数概念在实数范围内同样适用 · 数轴上两点距离为差的绝对值，坐标差求距离 · 利用数轴判断绝对值的化简：看点在原点哪侧 39．（22-23七年级上·山东滨州·期末）已知，b是49的平方根，且，则的值为（     ） A．2或12 B．2或 C．或12 D．或 40．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）下列四个数中，负数是（   ） A． B． C． D． 41．（25-26七年级下·天津津南·期末）的绝对值是_________；的相反数是_________． 42．（24-25七年级下·广东阳江·期中）化简：___________． 43．（25-26八年级上·全国·周测）如图，数轴上点C（弧线与数轴的交点）所表示的数是______． 44．（24-25七年级上·河南信阳·期中）如图，数轴上从左到右依次有A、B、C、D四个点，A、B之间的距离为，B、C之间的距离为，B、D之间的距离为，将直径为1的圆形纸片按如图所示的方式放置在点A处，并沿数轴水平方向向右滚动． (1)若圆形纸片从点A处滚到点C处，恰好滚动了n（n为正整数）圈，则______（用含n的代数式表示），a是______（填“有理数”或“无理数”）； (2)若圆形纸片从点A处滚动1圈后，恰好到达点B处，求C、D之间的距离（结果保留π）； (3)若点A表示的数为π，圆形纸片从点A处滚动到点B、C、D处的圈数均为整数，其中圆形纸片从点A处滚动3圈后，恰好到达点C处，求点D表示的数． 【考点6】非负性的综合应用 · 绝对值、平方、算术平方根三者都具有非负性 · 几个非负数的和为 0，则每个非负数都为 0，列方程组求字母 · 含根式分式有意义的双重条件：被开方数非负且分母不为 0 · 非负性常用于求代数式的值与取值范围 45．（21-22八年级上·江苏扬州·期末）已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是（   ）． A． B． C．或 D．以上答案均不对 46．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知，则________． 47．（25-26七年级下·北京·期末）已知的三边长，，满足且为奇数．则___________ 48．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）若，则的值为______． 49．（21-22七年级下·江苏盐城·期末）已知：，则_________． 50．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知与互为相反数，求的值． 51．（23-24六年级下·山东威海·期中）已知，求代数式的值． 【考点7】利用平方根与立方根解方程 · x2=a（a≥0）型：两边开平方得 x=± · x3=a 型：两边开立方得 x=∛a · 先整理成标准形式再开方，注意平方根取 ±、立方根唯一 · 解出的值代入验证，排除不合题意的根 52．（23-24七年级下·福建莆田·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 53．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）解下列方程： (1)； (2)； 54．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 55．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 56．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）求下列各等式中的实数． (1)； (2)． 57．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）解方程： (1)； (2)． 58．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）解决下列问题： (1)已知：，求x的值； (2)计算：． 59．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）求的值： (1)； (2)． 60．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）求下列各式中的： (1)； (2)． 【考点8】实数的混合运算 · 按顺序：先乘方开方，再乘除，后加减，有括号先算括号 · 含绝对值先去掉绝对值符号，含根式先化简 · 乘方运算注意符号：负数的偶次幂为正、奇次幂为负 · 结果通常保留最简形式，分母有理化避免根号在分母 61．（23-24七年级下·安徽六安·阶段检测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 62．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算___________． 63．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）计算 (1)； (2)． 64．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）计算： (1)； (2)． 【考点9】算术平方根的应用与规律探索 · 实际问题（面积开方、图形拼接）先列式再开方求解 · 规律探索题先写出前几项观察，再用含 n 的式子归纳 · 图形类规律常结合勾股定理与面积关系递推 · 验证归纳结果，代入具体数值检验 65．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，由七排小正方形（每个小正方形的边长为1）拼成一个图案．将原图案中所有的小正方形重拼成两个正方形，则其中较大的正方形边长为________． 66．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律，第8行第6个数是_________． 67．（25-26七年级下·青海西宁·期中）已知，，则______；已知，，则______． 68．（25-26七年级下·江苏南通·期中）将一棱长为正方体铁块完全浸入圆柱体玻璃杯的水中，水位升高了，则圆柱体玻璃杯的底面半径是__________． 69．（25-26八年级上·江苏南京·期中）清朝康熙皇帝在《积求勾股法》一文中，对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S，第一步：；第二步：；第三步：分别用3、4、5乘k，得三边长”． (1)若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍．当面积等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长； (2)若直角三角形的三边长分别为a、b、c（）的k倍．若面积为S，则________． 70．（25-26七年级上·北京·期中）动画电影《哪吒闹海》中，哪吒在镇压妖的时候使用的是“混天绫”，假设用“混天绫”恰好能围成一个面积为25m2的正方形“封妖阵”，后因妖怪反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 💯 课后巩固 复习建议 · 平方根有两个、算术平方根取非负、立方根唯一，三者切勿混淆 · 判断无理数先化简，π 与开方开不尽的根式是重点 · 比较实数大小首选平方比较与夹逼估算 · 解方程开平方记得 ±，开立方直接取 · 绝对值、平方、算术平方根的非负性常用来列方程求字母 【作业1】．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）下列四个实数中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 【作业2】．（2025·河北·一模）下列各数中，比小的数是（　　） A． B． C． D． 【作业3】．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）2023年我国低空经济规模达到了5059.5亿元，预计到2035年有望达到3.5万亿元．近似数5059.5亿是精确到（   ） A．十分位 B．百分位 C．千万位 D．亿位 【作业4】．（23-24七年级下·安徽六安·阶段检测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【作业5】．（24-25八年级上·广东河源·期中）已知，则的小数部分是（   ） A． B． C． D． 【作业6】．（23-24七年级上·全国·单元测试）用四舍五入法取近似数，1.825精确到0.01的值为_____． 【作业7】．（25-26七年级下·天津津南·期末）的绝对值是_________；的相反数是_________． 【作业8】．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）新年第一天，扬州市2024年元旦长跑主会场活动在运河三湾风景区举行，近万名市民参加了全程为迎新年长跑活动．将数字3158用精确到千位可表示为______． 【作业9】．（23-24八年级上·北京延庆·期末）已知是无理数，且，写出一个满足条件的的值是______________． 【作业10】．（25-26八年级上·江苏南京·期末）_____；____ 【作业11】．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）如果，那么正整数m的值是________． 【作业12】．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）一个正数a的两个不同的平方根分别是和，则的立方根为________． 【作业13】．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）已知的算术平方根是2，的立方根是1． (1)求和的值． (2)求的平方根． 【作业14】．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）解下列方程： (1)； (2)； 【作业15】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）求下列各等式中的实数． (1)； (2)． 【作业16】．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）计算 (1)； (2)． 【作业17】．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）解决下列问题： (1)已知：，求x的值； (2)计算：． 【作业18】．（24-25七年级上·河南信阳·期中）如图，数轴上从左到右依次有A、B、C、D四个点，A、B之间的距离为，B、C之间的距离为，B、D之间的距离为，将直径为1的圆形纸片按如图所示的方式放置在点A处，并沿数轴水平方向向右滚动． (1)若圆形纸片从点A处滚到点C处，恰好滚动了n（n为正整数）圈，则______（用含n的代数式表示），a是______（填“有理数”或“无理数”）； (2)若圆形纸片从点A处滚动1圈后，恰好到达点B处，求C、D之间的距离（结果保留π）； (3)若点A表示的数为π，圆形纸片从点A处滚动到点B、C、D处的圈数均为整数，其中圆形纸片从点A处滚动3圈后，恰好到达点C处，求点D表示的数． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章·实数的初步认识·期中复习·培优提高讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年苏科版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握平方根、算术平方根、立方根的概念与求法，理解三者区别与联系 · 会识别无理数，能对实数进行分类，理解实数与数轴上点的一一对应关系 · 掌握实数大小比较与无理数估算（夹逼法）的基本方法 · 会进行实数的混合运算，能利用平方根、立方根解方程 · 掌握非负性综合、规律探索与实际应用类问题的解法 📚 知识梳理 ☆ 1.平方根与算术平方根 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个数 x 叫做 a 的平方根，记作 ±（a≥0） 正数 a 的算术平方根是 ，0 的算术平方根是 0；算术平方根是非负数 正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根 被开方数越大，对应的算术平方根越大；求字母范围先保证被开方数非负 概念辨析例题：一个正数的两个平方根分别是 2a-3 和 5-a，求这个正数。 答案：49 解析：正数的两个平方根互为相反数，故 (2a-3)+(5-a)=0，解得 a=-2，则两个平方根为 -7 和 7，这个正数为 72=49。 ☆ 2.立方根 如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3=a，那么这个数 x 叫做 a 的立方根，记作 ∛a 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0，任何实数都有唯一立方根 立方根的被开方数没有符号限制，且 ∛(-a)=-∛a 平方根与立方根的区别：平方根成对出现、被开方数非负；立方根唯一、被开方数任意 概念辨析例题：求 ∛(-27) 与 的值。 答案：-3 与 6 解析：因为 (-3)3=-27，所以 ∛(-27)=-3；因为 62=36，所以 =6。 ☆ 3.无理数与实数的分类 无理数：无限不循环小数，常见有 π、开方开不尽的数（如 、∛3）、有规律但不循环的小数（如 0.1010010001…） 实数按定义分为有理数与无理数；有理数包括整数与分数（有限小数、无限循环小数） 实数与数轴上的点一一对应；数轴上右边的数总比左边的大 判断一个数是否无理数，应先化简再判断；分数与含 π 的数是两类不同情形 概念辨析例题：下列各数中是无理数的是（　　）A．　B．　C．π　D．0.5 答案：C 解析： 是分数、=2、0.5 是有限小数，均为有理数；π 是无限不循环小数，是无理数，故选 C。 ☆ 4.实数的大小比较、估算与运算 比较实数大小：平方法、开方法、数轴法、与中间值比较法 估算无理数用夹逼法：n2<a<(n+1)2，则 n<<n+1 近似数与科学记数法：精确到某一位看下一位四舍五入；a×10n 中 1≤a<10 实数混合运算按先乘方开方、再乘除、后加减的顺序，含绝对值先化简 概念辨析例题：估计 的值在（　　）A．2和3之间　B．3和4之间　C．4和5之间　D．5和6之间 答案：B 解析：因为 9<13<16，即 32<13<42，所以 3<<4，故选 B。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 平方根 x2=a，x=±（a≥0） 正数有两个，互为相反数 算术平方根 （a≥0） ≥0，被开方数非负 立方根 x3=a，x=∛a 任何实数都有唯一立方根 无理数 无限不循环小数 π、开方开不尽的数 科学记数法 a×10n（1≤a<10） 精确度看四舍五入位 实数运算 先乘方开方，再乘除，后加减 绝对值先化简再运算 ⚠️ 核心考点 【考点1】无理数的识别与实数的分类 · 判断无理数抓住“无限不循环”：π、开方开不尽的根式、有规律不循环小数 · 分数、有限小数、无限循环小数都是有理数，化简后再判断 · 写出比某数大的无理数：构造开方开不尽的根式或 π 的倍数 · 分类计数题逐项判断，注意带根号的数不一定是无理数 1．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）下列四个实数中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数、实数的分类 【分析】本题考查实数的分类，根据无理数的定义（无限不循环小数）逐项判断即可． 【详解】解：A.是分数，属于有理数，不符合题意； B.是整数，属于有理数，不符合题意； C.是有限小数，属于有理数，不符合题意； D.是无限不循环小数，属于无理数，符合题意． 故选：D． 2．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）在实数，，0.7，，中无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数． 【详解】解：为分数，是有理数； 是无理数； 0.7可化为，是有理数； 是无理数； ，是有理数； 故无理数有和，共2个， 故选：B． 3．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）下列7个数：（每两个8之间1的个数逐渐增加1），0.112134，其中无理数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【知识点】无理数 【分析】本题考查无理数的识别，根据无限不循环小数的定义进行判断． 【详解】解：-8：整数，属于有理数． （即）：可化为分数，属于有理数． 中π是无限不循环小数，除以2后仍为无限不循环小数，属于无理数． 0.66666…：无限循环小数（对应分数），属于有理数． 0：整数，属于有理数． 9.8181181118…（每两个8之间1的个数逐渐增加1）：小数部分有规律但不循环，属于无限不循环小数，是无理数． 0.112134：有限小数，属于有理数． 综上，无理数有和，共2个． 故选：C． 4．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）写出一个比5大的正无理数是__________． 【答案】5.121121112…（答案不唯一） 【知识点】无理数 【分析】本题考查的是无理数的概念，无限不循环的小数是无理数，根据定义写出一个无理数即可． 【详解】解：比5大的一个正无理数是5.121121112…， 故答案为：5.121121112… 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各数填入相应的横线内： ，0，，，，，，80%，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”），． 无理数：{ ___________…}； 整数：{ ___________…}； 分数：{ ___________…}； 实数：{ ___________…}． 【答案】 无理数：{，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”）}； 整数：{0，，，}； 分数：{，，，80%}； 实数：{，0，，，，，，80%，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”），}． 【知识点】实数的分类 【分析】利用无理数，整数，分数以及实数的定义判断即可得到结果． 本题考查了实数的分类，熟练掌握相关的概念是解题的关键 【详解】略． 6．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）在下列各数：，，，，，，（两个1之间依次多一个0），中，无理数有_____个． 【答案】4 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、无理数 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次多1个1）．根据无理数的定义，逐一判断各数即可． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； ，是整数，属于有理数； 是开方开不尽的数，属于无理数； 是有限小数，属于有理数； 中是无理数，减去有理数1后仍为无理数； （两个1之间依次多一个0）是特殊结构的无限不循环小数，属于无理数； ，是整数，属于有理数． 综上，无理数有、、、，共4个． 故答案为：4． 7．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段检测）将下列各数填入相应的括号里： 20，，0，，，，，，，． 负数集合{ …}； 分数集合{ …}； 正整数集合{ …}； 无理数集合{ …}； 【答案】，，；，，，，；20； 【知识点】实数的分类 【分析】根据实数的分类方法进行解答即可． 【详解】解：负数集合{，，…}； 分数集合{，，，，…}； 正整数集合{20…}； 无理数集合{…}． 故答案为：，，；，，，，；20；． 【点睛】本题主要考查了实数的分类，解题的关键是熟练掌握实数的分类方法． 【考点2】平方根、算术平方根与立方根 · 求平方根先判断被开方数非负，正数平方根有两个、算术平方根取非负值 · 立方根不要求被开方数符号，负号保留在根号内 · 根式有意义问题转化为被开方数 ≥0 或 ≥0 的分式条件 · 求字母取值范围注意同时满足多个非负条件 8．（24-25八年级上·山东德州·开学考试）一个正数的两个不同的平方根为和，则这个正数是（    ） A．7 B．11 C．49 D．324 【答案】C 【知识点】平方根概念理解、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据平方根求原数，根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，据此求出，再根据平方根的概念求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个不同的平方根为和， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴这个正数是49， 故选：C． 9．（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）的算术平方根是______；的算术平方根是______；的平方根是______． 【答案】 2 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题主要考查了算术平方根、平方根的定义，熟练掌握相关内容是解题的关键． 根据算术平方根、平方根的定义，即可进行解答． 【详解】解：的算术平方根是2； 的算术平方根是； 的平方根是． 故答案为：2，，． 10．（2025·山西吕梁·二模）计算：________． 【答案】2 【知识点】求一个数的算术平方根 【详解】解： 11．（25-26八年级上·江苏南京·期末）_____；____ 【答案】 3 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查立方根运算和算术平方根运算，分别根据立方根的定义和算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】解：； ． 故答案为：；3． 12．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）一个正数a的两个不同的平方根分别是和，则的立方根为________． 【答案】2 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的立方根 【分析】本题考查了平方根的性质及立方根的计算，根据平方根的性质，正数的两个平方根互为相反数，列方程求解x，再求a，进而计算的立方根． 【详解】解：由题意知，一个正数的两个平方根互为相反数， ∴，即，解得， 则一个平方根为， ∴， ∴，8的立方根为2， 故答案为：2． 13．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知的算术平方根是2，的立方根是b．求的平方根． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了已知一个数的算术平方根和立方根求这个数，准确利用算术平方根和立方根的性质计算是解题的关键． 根据的算术平方根是2可得，即可求出，根据的立方根是b可得，即可求出，代入计算即可得解． 【详解】解： 的算术平方根是2， ， ， 的立方根是b， ， ， ∴的平方根是． 14．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）已知的算术平方根是2，的立方根是1． (1)求和的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查算术平方根、平方根和立方根的定义、解一元一次方程，理解定义，正确求解是解答的关键，注意正数的平方根有两个，它们互为相反数． （1）根据算术平方根和立方根的定义得到，，即可求解； （2）将（1）中求解的代入代数式求值，再求解平方根即可． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是2，的立方根是1． ∴，， 解得； （2）解：∵， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 15．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）一个正数的两个平方根分别为和，求m和这个正数的值． 【答案】，正数值为4 【知识点】平方根概念理解、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查了平方根的性质，理解平方根的含义是解题的关键． 根据一个正数的两个平方根互为相反数，求出的值，再根据平方根的定义求出这个正数即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴这两个数分别为：，， ∵， ∴这个正数的值为． 16．（江苏省宿迁市南京师范大学附属中学宿迁分校2023-2024学年八年级上学期期中数学试题）（1）已知正数的平方根分别是和2，的立方根是2，求a、b的值． （2）已知一个正数x的两个平方根分别是和，求x的值． 【答案】（1），；（2） 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题主要考查了立方根和平方根，解题的关键在于熟知对于实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根． （1）根据平方根的定义得到，根据立方根的定义得到，解方程即可得到答案； （2）根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，由此求出，进而求出，则． 【详解】解：（1）∵正数的平方根分别是和2， ∴， ∴； ∵的立方根是2， ∴， ∴； （2）∵一个正数x的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点3】实数的大小比较与估算 · 平方比较：两正数平方后比较；与 0、1 比较判断正负与大小 · 夹逼法估算：n2<a<(n+1)2 则 n<<n+1 · 数轴比较：数轴上右边的数大于左边的数 · 实际最值问题（如网格植树）结合勾股定理与无理数估算判断距离 17．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）下面无理数大于，并且小于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，关键是正确的估值进行比较； 通过比较各选项的平方与和的平方的大小关系，判断其值是否在和之间。 【详解】解：∵ ， ∴ 无理数在和之间等价于其平方在和之间； 对于A： ∵， ∴ ， ∴此选项不符合； 对于B：∵， ∴ ， ∴此选项不符合； 对于C： ∵， ∴， ∴此选项符合； 对于D： ∵， ∴， ∴此选项不符合. 故答案为：C. 18．（2025·河北·一模）下列各数中，比小的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【详解】解：A．，，，，，故不符合题意； B．，，，，故符合题意； C．，，， ，故不符合题意； D．, ，，，故不符合题意； 故选：B． 19．（江苏省南京市中考数学仿真预测卷-2024年中考数学【热点�重点�难点】专练（江苏专用））估计的值在（    ） A．0到1之间 B．到之间 C．到之间 D．到0之间 【答案】B 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．根据平方数，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴估计的值在与之间， 故选：B． 20．（2025八年级上·江苏·专题练习）下列四个实数最大的是（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】D 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握实数大小比较的法则． 根据实数大小比较的法则进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴最大的是2， 故选：D． 21．（25-26八年级上·广东广州·开学考试）一个正方形的面积是11，估计它的边长大小在（    ） A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间 【答案】C 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】本题主要考查了算术平方根取值范围的估算，掌握算术平方根取值范围的估算方法是解题的关键． 根据正方形的面积公式，边长是面积的平方根，即．再通过比较邻近的完全平方数，估算的范围即可解答． 【详解】解：∵正方形的面积是11， ∴边长为． ∵，且， ∴，即， ∴边长在3和4之间． 故选C． 22．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）估算的取值范围在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】B 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了无理数的估算，估算出，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 23．（23-24八年级上·内蒙古·阶段检测）若，则估计m的值所在范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】无理数的大小估算、求不等式组的解集 【分析】本题考查了估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法，解决本题的关键是估算出的范围．解决本题的关键是估算出的范围先估算，再确定m的范围，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，即， ∴， 故选：D． 24．（25-26八年级上·江苏南京·期中）下列各数中最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】实数的大小比较 【分析】此题主要考查了实数大小的比较，先取各数的近似值，然后计算比较大小解答即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 最小的是， 故选：D． 25．（24-25八年级上·广东河源·期中）已知，则的小数部分是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了无理数的估算，由，可得，即可得的整数部分是，进而即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∴的整数部分是， ∴的小数部分是， 故选：． 26．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）若，，，则m，n，k的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了实数的比较大小，根据题目给出的数据采取统一乘方是解题的关键．分别求6次方比较幂的大小得出结论． 【详解】解：∵m，n，k都是正数，分别求它们的6次幂， ∴，，， ∵， 即， ∴． 故选：A． 27．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）比较大小：_____2（填“>，<或=”） 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要考查实数的大小比较．运用作差法比较即可． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， 故答案为：． 28．（23-24八年级上·北京延庆·期末）已知是无理数，且，写出一个满足条件的的值是______________． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，根据是无理数，且，得出，从而即可得出答案，准确进行估算是解此题的关键． 【详解】解： 是无理数，且， ， 满足条件的的值是（答案不唯一）． 29．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）如果，那么正整数m的值是________． 【答案】3 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，先估算出，即可确定出m的值． 【详解】解：∵，即， ∴， ∴正整数m的值是3， 故答案为：3． 30．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）要做一个面积为的正方形，它的边长的整数部分是__________，十分位是__________，百分位是__________，千分位是__________． 【答案】 4 1 2 3 【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算 【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“逼近法”是估算的一般方法，也是常用方法． 首先根据正方形的面积公式求出边长为，而，由此找到所求的无理数的各个数位上的数在哪两个和它接近的有理数之间，然后判断出所求的无理数的近似值即可． 【详解】解：根据正方形的面积公式，得， ，即a的整数部分是4； ， ∴，因此十分位是1； ∵， ∴，即百分位是2； ∵， ∴，故千分位是3． 故答案为：4；1；2；3． 31．（24-25七年级下·山东临沂·期中）任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，对81只需进行3次操作后变为1，那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ____ ． 【答案】255 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用． 根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴对255只需进行3次操作后变为1， 从后向前推，找到需要4次操作得到1的最小整数， ∵ ，，，， ∴对256只需进行4次操作后变为1， ∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255， 故答案为：255． 32．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段检测）观察：，即的整数部分为2，小数部分为．请你运用上述规律解决下面的问题： (1)规定用符号表示实数的整数部分，例如：，按此规定的值为_______； (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的值． 【答案】(1)4 (2) 【知识点】无理数整数部分的有关计算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】此题考查了无理数的估算． （1）先估算出，得到，根据定义即可得到答案； （2）先估算出的小数部分，的整数部分为，进一步计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4 （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为2， ∴的小数部分， ∵， ∴， ∴的整数部分为， ∴． 【考点4】近似数与科学记数法 · 四舍五入到哪一位，看该位的下一位确定进舍 · 科学记数法：|a| 在 1 到 10 之间，10 的指数为整数位数减 1 · 精确度：保留几位小数或精确到某一位，注意有效数字 · 较大数与较小数统一用科学记数法便于比较 33．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）2023年我国低空经济规模达到了5059.5亿元，预计到2035年有望达到3.5万亿元．近似数5059.5亿是精确到（   ） A．十分位 B．百分位 C．千万位 D．亿位 【答案】C 【知识点】求近似数的精确度 【分析】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． 根据近似数和精确度解答即可． 【详解】解：5059.5亿小数点后一位表示千万位，因此精确到千万位． 故选：C． 34．（23-24七年级上·陕西西安·期末）《年国民经济和社会发展统计公报》显示，我国全年国内生产总值突破百万亿元大关，达亿元，比上年增长，是全球唯一实现经济正增长的主要经济体．数据用科学记数法（精确到万亿）表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、求一个数的近似数 【分析】本题主要考查了科学记数法和求一个数的近似数，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：精确到万亿为， ， 故选：A． 35．（23-24七年级上·全国·单元测试）用四舍五入法取近似数，1.825精确到0.01的值为_____． 【答案】1.83 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查近似数．根据近似数的性质，把千分位上的数字进行四舍五入，即可得到答案． 【详解】解：1.825精确到0.01的值为1.83. 故答案为：1.83 ． 36．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）新年第一天，扬州市2024年元旦长跑主会场活动在运河三湾风景区举行，近万名市民参加了全程为迎新年长跑活动．将数字3158用精确到千位可表示为______． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、求一个数的近似数 【分析】此题考查科学记数法的表示方法以及近似数的精确度．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，确定，即可． 【详解】解：数字3158用精确到千位可表示为：， 故答案为： 37．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）把数精确到百位后的近似数是______（结果用科学记数法表示）． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、求一个数的近似数 【分析】本题考查近似数的表示和科学记数法的表示．熟悉近似数的表示方法和科学记数法的表示方法是解题的关键．首先把数精确到百位，找到原数的百位，再看十位，根据“四舍五入”得到近似数的数值，再用科学记数法表示即可． 【详解】解：∵的十位数字是， ∵， ∴精确到百位时舍去，得到， ∴用科学记数法表示为（保留到百位对应的数字）. 故答案为：． 38．（2023·山东泰安·模拟预测）近似数精确到______位，它有______个有效数字． 【答案】 万分 四 【知识点】求近似数的精确度 【详解】解：近似数精确到万分位，它有四个有效数字． 【考点5】实数的性质与数轴 · 实数与数轴上的点一一对应，数形结合理解大小关系 · 相反数、绝对值、倒数概念在实数范围内同样适用 · 数轴上两点距离为差的绝对值，坐标差求距离 · 利用数轴判断绝对值的化简：看点在原点哪侧 39．（22-23七年级上·山东滨州·期末）已知，b是49的平方根，且，则的值为（     ） A．2或12 B．2或 C．或12 D．或 【答案】D 【知识点】绝对值的几何意义、求一个数的平方根 【分析】本题考查了绝对值，求一个数的平方根． 先根据绝对值的定义得出，再根据平方根个定义得出，最后根据，得出，得出a和b的值，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵b是49的平方根， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或， 故选：D． 40．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）下列四个数中，负数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正负数的定义、有理数的乘方运算、求一个数的算术平方根 【分析】此题主要考查了有理数的乘方的运算方法，绝对值的求法、二次根式的性质，以及正数、负数的含义和判断．首先根据有理数的乘方的运算方法，绝对值的求法、二次根式的性质，求出每个选项的值各是多少；然后根据负数小于0，判断出四个数中是负数的是哪个即可． 【详解】解：A．∵， ∴是正数， ∴选项A不符合题意； B．∵，     ∴是正数， ∴选项B不符合题意； C．∵，     ∴是负数， ∴选项C符合题意； D．∵，     ∴是正数， ∴选项D不符合题意， 故选：C． 41．（25-26七年级下·天津津南·期末）的绝对值是_________；的相反数是_________． 【答案】 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值、实数的性质 【分析】根据绝对值和相反数的定义计算即可． 【详解】解：由题意得，的绝对值为； 的相反数为． 42．（24-25七年级下·广东阳江·期中）化简：___________． 【答案】 【知识点】实数的性质 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，绝对值表示数到原点的距离，总是非负的．负数的绝对值是它的相反数． 【详解】解：根据绝对值的定义，一个数的绝对值总是非负的．是负数，其绝对值为它的相反数，即． 故答案为：． 43．（25-26八年级上·全国·周测）如图，数轴上点C（弧线与数轴的交点）所表示的数是______． 【答案】 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理．先根据勾股定理求出圆弧半径，结合图形即可得到答案． 【详解】解：由勾股定理得，圆弧半径为， ∴数轴上点C所表示的数是． 故答案为：． 44．（24-25七年级上·河南信阳·期中）如图，数轴上从左到右依次有A、B、C、D四个点，A、B之间的距离为，B、C之间的距离为，B、D之间的距离为，将直径为1的圆形纸片按如图所示的方式放置在点A处，并沿数轴水平方向向右滚动． (1)若圆形纸片从点A处滚到点C处，恰好滚动了n（n为正整数）圈，则______（用含n的代数式表示），a是______（填“有理数”或“无理数”）； (2)若圆形纸片从点A处滚动1圈后，恰好到达点B处，求C、D之间的距离（结果保留π）； (3)若点A表示的数为π，圆形纸片从点A处滚动到点B、C、D处的圈数均为整数，其中圆形纸片从点A处滚动3圈后，恰好到达点C处，求点D表示的数． 【答案】(1)，无理数 (2)C、D之间的距离为 (3)点D表示的数为或 【知识点】数轴上两点之间的距离、无理数、实数与数轴 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，无理数，实数与数轴，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）表示圆的周长，再根据滚动的圈数得出滚动的距离即可得出答案； （2）圆形纸片从点A处滚动1圈到达点B处，可得，再得出，整体代入即可； （3）根据“圆形纸片从点A处滚动到点B、C、D处的圈数均为整数，且从点A处滚动到点C滚动3圈”，因此分两种情况进行解答，即为1圈，为2圈，或为2圈，为1圈． 【详解】（1）解：圆形纸片的直径为1，因此周长为，滚动n圈的距离为， 而， 所以， 即， 是无理数， 故答案为：，无理数； （2）解：圆形纸片从点A处滚动1圈到达点B处，所以有， 所以， 答：C、D之间的距离为； （3）解：由（2）得： ， 由于圆形纸片从点A处滚动到点B、C、D处的圈数均为整数，且从点A处滚动到点C滚动3圈， 因此有①当A、B的距离为时， 则B、C的距离为，C、D之间的距离为， 所以A、D之间的距离为， 又因为点A表示的数为， 所以点D所表示的数为， ②当A、B的距离为时， 则B、C的距离为，C、D之间的距离为， 所以A、D之间的距离为， 又因为点A表示的数为， 所以点D所表示的数为， 答：点D表示的数为或． 【考点6】非负性的综合应用 · 绝对值、平方、算术平方根三者都具有非负性 · 几个非负数的和为 0，则每个非负数都为 0，列方程组求字母 · 含根式分式有意义的双重条件：被开方数非负且分母不为 0 · 非负性常用于求代数式的值与取值范围 45．（21-22八年级上·江苏扬州·期末）已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是（   ）． A． B． C．或 D．以上答案均不对 【答案】C 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】先根据非负数的性质求出和的值，再根据或为腰长进行分类讨论，结合三角形的基本性质判断结果即可． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴，且， ∴，， 当等腰三角形的腰长为时，则该三角形的三边长为，，， ∵， ∴存在这样的等腰三角形，符合题意， ∴三角形的周长为； 当等腰三角形的腰长为时，则该三角形的三边长为，，， ∵， ∴存在这样的等腰三角形，符合题意， ∴三角形的周长为； 综上所述，等腰三角形的周长为或． 46．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知，则________． 【答案】/ 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、负整数指数幂 【分析】本题主要考查了代数式求值，算术平方根的非负性，根据得出，求出，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 47．（25-26七年级下·北京·期末）已知的三边长，，满足且为奇数．则___________ 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查算术平方根的非负性，有理数的乘方，三角形的三边关系；根据非负数的性质求出a和b的值，再根据三角形三边关系求出c的取值范围，结合c为奇数确定c的值. 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，． ∴，即， 又∵为奇数， ∴． 故答案为：3. 48．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）若，则的值为______． 【答案】6 【知识点】绝对值非负性、求一个数的算术平方根、利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了非负数的性质，算术平方根，掌握非负数的意义和性质是正确解答的关键．利用非负数的性质得出的值，代入计算得出答案． 【详解】解：， ，， 解得：，， ， 故答案为：． 49．（21-22七年级下·江苏盐城·期末）已知：，则_________． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算、利用算术平方根的非负性解题 【分析】根据非负数的性质得，再代入计算即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 所以，． 50．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知与互为相反数，求的值． 【答案】1 【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算、利用算术平方根的非负性解题、加减消元法 【分析】此题考查了解二元一次方程组，非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据互为相反数两数之和为0及非负数的性质列出方程组，求出，代入计算即可． 【详解】解：与互为相反数， ， ， 则． 故答案为：1． 51．（23-24六年级下·山东威海·期中）已知，求代数式的值． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了非负数的性质，积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，负整数指数幂，先根据非负数的性质求出，，进而得到，再把原式变形为，再代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ ． 【考点7】利用平方根与立方根解方程 · x2=a（a≥0）型：两边开平方得 x=± · x3=a 型：两边开立方得 x=∛a · 先整理成标准形式再开方，注意平方根取 ±、立方根唯一 · 解出的值代入验证，排除不合题意的根 52．（23-24七年级下·福建莆田·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题考查了根据平方根的定义解方程，先移项，然后根据平方根的定义，解方程，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 解得：， 故选：D． 53．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）解下列方程： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查平方根和立方根的性质，熟练掌握平方根和立方根的性质是解答本题的关键． （1）先移项，然后系数化1，再方程两边同时开方即可； （2）方程移项后，两边同除以2，再开立方得一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴； （2）解： ∴ 54．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题考查立方根和平方根，熟知立方根和平方根的定义是解答的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴或； （2）解：， ， ， ∴ 55．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或5 (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题考查了平方根、立方根的定义，准确计算是解题的关键． （1）整理后运用直接开平方求解即可； （2）整理后方程两边直接开立方即可得到方程的解． 【详解】（1） ∴ 解得或5； （2） 解得． 56．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）求下列各等式中的实数． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【知识点】利用平方根解方程、立方根的实际应用 【分析】本题主要考查了平方根和立方根的应用，熟练掌握相关定义是解题的关键． （1）先移项，再开平方即可； （2）直接开立方即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 开平方得：， 解得：，； （2）解：， 开立方得：， 解得：． 57．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】此题主要考查了平方根与立方根，掌握其定义是解题关键． （1）先移项，然后利用平方根定义求解即可． （2）先变形为，然后利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， ， ∴； （2）解：， ， ， ∴． 58．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）解决下列问题： (1)已知：，求x的值； (2)计算：． 【答案】(1)， (2)3 【知识点】求一个数的算术平方根、利用平方根解方程、求一个数的立方根、实数的混合运算 【分析】本题考查了利用平方根的方法解方程，实数的混合运算，涉及算术平方根的求解，立方根的求解等知识，熟练掌握相关运算方法为解题关键． （1）利用平方根的方法解方程即可； （2）先算乘方，算术平方根，立方根，再算加减法即可． 【详解】（1）解：， ， ，； （2）解： ． 59．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）求的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题考查了平方根和立方根、解一元一次方程和一元二次方程等知识，正确理解平方根和立方根的含义是解题的关键． （1）根据平方根的定义可直接得出答案； （2）由立方根的定义和解一元一次方程可得答案． 【详解】（1）解： 或 （2） 60．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）求下列各式中的： (1)； (2)． 【答案】(1)或； (2)． 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】（）根据平方根的概念解方程即可； （）根据立方根的概念解方程即可； 本题考查了平方根和立方根的概念，正确理解平方根和立方根的概念是解题的关键． 【详解】（1）解： 或 ∴或； （2）解： ∴． 【考点8】实数的混合运算 · 按顺序：先乘方开方，再乘除，后加减，有括号先算括号 · 含绝对值先去掉绝对值符号，含根式先化简 · 乘方运算注意符号：负数的偶次幂为正、奇次幂为负 · 结果通常保留最简形式，分母有理化避免根号在分母 61．（23-24七年级下·安徽六安·阶段检测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了算术平方根，立方根的定义和绝对值的化简，根据算术平方根，立方根的定义和绝对值的化简进行逐项判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 62．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算___________． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数的混合运算 【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据算术平方根定义和平方根定义进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 63．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的乘方运算、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数的混合运算、零指数幂 【分析】（1）根据乘方的定义、算术平方根的定义、立方根的定义、指数幂的运算法则把算式化简，再根据有理数的加法法则计算； （2）根据立方根的定义、绝对值的定义、乘方的定义把算式化简，再根据运算法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 64．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查实数的运算，特殊锐角三角函数值，立方根，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用特殊锐角三角函数值，立方根的定义计算即可； （2）利用特殊锐角三角函数值，二次根式的性质计算即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 【考点9】算术平方根的应用与规律探索 · 实际问题（面积开方、图形拼接）先列式再开方求解 · 规律探索题先写出前几项观察，再用含 n 的式子归纳 · 图形类规律常结合勾股定理与面积关系递推 · 验证归纳结果，代入具体数值检验 65．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，由七排小正方形（每个小正方形的边长为1）拼成一个图案．将原图案中所有的小正方形重拼成两个正方形，则其中较大的正方形边长为________． 【答案】 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是运用面积去估算边长．根据题图可知，原图案面积为，设重拼后较小的正方形边长为，较大的正方形边长为，根据原图案和重拼后的图案面积相等可得，根据，且、均为整数进行判断，由此即可得解． 【详解】解：观察图形可知，共有个小正方形， 每个小正方形的边长为， 原图案面积为， 设重拼后较小的正方形边长为，较大的正方形边长为，其中，且、均为整数， 则有：， 当时，，则有，不是整数，故此情况不满足题意，故舍去； 当时，，则有，不是整数，故此情况不满足题意，故舍去； 当时，，则有，是整数，故此情况满足题意； 当时，，则有，故此情况不满足题意，故舍去； 综上，较大的正方形边长为． 故答案为：． 66．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律，第8行第6个数是_________． 【答案】 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】根据数阵中数字的特点总结规律求解即可． 【详解】解：由数阵可得，整个数阵从每一行左起第一个数开始，从左到右，从上到下，是连续的正整数的算术平方根， 且第1行的第1个数是1的算术平方根，而， 第2行的第1个数是3的算术平方根，而， 第3行的第1个数是7的算术平方根，而， 第4行的第1个数是13的算术平方根，而， …… 第8行的第1个数是的算术平方根，即， 第6个数是的算术平方根，即． 67．（25-26七年级下·青海西宁·期中）已知，，则______；已知，，则______． 【答案】 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、与立方根有关的规律探索 【分析】算术平方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位． 立方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位． 【详解】解：； ． 68．（25-26七年级下·江苏南通·期中）将一棱长为正方体铁块完全浸入圆柱体玻璃杯的水中，水位升高了，则圆柱体玻璃杯的底面半径是__________． 【答案】 /6厘米 【知识点】算术平方根的实际应用、 圆柱的体积 【分析】根据题意可知，正方体铁块的体积等于水位上升部分的圆柱体体积，利用正方体体积公式和圆柱体体积公式列方程求解即可得到底面半径． 【详解】解：设圆柱体玻璃杯的底面半径为. 由正方体体积公式可得，正方体铁块的体积为： . 水位上升部分水的形状为圆柱体，由圆柱体体积公式可得，上升部分水的体积为： . 根据题意可得方程： 化简方程得： ∴ 因为圆的半径为正数，因此． 69．（25-26八年级上·江苏南京·期中）清朝康熙皇帝在《积求勾股法》一文中，对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S，第一步：；第二步：；第三步：分别用3、4、5乘k，得三边长”． (1)若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍．当面积等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长； (2)若直角三角形的三边长分别为a、b、c（）的k倍．若面积为S，则________． 【答案】(1)直角三角形的三边长为15，20，25； (2) 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查了算术平方根的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据题意，先求出的值，再得出的值，即可解答； （2）设直角三角形的三边长分别为，，，利用三角形的面积公式得出，则有． 【详解】（1）解：当面积S等于150时， 第一步：， 第二步：， 第三步：直角三角形的三边长分别为，，， 直角三角形的三边长为15，20，25； （2）解：设直角三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴， ∴直角三角形的面积， ∴， ∴， 故答案为：． 70．（25-26七年级上·北京·期中）动画电影《哪吒闹海》中，哪吒在镇压妖的时候使用的是“混天绫”，假设用“混天绫”恰好能围成一个面积为25m2的正方形“封妖阵”，后因妖怪反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【答案】(1)20m (2)能，理由： 设宽为，则长为． 可得：， 解得：（因为长度为正，舍去负根）， 长为：， ， ． 答：混天绫长度足够完成新阵法． 【知识点】算术平方根的实际应用、列代数式、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了正方形和长方形的周长与面积计算，解题的关键是根据面积公式求出边长（长、宽），再计算周长． （1）先由正方形面积求出边长，再计算正方形周长得到“混天绫”总长度； （2）设长方形宽为，根据长与宽的比表示出长，结合面积求出长和宽，计算长方形周长，与“混天绫”长度比较判断是否足够． 【详解】（1）解：因为， 所以正方形的边长为． 所以正方形的周长为． 答：混天绫的总长度是． （2）略 💯 课后巩固 复习建议 · 平方根有两个、算术平方根取非负、立方根唯一，三者切勿混淆 · 判断无理数先化简，π 与开方开不尽的根式是重点 · 比较实数大小首选平方比较与夹逼估算 · 解方程开平方记得 ±，开立方直接取 · 绝对值、平方、算术平方根的非负性常用来列方程求字母 【作业1】．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）下列四个实数中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数、实数的分类 【分析】本题考查实数的分类，根据无理数的定义（无限不循环小数）逐项判断即可． 【详解】解：A.是分数，属于有理数，不符合题意； B.是整数，属于有理数，不符合题意； C.是有限小数，属于有理数，不符合题意； D.是无限不循环小数，属于无理数，符合题意． 故选：D． 【作业2】．（2025·河北·一模）下列各数中，比小的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【详解】解：A．，，，，，故不符合题意； B．，，，，故符合题意； C．，，， ，故不符合题意； D．, ，，，故不符合题意； 故选：B． 【作业3】．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）2023年我国低空经济规模达到了5059.5亿元，预计到2035年有望达到3.5万亿元．近似数5059.5亿是精确到（   ） A．十分位 B．百分位 C．千万位 D．亿位 【答案】C 【知识点】求近似数的精确度 【分析】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． 根据近似数和精确度解答即可． 【详解】解：5059.5亿小数点后一位表示千万位，因此精确到千万位． 故选：C． 【作业4】．（23-24七年级下·安徽六安·阶段检测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了算术平方根，立方根的定义和绝对值的化简，根据算术平方根，立方根的定义和绝对值的化简进行逐项判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 【作业5】．（24-25八年级上·广东河源·期中）已知，则的小数部分是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了无理数的估算，由，可得，即可得的整数部分是，进而即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∴的整数部分是， ∴的小数部分是， 故选：． 【作业6】．（23-24七年级上·全国·单元测试）用四舍五入法取近似数，1.825精确到0.01的值为_____． 【答案】1.83 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查近似数．根据近似数的性质，把千分位上的数字进行四舍五入，即可得到答案． 【详解】解：1.825精确到0.01的值为1.83. 故答案为：1.83 ． 【作业7】．（25-26七年级下·天津津南·期末）的绝对值是_________；的相反数是_________． 【答案】 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值、实数的性质 【分析】根据绝对值和相反数的定义计算即可． 【详解】解：由题意得，的绝对值为； 的相反数为． 【作业8】．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）新年第一天，扬州市2024年元旦长跑主会场活动在运河三湾风景区举行，近万名市民参加了全程为迎新年长跑活动．将数字3158用精确到千位可表示为______． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、求一个数的近似数 【分析】此题考查科学记数法的表示方法以及近似数的精确度．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，确定，即可． 【详解】解：数字3158用精确到千位可表示为：， 故答案为： 【作业9】．（23-24八年级上·北京延庆·期末）已知是无理数，且，写出一个满足条件的的值是______________． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，根据是无理数，且，得出，从而即可得出答案，准确进行估算是解此题的关键． 【详解】解： 是无理数，且， ， 满足条件的的值是（答案不唯一）． 【作业10】．（25-26八年级上·江苏南京·期末）_____；____ 【答案】 3 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查立方根运算和算术平方根运算，分别根据立方根的定义和算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】解：； ． 故答案为：；3． 【作业11】．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）如果，那么正整数m的值是________． 【答案】3 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，先估算出，即可确定出m的值． 【详解】解：∵，即， ∴， ∴正整数m的值是3， 故答案为：3． 【作业12】．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）一个正数a的两个不同的平方根分别是和，则的立方根为________． 【答案】2 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的立方根 【分析】本题考查了平方根的性质及立方根的计算，根据平方根的性质，正数的两个平方根互为相反数，列方程求解x，再求a，进而计算的立方根． 【详解】解：由题意知，一个正数的两个平方根互为相反数， ∴，即，解得， 则一个平方根为， ∴， ∴，8的立方根为2， 故答案为：2． 【作业13】．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）已知的算术平方根是2，的立方根是1． (1)求和的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查算术平方根、平方根和立方根的定义、解一元一次方程，理解定义，正确求解是解答的关键，注意正数的平方根有两个，它们互为相反数． （1）根据算术平方根和立方根的定义得到，，即可求解； （2）将（1）中求解的代入代数式求值，再求解平方根即可． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是2，的立方根是1． ∴，， 解得； （2）解：∵， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 【作业14】．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）解下列方程： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查平方根和立方根的性质，熟练掌握平方根和立方根的性质是解答本题的关键． （1）先移项，然后系数化1，再方程两边同时开方即可； （2）方程移项后，两边同除以2，再开立方得一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴； （2）解： ∴ 【作业15】．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）求下列各等式中的实数． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【知识点】利用平方根解方程、立方根的实际应用 【分析】本题主要考查了平方根和立方根的应用，熟练掌握相关定义是解题的关键． （1）先移项，再开平方即可； （2）直接开立方即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 开平方得：， 解得：，； （2）解：， 开立方得：， 解得：． 【作业16】．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的乘方运算、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数的混合运算、零指数幂 【分析】（1）根据乘方的定义、算术平方根的定义、立方根的定义、指数幂的运算法则把算式化简，再根据有理数的加法法则计算； （2）根据立方根的定义、绝对值的定义、乘方的定义把算式化简，再根据运算法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【作业17】．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）解决下列问题： (1)已知：，求x的值； (2)计算：． 【答案】(1)， (2)3 【知识点】求一个数的算术平方根、利用平方根解方程、求一个数的立方根、实数的混合运算 【分析】本题考查了利用平方根的方法解方程，实数的混合运算，涉及算术平方根的求解，立方根的求解等知识，熟练掌握相关运算方法为解题关键． （1）利用平方根的方法解方程即可； （2）先算乘方，算术平方根，立方根，再算加减法即可． 【详解】（1）解：， ， ，； （2）解： ． 【作业18】．（24-25七年级上·河南信阳·期中）如图，数轴上从左到右依次有A、B、C、D四个点，A、B之间的距离为，B、C之间的距离为，B、D之间的距离为，将直径为1的圆形纸片按如图所示的方式放置在点A处，并沿数轴水平方向向右滚动． (1)若圆形纸片从点A处滚到点C处，恰好滚动了n（n为正整数）圈，则______（用含n的代数式表示），a是______（填“有理数”或“无理数”）； (2)若圆形纸片从点A处滚动1圈后，恰好到达点B处，求C、D之间的距离（结果保留π）； (3)若点A表示的数为π，圆形纸片从点A处滚动到点B、C、D处的圈数均为整数，其中圆形纸片从点A处滚动3圈后，恰好到达点C处，求点D表示的数． 【答案】(1)，无理数 (2)C、D之间的距离为 (3)点D表示的数为或 【知识点】数轴上两点之间的距离、无理数、实数与数轴 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，无理数，实数与数轴，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）表示圆的周长，再根据滚动的圈数得出滚动的距离即可得出答案； （2）圆形纸片从点A处滚动1圈到达点B处，可得，再得出，整体代入即可； （3）根据“圆形纸片从点A处滚动到点B、C、D处的圈数均为整数，且从点A处滚动到点C滚动3圈”，因此分两种情况进行解答，即为1圈，为2圈，或为2圈，为1圈． 【详解】（1）解：圆形纸片的直径为1，因此周长为，滚动n圈的距离为， 而， 所以， 即， 是无理数， 故答案为：，无理数； （2）解：圆形纸片从点A处滚动1圈到达点B处，所以有， 所以， 答：C、D之间的距离为； （3）解：由（2）得： ， 由于圆形纸片从点A处滚动到点B、C、D处的圈数均为整数，且从点A处滚动到点C滚动3圈， 因此有①当A、B的距离为时， 则B、C的距离为，C、D之间的距离为， 所以A、D之间的距离为， 又因为点A表示的数为， 所以点D所表示的数为， ②当A、B的距离为时， 则B、C的距离为，C、D之间的距离为， 所以A、D之间的距离为， 又因为点A表示的数为， 所以点D所表示的数为， 答：点D表示的数为或． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $