解析几何单元综合训练（拔高篇）-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

高二解析几何（拔高篇） 范围：直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线　·　满分 150 分　·　建议用时 120 分钟 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．直线 ，，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上运动，以 为直径作圆，则下列直线中始终与该圆相切的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．点 到直线 （）的最大距离是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 4．设 ， 为椭圆 的两个焦点， 为 上一点且在第一象限，若 为等腰三角形，则 的面积为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 5．设直线 ，圆 ，若在直线 上存在一点 ，使得过 的圆 的切线 ，（， 为切点）满足 ，则 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 6．已知点 为圆 上任意一点，过点 分别向直线 和 作垂线，垂足分别为 ，，则 的最大值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 7．已知 ，若过定点 的动直线 和过定点 的动直线 交于点 （ 与 ， 不重合），则下列说法错误的是（　　） A． B． 为定值 C． 的最大值为 D． 的最大值为 8．已知双曲线 （，）的左焦点为 ，过 的直线与 的左支交于 、 两点，且 ，则 的离心率为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分．） 9．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，，， 是 上的两个动点，则下列结论正确的是（　　） A．存在点 ，使得 B．若 ，则 的面积为 C．记 的上顶点为 ，若 轴，则直线 与 的斜率之积为 D．若 是圆 上任一点，则 的最小值为 10．随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用。已知双曲线 （，）的左、右焦点分别为 ，，双曲线的光学性质是：从右焦点 发出的光线 交双曲线右支于点 ，经双曲线反射后，反射光线 的反向延长线过左焦点 。由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角。若右焦点 到一条渐近线的距离为 ，且双曲线 的渐近线为 ，则下列结论正确的是（　　） A．双曲线 的方程为 B． 的最小值为 C．若 ，则 的面积为 D．当 过点 时，光由 经 到 所经过的路径长为 11．已知函数 ，则（　　） A． 的最小值为 B． 的最小值为 C． 有 个最小值点 D． 仅有 个最小值点 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．） 12．正方形 的四个顶点都在椭圆 （）上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是________． 13．已知点 ，，动点 满足 ，则 的取值范围为________． 14．在平面直角坐标系 中，已知抛物线 （）的焦点为 ， 是抛物线 上位于第一象限内的任意一点， 是线段 上的点，且满足 ，则直线 的斜率的最大值为________． 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知直线 （）过 的顶点 ， 边上的中线 所在直线的方程为 ， 的平分线 所在直线的方程为 ． （1）求点 的坐标； （2）求直线 的方程和点 的坐标； （3）求 的面积． 16．已知直线 （），圆 ． （1）证明：无论 取何值，直线 均与圆 相交； （2）已知 、 是圆 的两条相互垂直的弦，且垂足为 ，求四边形 的面积的最大值． 17．已知双曲线 （，）的渐近线方程为 ，且其焦距为 ． （1）求双曲线 的方程； （2）若直线 （）与双曲线 交于不同的两点 、，且在由点 、 与 构成的三角形中，，求实数 的取值范围． 18．设抛物线 （）的焦点为 ，过点 的动直线 交抛物线 于 、 两点，点 ．当直线 垂直于 轴时，． （1）求抛物线 的标准方程； （2）求 的面积的最小值； （3）若直线 平分 ，求直线 的斜率． 19．已知椭圆 （）的长轴长为 ，离心率为 ． （1）求椭圆 的方程； （2）已知椭圆 （）上点 处的切线方程为 ．在直线 上任取一点 ，引椭圆 的两条切线，切点分别是 、． ① 求证：直线 恒过定点 ； ② 是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二解析几何（拔高篇） 范围：直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线　·　教师版（含答案与解析、难度标注） 答案速查 单选：1．A　2．B　3．D　4．C　5．C　6．A　7．C　8．A 多选：9．AC　10．AC　11．BC 填空：12．　13．　14． 解答：15．(1) 　(2) ，　(3) ；16．(2) ；17．(1) 　(2) ；18．(1) 　(2) 　(3) ；19．(1) 　(2)① 　② 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．直线 ，，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A　【难度】易 解析：两直线平行等价于 且不重合，即 ，解得 或 （常数项 ，不会重合）。 检验： 时，，，平行； 时，， 即 ，平行。故 等价于 。 由 可推出两直线平行；反之平行时 也可为 。故“”是“”的充分不必要条件，选 A。 2．已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上运动，以 为直径作圆，则下列直线中始终与该圆相切的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B　【难度】易 解析：焦点 ，准线 。设 ，以 为直径的圆的圆心为 ，半径 。 由焦半径公式 ，故 ，恰好等于圆心到直线 的距离，所以该圆始终与 轴（）相切，选 B。 【易错/注】易错：凭直觉误选准线 ；实际上以焦点弦为直径的圆与“过顶点垂直于对称轴的直线”相切。 3．点 到直线 （）的最大距离是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D　【难度】易 解析：将 的方程按 整理：，故 恒过两直线 与 的交点，联立解得定点 。 直线 绕 旋转，点 到 的距离不超过 ，且当 时取等号。，选 D。 【易错/注】关键：含参直线用“直线系过定点”处理，最大距离即定点与该点的距离。 4．设 ， 为椭圆 的两个焦点， 为 上一点且在第一象限，若 为等腰三角形，则 的面积为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C　【难度】中 解析：，，，，，，。 在第一象限，排除 （此时 ）。若 ，则 ，两圆弧交点横坐标 ，不在第一象限，舍去。 故 ，。由 与 相减得 ，，进而 ，。 ，选 C。 【易错/注】易错：等腰三角形要按“哪两条边相等”分类讨论，并用“第一象限”舍解。 5．设直线 ，圆 ，若在直线 上存在一点 ，使得过 的圆 的切线 ，（， 为切点）满足 ，则 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C　【难度】中 解析：圆心 ，半径 。 时，由对称性 ，在直角三角形 中 。 于是“ 上存在点 使 ”等价于“圆心 到 的距离 ”：，即 。 解得 ，选 C。 【易错/注】易错：把 误算为 ；应由切线长与 特殊角得 。 6．已知点 为圆 上任意一点，过点 分别向直线 和 作垂线，垂足分别为 ，，则 的最大值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A　【难度】较难 解析： 过定点 ； 也过 ；两直线法向量 与 的数量积为 ，故 且都过 。 以 为原点、、 为两坐标轴建立新坐标系，设 的新坐标为 ，则 ，，。 圆 ，圆心 ，半径 ，，故 ，，选 A。 【易错/注】取等需要 最大且 与两垂线均成 （当 时可同时成立）；常规解法只要求出上界 18 即可作答。 7．已知 ，若过定点 的动直线 和过定点 的动直线 交于点 （ 与 ， 不重合），则下列说法错误的是（　　） A． B． 为定值 C． 的最大值为 D． 的最大值为 【答案】C　【难度】较难 解析： 恒过 ； 恒过 。，A 正确。 两直线法向量 与 数量积为 ，故 恒成立，， 在以 为直径的圆上（不含 、）。 此时 为定值，B 正确；，C 错误（应为 ）。 ，且以 为直径的圆与 的垂直平分线的交点满足 ，可取等号，D 正确。选 C。 【易错/注】模型：两互相垂直的动直线交点轨迹是以定线段为直径的圆（挖去端点）。 8．已知双曲线 （，）的左焦点为 ，过 的直线与 的左支交于 、 两点，且 ，则 的离心率为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A　【难度】较难 解析：设 ，则 ，。左支上的点满足 ，故 ，，且 。 直线过 与左支交于两点时 在 、 之间，故 ，两角余弦互为相反数。 余弦定理：，。 由两式之和为 得 ，即 ，，，，选 A。 【易错/注】易错：左支上应为 （右焦点减左焦点），不要与椭圆混淆；B 选项 可直接排除。 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分．） 9．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，，， 是 上的两个动点，则下列结论正确的是（　　） A．存在点 ，使得 B．若 ，则 的面积为 C．记 的上顶点为 ，若 轴，则直线 与 的斜率之积为 D．若 是圆 上任一点，则 的最小值为 【答案】AC　【难度】中 解析：，，。 A： 等价于 在圆 上。与椭圆联立解得 ，，点 存在，A 正确。 B：由焦点三角形面积公式 ，B 错误。 C：设 ，，上顶点 ，则 。由 得斜率之积为 ，C 正确。 D：记圆心 ，半径 。，故 ，当 （在椭圆上）且 取线段 上相应点时取等号，最小值为 ，D 错误。故选 AC。 10．随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用。已知双曲线 （，）的左、右焦点分别为 ，，双曲线的光学性质是：从右焦点 发出的光线 交双曲线右支于点 ，经双曲线反射后，反射光线 的反向延长线过左焦点 。由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角。若右焦点 到一条渐近线的距离为 ，且双曲线 的渐近线为 ，则下列结论正确的是（　　） A．双曲线 的方程为 B． 的最小值为 C．若 ，则 的面积为 D．当 过点 时，光由 经 到 所经过的路径长为 【答案】AC　【难度】较难 解析：由渐近线 得 ；右焦点 到渐近线 的距离为 ，故 ，，，，A 正确。 B： 在右支上， 在顶点处取得最小值 ，不是 ，B 错误。 C：切线平分夹角， 时切线与两光线各成 ，故 。此时 ，又 ，两式联立得 ，，C 正确。 D：反射光线 沿 方向延长， 在 上时 、、 依次共线，。路径长 ，D 错误。故选 AC。 【易错/注】D 的符号是易错点：路径长 ，不是 。 11．已知函数 ，则（　　） A． 的最小值为 B． 的最小值为 C． 有 个最小值点 D． 仅有 个最小值点 【答案】BC　【难度】难 解析：注意到被开方式可以配方：（展开即可验证）。 记点 ，则 ，于是 。 由 ，得 ，当且仅当 且 时取等号。 由 得 或 ，此时 或 ，均满足 。故最小值为 ，最小值点有两个（ 与 ），选 BC。 【易错/注】关键：将根号内四次式拆成两个平方式之和，构造距离，再用“”放缩。 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．） 12．正方形 的四个顶点都在椭圆 （）上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是________． 【答案】　【难度】中 解析：由对称性，设正方形四个顶点为 （），代入椭圆得 ，即 。 焦点 在正方形内部等价于 ，平方并整理：。 代入 得 ，即 。同除 得 。 解得 （另一根 舍去），即 ，故 。 13．已知点 ，，动点 满足 ，则 的取值范围为________． 【答案】　【难度】中 解析：设 ，由 得 ，整理得 ，圆心 ，半径 。 表示 与定点 连线的斜率。 ， 在圆外。设直线 与 的夹角为 ，则 ，。 直线 的斜率为 （倾角 ），故所求斜率范围为 ，即 （切点处取等号，端点可取）。 【易错/注】模型：阿波罗尼斯圆＋过圆外定点的直线斜率范围（相切为边界）。 14．在平面直角坐标系 中，已知抛物线 （）的焦点为 ， 是抛物线 上位于第一象限内的任意一点， 是线段 上的点，且满足 ，则直线 的斜率的最大值为________． 【答案】　【难度】较难 解析：由 知 在线段 上靠近 的三等分点处。设 （，），，则 ，。 令 ，由 得 ，故 。 由基本不等式 ，得 。 当 即 时取等号，故直线 斜率的最大值为 。 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知直线 （）过 的顶点 ， 边上的中线 所在直线的方程为 ， 的平分线 所在直线的方程为 ． （1）求点 的坐标； （2）求直线 的方程和点 的坐标； （3）求 的面积． 【答案】（1）；（2），；（3）　【难度】易 解析：（1） 的方程可化为 ，对任意 恒成立，故 恒过 且 的交点，即 。 （2）因 平分 ，点 在 上，且 与 关于 对称。设 ， 的中点 在 上，代入得 ，解得 ，故 。 点 关于 的对称点为 ， 过 与 ，斜率 ，故 ，即 。 联立 与 ，解得 。 （3）；直线 ，点 到 的距离 。 故 。 【易错/注】模型：角平分线⇔对称（ 关于 的对称点落在 上）；中线⇔中点在 上。 16．已知直线 （），圆 ． （1）证明：无论 取何值，直线 均与圆 相交； （2）已知 、 是圆 的两条相互垂直的弦，且垂足为 ，求四边形 的面积的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）最大值为 　【难度】中 解析：（1） 的方程可化为 ，恒过定点 。，即 在圆 内部，过圆内一点的直线必与圆相交，故无论 取何值， 与圆 恒相交。 （2）设圆心 到 、 的距离分别为 、。因 且交于 ，由勾股关系 。 弦长 ，，且对角互相垂直，故 。 展开：。由 ，得 。 当 （即 、 均与 成 角）时取等号，故四边形 面积的最大值为 。 【易错/注】易错： 这一垂直关系不要漏；、 是弦心距，不是 。 17．已知双曲线 （，）的渐近线方程为 ，且其焦距为 ． （1）求双曲线 的方程； （2）若直线 （）与双曲线 交于不同的两点 、，且在由点 、 与 构成的三角形中，，求实数 的取值范围． 【答案】（1）；（2）　【难度】较难 解析：（1）由渐近线得 ，即 ；由焦距 得 。由 得 ，，故 。 （2）联立 与 ，消去 得 。交于不同两点需 且 。 设 ，，弦 的中点为 ，则 ，。 由 得 ，即 在线段 的垂直平分线上，故 。代入 、 并整理：，得 。 由 得 （ 排除 ，已含）；判别式 ，得 或 。 综上， 的取值范围是 。 【易错/注】易错：只列 而遗漏 与 ，会多出 、 等增解。 18．设抛物线 （）的焦点为 ，过点 的动直线 交抛物线 于 、 两点，点 ．当直线 垂直于 轴时，． （1）求抛物线 的标准方程； （2）求 的面积的最小值； （3）若直线 平分 ，求直线 的斜率． 【答案】（1）；（2）最小值为 ；（3）　【难度】难 解析：（1） 轴时 的横坐标为 。由焦半径公式 ，得 ，故 。 （2）此时 ，，。设 ，，则 。设 （含 轴即 ），代入得 ，故 ，。 ，当 （即 轴）时取等号，故 面积的最小值为 。 （3） 的平分线方向等于两单位向量之和：，，故单位向量 ，同理写出 （ 换 ）。 记 ，两单位向量之和的横分量 ；纵分量 （其中 ）。 由 且 平分 ，得两单位向量之和与 共线：，即 。又 ，故 ，直线 的斜率为 。 【易错/注】易错：第(2)问设 才能涵盖垂直 轴的情形；第(3)问“平分角”用单位向量之和的方向刻画，比角平分线定理计算量小。 19．已知椭圆 （）的长轴长为 ，离心率为 ． （1）求椭圆 的方程； （2）已知椭圆 （）上点 处的切线方程为 ．在直线 上任取一点 ，引椭圆 的两条切线，切点分别是 、． ① 求证：直线 恒过定点 ； ② 是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）① 过定点 ；② 存在，　【难度】难 解析：（1） 得 ；由 得 ，，故 。 （2）① 设 ，切点 。过 的切线 过点 ，代入得 ；同理对切点 有 。故 、 都在直线 上，即 ，恒过定点 （恰为右焦点）。 ② 联立 与 ，整理得 ，故 ，。 由①知 ，故 ，同理 。 于是 ，。 而 。 故 ，与 无关。故存在实数 。 【易错/注】模型：切点弦（极线）——把“切线过 ”反着读成“ 在切线上”，两个切点同时满足一条直线方程。 学科网（北京）股份有限公司 $