第二章 圆锥曲线-【突破课堂】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步单元达标检测卷（北师大版）

高中同步达标检测卷

第二章　圆锥曲线

(全卷满分150分　考试用时120分钟)

一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知抛物线x2=4y的焦点为F,点M在抛物线上,且|MF|=3,则点M到y轴的距离为(　　)

A.2 B.2 C.2 D.1

2.已知椭圆C:+y2=1,则“m=2”是“椭圆C的离心率为”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.已知双曲线过点(-2,0),且与椭圆4x2+9y2=36有公共焦点,则双曲线的标准方程是(　　)

A.-x2=1 B.-y2=1

C.x2-=1 D.y2-=1

4.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,P是C上位于第一象限的点,且|PF|=3,直线l过点P,当原点O到l的距离最大时,l的方程为(　　)

A.2x-y-3=0            B.2x+y-5=0

C.x-y-2=0 D.x+y-6=0

5.曲线|y|=x+2与曲线C:=1恰有两个不同的交点,则实数λ的取值范围为(　　)

A.[-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1]∪(1,+∞)

C.(1,+∞)             D.(-∞,-1]

6.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过点F且斜率为的直线l'与抛物线C交于点M(M在x轴的上方),过M作MN⊥l于点N,连接NF交抛物线C于点Q,则=(　　)

A. B.

C.3  D.2

7.设双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F,双曲线C上的两点A,B关于原点对称,且满足·=0,|FB|<|FA|≤3|FB|,则C的离心率的取值范围是(　　)

A. B.[,+∞)

C. D.(,+∞)

8.已知椭圆具有如下性质:若椭圆的方程为=1(a>b>0),则椭圆上一点A(x0,y0)处的切线方程为=1.试运用该性质解决以下问题:椭圆C1:=1(a>b>0),其焦距为2,且过点,B为C1在第一象限内的任意一点,过B作C1的切线l,l分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于点C,D,O为坐标原点,则△OCD面积的最小值为(　　)

A. B. C. D.2

二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)

9.对任意的θ,方程(sin θ)x2+(cos θ)y2=1所表示的曲线可能为　(　　)

A.双曲线 B.抛物线 C.椭圆 D.圆

10.已知F为双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点,过F的直线l与圆O:x2+y2=a2相切于点M,l与C及其渐近线在第二象限的交点分别为P,Q,则(　　)

A.|MF|=b

B.直线OM与C相交

C.若|MF|=|QF|,则C的渐近线方程为y=±2x

D.若|MF|=|PF|,则C的离心率为

11.数学中有许多形状优美的曲线,如图,曲线E:x2+(y-|x|)2=1与x轴交于A,B两点,与y轴交于C,D两点,点P是曲线E上的一个动点,则(　　)

A.点(1,2)在曲线E上

B.△PAB面积的最大值为1

C.曲线E恰好经过3个整点(即横、纵坐标均为整数的点)

D.|PC|+|PD|≤2

三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)

12.设F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆C于M,N两点,若,且cos∠MNF2=,则cos∠MF2N=　　　　. 

13.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过F的直线l与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,若△AOF的面积是△BOF面积的2倍,则|AB|=　　　　. 

14.定义两个点集S,T之间的距离集为d(S,T)={|PQ||P∈S,Q∈T},其中|PQ|表示P,Q两点之间的距离.已知m,t∈R,在平面直角坐标系xOy中,点集S={(x,y)|(x-)2+(y-a)2=1,a∈R},T={(x,y)|x+my-t=0},若d(S,T)=(0,+∞),则t的值为　　　　. 

四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(13分)已知双曲线C的中心为坐标原点O,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点A(2,0).

(1)求C的标准方程;

(2)过点A作一条直线与C的一条渐近线垂直,垂足为B,求△OAB的面积.

 

 

 

 

16.(15分)在平面直角坐标系xOy中,已知点F(0,2),动点P到点F的距离比到直线y=-1的距离大1.

(1)求动点P的轨迹C的方程;

(2)过点F任作一直线l与C交于A,B两点,直线OA,OB与直线y=-2分别交于点M,N,求证:以线段MN为直径的圆经过点F.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17.(15分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率e=,如图,椭圆C的四个顶点与左、右焦点围成的阴影部分的面积为2.

(1)求C的标准方程;

(2)若直线l与C交于A,B两点,以AB为直径的圆经过坐标原点O,求△OAB面积的最大值.

 

 

 

 

 

18.(17分)设F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,T1,T2,T3为C上三个不同的点,且|=6.

(1)求C的方程;

(2)设过点F的直线l交C于P,Q两点.

①若直线l交圆x2+y2-2x=0于M,N两点,其中P,M位于第一象限,求的最小值;

②过点F作l的垂线m,交C于A,B两点,设线段PQ,AB的中点分别为D,E,求证:直线DE过定点.

 

 

 

19.(17分)如图,过椭圆的左、右焦点F1,F2分别作长轴的垂线l1,l2交椭圆于点A1,B1,A2,B2,将l1,l2两侧的椭圆弧删去,再分别以F1,F2为圆心,线段F1A1,F2A2的长为半径向外侧作半圆,这样得到的图形称为“椭圆帽”.夹在l1,l2之间的部分(包括端点)称为椭圆帽的“帽体段”,其余部分(包括端点)称为椭圆帽的“帽檐段”.已知左、右两个“帽檐段”所在圆的方程分别为(x+)2+y2=1.

(1)求“帽体段”的方程;

(2)记“帽体段”所在椭圆为C,过点P(1,0)的直线与椭圆C交于A,B两点,在x轴上是否存在一个定点M(t,0),使得·为定值?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

答案与解析

第二章　圆锥曲线

1.B　由题意得,|MF|=yM+=3,p=2,所以yM=2,

又点M在抛物线上,所以x2=4×2,解得x=±2,

所以点M到y轴的距离为2.

2.A　当m=2时,椭圆C:+y2=1,其离心率e=,充分性成立.