专题2.9 圆锥曲线90道计算题专项训练（9大题型）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版选修第一册）

专题2.9 圆锥曲线90道计算题专项训练（9大题型） 题型一 椭圆中焦点三角形的面积问题 题型二 根据椭圆的有界性求范围或最值 题型三 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 题型四 根据双曲线过的点求标准方程 题型五 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 题型六 抛物线的焦半径公式 题型七 根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 题型八 椭圆中三角形(四边形)的面积 题型九 求椭圆中的最值问题 【经典计算题一 椭圆中焦点三角形的面积问题】 1．（23-24高二上·宁夏吴忠·阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，，为C上一点 (1)求椭圆C的标准方程； (2)若P为C上一点，且，求的面积. 2．（24-25高二上·福建·期末）已知椭圆的两焦点为、，为椭圆上一点，且是与的等差中项. (1)求此椭圆方程； (2)若点满足，求的面积. 3．（22-23高二上·海南海口·期中）已知点是椭圆上的一点，和是焦点，焦距为6，且. (1)求椭圆的标准方程： (2)若，求三角形的面积. 4．（22-23高二上·陕西咸阳·期中）已知椭圆的两焦点为，，点P为椭圆上一点，且. (1)求此椭圆的方程； (2)若点P满足，求的面积. 5．（2022高三·全国·专题练习）分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点. (1)若的面积为，求的长； (2)求面积的最大值及此时直线的方程. 6．（22-23高二上·江苏南京·开学考试）设椭圆的两个焦点为，若点在椭圆上，且． (1)求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、离心率； (2)求的面积； (3)求点的坐标． 7．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知椭圆C：的短轴长为2，且点在C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设、为椭圆的左、右焦点，过的直线l交椭圆C与A、B两点，若的面积是，求直线l的方程． 8．（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）已知椭圆的两焦点为、，为椭圆上一点，且. (1)求椭圆方程； (2)若点与两焦点距离之差的绝对值为，求的面积. 9．（24-25高二上·宁夏·阶段练习）设椭圆的两个焦点为，若点在椭圆上，且. (1)求的面积； (2)求点的坐标. 10．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知椭圆C经过，两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设，为椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆C上，且，求的面积． 【经典计算题二 根据椭圆的有界性求范围或最值】 11．（2023高三·全国·专题练习）已知，过点的直线交椭圆于，（可以重合），求取值范围． 12．（2024·全国·高考真题）已知圆，是椭圆上的两点，线段的垂直平分线与x轴相交于点，证明：. 13．（23-24高二上·山东威海·期中）平面直角坐标系中，动点M到定点的距离与它到直线的距离之比为， (1)求点M的轨迹方程． (2)若点，则求的最大值与最小值． 14．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是椭圆上的一动点. （1）定点，求的最小值； （2）求到直线距离的最大值. 15．（23-24高二下·河南郑州·期末）设分别为椭圆的左、右两个焦点. （1）若椭圆上的点到两点的距离之和等于4，求椭圆的方程和焦点坐标； （2）设点P是（1）中所得椭圆上的动点，,求的最大值． 16．（2025·安徽池州·二模）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且左､右焦点分别为. (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，点在上，点满足，求的最小值，并指出此时点的坐标. 17．（24-25高二上·广东深圳·期末）一动圆与圆外切，同时与圆内切． (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)记（1）所求轨迹方程对应的曲线为，点为曲线上一动点，点的坐标为，求点到点距离的最小值，并给出此时点的坐标． 18．（23-24高二下·上海静安·阶段练习）一施工队欲使一块边长为2.3米的正方形玻璃板通过一个半椭圆拱形门，门的跨度和高如图所示．请问：该正方形玻璃板能否通过该拱门？请说明理由．（玻璃板厚度不计） 19．（23-24高二上·广西·期末）已知的周长为，其中点，. (1)求点C的轨迹方程； (2)设D为点A关于直线的对称点，求线段CD的长度的取值范围. 20．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知平面内一些曲线构成的集合称为曲线簇，若一条曲线与某个曲线簇内任意一条曲线均相切，则称这条曲线是这个曲线簇的包络（Envelope）.已知是坐标原点，圆：，将圆折起，使得圆周过点，然后将圆展开，就得到一条折痕，这样继续折下去，得到若干折痕，记所有满足条件的折痕构成曲线簇. (1)写出曲线簇的包络方程（直接写出结果）； (2)若曲线簇中两条相互垂直的折痕交点为，设折痕与包络的两切点分别为，，直线，的斜率分别为，. ①求的值； ②求面积的取值范围. 【经典计算题三 求椭圆的离心率或离心率的取值范围】 21．（2023高三·全国·专题练习）已知椭圆经过点且两个焦点及短轴两顶点围成四边形的面积为，求椭圆的方程和离心率. 22．（2023高三·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，，为其左、右顶点，为椭圆上一点，且，求的离心率． 23．（23-24高二上·吉林辽源·期中）求下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率. (1)； (2). 24．（23-24高三上·上海宝山·期中）已知、为椭圆的左右焦点，焦距为，过点的直线交椭圆于、两点，，. (1)椭圆经过点，求椭圆方程: (2)求，的长度（用a，c表示）； (3)求该椭圆的离心率. 25．（23-24高二上·全国·课后作业）过椭圆的左焦点作x轴的垂线交椭圆于点P，为右焦点，若，求该椭圆的离心率. 26．（22-23高二·江苏·假期作业）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6． (1)求这个椭圆的离心率； (2)求这个椭圆的标准方程． 27．（2025高三·全国·专题练习）如图，直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点．若面积达到最大值时，恰好垂直长轴，求证：椭圆离心率的范围是．    28．（24-25高二上·北京丰台·期末）已知椭圆过点，长轴长为4. (1)求椭圆E的方程及离心率； (2)若直线l：与椭圆E交于A，B两点，过点B作斜率为0的直线与椭圆的另一个交点为D. 求证：直线AD过定点. 29．（24-25高三上·辽宁·期末）已知直线经过椭圆的右顶点和上顶点． (1)求椭圆的标准方程及离心率； (2)与直线平行的直线交于两点（均不与的顶点重合），设直线，的斜率分别为，证明：为定值． 30．（24-25高二上·河北邯郸·期中）设椭圆，，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点，且与轴垂直，直线与的另一个交点为. (1)若直线的倾斜角为，求椭圆的离心率； (2)若直线在轴上的截距为1，且，求，. 【经典计算题四 根据双曲线过的点求标准方程】 31．（24-25高二上·全国·课前预习）已知双曲线中，，且经过点，焦点在轴上，求该双曲线的标准方程． 32．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线中，，经过点，求该双曲线的标准方程． 33．（22-23高二上·四川凉山·期中）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且双曲线过点． (1)求双曲线的标准方程． (2)过定点的直线与双曲线交于两点，在轴上是否存在定点，使得，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 34．（22-23高二·全国·随堂练习）如图，发电厂的冷却塔被设计成单叶旋转双曲面的形状（双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面），可以加强对流，自然通风．已知某个冷却塔的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m．试选择适当的坐标系求此双曲线的方程．    35．（23-24高二上·全国·课后作业）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在x轴上，且过点； (2)，一个焦点的坐标是； (3)经过两点，． 36．（23-24高二上·全国·课后作业）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)两焦点坐标为，，且； (2)两焦点坐标为，，且经过点； (3)焦点在y上，且经过点和． 37．（22-23高二·全国·课堂例题）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)以椭圆长轴的端点为焦点，且经过点； (3)过点，且焦点在坐标轴上. 38．（22-23高二上·全国·课后作业）已知与椭圆共焦点的双曲线过点，求该双曲线的标准方程. 39．（2022·陕西咸阳·模拟预测）已知焦点在轴上的双曲线经过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线交于两点，求弦长． 40．（24-25高二上·全国·课后作业）（1）某科研团队在科研基地点西侧、东侧20千米处设有两站点，测量距离发现一点满足千米，可知在以为焦点的双曲线上，以点为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，在北偏东处，求双曲线的标准方程和点坐标． （2）团队又在正南、正北15千米处设有两站点，测量距离发现千米，千米，求（精确到1千米）和点位置（精确到）． 【经典计算题五 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】 41．（2025高三·全国·专题练习）求抛物线上一点到两点的距离之和的最小值． 42．（23-24高二上·上海·课后作业）已知点的坐标为，点为抛物线的焦点，若点在此抛物线上移动，求的最小值，并求此时点的坐标． 43．（23-24高二·全国·课后作业）设点P是抛物线上的一个动点. (1)求点到的距离与点到直线的距离之和的最小值； (2)若，求的最小值. 44．（23-24高二上·全国·课前预习）已知抛物线的方程为，是其焦点，点在抛物线的内部，在此抛物线上求一点，使的值最小． 45．（23-24高二·全国·课后作业）抛物线y2=2x，F为焦点，点A(3,2)，点M为抛物线上一点，求|MA|+|MF|的最小值，并求出点M的坐标. 46．（24-25高二·上海·随堂练习）在两个条件①点；②点中任选一个，补充在下面的问题中．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在此抛物线上移动，求： (1)点P到点F与它到________的距离之和的最小值； (2)点P到点与它到准线l的距离之和的最小值； (3)点P到直线与它到准线l的距离之和的最小值． 47．（23-24高二上·全国·课后作业）（1）设P是抛物线上的一个动点. ①求点P到点的距离与点P到直线的距离之和的最小值； ②若，求的最小值. （2）已知抛物线，A点的坐标为.求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离. 48．（23-24高二·全国·课后作业）已知动圆过定点，且在y轴上截得的弦长为8． (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； (2)已知P为轨迹C上的一动点，求点P到直线和y轴的距离之和的最小值． 49．（23-24高二·全国·课后作业）在两个条件①点；②点中任选一个，补充在下面的问题中． 已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在此抛物线上移动，求： (1)点P到点F与它到______的距离之和的最小值； (2)点P到点与它到准线l的距离之和的最小值； (3)点P到直线与它到准线l的距离之和的最小值． 50．（23-24高二上·湖北襄阳·期中）已知P为抛物线y=x2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是(2,0)，求|PA|+|PM|的最小值 【经典计算题六 抛物线的焦半径公式】 51．（22-23高二上·河南商丘·期末）已知动点到点的距离与到轴的距离的差为2. (1)求动点的轨迹方程； (2)若过点的直线与动点的轨迹交于两点，直线与轴交于点，过作直线的垂线，垂足分别为，若（S表示面积），求. 52．（23-24高二上·河北邯郸·期中）若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|=，|AF|=3，求此抛物线的标准方程． 53．（23-24高二下·云南红河·期末）设抛物线上的点与焦点的距离为6，且点到x轴的距离为． （1）求抛物线的方程； （2）设抛物线的准线与x轴的交点为点，过焦点的直线与抛物线交于两点，证明：． 54．（24-25高二上·广西南宁·期末）已知抛物线的焦点为F，且A是抛物线上一点. （1）若求点A的坐标； （2）直线l：与抛物线交于两个不同的点P，Q，若，求实数m的值. 55．（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在第一象限内且为抛物线上一点，点，当直线的倾斜角为时，恰为等边三角形． （1）求的方程； （2）过轴上一点作抛物线的切线交直线于，以为直径作圆，过点作直线交圆于，两点，试问：是否为定值？并说明理由． 56．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知抛物线：经过点. （1）若抛物线上一动点到准线的距离为，，求的最小值； （2）若直线：与抛物线交于两点，为原点，证明：为定值. 57．（2023·安徽·二模）过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，当点的纵坐标为1时，. （Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）若抛物线上存在点，使得，求直线的方程. 58．（2024·上海·模拟预测）已知过点的直线与抛物线交于、两点，且，其中为坐标原点. （1）求的值； （2）当最小时，求直线的方程. 59．（2024·云南红河·模拟预测）已知M是抛物线上一点，F是抛物线C的焦点，． （Ⅰ）求直线MF的斜率； （Ⅱ）已知动圆E的圆心E在抛物线C上，点在圆E上，且圆E与y轴交于A，B两点，令，，求最大值． 60．（23-24高三上·上海·开学考试）已知抛物线，点为的焦点，为上互异的三点． (1)若，求的坐标； (2)过点的直线交抛物线于、两点，求的值(其中为坐标原点)； (3)若为等腰直角三角形，求面积的最小值． 【经典计算题七 根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围】 61．（24-25高二上·吉林·期中）已知椭圆的焦距为12，长半轴长为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 62．（24-25高二上·重庆·期中）已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆相交于不同的两点和，当时，求实数的值． 63．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）已知椭圆：的离心率为，焦距为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相切，且直线与直线：平行，求直线的斜截式方程. 64．（24-25高二上·上海·课后作业）已知椭圆C的两焦点为，，P为椭圆上一点，且到两个焦点的距离之和为6. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若已知直线，当m为何值时，直线与椭圆C有公共点？ 65．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线与椭圆. (1)若它们有两个公共点，求的取值范围； (2)若它们只有一个公共点，求公共点的横坐标. 66．（22-23高二·全国·课堂例题）已知直线与椭圆，分别求直线l与椭圆C有两个公共点、只有一个公共点和没有公共点时m的取值范围． 67．（22-23高二·全国·课堂例题）已知x，y满足，求的最值． 68．（23-24高三上·湖南长沙·周测）已知椭圆：的左焦点为，为椭圆上一点，交轴于点，且为的中点． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆有且只有一个公共点，平行于的直线交于，交椭圆于不同的两点，，问是否存在常数，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 69．（2025高三·全国·专题练习）设椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上且异于两点，为坐标原点．若，证明：直线的斜率满足． 70．（2025高三·全国·专题练习）求椭圆两条互相垂直的切线的交点的轨迹方程． 【经典计算题八 椭圆中三角形(四边形)的面积】 71．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）在直角坐标系中，，分别是，轴上一点，且．动点满足，点的轨迹为． (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于，两点，求面积的最大值． 72．（24-25高二上·江苏·期中）已知椭圆的焦点为，且该椭圆经过点. (1)求的标准方程； (2)若为上一点，且，求的面积. 73．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积． 74．（23-24高二上·天津·阶段练习）如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，，一条直线经过与椭圆交于，两点． (1)求焦点坐标，焦距，短轴长； (2)若直线的倾斜角为，求的面积． 75．（23-24高二上·陕西渭南·期末）已知椭圆：（）的左焦点为，短轴长为2． (1)求椭圆的方程； (2)过点、斜率为1的直线交椭圆于，两点，为坐标原点，求的面积． 76．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知椭圆左焦点的、右顶点，过且斜率为的直线l与椭圆交于两点，求的面积. 77．（23-24高三上·北京·开学考试）已知直线过椭圆C的中心坐标原点O，与平行的直线与C交于两点，且.当轴时，直线AB过C的一个焦点. (1)求C的方程； (2)点D、E满足，交于点G，直线交于点H，求面积的最大值. 78．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，且满足． (1)求的方程； (2)设直线与交于两点，若线段中点的纵坐标为1，求面积的最大值． 79．（24-25高三上·山西·阶段练习）已知椭圆，为椭圆上一点，分别为它的左右焦点，到距离之和为4，离心率． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于两点，求三角形面积． 80．（24-25高二下·陕西西安·期末）已知椭圆的离心率为，且长轴长为4． (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C左焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，求三角形面积的最大值． 【经典计算题九 求椭圆中的最值问题】 81．（23-24高三上·天津南开·期末）设椭圆经过点，且其左焦点坐标为. (1)求椭圆的方程； (2)对角线互相垂直的四边形的四个顶点都在上，且两条对角线均过的右焦点，求的最小值. 82．（23-24高二下·江西上饶·期中）已知椭圆，其短轴的一个端点到右焦点的距离为，且点在椭圆上. 直线的斜率为,且与椭圆交于、两点． （1）求椭圆的方程； （2）求面积的最大值. 83．（24-25高二上·山东济南·期中）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为的直线与椭圆交于两点，且点在第一象限，点分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值. 84．（24-25高三上·湖南益阳·期末）已知椭圆过点，且椭圆的短轴长等于焦距． (1)求椭圆的方程； (2)若直线的斜率为，且与椭圆相交于、两点，求面积取得最大值时直线的方程． 85．（2024高三·全国·专题练习）已知，为椭圆上两点，是椭圆的上的动点． (1)求椭圆的标准方程； (2)求面积的最大值． 86．（24-25高二上·河南驻马店·期中）动点M与定点的距离和它到定直线的距离比是常数， (1)求动点M的轨迹C的方程； (2)若直线l过点，且与C交于A，B两点，当最大时，求直线l的方程. 87．（24-25高二上·安徽·期中）已知椭圆，圆过椭圆的左、右顶点和上顶点． (1)求圆的标准方程； (2)若直线经过椭圆的右焦点，与圆交于两点． （i）若，求直线的方程； （ii）直线经过点与圆C交于，且直线与直线相互垂直，求四边形面积的最大值． 88．（24-25高二上·浙江·期中）已知圆：，点，点是圆A上任意一点.线段的垂直平分线和半径相交于点，与圆A交于，两点，则当点在圆A上运动时， (1)求点的轨迹方程； (2)证明：直线是点轨迹的切线； (3)求面积的最大值. 89．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知为椭圆C：上的点，C的焦距为． (1)求椭圆C的方程； (2)点P为椭圆C上的动点，过点P作圆O：的两条切线，切点分别为A，B，求的取值范围． 90．（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）已知椭圆，经过点，且离心率. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l交直线于点N，直线m与x轴交于点M，记，的面积分别为，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.9 圆锥曲线90道计算题专项训练（9大题型） 题型一 椭圆中焦点三角形的面积问题 题型二 根据椭圆的有界性求范围或最值 题型三 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 题型四 根据双曲线过的点求标准方程 题型五 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 题型六 抛物线的焦半径公式 题型七 根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 题型八 椭圆中三角形(四边形)的面积 题型九 求椭圆中的最值问题 【经典计算题一 椭圆中焦点三角形的面积问题】 1．（23-24高二上·宁夏吴忠·阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，，为C上一点 (1)求椭圆C的标准方程； (2)若P为C上一点，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦距求出，再根据在椭圆上，求出，可得，由，求出，得到椭圆的标准方程； （2）利用余弦定理和面积公式求解. 【详解】（1）由是椭圆的焦点， 且，则， 因为点在椭圆上，所以 则 由，则由， 所以椭圆的标准方程： （2）在中，，， 由余弦定理得， 即， 又由椭圆的定义，可得， 两边平方得， 即，解得， 所以的面积. AI 2．（24-25高二上·福建·期末）已知椭圆的两焦点为、，为椭圆上一点，且是与的等差中项. (1)求此椭圆方程； (2)若点满足，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设该椭圆的标准方程为，根据椭圆的定义求出的值，进一步可求得的值，由此可得出该椭圆的方程； （2）利用余弦定理结合基本不等式可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得结果. 【详解】（1）解：设该椭圆的标准方程为， 由已知得，，所以，， 因此，该椭圆的方程为. （2）解：由余弦定理可得 ，可得， 所以，. 3．（22-23高二上·海南海口·期中）已知点是椭圆上的一点，和是焦点，焦距为6，且. (1)求椭圆的标准方程： (2)若，求三角形的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由已知得，再求得即得椭圆标准方程； （2）由椭圆定义结合勾股定理求得后即可得三角形面积． 【详解】（1）由已知，，，，∴， 椭圆标准方程为； （2），则， 又，所以， ． 4．（22-23高二上·陕西咸阳·期中）已知椭圆的两焦点为，，点P为椭圆上一点，且. (1)求此椭圆的方程； (2)若点P满足，求的面积. 【答案】(1)=1； (2)3. 【分析】（1）根据给定条件，求出焦距，进而求出长短半轴长即可作答. （2）由（1）中信息，在中由余弦定理求出，再由三角形面积定理计算作答. 【详解】（1）依题意，，椭圆长轴长，即长半轴长，短半轴长b，有， 所以椭圆的标准方程为=1. （2）由（1）知，，在中由余弦定理得： ，有， 解得，， 所以的面积是. 5．（2022高三·全国·专题练习）分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点. (1)若的面积为，求的长； (2)求面积的最大值及此时直线的方程. 【答案】(1)或 (2)4；或 【分析】（1）设，代入公式③，即可得解； （2）解法1：由公式④可知，当且仅当时，面积取最大值4；由此求得直线的斜率，进而求得直线的方程； 解法2：由公式③可知，当时，面积取最大值4；再设直线方程为，利用面积公式求得，进而求得直线的方程. 【详解】（1）设，由上述结论2，代入公式③，得，解得或. （2）解法1：由结论3，代入公式④，得当且仅当时，面积取最大值：，此时直线的斜率，所以所求直线的方程为，即或. 解法2：由上述结论2，代入公式③，得，得当时，， 设的面积最大时点到直线的距离为，设直线的方程为，即，则，所以， 从而有，解得， 故所求直线的方程为或. 6．（22-23高二上·江苏南京·开学考试）设椭圆的两个焦点为，若点在椭圆上，且． (1)求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、离心率； (2)求的面积； (3)求点的坐标． 【答案】(1)长轴长为，短轴长为，焦点为，，离心率为 (2) (3)或或或 【分析】（1）由椭圆方程可求得，由此可依次求得结果； （2）利用椭圆定义和勾股定理可构造方程求得，由此可求得三角形面积； （3）利用面积桥可求得点纵坐标，代入椭圆方程可得点横坐标，由此可得结果. 【详解】（1）由椭圆方程得：，，则， 椭圆的长轴长为；短轴长为；焦点坐标为，，离心率. （2）由椭圆定义知：， ，， 即，解得：，. （3）设，则，解得：， ，解得：； 点坐标为或或或. 7．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知椭圆C：的短轴长为2，且点在C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设、为椭圆的左、右焦点，过的直线l交椭圆C与A、B两点，若的面积是，求直线l的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】(1)根据短轴长求出b，根据M在C上求出a； (2)根据题意设直线l为，与椭圆方程联立得根与系数关系，根据＝即可求出m的值. 【详解】（1）∵短轴长为2，∴，∴， 又∵点在C上，∴，∴， ∴椭圆C的标准方程为； （2）由(1)知， ∵当直线l斜率为0时，不符合题意， ∴设直线l的方程为：， 联立，消x得：， ∵， ∴设，，则， ∵，∴，∴， 即，解得， ∴直线l的方程为：或. 8．（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）已知椭圆的两焦点为、，为椭圆上一点，且. (1)求椭圆方程； (2)若点与两焦点距离之差的绝对值为，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出、的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）由已知结合椭圆的定义可求得、的值，利用余弦定理、同角三角函数的基本关系以及三角形的面积公式可求得结果. 【详解】（1）解：设椭圆的方程为， 因为，则，，则， 因此，椭圆的方程为. （2）解：由已知可得，可得， 由余弦定理可得， 所以，， 因此，. 9．（24-25高二上·宁夏·阶段练习）设椭圆的两个焦点为，若点在椭圆上，且. (1)求的面积； (2)求点的坐标. 【答案】(1) (2)或或或 【分析】（1）利用椭圆的定义及勾股定理可求得，再用面积公式计算即可； （2）由（1）可得，代入椭圆方程可求点的坐标. 【详解】（1）由题知，因为点在椭圆上，所以. 从而， 又， ，从而； （2）设，由，得， 将代入椭圆方程解得， 所以或或或. 10．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知椭圆C经过，两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设，为椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆C上，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设椭圆C方程为：将点坐标代入方程得到关于的方程，解出方程即可得到答案. （2）在中，由余弦定理结合椭圆的定义可得到，从而可得三角形面积. 【详解】（1）设椭圆C方程为：（，，）， 因为椭圆经过，两点， 所以解得 所以椭圆C的标准方程为． （2）由（1）可得，，则 在中，由余弦定理得： ， 即①． 又，所以②． 由①②联立，得：． 所以 【经典计算题二 根据椭圆的有界性求范围或最值】 11．（2023高三·全国·专题练习）已知，过点的直线交椭圆于，（可以重合），求取值范围． 【答案】 【分析】利用向量共线，根据定比作差即可求得的取值范围 【详解】设，，，由， 所以． 因为 得 由得： ，又， 又，从而． 故答案为： 12．（2024·全国·高考真题）已知圆，是椭圆上的两点，线段的垂直平分线与x轴相交于点，证明：. 【答案】证明见解析 【分析】由垂直平分线性质和点在椭圆上可得且，结合椭圆的有界性有，即可求参数范围. 【详解】设的坐标分别为和， 因线段的垂直平分线与轴相交，故不平行于轴，即． 又交点为，故，即①， 由在椭圆上，则 将上式代入①，得， ，得， 且， ， . 13．（23-24高二上·山东威海·期中）平面直角坐标系中，动点M到定点的距离与它到直线的距离之比为， (1)求点M的轨迹方程． (2)若点，则求的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）设，根据题意列出等式，化简即可的解； （2）根据两点的距离公式得，再根据椭圆方程将用表示，最后根据椭圆中变量的范围结合二次函数的性质即可得出答案. 【详解】（1）解：设， 依题意得， 两边平方化简得，所以M的轨迹方程为； （2）解：，又M点满足，即， 因此， 又， 所以当时，有最小值，所以 当时，有最大值121，所以． 14．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是椭圆上的一动点. （1）定点，求的最小值； （2）求到直线距离的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）设，直接求出，然后由函数知识得最小值． （2）设，求出点到直线的距离，结合三角函数的辅助角公式可得最大值． 【详解】（1）设，在椭圆上，∴，． ∴， ∴时，； （2）在椭圆上，设， 则到直线距离为，其中，取锐角． ∴当时，． 【点睛】本题考查考查求椭圆上点到定点的距离的最值，及到定直线的距离的最值，设出点的坐标，求出距离，再由函数知识知识求解即可． 15．（23-24高二下·河南郑州·期末）设分别为椭圆的左、右两个焦点. （1）若椭圆上的点到两点的距离之和等于4，求椭圆的方程和焦点坐标； （2）设点P是（1）中所得椭圆上的动点，,求的最大值． 【答案】（1），焦点，；（2）． 【分析】（1）依据题意求得，进而得到，即可求解椭圆的标准方程和焦点坐标； （2）设，利用平面上两点之间的距离公式，求得的表达式，利用二次函数的性质，即可得到的最大值． 【详解】（1）椭圆的焦点在轴上， 由椭圆上的点到、两点的距离之和是，得，即， 又点在椭圆上，因此， 得，于是， 所以椭圆的方程为，焦点，． （2）设，则， ， ∴ ， 又， 当时，. 16．（2025·安徽池州·二模）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且左､右焦点分别为. (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，点在上，点满足，求的最小值，并指出此时点的坐标. 【答案】(1) (2)，或 【分析】（1）根据题意，列出方程求出的得解； （2）法一，设点，由结合点在椭圆上求出点的轨迹方程，由两点间距离公式，利用转化为二次函数求最值，得解；法二，由，解得，将用表示，利用椭圆范围求出答案. 【详解】（1）由题意可设椭圆，且 所以，解得 所以的方程为. （2）解法一：设点，所以， 由，得，解得. 又，所以，化解得， 所以，由得，解得， 所以， 当且仅当时，取“=”，则，即， 所以的最小值为，此时点的坐标为或. 解法二：设点，所以， 由，得，解得. 由得，解得， 所以， 当且仅当时，取“=”，即， 所以的最小值为，此时点的坐标为或. 17．（24-25高二上·广东深圳·期末）一动圆与圆外切，同时与圆内切． (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)记（1）所求轨迹方程对应的曲线为，点为曲线上一动点，点的坐标为，求点到点距离的最小值，并给出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)最小值为，点的坐标为或． 【分析】（1）设动圆圆心为，由条件可得关系，结合椭圆定义判断的轨迹形状及位置，再利用待定系数法求椭圆方程； （2）设，表示，结合关系点在椭圆上，消，求其最小值可得结论. 【详解】（1）设动圆圆心为，半径为， 设圆和圆的圆心分别为， 将圆的方程分别配方得：圆，圆 当动圆与圆相外切时，有① 当动圆与圆相内切时，有 将①②两式相加，得， 所以动圆圆心到点和的距离和是常数， 所以点的轨迹是焦点为点，长轴长等于的椭圆． 设该椭圆的标准方程为；椭圆的半焦距为， 则，， 所以， 所以， 所以动圆圆心轨迹方程为． （2）根据题意得：设， 因为点在椭圆上，所以，故， 所以， 所以当时，最小值为，此时点的坐标为或． 18．（23-24高二下·上海静安·阶段练习）一施工队欲使一块边长为2.3米的正方形玻璃板通过一个半椭圆拱形门，门的跨度和高如图所示．请问：该正方形玻璃板能否通过该拱门？请说明理由．（玻璃板厚度不计） 【答案】能，理由见解析 【分析】建立合适的直角坐标系，写出椭圆方程，作出斜放时的图形，再设点，利用二次函数的性质即可得到最值. 【详解】建立直角坐标系，设椭圆的方程为， 则，则， 得椭圆的方程为，， 斜放进入拱门能使通过玻璃板的面积较大，即按如图所示的位置， 设点的坐标为，而点坐标为， 所以 ， 所以当时，，而根据计算器易知，故能通过. 19．（23-24高二上·广西·期末）已知的周长为，其中点，. (1)求点C的轨迹方程； (2)设D为点A关于直线的对称点，求线段CD的长度的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，再根据椭圆的定义即可得解； （2）求出点的坐标，再根据两点间的距离公式，结合二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）由题意可知， 所以， 根据椭圆定义可知，点C轨迹为椭圆，且 因此，c＝1，可得， 则点C轨迹方程为，； （2）设点，因为点A与点D关于直线对称， 于是有， 解出，即点， 设点为点C轨迹方程上一点，满足，， 则， 由于， 所以时，，时，， 又因为，所以， 因此. 20．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知平面内一些曲线构成的集合称为曲线簇，若一条曲线与某个曲线簇内任意一条曲线均相切，则称这条曲线是这个曲线簇的包络（Envelope）.已知是坐标原点，圆：，将圆折起，使得圆周过点，然后将圆展开，就得到一条折痕，这样继续折下去，得到若干折痕，记所有满足条件的折痕构成曲线簇. (1)写出曲线簇的包络方程（直接写出结果）； (2)若曲线簇中两条相互垂直的折痕交点为，设折痕与包络的两切点分别为，，直线，的斜率分别为，. ①求的值； ②求面积的取值范围. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】(1) 记点关于折痕l的对称点为A，折痕l与相交于点P，分析的值，结合椭圆定义可解. （2）①求出两条切线的直线方程，进而求出的方程，表示出斜率，.即可求得结果. ②联立与椭圆的方程，消去x得关于y得一元二次方程，利用韦达定理以及三角形的面积表示出，再求出，再利用换元法以及对勾函数即可求得结果. 【详解】（1）由题知，,记点关于折痕l的对称点为A，折痕l与相交于点P, 则点A在圆周上，折痕l为线段的垂直平分线，如图所示： 则有,可知，, 所以点p的轨迹是以为左右焦点的椭圆，其中长轴，焦距， 所以，所以折痕围成轮廓的圆锥曲线方程为 （2） ①设，椭圆在点M处的切线方程 为，因为点P在切线上，所以<1>， 下面证明为椭圆在点M处的切线方程： 联立方程组， 消去整理得，又， 即， 整理得，解得， 所以直线与椭圆有且仅有一个交点， 即切线方程为. 同理：椭圆在点N处的切线方程为， 因为点P在切线上，所以<2>, 由<1>和<2>两式可知，点在直线， 则，又，所以. ②由①知，直线的方程为，即，因为当时，此时不存在，则， 与x轴交于点，首先由，解出, 代入中得， 整理得， 由韦达定理得，， 则 ， 设过点的椭圆切线方程为， 与椭圆方程联立得, 因为直线与相切，故判别式， 化简得，因为两条折痕垂直，故， 整理得，当时，此时不存在，则， 则， 令， 则， 因为，当且仅当即时取等号，故， 根据对勾函数性质知：当或时，即或时，，故面积的取值范围为： 【点睛】关键点点睛：求出两条切线的直线方程，进而求出的方程，表示出斜率，.即可求得结果.联立与椭圆的方程，消去x得关于y得一元二次方程，利用韦达定理以及三角形的面积表示出，再求出，再利用换元法以及对勾函数即可求得结果. 【经典计算题三 求椭圆的离心率或离心率的取值范围】 21．（2023高三·全国·专题练习）已知椭圆经过点且两个焦点及短轴两顶点围成四边形的面积为，求椭圆的方程和离心率. 【答案】椭圆C的方程为，离心率为 【分析】根据题意列出关系式，求出、、，即可得到椭圆方程及离心率. 【详解】依题意可得，，又， 解得， 所以椭圆方程为，离心率. 22．（2023高三·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，，为其左、右顶点，为椭圆上一点，且，求的离心率． 【答案】 【分析】根据斜率公式可得，进而可得离心率. 【详解】设，则有，则， 又，，则， 即，则， 故离心率． 23．（23-24高二上·吉林辽源·期中）求下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率. (1)； (2). 【答案】(1)长轴长为，短轴长为，焦距为，顶点坐标为、、、，焦点坐标为和，离心率为 (2)长轴长为，短轴长为，焦距为，顶点坐标为、、、，焦点坐标为和，离心率为 【分析】（1）确定椭圆方程，直接计算得到答案； （2）确定椭圆方程，直接计算得到答案； 【详解】（1）将化为标准方程为：， 所以，，则， 所以椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为， 顶点坐标为、、、，焦点坐标为和， 离心率为， 椭圆图象如下： （2）将化为标准方程为：，椭圆的焦点落在轴上， 所以，，则， 所以椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为， 顶点坐标为、、、，焦点坐标为和， 离心率为， 椭圆图象如下： 24．（23-24高三上·上海宝山·期中）已知、为椭圆的左右焦点，焦距为，过点的直线交椭圆于、两点，，. (1)椭圆经过点，求椭圆方程: (2)求，的长度（用a，c表示）； (3)求该椭圆的离心率. 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）根据题意，结合椭圆的几何性质，即可求解； （2）根据题意，结合椭圆的定义，即可求解； （3）根据题意，结合，列出方程，得到离心率的方程，即可求解. 【详解】（1）解：由椭圆， 当椭圆经过时，可得，所以椭圆的方程为. （2）解：因为椭圆，且， 由椭圆的定义，可得，所以， 且. （3）解：由，且， 可得， 在等腰中，可得， 在中，由余弦定理可得：， 因为，可得， 整理得，即，解得或， 又因为，所以，即椭圆的离心率为. 25．（23-24高二上·全国·课后作业）过椭圆的左焦点作x轴的垂线交椭圆于点P，为右焦点，若，求该椭圆的离心率. 【答案】 【分析】由直角三角形可把、用表示，再根据椭圆的离心率定义计算即可. 【详解】如图，作出图象，    设，由题设条件，可知，则， 又椭圆的离心率， 即该椭圆的离心率为. 26．（22-23高二·江苏·假期作业）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6． (1)求这个椭圆的离心率； (2)求这个椭圆的标准方程． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆长短半轴长、半焦距，再利用离心率公式计算作答. （2）由（1）的信息，按焦点位置写出标准方程作答. 【详解】（1）椭圆的长短半轴长分别为，半焦距为，依题意，，即， 而，于是，解得， 所以椭圆的离心率. （2）椭圆的对称轴为坐标轴，由（1）知， 当焦点在x轴上时，椭圆标准方程为，当焦点在y轴上时，椭圆标准方程为， 所以所求标准方程为或. 27．（2025高三·全国·专题练习）如图，直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点．若面积达到最大值时，恰好垂直长轴，求证：椭圆离心率的范围是．    【答案】证明见解析 【分析】根据三角形面积公式，结合一元二次方程根与系数的关系、椭圆离心率公式、换元法、对钩函数的单调性进行运算证明即可. 【详解】设直线，代入椭圆方程，得． 整理得． ． 令，则上式化为． 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此当时，该函数有最小值，由题意可知：面积最大值在时达到， 故有，即， 故． 28．（24-25高二上·北京丰台·期末）已知椭圆过点，长轴长为4. (1)求椭圆E的方程及离心率； (2)若直线l：与椭圆E交于A，B两点，过点B作斜率为0的直线与椭圆的另一个交点为D. 求证：直线AD过定点. 【答案】(1)，离心率 (2)证明见解析 【分析】（1）利用已知易求得，易求得椭圆方程与离心率； （2）设点A的坐标，点B的坐标，则点D的坐标，联立方程组，结合韦达定理可得，表示出直线AD的方程为：，令得：计算可求得定点. 【详解】（1）因为椭圆E过点，所以， 又因为长轴长为4，所以，所以， 所以. 椭圆E的方程为：，离心率. （2）由得：， 由得：或， 设点A的坐标，点B的坐标，则点D的坐标， ，    由已知得直线AD有斜率，直线AD的方程为：， 令得： ， 所以直线AD过定点. 29．（24-25高三上·辽宁·期末）已知直线经过椭圆的右顶点和上顶点． (1)求椭圆的标准方程及离心率； (2)与直线平行的直线交于两点（均不与的顶点重合），设直线，的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由已知，可得，，则，，即可求得椭圆的标准方程，再求出，可求得离心率； （2）设直线的方程为，，，联立直线方程与椭圆方程，由利用韦达定理得，得，化简可得，可得为定值. 【详解】（1）因为直线经过椭圆的右顶点和上顶点， 当时，，当时，，则，， 所以，， 所以椭圆的标准方程为． 因为，所以椭圆的离心率为． （2） 由（1）知直线的斜率为， 设直线的方程为，，， 联立方程组，消去得，则． 因为，，所以， 因为， 且，所以， 所以，即为定值． 30．（24-25高二上·河北邯郸·期中）设椭圆，，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点，且与轴垂直，直线与的另一个交点为. (1)若直线的倾斜角为，求椭圆的离心率； (2)若直线在轴上的截距为1，且，求，. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据条件求出的坐标，利用直线的倾斜角，建立关于的齐次方程，解之即可得解； （2）根据题意，结合线段的数量关系求得的坐标，代入椭圆方程，解之即可得解. 【详解】（1）依题意，设椭圆的半焦距为， 则，则由题意可知，点在第二象限，设， 将代入，得，解得，则， 因为直线的倾斜角为， 所以，则，则， 所以，即，则， 即，解得或（舍去）， 所以椭圆的离心率为. （2）记直线与轴的交点为， 易知，且，故， 则，， 因为，所以，则， 即是与的中点，所以， 将代入椭圆方程，得， 所以，解得，故，即， 所以，. 【经典计算题四 根据双曲线过的点求标准方程】 31．（24-25高二上·全国·课前预习）已知双曲线中，，且经过点，焦点在轴上，求该双曲线的标准方程． 【答案】 【分析】首先根据双曲线焦点在轴上设出标准方程，再利用已知条件列出方程组，解之可得. 【详解】依题意可设双曲线方程为， 则有解得 故所求双曲线的标准方程为． 32．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线中，，经过点，求该双曲线的标准方程． 【答案】 【分析】分焦点在x,y两种情况讨论求参进而得出双曲线的标准方程 【详解】当焦点在x轴上时， 设所求标准方程为， 把点A的坐标代入得， 计算得，不符合题意； 当焦点在y轴上时， 设所求标准方程为， 把点A的坐标代入得， 计算得． 故所求双曲线的标准方程为． 33．（22-23高二上·四川凉山·期中）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且双曲线过点． (1)求双曲线的标准方程． (2)过定点的直线与双曲线交于两点，在轴上是否存在定点，使得，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)在轴上存在点，使得，理由见解析. 【分析】（1）由双曲线的基本性质即可得解. （2）先讨论斜率为0的情况，再联立方程即可求解. 【详解】（1）因为双曲线的离心率为， 设双曲线的方程为， 代入点，解得 故双曲线的方程为 （2）由直线过定点，当斜率为0时，符合条件， 故设直线为： 设，代直线入双曲线得 设轴上的点，，同理 由，则即 要对任意的都成立，则 在轴上存在点，使得 34．（22-23高二·全国·随堂练习）如图，发电厂的冷却塔被设计成单叶旋转双曲面的形状（双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面），可以加强对流，自然通风．已知某个冷却塔的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m．试选择适当的坐标系求此双曲线的方程．    【答案】 【分析】如图建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，利用已知条件确定的值，从而可求得双曲线的方程. 【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，设双曲线方程为， 因为，点的横坐标分别为25，13， 所以设（）， 所以，解得， 因为高为55米， 所以，即， 得， 所以所求双曲线方程为.    35．（23-24高二上·全国·课后作业）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在x轴上，且过点； (2)，一个焦点的坐标是； (3)经过两点，． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据焦点位置及过点求出得出标准方程； （2）根据焦点及，求出即可得出标准方程； （3）设双曲线方程为，利用待定系数法求解. 【详解】（1）由于双曲线的焦点在x轴上， 故可设它的标准方程为． 因为双曲线过点， 所以，又， 解得，， 因此，所求双曲线的标准方程为． （2）由题意知，，且焦点在x轴上， 所以， 故所求双曲线方程为： （3）设双曲线方程为， 代入点，， 则，解得， 所以所求双曲线方程为. 36．（23-24高二上·全国·课后作业）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)两焦点坐标为，，且； (2)两焦点坐标为，，且经过点； (3)焦点在y上，且经过点和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据焦点及a求出可写出标准方程； （2）根据焦点及双曲线上的点利用定义求出a，再求即可得解； （3）设出双曲线方程，代入点求出，得解. 【详解】（1）由题意，，所以， 又焦点在轴上， 所以所求双曲线方程为. （2）由题意，焦点在轴上，， 又经过点， 所以， 所以，又， 所以所求双曲线方程为. （3）因为焦点在y上，所以设， 因为经过点和， 所以，解得， 所以所求双曲线方程为. 37．（22-23高二·全国·课堂例题）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)以椭圆长轴的端点为焦点，且经过点； (3)过点，且焦点在坐标轴上. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分类讨论，设出双曲线方程，把点代入求解即可； （2）先通过椭圆长轴顶点得双曲线的，然后把点的坐标代入双曲线方程求解即可 （3）设双曲线方程的一般形式，把两点坐标代入求解即可. 【详解】（1）当焦点在x轴上时，设所求标准方程为， 把点A的坐标代入，得，不符合题意； 当焦点在y轴上时，设所求标准方程为， 把点A的坐标代入，得.故所求双曲线的标准方程为. （2）由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且. 设双曲线的标准方程为，则有， 把点代入得，解得，. 故所求双曲线的标准方程为. （3）设双曲线的方程为，. （双曲线焦点的位置不确定时可设出一般方程求解，可避免分类讨论） 因为点P，Q在双曲线上，所以，解得， 故双曲线的标准方程为. 38．（22-23高二上·全国·课后作业）已知与椭圆共焦点的双曲线过点，求该双曲线的标准方程. 【答案】 【分析】由椭圆方程求其焦点坐标，设双曲线方程为，由条件列方程求即可. 【详解】设椭圆的半焦距为， 则，∴， 所以椭圆的焦点坐标为，， 所以双曲线的焦点坐标为，， 设所求双曲线的标准方程为， 则， 故所求双曲线方程可写为， ∵点在所求双曲线上， ∴代入有， 化简得，解得或. 当时， ，不合题意，舍去； ∴， ∴所求双曲线的标准方程为.    39．（2022·陕西咸阳·模拟预测）已知焦点在轴上的双曲线经过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线交于两点，求弦长． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）设双曲线的方程为，将代入求出，进而得解； （2）联立直线与双曲线方程，得出关于的一元二次方程，结合弦长公式和韦达定理即可求解. 【详解】（1）设双曲线的方程为．将代入， 得，解得． 所以，双曲线的方程为； （2）由（1）得双曲线的方程为，设． 由，得，由韦达定理得． 所以， 故弦长为8． 40．（24-25高二上·全国·课后作业）（1）某科研团队在科研基地点西侧、东侧20千米处设有两站点，测量距离发现一点满足千米，可知在以为焦点的双曲线上，以点为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，在北偏东处，求双曲线的标准方程和点坐标． （2）团队又在正南、正北15千米处设有两站点，测量距离发现千米，千米，求（精确到1千米）和点位置（精确到）． 【答案】（1）， （2）千米，点位置北偏东 【分析】（1）由题意可得，所以，即可得到双曲线的标准方程；可得直线，由直曲联立即可求得点坐标； （2）由已知，可得为和在第一象限的交点，联立解出点坐标，即可求得和点位置. 【详解】（1） 设双曲线的标准方程为， 由题意可得，所以， 所以双曲线的标准方程为， 因为在北偏东处，所以直线的斜率为， 所以直线， 与双曲线方程联立，可得， 所以点的坐标为． （2） ①由，可得，所以， 则双曲线的方程为； ②由，可得，所以， 所以双曲线的方程为； 由题意可得为的右支与的上支的交点， 两双曲线方程联立，解得， 所以， 所以千米，点位置北偏东． 【经典计算题五 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】 41．（2025高三·全国·专题练习）求抛物线上一点到两点的距离之和的最小值． 【答案】 【分析】数形结合，根据抛物线的定义，结合两点间线段最短进行求解即可. 【详解】由抛物线的标准方程可知，点是该抛物线的焦点，准线方程为， 过作直线的垂线，垂足为， 由抛物线的定义可知：， 于是， 所以当三点共线时，到两点的距离之和最小，最小值为. 42．（23-24高二上·上海·课后作业）已知点的坐标为，点为抛物线的焦点，若点在此抛物线上移动，求的最小值，并求此时点的坐标． 【答案】； 【分析】根据抛物线的定义，把转化为，利用当三点共线时，取得最小值，把代入抛物线解得值，即得的坐标. 【详解】根据题意，作图如下， 设点在其准线上的射影为， 由抛物线的定义得， 欲使取得最小值，就是使最小， ，当且仅当三点共线时，等号成立. 所以取得最小值，此时三点共线，即点的纵坐标， 设点的横坐标为， 为抛物线上的点，， 点的坐标为.    43．（23-24高二·全国·课后作业）设点P是抛物线上的一个动点. (1)求点到的距离与点到直线的距离之和的最小值； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2)4 【分析】 （1）利用抛物线的定义，转化点到准线的距离为到焦点的距离，再利用数形结合，即可求解；（2）利用抛物线的定义，转化点到焦点的距离为到准线的距离，再利用数形结合，即可求解； 【详解】（1） 如图，易知抛物线的焦点为，准线为，由抛物线的定义知点到直线的距离等于点到焦点的距离. 于是，问题转化为在曲线上求一点，使点到点的距离与点到的距离之和最小. 显然，连接与抛物线的交点即为所求点，故最小值为＝.    （2）如图，过点作垂直于准线于点，过点作垂直准线于点，交抛物线于点， 　   此时，，那么,即最小值为4. 44．（23-24高二上·全国·课前预习）已知抛物线的方程为，是其焦点，点在抛物线的内部，在此抛物线上求一点，使的值最小． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义，把转化为，由三点共线时，距离最小求解． 【详解】因为点在抛物线的内部， 如图所示， 设抛物线的准线为，过点作于点，过点作于点， 由抛物线的定义，知， 当且仅当三点共线时，的值最小． 设点的坐标为代入，得． 故当点的坐标为时，的值最小． 45．（23-24高二·全国·课后作业）抛物线y2=2x，F为焦点，点A(3,2)，点M为抛物线上一点，求|MA|+|MF|的最小值，并求出点M的坐标. 【答案】|MA|+|MF|取最小值，M (2,2). 【分析】由抛物线的定义知：当A，M，N三点共线时，有，结合抛物线方程即可求|MA|+|MF|的最小值，可得M的纵坐标，代入抛物线方程求其横坐标即可. 【详解】由点M在抛物线上，知：|MF|等于点M到其准线的距离|MN|，如下示意图： . 当A，M，N三点共线时，|MA|+|MN|取最小值，即|MA|+|MF|取最小值，此时M的纵坐标为2. ∴可设M(x0,2)，代入抛物线方程得x0=2，即M(2,2). 46．（24-25高二·上海·随堂练习）在两个条件①点；②点中任选一个，补充在下面的问题中．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在此抛物线上移动，求： (1)点P到点F与它到________的距离之和的最小值； (2)点P到点与它到准线l的距离之和的最小值； (3)点P到直线与它到准线l的距离之和的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）选①：因点在抛物线的内部，由抛物线的定义，点P到点F与它到点B的距离之和的最小值就是点B到准线l的距离，即可求出；选②：因点在抛物线外部，所以最小值就是点B到点F的距离，由两点距离公式即可求出； （2）点P到点与它到准线l的距离之和的最小值即为的最小值，即为，由两点距离公式即可求出； （3）点P到直线与它到准线l的距离之和的最小值，即为点F到直线的距离，由点到直线距离公式即可求得. 【详解】（1）因为抛物线的焦点F的坐标,准线l的方程为, 选①：因点在抛物线的内部， 根据抛物线的定义，点P到焦点F的距离即为点P到准线l的距离, 所以最小值就是点B到准线l的距离， 故最小值是； 选②：因点在抛物线外部，所以最小值就是点B到点F的距离， 故最小值是. （2） 因为点在准线l上， 点P到准线l的距离即为点P到焦点F的距离， 所以点P到点与它到准线l的距离之和的最小值即为的最小值， 则最小值为. （3） 点P到准线l的距离即为点P到焦点F的距离， 所以点P到直线与它到准线l的距离之和的最小值， 即为点F到直线的距离，由点到直线距离公式得 ． 47．（23-24高二上·全国·课后作业）（1）设P是抛物线上的一个动点. ①求点P到点的距离与点P到直线的距离之和的最小值； ②若，求的最小值. （2）已知抛物线，A点的坐标为.求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离. 【答案】（1）①；②4；（2）， 【分析】（1）①根据抛物线定义，点P到准线的距离等于P到点的距离，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到的距离与P到的距离之和最小，数形结合得解；②同理可处理. （2）设抛物线上任一点P的坐标为，用两点间距离公式求出转化为二次函数求最小值. 【详解】（1）①抛物线焦点为，准线方程为，    ∵点P到准线的距离等于P到点的距离. ∴问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到的距离与P到的距离之和最小. 显然P是的连线与抛物线的交点，最小值为. ②同理与P点到准线的距离相等.如图：    过B作准线于Q点，交抛物线于点. ∵， ∴. ∴的最小值为4. （2）由题意设抛物线上任一点P的坐标为， 则， 因为，所以当时，. 故距离点A最近的点P的坐标为，最短距离是. 48．（23-24高二·全国·课后作业）已知动圆过定点，且在y轴上截得的弦长为8． (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； (2)已知P为轨迹C上的一动点，求点P到直线和y轴的距离之和的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆心的坐标为，求出半径，再根据弦长结合勾股定理列出等式，化简即可； （2）画出图形，由图可知的最小值为F到直线的距离，再根据点到直线的距离公式即可得解. 【详解】（1）解：设圆心的坐标为， 则半径， 又因动圆在y轴上截得的弦长为8， 所以， 化简得， 即动圆圆心的轨迹C的方程为； （2）解：如图，设轨迹C的焦点为F，点P到直线的距离为，到y轴的距离为，F到直线的距离为， 由抛物线的定义，可知， 所以， 由图可知的最小值为F到直线的距离， 所以， 所以的最小值为． 49．（23-24高二·全国·课后作业）在两个条件①点；②点中任选一个，补充在下面的问题中． 已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在此抛物线上移动，求： (1)点P到点F与它到______的距离之和的最小值； (2)点P到点与它到准线l的距离之和的最小值； (3)点P到直线与它到准线l的距离之和的最小值． 【答案】(1)选①：4；选②： (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）数形结合，利用抛物线定义对所求距离之和进行转化为两点之间的距离，或点到直线的距离可得. 【详解】（1）过点B、P分别作准线的垂线，垂足为E、D. 选①：如图1 由抛物线定义可得， 所以点P到点F与它到B的距离之和的最小值为4. 选②：由图2可知， 所以点P到点F与它到B的距离之和的最小值为 （2）如图2 由抛物线定义可得， 点P到点与它到准线l的距离之和的最小值为. （3）记P到直线的距离为d，F到直线的距离为m. 由图2结合抛物线定义可知，则. 所以点P到直线与它到准线l的距离之和的最小值为 50．（23-24高二上·湖北襄阳·期中）已知P为抛物线y=x2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是(2,0)，求|PA|+|PM|的最小值 【答案】 【解析】根据抛物线标准方程有焦点，准线方程为，根据抛物线定义，结合三角形三边的性质即可求最小值. 【详解】抛物线标准形式为，则焦点，准线方程为， 延长PM交准线于N，连PF，由抛物线定义知： ，而在△中，， ∴仅当F、P、A共线时，为最小值， ∴此时为最小值. 【点睛】关键点点睛：由抛物线的定义将问题转化为求最小值，由三角形三边的性质知：三点共线时有最小值. 【经典计算题六 抛物线的焦半径公式】 51．（22-23高二上·河南商丘·期末）已知动点到点的距离与到轴的距离的差为2. (1)求动点的轨迹方程； (2)若过点的直线与动点的轨迹交于两点，直线与轴交于点，过作直线的垂线，垂足分别为，若（S表示面积），求. 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）根据题意结合抛物线的定义理解运算； （2）由分析可得，结合抛物线的定义与方程列式求解. 【详解】（1）∵到的距离与到轴的距离的差为2，则到的距离与到直线的距离相等， ∴动点的轨迹是抛物线，其方程为. （2）设. ∵，则， ∴. 又∵，则， 解得， 故. 52．（23-24高二上·河北邯郸·期中）若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|=，|AF|=3，求此抛物线的标准方程． 【答案】x2=4y或x2=8y 【分析】设抛物线的方程为x2=2py（p>0），过A作AB垂直于抛物线的准线，垂足为B．由已知条件推导出点，由此能求出结果 【详解】试题解析：设所求抛物线的标准方程为 x2=2py（p>0），设． ∵|AF|=3，∴， ∵|AM|=，∴， ∴，代入方程得， ，解得p=2或p=4． ∴所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y 考点：抛物线的标准方程 53．（23-24高二下·云南红河·期末）设抛物线上的点与焦点的距离为6，且点到x轴的距离为． （1）求抛物线的方程； （2）设抛物线的准线与x轴的交点为点，过焦点的直线与抛物线交于两点，证明：． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】（1）求出点的坐标，利用抛物线的定义列方程可得，进而得出抛物线的方程； （2）设出直线，与抛物线联立，消元写出韦达定理，利用直线斜率公式代入化简，可得，即为的角平分线，命题得证． 【详解】（1）由点到轴的距离为得：， 将代入得：， 由抛物线的定义得，， 由已知，， 所以， 所以抛物线的方程为； （2）由得， 由题意知与抛物线交于两点， 可设直线的方程为，，， 联立方程，得， 所以，，， 所以 ， 所以， 则 所以为的角平分线， 由角平分线的性质定理，得． 54．（24-25高二上·广西南宁·期末）已知抛物线的焦点为F，且A是抛物线上一点. （1）若求点A的坐标； （2）直线l：与抛物线交于两个不同的点P，Q，若，求实数m的值. 【答案】（1）点A的坐标为；（2）. 【解析】（1）由根据焦半径公式求出点A的横坐标，再代入抛物线方程求得纵坐标； （2）由得，利用韦达定理，结合向量垂直的坐标表示，列方程可求实数m的值. 【详解】（1）设，，， 所以， 点A的坐标为. （2）由得， 设，，则，， ，， 又，，， 或， 经检验，当时，直线与抛物线交点中有一点与原点O重合：不符合题意， 当时，，符合题意. 综上，实数m的值为. 【点睛】方法点睛：解决直线与抛物线的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与抛物线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单. 55．（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在第一象限内且为抛物线上一点，点，当直线的倾斜角为时，恰为等边三角形． （1）求的方程； （2）过轴上一点作抛物线的切线交直线于，以为直径作圆，过点作直线交圆于，两点，试问：是否为定值？并说明理由． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用几何关系求出点的横坐标和，然后由抛物线的定义可得，结合为等边三角形，列出关于的等式，求解即可得到答案. （2）设直线的方程，得到点的坐标，由此求出以为直径的圆的方程，联立直线与抛物线的方程，由相切得到，再设直线的方程，联立直线与圆的方程，得到韦达定理，表示出和，化简即可得到答案. 【详解】（1）由题意可得 ，且， 由抛物线的定义可知， 因为为等边三角形，所以， 即，解得， 所以抛物线方程为. （2） 设直线的方程为， 则，，， 所以以为直径的圆：， 即， 联立方程组，消去整理可得， 因为直线与曲线相切，所以， 化简可得， 设直线的方程为， ，， 联立方程组 ， 消去整理可得， 所以， 因为，， 所以， 故为定值. 【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系的应用，同时考查了抛物线的定义的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，此题解题的关键是根据直线与抛物线的位置关系得出，解出，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，考查了运算求解能力. 56．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知抛物线：经过点. （1）若抛物线上一动点到准线的距离为，，求的最小值； （2）若直线：与抛物线交于两点，为原点，证明：为定值. 【答案】（1）最小值为；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用抛物线定义，把转化为，利用三点共线求最小值； （2）把用坐标表示，利用“设而不求法”求出即可. 【详解】解：（1）将代入得，∴. 由抛物线的定义可知，其中为的焦点. ∴，∴的最小值为. （2）证明：设，， 由得， ∴，又， ∴(为定值). 【点睛】（1）解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意寻找几何关系可以简化运算． （2）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题. 57．（2023·安徽·二模）过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，当点的纵坐标为1时，. （Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）若抛物线上存在点，使得，求直线的方程. 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ). 【详解】试题分析：（I）利用拋物线的定义,结合即可得，，从而抛物线的方程为；（II）方程为，由得， 令，，,利用韦达定理及,建立关于的方程,解方程即可求直线的方程. 试题解析：（Ⅰ）的准线方程为，当点纵坐标为1时， ，， 抛物线的方程为. （Ⅱ）在上，， 又,设方程为，由得， 令，，则，，，，, ， 或0， 当时，过点（舍），， 方程为. 58．（2024·上海·模拟预测）已知过点的直线与抛物线交于、两点，且，其中为坐标原点. （1）求的值； （2）当最小时，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设直线的方程为和抛物线方程联立利用韦达定理代入即可求得；（2）利用抛物线定义结合基本不等式求得取最小值时的值，代入点B坐标，将点代入，求得直线方程. 【详解】（1）设直线的方程为 ，得 设，，所以， 因为，所以 又，所以，又因为，所以. （2）根据抛物线定义，得， 所以，当且仅当时等号成立. 将代入，得（负值舍去）. 将代入，得，即点 将点代入，得 所以直线的方程为，即. 59．（2024·云南红河·模拟预测）已知M是抛物线上一点，F是抛物线C的焦点，． （Ⅰ）求直线MF的斜率； （Ⅱ）已知动圆E的圆心E在抛物线C上，点在圆E上，且圆E与y轴交于A，B两点，令，，求最大值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【分析】（1）利用点到焦点距离等于到准线的距离解出点的横坐标，继而得到纵坐标，然后计算直线的斜率； （2）设出动圆的圆心，表示出圆的标准方程，解出圆与的交点坐标，得出和，然后求其最大值. 【详解】（Ⅰ）设，∵， ∴，∴ 且， 所以直线MF的斜率为； （Ⅱ）设圆心，圆E的方程为， 化解得， 令得， 即， 所以或， 不妨设， ， 当且仅当，即时，取“=”， 所以的最大值为． 【点睛】本题考查抛物线的定义、圆的方程及有关线段长度比值的最值问题，题目较难.解答时，抛物线的焦点弦长问题紧扣抛物线定义求解；第二问的解答关键在于写出圆的方程并表示目标式，难点在于利用基本不等式求解的最大值. 60．（23-24高三上·上海·开学考试）已知抛物线，点为的焦点，为上互异的三点． (1)若，求的坐标； (2)过点的直线交抛物线于、两点，求的值(其中为坐标原点)； (3)若为等腰直角三角形，求面积的最小值． 【答案】(1)或 (2) (3)16 【分析】（1）根据焦半径公式求解即可； （2）联立韦达代入即可； （3）利用等腰直角三角形的特点设坐标，代入抛物线方程整理化简，结合基本不等式求最值即可，注意验证取等号条件. 【详解】（1）不妨设，因为，可得，解得， 则的坐标为 或 ； （2）由题知，直线斜率不为0，故可设过焦点的直线为，设点， 联立得 则． （3）若三角形为等腰直角三角形， 不妨设，因为，且， 不妨设， 此时， 代入抛物线方程可得：， 解得， 所以 ， 整理得， 由于 ，当且仅当 时等号成立， ，当且仅当 时等号成立， 则，即， 当且仅当时等号成立， 所以， 当且仅当，时，三个顶点坐标为， 此时三角形面积的最小值为16． 【经典计算题七 根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围】 61．（24-25高二上·吉林·期中）已知椭圆的焦距为12，长半轴长为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意，根据椭圆的几何性质求得，即得椭圆方程； （2）设，利用点差法化简，得，代入弦的中点坐标，求出直线斜率，即得其方程. 【详解】（1）由题意可知 则，所以椭圆的方程为. （2）    由题意直线l的斜率存在，如图，设，则 两式相减得，整理可得. 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 62．（24-25高二上·重庆·期中）已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆相交于不同的两点和，当时，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得关于，的方程，求解即可； （2）联立方程，根据求出的范围，再利用韦达定理和弦长公式列出关于的方程，求解即可. 【详解】（1）由题意得：，所以， 点在椭圆上，所以，解得， 所以椭圆的方程为：． （2） 直线的方程为： 联立，消去后，得关于的一元二次方程， 化简得， 由题意知，解得或， 由韦达定理可得，， 所以， 所以，化简得，解得，即， 经检验符合题意. 63．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）已知椭圆：的离心率为，焦距为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相切，且直线与直线：平行，求直线的斜截式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出关于的方程组即可求解； （2）设所求直线方程为，联立椭圆方程结合判别式等于0求出参数的值即可得解. 【详解】（1）由题意得，从而可得， 椭圆的标准方程为. （2）设与直线平行的直线的方程为：， 联立，得， 由，得， 直线的斜截式方程为：. 64．（24-25高二上·上海·课后作业）已知椭圆C的两焦点为，，P为椭圆上一点，且到两个焦点的距离之和为6. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若已知直线，当m为何值时，直线与椭圆C有公共点？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由焦点坐标得到c，由椭圆的定义求出a，进而求出b的值，即可得出椭圆的方程； （2）联立直线与椭圆方程，消去y，直线与椭圆C有公共点即所得一元二次方程有解，计算得出m的范围. 【详解】（1）由题意可得：，即，可得， 且椭圆焦点在x轴上，所以所求的椭圆方程为. （2）联立方程，消去y得. 由，得，则. 所以当时，直线与椭圆有公共点. 65．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线与椭圆. (1)若它们有两个公共点，求的取值范围； (2)若它们只有一个公共点，求公共点的横坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，联立方程组，结合，即可求解； （2）根据题意，结合，求得的值，代入方程，即可求解. 【详解】（1）解：根据题意，联立方程组，整理得到， 由，解得， 所以实数的取值范围为. （2）解：由（1）中，令，解得或， 当时，可得，解得； 当时，可得，解得， 所以公共点的横坐标为或. 66．（22-23高二·全国·课堂例题）已知直线与椭圆，分别求直线l与椭圆C有两个公共点、只有一个公共点和没有公共点时m的取值范围． 【答案】答案见解析 【分析】联立直线l的方程与椭圆C的方程，消去y，得到一元二次方程，根据该一元二次方程根的判别式进行求解即可. 【详解】联立直线l的方程与椭圆C的方程得方程组 消去y，整理得，  ① 因为①的判别式为 ， 所以： 当即时，方程①有两个不同的实数解，此时原方程组的实数解集中有两个元素，直线l与椭圆C有两个公共点； 当即时，方程①有两个相等的实数解，此时原方程组的实数解集中只有一个元素，直线l与椭圆C有且只有一个公共点； 当即或时，方程①无实数解，此时原方程组的实数解集为空集，直线l与椭圆C没有公共点． 67．（22-23高二·全国·课堂例题）已知x，y满足，求的最值． 【答案】最大值为13，最小值为． 【分析】利用直线截距的几何意义，联立方程，利用与椭圆相切判别式为0即可求解. 【详解】等价于（它表示斜率为3的平行直线系方程），则z为直线在y轴上的截距，又表示椭圆及其内部区域， 所以当直线与椭圆相切时，z可取到最大或最小值． 将代入，得． 令得．故z的最大值为13，最小值为．    68．（23-24高三上·湖南长沙·周测）已知椭圆：的左焦点为，为椭圆上一点，交轴于点，且为的中点． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆有且只有一个公共点，平行于的直线交于，交椭圆于不同的两点，，问是否存在常数，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在常数. 【详解】试题分析：（1）先求出，可得，再由为椭圆上一点得，解得的值即可得椭圆的方程；（2）设直线的方程为，解方程组消去得到，根据弦长公式可得且 ，进而得. 试题解析：（1）设椭圆的右焦点是，在△中，，∴， ∴，∴，，∴椭圆的方程为． （2）设直线的方程为，解方程组 消去得到， 若，，则，，其中， ， 又直线的方程为，直线的方程为， ∴点坐标，， ∴，， 所以存在常数，使得． 考点：1、待定系数法求椭圆的标准方程；2、韦达定理及弦长公式以及解析几何中的存在性问题. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆的标准方程、韦达定理及弦长公式以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径. 69．（2025高三·全国·专题练习）设椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上且异于两点，为坐标原点．若，证明：直线的斜率满足． 【答案】证明见解析 【分析】直线的方程为，设点的坐标为，代入椭圆方程，再由，运用两点的距离公式，化简整理，再由二次不等式的解法，即可得证． 【详解】依题意，直线的方程为，设点的坐标为，． 由条件得，消去并整理得② 由，及，得． 整理得．而，于是，代入②， 整理得． 由，故，即， 因此，所以．    70．（2025高三·全国·专题练习）求椭圆两条互相垂直的切线的交点的轨迹方程． 【答案】 【分析】当其中一条切线斜率不存在时，求得点的坐标，当当两条切线斜率均存在时，设切线方程为，与椭圆方程联立，结合得，根据两切线互相垂直得，进而求得点的轨迹方程. 【详解】当其中一条切线斜率不存在时，交点为中的一个； 当两条切线斜率均存在时，设点，切线方程为． 由消去得 ． 由， 得． 当时，因为，所以有． 又当时，也满足． 所以所求点的轨迹方程为． 【经典计算题八 椭圆中三角形(四边形)的面积】 71．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）在直角坐标系中，，分别是，轴上一点，且．动点满足，点的轨迹为． (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于，两点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）设出点坐标，表达出向量，即可根据关系式得出曲线的方程； （2）作出图象，设出直线与椭圆的交点坐标和点到直线的距离，直曲联立得出一元二次方程，利用韦达定理得出面积的表达式，结合基本不等式即可求出最大值. 【详解】（1）由题意， ，分别是，轴上一点，且． 动点满足， 设，，， ∴，，， 即 ∴，解得：， ∴曲线的方程为：． （2）由题意及（1）得， 在中， 过点的直线与曲线交于，两点， 易知直线的斜率存在，设其方程为，即，设，， 由消去得， 由，得， ，． 设点到直线距离为，的面积为， ，解得： 设，则， ， 当且仅当时取等号， ∴面积的最大值为1． 72．（24-25高二上·江苏·期中）已知椭圆的焦点为，且该椭圆经过点. (1)求的标准方程； (2)若为上一点，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的标准方程. （2）根据椭圆的定义求得，从而求得的面积. 【详解】（1）依题意，设椭圆方程为， 所以，解得. 所以椭圆的标准方程为. （2）由于，，根据抛物线的定义有： ，整理得， 所以的面积为. 73．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆的基本性质得到椭圆的值，写出椭圆方程. （2）写出直线方程，联立方程组，由韦达定理得到和，用交点弦长公式得到线段长，由点到直线距离得到三角形高，从而算出三角形面积. 【详解】（1）由题意可知：，则， ∵，∴， ∴， ∴椭圆 （2），∴直线：， 联立方程组得, 设， 则， 点到直线的距离 ∴    74．（23-24高二上·天津·阶段练习）如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，，一条直线经过与椭圆交于，两点． (1)求焦点坐标，焦距，短轴长； (2)若直线的倾斜角为，求的面积． 【答案】(1)焦点坐标为，，焦距为，短轴长为； (2). 【分析】（1）根据椭圆方程求得，再根据求出，再根据相关定义即可求解； （2）通过直线与椭圆方程建立方程组，化简得到关于的一元二次方程，进而得到，根据图象可得，进而得解. 【详解】（1）设长半轴、短半轴、焦距分别为，由已知方程得到，，所以，，由得， 故焦点坐标为，，焦距为，短轴长为； （2）设，， 由已知得直线的方程为，与联立方程组得， 则，， 故， 令的面积为，所以. 75．（23-24高二上·陕西渭南·期末）已知椭圆：（）的左焦点为，短轴长为2． (1)求椭圆的方程； (2)过点、斜率为1的直线交椭圆于，两点，为坐标原点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由基本量求解椭圆方程即可. （2）求出直线与椭圆的交点坐标，再求解三角形面积即可. 【详解】（1） 由题设知，所以， 于是椭圆的方程为； （2）依题意，直线的方程为，设， 联立，解得或， 所以的面积 . 76．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知椭圆左焦点的、右顶点，过且斜率为的直线l与椭圆交于两点，求的面积. 【答案】 【分析】画出图形并根据标准方程写出，联立直线和椭圆方程并利用弦长公式和点到直线距离公式即可求出的面积为. 【详解】如下图所示： 易知，直线的方程为， 设， 联立直线与椭圆方程，消去可得， 由勾股定理可得， 可得， 点到直线的距离为， 所以的面积为. 即的面积为. 77．（23-24高三上·北京·开学考试）已知直线过椭圆C的中心坐标原点O，与平行的直线与C交于两点，且.当轴时，直线AB过C的一个焦点. (1)求C的方程； (2)点D、E满足，交于点G，直线交于点H，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中条件，列出方程组，求出，即可得出椭圆方程. （2）当直线的斜率不存在时，求出点G和点H的坐标，求得；当直线的斜率存在时，利用相似比例得，设直线，与椭圆方程联立得，求出，点到直线的距离，代入面积公式得，利用换元法求得，从而求出面积的最大值. 【详解】（1）由题意椭圆C的焦点在轴上，设为（）， 则由题意，即，解得， 所以椭圆C的方程为； （2）当直线的斜率不存在时，则直线为轴，易知， 因为，所以， 直线方程为，即，令得， 直线方程为，即，令得， 此时面积为； 当直线的斜率存在时，因为，所以为中点，， 因为，由相似三角形性质可得，所以，所以， 设直线， 由，消去得， 则，即， ，且，所以， 直线方程为，即，且， 点到直线的距离为， 所以， 令，则， 因为，所以，所以，所以， 所以， 因此，当时，面积取到最大值； 综上，面积的最大值为. 78．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，且满足． (1)求的方程； (2)设直线与交于两点，若线段中点的纵坐标为1，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点的坐标代入椭圆的方程，结合的坐标运算列方程求解即可. （2）设直线方程为，与椭圆方程联立，韦达定理，求出和点到直线的距离，代入面积公式并化简得，利用二次函数性质求解最大值即可. 【详解】（1）因为在上，所以①． 由题意知，所以． 由，得，解得②． 由①②联立解得， 所以的方程为． （2）当直线的斜率不存在时，线段的中点的纵坐标为0，故直线的斜率存在． 设其方程为，联立消得． 由，得③． 如图，设， 则． 所以，则． 所以，代入③得， 所以． ， 点到直线的距离， ， ． 当时，最大，最大值为． 79．（24-25高三上·山西·阶段练习）已知椭圆，为椭圆上一点，分别为它的左右焦点，到距离之和为4，离心率． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于两点，求三角形面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，结合椭圆的性质，求出即可． （2）联立直线与椭圆方程，利用弦长公式及点到直线距离公式求解即得． 【详解】（1）依题意，，则，由离心率，得，解得， 所以椭圆的方程为． （2）设，， 由消去得，解得， 则弦长， 原点到直线距离， 所以三角形面积． 80．（24-25高二下·陕西西安·期末）已知椭圆的离心率为，且长轴长为4． (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C左焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，求三角形面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率以及长轴列方程组求，即可得方程； （2）设直线l：，，联立方程利用韦达定理可得，进而可得，换元令，结合函数单调性求最值即可. 【详解】（1）由题意可知：，解得， 所以椭圆C的方程为. （2）由题意可知：，直线l的斜率可以不存在，但不为0，且直线l必与椭圆相交， 设直线l：，， 联立方程，消去x可得， 则， 可得， 则三角形面积， 令，则， 可得， 因为在内单调递增，则， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以角形面积的最大值为. 【经典计算题九 求椭圆中的最值问题】 81．（23-24高三上·天津南开·期末）设椭圆经过点，且其左焦点坐标为. (1)求椭圆的方程； (2)对角线互相垂直的四边形的四个顶点都在上，且两条对角线均过的右焦点，求的最小值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据焦点坐标和椭圆所过点，利用椭圆的定义可求方程； （2）设出直线方程，联立，结合韦达定理表示出，利用二次函数可得答案. 【详解】（1）因为椭圆的左焦点坐标为， 所以右焦点坐标为. 又椭圆经过点， 所以. 所以椭圆的方程为. （2）①当直线中有一条直线的斜率不存在时，. ②当直线的斜率存在且不为0时， 设直线的方程， 由，得， 则， . 设直线的方程为，同理得， 所以， 设，则， 则， 所以时，有最小值. 综上，的最小值是. 82．（23-24高二下·江西上饶·期中）已知椭圆，其短轴的一个端点到右焦点的距离为，且点在椭圆上. 直线的斜率为,且与椭圆交于、两点． （1）求椭圆的方程； （2）求面积的最大值. 【答案】（1）（2） 【详解】试题分析：（1）把点A代入椭圆方程，结合a=2解出b，则椭圆的标准方程可求；（2）写出直线的点斜式方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0解出m的范围，求出相应的两个根，由点到直线的距离公式求出A到BC边的距离，写出面积后利用基本不等式求面积的最大值，验证得到的m值符合判别式大于0 试题解析：（1）由题意知，所以. 故所求椭圆方程为 （2） 设直线的方程为,则.设 代入椭圆方程并化简得, 由,可得 . （） 由（），得, 故…..9分 又点到的距离为, 故 , 当且仅当,即时取等号满足（）式. 所以面积的最大值为. 考点：直线与圆锥曲线的综合问题 83．（24-25高二上·山东济南·期中）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为的直线与椭圆交于两点，且点在第一象限，点分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由离心率和椭圆过点解得的值，写出椭圆方程； （2）写出直线方程，联立方程组消元得到二次方程，用韦达定理表示出线段的长，再求出点到直线的距离，由三角形面积公式求得四边形面积代数式，然后求最大值. 【详解】（1）由题意可得：，解得， 由椭圆过点，得，联立解得，， 所以椭圆的方程为. （2）由题意可设， 因点在第一象限，则， 设，，点，到直线的距离分别为，， 由，消可得， ，当时，， 所以，， 所以， ，，直线的一般式方程：， 所以，， 所以， 所以， 当时，有最大值为. 84．（24-25高三上·湖南益阳·期末）已知椭圆过点，且椭圆的短轴长等于焦距． (1)求椭圆的方程； (2)若直线的斜率为，且与椭圆相交于、两点，求面积取得最大值时直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干的条件以及联立方程即可求得结果. （2）设出直线方程，代入椭圆方程中，利用韦达定理和弦长公式求出，再求出点到直线的距离，利用面积公式和基本不等式即可求出结果. 【详解】（1）点代入方程得① 且②，③ 由①②③可解得：，， 所以椭圆 （2）直线的方程：，点、． 直线方程代入椭圆得， 由，得 ， 则弦长， 点到直线的距离 面积 当且仅当即时等号成立， 故面积取得最大值时直线的方程为 85．（2024高三·全国·专题练习）已知，为椭圆上两点，是椭圆的上的动点． (1)求椭圆的标准方程； (2)求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求椭圆方程； （2）方法一：设，直线，求点到直线的距离为最大值即可.解法一：设，代入，利用求得的最大值；解法二：第二步：利用不等式求的最大值； 方法二：设与平行的直线方程为，与椭圆方程联立，利用求出，求出两条平行直线间的距离，得到面积的最大值. 【详解】（1）由题可得，将，两点的坐标代入椭圆方程， 可得解得 故椭圆的标准方程为． （2）方法一：设，因为点在弧上， 所以，，且①． 由，，可得． 直线，点到直线的距离为， 解法一：设，代入得， 因为，得． 当，且时，得，即， 所以，所以． 故面积的最大值为． 解法二：因为． 所以，当且仅当时，等号成立（提示：不等式当且仅当时等号成立），解得， 则． 故面积的最大值为． 方法二：由，，得． 易得直线， 设与平行的直线方程为， 由得， 当直线与椭圆相切时，，解得， 因为点在弧上，所以． 此时直线与直线的距离， 所以面积的最大值为． 86．（24-25高二上·河南驻马店·期中）动点M与定点的距离和它到定直线的距离比是常数， (1)求动点M的轨迹C的方程； (2)若直线l过点，且与C交于A，B两点，当最大时，求直线l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据题意列式整理即可得轨迹方程； （2）分类讨论直线的斜率是否存在，联立方程利用韦达定理整理可得.解法一：换元令，结合二次函数求最值；解法二：利用基本不等式求最值. 【详解】（1）设，得， 整理得M的轨迹C的方程为. （2）当直线l的斜率不存在时，方程为，此时； 当直线l的斜率存在时，设方程为，，， 联立方程，消y得， 恒成立，故， 则，， 所以， 法一：令，，则， 可得， 当，即，时，取得最大值3； 综上所述，当最大时，所求直线l的方程为； 法二： ， 当且仅当，即时，等号成立， 综上所述，当最大时，所求直线l的方程为. 87．（24-25高二上·安徽·期中）已知椭圆，圆过椭圆的左、右顶点和上顶点． (1)求圆的标准方程； (2)若直线经过椭圆的右焦点，与圆交于两点． （i）若，求直线的方程； （ii）直线经过点与圆C交于，且直线与直线相互垂直，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i）或；（ii） 【分析】求出椭圆E的左、右顶点和上顶点，设圆C的一般方程：，利用待定系数法求出一般方程，化为标准方程即可； 易知椭圆的右焦点，圆心，对直线的斜率是否存在进行分类讨论即可求解； 过圆心，分别作，，垂足分别为G、H，求出，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）易知椭圆E的左、右顶点的坐标为、，上顶点的坐标为， 设圆C的一般方程：， 因为圆C过椭圆的左、右顶点和上顶点， ，解得：， 故圆C的一般方程为：， 标准方程为：. （2）易知椭圆的右焦点，圆心. 当直线l的斜率不存在时，，此时，符合条件； 当直线l的斜率存在时，设l的斜率为k，则即：， 设圆心C到直线l的距离为d， ，解得， ，解得， 所以， 综上：直线l的方程为：或； 如图，过圆心C，分别作，，垂足分别为， 则：， ，且， ， 当且仅当时，取等号. 所以：四边形面积的最大值为. 88．（24-25高二上·浙江·期中）已知圆：，点，点是圆A上任意一点.线段的垂直平分线和半径相交于点，与圆A交于，两点，则当点在圆A上运动时， (1)求点的轨迹方程； (2)证明：直线是点轨迹的切线； (3)求面积的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）根据题设得到，结合椭圆定义写出轨迹方程即可. （2）设求出直线l的方程，然后与椭圆联立消元，通过判别式等于零得方程有两个相等的根即可， （3）根据面积公式列出关于的表达式，然后根据的有界性求出最值即可 【详解】（1）由线段的垂直平分线的性质可知，， 故， 所以点在以点A，为焦点的椭圆上， 其中椭圆的长轴长为8，焦距为，短轴长， 故点的轨迹方程为：. （2）设， 则有：， 将代入椭圆：消去整理得 ， 故， 即 所以，直线是点轨迹的切线；. （3）由（2）可知，点到直线的距离为 ， 点A到直线的距离为 ， 故线段， 所以的面积为 ， 当且仅当时，等号成立， 所以当时，的面积的最大值为. 89．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知为椭圆C：上的点，C的焦距为． (1)求椭圆C的方程； (2)点P为椭圆C上的动点，过点P作圆O：的两条切线，切点分别为A，B，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点在椭圆上，代入即可列方程求解， （2）根据点点的距离可得，即可根据模长公式以及数量积的运算，结合二倍角公式即可求解. 【详解】（1）由题意可得，解得， 故椭圆方程为 （2）设，则， 由于，故， 故，由于故，因此， 故 90．（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）已知椭圆，经过点，且离心率. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l交直线于点N，直线m与x轴交于点M，记，的面积分别为，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助离心率公式，构造方程组，解出即可； （2）画出草图，因为直线，所以直线过焦点，与椭圆联立，借助韦达定理，求出，后将用k表示，变形，借助基本不等式可解. 【详解】（1）由题意，， 所以，故所求椭圆方程为 （2）因为直线，所以直线过焦点， 联立，消元得， 设，则， 由可得． ， 由题意，， 当且仅当，即时等号成立，则的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $