期中培优：空间向量与空间位置关系问题、空间角度问题、空间距离问题复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册讲义 期中培优：空间向量与空间位置关系问题、空间角度问题、空间距离问题复习讲义 考点目录 空间向量与空间位置关系问题 空间向量与空间角度问题 空间向量与空间距离问题 考点一 空间向量与空间位置关系问题 一、核心工具 1. 直线的方向向量：与直线平行的非零向量，记为 、，描述直线的方向。 1. 平面的法向量：与平面垂直的非零向量，记为 、，描述平面的朝向。 · 求法：取平面内两个不共线向量 ，设法向量 ，由 赋值求解。 二、位置关系的向量判定 1. 线线位置关系 设直线 的方向向量为 ： · 平行： · 垂直： 2. 线面位置关系 设直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ： · 平行： 且 ，即 · 垂直： 3. 面面位置关系 设平面 的法向量为 ： · 平行： · 垂直： 三、解题步骤 1. 依托几何体的垂直关系建立空间直角坐标系，写出各顶点坐标； 1. 求出对应直线的方向向量、平面的法向量； 1. 通过向量共线、数量积为 0 验证平行/垂直关系； 1. 结合几何约束（如直线不在平面内），给出最终位置关系结论。 例1．（26-27高二上·黑龙江绥化·阶段检测）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则__________． 例2．（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）已知是直线l的方向向量，是平面的法向量，若，则实数______． 例3．（26-27高二上·青海海东·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，，、分别是棱、、的中点． (1)求平面的法向量； (2)证明：平面． 例4．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）如图，平行六面体中，，．设，，． (1)求与所成角的余弦值； (2)证明：平面． 变式1．（25-26高二上·天津·期中）已知直线l的方向向量，平面的法向量，若，则的值等于_________. 变式2．（25-26高二上·山西太原·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则等于__________. 变式3．（26-27高二上·河北唐山·阶段检测）如图，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在上，且. (1)求证：； (2)求与所成角的余弦值. (3)若本例条件不变，为的中点，证明： 变式4．（26-27高二上·河南周口·阶段检测）如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点，建立适当的空间直角坐标系.    (1)求； (2)证明：平面． 考点二 空间向量与空间角度问题 一、核心：三类空间角的向量解法 空间角均转化为两个向量的夹角计算，需注意每类角的取值范围与对应三角函数名，核心规则是结果取锐角/直角时加绝对值。 空间角类型 取值范围 向量计算公式 核心说明 异面直线所成角 取方向向量夹角的锐角/直角，分子加绝对值 直线与平面所成角 线面角与“方向向量-法向量夹角”互余，用正弦，分子加绝对值 二面角 先算绝对值，再结合图形判断二面角钝锐，确定最终符号 重点说明 1. 异面直线所成角：若计算得余弦值为负，取绝对值即可，角的范围限定为锐角到直角。 1. 线面角：最易记错三角函数名。本质是直线与其在平面内投影的夹角，和“直线方向向量与法向量的夹角”互余，因此用正弦对应法向量夹角的余弦。 1. 二面角钝锐判断： · 观察法：通过图形直观判断二面角是锐角还是钝角； · 方向法：若两个法向量一个指向二面角内部、一个指向外部，则二面角等于法向量夹角；若同时向内或同时向外，则二面角与法向量夹角互补。 二、解题步骤 1. 建系，写出各点坐标； 1. 求出对应直线的方向向量、平面的法向量； 1. 代入对应角度公式，计算三角函数值； 1. 结合角度范围与图形特征，确定最终角度（或其三角函数值）。 例1．（26-27高二上·北京平谷·阶段检测）如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，，平面平面，M是的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线与直线所成角的大小； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 例2．（26-27高二上·重庆璧山·阶段检测）如图，在三棱柱中，平面平面，，是的中点，且，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 例3．（26-27高二上·山东淄博·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点． (1)求点到平面的距离： (2)求平面与平面夹角的余弦值． 变式1．（26-27高二上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在空间几何体中，四边形是边长为2的正方形，平面，，，，且． (1)求证：平面； (2)点是线段的三等分点（靠近点G），求直线与平面所成角的正弦值． 变式2．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为4的正方形，为等边三角形，E，F分别是PB，PC的中点． (1)求证:平面 (2)若平面平面，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值． 变式3．（26-27高二上·湖北·阶段检测）如图，在四棱锥中，侧棱平面，底面四边形是矩形，，点，分别为棱，上靠近点的三等分点，点在棱上，． (1)求证：直线平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，求平面与平面所成的夹角的余弦值． 考点三 空间向量与空间距离问题 一、核心思想 空间距离本质是向量的投影长度，结果恒为非负值。其中点到平面的距离是核心，线面距、面面距均可转化为点到平面的距离求解。 二、 点到平面的距离（最核心） · 公式：设平面 的法向量为 ， 是平面外一点， 是平面内任意一点，则点 到平面 的距离： · 几何意义：向量 在法向量方向上的投影的绝对值。 三、直线到平面的距离 · 前提：直线与平面平行； · 转化：在直线上任取一点，该点到平面的距离即为直线到平面的距离。 四、两个平行平面的距离 · 前提：两个平面互相平行； · 转化：在其中一个平面上任取一点，该点到另一个平面的距离即为两平面的距离。 五、点到直线的距离 设直线 的方向向量为 ， 是直线外一点， 是直线上任意一点，则点 到直线 的距离： 也可通过勾股定理计算：先求 在直线上的投影长，再用 减去投影长的平方，开方得距离。 六、异面直线的距离 设两条异面直线的方向向量为 ， 分别为两直线上任意一点，则公垂线段长度： 也可转化为：过一条直线作另一条直线的平行平面，异面直线距离转化为线面距离。 七、解题步骤 1. 建系，写出对应点坐标； 1. 求解平面的法向量（或直线的方向向量）； 1. 选取参考向量（如平面内一点指向目标点的向量）； 1. 代入对应距离公式计算。 例1．（26-27高二上·河南新乡·阶段检测）已知空间四点，. (1)用坐标表示； (2)求证：平面； (3)求点到平面的距离. 例2．（26-27高二上·四川绵阳·阶段检测）如图，在长方体中，，，点E在上，且． (1)求点E到直线的距离； (2)求三棱锥的体积． 例3．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面ABC，，M，N分别为PC，AB的中点． (1)求异面直线PC与AB间的距离； (2)求二面角的余弦值． 变式1．（26-27高二上·上海黄浦·阶段检测）在长方体中，，，为的中点． (1)求直线与平面所成的角的正弦值； (2)求点到平面的距离． 变式2．（26-27高三上·上海嘉定·阶段检测）如图，在三棱柱中，为的中点，，二面角的平面角． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 变式3．（26-27高三上·河南开封·阶段检测）如图，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面相互垂直． (1)证明：； (2)证明：与是异面直线； (3)定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．依据上述定义，求异面直线与之间的距离． 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册讲义 期中培优：空间向量与空间位置关系问题、空间角度问题、空间距离问题复习讲义 考点目录 空间向量与空间位置关系问题 空间向量与空间角度问题 空间向量与空间距离问题 考点一 空间向量与空间位置关系问题 一、核心工具 1. 直线的方向向量：与直线平行的非零向量，记为 、，描述直线的方向。 1. 平面的法向量：与平面垂直的非零向量，记为 、，描述平面的朝向。 · 求法：取平面内两个不共线向量 ，设法向量 ，由 赋值求解。 二、位置关系的向量判定 1. 线线位置关系 设直线 的方向向量为 ： · 平行： · 垂直： 2. 线面位置关系 设直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ： · 平行： 且 ，即 · 垂直： 3. 面面位置关系 设平面 的法向量为 ： · 平行： · 垂直： 三、解题步骤 1. 依托几何体的垂直关系建立空间直角坐标系，写出各顶点坐标； 1. 求出对应直线的方向向量、平面的法向量； 1. 通过向量共线、数量积为 0 验证平行/垂直关系； 1. 结合几何约束（如直线不在平面内），给出最终位置关系结论。 例1．（26-27高二上·黑龙江绥化·阶段检测）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则__________． 【答案】 【详解】 例2．（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）已知是直线l的方向向量，是平面的法向量，若，则实数______． 【答案】 【分析】由求解即可. 【详解】由题意可得：， 即， 解得：， 故答案为： 例3．（26-27高二上·青海海东·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，，、分别是棱、、的中点． (1)求平面的法向量； (2)证明：平面． 【答案】(1) (2)由（1）得. 则. 所以. 所以，即. 又因为，平面， 所以平面. 【分析】（1）以为原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系即可求平面的法向量. （2）利用空间向量可证明，再利用线面垂直的判定定理即可. 【详解】（1）如图，以为原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 则， 则. 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以. 平面的法向量. （2）略 例4．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）如图，平行六面体中，，．设，，． (1)求与所成角的余弦值； (2)证明：平面． 【答案】(1) (2)证明：，. . ，即. =， ，即. ，平面，平面， 所以平面. 【分析】(1)用，，表示向量、；利用向量数量积公式算出向量点积、模长；异面直线夹角用公式计算； (2)把，用基底表示；分别计算和、的数量积，结果都为0，得到两组线线垂直；，是平面内相交直线，由线面垂直判定定理得证. 【详解】（1）由题意，，. ，，. ，. 设异面直线与所成角为，. ，. ，. . 与所成角的余弦值为. （2）略. 变式1．（25-26高二上·天津·期中）已知直线l的方向向量，平面的法向量，若，则的值等于_________. 【答案】 【分析】利用空间向量法判断直线与平面垂直的条件，可得，从而利用空间向量共线的坐标运算，即可求得，则问题即可求解. 【详解】由可得，， 所以可得，即， 故答案为：. 变式2．（25-26高二上·山西太原·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则等于__________. 【答案】4 【分析】利用空间位置关系的向量证明，列式计算得解. 【详解】由，得，从而，即，解得. 故答案为：4 变式3．（26-27高二上·河北唐山·阶段检测）如图，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在上，且. (1)求证：； (2)求与所成角的余弦值. (3)若本例条件不变，为的中点，证明： 【答案】(1)证明：以所在直线分别为轴，轴，轴，建系如图， 则根据题意可得： ，即，； (2) (3)证明：因为为的中点，所以， 又因为 所以， 所以，即， 又平面，平面， 所以 【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，由，即可证明； （2）根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. （3）利用向量证明，再结合平面，平面即可证明. 【详解】（1）略 （2）由（1）知 ， 又与所成角的范围为，与所成角的余弦值为． （3）略 变式4．（26-27高二上·河南周口·阶段检测）如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点，建立适当的空间直角坐标系.    (1)求； (2)证明：平面． 【答案】(1) (2) 设平面法向量为 则，取其中一组解， 所以为平面法向量. 所以平面. 【分析】（1）建立空间直角坐标系写出点的坐标，然后计算向量坐标即可； （2）利用平面法向量与平面垂直进行证明即可. 【详解】（1）以为坐标原点，所在方向为正方向， 建立如图所示空间直角坐标系.则， 所以. （2）略    考点二 空间向量与空间角度问题 一、核心：三类空间角的向量解法 空间角均转化为两个向量的夹角计算，需注意每类角的取值范围与对应三角函数名，核心规则是结果取锐角/直角时加绝对值。 空间角类型 取值范围 向量计算公式 核心说明 异面直线所成角 取方向向量夹角的锐角/直角，分子加绝对值 直线与平面所成角 线面角与“方向向量-法向量夹角”互余，用正弦，分子加绝对值 二面角 先算绝对值，再结合图形判断二面角钝锐，确定最终符号 重点说明 1. 异面直线所成角：若计算得余弦值为负，取绝对值即可，角的范围限定为锐角到直角。 1. 线面角：最易记错三角函数名。本质是直线与其在平面内投影的夹角，和“直线方向向量与法向量的夹角”互余，因此用正弦对应法向量夹角的余弦。 1. 二面角钝锐判断： · 观察法：通过图形直观判断二面角是锐角还是钝角； · 方向法：若两个法向量一个指向二面角内部、一个指向外部，则二面角等于法向量夹角；若同时向内或同时向外，则二面角与法向量夹角互补。 二、解题步骤 1. 建系，写出各点坐标； 1. 求出对应直线的方向向量、平面的法向量； 1. 代入对应角度公式，计算三角函数值； 1. 结合角度范围与图形特征，确定最终角度（或其三角函数值）。 例1．（26-27高二上·北京平谷·阶段检测）如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，，平面平面，M是的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线与直线所成角的大小； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)由四边形是边长为4的正方形，可得， 因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面， 因为平面，所以. 因为在中，，， 所以，解得，即. 在中，已知，，， ， 所以. 因为平面，平面，， 所以平面. (2)（或） (3) 【分析】（1）结合三棱柱性质和已知证明，再结合勾股定理证明，根据面面垂直的性质定理即可得到线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，进而确定两条直线方向向量，再根据向量夹角公式求解； （3）分别求出两个平面的法向量，再求两个法向量夹角的余弦值，结合平面夹角的范围得到结果. 【详解】（1）略. （2）如图所示，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则：，，，，，， 是中点，故. ， 则直线与直线所成角的余弦值为：， 代入：， ，， 可得：，， 所以，即直线与直线所成角为（或）. （3）平面，故平面的法向量可设为， 设平面法向量为， 则：，令，得. 所以平面与平面夹角的余弦值为： .    例2．（26-27高二上·重庆璧山·阶段检测）如图，在三棱柱中，平面平面，，是的中点，且，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) 证明：连接，，， 所以为正三角形，是的中点， 所以， 平面平面，平面平面， 因为，， 平面， 所以平面， 平面，则， ，平面，平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）由三线合一证明，根据面面垂直证明线面垂直，得，最后根据线面垂直的判定定理得证；（2）建立空间直角坐标系，求面的法向量，根据线面角的向量公式求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）（略）. （2） 取的中点，连接， 为正三角形，所以， ，， 平面平面，平面平面， 所以平面， 建立如图所示直角坐标系， ，，，，， 设面的法向量为， ，， ，即， 取，，， ，， 设直线与平面所成角为， . 例3．（26-27高二上·山东淄博·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点． (1)求点到平面的距离： (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解； （2）求出平面的法向量，利用向量夹角公式计算两平面夹角的余弦值. 【详解】（1）因为，平面， 所以以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由题意可得，，，，，， 因为为的中点，为的中点， 所以，， 则，，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，所以， 设点到平面的距离为， 则， 所以点到平面的距离为； （2）由（1）知平面的一个法向量为， 对于平面，，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，所以， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 变式1．（26-27高二上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在空间几何体中，四边形是边长为2的正方形，平面，，，，且． (1)求证：平面； (2)点是线段的三等分点（靠近点G），求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)因为，平面，平面，所以平面. 因为四边形是边长为2的正方形，所以， 又平面，平面，所以平面. 又因为，平面，所以平面平面. 又因为平面，所以平面； (2) 【分析】（1）由题意可证平面平面，进而可证结论； （2）以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和直线的一个方向向量，利用向量法可求得直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）略. （2）因为平面，平面，所以， 又因为四边形是边长为2的正方形，所以. 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 又点是线段的三等分点（靠近点G），所以， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角， 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为． 变式2．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为4的正方形，为等边三角形，E，F分别是PB，PC的中点． (1)求证:平面 (2)若平面平面，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：因为E，F分别是PB，PC的中点，所以， 又因为面ABCD，面ABCD，所以平面ABCD． (2) 【分析】（1）由，分别是，的中点，根据中位线定理可得，根据线面平行定理即可证明； （2）取中点，连接，则由题意得，根据平面平面即可证明平面，以为y轴的正方向，以为z轴的正方向，过点O作平行于AB且以为x轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面法向量和代入计算即可得出答案. 【详解】（1）略. （2）取中点，连接，则由题意得， 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以面， 则以为轴的正方向，以为轴的正方向，过点作平行于且以为轴的正方向，建立空间直角坐标系 则由题可得，，，， 故，，， 设面的法向量为，则， 即，令， 则解得 设直线与平面所成角为， 则． 变式3．（26-27高二上·湖北·阶段检测）如图，在四棱锥中，侧棱平面，底面四边形是矩形，，点，分别为棱，上靠近点的三等分点，点在棱上，． (1)求证：直线平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，求平面与平面所成的夹角的余弦值． 【答案】(1)方法一：因为，分别为棱，的三等分点， 所以，连接，，交于点， 连接，，则， 因为，所以，且， 所以，因此. 又在中，，，所以. 又因为平面，平面，且， 所以平面． 方法二：以为原点，、、所在直线为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则：，，，，，， 所以，，． 记为平面的一个法向量， 则，令，则，. 因为，所以， 又平面，所以平面. (2) (3)． 【分析】（1）解法一：先由线段成比例得，进而得及，再由线段成比例得，由线面平行的判定定理可得；解法二：建立空间直角坐标系，并求平面的法向量，再用向量的方法证明线面平行可得； （2）直接用向量的方法计算线面角的正弦可得； （3）直接用向量的方法计算面面角的余弦可得. 【详解】（1）略 （2）因为，所以，，，， 记为平面的一个法向量， 则，， 令，则，． 记直线与平面所成角为， 由，，， 则． 因此，直线与平面所成角的正弦值为 （3）由(1)(2)知，为平面的一个法向量，，， 记为平面的一个法向量， 则，令，则，， 记平面与平面所成角为， 则． 因此，平面与平面所成夹角的余弦值为. 考点三 空间向量与空间距离问题 一、核心思想 空间距离本质是向量的投影长度，结果恒为非负值。其中点到平面的距离是核心，线面距、面面距均可转化为点到平面的距离求解。 二、 点到平面的距离（最核心） · 公式：设平面 的法向量为 ， 是平面外一点， 是平面内任意一点，则点 到平面 的距离： · 几何意义：向量 在法向量方向上的投影的绝对值。 三、直线到平面的距离 · 前提：直线与平面平行； · 转化：在直线上任取一点，该点到平面的距离即为直线到平面的距离。 四、两个平行平面的距离 · 前提：两个平面互相平行； · 转化：在其中一个平面上任取一点，该点到另一个平面的距离即为两平面的距离。 五、点到直线的距离 设直线 的方向向量为 ， 是直线外一点， 是直线上任意一点，则点 到直线 的距离： 也可通过勾股定理计算：先求 在直线上的投影长，再用 减去投影长的平方，开方得距离。 六、异面直线的距离 设两条异面直线的方向向量为 ， 分别为两直线上任意一点，则公垂线段长度： 也可转化为：过一条直线作另一条直线的平行平面，异面直线距离转化为线面距离。 七、解题步骤 1. 建系，写出对应点坐标； 1. 求解平面的法向量（或直线的方向向量）； 1. 选取参考向量（如平面内一点指向目标点的向量）； 1. 代入对应距离公式计算。 例1．（26-27高二上·河南新乡·阶段检测）已知空间四点，. (1)用坐标表示； (2)求证：平面； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1),. (2)， ，， 因为，所以，故 ，    因为，所以，故 ， 因为 ，且平面，所以平面. (3) 【分析】（1）空间向量坐标直接由“终点坐标减起点坐标”计算；（2）线面垂直的证明可转化为向量运算，验证直线向量与平面内两条相交直线的点积均为 0 即可；（3）先求平面的法向量，再由点到平面的距离公式求解. 【详解】（1）由，得，. （2）略. （3），， 设平面的法向量为 ，则 ，得平面的一个法向量为， 取平面内点 ，向量 ，所以， 故点到平面的距离是. 例2．（26-27高二上·四川绵阳·阶段检测）如图，在长方体中，，，点E在上，且． (1)求点E到直线的距离； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的长度，用等面积法求点E到直线的距离； （2）使用等体积法换底求三棱锥的体积. 【详解】（1）连接，因为平面平面，所以, 所以, 又,所以，, 故,， ， 设点E到直线的距离为，则 （2） . 例3．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面ABC，，M，N分别为PC，AB的中点． (1)求异面直线PC与AB间的距离； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一：先应用线面垂直得出平面PAB，应用边长关系得出，计算求解距离即可；方法二：建立空间直角坐标系设与和都垂直，应用异面直线的距离公式计算求解； （2）应用空间直角坐标系先求出平面PMN及平面AMN的一个法向量，最后应用面面角的余弦公式计算求解. 【详解】（1）方法一：连接BM，CN， 因为平面ABC，平面ABC，所以， 又因为，平面PAB，平面PAB， ，所以平面PAB， 又因为平面PAB，所以． 在中，M为PC的中点，所以． 因为平面ABC，平面ABC，所以． 在中，M为PC的中点，所以， 所以． 又因为N为AB中点，所以．                     在和中，， 所以，所以，又M为PC的中点，． 故线段MN的长即为异面直线AB与PC间的距离．                    在中，， 在中，， 所以．因为，所以． 故异面直线AB与PC间的距离为．                     方法二：因为平面ABC，平面ABC，所以． 如图，在平面ABC中，过点A作直线AB的垂线为x轴，以AB为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系， 则， 所以．                         设与和都垂直， 则即 则，不妨取，则．                       所以异面直线AB与PC间的距离． （2）因为M，N分别为PC，AB的中点，所以， 则，                        设是平面AMN的一个法向量， 所以即 不妨取，则．                  设是平面PMN的一个法向量， 所以即 不妨取，则．                           设二面角的平面角为， 由图可知为锐角，则，                     所以二面角的余弦值为． 变式1．（26-27高二上·上海黄浦·阶段检测）在长方体中，，，为的中点． (1)求直线与平面所成的角的正弦值； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)直线与平面所成的角的正弦值为 (2)点到平面的距离为 【分析】（1）建立以为原点的空间直角坐标系，求出的坐标，易得平面的一个法向量，再由线面角的公式计算即可； （2）求出平面的法向量，依据点到平面的距离的向量表示进行计算即可． 【详解】（1）由题可知，建立以为原点的空间直角坐标系， 则，，，， 易知平面的一个法向量，， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成的角的正弦值为； （2）， 设平面的一个法向量， 则，不妨取，， 设点到平面的距离为， ， 则点到平面的距离为． 变式2．（26-27高三上·上海嘉定·阶段检测）如图，在三棱柱中，为的中点，，二面角的平面角． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)因为二面角的平面角，所以，， 因为为的中点，，所以， 在中，，，， 由余弦定理可得， 所以，故， 因为，，，、平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，、平面，所以平面. (2) 【分析】（1）由二面角的定义可得出，，可推导出平面，进而可得出，由余弦定理结合勾股定理可推导出，利用线面垂直的判定定理可证得平面； （2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离. 【详解】（1）略 （2）因为平面，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 又因为，所以点到平面的距离为. 变式3．（26-27高三上·河南开封·阶段检测）如图，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面相互垂直． (1)证明：； (2)证明：与是异面直线； (3)定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．依据上述定义，求异面直线与之间的距离． 【答案】(1)证明：因为四边形为正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，故. (2)证明：因为四边形为正方形，所以， 又因为平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系， 则、、、， 所以，，， ①若，即，即，无解， 所以直线与直线不平行； ②若直线与相交，记它们所确定的平面为， 因为、，所以，设， 即，所以，无解， 所以直线与直线不相交. 由于空间中两直线仅有的三种位置关系：平行、相交或异面，故直线与直线为异面直线. (3) 【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得出平面，再利用线面垂直的定义可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法分析可知，直线与直线既不平行，也不相交，由此可证得结论成立； （3）设，，、，求出点、的坐标，根据可得出，再利用空间向量的模长公式以及二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】（1）略 （2）略 （3）记、分别为异面直线、上任意一点，设，，、， 则， 故，即点， ，故，则， 由得，则， 所以， 因此，当时，取最小值， 所以异面直线与之间的距离为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $