精品解析：山东济宁市汶上圣泽中学复读部2026-2027学年高三第二次月考数学试题

汶上高考补习学校第二次月考数学试题 （考试范围：函数、导数、三角函数、解三角形等 考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 若函数是偶函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若对于区间上的任意两个不相等的实数，都有，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 当时，的值域为 C. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 D. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 方程无解 D. 不等式的解集为 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 在处取得极大值 C. 有两个不同的零点 D. 若在上恒成立，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则_______． 13. 已知函数=在上时为增函数.则的取值范围为___________. 14. 已知函数，若函数，且函数有6个零点，则非零实数m的取值范围是______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若的周长为，求的面积. 16. 设，. （1）求函数的单调增区间； （2）设为锐角三角形，角所对的边，角所对的边.若，求的面积. 17. 已知，． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求的取值范围． 18. 函数的最小正周期为，． （1）求； （2）当时，求的值域； （3）求关于x的不等式的解集． 19. 已知函数（为自然对数的底数） （1）若在处的切线与恰有一个公共点，求的值； （2）若，讨论函数的单调性； （3）若函数至少存在一个零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汶上高考补习学校第二次月考数学试题 （考试范围：函数、导数、三角函数、解三角形等 考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，， 即集合，且集合，所以. 2. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案. 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果． 【详解】将式子进行齐次化处理得： ． 故选：C． 【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论． 5. 若函数是偶函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，化简整理即可求得m的值． 【详解】函数的定义域为，由是偶函数，得， 即，整理得，所以. 故选：A 6. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数、指数函数的单调性判定大小即可. 【详解】易知， 又定义域上单调递减，，所以， 易知单调递增，， 则， 综上. 故选：A 7. 已知函数，若对于区间上的任意两个不相等的实数，都有，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用二次函数的单调性性质可解. 【详解】二次函数图象的对称轴为直线， ∵对于任意且，都有， 即在区间上是单调函数， ∴或， ∴或，即实数a的取值范围为． 故选：C． 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解. 【详解】[方法一]：直接法 由已知得：, 即：， 即： 所以 故选：C [方法二]：特殊值排除法 解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A, B； 再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C. [方法三]：三角恒等变换 所以 即 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 当时，的值域为 C. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 D. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数图象可确定函数的表达式为，即可求解AB，根据函数图象的平移以及伸缩变换，即可求解CD. 【详解】由图可知，，最小正周期，故A正确： 由，知，因为，所以，所以，即，又，所以， 对于B，当时，，所以，故B正确， 对于C，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，故C错误； 对于D，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，因为当时，，故D正确， 故选：ABD. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 方程无解 D. 不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由函数可以直接判断函数的奇偶性，通过性质可以判断函数在定义域内都是单调递增的，再结合极限思想可以判断函数的值域为R，所有函数左右平移后的值域不变，可判断函数必有一解. 【详解】，选项A正确； 当时，， 时，， 所以定义域为R, 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， ，， 所以函数为奇函数，且在R上单调递增， 所以，选项B正确； 当时，，当时，， 所以函数的值域为R， 所以有解，所以仍有解，选项C错误； ，所以， 所以，即，解得， 所以的解集为，选项D正确. 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 在处取得极大值 C. 有两个不同的零点 D. 若在上恒成立，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性，结合极值的定义判断选项A错误，选项B正确；由函数零点的定义可判断选项C错误；不等式转化为在上恒成立，构造函数，利用导数研究函数的单调性，求函数的最大值，可判断选项D正确. 【详解】对于函数，， ，； 令，得，解得， 当时，，所以函数在上为单调递增函数， 当时，，所以函数在，上为单调递减函数， 所以函数在处取得极大值，选项A错误，选项B正确； 因为时，得，解得，所以函数只有一个零点，选项C错误； 因为在上恒成立，则在上恒成立， 令，则， 因为，令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，则单调递减， 所以当时，， 所以，选项D正确. 故选：BD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由两角和的正弦展开并对等式进行化简得的值，再根据同角三角函数的基本关系，求得的值，进而利用倍角公式求得的值. 【详解】因为， 所以，整理得：， 所以或 所以. 故答案为： 【点睛】本题考查两角和正弦公式、同角三角函数基本关系、倍角公式，考查三角恒等变形能力和运算求解能力. 13. 已知函数=在上时为增函数.则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】令，，由函数在上单调递减，可得函数在上单调递减且，分别对，，三种情况讨论，从而可求解. 【详解】由函数=在上时为增函数， 令，，则函数在上单调递减， 所以在上单调递减且， 当时，在上单调递减， 因为时，，故不符题意； 当时，函数为二次函数开口向下，不满足在上恒成立，故不符题意； 当时，函数为二次函数开口向上， 则可得，解得， 故的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知函数，若函数，且函数有6个零点，则非零实数m的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】由，可得或，画出函数的图象，由图象可知，有3个不等的实根，从而可得有3不等实根，进而可得，求解即可. 【详解】函数的图象如图，且，   令，则，可得或，， 当时，有3个不等的实根， 又函数有6个零点，所以方程有6个不等实根， 则有3不等实根，所以，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若的周长为，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，求出角； （2）根据已知条件求出的值，最后利用面积公式求出三角形面积. 【小问1详解】 （方法一）由及正弦定理， 得. 又，得， 即. 因为，所以. （方法二）由及正弦定理， 得. 又，得， 即， 因为，所以，故， 所以，故，即. 【小问2详解】 由（1）得. 由的周长为，得. 由， 所以，即， 故， 所以. 16. 设，. （1）求函数的单调增区间； （2）设为锐角三角形，角所对的边，角所对的边.若，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由，，令求解； （2）由可得，再利用余弦定理求得c，再利用求解. 【小问1详解】 解：，， 令，解得， 所以其单调增区间为. 【小问2详解】 由即， 因为是锐角，所以，得，即. 由余弦定理，，整理得，解得或. 当时，，最大角是钝角，为钝角三角形，舍去； 当时，，最大角是锐角，为锐角三角形，符合题意. . 17. 已知，． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件得到函数解析式，将不等式构造函数，利用导数分析函数单调性，即可得出结果； （2）求导，将分子构造函数，根据原函数有极大值可得新构造函数先正、再负、再正，且两根不相等，分类讨论两根关系，根据单调性进行取舍即可. 【小问1详解】 若，则， 所以， 要求， 只需求，令， 则， 所以在上单调递增，又， 所以当时，， 故不等式的解集为. 【小问2详解】 由， 则， 记， 令，则得两根为， 若满足在上存在极大值， 则在定义域内先正、再负、再正，且两根不相等， 若，即，只有零点， 所以时，， 当时，， 此时函数只有极小值，无极大值，舍去. 若，即， 则， 此时函数单调递增，无极值，舍去. 若，即， 则当时，，递增， 当时，，递减， 当时，，递增， 此时，是极大值点，满足题意. 若，即， 则当时，，递增， 当时，，递减， 当时，，递增， 此时是极大值点，满足题意. 综上，的取值范围为. 18. 函数的最小正周期为，． （1）求； （2）当时，求的值域； （3）求关于x的不等式的解集． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式将化简为余弦型函数后利用余弦型函数最小正周期求； （2）根据先求得范围，再利用余弦函数图象求值域即可； （3）将先化简为余弦型函数再解不等式. 【小问1详解】 ． 由函数的最小正周期为，得，解得． 【小问2详解】 由（1）知， 因为，所以， 所以，所以， 所以函数的值域为． 【小问3详解】 由（1）知， 因为，所以， 所以，，得，， 所以该不等式的解集为，． 19. 已知函数（为自然对数的底数） （1）若在处的切线与恰有一个公共点，求的值； （2）若，讨论函数的单调性； （3）若函数至少存在一个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，函数在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）求得曲线在点处的切线方程为：与曲线联立，利用判别式求解； （2）由利用导数法求解； （3）由，根据题意，由方程在上至少有一个解，转化为.设求解. 【小问1详解】 由得. 当时. 所以，曲线在点处的切线方程为：. 由题意，这条切线与曲线恰有一个公共点. 联立得，整理为. 因为两曲线恰有一个公共点，所以该一元二次方程有两个相等实根， 故判别式. 于是，从而. 故. 【小问2详解】 因为 所以. 由于，故，因此的符号由的符号决定. 分情况讨论： ①当时，对任意，都有，故. 所以函数在区间上单调递增. ②当时，当时，，故； 当时，，故. 因此，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.. 综上，函数的单调性为： 当时，函数在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【小问3详解】 由， 要使函数至少存在一个零点，只需方程在上至少有一个解. 移项得.设， 则问题转化为：求函数的值域. 将拆成两个函数：，则. 先讨论的单调性.因为. 所以：当时，，故在上单调递增； 当时，，故在上单调递减. 因此，函数在处取得最大值. 再讨论的单调性.因为， 所以：当时，，故在上单调递增； 当时，，故在上单调递减. 因此，函数在处取得最大值 由于与在区间上都单调递增，在区间上都单调递减， 所以它们的和在区间上单调递增，在区间上单调递减， 从而在处取得最大值. 于是故. 因此，函数至少存在一个零点，当且仅当. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $