精品解析：山东省济宁市汶上圣泽中学2027届高三第一次月考数学试题

汶上圣泽中学高三第一次月考数学试题 （范围：集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其应用） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合中元素的个数为（ ） A. 9 B. 7 C. 5 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】若，则；若，则；若，则； 若，则；若，则； 所以，共个元素. 2. 若，则不等式的解集是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可知：一元二次方程的两个根为， 因为，则， 所以不等式的解集是. 3. 已知、，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由可得， 因为“”“”，且“”“”， 故“”是“”的充分不必要条件. 4. 记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数性质判断可得，即得答案. 【详解】，，， 又， 所以. 5. 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期．现有一杯的咖啡放在的房间中，如果咖啡降温到大约需要20min，那么降温到大约需要（ ）（参考数据；） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出半衰期，再根据指数，对数的运算性质及换底公式计算即可. 【详解】由题意可得，即，解得. 设降温到大约需要，则，即， 所以， 解得，所以大约需要. 6. 若函数在区间上存在减区间，则实数的范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将函数存在减区间的问题转化为导数小于0的存在性问题，通过分离参数法，结合反比例函数的值域求解参数范围. 【详解】函数的定义域为，求导得. 函数在区间上存在减区间， 等价于存在，使得成立， 即在上有解. 当时，， 故，即实数的取值范围是. 7. 已知函数的值域为，其中且，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别计算分段函数在每段上的值域，再取并集，根据并集为即可求出范围. 【详解】因在上单调递增，故， 若，则在上单调递减， 因，故， 此时不满足值域为； 若，则在上单调递增， 因，故， 若值域为，则，即， 综上，实数a的取值范围是. 故选：A 8. 设奇函数的定义域为，且满足：（1）；（2）当时，，则下列说法不正确的是（ ） A. 的图象存在对称轴 B. C. 当时， D. 方程有四个实数根 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出对称轴判断A；确定函数的周期并求出函数值判断B；结合周期性求出指定区间上的解析式判断C；将方程根的个数转化为直线与函数图象的交点个数求解判断D. 【详解】对于A，由，得直线是的图象对称轴，A正确； 对于B，由函数是奇函数，得，则4是函数的一个周期， 而当时，，因此，B正确； 对于C，当时，，则， 因此当时，，，C正确； 对于D，方程，于是方程的实根个数 即为函数的图象与直线的交点个数， 由是奇函数，得当时，，当时，， 则，又函数的一个周期为4， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线， 观察图象知，函数的图象与直线有五个交点， 即方程有五个实数根，D错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数为奇函数，则 B. 函数恒过定点 C. 若函数，则 D. 函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据奇函数性质可知A错误，由对数函数过定点可得B正确，换元法求解析式可知C错误，由抽象函数定义域求法计算可得D正确. 【详解】对于A，若，则函数为奇函数，但无意义，A错误， 对于B，函数，所以函数恒过定点,B正确， 对于C，令，又，则即， 则函数，即，C错误， 对于D，由题意知且，可得， 则函数的定义域为,D正确. 故选：BD. 10. 已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ） A. 且 B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集与方程的根的对应关系可得，即A正确，B错误，再代入解不等式可判断C正确，D错误. 【详解】由题意可知，则， 对于A，所以且，故A正确， 对于B，， 故B错误； 对于C，不等式，故C正确； 对于D，不等式，又， 可得，所以或，故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数，则（ ） A. 有三个零点 B. 有两个极值点 C. 点是曲线的对称中心 D. 曲线有三条过点的切线 【答案】BC 【解析】 【分析】利用导数研究的单调性、极值及零点存在定理可判断A；利用极值点的定义可判断B，利用奇函数的性质及图象平移可判断C；利用导数几何意义求解可判断D． 【详解】对于B，由题， 令，得或；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是极值点，故B正确； 对于A，由B可知的极大值，极小值， 因为在单调递增，且， 所以函数在定义域上有且仅有两个零点，故A错误； 对于C，令，该函数的定义域为， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向下移动个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 对于D，设切点为，则切线的斜率为， 切线的方程为， 代入，可得， 整理得，即即， 解方程得：或 则过点的切线方程有两条，D错误． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是偶函数，且，当时，，则等于____. 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数的周期，再根据偶函数及已知条件求解即可. 【详解】因为， 所以函数的周期为， 又因为当时，，且是偶函数， 所以. 13. 已知直线过函数图象的定点，则最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定函数定点得到，将待求式变形后，利用基本不等式求出最小值. 【详解】函数的定点为， 故直线满足（）. 将化为，则 . 由基本不等式，，当且仅当即时取等号. 结合，解得，，此时. 所以最小值为 故答案为： 14. 若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得出，由此得出，于是得出，然后对实数的取值进行分类讨论，结合极大值点的定义进行验证即可. 【详解】因为，所以， 由题知，则， 令可得或. 若，即当时， 由可得或，由可得， 此时，函数在、上单调递增，在上单调递减， 此时，函数在处取得极小值，不合乎题意； 若，即当，则对任意的恒成立， 此时，函数在上单调递增，无极值点； 若，即当时， 由可得或，由可得， 此时，函数在、上单调递增，在上单调递减， 此时，函数在处取得极大值，合乎题意. 故实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 函数，， （1）当时，若，求实数的值； （2）已知，且，求的解集． 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）由中对应项系数相等可得； （2）由已知得的关系，不等式化简后，根据的大小分类讨论． 【小问1详解】 当时，， ， 得，； 【小问2详解】 ，，， 由可得， 整理并代入得， 即， 已知，若，即时，或， 若，即时，， 若，即时，或， 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 16. 已知函数，函数． （1）求函数的值域； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】(1)首先利用对数运算法则化简的解析式，将其转化为关于的二次函数，结合二次函数的性质即可求得值域. (2)先将恒成立条件转化为，通过换元法将转化为关于的二次函数，求解在上的最小值，再代入不等式求解关于的一元二次不等式，即可得到实数的取值范围. 【小问1详解】 由，化简可得 ． ， 因为，所以，即的值域为. 【小问2详解】 因为不等式对任意实数恒成立，所以． 令，因为，所以， 设， 结合二次函数性质可得，即，则. 所以，即，即， 所以，解得，所以实数的取值范围为． 17. 已知函数. （1）当，时，求的极值； （2）若，有最大值且的最大值小于，求a的取值范围. 【答案】（1）极大值为，极小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数判断函数的单调性和极值； （2）求导，分和两种情况，利用导数判断函数的单调性和最值，结合题意可得，利用函数单调性解不等式即可. 【小问1详解】 当时，则， 其定义域为，且， 令，解得或；令，解得， 1 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的极大值为，极小值为. 【小问2详解】 若，则的定义域为，且， 当时，则，可知函数在上单调递增， 所以函数无最大值，不合题意； 当时，令，解得；令，解得； 可知函数在上单调递增，在上单调递减， 则函数的最大值为， 因为的最大值小于，即，可得， 设，，可知在上单调递增， 且，由不等式可得， 所以的取值范围为. 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性; （2）当时，讨论函数的极值; 【答案】（1） 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在和上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在和上单调递减； 当时，函数在上单调递减； （2） 当时，的极小值为，极大值为， 当时，的极小值为，极大值为， 当时，无极值. 【解析】 【分析】（1）求导后令得到，通过讨论的大小关系来确定函数单调性； （2）根据（1）确定的函数单调性来求极值. 【小问1详解】 , 令，得，注意， 当，即时， 令得，函数单调递增， 令得，函数单调递减； 当，即时， 令得，函数单调递增， 令得或，函数单调递减； 当，即时， 令得，函数单调递增， 令得或，函数单调递减； 当，即时，恒成立，函数单调递减； 综上所述： 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在和上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在和上单调递减； 当时，函数在上单调递减； 【小问2详解】 若，由（1）得当时，函数在上单调递增，在和上单调递减， 的极小值为， 极大值为， 当时，函数在上单调递增，在和上单调递减； 的极小值为， 极大值为， 当时，函数在上单调递减，无极值. 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：当时，； （3）设，若对恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）要证，即证． 又，即证． 设，， 所以在上单调递增． 所以．所以 （3）． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）通过构造函数，利用导数求出在时的最小值即可； （3）由函数在上是增函数，可得，构造，利用导数求出的单调性即可. 【小问1详解】 因为，则， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 因为，所以当时，且，即，所以在上是增函数， 因为，， 若对恒成立，则， 设，， ①时，显然，所以在单调递增， 当时，，所以对任意有，即，所以符合题意． ②当时，显然，． ↘ 极小值 ↗ 由上表知，． 依题意，所以． 综上可知的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汶上圣泽中学高三第一次月考数学试题 （范围：集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其应用） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合中元素的个数为（ ） A. 9 B. 7 C. 5 D. 3 2. 若，则不等式的解集是（    ） A. B. C. D. 3. 已知、，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 记，则（ ） A. B. C. D. 5. 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期．现有一杯的咖啡放在的房间中，如果咖啡降温到大约需要20min，那么降温到大约需要（ ）（参考数据；） A. B. C. D. 6. 若函数在区间上存在减区间，则实数的范围是( ) A. B. C. D. 7. 已知函数的值域为，其中且，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设奇函数的定义域为，且满足：（1）；（2）当时，，则下列说法不正确的是（ ） A. 的图象存在对称轴 B. C. 当时， D. 方程有四个实数根 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数为奇函数，则 B. 函数恒过定点 C. 若函数，则 D. 函数的定义域为，则函数的定义域为 10. 已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ） A. 且 B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 11. 已知函数，则（ ） A. 有三个零点 B. 有两个极值点 C. 点是曲线的对称中心 D. 曲线有三条过点的切线 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是偶函数，且，当时，，则等于____. 13. 已知直线过函数图象的定点，则最小值为______． 14. 若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 函数，， （1）当时，若，求实数的值； （2）已知，且，求的解集． 16. 已知函数，函数． （1）求函数的值域； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 17. 已知函数. （1）当，时，求的极值； （2）若，有最大值且的最大值小于，求a的取值范围. 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性; （2）当时，讨论函数的极值; 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：当时，； （3）设，若对恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $