第5章 走进几何世界——正方体展开图中的面、棱与顶点对应 专题复习讲义 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

第5章 走进几何世界——正方体展开图中的面、棱与顶点对应 专题复习讲义 —学年苏科版七年级数学上册 教师详解版 学习导航 先看平面与立体的配对图，再按面的位置、公共棱、端点和标记方向逐步核对。每节紧接典例及三道变式，完成后进入分层练习。 一、能否围成正方体 2 二、面的对应 6 三、棱与顶点的对应 9 四、标记的朝向 12 五、展开图的形状对照 16 A组　基础巩固 17 B组　方法选择与突破 21 C组　综合应用 26 D组　真题衔接 30 知识关系图 展开图 ⇄ 正方体 六个面各占一个位置 → 判断能否围成，确定补面与剪棱。 面的相邻与相对 → 三对相对面，三个面共顶点。 同一条棱的两侧面 → 找对应边，再配对两端点。 端点的对应顺序 → 棱上箭头同向，面内图案还原。 一、能否围成正方体 正方体有个面、条棱、个顶点。个面都是大小相同的正方形，每条棱连接两个面，每个顶点处有三个面相交。 把正方体沿一些棱剪开，各个面仍保持完整，摊平后得到展开图。反过来，把展开图沿相邻正方形的公共边转折，每次转折，六个面应当分别占据正方体的六个位置，既不重叠，也不缺面。 判断时不能只数出六格。先选一面不动，再顺着公共边依次折起相邻的面。若两个方格落到同一个面的位置，就不能围成正方体。也不要把纸面上的“远”“近”直接当成立体中的“相对”“相邻”。 有些图可以先排除：四格围成“田”字时，一个点周围已有四个直角，而正方体的一个顶点只由三个面角围成；同一直线上连续排列五格时，前四格围成一圈后，第五格会与第一格重叠。但没有这两种结构，并不保证一定能围成正方体，还要检查全部六个面的落位。 短例。把四张正方形按两行两列拼成“田”字，即使再添两张，也不能把原来的四张全部折成正方体的四个面：它们的公共点不能变成正方体上由四个面相交的顶点。 折叠前后怎样对应。下图把六个面标成、、、、、，并用相同颜色表示同一个面。 先把作为前面不动。把折到右面，再沿与的公共边折起，成为后面；继续折起，成为左面。沿与的公共边折到上面，沿与的公共边折到下面。这样六个面分别到达六个不同的位置，能合成正方体。 正方体上的位置 前面 后面 左面 右面 上面 下面 对应面 补一格的问题，先找出所有与已有图形共整边的空位，再检验哪些位置能补足缺面。题目若固定了已有五格，不能因为两种成图旋转后外形一样，就漏掉其中一个补画位置。 剪开的原棱在展开图边界上通常分成两条边，未剪开的原棱仍是两个方格的公共边。数“剪开几条棱”和数“展开图外边几条”是两件事。 例1 下列各图均由六个相同的正方形组成。沿正方形的公共边折叠，能够围成正方体的是________。（填图的序号） 【答案】（1）（3） 【解析】图（1）的横排四格围成四个侧面，上、下两格分别补成另两个面。为追踪图（3），在教师图中给六格标上—：先把作为前面，沿与的公共边折到左面，再把沿与的公共边折到后面；沿与的公共边折到下面，再依次把折到右面、折到上面。六个面分别占据六个不同的位置，能合拢成正方体。图（2）中的四格围成“田”字形，四个面角集中在同一点，不能成为正方体的顶点。图（4）有五格连成一条直线，折过四格后第五格与第一格重叠。因此填（1）（3）。 变式1-1 将一个正方体纸盒沿部分棱剪开，展成如图所示的平面图形，各面均保持完整。原正方体中未剪开的棱有________条，剪开的棱有________条。 【答案】； 【解析】展开图中，仍连接两个正方形的公共边有与、与、与、与、与五处，对应原正方体未剪开的条棱。正方体共有条棱，所以剪开的有条。这里不把展开后边界上的两条边重复计作两条原棱。 变式1-2 把图中的面、、、依次折成正方体的四个侧面，再沿公共边折起面、。面与面的位置关系是（　　） ．相对 ．相邻 ．重叠 ．无法确定 【答案】 【解析】、、、围成一圈。和都连接在这圈侧面的同一侧，折起后都占据同一个顶面，因此重叠，选。平面上两格相隔较远，不代表折叠后一定相对。 变式1-3 如图，方格纸上已画出五个相同的正方形。只补画一个同样的正方形，使六个正方形能够围成正方体，已有五格的位置不变。请在图中标出所有可以补画的位置。 【答案】、、、正下方的四个位置。 【解析】横排、、、可围成四个侧面，补成上面，还缺下面。补在、、、中任一格的正下方，都能补成下面。横排左右两端外侧会形成五格直线；、、上方补格会与重叠，或形成不能折起的“田”字；上方补格会与重叠。因此恰有四个位置。 二、面的对应 正方体中，共有一条棱的两个面是相邻面；没有公共边、也没有公共顶点的两个面是相对面。六个面分成三对相对面。每个面有四个相邻面，只有一个相对面。 在展开图中共边的两面，折叠后仍相邻；展开图中不共边的两面，可能相邻，也可能相对，必须通过折叠判断。对于连续排成直线的三格，第一格与第三格折起后相对；这个结论只能直接用于这三格确实在同一直线上的情形，不能把弯折的路径当作直线。 处理带数的面，先写出三对相对面，再使用数之间的条件。例如相对面两数和相同，应先找一组两个数都已知的面，确定公共和。 短例。若每组相对面的两数之和都是，某一面写着，那么其对面上的数为。这里的填在折叠后与相对的面，不能只按纸面上隔开一格来填。 在上面的折叠示范图中，与、与、与分别相对。右上方看得见的、、三个面相交于同一个顶点；若同时选入和，再选哪个面都不能组成同一顶点周围的三个面。 一个顶点周围的三个面，恰好从三对相对面中各取一个。只要所选三个面中含有一对相对面，它们就不能相交于同一个顶点；反之，从三对中各选一个，所得三个面可以相交于一个顶点。求三个面上数的和时，先检查是否能同时出现在这个顶点，不能任意挑三个数。 反过来，也可以用“哪三面共顶点”恢复相对关系。两相邻面相交于一条棱，这条棱的两个端点分别接着另外两个面，那两个面正好相对。这是由三面记录反推相对面的依据。 例2 如图，将展开图折成正方体。每组相对面上的两个数之和都相等，求、的值。 【答案】，。 【解析】折叠后，与相对，与相对，与相对。公共和为， 所以，解得。又，所以。 变式2-1 如图，将展开图折成正方体。下列三个面能相交于同一个顶点的是（　　） ．、、 ．、、 ．、、 ．、、 【答案】 【解析】三对相对面为与、与、与。相对的两个面没有公共顶点，所以、、三个选项都不符合。、、分别来自三对相对面， 三者两两相邻， 能相交于同一个顶点，选。 变式2-2 如图，将展开图折成正方体。把每个顶点周围三个面上的数相加，所得的和最大是________，最小是________。 【答案】； 【解析】相对面上的数分别为与、 与、与。一个顶点周围的三个面，恰好从每对相对面中各取一个。 因此最大和为， 最小和为。这两组三面均能相交于同一个顶点，故不是只给出不能达到的估计。 变式2-3 一个正方体的六个面分别标有、、、、、。 已知、、能相交于一个顶点， 、、能相交于一个顶点，、、也能相交于一个顶点。将这个正方体展开后得到如图所示的形状， 请把、、填入标有、、的方格内：处填________，处填________，处填________。 题图 解图 【答案】；； 【解析】面与相交于一条棱。与、同时相邻的另外两个面、分别位于这条棱的两端，所以与相对。同理，由、、和、、分别共顶点，得与相对。剩下与相对。图中与、、相对的方格分别是、、，因此、、依次填、、。 三、棱与顶点的对应 展开时，原来同一条棱上的两个面边可能被分开，原来同一个顶点也可能分成两个或三个纸面位置。找重合位置时，要同时看面和边，不能只看两个字母是否靠近。 先确定两面在正方体上的位置，再找它们共同的一条棱。找到会粘合的两条纸面边后，还要逐一配对两个端点。纸面上某条边的上端，不一定对应另一条边的上端。 短例。把同一张展开图换一个观察方向，得到下图。颜色相同的标记折叠后落在同一个位置；只看黑白打印图，也可以按字母核对。 面的左边与面的上边合拢，对应，对应。图中纸面上的本来就是面的左下顶点与面的左上顶点，所以与合拢后，是、、三个面共同的一个顶点。不是因为图上只有、两个位置，就只有两个面相交。 对应棱的两端也要分别检查：与是同一端，与是另一端，不能把与配在一起。 检查一个立体顶点时，应能找到围成它的三个面角。注意：两个面在展开图中本来就共一个纸面顶点时，它们的两个面角可能已经写在同一个位置，不能重复数作两个不同的纸面点；相反，纸面上分开的标记也可能折到同一个立体顶点。 对于多个顶点标记，先把会重合的标记分组，再数不同的组数。对于作图题，要把与指定点重合的所有纸面位置找齐，而不是找到一个就停止。 例3 如图，将展开图折成正方体。 （1）点还与面________的________顶点、面________的________顶点重合。 （2）边与面________的________边重合。 【答案】（1）的左上顶点、的右上顶点；（2）的上边。 【解析】先让作前面，、分别折到左右，折到后面，折到上面，折到下面。是上边的左端点，合拢后位于左、后、上三个面相交的顶点，因此与的左上顶点、的右上顶点重合。的上边与后面的上边合拢，所以与的上边重合。 变式3-1 如图，将展开图折成正方体，边与面________的________边重合；点与该边的________端点重合。 【答案】；右；下。 【解析】沿相连的面依次折叠，的上边与的右边合拢。同时是的右上顶点，折叠后与的右下顶点重合。因此所求为的右边，下端点。端点不能只按纸面上的“上、下”照搬。 变式3-2 如图，在展开图的五个顶点、、、、处各作一个标记。折成正方体后，这五个标记共落在________个不同的顶点处。 【答案】。 【解析】、、分别在的左上角、的左下角、的左下角，折叠后重合。、分别在的右上角、的右下角，折叠后重合，且与前一组不在同一顶点。因此只有个不同的顶点。 变式3-3 如图，将展开图折成正方体。在图中用、分别标出折叠后与点重合的另外两个位置。 题图 解图 【答案】的左下顶点、的左下顶点，、顺序不限。 【解析】从所在的面依次折到、、、，所对应的同一立体顶点还落在的左下顶点、的左下顶点。三个位置分别属于、、三个面；它们两两相邻且在同一顶点处相交。 四、标记的朝向 箭头有起点和终点。两支箭头折叠后要完全重合且方向一致，必须同时满足：它们位于同一条棱上；起点与起点重合；终点与终点重合。只有第一项成立，还不能判断同向。 短例。下图中，是、、三个方格共同的纸面顶点，面的右边上画着由指向的箭头，面的上边上画着由指向的箭头。 折叠后，与重合，两支箭头的起点又都是，因此箭头完全重合且方向一致。纸面上一个向上、一个向右，并不妨碍它们在同一条棱上同向。若把面上的箭头改成由指向，那么两支箭头仍在同一条棱上，但方向相反。 因此，纸面上同为“向右”的两支箭头，折起后可能相反；纸面上一横一竖的两支箭头，也可能完全重合且同向。不要凭箭头外观判断，要在对应的两个端点之间确定顺序。 边上的标记点也按对应端点定位。比如一条边长，某点距起点；折叠后它仍距对应的起点，距另一端则为。若把从错误的一端量起，虽找对边，也会画错点。 面内图案：先认准这个面，再认准所指的角 图案在面内时，不是让两个不同面内的点“重合”，而是要把同一个面上的位置和朝向保留下来。可按三步检查：先定面；再用相邻的面定边、定角；最后还原图案。 • 若箭头从面中心指向顶点，中心仍对应中心，关键是找到终点属于哪三个面。 • 若一个小圆点画在某个角附近，应核对它靠近哪个顶点，不能把纸面上的“右上”照搬到立体图里；靠近同一顶点的两个面内圆点，本身并不重合。 • 若图案跨过两条棱，先分别配好各接头，再在每个面内连接。中点仍对应中点；纸面上被剪开的两个接头，合拢后才成为同一点。 短例。仍把作为前面、作为右面、作为上面。右图内的箭头从面中心指向上面的左后角，这个角属于、、三个面。回到展开图，它是的左上顶点，因此左图的箭头从中心指向左上顶点。左图和右图画的是同一个面的同一支箭头，不是两支棱上箭头的粘合。 例4 如图，面的上边画有从指向的箭头。请在面的一条边上画一支箭头，使展开图折成正方体后，两支箭头完全重合且方向一致。所画箭头位于面的________边，方向为________。 题图 解图 【答案】上边；从右向左。 【解析】的上边与的上边合拢。与的右上顶点重合，与的左上顶点重合，所以箭头应由的右上顶点指向左上顶点，即在的上边由右向左。只找到同一条棱还不够，还要核对起点和终点。 变式4-1 如图，面的左边画有从上向下的箭头。请在面的一条边上画一支箭头，使折成正方体后，两支箭头完全重合且方向一致。 题图 解图 【答案】在上边画从左向右的箭头。 【解析】的左边与的上边合拢。的左上顶点对应的左上顶点，的左下顶点对应的右上顶点。故边上“从上向下”对应边上“从左向右”。 变式4-2 如图，面的左边和面的下边各画有一支箭头。折成正方体后，这两支箭头（　　） ．完全重合且方向一致 ．完全重合且方向相反 ．互相平行但不重合 ．既不平行也不重合 【答案】 【解析】的左边与的下边合拢。的左下顶点对应的左下顶点，的左上顶点对应的右下顶点，所以上从下向上的箭头对应下边从左向右；题图在下边画的是从右向左，因此方向相反，选。 变式4-3 如图，每个小正方形的边长均为，是面的左下顶点，点在面的左边上， ，箭头由指向；是面的左下顶点。 （1）在面的边界上标出与重合的点，并画一支箭头，使折成正方体后两支箭头完全重合且方向一致。 （2）求的长。 题图 解图 【答案】（1）在左边，距左上顶点，箭头从左上顶点指向；（2）。 【解析】的左边与的左边合拢，其中对应的左上顶点，的左上顶点对应。因此距为，就对应左边从左上顶点向下处的，箭头也从左上顶点向下指向。左边全长，所以。 五、展开图的形状对照 把旋转或翻转后能完全重合的图形只记作一种，正方体共有种展开图。下图按各行的方格数分组，便于观察连接位置：图—是一、四、一格，图—是二、三、一格，图是二、二、二格，图是三、三格。 这些图可以帮助核对“能否围成”，但不能代替面、棱、顶点和箭头的对应判断。同一类中，方格连接的位置也可能不同，仍需按题图逐面检查。 A组　基础巩固 A1、 下列各图均由六个相同的正方形组成。沿正方形的公共边折叠，能围成正方体的是（　　）。 【答案】。 【解析】图含有“田”字，四个面角不能在正方体的同一顶点处相交。图有五格连成直线，折到第五格时会与第一格重叠。图的横排四格围成四个侧面后，上方的两格都要占据顶面，发生重叠。图中央竖排的四格围成一圈，左、右两侧的方格分别补成另外两个面，六个面不重叠，能围成正方体，故选。 A2、 如图，将展开图折成正方体。与“几”字所在面相对的面上是“________”字；与“何”字所在面相对的面上是“________”字；与“世”字所在面相对的面上是“________”字。 【答案】真；妙；界。 【解析】以“何”字所在面作前面，“几”字所在面折到上面，“真”字所在面折到下面；“世”字所在面在右面，“界”字所在面在左面，“妙”字所在面在后面。因此三对相对面分别是“几”与“真”、“何”与“妙”、“世”与“界”。 A3、 如图，将展开图折成正方体。已知每组相对面上的两个数之和都为，则________。 【答案】。 【解析】折叠后，与相对，与相对，与相对。由，得。 A4、 如图，将展开图折成正方体。与面、面共同相交于一个顶点的第三个面可能是面________。 （填所有符合条件的面字母） 【答案】或。 【解析】三对相对面是与、与、与。已经选入和，不能再选或；从剩下的一对中选或，都能与、共同相交于一个顶点。因此填写、。 A5、 如图，、分别是面的左上、右上顶点。将展开图折成正方体后，边与面的________边重合；点与该边的________端点重合。 【答案】左；下。 【解析】折叠后，的上边与的左边合拢。对应的左上顶点，对应的左下顶点，所以应填“左”“下”。两条边合拢时，仍须核对端点，不能把纸面上的左右顺序直接当作上下顺序。 A6、 如图，点是面的左下顶点。将展开图折成正方体后，请在图中标出与点重合的所有其他纸面位置，并用标记。 题图 解图 【答案】在面的左上顶点。 【解析】本来就是面的左下顶点与面的左上顶点共用的一个纸面位置。折叠后，面的左上顶点也与重合，三个面角合成同一个正方体顶点。因此只需在的左上顶点补标，不应再把处的两个面角重复计为两个纸面位置。 A7、 如图，面的上边画有一支从左向右的箭头。请在面的一条边上补画一支箭头，使展开图折成正方体后，两支箭头完全重合且方向一致。 题图 解图 【答案】在面的上边画从右向左的箭头。 【解析】的上边与的上边合拢。的左上顶点对应的右上顶点，的右上顶点对应的左上顶点。因此上的箭头应由右上顶点指向左上顶点。 A8、 如图，面内的黑点紧靠面的右上顶点。要在面内再画一个黑点，使折成正方体后，两个黑点分别紧靠同一个正方体顶点，第二个黑点应画在面的（　　）。 ．左上角附近 ．右上角附近 ．左下角附近 ．右下角附近 题图 解图 【答案】。 【解析】的右上顶点、的右下顶点和的左下顶点折叠后重合。所以第二个黑点应画在的左下角附近，选。这里对应的是两个黑点各自靠近的顶点，不是要求位于不同面内的两个黑点本身重合。 B组　方法选择与突破 B1、 如图，在已有五个正方形外补画一个同样的正方形，使所得图形能围成正方体，并且面的左上顶点与面的左下顶点重合。画出面的位置。 【答案】在的正下方。 【解析】补成正方体时，只能在横排四格的下方。若分别在、、、下方，与左下顶点重合的顶点依次为左上、左下、右下、右上。只有把补在正下方，才满足题目指定的左上顶点对应关系。 B2、 如图，将展开图折成正方体。在、、、中，与重合的是________；与恰好是同一条棱两个端点的是________。 【答案】；。 【解析】是的左上顶点，折后与的左下顶点、的左上顶点重合，故与重合。为的左下顶点，所以、是左边的两个端点。与是面的两个不相邻顶点；与没有共同所在的面，均不是同一条棱的两个端点。 B3、 如图，在四个空白面内分别填入、、、，每个数只用一次，使展开图折成正方体后，每组相对面上的两个数之和均为。画出所有不同的填法。 【答案】共有种填法，见图。 【解析】与相对的面只能填，与相对的面只能填。剩下的两个空白面互相相对，可以分别填、，也可以分别填、。题目把纸面位置固定，两种填法都要保留。 B4、 如图，将展开图折成正方体。在面的顶点中标出点，使折叠后的、、、四点恰好是正方体某一个面的四个顶点。 题图 解图 【答案】是的左下顶点。 【解析】、分别是面的左上、右上顶点，也是面的下边两端。为的右下顶点，折后与的左下顶点重合。由于与相对，、、不会同在面上，三点共同所在的是面。还缺的右下顶点，它与的左下顶点重合，因此把标在左下顶点。 B5、 图（1）是正方体的一种摆放状态，面上画有从该面中心指向一个顶点的箭头；图（2）是它的展开图。请在图（2）的面上画出这支箭头。 【答案】在面上从中心向右下顶点画箭头。 【解析】立体图中，箭头指向面与前面、下面共同的顶点；与上面相对。把展开图折起核对，面的右下顶点恰与的右下顶点、的右下顶点重合。因此在面内由中心向右下顶点画箭头。 B6、 如图，、分别是面、面下边的中点。请在面上画线段，使展开图折成正方体后，与重合，与重合。 题图 解图 【答案】为下边的中点，为左边的中点，连接。 【解析】的下边与的下边合拢，因此它们的中点、重合；的下边与的左边合拢，因此它们的中点、重合。先在的这两条边上取中点，再连接。 B7、 图（1）是一个正方体的展开图，图（2）、图（3）是这个正方体的两种摆放状态。图（3）最上面的字母应为________。 【答案】。 【解析】图（2）上面为，前面为，右面为。图（3）让、交换前、右位置，两面公共棱的原下端转到了上方，原来的上面转到下方。因此上面应是的相对面。 也可以固定面，依次检查它四周相邻面的顺序，得到同一结果。 B8、 如图，面的左边画有从下向上的箭头。请在面的一条边上再画一支箭头，使折成正方体后，两支箭头沿面的相邻两条边首尾相接。 题图 解图 【答案】在的下边从左向右画箭头。 【解析】第一支箭头终点是的左上顶点。沿面的另一条相邻边继续前进，应由左上顶点走向右上顶点。的上边与的下边合拢，左上顶点对应左下顶点，右上顶点对应右下顶点，因此在下边从左向右画箭头。 C组　综合应用 C1、 如图，将展开图折成正方体。把每个顶点周围三个面上的数相加。 （1）所得的和等于的顶点共有________个。 （2）在展开图上用黑点标出折叠后落在这些顶点处的所有纸面位置。 题图 解图 【答案】（1）；（2）共标个不同纸面位置，如图。 【解析】三对相对面上的数是与、与、与。每个顶点处从每对中各取一个，和为的三组是（，，）、（，，）、（，，）。其中（，，）对应三个分开的纸面位置；（，，）对应两个纸面位置；（，，）三个面角本来共用同一纸面位置。故有个立体顶点，需标个纸面位置。 C2、 图是正方体纸盒，图是准备剪成的展开图。图从纸盒的外侧看，其中已标出同一个面上的、、、四个顶点，各面保持完整。 应沿正方体的哪些棱剪开，才能得到图？写出这些棱的名称，并在图中把它们描粗（被遮挡的剪棱用粗虚线表示）。 【答案】剪开、、、、、、。 【解析】把号面对应到纸盒的前面。号面沿折到上面，号面再沿折到后面；号面沿折到右面；号面沿折到左面，号面再沿折到底面。因此展开图中仍相连的五条公共边对应、、、、。 这五条棱保留，其余、、、、、、剪开，粗线位置见图。 解图 C3、 图、图是同一个正方体纸盒的两种展开方式，两图均从纸盒的外侧看。每个面的号码和箭头都保持不变；两图中标有的面及其顶点、分别对应。 请在图的空白面内补全号码，并还原图中的箭头。箭头从所在正方形的中心指向图示顶点。 解图 【答案】图中：最上格填；其下已知格为；再下一行从左到右填、、；最下格填。箭头画在号面，由中心指向右下顶点。 【解析】先使两图中的号面及、端点分别对应。按图围盒，号面上、下两侧分别接、号面，左、右两侧分别接、号面，与相对的是号面。 因此图中，上方填、下方填； 的左、右两侧分别填、，下方填。图箭头的终点是、、号面共同的顶点；图中，这个顶点是号面的右下角，故箭头由号面中心指向右下顶点。 C4、 图中，正方体三个可见面的外侧画有连成一条的粗折线，各段都经过所在面的中心。、、分别是、、的中点。图是从外侧看到的展开图， 其中一个面的四个顶点、、、已经标出。 请在展开图相应的三个面上画出图中的全部粗线，并在所画粗线上标出、、和；分开的接头要分别标出。 【答案】全部粗线和标记如图。最上方格内连—中心—；标有、、、的方格内连—中心—；右下方末端方格内连—中心—。 【解析】以已标出的面为前面。展开图最上方的方格折到上面，它的下边对应，上边对应，所以在下边中点、在上边中点。前面中，在上边中点，在右边中点。右下方末端方格折到右面， 它的上边对应，右下顶点对应，所以在上边中点。按原图分别经过三个面的中心连接。在上面与前面各标一次，在前面与右面各标一次；纸面分开的同名接头，合拢后分别重合。 解图 D组　真题衔接 以下选自、年七年级期末考试，来源性质见各题题头。 D1、 江苏省宿迁市沭阳县—学年七年级上学期期末数学第题（公开转载） 将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分恰好能折成一个正方体，那么应剪去________。（填一个字母即可） 【答案】（或、） 【解析】删去、或中的任意一个，都能围成正方体，题目只要求填写一个字母。若删去或，仍保留、、、四格组成的“田”字形；删去或，纸片不能再沿边连成一片。 所以可填（或、）。 D2、 江苏省连云港市—学年第一学期期末七年级数学第题（公开转载，地区按来源页面标注） 由个大小相同的正方形拼成如图所示的图形（阴影部分），在图中，，，四个位置中再选择一个正方形，使新的图形折叠后成为一个封闭正方体的位置有（　）。 ．个 ．个 ．个 ．个 【答案】 【解析】补在处，新增方格不与阴影方格共整边；补在处，折叠后与横排最左边的阴影方格重叠。补在、处分别都可以把缺的一面补上，因此有个位置，选。 D3、 北京市顺义区—学年七年级上学期期末数学第题（公开重排） 一个正方体的展开图如图所示，在这个正方体中，与“立”字所在面的相对面上的字是（　）。 ．中 ．强 ．志 ．华 【答案】 【解析】同一行连续排列的“立、远、志”三个面依次折叠后，“立”和“志”相对。因此选。另两对相对面分别为“远”与“中”、“强”与“华”。 D4、 青岛李沧、城阳、西海岸等—学年上学期期末联考初一数学第题（公开考试分析文章所附原题） 如图，将图沿虚线折成图所示的无盖正方体纸盒后，与线段重合的线段是（　）。 ． ． ． ． 【答案】 【解析】把下接的小正方形作为底面，横排四格围成四个侧面。与所在面相对的是所在面，因而落在底面的对边处。核对端点，与重合，与重合，所以与重合的线段是，选。 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 走进几何世界——正方体展开图中的面、棱与顶点对应 专题复习讲义 —学年苏科版七年级数学上册 学生版 学习导航 先看平面与立体的配对图，再按面的位置、公共棱、端点和标记方向逐步核对。每节紧接典例及三道变式，完成后进入分层练习。 一、能否围成正方体 2 二、面的对应 5 三、棱与顶点的对应 7 四、标记的朝向 9 五、展开图的形状对照 12 A组　基础巩固 13 B组　方法选择与突破 16 C组　综合应用 20 D组　真题衔接 22 知识关系图 展开图 ⇄ 正方体 六个面各占一个位置 → 判断能否围成，确定补面与剪棱。 面的相邻与相对 → 三对相对面，三个面共顶点。 同一条棱的两侧面 → 找对应边，再配对两端点。 端点的对应顺序 → 棱上箭头同向，面内图案还原。 一、能否围成正方体 正方体有个面、条棱、个顶点。个面都是大小相同的正方形，每条棱连接两个面，每个顶点处有三个面相交。 把正方体沿一些棱剪开，各个面仍保持完整，摊平后得到展开图。反过来，把展开图沿相邻正方形的公共边转折，每次转折，六个面应当分别占据正方体的六个位置，既不重叠，也不缺面。 判断时不能只数出六格。先选一面不动，再顺着公共边依次折起相邻的面。若两个方格落到同一个面的位置，就不能围成正方体。也不要把纸面上的“远”“近”直接当成立体中的“相对”“相邻”。 有些图可以先排除：四格围成“田”字时，一个点周围已有四个直角，而正方体的一个顶点只由三个面角围成；同一直线上连续排列五格时，前四格围成一圈后，第五格会与第一格重叠。但没有这两种结构，并不保证一定能围成正方体，还要检查全部六个面的落位。 短例。把四张正方形按两行两列拼成“田”字，即使再添两张，也不能把原来的四张全部折成正方体的四个面：它们的公共点不能变成正方体上由四个面相交的顶点。 折叠前后怎样对应。下图把六个面标成、、、、、，并用相同颜色表示同一个面。 先把作为前面不动。把折到右面，再沿与的公共边折起，成为后面；继续折起，成为左面。沿与的公共边折到上面，沿与的公共边折到下面。这样六个面分别到达六个不同的位置，能合成正方体。 正方体上的位置 前面 后面 左面 右面 上面 下面 对应面 补一格的问题，先找出所有与已有图形共整边的空位，再检验哪些位置能补足缺面。题目若固定了已有五格，不能因为两种成图旋转后外形一样，就漏掉其中一个补画位置。 剪开的原棱在展开图边界上通常分成两条边，未剪开的原棱仍是两个方格的公共边。数“剪开几条棱”和数“展开图外边几条”是两件事。 例1 下列各图均由六个相同的正方形组成。沿正方形的公共边折叠，能够围成正方体的是________。（填图的序号） 变式1-1 将一个正方体纸盒沿部分棱剪开，展成如图所示的平面图形，各面均保持完整。原正方体中未剪开的棱有________条，剪开的棱有________条。 变式1-2 把图中的面、、、依次折成正方体的四个侧面，再沿公共边折起面、。面与面的位置关系是（　　） ．相对 ．相邻 ．重叠 ．无法确定 变式1-3 如图，方格纸上已画出五个相同的正方形。只补画一个同样的正方形，使六个正方形能够围成正方体，已有五格的位置不变。请在图中标出所有可以补画的位置。 二、面的对应 正方体中，共有一条棱的两个面是相邻面；没有公共边、也没有公共顶点的两个面是相对面。六个面分成三对相对面。每个面有四个相邻面，只有一个相对面。 在展开图中共边的两面，折叠后仍相邻；展开图中不共边的两面，可能相邻，也可能相对，必须通过折叠判断。对于连续排成直线的三格，第一格与第三格折起后相对；这个结论只能直接用于这三格确实在同一直线上的情形，不能把弯折的路径当作直线。 处理带数的面，先写出三对相对面，再使用数之间的条件。例如相对面两数和相同，应先找一组两个数都已知的面，确定公共和。 短例。若每组相对面的两数之和都是，某一面写着，那么其对面上的数为。这里的填在折叠后与相对的面，不能只按纸面上隔开一格来填。 在上面的折叠示范图中，与、与、与分别相对。右上方看得见的、、三个面相交于同一个顶点；若同时选入和，再选哪个面都不能组成同一顶点周围的三个面。 一个顶点周围的三个面，恰好从三对相对面中各取一个。只要所选三个面中含有一对相对面，它们就不能相交于同一个顶点；反之，从三对中各选一个，所得三个面可以相交于一个顶点。求三个面上数的和时，先检查是否能同时出现在这个顶点，不能任意挑三个数。 反过来，也可以用“哪三面共顶点”恢复相对关系。两相邻面相交于一条棱，这条棱的两个端点分别接着另外两个面，那两个面正好相对。这是由三面记录反推相对面的依据。 例2 如图，将展开图折成正方体。每组相对面上的两个数之和都相等，求、的值。 变式2-1 如图，将展开图折成正方体。下列三个面能相交于同一个顶点的是（　　） ．、、 ．、、 ．、、 ．、、 变式2-2 如图，将展开图折成正方体。把每个顶点周围三个面上的数相加，所得的和最大是________，最小是________。 变式2-3 一个正方体的六个面分别标有 、、、、、。 已知、、能相交于一个顶点， 、、能相交于一个顶点，、、也能相交于一个顶点。将这个正方体展开后得到如图所示的形状， 请把、、填入标有、、的方格内：处填________，处填________，处填________。 三、棱与顶点的对应 展开时，原来同一条棱上的两个面边可能被分开，原来同一个顶点也可能分成两个或三个纸面位置。找重合位置时，要同时看面和边，不能只看两个字母是否靠近。 先确定两面在正方体上的位置，再找它们共同的一条棱。找到会粘合的两条纸面边后，还要逐一配对两个端点。纸面上某条边的上端，不一定对应另一条边的上端。 短例。把同一张展开图换一个观察方向，得到下图。颜色相同的标记折叠后落在同一个位置；只看黑白打印图，也可以按字母核对。 面的左边与面的上边合拢，对应，对应。图中纸面上的本来就是面的左下顶点与面的左上顶点，所以与合拢后，是、、三个面共同的一个顶点。不是因为图上只有、两个位置，就只有两个面相交。 对应棱的两端也要分别检查：与是同一端，与是另一端，不能把与配在一起。 检查一个立体顶点时，应能找到围成它的三个面角。注意：两个面在展开图中本来就共一个纸面顶点时，它们的两个面角可能已经写在同一个位置，不能重复数作两个不同的纸面点；相反，纸面上分开的标记也可能折到同一个立体顶点。 对于多个顶点标记，先把会重合的标记分组，再数不同的组数。对于作图题，要把与指定点重合的所有纸面位置找齐，而不是找到一个就停止。 例3 如图，将展开图折成正方体。 （1）点还与面________的________顶点、面________的________顶点重合。 （2）边与面________的________边重合。 变式3-1 如图，将展开图折成正方体，边与面________的________边重合；点与该边的________端点重合。 变式3-2 如图，在展开图的五个顶点、、、、处各作一个标记。折成正方体后，这五个标记共落在________个不同的顶点处。 变式3-3 如图，将展开图折成正方体。在图中用、分别标出折叠后与点重合的另外两个位置。 四、标记的朝向 箭头有起点和终点。两支箭头折叠后要完全重合且方向一致，必须同时满足：它们位于同一条棱上；起点与起点重合；终点与终点重合。只有第一项成立，还不能判断同向。 短例。下图中，是、、三个方格共同的纸面顶点，面的右边上画着由指向的箭头，面的上边上画着由指向的箭头。 折叠后，与重合，两支箭头的起点又都是，因此箭头完全重合且方向一致。纸面上一个向上、一个向右，并不妨碍它们在同一条棱上同向。若把面上的箭头改成由指向，那么两支箭头仍在同一条棱上，但方向相反。 因此，纸面上同为“向右”的两支箭头，折起后可能相反；纸面上一横一竖的两支箭头，也可能完全重合且同向。不要凭箭头外观判断，要在对应的两个端点之间确定顺序。 边上的标记点也按对应端点定位。比如一条边长，某点距起点；折叠后它仍距对应的起点，距另一端则为。若把从错误的一端量起，虽找对边，也会画错点。 面内图案：先认准这个面，再认准所指的角 图案在面内时，不是让两个不同面内的点“重合”，而是要把同一个面上的位置和朝向保留下来。可按三步检查：先定面；再用相邻的面定边、定角；最后还原图案。 • 若箭头从面中心指向顶点，中心仍对应中心，关键是找到终点属于哪三个面。 • 若一个小圆点画在某个角附近，应核对它靠近哪个顶点，不能把纸面上的“右上”照搬到立体图里；靠近同一顶点的两个面内圆点，本身并不重合。 • 若图案跨过两条棱，先分别配好各接头，再在每个面内连接。中点仍对应中点；纸面上被剪开的两个接头，合拢后才成为同一点。 短例。仍把作为前面、作为右面、作为上面。右图内的箭头从面中心指向上面的左后角，这个角属于、、三个面。回到展开图，它是的左上顶点，因此左图的箭头从中心指向左上顶点。左图和右图画的是同一个面的同一支箭头，不是两支棱上箭头的粘合。 例4 如图，面的上边画有从指向的箭头。请在面的一条边上画一支箭头，使展开图折成正方体后，两支箭头完全重合且方向一致。所画箭头位于面的________边，方向为________。 变式4-1 如图，面的左边画有从上向下的箭头。请在面的一条边上画一支箭头，使折成正方体后，两支箭头完全重合且方向一致。 变式4-2 如图，面的左边和面的下边各画有一支箭头。折成正方体后，这两支箭头（　　） ．完全重合且方向一致 ．完全重合且方向相反 ．互相平行但不重合 ．既不平行也不重合 变式4-3 如图，每个小正方形的边长均为，是面的左下顶点，点在面的左边上， ，箭头由指向；是面的左下顶点。 （1）在面的边界上标出与重合的点，并画一支箭头，使折成正方体后两支箭头完全重合且方向一致。 （2）求的长。 五、展开图的形状对照 把旋转或翻转后能完全重合的图形只记作一种，正方体共有种展开图。下图按各行的方格数分组，便于观察连接位置：图—是一、四、一格，图—是二、三、一格，图是二、二、二格，图是三、三格。 这些图可以帮助核对“能否围成”，但不能代替面、棱、顶点和箭头的对应判断。同一类中，方格连接的位置也可能不同，仍需按题图逐面检查。 A组　基础巩固 A1、 下列各图均由六个相同的正方形组成。沿正方形的公共边折叠，能围成正方体的是（　　）。 A2、 如图，将展开图折成正方体。与“几”字所在面相对的面上是“________”字；与“何”字所在面相对的面上是“________”字；与“世”字所在面相对的面上是“________”字。 A3、 如图，将展开图折成正方体。已知每组相对面上的两个数之和都为，则________。 A4、 如图，将展开图折成正方体。与面、面共同相交于一个顶点的第三个面可能是面________。 （填所有符合条件的面字母） A5、 如图，、分别是面的左上、右上顶点。将展开图折成正方体后，边与面的________边重合；点与该边的________端点重合。 A6、 如图，点是面的左下顶点。将展开图折成正方体后，请在图中标出与点重合的所有其他纸面位置，并用标记。 A7、 如图，面的上边画有一支从左向右的箭头。请在面的一条边上补画一支箭头，使展开图折成正方体后，两支箭头完全重合且方向一致。 A8、 如图，面内的黑点紧靠面的右上顶点。要在面内再画一个黑点，使折成正方体后，两个黑点分别紧靠同一个正方体顶点，第二个黑点应画在面的（　　）。 ．左上角附近 ．右上角附近 ．左下角附近 ．右下角附近 B组　方法选择与突破 B1、 如图，在已有五个正方形外补画一个同样的正方形，使所得图形能围成正方体，并且面的左上顶点与面的左下顶点重合。画出面的位置。 B2、 如图，将展开图折成正方体。在、、、中，与重合的是________；与恰好是同一条棱两个端点的是________。 B3、 如图，在四个空白面内分别填入、、、，每个数只用一次，使展开图折成正方体后，每组相对面上的两个数之和均为。画出所有不同的填法。 B4、 如图，将展开图折成正方体。在面的顶点中标出点，使折叠后的、、、四点恰好是正方体某一个面的四个顶点。 B5、 图（1）是正方体的一种摆放状态，面上画有从该面中心指向一个顶点的箭头；图（2）是它的展开图。请在图（2）的面上画出这支箭头。 B6、 如图，、分别是面、面下边的中点。请在面上画线段，使展开图折成正方体后，与重合，与重合。 B7、 图（1）是一个正方体的展开图，图（2）、图（3）是这个正方体的两种摆放状态。图（3）最上面的字母应为________。 B8、 如图，面的左边画有从下向上的箭头。请在面的一条边上再画一支箭头，使折成正方体后，两支箭头沿面的相邻两条边首尾相接。 C组　综合应用 C1、 如图，将展开图折成正方体。把每个顶点周围三个面上的数相加。 （1）所得的和等于的顶点共有________个。 （2）在展开图上用黑点标出折叠后落在这些顶点处的所有纸面位置。 C2、 图是正方体纸盒，图是准备剪成的展开图。图从纸盒的外侧看，其中已标出同一个面上的、、、四个顶点，各面保持完整。 应沿正方体的哪些棱剪开，才能得到图？写出这些棱的名称，并在图中把它们描粗（被遮挡的剪棱用粗虚线表示）。 C3、 图、图是同一个正方体纸盒的两种展开方式，两图均从纸盒的外侧看。每个面的号码和箭头都保持不变；两图中标有的面及其顶点、分别对应。 请在图的空白面内补全号码，并还原图中的箭头。箭头从所在正方形的中心指向图示顶点。 C4、 图中，正方体三个可见面的外侧画有连成一条的粗折线，各段都经过所在面的中心。、、分别是、、的中点。图是从外侧看到的展开图， 其中一个面的四个顶点、、、已经标出。 请在展开图相应的三个面上画出图中的全部粗线，并在所画粗线上标出、、和；分开的接头要分别标出。 D组　真题衔接 以下选自、年七年级期末考试，来源性质见各题题头。 D1、 江苏省宿迁市沭阳县—学年七年级上学期期末数学第题（公开转载） 将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分恰好能折成一个正方体，那么应剪去________。（填一个字母即可） D2、 江苏省连云港市—学年第一学期期末七年级数学第题（公开转载，地区按来源页面标注） 由个大小相同的正方形拼成如图所示的图形（阴影部分），在图中，，，四个位置中再选择一个正方形，使新的图形折叠后成为一个封闭正方体的位置有（　）。 ．个 ．个 ．个 ．个 D3、 北京市顺义区—学年七年级上学期期末数学第题（公开重排） 一个正方体的展开图如图所示，在这个正方体中，与“立”字所在面的相对面上的字是（　）。 ．中 ．强 ．志 ．华 D4、 青岛李沧、城阳、西海岸等—学年上学期期末联考初一数学第题（公开考试分析文章所附原题） 如图，将图沿虚线折成图所示的无盖正方体纸盒后，与线段重合的线段是（　）。 ． ． ． ． 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $