专题13 整式加减的综合计算题（重难点培优讲义）2026-2027年人教版七年级数学上册

专题13 整式加减的综合计算题 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 合并同类项 题型02 整式的加减运算 题型03 整式加减中的化简求值 题型04 整式加减的无关型计算 题型05 整式加减中的遮挡型计算 题型06 整式加减的新定义计算 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一 合并同类项　 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 合并同类项法则： 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项系数的和，字母连同它的指数保持不变，简记为“一加两不变”：系数相加，字母和字母的指数不变。 合并同类项的步骤: 1. 找：准确找出多项式中的所有同类项，可给不同同类项标记不同的符号； 2. 移：利用加法交换律和结合律将同类项移到一起，移动时要带着项的符号一起移动； 3. 并：按照合并同类项法则合并同类项，合并后系数和为0时，该项结果为0，不再写出； 4. 写：写出合并后的最终结果。 【针对训练】 【例1】下列运算中正确的是（   ） A． B．3 C． D． 【变式训练1】计算的结果等于__________． 【变式训练2】若，，则________． 知识点二 整式的加法与减法运算法则 整式加减的实质就是合并同类项，具体运算步骤为： 1. 如果有括号，先按照去括号法则去掉括号； 2. 找出多项式中的所有同类项，按照法则合并同类项； 3. 整理得到最终结果，结果中不能再有同类项。 【针对训练】 【例2】化简下列各式 (1) (2) 【变式训练1】计算： (1)； (2)． 【变式训练2】已知多项式，，求． 知识点三 整式中化简求值与含字母参数的问题 1.整式的化简：需掌握合并同类项法则，将同类项的系数相加，字母和指数不变；运用去括号法则，括号前是正号，去括号后各项不变号，括号前是负号，去括号后各项变号，从而将整式化为最简形式。 2.代入求值：把已知字母的值代入化简后的式子计算。当式子含参数时，若化简后式子与含参数部分无关，可根据条件确定参数取值。 3.参数分析：依据题目条件，如整式值与某字母取值无关，令相关项系数为0求解参数；或通过已知等式，对比系数确定参数值 。 【针对训练】 【例3】若单项式与是同类项，则的值为 ． 【变式训练1】先化简，再求值：，其中． 【变式训练2】已知代数式．，． (1)求； (2)当取何值时，的值与的取值无关． 知识点四 整式中数字类和图形类规律探究问题 1.数字规律：若是一列整数，可考虑相邻两数的和、差、积、商等规律，也可能是奇、偶、平方等方面的规律；若是等式，可将每个等式对应写好，比较每一行、每一列数字间的关系找规律；若是分数，则分别观察分子、分母的变化规律及它们之间的联系。 2.图形规律：观察数量变化，探究由特殊到一般的关系，用代数式抽象出来；观察图形的拼接，发现规律并类推得到图形的规律性。 3.探索方法：从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，尤其关注变化时与序数的关系，归纳出一般性结论。 【针对训练】 【例4】一列数第6项是 ，第2018项是 ． 【变式训练1】观察等式：，，，，，，，…．通过观察，用你发现的规律确定的个位数字是 ． 【变式训练2】已知，其中表示当时代数式的值，如，则 ， ． 【变式训练3】观察下列正方形中四个数，分别具有的一定规律，根据规律可得 ． 【变式训练4】下图是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律完成此题： 图形标号 第一个 第二个 第三个 第四个 涂有阴影的小正方形的个数 5 a 13 b (1)________，________； (2)第n个图形中涂有阴影的小正方形的个数为________个；（用含n的代数式来表示） (3)按照这种规律下去，求第400个图形中涂有阴影的小正方形的个数． 典例精析 题型一 合并同类项 1．已知与是同类项，求多项式的值． 2．（1）将视作一个整体，合并同类项：； （2）已知，求（1）中式子的值． 3．学科素养•阅读理解规定一种运算：，等号右边是我们学过的加减运算，按前面的规定把展开，并合并同类项． 题型二 整式的加减运算 4. 如图，现有一张白色卡片甲和两张灰色卡片乙、丙，上面分别写有一个整式，现从这三张卡片中任意抽取，抽到白色卡片，就减去上面的整式，抽到灰色卡片，就加上上面的整式． (1)请计算抽到甲、乙两张卡片的结果． (2)若同时抽到甲、乙、丙这3张卡片，且计算结果的值为，求的值． 5. 按下列程序计算，把答案填写在表格里，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律？ (1)填写表内空格． 输入x 3 2 … 输出答案 … (2)你发现的规律是________． (3)用简要过程说明你发现的规律的正确性． 6．阅读下列的探究过程，然后解决下列问题： 探究：已知x满足，求代数式的值． 解：由，得． 将看作一个整体，代入，得， 所以代数式的值为2025． (1)若x满足，则代数式的值为； (2)若x，y满足，，求代数式的值． 题型三 整式加减中的化简求值 7．化简 (1)，其中． (2)有一道题目是一个多项式减去，小明误当成了加法计算，得到的结果是．正确的结果是什么？ 8．下面是佳佳同学先化简再求值的全过程． ，其中，． 解： =① =② 当，时， 原式=③ = (1)请指出佳佳从第______步开始出错；（填序号） (2)写出正确的化简求值过程． 9．数学江老师在课堂上布置了一道数学题：当，时，求的值． 对于此题，七年级（3）班的三位同学展开讨论． 小明：这么大的数，没法算；小亮：这个算式的结果是个常数； 小颖：这个算式的结果与x、y取值无关．那么他们到底谁说的对？你能说明理由吗？ 题型四 整式加减的无关型计算 10．若化简代数式的结果中不含和项． (1)试求a，b的值； (2)在（1）的条件下，求整式与的2倍的差． 11．数学老师在上课时出了这样一道题：“先化简，再求值：，其中，．”同学们思考时小桐说：本题中，是多余的条件；小强马上反对说：这不可能，多项式中含有x和y，不给出x，y的值怎么能求出多项式的值呢？你同意哪名同学的观点？请说明理由． 12．在学习了整式的加减后，老师给出一道课堂练习题：选择a的一个值，求的值． 甲说：“当时，原式．” 乙说：“当时，原式．” 丙说：“当a为任何一个有理数时，原式．” 这三位同学的说法是否正确？请说明理由． 题型五 整式加减中的遮挡型计算 13．综合与实践： 小红和小丽在完成题目“化简：．”发现系数“”被墨迹污染了． 小红说：“我猜被墨迹污染的系数是2．” 小丽说：“你猜错啦，我看到这道题的标准答案是常数．” (1)请你根据小红的话化简：； (2)请你根据小丽的话通过计算说明原题中系数“”是多少？ 14．小明和小宇在完成题目“化简：．”发现系数“”被墨迹污染了． (1)请你根据小明的话化简：； (2)请你根据小宇的话通过计算说明原题中系数“”是多少？ 15．在数学课上，老师给出了一道题目：“先化简，再求值：，其中．”“□”中的数据被污染，无法解答，只记得“□”中是一个有理数，于是老师即兴出题，请同学们回答． (1)请直接写出化简后整式的常数项是多少？ (2)若嘉嘉把“”看成了“”，化简求值的结果仍不变，求此时“□”表示的有理数； (3)若淇淇把“”看成了“”，化简求值的结果为，求当时，原整式的值． 题型六 整式加减的新定义计算 16．定义新运算：，化简：. 17．定义一种新运算：观察下列式子：1⊕3=1×2+3=5，3⊕1=3×2+1=7，5⊕4=5×2+4=14． （1）请你想一想：a⊕b等于多少； （2）计算：[（a﹣b）⊕（a+b）]⊕b 18．设，x，y为有理数，定义新运算，如，． (1)计算和的值； (2)化简； (3)已知，求的值． 1．合并下列各式的同类项： (1)； (2)． 2．已知，求的值． 3．已知：． (1)计算的值； (2)若单项式与是同类项，求的值． 4．有一道题目：当，时，求多项式：的值．甲同学做题时把错抄成，乙同学没抄错题，但他们做出的结果恰好一样．你能说明这是为什么吗？ 5．为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图中阴影部分所示）． (1)用含的式子表示广场（阴影部分）的周长 (2)若米，米，广场面积，已知修建每平方米需费用200元，求修建广场的总费用的值． 6．已知数，，在数轴上的位置如图所示,试化简． 7．先化简，再求值：已知，，其中，，求的值． 8．已知，，在数轴上的位置如下图，且． (1)__________0，___________0．（请用“>”，“<”填空）； (2)化简：． 9．已知与是关于x，y的单项式，且它们是同类项． (1)求a的值． (2)若，且，求的值． 10．计算 (1)化简并求值：，其中，． (2)已知，． ①化简； ②当，时，求的值． 11．已知代数式： (1)若，求代数式C； (2)在（1）的条件下，若，，求代数式C的值； (3)若代数式的值与x的取值无关，求y的值． 12．观察图形，回答下列问题： (1)用含的代数式表示边的长度：____________； (2)用含，的代数式，表示阴影部分的周长为______，面积为______； (3)当，时，求阴影部分的周长和面积． 13．学习了（有理数）后，同学们都知道，表示5与2之差的绝对值，也可以理解为数轴上5与2这两个数所对应的两点之间的距离，如图（1）所示．请根据以上知识解决下列问题：如图（2），已知数轴上点表示的数分别为4，． (1)两点之间的距离为______； (2)若数轴上点表示的数为． ①若，求的值； ②是否存在有理数，使得式子有最小值，若存在，直接写出的取值范围及式子的最小值；若不存在，请说明理由． 14．计算： (1) (2) (3)； 15．【新知学习】类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于0或1的项是“强同类项”．例如：与是“强同类项“． 【新知应用】 (1)给出下列四个单项式：①，②，③；④，其中是“强同类项”的组合是______；（填写序号） (2)若与是“强同类项”，求m的值； (3)若为关于x，y的多项式，，当C的任意两项都是“强同类项”时，求n的值； (4)已知，均为关于a，b的单项式，其中，，如果，是“强同类项”，那么x的最大值和最小值分别是什么？ 16．阅读材料：我们把看成一个整体，则．“整体思想”是解题中的一种重要方法． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并的结果是________． (2)已知，求的值． 拓广探索： (3)已知，，，求的值． 17．“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．请阅读下面材料解决问题． 代数式的值为，则代数式的值为______． 【阅读理解】 小明在做作业时采用的方法如下：由题意得，，则有，，所以代数式的值为． 【方法运用】 （1）若代数式的值为，求代数式的值． （2）若时，代数式的值为，当时，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，．则的值为　　　　． 18．（1）已知，求的值． （2）已知多项式，，若为五次六项式，求m的值． 19．我们在分析解决某些数学问题时经常用“作差法”来比较两个代数式的大小．所谓“作差法”就是通过作差、变形、并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较代数式的大小，只要求出它们的差，若，则：若，则：若，则． 例如：比较和的大小，我们可以用，即． 依据上面的方法，完成下列问题： (1)比较：______； (2)已知有理数在数轴上的位置如图所示： ①比较：______；（填“”，“”或“”） ②若，，比较代数式与的大小； (3)已知，，若的值与无关，比较代数式与的大小． 20．我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点，在数轴上分别表示有理数，，则，两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则的值为__________．的最小值为__________； (2)①当__________时，的值最小，最小值为__________． ②的最大值为__________； (3)如图，一条笔直的公路边有三个居民区，，和市民广场，居民区，，分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．居民区有居民1千人，居民区有居民2千人，居民区有居民3千人．现因防疫需要，需要在该公路上建流感检测实验室，用于接收这3个小区的全员流感样本，若流感样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 整式加减的综合计算题 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 合并同类项 题型02 整式的加减运算 题型03 整式加减中的化简求值 题型04 整式加减的无关型计算 题型05 整式加减中的遮挡型计算 题型06 整式加减的新定义计算 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一 合并同类项　 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 合并同类项法则： 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项系数的和，字母连同它的指数保持不变，简记为“一加两不变”：系数相加，字母和字母的指数不变。 合并同类项的步骤: 1. 找：准确找出多项式中的所有同类项，可给不同同类项标记不同的符号； 2. 移：利用加法交换律和结合律将同类项移到一起，移动时要带着项的符号一起移动； 3. 并：按照合并同类项法则合并同类项，合并后系数和为0时，该项结果为0，不再写出； 4. 写：写出合并后的最终结果。 【针对训练】 【例1】下列运算中正确的是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据合并同类项法则逐项判断即可，只有同类项才能合并，合并时系数相加，字母和指数保持不变． 【详解】解：A、，∴A错误； B、，计算正确，∴B正确； C、与次数不同，不是同类项，不能合并，∴C错误； D、与所含字母不同，不是同类项，不能合并，∴D错误． 【变式训练1】计算的结果等于__________． 【答案】 【分析】根据合并同类项法则，将同类项的系数相加，保留字母和字母的指数不变，计算得出最终结果． 【详解】解： ． 【变式训练2】若，，则________． 【答案】/ 【详解】解： ． 知识点二 整式的加法与减法运算法则 整式加减的实质就是合并同类项，具体运算步骤为： 1. 如果有括号，先按照去括号法则去掉括号； 2. 找出多项式中的所有同类项，按照法则合并同类项； 3. 整理得到最终结果，结果中不能再有同类项。 【针对训练】 【例2】化简下列各式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】通过去括号法则以及合并同类项计算即可．注意去括号时括号前面是负号，括号里面每一项都需要变符号． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 【变式训练1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式训练2】已知多项式，，求． 【答案】 【分析】此题考查了整式的加减，熟练掌握相关知识是解题的关键． 把与代入原式中，去括号合并同类项即可得到结果； 【详解】解： ； 知识点三 整式中化简求值与含字母参数的问题 1.整式的化简：需掌握合并同类项法则，将同类项的系数相加，字母和指数不变；运用去括号法则，括号前是正号，去括号后各项不变号，括号前是负号，去括号后各项变号，从而将整式化为最简形式。 2.代入求值：把已知字母的值代入化简后的式子计算。当式子含参数时，若化简后式子与含参数部分无关，可根据条件确定参数取值。 3.参数分析：依据题目条件，如整式值与某字母取值无关，令相关项系数为0求解参数；或通过已知等式，对比系数确定参数值 。 【针对训练】 【例3】若单项式与是同类项，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了同类项，熟知“所含字母相同，相同字母也相同的项，叫做同类项”是解题的关键． 根据同类项的定义可得，解答即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式训练1】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】此题主要考查整式的加减——化简求值，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解题的关键；先去括号，合并同类项后，再代入x的值即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式训练2】已知代数式．，． (1)求； (2)当取何值时，的值与的取值无关． 【答案】(1) (2)时，的值与y的取值无关． 【知识点】整式加减中的无关型问题、整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则． （1）将、代入，然后去括号、合并同类项求解； （2）与y的取值无关说明y的系数为0，据此求出的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∵的值与的取值无关， 解得：， 故时，的值与y的取值无关． 知识点四 整式中数字类和图形类规律探究问题 1.数字规律：若是一列整数，可考虑相邻两数的和、差、积、商等规律，也可能是奇、偶、平方等方面的规律；若是等式，可将每个等式对应写好，比较每一行、每一列数字间的关系找规律；若是分数，则分别观察分子、分母的变化规律及它们之间的联系。 2.图形规律：观察数量变化，探究由特殊到一般的关系，用代数式抽象出来；观察图形的拼接，发现规律并类推得到图形的规律性。 3.探索方法：从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，尤其关注变化时与序数的关系，归纳出一般性结论。 【针对训练】 【例4】一列数第6项是 ，第2018项是 ． 【答案】 【分析】观察不难发现，分子都是1，分母是以2为底数的幂，是第n项，2的指数就是，由此写出第6项和2018项即可． 本题主要考查通过分析数的变化总结归纳规律，解题的关键在于求出分母的变化规律． 【详解】解：第6项是； 第2018项是． 故答案为：；． 【变式训练1】观察等式：，，，，，，，…．通过观察，用你发现的规律确定的个位数字是 ． 【答案】6 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，这一列数字每4个数为一个循环，其个位数字依次为2，4，8，6，再根据即可得到答案． 【详解】解：，，，，，，，…， 以此类推可得，这一列数字每4个数为一个循环，其个位数字依次为2，4，8，6， ∵， ∴的个位数字是6， 故答案为：6． 【变式训练2】已知，其中表示当时代数式的值，如，则 ， ． 【答案】 /0.75 【分析】根据题意求得代数式的值，然后根据有理数的乘法进行计算即可求解．本题考查了代数式求值，有理数的混合与运算，理解题意是解题的关键． 【详解】解：依题意，， ∴， 故答案为：，． 【变式训练3】观察下列正方形中四个数，分别具有的一定规律，根据规律可得 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，代数式求值，观察可知，右下角的数等于其他三个数的和，且上面两个数是从1开始的自然数，左下角的数是从2开始的自然数，据此求出，则，再代值计算即可． 【详解】解：， ， ， 以此类推可知，右下角的数等于其他三个数的和， 观察可知上面两个数是从1开始的自然数，左下角的数是从2开始的自然数，即第幅图，右上角的数为，左下角的数为，左上角的数为， 当时，解得， 把，代入得： ， ， ， 故答案为：． 【变式训练4】下图是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律完成此题： 图形标号 第一个 第二个 第三个 第四个 涂有阴影的小正方形的个数 5 a 13 b (1)________，________； (2)第n个图形中涂有阴影的小正方形的个数为________个；（用含n的代数式来表示） (3)按照这种规律下去，求第400个图形中涂有阴影的小正方形的个数． 【答案】(1)9；17 (2) (3)1601 【分析】本题是图形的规律探究题，找到题目中的规律，并用代数式把规律表示出来是解决本题的关键． （1）观察图形规律，可知第1图涂有阴影的小正方形的个数为5个，第2图涂有阴影的小正方形的个数为个，第3个图涂有阴影的小正方形的个数为个，以此类推，可知第4图涂有阴影的小正方形的个数； （2）观察可知后面一个图形比前面一个图形多4个涂有阴影的小正方形，据此规律求解即可； （3）将代入计算求解即可． 【详解】（1）解：第2个图形涂有阴影的小正方形的个数为个，即， 第4个图形涂有阴影的小正方形的个数为7个，即 故答案为：9，17； （2）观察图形规律，可知： 第1个图形涂有阴影的小正方形的个数为个，， 第2个图形涂有阴影的小正方形的个数为个， 第3个图形涂有阴影的小正方形的个数为个，， 第4个图形涂有阴影的小正方形的个数为7个 以此类推， 第n个图形涂有阴影的小正方形的个数为个，， 故答案为：； （3）解：将代入中得： 即第400个图形中涂有阴影的小正方形的个数为根． 典例精析 题型一 合并同类项 1．已知与是同类项，求多项式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查同类项，根据同类项的定义，得，把多项式合并同类项，把代入到合并同类项后的式子进行计算即可． 【详解】解：由同类项的定义，得， 解得． 当时， 原式． 2．（1）将视作一个整体，合并同类项：； （2）已知，求（1）中式子的值． 【答案】（1）；（2）8 【分析】本题主要考查合并同类项； （1）根据合并同类项的法则“把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变”，进行计算即可． （2）把代入到合并同类项后的式子中计算即可． 【详解】解：（1） ． （2）当时， 原式 3．学科素养•阅读理解规定一种运算：，等号右边是我们学过的加减运算，按前面的规定把展开，并合并同类项． 【答案】 【分析】本题考查的是定义新运算，同时用到了整式的加减运算.仔细观察新运算：所反映出的整式的加减运算规则，根据规定的运算法则可得展开原式. 【详解】解：原式 . 故答案为： 题型二 整式的加减运算 4．如图，现有一张白色卡片甲和两张灰色卡片乙、丙，上面分别写有一个整式，现从这三张卡片中任意抽取，抽到白色卡片，就减去上面的整式，抽到灰色卡片，就加上上面的整式． (1)请计算抽到甲、乙两张卡片的结果． (2)若同时抽到甲、乙、丙这3张卡片，且计算结果的值为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的计算． （1）根据题意将乙卡片式子减去甲卡片式子，合并同类项即可得到本题答案； （2）根据题意用乙加上丙减去甲等于并正确计算即为本题答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， 故答案为：； （2）解：由（1）知抽到甲乙的结果是，故再抽取丙时： 故：，解得：， 故答案为：． 5．按下列程序计算，把答案填写在表格里，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律？ (1)填写表内空格． 输入x 3 2 … 输出答案 … (2)你发现的规律是________． (3)用简要过程说明你发现的规律的正确性． 【答案】(1)填表：0   0   0   0 (2)输入任何数的结果都为0 (3)过程说明见解析 【分析】（1）利用计算程序，代入表格数据逐一计算，即可求出结果． （2）由前几项都为0可得出规律：输入任何数的结果都为0． （3）根据程序可写出关于x的方程式，此方程式的值为0，所以无论x取任何值，结果都为0． 【详解】（1） 输入x 3 2 … 输出答案 0 0 0 0 … （2）输入任何数的结果都为0 （3）∵， ∴无论x取任何值，结果都为0，即结果与字母x的取值无关． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，代数式求值，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． 6．阅读下列的探究过程，然后解决下列问题： 探究：已知x满足，求代数式的值． 解：由，得． 将看作一个整体，代入，得， 所以代数式的值为2025． (1)若x满足，则代数式的值为； (2)若x，y满足，，求代数式的值． 【答案】(1)20 (2)20 【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，整式的加减运算，学会整体代入的思想是解题的关键． （1）由得出，然后整体代入计算即可． （2）由，，得出，，再对整式进行加减运算，最后再整体代入求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 题型三 整式加减中的化简求值 7．化简 (1)，其中． (2)有一道题目是一个多项式减去，小明误当成了加法计算，得到的结果是．正确的结果是什么？ 【答案】(1)，20； (2)． 【分析】整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点． （1）根据整式的加减运算法则化简，再将值代入即可； （2）先按错误的说法，求出原多项式，原多项式是：；再用原多项式减去，运用去括号，合并同类项即可得到正确的结果． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解：这个多项式为：， 所以． 故答案为：． 8．下面是佳佳同学先化简再求值的全过程． ，其中，． 解： =① =② 当，时， 原式=③ = (1)请指出佳佳从第______步开始出错；（填序号） (2)写出正确的化简求值过程． 【答案】(1)① (2)见解析 【分析】本题主要考查了整式的加减法的化简求值， 对于（1），根据①中是否漏乘得出答案； 对于（2），先去括号，再合并同类项，然后将数值代入计算即可． 【详解】（1）第①步去括号出现错误，漏乘3； 故答案为：①； （2）解： ． 当时， 原式 ． 9．数学江老师在课堂上布置了一道数学题：当，时，求的值． 对于此题，七年级（3）班的三位同学展开讨论． 小明：这么大的数，没法算；小亮：这个算式的结果是个常数； 小颖：这个算式的结果与x、y取值无关．那么他们到底谁说的对？你能说明理由吗？ 【答案】小亮和小颖回答正确，理由见解析 【分析】本题考查了整式的化简求值，去括号合并同类项即可求解． 【详解】解： ． 这个算式的结果是个常数，与x，y取值无关，小亮和小颖回答正确． 题型四 整式加减的无关型计算 10．若化简代数式的结果中不含和项． (1)试求a，b的值； (2)在（1）的条件下，求整式与的2倍的差． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，整式加减中的无关型问题， （1）先根据整式加减运算，去括号，再合并同类项，根据已知得出，，求出a、b的值即可； （2）根据题意列式，然后根据整式加减的运算法则化简求值． 【详解】（1）解： ， ∵化简代数式的结果中不含和项， ∴，， 解得，； （2）解：由题意得 ， 当，时，原式 ． 11．数学老师在上课时出了这样一道题：“先化简，再求值：，其中，．”同学们思考时小桐说：本题中，是多余的条件；小强马上反对说：这不可能，多项式中含有x和y，不给出x，y的值怎么能求出多项式的值呢？你同意哪名同学的观点？请说明理由． 【答案】我同意小桐的观点，理由见解析 【分析】本题考查整式的化简求值．将原式去括号，合并同类项后即可求得答案． 【详解】解：我同意小桐的观点， 理由是： ， 因为化简的结果不含有x和y，所以结果跟x和y的取值无关，因此本题中，是多余的条件． 12．在学习了整式的加减后，老师给出一道课堂练习题：选择a的一个值，求的值． 甲说：“当时，原式．” 乙说：“当时，原式．” 丙说：“当a为任何一个有理数时，原式．” 这三位同学的说法是否正确？请说明理由． 【答案】这三位同学的说法都正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，先去括号，然后合并同类项求出的化简结果为，即该多项式的结果与a的取值无关，据此可得结论． 【详解】解：这三位同学的说法正确，理由如下： ， ∴多项式的结果恒等于，与a的取值无关， ∴这三位同学的说法正确． 题型五 整式加减中的遮挡型计算 13．综合与实践： 小红和小丽在完成题目“化简：．”发现系数“”被墨迹污染了． 小红说：“我猜被墨迹污染的系数是2．” 小丽说：“你猜错啦，我看到这道题的标准答案是常数．” (1)请你根据小红的话化简：； (2)请你根据小丽的话通过计算说明原题中系数“”是多少？ 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查合并同类项，熟练掌握合并同类项是解题的关键； （1）直接去括号合并同类项，进而得出答案； （2）直接去括号合并同类项，再利用结果是常数，得出答案． 【详解】（1） 解：∵系数是2， ∴ ； （2） 解：原式 ， ∵计算结果是常数， ∴， ∴． 14．小明和小宇在完成题目“化简：．”发现系数“”被墨迹污染了． (1)请你根据小明的话化简：； (2)请你根据小宇的话通过计算说明原题中系数“”是多少？ 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了整式的加减运算，注意计算的准确性即可． （1）计算即可； （2）令原题中系数“”是a，化简，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： （2） 解：令原题中系数“”是a， 则 ∴， 解得： 即：原题中系数“”是4 15．在数学课上，老师给出了一道题目：“先化简，再求值：，其中．”“□”中的数据被污染，无法解答，只记得“□”中是一个有理数，于是老师即兴出题，请同学们回答． (1)请直接写出化简后整式的常数项是多少？ (2)若嘉嘉把“”看成了“”，化简求值的结果仍不变，求此时“□”表示的有理数； (3)若淇淇把“”看成了“”，化简求值的结果为，求当时，原整式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设中的数据为a，然后进行计算即可解答； （2）根据化简求值的结果仍不变，可得，然后进行计算即可解答； （3）先把代入进行计算求出a的值，最后再代入数据进行计算即可． 【详解】（1）解：设中的数据为a， ， 化简后的代数式中常数项是：； （2）解：设“□”表示的有理数的值为．原式． 因为把“”看成了“”，化简求值的结果仍不变，即原式的值与的值无关， 所以，解得， 所以“□”表示的有理数为8； （3）解：设“□”表示的有理数的值为．原式． 因为当时，化简求值的结果为， 所以， 解得， 所以原式． 【点睛】本题考查了整式的加减－化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 题型六 整式加减的新定义计算 16．定义新运算：，化简：. 【答案】 【分析】先根据新定义得到-+-，再去括号，合并同类项即可得到答案. 【详解】解：因为， 所以=-+-==. 【点睛】本题考查去括号法则和合并同类项，解题的关键是读懂题意，掌握去括号法则和合并同类项. 17．定义一种新运算：观察下列式子：1⊕3=1×2+3=5，3⊕1=3×2+1=7，5⊕4=5×2+4=14． （1）请你想一想：a⊕b等于多少； （2）计算：[（a﹣b）⊕（a+b）]⊕b 【答案】（1）2a+b；（2）6a﹣b 【分析】（1）根据新定义将第一个数乘以2，再加上第二个数计算即可； （2）根据（1）中的新定义方法，先计算中括号内的算式，再进一步依据法则计算即可． 【详解】（1）a⊕b=2a+b （2）原式=[2（a﹣b）+（a+b）]⊕b =（3a-b）⊕b =2（3a-b）+b =6a-2b+b =6a-b 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握新定义的运算法则及整式的混合运算法则． 18．设，x，y为有理数，定义新运算，如，． (1)计算和的值； (2)化简； (3)已知，求的值． 【答案】(1)，； (2)0； (3)6 【分析】（1）根据题中的新定义代入数据求解即可； （2）根据题中的新定义代入代数式化简即可； （3）先对进行化简，再化简得到，整体代入求解即可． 【详解】（1），； （2）； （3） ∵ ∴原式 ． 【点睛】本题是信息给予题，考查了整式的混合运算和有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 1．合并下列各式的同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据合并同类项法则计算即可； （2）根据合并同类项法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 2．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了添括号法则，明确“所添括号前面是+号，括到括号内的各项都不改变符号，所添括号前面是-号，括到括号内的各项都改变符号”是解题的关键. 【详解】解：， ， ． 3．已知：． (1)计算的值； (2)若单项式与是同类项，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查整式的加减运算以及同类项的定义，关键是掌握整式加减的去括号、合并同类项法则，以及同类项中相同字母指数相等的性质． （1）将已知的、代入，通过去括号、合并同类项化简式子； （2）根据同类项的定义列出关于、的一元一次方程，求解得到、的值后，代入（1）中化简的结果计算最终数值． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵单项式与是同类项， ∴，解得， ∴原式． 4．有一道题目：当，时，求多项式：的值．甲同学做题时把错抄成，乙同学没抄错题，但他们做出的结果恰好一样．你能说明这是为什么吗？ 【答案】解： ， 结果与a的值无关， 故甲同学做题时把写错成，乙同学没抄错题，但他们结果恰好相等． 【详解】略 5．为了提高居民的宜居环境，某小区规划修建一个广场（平面图如图中阴影部分所示）． (1)用含的式子表示广场（阴影部分）的周长 (2)若米，米，广场面积，已知修建每平方米需费用200元，求修建广场的总费用的值． 【答案】(1) (2)840000元 【分析】（1）根据图形可直接进行求解； （2）把米，米代入，然后问题可求解． 【详解】（1）解：广场的周长：． （2）解：当米，米时，（平方米）， ∵每平方米需费用200元， ∴建广场的总费用（元）． 6．已知数，，在数轴上的位置如图所示,试化简． 【答案】 【分析】本题考查有理数，整式的知识，解题的关键是根据数轴上，，的位置，可得，；根据，，，，去绝对值，合并同类项，即可． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，，， ∴， ， ， ， ． 7．先化简，再求值：已知，，其中，，求的值． 【答案】化简结果：;  值： 【分析】先去括号、合并同类项把式子化为最简形式，再代入数值计算．注意先化简再代入可避免复杂计算；代入负数或分数时要加括号，按运算顺序计算． 【详解】解：先合并同类项：． 去括号并合并： 代入、： 当，时： 8．已知，，在数轴上的位置如下图，且． (1)__________0，___________0．（请用“>”，“<”填空）； (2)化简：． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）多个有理数相乘，符号取决于负号的个数，遵循奇负偶正的原则；两个异号的有理数相加，取绝对值大的符号； （2）减去一个数等于加上这个数的相反数，负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身，去掉绝对值符号化简即可． 【详解】（1）解：根据数轴可知：，，，， ∴，； （2）解：，，， ，，， ． 9．已知与是关于x，y的单项式，且它们是同类项． (1)求a的值． (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同类项相同的字母的指数相同列出方程即可求解； （2）根据同类项合并为0，得出系数和为0，求出字母的值，再代入求解即可． 【详解】（1）与是关于x，y的单项式，且它们是同类项． ， ． （2）， ， ． 【点睛】本题考查了同类项的定义，解题关键是明确同类项所含字母相同，相同的字母的指数也相同． 10．计算 (1)化简并求值：，其中，． (2)已知，． ①化简； ②当，时，求的值． 【答案】(1)， (2)①；②1 【详解】（1）解： ． 当，时， 原式 ． （2）解：①∵，， ∴ ； ②∵，， ∴ ． 11．已知代数式： (1)若，求代数式C； (2)在（1）的条件下，若，，求代数式C的值； (3)若代数式的值与x的取值无关，求y的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先去括号，然后合并同类项，即可； （2）把，代入（1）中结果进行计算即可求解； （3）把变形为，再令x的系数为0，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：当，时， （3）解：， ∵代数式的值与x的取值无关， ∴， 解得：． 12．观察图形，回答下列问题： (1)用含的代数式表示边的长度：____________； (2)用含，的代数式，表示阴影部分的周长为______，面积为______； (3)当，时，求阴影部分的周长和面积． 【答案】(1) (2)， (3)阴影部分的周长为，面积为 【分析】（1）由图形可得，，根据整式的加减，化简，即可； （2）将阴影部分的边逐个相加即可得出阴影部分的周长，阴影部分的面积由大长方形的面积减去小长方形的面积，即，即可； （3）把，代入阴影部分的周长的代数式和阴影部分的面积的代数式，即可． 【详解】（1）解：由图形可得，． （2）解 ：阴影部分的周长为：； 阴影部分的面积为：． （3）解：把，代入阴影部分的周长的代数式为：； 把，代入阴影部分的面积的代数式为：． 13．学习了（有理数）后，同学们都知道，表示5与2之差的绝对值，也可以理解为数轴上5与2这两个数所对应的两点之间的距离，如图（1）所示．请根据以上知识解决下列问题：如图（2），已知数轴上点表示的数分别为4，． (1)两点之间的距离为______； (2)若数轴上点表示的数为． ①若，求的值； ②是否存在有理数，使得式子有最小值，若存在，直接写出的取值范围及式子的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)9 (2)①或；②的最小值是9，且的取值范围是． 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离定义即可求出答案． （2）①利用绝对值的性质即可求出答案②利用绝对值的几何意义，将到的距离与到的距离之和转化成线段长度，分情况讨论在左侧，之间，点右侧即可求出最小值和的取值范围． 【详解】（1）解：数轴上点表示的数分别为4，， ． （2）解：①， 或， 或． ②解：表示的是到的距离与到的距离之和， 时，如图所示， ． 当时，如图所示， ． 当时，如图所示， ． 的最小值是9，且的取值范围是． 14．计算： (1) (2) (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先计算乘方、化简绝对值，然后按顺序计算除法、乘法，最后计算加法即可； （2）利用换元法，设，，将原式转化为含a、b的代数式，然后运用乘法运算律展开后，再代入计算即可； （3）按分母分组求和，归类同分母项计算分子总和，最后合并计算结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：设，，则 原式 ； （3）解：原式 ． 15．【新知学习】类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于0或1的项是“强同类项”．例如：与是“强同类项“． 【新知应用】 (1)给出下列四个单项式：①，②，③；④，其中是“强同类项”的组合是______；（填写序号） (2)若与是“强同类项”，求m的值； (3)若为关于x，y的多项式，，当C的任意两项都是“强同类项”时，求n的值； (4)已知，均为关于a，b的单项式，其中，，如果，是“强同类项”，那么x的最大值和最小值分别是什么？ 【答案】(1)①④，②③； (2)； (3)； (4)x的最大值为，x的最小值为 【分析】知识点：新定义“强同类项”的应用、绝对值运算、整式项的系数与指数分析方法：根据“指数差绝对值为0或1”列条件，分类讨论求解．关键：准确理解新定义，逐一验证项的指数关系．易错点：遗漏指数差的两种情况；忽略项的系数为0的特殊情况． （1）计算各单项式的指数差，筛选出符合“强同类项”的组合． （2）根据指数差绝对值为0或1，列方程求m的可能值． （3）验证多项式中任意两项的指数关系，结合系数为0的情况确定n． （4）先确定s、t、k的范围，再结合绝对值公式求x的最值． 【详解】（1）计算各单项式字母指数的差： 、、、、、， 得：①与②③指数差绝对值大于1，不是“强同类项”； ①与④指数差绝对值为1，是“强同类项”； ②与③指数差绝对值为0或1，是“强同类项”； ②与④、③与④指数差绝对值大于1，不是“强同类项”． 故组合为：①④，②③． 故答案为：①④，②③． （2）根据“强同类项”定义，指数差的绝对值为0或1，即或1： 当时，； 当时，； 当时，． 故． （3）已知，任意两项为“强同类项”： 第一项与第二项满足“强同类项”； 第一项与第三项：需指数差绝对值为0或1，得、6、7； 第二项与第三项：需指数差绝对值为0或1，得、5、6； 当时，第一项系数为0，为单项式（不符合题意），故． （4）由与是“强同类项”，得、4、5，、2、3； 结合，得、1、； 由，得； ∵表示数轴上x到1的距离， ∴的值越大对应的x的两个值小的越小，大的越大， 即取最大值时，x的两个值分别取最小值和最大值， 当s取最大（）、k取最小（）时，，此时或． 故x的最大值为，最小值为． 16．阅读材料：我们把看成一个整体，则．“整体思想”是解题中的一种重要方法． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并的结果是________． (2)已知，求的值． 拓广探索： (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查代数式求值，整式的加减，去括号法则等知识，采用整体代入法是解题的关键． （1）把看成一个整体，提取公因式即可； （2）把看成一个整体，代入代数式中进行计算即可； （3）先去括号，再根据题意进行合并，然后整体代入即可求出． 【详解】（1）解： ． 故答案为：； （2）解：， 把代入，得： 原式； （3）解： ， 把，，代入，得 原式 ． 17．“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．请阅读下面材料解决问题． 代数式的值为，则代数式的值为______． 【阅读理解】 小明在做作业时采用的方法如下：由题意得，，则有，，所以代数式的值为． 【方法运用】 （1）若代数式的值为，求代数式的值． （2）若时，代数式的值为，当时，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，．则的值为　　　　． 【答案】（1）19；（2）；（3）－8 【分析】本题考查 “整体思想” 在代数式求值中的应用，涉及知识点：代数式的变形、整体代入求值、相反数的性质．解题技巧是将已知条件中的代数式视为一个整体，通过变形将所求代数式转化为整体的倍数或加减形式；解题关键是准确识别整体并进行合理变形；易错点是符号处理错误或整体代入时的系数计算错误． 【详解】解：（1）由 ，得 将 变形为，代入 ： （2）当 时， 当 时， 所以 （3）先化简所求代数式： 将其变形为 ，代入 ，： 18．（1）已知，求的值． （2）已知多项式，，若为五次六项式，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查整式加减的化简求值； （1）先去括号，再合并同类项化简，最后代入求值即可； （2）先计算出，再根据为五次六项式，求m的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ， ∵为五次六项式， ∴和中一个是五次单项式， 当是五次单项式时，，，此时是五次六项式； 当是五次单项式时，，，此时是五次五项式，不合题意； ∴． 19．我们在分析解决某些数学问题时经常用“作差法”来比较两个代数式的大小．所谓“作差法”就是通过作差、变形、并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较代数式的大小，只要求出它们的差，若，则：若，则：若，则． 例如：比较和的大小，我们可以用，即． 依据上面的方法，完成下列问题： (1)比较：______； (2)已知有理数在数轴上的位置如图所示： ①比较：______；（填“”，“”或“”） ②若，，比较代数式与的大小； (3)已知，，若的值与无关，比较代数式与的大小． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）利用作差法得到，计算出结果即可得出答案； （2）①利用作差法得到，再根据即可得到答案； ②，再根据，，即可得出； （3）代入计算得到，根据无关型求得，得到，，再利用作差法，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：； （2）解：① ， 根据数轴可知：， ∴， ∴； 故答案为：； ②∵，， ∴ ， 根据数轴可知：，， ∴， ∴； ∴； （3）解：∵，， ∴ ， ∵的值与无关， ∴， ∴， ∴，， ∴ ， ∴． 20．我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点，在数轴上分别表示有理数，，则，两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则的值为__________．的最小值为__________； (2)①当__________时，的值最小，最小值为__________． ②的最大值为__________； (3)如图，一条笔直的公路边有三个居民区，，和市民广场，居民区，，分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．居民区有居民1千人，居民区有居民2千人，居民区有居民3千人．现因防疫需要，需要在该公路上建流感检测实验室，用于接收这3个小区的全员流感样本，若流感样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 【答案】(1)或1；4 (2)①，7；②4 (3)实验室建在点B与点C之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元 【分析】（1）的几何意义是指数轴上点P到表示的点的距离为6，分点P在表示的点的左侧和右侧两种情况求出x的值．的几何意义是点P到表示的点与到表示1的点的距离之和，分点P在表示的点的左边，点P在表示的点和表示1的点之间，点P在表示1的点的右边三种情况讨论，从而求出最小值； （2）①的几何意义是数轴上点P到表示的点，点P到表示的点，与点P到表示1的距离之和，同（1）的思路结合数轴求解即可； ②的几何意义是数轴上点P到表示的点与点P到表示1的点之间的距离之差，同（1）思路求解即可； （3）要使总运输和包装成本最低，即求的最小值，同（2）思路求解即可． 【详解】（1）解：的几何意义是指数轴上点P到表示的点的距离为6， 若点P在表示的点的左侧，则； 若点P在表示的点的右侧，则； 因此若，则的值为或1． 的几何意义是点P到表示的点与到表示1的点的距离之和，由于表示的点与到表示1的点的距离为， 当点P在表示的点的左边时，点P到表示的点与到表示1的点的距离之和大于4； 当点P在表示的点和表示1的点之间时，点P到表示的点与到表示1的点的距离之和等于4； 当点P在表示1的点的右边时，点P到表示的点与到表示1的点的距离之和大于4； 因此点P到表示的点与到表示1的点的距离之和最小值为4，即的最小值为4． （2）解：①的几何意义是数轴上点P到表示的点，点P到表示的点，与点P到表示1的距离之和， 所以点P应该在与1之间的线段上，且点P与表示的点重合时，所求距离之和最小，最小值为表示的点到表示1的点的距离，为， 所以当时，的值最小，最小值为7． ②的几何意义是数轴上点P到表示的点与点P到表示1的点之间的距离之差． 当点P在表示1的点的右侧时，点P到表示的点与点P到表示1的点之间的距离之差等于表示的点与表示1的点的距离，为； 当点P在表示1的点的左侧时，点P到表示的点与点P到表示1的点之间的距离之差小于表示的点与表示1的点的距离4； 所以点P到表示的点与点P到表示1的点之间的距离之差最大值为4，即的最大值为4． （3）解：由题意得，点A、B、C在数轴上分别表示，1，3，P表示x， 要使总运输和包装成本最低，即求的最小值， ， 由（2）同理可得，当点P在表示1的点B与表示3的点C之间，即时，取得最小值， 此时 总运输和包装成本为（元） 所以实验室建在点B与点C之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $