专题12 整式的加减综合运算（重难点培优讲义）2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题12 整式的加减综合运算 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 整式的加减运算 题型02 整式的加减中的化简求值 题型03 整式加减中的无关型问题 题型04 已知同类项求指数中字母或代数式的值 题型05 带有字母的绝对值化简问题 题型06 整式加减的应用 题型07 整式加减的破损、遮盖问题 题型08 整式加减无关型问题与图形结合 题型09 整式加减的图形类规律探索 题型10 整式加减的数字类规律探索 题型11 整式加减的新定义计算 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一　同类项 1. 同类项的定义： 所含 字母 相同，相同字母的 次数 也相同的几项叫做同类项。 特别提示：①同类项中所含的字母可以看成是数，字母以及式子。 ②同类项的两个相同与两个无关：两个相同即字母与相同字母的次数必须相同；两个无关即与系数以及字母的顺序无关。 ③同类项还可以描述为“可以合并”、“和或差仍为单项式”。 【针对训练】 例题：下列各组代数式中，不是同类项的是（ ） A．2与 B．与 C．与 D．与 【变式训练】 1．下列单项式中，与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 知识点二　去（添）括号 1. 去（添）括号法则： 1. 若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号； 2. 若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号. 【注意】：同号得正，异号得负。即括号外的因数的符号决定了括号内的符号是否改变： 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 【针对训练】 例题：去括号： ． 【变式训练】 1．下列式子变形正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点三　整式的加减 1. 步骤： 把需要加减的整式用 括号 括起来→用 加减 号连接→ 去括号 → 合并同类项 。 2. 整式加减的实质： 整式的加减实质就是 合并同类项 。合并到没有同类项为止。 【针对训练】 例题：计算： (1) (2) 【变式训练】 1．合并同类项： (1)； (2)； (3) 知识点四　绝对值化简问题 化简含字母绝对值的整式加减时，要先结合题意、数轴判断绝对值中式子的正负，正数与0直接去掉绝对值符号，负数则整体取相反数，去掉绝对值后转化为常规整式加减运算，再通过去括号、合并同类项完成化简，做题时切记不能随意去掉绝对值，重点注意符号变化，代入数值计算负数时也要规范添加括号防止出错。 【针对训练】 例题：先化简，再求值，，其中． 【变式训练】 1． 先化简，再求代数式的值，其中，． 典例精析 题型1 整式的加减运算 【例1】如果多项式与的和是一个单项式，则a与的关系是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】计算： (1)； (2)． 题型2 整式的加减中的化简求值 【例2】已知，，则式子的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】先化简，再求值：，其中． 题型3 整式加减中的无关型问题 【例3】将多项式化简后不含xy的项，则m的值是（   ） A． B．6 C． D． 【变式训练】已知多项式． (1)若多项式的值与字母x的取值无关，求a，b的值； (2)在（1）的条件下，求多项式的值． 题型4 已知同类项求指数中字母或代数式的值 【例4】如果和是同类项，则x、y的值是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（1）已知和是同类项，求的值． （2）若规定：①表示大于的最小整数：例如，；②表示不大于的最大整数：例如，．则成立的整数是多少？ 题型5 带有字母的绝对值化简问题 【例5】若，则化简结果为（   ） A．5 B． C． D． 【变式训练】若 a、b、c为整数，且，求． 题型6 整式加减的应用 【例6】已知代数式，，从第三个式子开始，每一个代数式都等于前两个代数式的和，，，...，则下列说法正确的是（    ） ①若，则；②；③前2024个式子中，a的系数为偶数的代数式有674个． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式训练】鞋号表明了鞋子的大小，我国1998年发布了新鞋号标准．新鞋号标准对应于20世纪60年代后期制定的旧鞋号标准，部分鞋号对照如下： 新鞋号 220 225 230 235 … 270 旧鞋号 34 35 36 37 … (1)求的值； (2)若新鞋号为，旧鞋号为，写出一个把旧鞋号转换为新鞋号的公式． 题型7 整式加减的破损、遮盖问题 【例7】有一道题：，有一部分被■盖住了那么你认为“■”应该是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】小马同学在练习如下图的一道多项式减法运算时，误将减法运算当成了加法计算，得到的化简结果是“”，在准备改正时，又不小心把墨水洒在作业纸上，恰好盖住了第一个多项式．请你帮小马同学求出被墨水盖住的多项式． 题型8 整式加减无关型问题与图形结合 【例8】图1是长为a，宽为b（a，b为常数，且）的小长方形纸片，将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，，若，且S为定值，则S的定值为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】大家知道，数学上常用“作差法”比较两个数或代数式的大小．若比较两个式子与的大小，只要计算的结果，若，则；若，则；若．则．例如：已知，，其中．则， ∵ ∴，则， 依据上述方法，完成下列问题： (1)若，则___________；（填“>”“<”或“=”）； (2)已知，若的值与无关，试比较两个式子与的大小； (3)将边长分别为和（其中）的两个正方形按如图摆放，设和的面积之和为，阴影部分的面积为，试判断与的大小关系，并说明理由． 题型9 整式加减的图形类规律探索 【例9】用形状和大小都相同的黑色棋子按下图所示的方式排列，按照这样的规律，第n个图形需要棋子 枚．（用含n的代数式表示） A． B． C． D． 【变式训练】用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形，第1个图形由3个三角形和4个正方形卡片拼接而成，第2个图形由5个三角形和7个正方形卡片拼接而成，若按照这样的规律依次拼接下去． (1)第4个图形所需三角形和正方形卡片各多少个？ (2)第n个图形所需三角形和正方形卡片各多少个（用含n的代数式表示）？ (3)第n个图形所需卡片总数共多少个（用含n的代数式表示）？ (4)第100个图形所需卡片总数共多少个？ 题型10 整式加减的数字类规律探索 【例10】某数学兴趣小组的同学对个正整数，，，，作规律探究，找出同时满足以下个条件的数. ①，，是三个连续偶数（），②，是两个连续奇数（），③. 该小组成员分别得到一个结论：甲：可以为2；乙：可以为5；丙：可以为任意偶数；丁：可以为任意奇数，以上说法正确的有（   ） A． B． C． D． 【变式训练】观察下列日历中“阶梯框”中的数字规律，回答问题． (1)若像这样在任意一个日历中用“阶梯框”圈出6个数，请根据规律补全“阶梯框”； (2)请通过列式说明日历中“阶梯框”中的数字之和一定是3的倍数； (3)在（1）的条件下， a 可能等于7或26吗？请说明理由． 题型11 整式加减的新定义计算 【例11】定义一种新运算，规定：，若，请计算值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】定义新运算：满足． (1)计算的值； (2)当，，化简． (3)若，求第（2）问中的值． 1．下列各组中的两个单项式是同类项的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和2013 2．已知代数式是同类项，那么的值是（     ） A． B．0 C．1 D．3 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．下列各式中，不正确的是（     ） A． B． C． D． 5．已知，，则整式的值为（     ） A．8 B． C．16 D． 6．已知，则代数式的值是（     ） A．19 B．20 C．21 D．22 7．已知，则_____． 8．关于的代数式的值与的取值无关，则的值为_____． 9．如果一个多项式加上得到，那么这个多项式是________． 10．已知，，若a，b异号，则________． 11．按要求完成下列小题： (1)合并同类项：； (2)先合并同类项，再求代数式的值：，其中． 12．下列说法中，正确的有（     ） ①是最小的有理数；②一个有理数不是正数就是负数；③分数不是有理数；④没有最大的负数；⑤是三次二项式；⑥的项是、、；⑦与是同类项 A．个 B．个 C．个 D．个 13．如果单项式与的和是单项式，那么的值为（     ） A． B．0 C．1 D． 14．表示，，三个数的点在数轴上的位置如图，则代数式 的值等于（     ） A． B． C． D． 15．已知数在数轴上的位置如图，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 16．已知，，且的值与、的取值无关，则的值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．9 17．多项式与多项式相加后不含二次项，那么m的值是______． 18．已知是荣荣做的一道多项式的加减运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了题上，刚好遮住了一项（阴影部分），那么被墨水遮住的一项是________． 19．有三张同样的卡片各写着一个正整数，这三个互不相等的数分别是，，．（）从这三张卡片中任取两张，记录的两个数之差的绝对值为m，并将m与剩余的一张卡片上的数作差，记这个差的绝对值为k． （1）若三个数是5，4，3，且5和4先被取出，则________； （2）若，且k的最小值为6，则的最大值为________． 20．学习了（有理数）后，同学们都知道，表示5与2之差的绝对值，也可以理解为数轴上5与2这两个数所对应的两点之间的距离，如图（1）所示．请根据以上知识解决下列问题：如图（2），已知数轴上点表示的数分别为4，． (1)两点之间的距离为______； (2)若数轴上点表示的数为． ①若，求的值； ②是否存在有理数，使得式子有最小值，若存在，直接写出的取值范围及式子的最小值；若不存在，请说明理由． 21．若整数a、b、c、d满足，且，则的值是（     ） A．0 B．2 C．10 D．12 22．关于x，y的单项式，若x的指数与y的指数均为正整数，且这两个指数均与该单项式的系数的绝对值相等，则称该单项式是“美好单项式”．给出下面四个结论： ①存在次数为2025次的“美好单项式”； ②两个次数相等，系数不同的“美好单项式”的和一定是0； ③无论x与y取任何值，系数为正数的“美好单项式”的值一定为非负数； ④若7个“美好单项式”中没有同类项，则一定有一个单项式的次数不低于14． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①③ B．②④ C．③④ D．②③ 23．一个二次三项式加上它的任意一项，得到一个新的多项式，称为“加系数操作”．例如：对进行“加系数操作”后可以是． 下列说法： ①对进行所有“加系数操作”后的多项式的和是； ②存在不同的二次三项式，对它们进行“加系数操作”后，其结果相同； ③若关于x的二次三项式（a，b，c为常数）的值不可能为零，则对进行“加系数操作”后的多项式的值也不可能为零． 其中正确的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 24．如图，已知数轴上点、、所对应的数、、都不为，且是的中点．如果，那么原点的位置在_____．（填序号） ①线段上；②线段的延长线上；③线段上；④线段的延长线上． 25．“幻圆”是古老的数学问题，将，，，，，，，这八个数分别填入图中的圆圈内，使横、竖直径与两个圆周上的个数字之和都相等，其中，，，已填入如图所示的位置，则图中的值为______． 26．已知，，都是整数；满足，则的最大值是_______． 27．综合与实践 【知识呈现】一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫作数的绝对值，记作．例如：在数轴上，点为原点，点表示的数是，则，两点之间的距离可表示为，记为． (1)若该数轴上有一点，且，则点表示的数是________． 【知识拓展】在数轴上点表示的数是，点表示的数是，则，两点之间的距离可表示为，记为．例如：在数轴上点表示的数是3，点表示的数是，则． 如图，点，，，在数轴上，点，表示的数互为相反数，且． (2)在数轴上标出原点的位置． (3)该数轴的单位长度为________，点表示的数是________，点表示的数是________，点表示的数是________，点表示的数是________． (4)若点在该数轴上，满足，请直接写出的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 整式的加减综合运算 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 整式的加减运算 题型02 整式的加减中的化简求值 题型03 整式加减中的无关型问题 题型04 已知同类项求指数中字母或代数式的值 题型05 带有字母的绝对值化简问题 题型06 整式加减的应用 题型07 整式加减的破损、遮盖问题 题型08 整式加减无关型问题与图形结合 题型09 整式加减的图形类规律探索 题型10 整式加减的数字类规律探索 题型11 整式加减的新定义计算 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一　同类项 1. 同类项的定义： 所含 字母 相同，相同字母的 次数 也相同的几项叫做同类项。 特别提示：①同类项中所含的字母可以看成是数，字母以及式子。 ②同类项的两个相同与两个无关：两个相同即字母与相同字母的次数必须相同；两个无关即与系数以及字母的顺序无关。 ③同类项还可以描述为“可以合并”、“和或差仍为单项式”。 【针对训练】 例题：下列各组代数式中，不是同类项的是（ ） A．2与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【知识点】同类项的判断 【分析】本题主要考查了同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，单独的两个数字也是同类项，据此可得答案． 【详解】解：A、2与是同类项，不符合题意； B、与是同类项，不符合题意； C、与是同类项，不符合题意； D、与不是同类项，符合题意； 故选：D． 【变式训练】 1．下列单项式中，与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 【详解】解：A、相同字母的指数不相同，不是同类项； B、相同字母的指数不相同，不是同类项； C、符合同类项的定义，是同类项； D、相同字母的指数不相同，不是同类项； 故选：C． 知识点二　去（添）括号 1. 去（添）括号法则： 1. 若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号； 2. 若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号. 【注意】：同号得正，异号得负。即括号外的因数的符号决定了括号内的符号是否改变： 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 【题型4 去括号】 例题：去括号： ． 【答案】 【知识点】去括号 【分析】本题考查了去括号法则，如果括号前是正号，去掉括号和括号前面的正号，括号里面各项符号不变；如果括号前是负号，去掉括号和括号前面的负号，括号里面各项符号改变．解决本题的关键是根据去括号的法则去括号即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式训练】 1．下列式子变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】去括号、添括号 【分析】本题主要考查了去括号和添括号，根据去括号法则和添括号法则进行分析即可． 【详解】解：，故A选项变形错误； ，故B选项变形错误； ，故C选项变形错误； ，故D选项变形正确； 故选D． 知识点三　整式的加减 1. 步骤： 把需要加减的整式用 括号 括起来→用 加减 号连接→ 去括号 → 合并同类项 。 2. 整式加减的实质： 整式的加减实质就是 合并同类项 。合并到没有同类项为止。 【针对训练】 例题：计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式加减混合运算，掌握整式加减混合运算步骤是解题的关键． （1）进行整式加减运算，即可求解； （2）先去括号，再进行整式加减运算，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式训练】 1．合并同类项： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】合并同类项、整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可； （2）先去括号，然后合并同类项即可得到答案； （3）先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 知识点四　绝对值化简问题 化简含字母绝对值的整式加减时，要先结合题意、数轴判断绝对值中式子的正负，正数与0直接去掉绝对值符号，负数则整体取相反数，去掉绝对值后转化为常规整式加减运算，再通过去括号、合并同类项完成化简，做题时切记不能随意去掉绝对值，重点注意符号变化，代入数值计算负数时也要规范添加括号防止出错。 【针对训练】 例题：先化简，再求值，，其中． 【答案】； 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查整式化简求值，涉及整式加减运算法则、去括号法则与合并同类项法则，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．根据整式加减运算法则化简，先去括号，再合并同类项，然后将代入求值即可得到答案． 【详解】解：； ； ； ； 当时，原式． 【变式训练】 1．先化简，再求代数式的值，其中，． 【答案】，8 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式加减中的化简与求值，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键．利用整式加减的运算法则化简，再代入的值计算即可． 【详解】解： ， 代入，，原式． 典例精析 题型1 整式的加减运算 【例1】如果多项式与的和是一个单项式，则a与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、单项式的定义等知识点，根据单项式的定义得到是解题的关键． 根据整式的加减运算法则化简，让结果成为单项式，即可确定a与的关系． 【详解】解： ， ∵是单项式， ∴，即． 故选B． 【变式训练】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，熟练掌握去括号，合并同类项的法则，是解题的关键： （1）去括号，合并同类项即可； （2）去括号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 题型2 整式的加减中的化简求值 【例2】已知，，则式子的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先把第二个等式两边乘以2，再用第一个等式减去第二个等式两边乘以2后的结果即可得到答案． 【详解】解；∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式训练】先化简，再求值：，其中． 【答案】． 【分析】此题考查了整式加减中的化简求值，先去括号，再合并同类项得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解: 当时 原式 题型3 整式加减中的无关型问题 【例3】将多项式化简后不含xy的项，则m的值是（   ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减，正确的去括号、合并同类项，是解题的关键． 先化简，然后根据多项式化简后不含xy的项得出，求解即可． 【详解】解：， ， ， ∵化简后不含xy的项， ∴， 解得， 故选：A． 【变式训练】已知多项式． (1)若多项式的值与字母x的取值无关，求a，b的值； (2)在（1）的条件下，求多项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）去括号，合并同类项，根据多项式的值与字母x的取值无关，得到含有字母的项的系数为0，进行求解即可； （2）去括号，合并同类项后，再将的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ， ∵多项式的值与字母x的取值无关， ∴， ∴； （2）解：原式 ， 当时， 原式 ． 题型4 已知同类项求指数中字母或代数式的值 【例4】如果和是同类项，则x、y的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，即相同字母的指数相同，可以列出方程组，然后求出方程组的解即可． 【详解】解：∵和是同类项， ∴，， 解得，， 故选：C． 【变式训练】（1）已知和是同类项，求的值． （2）若规定：①表示大于的最小整数：例如，；②表示不大于的最大整数：例如，．则成立的整数是多少？ 【答案】（1），465；（2）4 【分析】本题主要考查了整式的化简求值和新定义，解题关键是熟练掌握去括号法则与合并同类项法则，正确理解新定义的含义． （1）先根据同类项的定义，列出关于，的方程，求出，，然后利用去括号法则和合并同类项法则进行化简，再把，的值代入化简后的式子进行计算即可； （2）根据是整数和已知条件中的新定义，求出和，再根据列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解：（1）和是同类项， ，， 解得：，， ， 当，时， 原式 ； （2）为整数， ，， ， ， ， 解得：， 使成立的整数的值为4． 题型5 带有字母的绝对值化简问题 【例5】若，则化简结果为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零．直接利用绝对值的性质化简计算即可． 【详解】， ， 故选：B 【变式训练】若 a、b、c为整数，且，求． 【答案】2 【分析】本题考查化简绝对值．由a、b、c为整数，可得其和差仍为整数，且，所以和必有一个为1，另一个为0，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解： a、b、c为整数，且， ，，或，， ． 当，时，，， ； 当，，时，，， ； ， ． 题型6 整式加减的应用 【例6】已知代数式，，从第三个式子开始，每一个代数式都等于前两个代数式的和，，，...，则下列说法正确的是（    ） ①若，则；②；③前2024个式子中，a的系数为偶数的代数式有674个． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，根据整式的加减运算法则，逐项分析判断即可． 【详解】解：由题意得：，，，，，，，，，， 若，则，故①正确； ，故②正确； 推理得：奇，偶，奇，三个为一个周期，故前2024个式子中，，则a的系数为偶数的代数式有675个，故③错误． 故选：B． 【变式训练】鞋号表明了鞋子的大小，我国1998年发布了新鞋号标准．新鞋号标准对应于20世纪60年代后期制定的旧鞋号标准，部分鞋号对照如下： 新鞋号 220 225 230 235 … 270 旧鞋号 34 35 36 37 … (1)求的值； (2)若新鞋号为，旧鞋号为，写出一个把旧鞋号转换为新鞋号的公式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式及有理数的运算，发现规律是解题的关键． （1）根据表格数据观察得出规律求解，即可解题； （2）根据数据规律，写出、的关系式即可． 【详解】（1）解：根据表格数据观察可知，旧鞋号增加号，对应新鞋号增加号， ，， 即的值为； （2）解：由题意可知，， 即． 题型7 整式加减的破损、遮盖问题 【例7】有一道题：，有一部分被■盖住了那么你认为“■”应该是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据整式的加减混合运算法则计算即可求出答案． 【详解】解： ∴“■”应该是， 故选：D 【点睛】本题考查整式的加减混合运算，解题的关键是掌握混合运算法则． 【变式训练】小马同学在练习如下图的一道多项式减法运算时，误将减法运算当成了加法计算，得到的化简结果是“”，在准备改正时，又不小心把墨水洒在作业纸上，恰好盖住了第一个多项式．请你帮小马同学求出被墨水盖住的多项式． 【答案】 【分析】“将错就错”，将化简结果减去，去括号，化简得出结果，注意减多项式时要带括号. 【详解】解：由题意，得 -（）== ∴被墨水盖住的多项式为. 【点睛】本题主要考查了整式的加减，解题的关键是读懂题意，掌握去括号法则和合并同类项是基础. 题型8 整式加减无关型问题与图形结合 【例8】图1是长为a，宽为b（a，b为常数，且）的小长方形纸片，将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，，若，且S为定值，则S的定值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知，面积分别为，的两个长方形知道其中一边，于是设这两个长方形的另一边，则其面积可以表示出来，再由面积差为定值，可求得与的关系，根据这个关系即可求得定值． 【详解】由题意知，面积为的长方形一边为，设另一边为；面积为的长方形一边为，设另一边为，则， 由图知：，即， ∴， ∵为定值， ∴， 即， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了列代数式及多项式中的无关问题，关键是设两个长方形的另一边长，并表示其面积，由面积差为定值求得与的关系． 【变式训练】大家知道，数学上常用“作差法”比较两个数或代数式的大小．若比较两个式子与的大小，只要计算的结果，若，则；若，则；若．则．例如：已知，，其中．则， ∵ ∴，则， 依据上述方法，完成下列问题： (1)若，则___________；（填“>”“<”或“=”）； (2)已知，若的值与无关，试比较两个式子与的大小； (3)将边长分别为和（其中）的两个正方形按如图摆放，设和的面积之和为，阴影部分的面积为，试判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）利用整式加减计算化简，再判断差值正负即可； （2）先计算，根据的值与无关，得出,进而得出 ，即可求解． （3）先表示，由完全平方公式表示，然后作，差因式分解可得，再根据平方非负性即可判断正负． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解：∵ ∴ ∵的值与无关， ∴ 解得： ∴ ∴ （3），理由如下： 由题意得， ． 题型9 整式加减的图形类规律探索 【例9】用形状和大小都相同的黑色棋子按下图所示的方式排列，按照这样的规律，第n个图形需要棋子 枚．（用含n的代数式表示） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：第一个图需棋子3+1=4； 第二个图需棋子3×2+1=7； 第三个图需棋子3×3+1=10； 第四个图需棋子3×4+1=13； 第五个图需棋子3×5+1=16； … 第n个图需棋子3n+1枚． 故选C. 考点：规律型：图形的变化类． 【变式训练】用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形，第1个图形由3个三角形和4个正方形卡片拼接而成，第2个图形由5个三角形和7个正方形卡片拼接而成，若按照这样的规律依次拼接下去． (1)第4个图形所需三角形和正方形卡片各多少个？ (2)第n个图形所需三角形和正方形卡片各多少个（用含n的代数式表示）？ (3)第n个图形所需卡片总数共多少个（用含n的代数式表示）？ (4)第100个图形所需卡片总数共多少个？ 【答案】(1)9个；13个 (2)； (3)个 (4)502个 【分析】本题考查图形类规律探究，整式的加减运算： （1）观察图形可知：后一个图形中的三角形的个数比前一个图形多2个，后一个图形中的正方形的个数比前一个图形多3个，进行求解即可； （2）根据（1）中发现的规律，列出代数式即可； （3）将（2）中的两个代数式相加即可； （4）把代入（3）中的代数式计算即可． 【详解】（1）解：∵第1个图形由3个三角形和4个正方形卡片拼接而成，第2个图形由5个三角形和7个正方形卡片拼接而成，第3个图形由7个三角形和10个正方形卡片拼接而成， 则：第4个图形三角形卡片为9个，正方形卡片为13个； （2）由（1）可知：第n个图形所需三角形卡片个数为： 第n个图形所需正方形卡片个数为：； （3）第n个图形所需卡片总数共：（个）； （4）第100个图形所需卡片总数共：（个）． 答：第100个图形所需卡片总数共502个． 题型10 整式加减的数字类规律探索 【例10】）某数学兴趣小组的同学对个正整数，，，，作规律探究，找出同时满足以下个条件的数. ①，，是三个连续偶数（），②，是两个连续奇数（），③. 该小组成员分别得到一个结论：甲：可以为2；乙：可以为5；丙：可以为任意偶数；丁：可以为任意奇数，以上说法正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列代数式，掌握设未知数列代数式分类讨论是解题的关键．设 则 为正整数，分情况讨论即可． 【详解】设 则 为正整数， ， ， ∵，是两个连续奇数， ∴为奇数，则为奇数，则乙、丁说法正确； 当时为2，则甲说法正确； ∵为奇数，只能是奇数的偶数倍，不能是任意偶数，则丙说法错误； 故选：B. 【变式训练】观察下列日历中“阶梯框”中的数字规律，回答问题． (1)若像这样在任意一个日历中用“阶梯框”圈出6个数，请根据规律补全“阶梯框”； (2)请通过列式说明日历中“阶梯框”中的数字之和一定是3的倍数； (3)在（1）的条件下， a 可能等于7或26吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是3的倍数 (3)不可能，理由见解析 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，倍数，整式得加减，掌握数字变化类的规律是解题的关键． （1）根据日历中“阶梯框”中的数字规律即可解答； （2）将6个数相加即可解答； （3）根据（1）中阶梯框中的数字规律可得，时， ，日期数字中不可能出现0；当时，，日期数字中不可能； 【详解】（1）解：如图所示： a （2） 所以日历中"阶梯框"中的数字之和一定是3的倍数； （3）不可能，根据（1）中阶梯框中的数字规律可得，当 时， ，日期数字中不可能出现0；当时，，时， ，日期数字中不可能出现0；当时，，日期数字中不可能出现32． 题型11 整式加减的新定义计算 【例11】定义一种新运算，规定：，若，请计算值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，合并同类项，去括号，根据定义的新运算，求出的值；再对进行运算，转化成关于的形式，即可求出结果，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴． 则： ， 故选：． 【变式训练】定义新运算：满足． (1)计算的值； (2)当，，化简． (3)若，求第（2）问中的值． 【答案】(1)9 (2) (3)32 【分析】本题主要考查整式的化简求值，掌握去括号合并同类项法则是关键． （1）根据，进行有理数的加减运算，即可求解； （2）根据，进行整式的加减运算，即可求解； （3）根据非负数的性质，求出，再代入第（2）题化简的结果即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴，， ∴， 把，代入得，． 1．下列各组中的两个单项式是同类项的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和2013 【答案】D 【分析】同类项：所含字母相同，相同字母指数也相同；常数项都是同类项． 【详解】解：和、和中所含字母不相同，和中相同字母指数不相同， A、B、C选项均不符合题意， 均为常数，是同类项 D选项符合题意． 2．已知代数式是同类项，那么的值是（     ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】D 【分析】根据同类项中相同字母的指数相同求解． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， ∴的值是． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A.与不是同类项，不能合并，故本选项计算错误； B.，故本选项计算错误； C.，故本选项计算正确； D.，故本选项计算错误． 4．下列各式中，不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据去括号，添括号法则，解答即可. 解：A选项：，原题解答正确，不符合题意； B选项：，与等式右边不相等，原题解答错误，符合题意； C选项：，原题解答正确，不符合题意； D选项：，原题解答正确，不符合题意． 5．已知，，则整式的值为（     ） A．8 B． C．16 D． 【答案】C 【分析】将待求整式变形为含与的形式，整体代入已知条件计算． 【详解】解：， ∵，， ∴原式 ． 6．已知，则代数式的值是（     ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】A 【分析】利用整体代入法求解，先将原式整理为含的形式，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：， ∴ ． 7．已知，则_____． 【答案】16 【分析】先去括号，再合并同类项化简，然后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 8．关于的代数式的值与的取值无关，则的值为_____． 【答案】 【分析】首先利用整式的加减运算法则化简，然后根据题意得到，，求出a，b的值代入计算即可． 【详解】解： ∵关于的代数式的值与的取值无关 ∴， ∴， ∴． 9．如果一个多项式加上得到，那么这个多项式是________． 【答案】 【分析】已知两多项式的和与其中一个加数，求另一个加数，用和减去已知加数，通过去括号、合并同类项计算即可． 【详解】解：由题意得，所求多项式为 去括号得： 合并同类项得： 10．已知，，若a，b异号，则________． 【答案】或 【分析】根据绝对值的定义得到和的所有可能取值，再根据，异号的条件，分类计算的值． 【详解】解：∵， ∴或． ∵， ∴或． ∵，异号， ∴分两种情况讨论： 当，时，； 当，时，． 11．按要求完成下列小题： (1)合并同类项：； (2)先合并同类项，再求代数式的值：，其中． 【答案】(1) (2)合并同类项后的结果为，代数式的值为 【详解】（1）解：； （2）解： ， 当时，原式 ． 12．下列说法中，正确的有（     ） ①是最小的有理数；②一个有理数不是正数就是负数；③分数不是有理数；④没有最大的负数；⑤是三次二项式；⑥的项是、、；⑦与是同类项 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】逐一判断每一条语句，结合有理数、多项式、同类项相关概念辨别正误，统计正确的个数． 【详解】解：①没有最小的有理数，故①错误； ②有理数包含正数、0、负数，故②错误； ③分数属于有理数，故③错误； ④没有最大的负数，故④正确； ⑤最高次数是2，是二次二项式，故⑤错误； ⑥多项式的项是、、1，故⑥正确； ⑦与所含字母相同，相同字母的指数也相同，是同类项，故⑦正确． 综上，正确的是④⑥⑦，一共有3个． 13．如果单项式与的和是单项式，那么的值为（     ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．根据同类项的定义求出m、n的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：由题意得，与是同类项， ∴，， ∴，， ∴． 14．表示，，三个数的点在数轴上的位置如图，则代数式 的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴上点表示的数，可知，先判断绝对值里面的值的正负性，再根据负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身来进行化简． 【详解】解：由数轴可知：， ，，， ，，， ． 15．已知数在数轴上的位置如图，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】C 【分析】根据数轴的性质，利用绝对值的意义，有理数的大小比较的原则，逐一判断即可． 【详解】解：如图，根据题意，得，且，，，， ∴，故①错误； 由，， 故即，故②正确； ，故③正确， ，故④正确． 综上可知，正确结论序号是②③④． 16．已知，，且的值与、的取值无关，则的值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】先化简，根据其值与、无关，令含、的项的系数为，求解、后代入计算． 【详解】解：， ， ， ， ∵ 的值与、的取值无关， ∴ ，， 解得 ，， ∴ ． 17．多项式与多项式相加后不含二次项，那么m的值是______． 【答案】4 【分析】将两个多项式相加合并同类项，不含二次项说明二次项的系数为，据此建立等式求解即可． 【详解】解： 相加后不含二次项， 二次项系数等于，即 ． 18．已知是荣荣做的一道多项式的加减运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了题上，刚好遮住了一项（阴影部分），那么被墨水遮住的一项是________． 【答案】 【分析】根据题意得出整式相加减的式子，再去括号，合并同类项即可． 【详解】解： ， 所以被墨水遮住的一项是． 19．有三张同样的卡片各写着一个正整数，这三个互不相等的数分别是，，．（）从这三张卡片中任取两张，记录的两个数之差的绝对值为m，并将m与剩余的一张卡片上的数作差，记这个差的绝对值为k． （1）若三个数是5，4，3，且5和4先被取出，则________； （2）若，且k的最小值为6，则的最大值为________． 【答案】 2 13 【分析】（1）根据题目定义直接计算k的值； （2）根据题目定义直接计算k的值，再枚举所有取卡片的场景，化简三个k的表达式，结合k的最小值为6的约束推导a与b的关系，进而求解的最大值． 【详解】解：（1）取出5和4，则，剩余卡片为3， 故； （2）任取两张卡片共有三种取法，分别对应三个k值： ① 取a和b，剩余，则，故； ② 取a和c，剩余b，，故； ③ 取b和c，剩余a，，故； ∵，三个数为互不相等的正整数，，分情况化简： 当时，． 若，则，此时， 故k的最小值为，即或， 此时，b最小为9，对应最大值为． 若，则，此时k的最小值为6，分两种可能： 若，即， ∵， ∴， 此时，解得，与矛盾，无符合条件的解． 若，即或，需满足： 当时，，代入得，对所有正整数成立， 此时，b最小为1，对应最大值为． 当时，， ∵， ∴， 即，此时． 当时，，此时，无法满足k的最小值为6，无符合条件的解． 综上，的最大值为13． 20．学习了（有理数）后，同学们都知道，表示5与2之差的绝对值，也可以理解为数轴上5与2这两个数所对应的两点之间的距离，如图（1）所示．请根据以上知识解决下列问题：如图（2），已知数轴上点表示的数分别为4，． (1)两点之间的距离为______； (2)若数轴上点表示的数为． ①若，求的值； ②是否存在有理数，使得式子有最小值，若存在，直接写出的取值范围及式子的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)9 (2)①或；②的最小值是9，且的取值范围是． 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离定义即可求出答案． （2）①利用绝对值的性质即可求出答案②利用绝对值的几何意义，将到的距离与到的距离之和转化成线段长度，分情况讨论在左侧，之间，点右侧即可求出最小值和的取值范围． 【详解】（1）解：数轴上点表示的数分别为4，， ． （2）解：①， 或， 或． ②解：表示的是到的距离与到的距离之和， 时，如图所示， ． 当时，如图所示， ． 当时，如图所示， ． 的最小值是9，且的取值范围是． 21．若整数a、b、c、d满足，且，则的值是（     ） A．0 B．2 C．10 D．12 【答案】D 【分析】25的正因数不足4个，需结合负因数凑出4个不同整数，再根据大小关系确定各值代入计算． 【详解】解：∵为不同整数，且， 又∵25的整数因数为， ∴满足乘积为25的四个不同整数只能是， ∵， ∴，，，， ∴． 22．关于x，y的单项式，若x的指数与y的指数均为正整数，且这两个指数均与该单项式的系数的绝对值相等，则称该单项式是“美好单项式”．给出下面四个结论： ①存在次数为2025次的“美好单项式”； ②两个次数相等，系数不同的“美好单项式”的和一定是0； ③无论x与y取任何值，系数为正数的“美好单项式”的值一定为非负数； ④若7个“美好单项式”中没有同类项，则一定有一个单项式的次数不低于14． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①③ B．②④ C．③④ D．②③ 【答案】B 【分析】设单项式为，由定义得（k为正整数），即可表示为，次数为．①中次数2025为奇数，无正整数k对应，错误；②次数相等则k相同，系数异号时和为0，正确；③举反例代值求解即可证错误；④用反证法可证7个无同类项必存在次数不低于14，正确． 【详解】解：设“美好单项式”为， ∵该单项式是“美好单项式”， ∴，为正整数，且，， 令（为正整数），则， ∴单项式可表示为，次数为， ∵次数为2025， ∴， 解得，不是正整数，故①错误； 设两个次数相等的“美好单项式”对应的值为，， ∵次数相等， ∴，即， ∴两个单项式的，指数均相同，是同类项， ∵系数不同， ∴两系数分别为和， ∴和为，故②正确； 取系数为正的“美好单项式”， 此时当，时，，故③错误； 假设7个“美好单项式”的次数都低于14，即次数， ∵次数为，是偶数， ∴最大次数为12，对应， ∴最多有6个不同类项的单项式，与7个“美好单项式”中没有同类项矛盾， ∴必有一个单项式的次数不低于14，故④正确． 23．一个二次三项式加上它的任意一项，得到一个新的多项式，称为“加系数操作”．例如：对进行“加系数操作”后可以是． 下列说法： ①对进行所有“加系数操作”后的多项式的和是； ②存在不同的二次三项式，对它们进行“加系数操作”后，其结果相同； ③若关于x的二次三项式（a，b，c为常数）的值不可能为零，则对进行“加系数操作”后的多项式的值也不可能为零． 其中正确的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】①可利用所有“加系数操作”后的多项式和为4倍原多项式快速计算；②可构造实例判断；③可举反例判断． 【详解】解：①对进行所有“加系数操作”，共得到3个新多项式， 每个新多项式为原多项式加其中一项，因此总和为，故①正确； ②取二次三项式，加二次项得； 取二次三项式，加常数项得， 故两个二次三项式不同，操作后结果相同，故②正确. ③取二次三项式， ∵，， ∴， ∴该多项式的值不可能为零. 对其进行加一次项的操作，得多项式， ∵，， ∴， ∴该多项式的值可以为零，故③错误； 综上，正确的说法有2个． 24．如图，已知数轴上点、、所对应的数、、都不为，且是的中点．如果，那么原点的位置在_____．（填序号） ①线段上；②线段的延长线上；③线段上；④线段的延长线上． 【答案】① 【分析】由中点的性质得，原等式化简为，当a，b同号时，，推出，与矛盾，从而得出a，b异号，再结合，得出，． 【详解】解：是的中点， ， ，，， ， ， ， ， 当a，b同号时，，则， 可得，即，与矛盾，不合题意； 故a，b异号， 结合数轴可得， 又， ， ， ， ， 原点的位置在①线段上． 25．“幻圆”是古老的数学问题，将，，，，，，，这八个数分别填入图中的圆圈内，使横、竖直径与两个圆周上的个数字之和都相等，其中，，，已填入如图所示的位置，则图中的值为______． 【答案】或 【分析】先计算所有数的和，结合两个圆周上的数字之和相等求出公共和，再利用竖直径上的数字之和求出的值，然后根据剩余数字确定的可能值，最后代入计算即可求解． 【详解】解：由题意得，这八个数的和为：， ∵两个圆周上的个数字之和相等且包含所有个数， ∴横、竖直径与两个圆周上的个数字之和均为， ∵竖直径上的个数字之和为， ， ∴， 设内圆左侧圆圈内的数为，外圆左侧圆圈内的数为， ∵内圆周上的个数字之和为， ， ∴， 此时已填入的数字为，剩余的数字为， ∴外圆左侧圆圈内的数与分别为或， 当时，； 当时，； 综上所述，图中的值为或． 26．已知，，都是整数；满足，则的最大值是_______． 【答案】8 【分析】利用绝对值的几何意义确定每个绝对值和的最小值与取值特征，结合110的整数分解确定三个绝对值和的唯一可能取值，再根据目标式的最大化要求选取对应的、、值计算结果． 【详解】解：对于，其表示数轴上点到和的距离之和，最小值为，当（为整数，即）时取到最小值，其余取值为大于2的偶数，记该式为，则且为偶数； 对于，其表示数轴上点到和的距离之和，最小值为，当（为整数，即）时取到最小值，其余取值为大于5的奇数，记该式为，则且为奇数； 对于，其表示数轴上点到和的距离之和，最小值为，当（为整数）时取到最小值，其余取值为大于7的奇数，记该式为，则且为奇数； ∵， ∴， 将110分解质因数得． ∵是偶数， ∴质因数2必须属于，即（为正整数），剩余，需为正整数，故为55的正因数（1,5,11,55）． ∴当时，，． 结合、的奇数要求，仅、满足条件． 当时，，，无法满足、的要求，排除． 当时，，，无法满足、的要求，排除． 当时，，，无法满足、的要求，排除． ∴唯一可能的取值为，，． 要使最大，需取最大值，取最小值，取最大值， ∴时，的最大值为1． 时，的最小值为． 时，解方程，得或，故的最大值为4． ∴的最大值是． 27．综合与实践 【知识呈现】一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫作数的绝对值，记作．例如：在数轴上，点为原点，点表示的数是，则，两点之间的距离可表示为，记为． (1)若该数轴上有一点，且，则点表示的数是________． 【知识拓展】在数轴上点表示的数是，点表示的数是，则，两点之间的距离可表示为，记为．例如：在数轴上点表示的数是3，点表示的数是，则． 如图，点，，，在数轴上，点，表示的数互为相反数，且． (2)在数轴上标出原点的位置． (3)该数轴的单位长度为________，点表示的数是________，点表示的数是________，点表示的数是________，点表示的数是________． (4)若点在该数轴上，满足，请直接写出的值． 【答案】(1)3或 (2)在数轴上标出原点的位置，如图所示； (3)2；；；6；10 (4)3或13 【分析】（1）利用求解即可； （2）根据点，表示的数互为相反数，得的中点即为原点，再画出原点即可； （3）根据，点，之间有6个单位长度，计算出数轴的单位长度，再根据数轴即可得出各点表示的数； （4）设点表示的数为，则，，分三种情况讨论，点在的左侧；点在点，之间；点在的右侧，然后根据，分别列方程求解． 【详解】（1）解：由数轴的性质可得：Q表示的数是3或； （2）解：∵点，表示的数互为相反数， ∴的中点即为原点， 图略； （3）解：∵，点，之间有6个单位长度， ∴该数轴的单位长度为，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是6，点表示的数是10； （4）解：设点表示的数为，则，， ∵， ∴， 分以下三种情况讨论： 当点在的左侧，则，， ∴， 解得， 此时； 当点在点，之间，则，， ∴，不符合； 当点在的右侧，则，， ∴， 解得， 此时； 综上所述，的值为3或13． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $