5.6.1 匀速圆周运动的数学模型教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

教学目标

（1）经历将匀速圆周运动抽象为数学模型的过程，了解函数的现实背景，体会三角函数是刻画周期现象的重要数学模型，发展数学建模素养；

（2）在单位圆上的匀速圆周运动中，理解参数对函数图象的影响，掌握图象平移变换的规律，体会由特殊到一般、数形结合的思想方法，发展直观想象与逻辑推理素养；

（3）能利用匀速圆周运动的数学模型解决简单的实际问题，感受数学与现实世界的密切联系，提升数学应用意识。

教学重难点

教学重点：

（1）匀速圆周运动数学模型的建立；

（2）参数对函数图象的影响。

教学难点：

（1）将实际问题抽象为数学问题的建模过程；

（2）对“平移量与的值相等”这一变换规律的理解。

教学准备

多媒体课件、几何画板动态演示、学案。

课时安排

1课时

一、情境导入

过山车、摩天轮、水车……游乐场与生产生活中的许多装置都在做匀速转动。摩天轮上的座舱随轮匀速转动，座舱离地面的高度随时间“周而复始”地变化。这种周期性的变化规律，能否像研究匀速直线运动那样，用一个函数模型精确刻画？本节课我们就来建立匀速圆周运动的数学模型。

如图1，某摩天轮轮中心离地面 65 m，半径为 55 m，垂直于地面，为座舱旋转的最低点。座舱从最低点处开始，按逆时针方向做匀速转动，转过的角为。

图1  摩天轮示意图

【问题1】当座舱转过的角度为（弧度）时，如何用表示座舱离地面的高度？

师生活动：学生画图尝试，发现当为锐角时可用初中锐角三角函数求解；教师追问：当为任意角时怎么办？引导学生借助单位圆中任意角的正弦函数定义表示点的高度。

预设答案：过作地面的平行线，利用正弦函数的定义可得座舱离地面的高度为（单位：m）。

设计意图：以摩天轮情境引入，唤醒任意角三角函数的定义，让学生经历“实际情境—数学表示”的过程，为建立匀速圆周运动的数学模型作铺垫。

二、探究新知

（一）建立匀速圆周运动的数学模型

【问题2】上述摩天轮匀速转动一周需要 30 min。以座舱位于最低点时为计时起点，经过时间（单位：min），座舱离地面的高度如何用表示？

师生活动：教师引导学生按“设角—表示角—写解析式”的路径分析：匀速转动时，座舱在 min 内转过的角为，代入问题1的结论即可。

预设答案：经过 min，座舱离地面的高度为

其中。这就是刻画该匀速圆周运动的函数模型，自变量是时间，定义域为。

思考：观察解析式，它是我们熟悉的哪个函数的推广？

预设答案：它是正弦函数经过系数与常数的变换得到的。一般地，匀速圆周运动对应的函数模型形如（其中），A、ω、φ 是三个参数。根据研究函数的经验，得到解析式之后，应继续研究它的图象与性质。本节课先研究参数对图象的影响。

设计意图：完整经历“实际问题—设角—建系—写解析式”的建模过程，提炼出

，并自然引出研究三个参数对图象影响的任务，体现研究函数的一般方法。

（二）探索参数 φ 对函数图象的影响

【问题3】从解析式看，就是在时的特殊情形。能否借助的图象研究对图象的影响？先从开始考察。

如图2，在单位圆上，动点从起点（此时）开始按逆时针方向匀速旋转，经过时间到达点，则的纵坐标等于。以为坐标描点，可得正弦函数的图象。

图2  单位圆上的动点与正弦函数图象

【问题4】在单位圆上，把动点的起点由改为，使绕点按逆时针方向旋转（即），其余条件不变，得到的图象有什么变化？

师生活动：学生借助信息技术拖动起点观察，发现图象形状不变，整体位置发生了改变；教师引导用坐标语言刻画“哪个点变到了哪个点”。

预设答案：以为起点（此时），动点到达时转过的角为，其纵坐标等于，以为坐标描点，可得的图象。

设是图象上任意一点，对应的单位圆上的动点以为起点转过角；由于起点前移了，以为起点的动点只需转过就到达同一位置，其纵坐标为。于是就是图象上的点。这说明：把图象上的所有点

即把的图象上所有点向左平移个单位长度，就得到的图象（如图3）。