4.5.3 函数模型的应用（二)教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 课题 4.5.3　函数的应用（二） 教学目标 1．理解用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程，能区分不同增长方式。 2．会根据实际问题的增长情况选择恰当的函数类型，构建并求解函数模型。 3．能运用函数模型解决碳14测年、人口增长等实际问题，并解释模型结果。 4．通过比较不同函数模型的增长差异，体会模型适用条件，提升数学建模与逻辑推理素养。 教学重点： 1．理解用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程，掌握模型选择与求解方法。 2．会比较常数函数、一次函数、指数函数等不同模型的增长差异并应用于实际决策。 教学难点： 1．根据实际数据特征选择合适的函数模型。 2．理解函数模型的适用条件与局限性。 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 情境导入 考古学家通过检测文物中碳14残留量推断文物年代，这是函数模型在考古中的重要应用。 碳14半衰期约5730年，残留量随时间按指数规律衰减。 人口增长可用马尔萨斯模型刻画，但预测与实际可能有偏差。 思考：为何碳14衰减用指数模型？模型预测为何可能与实际不符？ 通过考古测年和人口增长两个情境引出函数模型应用问题，激发探究兴趣，让学生感受数学模型在解决实际问题中的价值，为后续学习做好铺垫。 新知探究 我们已经学习了指数函数、对数函数等，如何用它们刻画实际问题中不同的增长规律并建立模型？ （1）分析增长情况：判断直线上升或指数爆炸。 （2）选择函数类型：依增长特征选取模型。 （3）构建数学模型：化归实际问题为函数问题。 （4）求解函数模型：通过运算推理得到结果。 （5）解释实际意义与规律。 上述步骤从不同角度刻画了用函数建模解决实际问题的完整过程。分析增长情况是建模的出发点，选择函数类型是关键，构建模型是化归的核心，求解模型是推理的体现，解释意义是回归实际的目的。这些步骤相互关联，构成数学建模的一般流程。 类比已学的人口增长模型和碳14衰减模型，不同函数模型的增长差异十分明显。常数函数水平不变，一次函数匀速增长，指数函数急剧攀升。任何模型都有适用条件，当实际条件变化时，模型预测可能与实际不符，需结合具体情境分析。 独立思考 探究问题 归纳总结 巩固练习 借助已学的指数函数、对数函数实例，对比不同增长特征，引导学生理解模型选择思路，经辨析引入数学建模的一般过程。 例题讲解 例一：某样本中碳14残留量约为初始量的，碳14半衰期为5730年。 （1）设初始量为，经年后残留量为，求函数模型。 （2）根据半衰期求衰减率。 （3）求该样本距今约多少年。 （4）若检测于2010年，推断样本年代。 例二：已知函数与，其中。求证：当时，。 例一解析：分析：碳14衰减属于指数衰减，可选择模型，其中，。由碳14半衰期为5730年，得，从而可求出衰减率。解：由得，模型化为。由残留量为初始量的得，两边取自然对数得，由计算工具得。2010年往前推4912年约为公元前2903年。 例二解析：分析：要证明对成立，可用数学归纳法。先验证时不等式成立，再证若对某成立，则也成立。解：当时，，，故成立。设对某成立，则，其中等价于，由知成立。由数学归纳法，对一切均有。 上述两例分别展示了指数衰减模型和指数增长模型的应用，体现了不同函数模型在解决实际问题中的价值。 答案： 答案： 学生思考回答，理解判断方法。 通过例题及练习理解函数模型选择与求解过程中的推理关系，发展逻辑推理素养。 课堂小结 以思维导图形式引导学生梳理本课知识结构，总结函数模型应用的基本过程与方法。 学生归纳总结，课外拓展。 通过小结环节梳理巩固所学知识，拓展知识视野，培养学生的数学思维与归纳能力。 学科网（北京）股份有限公司 $