第21讲 函数y=Asin(ωx+φ) 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

彪哥数学训练营 领先高考培优课程 高一数学新课讲义 打基础，精选题，不超前 必修一 24 目标双一流 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 Contents 目录 第21讲 函数 模块一 理解三个参数的意义 1 课后作业 ................................................... 17 模块三 三角函数图像的综合应用 11 模块二 图像变换规律 7 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 第21讲 函数 课堂思维碰撞 本 课 目 标 1. 掌握参数意义：准确理解参数 （振幅）、 （角频率）、 （初相）对函数图象形状、周期及位置的具体影响。 2. 掌握图象变换：熟练掌握由 的图象经过平移变换、周期变换和振幅变换得到 图象的两种途径，特别是理解变换顺序对平移量的影响。 3. 熟练作图与求解析式：掌握用“五点法”画出函数在一个周期内的简图；能根据图象的特征（如最值、周期、特殊点）逆向求出函数的解析式。 模块一 理解三个参数的意义 知 识 点 睛 一、参数 的物理意义与图象影响 · 振幅 ( )：决定函数的值域。值域为 ，最大值为 ，最小值为 。图象上表现为纵向伸缩。 · 角频率 ( )：决定函数的周期。最小正周期 。 越大，图象越“紧凑”； 越小，图象越“舒展”。图象上表现为横向伸缩。 · 初相 ：决定函数图象的左右平移。遵循“左加右减”原则（针对 本身而言）。 二、由图求参： · 求 ： · 求 ：先找周期 （如相邻最高点与最低点的水平距离为 ），则 · 求 ：代入图象上的一个已知点（通常选最高点、最低点或零点），解关于 的方程，并结合题目给定的 范围确定最终值。 【小练一下】函数 的振幅是 ____________，最小正周期是 ____________。 热 点 题 型 归 纳 【例1】 如图是函数图象的一部分． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调区间； 【练习1】 已知函数的最小正周期为，且当时，取得最小值-1. （1）求函数的解析式和单调递增区间； （2）当时，求函数的值域. 【练习2】 已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点． （1）求函数的解析式； （2）当，方程有解，求实数的取值范围； 【练习3】 已知函数的一个对称中心为(，0). （1）求； （2）求函数在上的单调增区间； （3）令，解不等式. 【练习4】 已知函数（，）的图象两相邻对称轴之间的距离是，且函数经过点. （1）求函数的解析式； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围； 【练习5】 如图，为一个水轮的轴截面示意图，水轮的半径为1米，水轮圆心距离水面米.以圆心为坐标原点，平行于水面为轴，垂直于水面为轴建系.已知水轮每分钟逆时针转动5圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间，当时，求点距离水面的高度米，表示为时间秒的函数，并求点第一次到达最高点所需要的时间. 模块二 图像变换规律 知 识 点 睛 由 变换到 ： · 途径一（先相位平移，再周期伸缩）： · 途径二（先周期伸缩，再相位平移）： 注意：平移量的陷阱：如果先进行周期变换（横向伸缩），再进行平移，平移量绝对不是 ，而是 ！必须把 提出来，变成 才能看清真实平移量。 【小练一下】将函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向左平移 个单位长度，得到的函数解析式是 ____________。 热 点 题 型 归 纳 【例2】 （单选）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位 【练习6】（单选）把的图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，再把所得图象向右平移个单位长度，得到的图象， 则（ ） A. B. C. D. 【练习7】 函数（其中，，）的部分图象如图所示，先把函数的图象上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），把得到的曲线向左平移个单位长度，再向上平移一个单位，得到的图象. （1）求函数的解析式以及对称中心； （2）当时，求的值域； （3）若，，求的值. 模块三 三角函数图像的实际应用 知 识 点 睛 函数的周期性：符合f(x+T)=f(x), T为f(x)的周期； 对来说，加绝对值会使周期减半，也是，不受影响，可以通过画图观察得到 函数的对称性： 热 点 题 型 归 纳 【例3】 （多选）已知下列函数中，最小正周期为的是（ ） A. B. C. D. 【练习8】 （单选）函数的图象的大致形状是（ ） A. B. C. D. 【例4】 （多选）函数，下列四个选项正确的是（ ） A. 是以为周期的函数 B. 的图象关于对称 C. 在区间上单调递增 D. ，使得有解 【练习9】 （多选）定义，，则下列说法正确的是（ ） A. ，使得 B. C. 的最小正周期为 D. 当时，的最大值为2 【练习10】已知函数． （1）求； （2）判断曲线的图象是否中心对称图形，若是请写出对称中心坐标； （3）如图所示，小杜同学画出了在区间上的图象，试通过图象变换，在图中画出在区间上的示意图； 【练习11】 某药物研究所发现，病人在服用某种药物后，血液中药物的含量（单位：）在小时内随时间（单位：）的变化曲线如图所示.当时，可选择用函数（）来近似地刻画随变化的规律；当时，可选择用函数（为常数）来近似地刻画随变化的规律. （1）当时，求这段曲线的函数解析式； （2）如果该药物在病人血液中的含量保持在以上时才有疗效，问病人一次性服用该药物100，持续有疗效时长约为多少小时？（参考数据：） 课后作业 一、 选择题（概念辨析，夯实基础） 1. 要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ） A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度 C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度 1. 函数 ( ) 的最小正周期为 ，且 ，则（ ） A. B. C. D. 1. 已知函数 ( ) 其最高点为 ，相邻最低点为 ，则 的解析式为（ ） A. B. C. D. 二、 填空题（精准运算，规范表达） 1. 将函数 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），再向左平移 个单位长度，最后向下平移 个单位长度，得到的图象对应的函数解析式是 ____________。 1. 用“五点法”画函数 在一个周期内的图象时，应取的五个关键点的横坐标依次是 ____________。 1. 函数 的单调递增区间是 ____________。 三、 解答题（逻辑推理，综合应用） 1. 某游乐场中的摩天轮做匀速圆周运动，其中心距地面 米，半径为 米。假设小明同学在最低点处登上摩天轮开始计时，第 分钟第一次到达最高点。 （1）求小明同学距离地面的高度 （单位：米）关于时间 （单位：分钟）的函数解析式； （2）求第 分钟时，小明同学距离地面的高度。 1. 已知函数 ( ) 是 上的偶函数，其图象关于点 对称，且在区间 上是单调函数。 （1）求 的值； （2）求 的值。 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 $ 彪哥数学训练营 领先高考培优课程 高一数学新课讲义 打基础，精选题，不超前 必修一 24 目标双一流 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 Contents 目录 第21讲 函数 模块一 理解三个参数的意义 1 课后作业 附解析 17 模块三 三角函数图像的综合应用 11 模块二 图像变换规律 7 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 第21讲 函数 课堂思维碰撞 本 课 目 标 1. 掌握参数意义：准确理解参数 （振幅）、 （角频率）、 （初相）对函数图象形状、周期及位置的具体影响。 2. 掌握图象变换：熟练掌握由 的图象经过平移变换、周期变换和振幅变换得到 图象的两种途径，特别是理解变换顺序对平移量的影响。 3. 熟练作图与求解析式：掌握用“五点法”画出函数在一个周期内的简图；能根据图象的特征（如最值、周期、特殊点）逆向求出函数的解析式。 模块一 理解三个参数的意义 知 识 点 睛 一、参数 的物理意义与图象影响 · 振幅 ( )：决定函数的值域。值域为 ，最大值为 ，最小值为 。图象上表现为纵向伸缩。 · 角频率 ( )：决定函数的周期。最小正周期 。 越大，图象越“紧凑”； 越小，图象越“舒展”。图象上表现为横向伸缩。 · 初相 ：决定函数图象的左右平移。遵循“左加右减”原则（针对 本身而言）。 二、由图求参： · 求 ： · 求 ：先找周期 （如相邻最高点与最低点的水平距离为 ），则 · 求 ：代入图象上的一个已知点（通常选最高点、最低点或零点），解关于 的方程，并结合题目给定的 范围确定最终值。 【小练一下】函数 的振幅是 ____________，最小正周期是 ____________。 【答案】 ； 。 解析：根据标准形式，振幅 ；角频率 ，所以最小正周期 。 热 点 题 型 归 纳 【例1】 如图是函数图象的一部分． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调区间； 【答案】（1） （2）单调递增区间为，，单调递减区间为， 【解析】（1）由图可得，函数的最小正周期为，又， 则，所以， 又函数过点，所以，则， 则，解得， 因为，所以，所以． （2）令，，解得，， 令，，解得，． 因此函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，． 【练习1】 已知函数的最小正周期为，且当时，取得最小值-1. （1）求函数的解析式和单调递增区间； （2）当时，求函数的值域. 【答案】（1）， （2） 【解析】（1）由得， 由，解得， 因为，所以，所以， 由，解得， 所以单调递增区间为. （2）当时，，，所以的值域为. 【练习2】 已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点． （1）求函数的解析式； （2）当，方程有解，求实数的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】（1）设的最小正周期为，由题意得，得周期， 所以，得， 因为，所以，所以， 因为的图象过点，所以，得， 因为，所以，故． （2），即有解， 由，得，所以，所以， 所以，即． 【练习3】 已知函数的一个对称中心为(，0). （1）求； （2）求函数在上的单调增区间； （3）令，解不等式. 【答案】（1）；（2）单调增区间为[0，]，[，π]；（3）[+kπ，+kπ](k∈Z). 【解析】（1）由题意知φ＝2kπ（k∈Z），因为﹣π＜φ＜0，所以k＝0，φ． （2）由，可得． 因为x∈[0，π]，所以当k＝0，1时，得到函数的单调增区间为． （3）由题意可得：g（x）＝f（x）＝sin[2（x）]＝sin（2x）＝﹣cos（2x），所以log2[2g（x）+1]＝log2[﹣2cos（2x）+1]≥1，即可得cos（2x），所以，所以所以不等式的解集为． 【练习4】 已知函数（，）的图象两相邻对称轴之间的距离是，且函数经过点. （1）求函数的解析式； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由，得，则， 又图象过点，则， 得，，又， 所以，故. （2）因为，所以，， 故，而恒成立， 即，整理可得. 令，设，，且， 则， 由于，则，所以， 即在区间上单调递增，故， 故，即实数m的取值范围是. 【练习5】 如图，为一个水轮的轴截面示意图，水轮的半径为1米，水轮圆心距离水面米.以圆心为坐标原点，平行于水面为轴，垂直于水面为轴建系.已知水轮每分钟逆时针转动5圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间，当时，求点距离水面的高度米，表示为时间秒的函数，并求点第一次到达最高点所需要的时间. 【答案】，4秒 【解析】水轮每分钟逆时针转动5圈，则每秒逆时针转动， 由，可得，可知秒后点， 则点到水面的高度为，当第一次到达最高点时，即时，， 即可得故点第一次到达最高点所需要的时间为4秒. 模块二 图像变换规律 知 识 点 睛 由 变换到 ： · 途径一（先相位平移，再周期伸缩）： · 途径二（先周期伸缩，再相位平移）： 注意：平移量的陷阱：如果先进行周期变换（横向伸缩），再进行平移，平移量绝对不是 ，而是 ！必须把 提出来，变成 才能看清真实平移量。 【小练一下】将函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向左平移 个单位长度，得到的函数解析式是 ____________。 【答案】 。 解析：横坐标缩短到原来的 倍，得到 ；再向左平移 个单位，注意是对 本身进行平移，即将 替换为 ，得到 。 热 点 题 型 归 纳 【例2】 （单选）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位 【答案】B 【解析】将的图象向右平移个单位，可得的图象. 故选：B 【练习6】（单选）把的图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，再把所得图象向右平移个单位长度，得到的图象， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：把的图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)， 可得的函数图像，再把所得图象向右平移个单位长度，可得函数，所以.故选：C. 【练习7】 函数（其中，，）的部分图象如图所示，先把函数的图象上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），把得到的曲线向左平移个单位长度，再向上平移一个单位，得到的图象. （1）求函数的解析式以及对称中心； （2）当时，求的值域； （3）若，，求的值. 【答案】（1），对称中心为，； （2）； （3） 【解析】 （1）由的图象得，，，，由， 又，，，而，. ，把函数的图象上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得的图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，可得，再向上平移一个单位，得. 令，，解得，，则的对称中心为， （2）∵，，， 则的值域为； （3），，，所以. ∵，即， 解得：. 模块三 三角函数图像的实际应用 知 识 点 睛 函数的周期性：符合f(x+T)=f(x), T为f(x)的周期； 对来说，加绝对值会使周期减半，也是，不受影响，可以通过画图观察得到 函数的对称性： 热 点 题 型 归 纳 【例3】 （多选）已知下列函数中，最小正周期为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】作的图象，如图， 由图可知函数的最小正周期为，故A正确； 由于的周期为，则根据对称性，周期为，故B正确； 由于的周期为，周期为，故C正确； 而，周期为，故D错误. 故选：ABC 【练习8】 （单选）函数的图象的大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】,定义域为，关于原点对称； ，所以为偶函数， 图象关于y轴对称；排除B、D. 当 时，，则，所以，C满足. 故选：C 【例4】 （多选）函数，下列四个选项正确的是（ ） A. 是以为周期的函数 B. 的图象关于对称 C. 在区间上单调递增 D. ，使得有解 【答案】BCD 【解析】由 令，当，可得，即， 当，可得，即， 作出函数图象如下： 由图象可知最小正周期为，A错误， 是图象的一条对称轴，B正确， 在区间上单调递增，再结合函数周期，所以在区间上单调递增，C正确， 由图象可知函数最小值为，又，由在单调递增， 可得：，所以，使得有解，D正确， 故选：BCD 【练习9】 （多选）定义，，则下列说法正确的是（ ） A. ，使得 B. C. 的最小正周期为 D. 当时，的最大值为2 【答案】BD 【解析】对A：=，因为，所以恒成立，故A错误； 对B：， 故B正确； 对C：因为 而，所以只有当时，才有，所以不是函数的周期.故C错误； 对D：当时，.当，， 所以. 因为，所以当，即时，取得最大值2，即； 当时，， 所以， 因为，所以，所以，即； 当时，。 综上可知，当时，的最大值为2.故D正确. 故选：BD 【练习10】已知函数． （1）求； （2）判断曲线的图象是否中心对称图形，若是请写出对称中心坐标； （3）如图所示，小杜同学画出了在区间上的图象，试通过图象变换，在图中画出在区间上的示意图； 【答案】（1） （2）是，对称中心为 （3）答案见解析 【解析】（1）由可知 ； 因此 （2）根据（1）中分析由可知的图象是中心对称图形，其对称中心为； （3）结合已有图象以及函数的对称中心，只需作出函数在区间上的图象关于成中心对称的图象即可； 可在区间上取关键点，它们关于点对称的点坐标为，用平滑的曲线连接即可做出对称的图象如下图所示： 【练习11】 某药物研究所发现，病人在服用某种药物后，血液中药物的含量（单位：）在小时内随时间（单位：）的变化曲线如图所示.当时，可选择用函数（）来近似地刻画随变化的规律；当时，可选择用函数（为常数）来近似地刻画随变化的规律. （1）当时，求这段曲线的函数解析式； （2）如果该药物在病人血液中的含量保持在以上时才有疗效，问病人一次性服用该药物100，持续有疗效时长约为多少小时？（参考数据：） 【答案】（1） （2）3.50小时 【解析】（1）由题意知，当时，函数的最大值为，最小值为0. 所以函数的周期为2，所以， 当时，函数过点，代入得. 所求曲线的函数解析式为 （2）当时，令，解得. 当时，令，两边同时取常用对数得：， ，解得， ， 故病人一次性服用药物100，持续有疗效时长约为3.50小时. 课后作业 一、 选择题（概念辨析，夯实基础） 1. 要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ） A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度 C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度 1. 函数 ( ) 的最小正周期为 ，且 ，则（ ） A. B. C. D. 1. 已知函数 ( ) 其最高点为 ，相邻最低点为 ，则 的解析式为（ ） A. B. C. D. 二、 填空题（精准运算，规范表达） 1. 将函数 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），再向左平移 个单位长度，最后向下平移 个单位长度，得到的图象对应的函数解析式是 ____________。 1. 用“五点法”画函数 在一个周期内的图象时，应取的五个关键点的横坐标依次是 ____________。 1. 函数 的单调递增区间是 ____________。 三、 解答题（逻辑推理，综合应用） 1. 某游乐场中的摩天轮做匀速圆周运动，其中心距地面 米，半径为 米。假设小明同学在最低点处登上摩天轮开始计时，第 分钟第一次到达最高点。 （1）求小明同学距离地面的高度 （单位：米）关于时间 （单位：分钟）的函数解析式； （2）求第 分钟时，小明同学距离地面的高度。 1. 已知函数 ( ) 是 上的偶函数，其图象关于点 对称，且在区间 上是单调函数。 （1）求 的值； （2）求 的值。 【作业解析】 一、 选择题 1. 【答案】D。解析： 。根据“左加右减”原则，需将 的图象向右平移 个单位长度。 2. 【答案】B。解析：因为最小正周期 ，所以 。又因为 ，即 。因为 ，所以 。 3. 【答案】A。解析：由最高点与最低点纵坐标可知 ；由横坐标可知半个周期 ，所以 ， 。将最高点 代入 ，得 。因为 ，所以 ，解得 。 二、 填空题 4. 【答案】 。解析：横坐标伸长到原来的 倍，得到 ；向左平移 个单位，得到 ；向下平移 个单位，得到 。 5. 【答案】 。解析：令整体 分别取 ，解得对应的 值分别为 。 6. 【答案】 ( )。解析：令 ( )，解得 ( )。 三、 解答题 7. 【解析】 （1）由题意知，振幅 ，中心高度 。 因为第 分钟第一次到达最高点，说明半个周期为 分钟，即周期 分钟。 所以角频率 。 设函数解析式为 。 因为 时在最低点，所以 ，结合常理可取初相 。 所以函数解析式为 。 （2）当 时， 。 答：第 分钟时，小明同学距离地面的高度为 米。 1. 【解析】 （1）因为 是 上的偶函数，所以 ，即 恒成立。 展开得 。 化简得 恒成立，所以 。 因为 ，所以 。 （2）由（1）知 。 因为图象关于点 对称，所以 ，即 。 所以 ( )，解得 ( )。 又因为 在区间 上是单调函数，所以该区间的长度不能超过半个周期，即 ，解得 。 因为 ，当 时， ；当 时， 。 检验：若 ， ，在 上单调递减，符合； 若 ， ，在 上单调递减，符合。 答： ， 的值为 或 。 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 $