1.4.1.1 空间中点、直线和平面的向量表示 教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

教学设计 1.空间中点、直线和平面的向量表示

——2026-2027学年 高中数学人教A版选择性必修 第一册

课时：1 课时（40 分钟）　课型：新授课

一、教材分析

本节课选自人教A版《普通高中教科书·数学·选择性必修 第一册》第一章“空间向量与立体几何”第1.4节“空间向量的应用”的第1课时，是在学生学习了空间向量及其运算、空间向量基本定理以及空间向量及其运算的坐标表示之后，进一步集中学习用向量表示空间中的基本元素——点、直线和平面。前面各节对空间向量的学习比较分散、随学随用，而本节开始让学生集中体会用空间向量解决立体几何问题的思想和方法，为后续运用向量研究空间图形的位置关系与度量问题奠定基础。

本节内容包括两部分：一是空间中点、直线和平面的向量表示，即位置向量、直线的向量表示式、平面的向量表示式；二是直线的方向向量与平面的法向量，重点是法向量的概念与求法。教材借助共线向量定理与平面向量基本定理，将平面内点、直线、平面的向量表示推广到空间，再通过类比直线的方向向量引出平面的法向量，体现了类比、化归的数学思想方法。基于以上分析，确定本节课的教学重点是：点、直线和平面的向量表示式的推导与运用；平面法向量的概念及其求解方法。教学难点是：对直线的向量表示式与平面的向量表示式的理解，以及用方程组求平面法向量的一般方法。

二、学情分析

学生在前面已经掌握了空间向量及其运算的坐标表示以及空间几何体的结构特征，并会利用空间向量解决一些简单的空间位置关系问题，这为本节内容的学习奠定了坚实基础。此外，学生在初中物理中学过法线的定义，通过类比可以较容易地理解法向量的概念，这为法向量的学习提供了感性认识。

可能存在的认知困难主要有两点：一是直线的向量表示式、平面的向量表示式形式较多，学生容易混淆点在直线（平面）上的充要条件与对应向量表示式之间的关系；二是学生刚接触直线的方向向量和平面的法向量，还不习惯用向量刻画几何对象，需要教师有意识地引导学生用向量语言描述几何对象，逐步实现“形”到“数”的转化。因此，教学中要借助类比平面几何的方法，让学生经历向量表示式的推导过程，在具体的长方体、三棱柱等图形中落实方向向量与法向量的求法。

三、教学目标（核心素养目标）

1.能借定点与位置向量表示空间中的点，能运用共线向量定理写出直线的向量表示式，能运用平面向量基本定理写出平面的向量表示式，发展数学抽象素养；

2.理解空间中直线、平面的平行和垂直与空间向量之间的关联，初步建立“几何关系代数化”的意识，发展逻辑推理素养；

3.正确理解直线的方向向量与平面的法向量的概念，能熟练求出具体图形中平面的法向量，发展直观想象与数学运算素养；

4.通过空间向量与立体几何的结合应用，体会向量法的优越性，培养求知探索精神，提高数学综合素养。

四、教学重难点

教学重点：空间中点、直线和平面的向量表示；直线的方向向量与平面的法向量的概念；平面法向量的求法。

教学难点：空间直线的向量表示式与空间平面的向量表示式的理解与运用；用向量方程组

求平面法向量时解的选取与检验。

五、教学方法与教学准备

教学方法：本节课采用“问题导学”教学模式，通过设置联系性问题、理解性问题、归纳性问题、拓展性问题实现学生的深度学习；引导学生独立思考、主动探究、合作交流，利用小组汇报、学生讲解、学生小结等多种方式开展学习；借助动态几何软件GeoGebra将空间中点、直线和平面的向量表示制作成动态图形，学生用平板扫描提前做好的二维码进行体验，调动学习的积极性；通过创设物理情境与数学情境，落实重点、突破难点。

教学准备：多媒体课件、GeoGebra动态演示、二维码学案、长方体与三棱柱模型、课堂练习纸。

六、教学过程（40 分钟）

（一）新课导入（约 3 分钟）

教师引导：关于向量，前面我们已经学过一些知识，也解决过一些问题，体验到了它的优越性。例如线面垂直的判定定理——如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面。这个定理用综合几何法证明非常麻烦，书写下来大概需要一两页，但用向量法就很简单，短短几行就能得出结论。然而，向量法的优越性我们看到的只是一点点，运用向量法可以解决立体几何中的所有问题。

教师提问：立体几何中有哪些问题？

学生活动：思考并回答——立体几何问题无非是位置关系与度量计算。

教师引导：如果我们要把这些问题交给向量来解决，关键是什么呢？空间中所有几何体都是由点、线、面组成的，只要用向量表示了点、线、面，也就可以表示所有几何体，从而将立体几何问题转化为向量运算问题。那么到底该怎么表示呢？这就是我们今天要研究的问题——空间中点、直线和平面的向量表示（板书课题）。

【设计意图】导入语突出三个方面：前面学习向量的相关知识与向量法的优越性；我们想用向量解决什么样的立体几何问题；向量法解决立体几何问题的关键是什么。突出研究目的，构建知识框架，明确研究目标。

（二）探究新知（约 15 分钟）

1.空间中点的向量表示（约 3 分钟）。

教师讲解：在空间中，取定点作为基点，对于空间中任意一点，把向量称为点的位置向量。这样，只要给定点，空间中任意一点就与它的位置向量建立了一一对应关系，点就被向量“表示”出来了（如图1）。

图1　空间中点的向量表示

2.空间中直线的向量表示（约 5 分钟）。

教师提问：如何用向量表示一条直线？我们知道，一个点和一个方向就能确定一条直线。

教师讲解：取定直线上的定点，以及直线的方向向量（与直线平行的非零向量）。如图2，对空间中的任一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使得。

图2　空间中直线的向量表示

教师强调：把点换成直线上任一点，因为，所以上述式子也可以写成。

特别地，当取基点为原点时，记，则点在直线上的充要条件是。我们把或都称为空间直线的向量表示式。

学生活动：结合GeoGebra动态图形（用平板扫描二维码体验），拖动点，观察实数的变化与点在直线上的运动之间的对应关系。

3.空间中平面的向量表示（约 4 分钟）。

教师提问：平面内一点与两个不共线的向量可以确定这个平面吗？回想平面向量基本定理。

教师讲解：如图3，设两条直线相交于点，方向向量分别为和，由这两条直线确定的平面为。为平面内任一点，由平面向量基本定理，存在唯一的有序实数对，使得。

图3　空间中平面的向量表示

教师强调：对空间中的任一点，点位于平面内的充要条件是存在实数，，使，我们把它称为空间平面的向量表示式。