1.2 空间向量基本定理教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

年级

高一年级

学科

数学

教师

课题

1.2 空间向量基本定理

教学目标

数学抽象

通过教室墙角三个向量表示空间任意向量的现实情境，感受引入空间向量基本定理的必要性，抽象概括出基底的概念，发展学生的数学抽象素养。

逻辑推理

经历从特殊情形（三个向量两两垂直）到一般情形（三个向量不共面）的探究过程，理解空间向量基本定理的存在性与唯一性证明，发展学生的逻辑推理素养。

直观想象

借助长方体直观图形，理解投影向量在向量分解中的作用，能把空间中的向量用选定的基底表示出来，发展学生的直观想象素养。

数学运算

能运用空间向量基本定理，把空间中的向量用基底表示出来，解决共线、共面等简单立体几何问题，发展学生的数学运算素养。

教学

重难点

1.教学重点：空间向量基本定理的理解及简单应用。

2.教学难点：空间向量基本定理证明思路的发现，基底的恰当选择。

教学过程

教师活动

学生活动

一、情境导入

教师：同学们，我们所在的教室就是一个三维立体空间。如果以教室的一个墙角O为起点，沿着三条墙缝的方向作向量，可以得到三个不共面的向量。那么，如何用这三个向量表示空间中任意一个向量呢？

教师：在必修第二册中，我们学习了平面向量基本定理——平面内任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示。类似地，任意一个空间向量能否用三个不共面的向量来表示呢？今天我们就来研究这个问题（板书课题）。

【设计意图】以教室墙角创设真实情境，引导学生通过平面向量基本定理类比猜想空间向量基本定理，引发认知冲突，感受引入新定理的必要性，发展数学抽象素养。

学生观察图形，回忆平面向量基本定理的内容，思考并讨论教师提出的问题，尝试类比提出猜想。

二、探究新知

探究1（特殊情形）：我们先从三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论。如图1，设向量

，，是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O。对于任意一个空间向量，设为在，所确定的平面上的投影向量。如何用，，表示呢？

学生分组讨论，借助笔和书本摆一摆，尝试将空间向量向底面投影转化，经历从特殊到一般的探究过程，并尝试推演定理的唯一性证明。

（图1　三个两两垂直的向量对任意向量p的分解）

生：由向量加法的三角形法则，＝＋。又与共线，故存在唯一的实数z，使＝，从而＝＋。而在，所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使＝＋。所以＝＋＋。

师：很好！我们分别称，，为向量在，，上的分向量。如果用任意三个不共面的向量代替两两垂直的向量，还能得出类似的结论吗？

探究2（一般情形）：设向量，，不共面。过点O作＝，＝，＝；过点P作直线PP′平行于OC，交平面OAB于点P′；在平面OAB内，过点P′作直线分别与直线OA，OB相交于点A′，B′。于是存在三个实数x，y，z，使得

＝，　＝，　＝，

从而＝＋，＝＋＝＋＋。

下面证明有序实数组（x，y，z）的唯一性。

假设还存在有序实数组（x′，y′，z′），使＝＋＋，则

。

不妨设x≠x′，则＝，即与，共面，这与，，不共面矛盾，所以有序实数组（x，y，z）是唯一的。

由此，我们得到空间向量基本定理：

如果三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使＝＋＋。

师：如果三个向量，，不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{｜＝，x，y，z∈R}。这个集合可看作由向量，，生成的，我们把{，，}叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量。空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{，，}表示。把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解。

思考：空间的基底有多少个？需要满足什么条件？

生：任意三个不共面的向量都能构成空间的一个基底，空间的基底有无穷多个；一个基底中的三个基向量一定都是非零向量且不共面。

【设计意图】让学生经历从特殊到一般的完整探究过程，在证明中体会化归与类比思想，积累基本活动经验，发展直观想象和逻辑推理素养。

三、例题讲解

例1　如图2，M是四面体OABC的棱的中点，点N在线段OM上，且

学生独立完成例题并板演，小组互评