第1章三角形期中复习专题讲义60题 2026—2027学年苏科版数学八年级上册

第1章三角形期中复习专题讲义 2026一2027学年第一学期苏科版八年级上册学生版 班级 姓名 先复习定义与使用条件，再完成60题。遇到图形不要默认等长、垂直或中点；先从题设和已证结 论找依据。提升题仍只用本章的角、全等、两种平分线、等腰及基本面积方法。 一知识与例题 1线段和角的先备知识 直线向两端无限延伸，没有端点；射线有一个端点，向一个方向无限延伸；线段有两个端点，长度 有限。写射线AB时，A是端点，射线AB与射线BA不是同一条射线。写线段AB与BA则表示同一条 线段。 有公共端点的两条射线组成的图形叫角，公共端点叫顶点，两条射线叫角的边。∠BAC的顶点是中 间字母A,两边是射线AB,AC,同一顶点处有多个角时，不宜只写∠A。 直线AB 射线AB 线段AB → B 点M在线段AB上且AM=MB时，M叫线段AB的中点，所以AM=MB=号AB。只有“长度相等"而没 有在线段上的位置条件，不能把任意点称为中点。 两点之间线段最短：从A经不在直线AB上的点P到B,有AP+PB>AB。点到直线的距离是垂线段 的长度；从直线外一点连到直线上各点的线段中，垂线段最短，其他斜线段都更长。点在直线上 时，距离为0。 点到直线的距离 线段中点 A M B AM=MB=AB H PH<PO 两个角的和为90时，它们互余；和为180时，它们互补。同角或等角的余角相等，同角或等角的补 角相等。互补只描述和，不要求两个角挨在一起。 两角有公共顶点和一条公共边，另外两边互为反向射线时，这两个角互为邻补角，和为180°。两条 直线相交形成的对顶角相等；仅有角相等，不能反过来断定它们是对顶角。 第1页共55页 B a B a D 对顶角相等：邻补角：Q+B=180° 从角的顶点出发、位于角内部并把角分成两个相等角的射线，叫角平分线。若AP平分∠BAC,则 ∠BAP=∠mC=3∠BAC. 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补；反过来，满足其中相应 角关系时可判定两直线平行。两条直线若都垂直于同一条直线，则它们平行（两线不重合时）。每 次使用都应指出是哪两条直线和哪一对角。 m I‖m:同位a=Y;内错B=Y 同旁内角：B+6=180° 例题A,O,B依次共线，射线OC在直线AB上方，∠AOC=68°。求∠COB,并判断这两个角是否 只是互补，还是同时为邻补角。 OA,OB为反向射线，两角共用OC,所以两角是邻补角，也互补。∠C0B=180°-68°=112°。 方法先核对角的位置关系，再用角的和。 2三角形与三边关系 三条线段首尾顺次相接，组成的封闭图形叫作三角形。三个顶点不在同一直线上；三边长都为正。 △ABC表示顶点为A,B,C的三角形；边BC,CA,AB分别与∠A,∠B,∠C相对。 第2页共55页 A C 边a、b、c分别与∠A、∠B、∠C相对 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边。已知两边a,b,第三边c必须 满足|a-b<c<a+b。两端都是严格不等号；取等号时三点共线，不再是三角形。 三边关系来自两点之间线段最短：三点不在同一直线上时，AC<AB+BC,换一组端点可得另外两 式。由a<b+c、b<a+c分别移项，得a-b<c、b-a<c,合起来就是a-b<c。 已知三条正长度时，只要检查较短两边的和是否大于最长边即可，其余两条和的不等式自动成立。 若长度来自方程，还要检查正长度、三边关系以及题设中腰和底的身份。 严格大于：可以构成 等号：三点共线 B 2 心 A B C C AC=5,不能组成三角形 4 2+3>4 点在一条线段的内部时可用线段和：A,D,B依次共线，则AB=AD+DB。点移到延长线上，所求 量可能改成差，不能照抄原图中的加法。 例题两边长为6,10，第三边x为偶数。求x的所有可能值。 4<x<16,因此偶数x为6,8,10,12,14。x=4或16时，三个顶点在同一直线上，不能组成三角形，所 以不能取。 方法先写严格区间，再按整数或奇偶要求筛选。 3三角形中的角与三条重要线段 三个内角都小于90的三角形叫锐角三角形；有一个角为90的叫直角三角形；有一个角大于90的叫 钝角三角形。直角三角形中，直角所对的边叫斜边，夹着直角的两条边叫直角边。 三角形内角和为180°。三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫外角；一个外角等于与它不相邻 的两个内角之和，因此大于这两个不相邻内角中的任意一个。外角与相邻内角互补。 内角和的证明：过A作直线XY∥BC,使射线AX与CB同向、射线AY与BC同向。由内错角相等， ∠XAB=∠ABC、∠CAY=∠ACB,这两角与∠BAC恰好拼成平角，所以三个内角的和为180°。 第3页共55页 A X Y Q C XY‖BC=a+B+Y=180 例如BC延长至D,则∠ACD=∠BAC+∠ABC。依据是∠ACB+∠ACD=180°，而 ∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°，减去公共角即可。 45° 110 65° 70°7 B C LACD=LA+∠B=110° 从顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫三角形的高。关键词是“对边所在直线”： 锐角三角形三条高在内部，直角三角形两条直角边本身就是高，钝角三角形有两条高的垂足在边的 延长线上。 第4页共55页 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 A D H3-B B H 虚线表示高（或对边的延长部分）；直角边本身也可作高 连接一个顶点与对边中点的线段叫中线。中线给出的是底边两段相等，不自动给垂直或分角相等。 三角形一个内角的平分线与其对边相交，顶点到交点的线段叫三角形的角平分线。它给出两角相 等，不自动给两段底边相等。一般三角形的高、中线、角平分线不重合。 高 中线 角平分线 M AD⊥BC BM=MC LBAE=LEAC 若AH是BC边上的高，则S概号BCA,即底乘对应高再除以2。同一顶点、底边在同一直线上 的两个三角形同高，面积比等于底边比；中线因此平分三角形面积。反过来，只有确认同高后，才 能从等面积推出底边相等。 S1 52 B M BM=MC→ S1=S2 第5页共55页 例题D在BC内部，BD:DC=2:3,△ABC面积为35。求△ABD面积。 A 14 21 B D 2份 3份 同高：56AD=Z子3×35=14 2 两三角形共用从A到直线BC的高，S40:SaAD=2:3。故54mF2十3×35=14。 方法指出共同的高，再把底比转成面积比；不假设两小三角形全等。 4全等三角形的含义与对应顺序 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。全等既要求形状相同，也要求大小相同；平移、转动或 翻转后的放置方向不同，不影响全等。 △ABC兰△DEF中的书写顺序指定A+D、B+E、C+F。对应边为AB=DE、BC=EF、 AC=DF,对应角为∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F。 找对应关系时，可先找独特的顶点，例如直角顶点、两条已知对应边的公共端点，再写完整顺序。 即使两三角形共用字母，也必须按位置配对，不能看到相同字母就认定相同对应。 △ABC △DEF D B A+D,BeE,CeF 全等三角形周长相等、面积相等。但是周长相等、面积相等甚至三个角分别相等，都不能单独反推 出全等。全等的性质用于已经证明全等之后；全等的判定用于证明全等之前。 第6页共55页 例题已知△ABC兰△BDE。写出与AC及∠ABC对应的边和角。 E 6 △ABC≡△BDE:ACBE,LABC LBDE A:B、BD、C+E,所以AC对应BE,∠ABC对应∠BDE。 方法先逐顶点连对应，再读边和角，不凭图的左右位置。 5全等的五种判定及条件位置 SSS:三边分别相等的两个三角形全等。三条边必须按同一顶点对应顺序配对。 SAS:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。夹角是两条已知边共同端点处的角，不能换成任 意一个角。 SAS:两边及其夹角 对应条件位置相同 A D Q B E AB=DE,AC=DF,LBAC=LEDF ASA：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。夹边的两个端点就是这两个角的顶点。 AAS:两角及其中一个角的对应对边分别相等的两个三角形全等。已知边不是这两角的夹边，也可 以判定全等，但直接名称为AAS。 第7页共55页 ASA:夹边 AAS:非夹边 A A 已知边 B B 已知边 B 已知∠B、∠C:BC是夹边；AB是∠C的对边 HL：在两个直角三角形中，斜边及一条直角边分别相等，则两三角形全等。使用前须确认两个直 角，不能把一条直角边误写为斜边。 HL 先确认两个直角 E D x为斜边，y为一条直角边 LC=LF=90°，AB=DE,AC=DF AAA不判全等，因为角相同仍可大小不同；SSA一般不判全等，因为给定两边及其中一边的对角 时可能出现两种不同位置。不要仅按“共有三组条件”来判断。 B J25 A 0 C AB公共，BC=BD,∠BAC=LBAD 但△ABC与△ABD不全等(SSA不充分) 公共边、公共角、对顶角、平行线得到的角，以及等量相加或相减得到的整段，是常见的第三条 件。证明时必须写出，不能用“从图可知”替代 第8页共55页 例题AB=AC,AD平分∠BAC,点D在线段BC内部。为什么可判△ABD兰△ACD? 0 AB=AC,LBAD=LCAD,AD=AD △ABD=△ACD(SAS) 在△ABD与△ACD中， AB=AC ∠BAD=∠CAD AD=AD 所以△ABD兰△ACD(SAS)。 三组条件按相同顶点顺序排列；∠BAD正是AB,AD的夹角。 方法先说在哪两个三角形中，再用大括号列三条件，接判据，最后取所需对应结论。 6线段垂直平分线的定义性质与判定 经过一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫线段的垂直平分线。它是一条直线，“中 点”和“垂直”缺一不可。 性质：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端点的距离相等。设1为AB的垂直平分线，直线与线 段AB交于M,点P在I上。若P=M,则PA=PB=AM)若P≠M,才连接PA,PB并使用PM LAB。 在△PAM与△PBM中， AM=BM ∠PMA=∠PMB=90 PM=PM 由SAS得全等，所以PA=PB。 第9页共55页 A M B 判定：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。若PA=PB,取AB中点M, 当P不在直线AB上时，在△PAM与△PBM中， PA=PB AM=BM PM=PM 由SSS得△PAM兰△PBM,所以∠PMA=∠PMB。 两角又互补，因此各为90°，PM⊥AB。若P在直线AB上且PA=PB,则P=M,也在垂直平分线 上。 A M 应用时先区分“点到两个端点等距”与“点到两条直线等距”。前者使用垂直平分线；后者需要垂线段 并联系角平分线。 第10页共55页 例题点P在AB的垂直平分线上，点Q在直线AB外，且QA=QB。若P≠Q,能否确定直线PQ? i P M A B Q P按已知在垂直平分线上；Q由判定也在同一条垂直平分线上。两不同点确定一条直线，因此直线 PQ就是AB的垂直平分线。 方法性质把位置转为等长，判定把等长转回位置；使用两点定直线前要有两点不同。 7角平分线与到两边的距离 从角的顶点出发，把角分成两个相等角的射线，叫这个角的平分线。本讲所说的角满足 0°<∠BAC<180°。 点到直线的距离是垂线段的长度。垂足可能在边的延长线上；任意一条连到边上某点的线段，不一 定是距离。 性质：角平分线上的点，到角两边所在直线的距离相等。若点P就是顶点A,两距离都为0。下面设 P≠A,射线AP为角平分线；作PE⊥直线AB于E,PF⊥直线AC于F。因两个半角都小于90°，垂 足E,F分别在射线AB,AC上。在△AEP与△AFP中， ∠AEP=∠AFP=90 ∠EAP=∠FAP AP=AP 由AAS得全等，所以PE=PF。 第11页共55页 E B 判定：在一个角内部，到这个角两边所在直线距离相等的点，在这个角的平分线上。设P在∠BAC 内部，垂足E,F分别在直线AB,AC上，且PE=PF。先检查垂足所在方向，再证明分角相等。 设C=∠BAP、B=∠PAC,则a+B=∠BAC<180°。若E=A,则PA已是到直线AB的垂线段；对 另一条直线AC,A不可能同时也是垂足，否则AB,AC会是同一条垂线。因此由垂线段最短， PF<PA=PE,矛盾。F=A同理不可能。 两个垂足不可能同时在相应射线的反向延长线上，否则α，B均大于90°。若恰有一个在反向延长线 上，例如E在射线AB的反向延长线上，则F在射线AC上。在直角三角形AEP,AFP中，斜边AP公 共、PE=PF,由HL得全等，所以180°-a=B,与α+B<180矛盾。另一种反向情况同理。 E B A 因此两个垂足都在原角的两条射线上。在直角三角形AEP,AFP中， AP=AP PE=PF ∠AEP=∠AFP=90° 由HL得全等，故∠BAP=∠PAC,AP平分∠BAC。 “角内部”不能删去。点若在原角外部而到两边所在直线等距，可能在某个相邻外角的平分线上；应 先确定点处在哪个角内，再使用判定。 一个内角与其相邻外角互补，二者平分线所成的相邻角为2×180=90，所以两条平分线互相垂 直。这里的“相邻”决定正确的射线位置。 第12页共55页 Q 0 X B 例题点P在∠BAC内部，作PE⊥直线AB于E、PF⊥直线AC于F,且PE=PF。能否直接把 PA=PB作为结论？ 不能。题设等距是到两条直线的垂距，正确结论是AP平分∠BAC,不是到顶点或任意边上点的距 离相等。 方法先看等距的对象是端点还是直线，再选对应性质或判定。 8等腰等边三角形与三线合一 有两边相等的三角形叫等腰三角形；相等的两边叫腰，第三边叫底边，两腰的夹角叫顶角。三边都 相等的三角形叫等边三角形，等边三角形也属于等腰三角形。 等腰三角形的性质是等边对等角：AB=AC→∠B=∠C。判定是等角对等边： ∠B=∠C→AB=AC。使用时看清角所对的边，不把顶点旁边的边当作对边。 若AB=AC、M为BC中点，连接AM。在△ABM与△ACM中， AB=AC BM=CM AM=AM 由SSS得两三角形全等，所以∠ABM=∠ACM、∠BAM=∠CAM,且∠AMB=∠AMC。后两 个角是邻补角，和为180°，所以各为90°。 因此，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，称三线合一。要先确认等 腰及正确的顶角、底边，不能套在任意一腰上的中线或高上。 d B M 第13页共55页 等角对等边的证明：若∠B=∠C,作∠BAC的平分线AD交BC于D。在△ABD与△ACD中， ∠BAD=∠CAD ∠ABD=∠ACD AD-AD 由AAS得两三角形全等，因此AB=AC。 A Q D 等边三角形三个内角都是60°。判定可用三边相等，或三个内角相等，或等腰三角形中有一个角为 60°。若只知道一般三角形有一个60角，仍不足以判等边。 A 60° 60 60°/ B C 条件没有说明腰和底，或没有说明某角是顶角还是底角时，要分类。若已明确AB=AC,则∠A就 是顶角，不能再无谓分情况。分类所得数值还要检查内角为正、三角形不等式、点在线段还是延长 线上。 例题一个等腰三角形有一个内角为70°。求三个内角的所有可能组合。 若70°为顶角，底角均为55°，若70为底角，另一个底角也为70°，顶角为40°。故有(70°，55,55)或 40°，70,70)。 方法先分角的身份，再用内角和；不要把两种都成立误当成唯一答案。 9含30度角的直角三角形 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。下面用全等与等边三角形证明这一性质。 第14页共55页 设∠ACB=90°、∠BAC=30°。延长BC至D,使CD=BC,连接AD。在△ACB与△ACD中， AC=AC ∠ACB=∠ACD=90 BC=CD 由SAS得两三角形全等，因此AB=AD、∠CAD=30°。 于是∠BAD=60°，△ABD为有一个60角的等腰三角形，所以它是等边三角形。故 AB=BD=2BC,即BC=AB。 A 30° & C 使用时必须同时有直角和30°角，并认清“所对的直角边”。不是任意一个角为30的三角形都能用半 斜边关系。 例题在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=14。求BC。 AB是斜边，BC是30角所对的直角边，故BC=AB=7。 方法先标直角和30度所对边，再使用结论；不计算另一条直角边。 10基本尺规作图及其依据 尺规作图使用无刻度直尺和圆规；不能用量角器或尺上刻度代替作图。保留必要弧线和交点，画出 的辅助弧不是装饰，它们记录等长条件。 作线段AB的垂直平分线：分别以A,B为圆心、同一大于AB的长为半径作弧，交于两点P,Q,作 直线PQ。两交点均满足到A,B等距，故都在垂直平分线上，PQ就是所求直线。 第15页共55页 A B 作角平分线：以顶点A为圆心作弧，与两边交于E,F,再分别以E,F为圆心、相同适当长为半径在 角内作弧交于P,作射线AP。在△AEP与△AFP中， AE=AF EP=FP AP=AP 由SSS得两三角形全等，故∠EAP=∠FAP,AP是角平分线。 C F P A 6 第16页共55页 作一个角等于已知角：设已知角的顶点为O。以O为圆心、适当长r为半径作弧，交两边于M,N。 另作射线OX,以O为圆心、同样的r为半径作弧，交初始射线于M。再以M为圆心、MN为半径 作弧，与前一条弧交于所需一侧的N;作射线ON。在△OMN与△OMN中， OM-O M ON=ON MN-MN 由SSS得两三角形全等，所以所作角∠MO'N等于已知角∠MON。 已知角 所作角 B Y N X M M 已知三边作三角形：先作其中一条边，再以两个端点为圆心、其余两边为半径作弧取交点。需要先 检查三边关系；交点在底边两侧时得到的两三角形由SSS全等。 C 4 B 6 例题作AB的垂直平分线时，为什么两次画弧必须使用相同半径？ 这样才能使同一交点P满足PA=PB,另一个交点Q满足QA=QB,从而两点都在同一条垂直平分线 上。两次半径若不同，不能得到这个等距条件。 方法把每一步作图痕迹翻译成等长条件，再说明判定依据。 11常用辅助线与面积关系 所求是分散线段的和或差，先根据点序把它们集中在同一条直线上，再寻找全等转移。不能为了“像 某个模型”而任意延长线段。 第17页共55页 出现中线时，倍长中线常把两条已知边集中到一个新三角形中。设M为BC中点，延长AM至E使 ME=AM。在△AMB与△EMC中， AM=ME ∠AMB=∠EMC BM=CM 由SAS得两三角形全等，得到CE=AB。于是可在△ACE中使用三边关系。 A B C M E 面积题先说清底和对应高，再找等面积的两块；处理面积差时可尝试消去公共部分。面积比本身不 等于边比，只有同高或同底等前提成立后，才作相应转换。 等腰存在性问题先写三种等边身份，如AB=AP、AB=BP、AP=BP,再检查点是否在规定位置、 三个顶点是否共线、各角是否为正；最后合并重复位置。给一个代数或角度答案还不够，须说明它 能在规定图形中实现。 面积相减的例子：D为AB中点、E为BC中点，CD与AE交于P。SAACD=S4AcE,两边减去共同的 SAACP,得到SAADP=S4cEP。重点是先指出两大三角形和真正的公共部分。 B 第18页共55页 例题在△ABC中，M是BC中点。说明为什么2AM<AB+AC。 按前面的倍长中线图倍长AM得AE=2AM,由SAS得CE=AB。在三个顶点不在同一直线上的 ∠ACE中，AE<AC+CE,所以2AM<AC+AB。 方法倍长不是目标；目标是把原来分散的AB、AC与2AM放进同一个三角形。 12用全等证明斜边中点性质 在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D为斜边BC的中点。下面证明AD=BD=CD,不把这个结论 预先当作已知。 延长AD至E,使DE=AD,连接CE。在△ADB与∠EDC中， AD=DE ∠ADB=∠EDC BD=CD 由SAS得△ADB兰△EDC,所以AB=EC、∠ABD=∠ECD,进而AB∥EC。 因为AB⊥AC,所以EC⊥AC。在ABAC与△ECA中， BA=EC ∠BAC=∠ECA=90 AC=CA 由SAS得△BAC兰△ECA,得到BC=EA。 BC=2BD且EA=2AD,所以AD=BD=CD。整个证明只用了中点定义、全等、平行线角关系和垂 直。 A C D 反过来，若D在BC内部且AD=BD=CD,设∠BAD=X、∠DAC=y。两组等腰三角形给 ∠B=x,∠C=y。由内角和，2(x+y)=180°，所以∠BAC=90°。 例题△ABC中，∠A=90°，D为BC中点，BC=18。求AD。 由刚证明的性质，AD=BD=BC=9。 方法使用前确认直角在A、D是斜边BC的中点，不能换成任意一边的中点。 第19页共55页 二选择题 每题只有一个正确选项。 1.如图，在△ABC中，点D在CB的延长线上，AD⊥BC。下列说法正确的是（)。 A D 第1题图 A,AD不是△ABC的高 B.AD是BC边上的高 C.BD是AC边上的高 D.AC是BC边上的高 2.三角形的一边长为9，另两边长的和为14。另两边长的差可能是（)。 A.14 B.10 C.8 D.9 3.如图，点D在线段BC内部，AD是△ABC的一条中线。仅由这一条件，必能得到的是 （)。 A 0 第3题图 A.AD⊥BC B.∠BAD=∠CAD C.AB=AC D.BD=DC 第20页共55页 4.如图，BC延长至D。以下不需要增加其他条件就成立的是（)。 B C D 第4题图 A.∠ACD>∠BAC B.∠ACD=∠ACB C.∠ACD>∠BAC+∠ABC D.∠ACD<∠ABC 5.已知△ABC三△CDA。下列对应关系正确的是()。 D C 第5题图 A.AB对应DA B.BC对应DA C.∠ABC对应∠CAD D.AC对应CD 6.下列判断正确的是（)。 A.周长相等的两个三角形一定全等 B.面积相等的两个三角形一定全等 C.全等三角形的周长和面积分别相等 D.三个角分别相等的两个三角形一定全等 第21页共55页 7.在△ABC与△DEF中，∠B=∠E,∠C=∠F。若要求直接使用ASA判定全等，还应有 （）。 A 0 ∠F ∠B B 第7题图 A.AB=DE B.AC=DF C.∠A=∠D D.BC=EF 8.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°。要用HL证明两三角形全等，下列条件组合可 用的是（）。 A D C 第8题图 A.AB=DE,AC=DF B.AC=DF,BC=EF C.AB=DE D.AB=DF,AC=DE 第22页共55页 9.直线经过线段AB的中点M。下列哪项条件与已知条件合用，能保证l是AB的垂直平分线 ()? M B 第9题图 A.MA=MB B.点A不在I上 C.1⊥AB D.l与AB相交 10.在△ABC中，∠A=50°，∠B=80°。下列结论正确的是(）。 A 50° 80° B C 第10题图 A.AB=AC B.AB=BC C.AC=BC D.AB=AC=BC 第23页共55页 11.在△ABC中，∠B=2∠A。AD平分∠BAC,D在BC上，且∠ADC=105°。则∠C为 (）。 A 105° B D C 第11题图 A.54 B.63 C.75 D.84 12.如图，A,B,C,D依次在同一直线上，AB=CD,EA=FD,∠EAC=∠FDB。若EC=7, FB=2x+1,则x为（)。 E F A B C 0 第12题图 A.2 B号 C.3 D.4 第24页共55页 13.如图，在△ABC中，∠BAC=65°，∠ABC=55°。AB的垂直平分线与线段BC交于P。则 ∠PAC为（)。 A 65° 55 B P、 C 第13题图 A.5 B.10 C.15 D.20 14.如图，AB=AC,D在线段BC内部，∠BAD=20°，∠DAC=40。下列结论正确的是 (）。 40° 20° C D 第14题图 A.BD=DC B.AD⊥BC C.∠ADB=80 D.∠ADC=80 第25页共55页 15.如图，M,N分别是AC,AB的中点，BM=CN,两条中线交于G。若AB+AC=18,则AB为 (）。 A N M 0 B 第15题图 A.6 B.8 C.9 D.不能确定 16.如图，△ABC为等边三角形，D,E分别在线段BC,CA内部，BD=CE,AD与BE交于P。则 ∠APB为（）。 A P B 0 C 第16题图 A.60 B.120 C.90 D.150 第26页共55页 17.如图，A,D,C依次在同一射线上，B不在直线AC上，BC=BD,∠BAC=25°， ∠ACB=35°。小明用“AB=AB、BC=BD、∠BAC=∠BAD”证明△ABC兰△ABD。下列判断正 确的是（)。 B 250 35° A D 第17题图 A.证明正确，依据SAS B.证明正确，依据AAS C.证明错误，且∠ABD=110 D.证明错误，且∠ABD=10 18.如图，AB=AC=10。点D在线段BC内部，过D分别作DE∥AC、DF∥AB,与AB,AC交于 E,F。则DE+DF为()。 A F E B D C 第18题图 A.10 B.BC C.20-BC D.随点D的位置变化 第27页共55页 19.如图，点P在△ABC内部，直线AP交BC于D。已知SAABP=6,S4ACP=9,SABCP=10。则 AP:PD为（)。 A 10 B C D 第19题图 A.2:3 B.5:2 C.3:2 D.3:5 20.一个三角形的三条中线的长度之和为12，其周长为p。下列关系一定成立的是（)。 N M B 0 第20题图 A.p<12 B.12<p<16 C.16<p<24 D.p=16 第28页共55页 三填空题 将答案填在横线上。 21.在线段AB上，M是AB的中点，N是AM的中点。若AB=12,则MN=一。 12 A N M B 第21题图 22.在△ABC中，∠A=35,∠B=55°，AC=7。以BC为底时，对应的高为一。 A 35° 7 55° B C 第22题图 第29页共55页 23.如图，D是BC的中点，E是AD的中点。若△ABC的面积为40，则△BDE的面积为一。 A E B D C 第23题图 24.已知△ABC兰△EFD,∠ACB=72°。则∠EDF=一。 A D 72 E F B C 第24题图 第30页共55页 25.△ABC三△DEF。已知AB=5,BC=7,DF=8,则△DEF的周长为一。 A D B 第25题图 26.如图，AB=AD,BC=DC。用SSS证明△ABC兰△ADC时，除题设两组等边外，第三组 条件应写为。 B A C D 第26题图 第31页共55页 27.在△ABC与△DEF中，已知∠A=∠D、∠B=∠E、BC=EF。直接依据这三组条件，可 用判定全等（填SSS、SAS、ASA、AAS或HL)。 0 A B 第27题图 28.点P在线段AB的垂直平分线上，PA=x+4,PB=3x-2。则PA=一 ▣ A M B 第28题图 第32页共55页 29.如图，点P在∠BAC内部，PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,且PE=PF。若∠BAP=28°，则 ∠BAC=-。 C F P 28° ◇ A E B 第29题图 30.等腰三角形的顶角比一个底角大30°。则它的顶角为 0 A C 第30题图 第33页共55页 31.如图，D,E分别在线段AB,AC内部，AD=AE,DB=EC。若∠B=72°，则∠A=一。 A D E 、72 B C 第31题图 32.两块等腰三角形模板OAB和PCD满足OA=OB=3,PC=PD=5,AB=CD=4。有人认为“底 边相等且都为等腰三角形，所以顶角相等”。这两个顶角相等（填“可能”或“不可能"）。 0 3 5 B 4 D 第32题图 第34页共55页 33.如图，AB=AC,D为BC中点，点E在线段AD内部，∠BED=70°。则∠AEC=一。 A E 70° B D C 第33题图 34.两个三角形ABC和DEF全等，但未给出顶点对应顺序。已知AB=4,BC=6,AC=7, DE=7,EF=4。按对应顺序应写成△ABC三△一。 D 4 ◇ B 6 E 第34题图 第35页共55页 35.在△ABC中，∠A=80°，∠B=40°。点D在线段BC内部运动，若△ABD为等腰三角形，则 ∠BAD的所有可能值为。 A 80° 400 B D 第35题图 36.如图，∠A=40°，∠B=60°。点P在AB的延长线上，过P分别作PE1AC、PF1BC(垂足 在相应直线上)，且PE=PF。则∠APC=一。 A B C E 0 第36题图 第36页共55页 37.如图，点P在△ABC内部，且在AB、BC的垂直平分线上。已知∠APB=110°， ∠BPC=130°。则∠BAC=一。 A C 第37题图 38.如图，△ABC中，∠A=90°，∠C=60°，AB=15。点D在线段AB内部，DE LBC于E,且 DE=AD。则CD=一。 A D B AB=15 第38题图 第37页共55页 39.如图，点P在△ABC内部，M为BC中点，直线MP与AB交于D,且D在线段AB内部。已知 S4Am=4,SAACP=5,SABCP=6。则AD:DB=一。 A P B M 第39题图 40.在△ABC中，∠BAC=100°。点P满足PA=PB=PC。这样的点P位于三角形内部 (填“能”或“不能”)。 A 100° B C 第40题图 第38页共55页 四解答题 写出计算步骤或证明过程。 41.如图，△ABC中，∠ABC=110°，∠ACB=30°。过A作AD⊥BC,垂足D在CB的延长线 上。求∠BAD与∠CAD。 A 110° 30°7 D B 第41题图 第39页共55页 42.给定线段AB及线段a,b,其中AB=6,a=5,b=4。(1)用尺规在AB上方作△ABC,使 AC=a、BC=b,保留作图痕迹；(2）若在AB下方按同样条件作出△ABD,证明两三角形全 等。 A B 6 a=5 b=4 第42题图 第40页共55页 43.如图，AB=AC,射线AD平分∠BAC,D≠A。证明DB=DC。 y 0 第43题图 第41页共55页 44.如图，为测量一段无法直接接近的距离AE,取线段AC的中点B;使E,B,F共线，且 AELAC、CF LAC,点E,F在直线AC两侧。测得CF=3.2m。（1)证明△ABE三△CBF; (2)求AE。 A 3.2m F 第44题图 45.如图，AB与AC的垂直平分线交于点P。证明点P也在BC的垂直平分线上。 A B 第45题图 第42页共55页 46.如图，点P在∠BAC内部，E,F分别在射线AB,AC上，且PE=PF。小明直接据此断言AP 平分∠BAC。(1)说明这一步遗漏了什么条件；(2)补上PE⊥AB、PF⊥AC后，用全等证 明AP平分∠BAC。 (1)原条件 (2)补充垂直条件 C P B E ΓB 第46题图 47.如图，AB=AC,AD L BC于D,D在线段BC内部。请不直接引用“三线合一”，证明 BD=CD,并证明AD平分∠BAC。 A B D 第47题图 第43页共55页 48.如图，AB=BC,∠A=60°。（1)求∠B,∠C,（2)证明△ABC是等边三角形。 A 609 B C 第48题图 49.如图，点D在线段BC内部，S4ABD=S4Ac。(1)证明AD是△ABC的中线；(2)若 BC=14,求BD。 B 第49题图 第44页共55页 50.用长24cm的细铁丝围成一个等腰三角形，接头忽略不计，底边比腰短3cm。求三边长， 并检验这些长度能否真正围成三角形。 A X cm X cm B C (x-3)cm 第50题图 第45页共55页 51.如图，AB=AC,延长BC至D,延长CB至E,使CD=BE。(1)证明AD=AE;(2)若 ∠BAC=40°，∠EAD=70°，求∠CAD。 A B CD 第51题图 第46页共55页 52.如图，点C,D在直线AB两侧，AC=BD,BC=AD。(1)小明写“△ABC三△ABD”。这个 对应顺序是否一定正确？请写出题设能够保证的全等式并证明；(2）证明AC∥BD。 A B D 第52题图 第47页共55页 53.已知线段AB与经过A的直线/，1既不与AB重合，也不垂直于AB。（1)用尺规在1上作点 P,使PA=PB,保留作图痕迹；(2)证明这样的点只有一个；(3)若把l改为过A且垂直于 AB的直线，还能否找到这样的点？说明理由。 A B 第53题图 第48页共55页 54.如图，延长AB至D,使BD=AB)点E在线段AC内部，AE:EC=1:2。若SADCE-S4BcE=8, 求△ABC的面积。 C & 第54题图 第49页共55页 55.如图，点P在△ABC内部。(1)证明PB+PC<AB+AC;(2)若点P可以取三角形内部及 边界上的任意点，求PB+PC的最大值及此时P的位置。 A P B 第55题图 第50页共55页 56.如图，P在线段BC内部，Q,R分别在线段AB,AC内部，且BQ=BP,CR=CP。(1)用 ∠A表示∠QPR;(2)若AP既平分∠BAC,又平分∠QPR,证明AB=AC,并证明P为BC中 点。 (1)一般位置 (2)两条角平分线 A R Q B 0 B 第56题图 第51页共55页 57.如图，点D,E分别在线段BC,CA内部，BD:DC=2:3,CE:EA=3:4,AD与BE交于P。 (1)求S4ABP:SABCP:S4CaP,(2)点F在线段AB内部，AF:FB=2:1。证明C,P,F在同一直线 上。 A E ◇ B 0 C 第57题图 第52页共55页 58.如图，△ABC纸片中，∠A=50°，∠B=60,∠C=70°。沿AD折叠，使点B落在射线AC 上的点E处，D在线段BC内部。(1)证明E在AC的延长线上，而不在线段AC上；（2)求 ∠CDE,(3)证明S4Ac=2S4ACD+S4cDE A 60° B 0 E 第58题图 第53页共55页 59.已知线段AB的垂直平分线为l,点C不与A,B重合，点P在直线1上运动。（1)若C,A在1同 侧，求PA+PC的最小值及此时P的位置；(2)若C,B在I同侧，求PA+PC的最小值及此时P的 位置；（3)若C在l上，求PA+PC的最小值及此时P的位置。 (1) (2) (3) C 0 B 第59题图 第54页共55页 60.在△ABC内部有一点P,PA=PB=PC,且AP平分∠BAC。（1)仅凭这些条件，能否断定 △ABC为等边三角形？若不能，构造一个满足全部条件的非等边三角形，并写出必要角度验 证；（2)若再补充BP平分∠ABC,证明△ABC为等边三角形。 ◇ B 第60题图 第55页共55页 第1章三角形期中复习专题讲义 2026—2027学年第一学期 苏科版 八年级上册 教师详解版 先复习定义与使用条件，再完成60题。遇到图形不要默认等长、垂直或中点；先从题设和已证结论找依据。提升题仍只用本章的角、全等、两种平分线、等腰及基本面积方法。 一 知识与例题 1 线段和角的先备知识 直线向两端无限延伸，没有端点；射线有一个端点，向一个方向无限延伸；线段有两个端点，长度有限。写射线时，是端点，射线与射线不是同一条射线。写线段与则表示同一条线段。 有公共端点的两条射线组成的图形叫角，公共端点叫顶点，两条射线叫角的边。的顶点是中间字母两边是射线同一顶点处有多个角时，不宜只写 点在线段上且时，叫线段的中点，所以只有“长度相等”而没有在线段上的位置条件，不能把任意点称为中点。 两点之间线段最短：从经不在直线上的点到有点到直线的距离是垂线段的长度；从直线外一点连到直线上各点的线段中，垂线段最短，其他斜线段都更长。点在直线上时，距离为 两个角的和为时，它们互余；和为时，它们互补。同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。互补只描述和，不要求两个角挨在一起。 两角有公共顶点和一条公共边，另外两边互为反向射线时，这两个角互为邻补角，和为两条直线相交形成的对顶角相等；仅有角相等，不能反过来断定它们是对顶角。 从角的顶点出发、位于角内部并把角分成两个相等角的射线，叫角平分线。若平分则 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补；反过来，满足其中相应角关系时可判定两直线平行。两条直线若都垂直于同一条直线，则它们平行（两线不重合时）。每次使用都应指出是哪两条直线和哪一对角。 例题 依次共线，射线在直线上方，求并判断这两个角是否只是互补，还是同时为邻补角。 为反向射线，两角共用所以两角是邻补角，也互补。 方法 先核对角的位置关系，再用角的和。 2 三角形与三边关系 三条线段首尾顺次相接，组成的封闭图形叫作三角形。三个顶点不在同一直线上；三边长都为正。表示顶点为的三角形；边分别与相对。 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边。已知两边第三边必须满足两端都是严格不等号；取等号时三点共线，不再是三角形。 三边关系来自两点之间线段最短：三点不在同一直线上时，换一组端点可得另外两式。由分别移项，得合起来就是 已知三条正长度时，只要检查较短两边的和是否大于最长边即可，其余两条和的不等式自动成立。若长度来自方程，还要检查正长度、三边关系以及题设中腰和底的身份。 点在一条线段的内部时可用线段和：依次共线，则点移到延长线上，所求量可能改成差，不能照抄原图中的加法。 例题 两边长为第三边为偶数。求的所有可能值。 因此偶数为或时，三个顶点在同一直线上，不能组成三角形，所以不能取。 方法 先写严格区间，再按整数或奇偶要求筛选。 3 三角形中的角与三条重要线段 三个内角都小于的三角形叫锐角三角形；有一个角为的叫直角三角形；有一个角大于的叫钝角三角形。直角三角形中，直角所对的边叫斜边，夹着直角的两条边叫直角边。 三角形内角和为三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫外角；一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，因此大于这两个不相邻内角中的任意一个。外角与相邻内角互补。 内角和的证明：过作直线使射线与同向、射线与同向。由内错角相等，这两角与恰好拼成平角，所以三个内角的和为 例如延长至则依据是而减去公共角即可。 从顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫三角形的高。关键词是“对边所在直线”：锐角三角形三条高在内部，直角三角形两条直角边本身就是高，钝角三角形有两条高的垂足在边的延长线上。 连接一个顶点与对边中点的线段叫中线。中线给出的是底边两段相等，不自动给垂直或分角相等。 三角形一个内角的平分线与其对边相交，顶点到交点的线段叫三角形的角平分线。它给出两角相等，不自动给两段底边相等。一般三角形的高、中线、角平分线不重合。 若是边上的高，则即底乘对应高再除以同一顶点、底边在同一直线上的两个三角形同高，面积比等于底边比；中线因此平分三角形面积。反过来，只有确认同高后，才能从等面积推出底边相等。 例题 在内部，面积为求面积。 两三角形共用从到直线的高，故 方法 指出共同的高，再把底比转成面积比；不假设两小三角形全等。 4 全等三角形的含义与对应顺序 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。全等既要求形状相同，也要求大小相同；平移、转动或翻转后的放置方向不同，不影响全等。 中的书写顺序指定对应边为对应角为 找对应关系时，可先找独特的顶点，例如直角顶点、两条已知对应边的公共端点，再写完整顺序。即使两三角形共用字母，也必须按位置配对，不能看到相同字母就认定相同对应。 全等三角形周长相等、面积相等。但是周长相等、面积相等甚至三个角分别相等，都不能单独反推出全等。全等的性质用于已经证明全等之后；全等的判定用于证明全等之前。 例题 已知写出与及对应的边和角。 所以对应对应 方法 先逐顶点连对应，再读边和角，不凭图的左右位置。 5 全等的五种判定及条件位置 SSS：三边分别相等的两个三角形全等。三条边必须按同一顶点对应顺序配对。 SAS：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。夹角是两条已知边共同端点处的角，不能换成任意一个角。 ASA：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。夹边的两个端点就是这两个角的顶点。 AAS：两角及其中一个角的对应对边分别相等的两个三角形全等。已知边不是这两角的夹边，也可以判定全等，但直接名称为AAS。 HL：在两个直角三角形中，斜边及一条直角边分别相等，则两三角形全等。使用前须确认两个直角，不能把一条直角边误写为斜边。 AAA不判全等，因为角相同仍可大小不同；SSA一般不判全等，因为给定两边及其中一边的对角时可能出现两种不同位置。不要仅按“共有三组条件”来判断。 公共边、公共角、对顶角、平行线得到的角，以及等量相加或相减得到的整段，是常见的第三条件。证明时必须写出，不能用“从图可知”替代。 例题 平分点在线段内部。为什么可判 在与中， 所以（SAS）。 三组条件按相同顶点顺序排列；正是的夹角。 方法 先说在哪两个三角形中，再用大括号列三条件，接判据，最后取所需对应结论。 6 线段垂直平分线的定义性质与判定 经过一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫线段的垂直平分线。它是一条直线，“中点”和“垂直”缺一不可。 性质：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端点的距离相等。设为的垂直平分线，直线与线段交于点在上。若则若才连接并使用在与中， 由SAS得全等，所以 判定：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。若取中点当不在直线上时，在与中， 由SSS得所以 两角又互补，因此各为若在直线上且则也在垂直平分线上。 应用时先区分“点到两个端点等距”与“点到两条直线等距”。前者使用垂直平分线；后者需要垂线段并联系角平分线。 例题 点在的垂直平分线上，点在直线外，且若能否确定直线 按已知在垂直平分线上；由判定也在同一条垂直平分线上。两不同点确定一条直线，因此直线就是的垂直平分线。 方法 性质把位置转为等长，判定把等长转回位置；使用两点定直线前要有两点不同。 7 角平分线与到两边的距离 从角的顶点出发，把角分成两个相等角的射线，叫这个角的平分线。本讲所说的角满足 点到直线的距离是垂线段的长度。垂足可能在边的延长线上；任意一条连到边上某点的线段，不一定是距离。 性质：角平分线上的点，到角两边所在直线的距离相等。若点就是顶点两距离都为下面设射线为角平分线；作直线于直线于因两个半角都小于垂足分别在射线上。在与中， 由AAS得全等，所以 判定：在一个角内部，到这个角两边所在直线距离相等的点，在这个角的平分线上。设在内部，垂足分别在直线上，且先检查垂足所在方向，再证明分角相等。 设则若则已是到直线的垂线段；对另一条直线不可能同时也是垂足，否则会是同一条垂线。因此由垂线段最短，矛盾。同理不可能。 两个垂足不可能同时在相应射线的反向延长线上，否则均大于若恰有一个在反向延长线上，例如在射线的反向延长线上，则在射线上。在直角三角形中，斜边公共、由HL得全等，所以与矛盾。另一种反向情况同理。 因此两个垂足都在原角的两条射线上。在直角三角形中， 由HL得全等，故平分 “角内部”不能删去。点若在原角外部而到两边所在直线等距，可能在某个相邻外角的平分线上；应先确定点处在哪个角内，再使用判定。 一个内角与其相邻外角互补，二者平分线所成的相邻角为所以两条平分线互相垂直。这里的“相邻”决定正确的射线位置。 例题 点在内部，作直线于直线于且能否直接把作为结论？ 不能。题设等距是到两条直线的垂距，正确结论是平分不是到顶点或任意边上点的距离相等。 方法 先看等距的对象是端点还是直线，再选对应性质或判定。 8 等腰等边三角形与三线合一 有两边相等的三角形叫等腰三角形；相等的两边叫腰，第三边叫底边，两腰的夹角叫顶角。三边都相等的三角形叫等边三角形，等边三角形也属于等腰三角形。 等腰三角形的性质是等边对等角：判定是等角对等边：使用时看清角所对的边，不把顶点旁边的边当作对边。 若为中点，连接在与中， 由SSS得两三角形全等，所以且后两个角是邻补角，和为所以各为 因此，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，称三线合一。要先确认等腰及正确的顶角、底边，不能套在任意一腰上的中线或高上。 等角对等边的证明：若作的平分线交于在与中， 由AAS得两三角形全等，因此 等边三角形三个内角都是判定可用三边相等，或三个内角相等，或等腰三角形中有一个角为若只知道一般三角形有一个角，仍不足以判等边。 条件没有说明腰和底，或没有说明某角是顶角还是底角时，要分类。若已明确则就是顶角，不能再无谓分情况。分类所得数值还要检查内角为正、三角形不等式、点在线段还是延长线上。 例题 一个等腰三角形有一个内角为求三个内角的所有可能组合。 若为顶角，底角均为若为底角，另一个底角也为顶角为故有或 方法 先分角的身份，再用内角和；不要把两种都成立误当成唯一答案。 9 含30度角的直角三角形 在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半。下面用全等与等边三角形证明这一性质。 设延长至使连接在与中， 由SAS得两三角形全等，因此 于是为有一个角的等腰三角形，所以它是等边三角形。故即 使用时必须同时有直角和角，并认清“所对的直角边”。不是任意一个角为的三角形都能用半斜边关系。 例题 在中，求 是斜边，是角所对的直角边，故 方法 先标直角和30度所对边，再使用结论；不计算另一条直角边。 10 基本尺规作图及其依据 尺规作图使用无刻度直尺和圆规；不能用量角器或尺上刻度代替作图。保留必要弧线和交点，画出的辅助弧不是装饰，它们记录等长条件。 作线段的垂直平分线：分别以为圆心、同一大于的长为半径作弧，交于两点作直线两交点均满足到等距，故都在垂直平分线上，就是所求直线。 作角平分线：以顶点为圆心作弧，与两边交于再分别以为圆心、相同适当长为半径在角内作弧交于作射线在与中， 由SSS得两三角形全等，故是角平分线。 作一个角等于已知角：设已知角的顶点为以为圆心、适当长为半径作弧，交两边于另作射线以为圆心、同样的为半径作弧，交初始射线于再以为圆心、为半径作弧，与前一条弧交于所需一侧的作射线在与中， 由SSS得两三角形全等，所以所作角等于已知角 已知三边作三角形：先作其中一条边，再以两个端点为圆心、其余两边为半径作弧取交点。需要先检查三边关系；交点在底边两侧时得到的两三角形由SSS全等。 例题 作的垂直平分线时，为什么两次画弧必须使用相同半径？ 这样才能使同一交点满足另一个交点满足从而两点都在同一条垂直平分线上。两次半径若不同，不能得到这个等距条件。 方法 把每一步作图痕迹翻译成等长条件，再说明判定依据。 11 常用辅助线与面积关系 所求是分散线段的和或差，先根据点序把它们集中在同一条直线上，再寻找全等转移。不能为了“像某个模型”而任意延长线段。 出现中线时，倍长中线常把两条已知边集中到一个新三角形中。设为中点，延长至使在与中， 由SAS得两三角形全等，得到于是可在中使用三边关系。 面积题先说清底和对应高，再找等面积的两块；处理面积差时可尝试消去公共部分。面积比本身不等于边比，只有同高或同底等前提成立后，才作相应转换。 等腰存在性问题先写三种等边身份，如再检查点是否在规定位置、三个顶点是否共线、各角是否为正；最后合并重复位置。给一个代数或角度答案还不够，须说明它能在规定图形中实现。 面积相减的例子：为中点、为中点，与交于两边减去共同的得到重点是先指出两大三角形和真正的公共部分。 例题 在中，是中点。说明为什么 按前面的倍长中线图倍长得由SAS得在三个顶点不在同一直线上的中，所以 方法 倍长不是目标；目标是把原来分散的AB、AC与2AM放进同一个三角形。 12 用全等证明斜边中点性质 在直角三角形中，为斜边的中点。下面证明不把这个结论预先当作已知。 延长至使连接在与中， 由SAS得所以进而 因为所以在与中， 由SAS得得到 且所以整个证明只用了中点定义、全等、平行线角关系和垂直。 反过来，若在内部且设两组等腰三角形给由内角和，所以 例题 中，为中点，求 由刚证明的性质， 方法 使用前确认直角在A、D是斜边BC的中点，不能换成任意一边的中点。 二 选择题 每题只有一个正确选项。 1. 如图，在中，点在的延长线上，下列说法正确的是（    ）。 第1题图 A. 不是的高 B. 是边上的高 C. 是边上的高 D. 是边上的高 答案 B 高是从顶点向对边所在直线所作的垂线段。虽然垂足不在线段内，仍是中边上的高。 2. 三角形的一边长为另两边长的和为另两边长的差可能是（    ）。 A. B. C. D. 答案 C 由三角形两边之差小于第三边，另两边长的差必须小于四个选项中只有满足。它确能实现：另两边可为与此时且 3. 如图，点在线段内部，是的一条中线。仅由这一条件，必能得到的是（    ）。 第3题图 A. B. C. D. 答案 D 中线连接顶点与对边中点，故一般三角形的中线不一定垂直于对边、不一定平分顶角，也不一定使另外两边相等。 4. 如图，延长至以下不需要增加其他条件就成立的是（    ）。 第4题图 A. B. C. D. 答案 A 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，因此两个内角均为正，所以外角与相邻内角互补，不一定大小相等。 5. 已知下列对应关系正确的是（    ）。 第5题图 A. 对应 B. 对应 C. 对应 D. 对应 答案 B 按全等式的顺序，因此对应对应 6. 下列判断正确的是（    ）。 A. 周长相等的两个三角形一定全等 B. 面积相等的两个三角形一定全等 C. 全等三角形的周长和面积分别相等 D. 三个角分别相等的两个三角形一定全等 答案 C 全等三角形能够完全重合，因此面积和周长分别相等。仅有周长相等或面积相等，不能保证形状和大小都相同；三个角分别相等也不能保证大小相同。 7. 在与中，若要求直接使用ASA判定全等，还应有（    ）。 第7题图 A. B. C. D. 答案 D ASA要求两角及其夹边分别相等。的夹边为的夹边为因此需要 8. 在和中，要用HL证明两三角形全等，下列条件组合可用的是（    ）。 第8题图 A. B. C. D. 答案 A 两三角形的斜边分别是A提供一组斜边相等和一组直角边相等，满足HL。B只有两直角边，虽然可用SAS，但不是HL；C只有斜边；D要求斜边分别等于对方直角边，由与会同时得到和条件本身矛盾。 9. 直线经过线段的中点下列哪项条件与已知条件合用，能保证是的垂直平分线（    ）？ 第9题图 A. B. 点不在上 C. D. 与相交 答案 C 线段的垂直平分线既要经过中点，又要垂直于该线段，二者缺一不可。 10. 在中，下列结论正确的是（    ）。 第10题图 A. B. C. D. 答案 B 由等角对等边，所对的边分别为所以 11. 在中，平分在上，且则为（    ）。 第11题图 A. B. C. D. 答案 A 设则是的外角，故得所以 12. 如图，依次在同一直线上，若则为（    ）。 第12题图 A. B. C. D. 答案 C 由点序与得在与中， 由SAS得所以 于是解得 13. 如图，在中，的垂直平分线与线段交于则为（    ）。 第13题图 A. B. C. D. 答案 B 点在的垂直平分线上，所以由等边对等角，因在线段上，射线在顶角内，故 14. 如图，在线段内部，下列结论正确的是（    ）。 第14题图 A. B. C. D. 答案 D 结合得两个底角也为所以为等边三角形。中，因不是顶角平分线，不能推出 15. 如图，分别是的中点，两条中线交于若则为（    ）。 第15题解答图 A. B. C. D. 不能确定 答案 C 先从中线定义推导分点比例，不直接引用重心性质。记由为中点， 中线平分整三角形面积，故即同理由得于是 和以共线的为底且同高，所以同理由得 又在与中， 由SAS得所以 由于分别为中点，所以 16. 如图，为等边三角形，分别在线段内部，与交于则为（    ）。 第16题图 A. B. C. D. 答案 B 在与中， 由SAS得所以 设则所以结果与点在边上的具体位置无关。 17. 如图，依次在同一射线上，不在直线上，小明用“”证明下列判断正确的是（    ）。 第17题图 A. 证明正确，依据SAS B. 证明正确，依据AAS C. 证明错误，且 D. 证明错误，且 答案 D 为等腰三角形，因反向，所以 中而两三角形并不全等。小明给出的等角不是两对等边的夹角，属于不能一般判全等的SSA情形。 18. 如图，点在线段内部，过分别作与交于则为（    ）。 第18题解答图 A. B. C. D. 随点的位置变化 答案 A 连接由两组平行线得在与中， 由ASA得所以 由得又所以故因此 19. 如图，点在内部，直线交于已知则为（    ）。 第19题图 A. B. C. D. 答案 C 因为共线，以为底的同高，也同高，故两组面积比都等于 把两组相应面积相加，得也可先由整三角形面积得到再作线段差。 20. 一个三角形的三条中线的长度之和为其周长为下列关系一定成立的是（    ）。 第20题解答图 A. B. C. D. 答案 B 设三条中线的长分别为其中分别为中点。延长至使在与中， 由SAS得所以 在中，对三条中线分别写出并相加，得故 现证明中线交点比例。先令两条中线交于其中分别为中点。记中点给中线各平分整三角形面积，于是所以 延长交于记以为底，同高面积关系分别给由得再以为底且共用从到的高，得所以即共线，就是第三条中线。又所以同理另外两条中线也为故 在中分别用两边之和大于第三边，得即因此两处三角形的三个顶点均不在同一直线上，端点不能取。 三 填空题 将答案填在横线上。 21. 在线段上，是的中点，是的中点。若则______。 第21题图 答案 而先由两个中点条件确定点序不把误认成的中点。 22. 在中，以为底时，对应的高为______。 第22题图 答案 所以本身就是边上的高，长为 23. 如图，是的中点，是的中点。若的面积为则的面积为______。 第23题图 答案 故在中，以为底，为其中点，故两次均为同高、底边减半。 24. 已知则______。 第24题图 答案 从全等式看，所以对应两角相等。 25. 已知则的周长为______。 第25题图 答案 与对应，故两个全等三角形的周长相等，的周长为 26. 如图，用SSS证明时，除题设两组等边外，第三组条件应写为______。 第26题图 答案 是两三角形的公共边。完整条件为顶点对应顺序为 27. 在与中，已知直接依据这三组条件，可用______判定全等（填SSS、SAS、ASA、AAS或HL）。 第27题图 答案 AAS 已知两组角相等以及其中一个已知角的对应对边相等。不是两已知角的夹边，故直接使用AAS。 28. 点在线段的垂直平分线上，则______。 第28题图 答案 由垂直平分线的性质，得所以所得两距离均为正。 29. 如图，点在内部，于于且若则______。 第29题图 答案 点在角内，且到角两边的垂直距离相等，由角平分线的判定可知平分故整个角为 30. 等腰三角形的顶角比一个底角大则它的顶角为______。 第30题图 答案 设一个底角为另一底角也为顶角为由内角和得所以顶角为 31. 如图，分别在线段内部，若则______。 第31题图 答案 由点序可得所以 32. 两块等腰三角形模板和满足有人认为“底边相等且都为等腰三角形，所以顶角相等”。这两个顶角______相等（填“可能”或“不可能”）。 第32题图 答案 不可能 假设两顶角相等。由等腰三角形性质及内角和，两组底角分别相等。在与中， 由ASA得所以 这与矛盾，因此两顶角不可能相等。两组边长分别为和均符合三角形不等式，模板都能真实作出。 33. 如图，为中点，点在线段内部，则______。 第33题图 答案 由三线合一，在与中， 由SAS得所以 为反向射线，故 34. 两个三角形和全等，但未给出顶点对应顺序。已知按对应顺序应写成______。 第34题图 答案 长度的边对应长度的边对应两组边的公共顶点对应于是对应对应所以正确顺序为三边互不相等，顺序唯一。 35. 在中，点在线段内部运动，若为等腰三角形，则的所有可能值为______。 第35题图 答案 设由在内部，必须而 若则若则所以得若则得超出角内范围，应舍去。 前两个角都严格介于与之间，所作射线均与内部相交，故两种确实存在。 36. 如图，点在的延长线上，过分别作（垂足在相应直线上），且则______。 第36题图 答案 点位于外部，不能直接说平分内角延长至使依次共线，则位于外角内部；点到两边所在直线等距，所以平分该外角。 故又在中得射线相同，故 37. 如图，点在内部，且在的垂直平分线上。已知则______。 第37题图 答案 由两条垂直平分线得点在三角形内部，三条射线绕点一周，故 为等腰三角形，为等腰三角形，因为在内部，所以 38. 如图，中，点在线段内部，于且则______。 第38题图 答案 且所以是点到两边的垂直距离。由距离相等及角内位置，平分故 所以在中，在直角三角形中，角所对的边为斜边的一半，故于是得到 性质的章内补证：延长至使连接在与中， 由SAS得所以 因此为等边三角形， 39. 如图，点在内部，为中点，直线与交于且在线段内部。已知则______。 第39题图 答案 因为又共线，以为底的和具有相等的高，故面积相等。设两者面积均为 于是而与同高，与也同高，故解得所以 所得与在线段内部及小面积包含关系相容。 40. 在中，点满足这样的点______位于三角形内部（填“能”或“不能”）。 第40题图 答案 不能 假设在三角形内部。令则由 点在内部，射线在两侧，三角形内部的但整周角给矛盾。故不能位于内部。 这里不能不检查点位就使用“围点三角之和360度”；正是内部点保证三条射线分出的三个角都小于180度。 四 解答题 写出计算步骤或证明过程。 41. 如图，中，过作垂足在的延长线上。求与 第41题图 答案 因为反向射线，在直角三角形中， 在直角三角形中，所以也可先求再用检验。 42. 给定线段及线段其中（1）用尺规在上方作使保留作图痕迹；（2）若在下方按同样条件作出证明两三角形全等。 第42题解答图 答案 作图及证明见解答。 （1）以为圆心、为半径画弧，以为圆心、为半径画弧，取两弧在上方的交点连接三条线段能够组成三角形。 （2）在与中， 所以（SSS）。 两种位置并不意味着两种不同的形状或大小。 43. 如图，射线平分证明 第43题图 答案 见证明。 在与中， 所以（SAS）。 由全等三角形的对应边相等，得所用等角正好是与的夹角。 44. 如图，为测量一段无法直接接近的距离取线段的中点使共线，且点在直线两侧。测得（1）证明（2）求 第44题图 答案 （1）见证明；（2） （1）为中点，故两条垂线给相交直线给在与中， 所以（ASA）。 （2）由对应边相等， 45. 如图，与的垂直平分线交于点证明点也在的垂直平分线上。 第45题解答图 答案 见证明。 点在的垂直平分线上，所以点在的垂直平分线上，所以因此 根据“到一条线段两个端点距离相等的点，在该线段的垂直平分线上”，点在的垂直平分线上。这里前两步用性质，最后一步用判定，方向不同。 46. 如图，点在内部，分别在射线上，且小明直接据此断言平分（1）说明这一步遗漏了什么条件；（2）补上后，用全等证明平分 第46题图 答案 （1）等长线段须是到角两边的垂线段；（2）见证明。 （1）若不是垂线段，其长度不代表点到角两边的距离；只说两条连线等长，不足以使用角平分线判定。 （2）在直角三角形与中， 所以（HL）。 于是由于在所讨论角内部，所以平分 47. 如图，于在线段内部。请不直接引用“三线合一”，证明并证明平分 第47题图 答案 见证明。 在直角三角形与中， 所以（HL）。 由对应边、对应角相等，得到因此既是底边上的中线，也是顶角平分线。 48. 如图，（1）求（2）证明是等边三角形。 第48题图 答案 （1）均为（2）见证明。 （1）所以它们所对的由内角和， （2）由等角对等边得再结合三边相等，因此是等边三角形。 49. 如图，点在线段内部，（1）证明是的中线；（2）若求 第49题解答图 答案 （1）见证明；（2） （1）过作于两个三角形以为底时有相同的正高所以得到故为中点，是中线。 （2）等面积只在这里结合“同高、底在同一直线上”才能推出底相等，不能直接推出三角形全等。 50. 用长的细铁丝围成一个等腰三角形，接头忽略不计，底边比腰短求三边长，并检验这些长度能否真正围成三角形。 第50题图 答案 腰长均为底边长 设腰长为则底边为由周长得所以底边为 三条长度均为正，且较短两边之和因此能围成三角形。两腰相等，周长也符合底边比腰短的条件。 51. 如图，延长至延长至使（1）证明（2）若求 第51题图 答案 （1）见证明；（2） （1）由其相邻外角也相等，即在与中， 所以（SAS），得到及 （2）按点序射线从到依次经过所以故 52. 如图，点在直线两侧，（1）小明写“”。这个对应顺序是否一定正确？请写出题设能够保证的全等式并证明；（2）证明 第52题图 答案 （1）小明的顺序不一定正确；题设能保证（2）见证明。 （1）小明的顺序不一定正确，因为题设没有保证特殊情况下它也可能成立，不能说永远错误。在与中， 所以（SSS）。 （2）由正确对应关系，这两角是直线被所截的一对内错角；又在两侧，与图示角位相符，故本题无需引用任何特殊四边形性质。 53. 已知线段与经过的直线既不与重合，也不垂直于（1）用尺规在上作点使保留作图痕迹；（2）证明这样的点只有一个；（3）若把改为过且垂直于的直线，还能否找到这样的点？说明理由。 第53题解答图 答案 （1）垂直平分线与的交点；（2）唯一；（3）不能。 解答图 （1）作的垂直平分线把直线的交点记为则因为不垂直于而两线不平行，存在交点。 （2）任意符合的点都必须在上，又必须在上，故只能是两直线的唯一交点。 （3）改后的与都垂直于且它们分别经过端点和中点不重合，故平行而无交点。不存在同时在两条线上的等距点。 54. 如图，延长至使点在线段内部，若求的面积。 第54题图 答案 以为公共底，和的高分别来自共线点更直接地，以为底，与同高；同样与同高。因 相减得因此已知面积差就是 以为底，同高关系给所以 55. 如图，点在内部。（1）证明（2）若点可以取三角形内部及边界上的任意点，求的最大值及此时的位置。 第55题解答图 答案 （1）见证明；（2）最大值为仅在时取到。 （1）延长交于内部点保证依次排列，且在内部。在中，所以 在中，因此两次使用三边关系时，三个顶点都不在同一直线上，所以都是严格不等式。 （2）内部点已证明严格小于。若在线段上，若在内部或由（在时仍为三角形的三边关系），有在上且时同理。 当时，故最大值为且仅在时取得。 56. 如图，在线段内部，分别在线段内部，且（1）用表示（2）若既平分又平分证明并证明为中点。 第56题图 答案 （1）（2）见证明。 （1）设使使 射线反向，都在的侧，故 （2）因为分别平分两个角，所以由三角形内角和， 而反向、反向，因此相等给出故再由等腰三角形的三线合一，是底边上的中线，即为中点。 57. 如图，点分别在线段内部，与交于（1）求（2）点在线段内部，证明在同一直线上。 第57题解答图 答案 （1）（2）见证明。 （1）记因以共线的为底，与同高，与也同高，所以 同理，由以及共线，可得取则因此 （2）延长交于点在三角形内部，故在线段内部。以为底时，与同高，与也同高，所以因此最后一步是共用从到的高。 由（1），在线段内部按分成两段的点只有一个，又所以故共线。 58. 如图，纸片中，沿折叠，使点落在射线上的点处，在线段内部。（1）证明在的延长线上，而不在线段上；（2）求（3）证明 第58题图 答案 （1）见证明；（2）（3）见证明。 折叠保持长度、角和面积，故 （1）若会有与矛盾。若在线段内部，反向，故而两个内角和已大于不可能。又所以因此只能依次共线。 （2）故 （3）因在线段内部，结合折叠等面积， 59. 已知线段的垂直平分线为点不与重合，点在直线上运动。（1）若在同侧，求的最小值及此时的位置；（2）若在同侧，求的最小值及此时的位置；（3）若在上，求的最小值及此时的位置。 第59题解答图 答案 （1）为与线段的交点；（2）为与线段的交点；（3） （1）点在垂直平分线上，所以等号在且仅在在线段上时成立。因为与在两侧，线段恰与交于一点，故下界能取到，最小值为 （2）直接用两点之间线段最短，此时在两侧，线段与的唯一交点能取到等号，所以最小值为不能继续把当可达下界，因为线段与无交点。 （3）取时等号成立，故最小值为当时，线段除端点之外都在一侧，不能再有其他取等位置。 60. 在内部有一点且平分（1）仅凭这些条件，能否断定为等边三角形？若不能，构造一个满足全部条件的非等边三角形，并写出必要角度验证；（2）若再补充平分证明为等边三角形。 第60题解答图 答案 （1）不能，可构造内角的等腰三角形；（2）见证明。 （1）作的等腰三角形。作顶角平分线，在内部作射线使两射线交于 此时所以在与中， 由SAS得所以 射线在两顶角内部相交，且确在三角形内部。三内角不全为所以三角形不是等边三角形。 （2）由两条角平分线给所以 由得由得又分别为角平分线，所以因此结合三角相等，均为所以三角形等边。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第1章三角形期中复习专题讲义 2026一2027学年第一学期苏科版八年级上册教师详解版 先复习定义与使用条件，再完成60题。遇到图形不要默认等长、垂直或中点；先从题设和已证结 论找依据。提升题仍只用本章的角、全等、两种平分线、等腰及基本面积方法。 一知识与例题 1线段和角的先备知识 直线向两端无限延伸，没有端点；射线有一个端点，向一个方向无限延伸；线段有两个端点，长度 有限。写射线AB时，A是端点，射线AB与射线BA不是同一条射线。写线段AB与BA则表示同一条 线段。 有公共端点的两条射线组成的图形叫角，公共端点叫顶点，两条射线叫角的边。∠BAC的顶点是中 间字母A,两边是射线AB,AC;同一顶点处有多个角时，不宜只写∠A。 直线AB 射线AB 线段AB A B A B 点M在线段AB上且AM=MB时，M叫线段AB的中点，所以AM=MBAB。只有长度相等而没 有在线段上的位置条件，不能把任意点称为中点。 两点之间线段最短：从A经不在直线AB上的点P到B,有AP+PB>AB。点到直线的距离是垂线段 的长度；从直线外一点连到直线上各点的线段中，垂线段最短，其他斜线段都更长。点在直线上 时，距离为0。 点到直线的距离 线段中点 M AM=MB=号AB H Q PH<PQ 两个角的和为90时，它们互余；和为180°时，它们互补。同角或等角的余角相等，同角或等角的补 角相等。互补只描述和，不要求两个角挨在一起。 两角有公共顶点和一条公共边，另外两边互为反向射线时，这两个角互为邻补角，和为180°。两条 直线相交形成的对顶角相等；仅有角相等，不能反过来断定它们是对顶角。 第1页共63页 B a B a D 对顶角相等：邻补角：Q+B=180° 从角的顶点出发、位于角内部并把角分成两个相等角的射线，叫角平分线。若AP平分∠BAC,则 ∠BAP=∠mC=3∠BAC. 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补；反过来，满足其中相应 角关系时可判定两直线平行。两条直线若都垂直于同一条直线，则它们平行（两线不重合时）。每 次使用都应指出是哪两条直线和哪一对角。 m I‖m:同位a=Y;内错B=Y 同旁内角：B+6=180° 例题A,O,B依次共线，射线OC在直线AB上方，∠AOC=68°。求∠COB,并判断这两个角是否 只是互补，还是同时为邻补角。 OA,OB为反向射线，两角共用OC,所以两角是邻补角，也互补。∠C0B=180°-68°=112°。 方法先核对角的位置关系，再用角的和。 2三角形与三边关系 三条线段首尾顺次相接，组成的封闭图形叫作三角形。三个顶点不在同一直线上；三边长都为正。 △ABC表示顶点为A,B,C的三角形；边BC,CA,AB分别与∠A,∠B,∠C相对。 第2页共63页 A C 边a、b、c分别与∠A、∠B、∠C相对 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边。已知两边a,b,第三边c必须 满足|a-b<c<a+b。两端都是严格不等号；取等号时三点共线，不再是三角形。 三边关系来自两点之间线段最短：三点不在同一直线上时，AC<AB+BC,换一组端点可得另外两 式。由a<b+c、b<a+c分别移项，得a-b<c、b-a<c,合起来就是a-b<c。 已知三条正长度时，只要检查较短两边的和是否大于最长边即可，其余两条和的不等式自动成立。 若长度来自方程，还要检查正长度、三边关系以及题设中腰和底的身份。 严格大于：可以构成 等号：三点共线 B 2 心 A B C C AC=5,不能组成三角形 4 2+3>4 点在一条线段的内部时可用线段和：A,D,B依次共线，则AB=AD+DB。点移到延长线上，所求 量可能改成差，不能照抄原图中的加法。 例题两边长为6,10，第三边x为偶数。求x的所有可能值。 4<x<16,因此偶数x为6,8,10,12,14。x=4或16时，三个顶点在同一直线上，不能组成三角形，所 以不能取。 方法先写严格区间，再按整数或奇偶要求筛选。 3三角形中的角与三条重要线段 三个内角都小于90的三角形叫锐角三角形；有一个角为90的叫直角三角形；有一个角大于90的叫 钝角三角形。直角三角形中，直角所对的边叫斜边，夹着直角的两条边叫直角边。 三角形内角和为180°。三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫外角；一个外角等于与它不相邻 的两个内角之和，因此大于这两个不相邻内角中的任意一个。外角与相邻内角互补。 内角和的证明：过A作直线XY∥BC,使射线AX与CB同向、射线AY与BC同向。由内错角相等， ∠XAB=∠ABC、∠CAY=∠ACB,这两角与∠BAC恰好拼成平角，所以三个内角的和为180°。 第3页共63页 A X Y Q C XY‖BC=a+B+Y=180 例如BC延长至D,则∠ACD=∠BAC+∠ABC。依据是∠ACB+∠ACD=180°，而 ∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°，减去公共角即可。 45° 110 65° 70°7 B C LACD=LA+∠B=110° 从顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫三角形的高。关键词是“对边所在直线”： 锐角三角形三条高在内部，直角三角形两条直角边本身就是高，钝角三角形有两条高的垂足在边的 延长线上。 第4页共63页 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 A D H3-B B H 虚线表示高（或对边的延长部分）；直角边本身也可作高 连接一个顶点与对边中点的线段叫中线。中线给出的是底边两段相等，不自动给垂直或分角相等。 三角形一个内角的平分线与其对边相交，顶点到交点的线段叫三角形的角平分线。它给出两角相 等，不自动给两段底边相等。一般三角形的高、中线、角平分线不重合。 高 中线 角平分线 M AD⊥BC BM=MC LBAE=LEAC 若AH是BC边上的高，则S概号BCA,即底乘对应高再除以2。同一顶点、底边在同一直线上 的两个三角形同高，面积比等于底边比；中线因此平分三角形面积。反过来，只有确认同高后，才 能从等面积推出底边相等。 S1 52 B M BM=MC→ S1=S2 第5页共63页 例题D在BC内部，BD:DC=2:3,△ABC面积为35。求△ABD面积。 A 14 21 B D 2份 3份 同高：56AD=Z子3×35=14 2 两三角形共用从A到直线BC的高，S40:SaAD=2:3。故54mF2十3×35=14。 方法指出共同的高，再把底比转成面积比；不假设两小三角形全等。 4全等三角形的含义与对应顺序 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。全等既要求形状相同，也要求大小相同；平移、转动或 翻转后的放置方向不同，不影响全等。 △ABC兰△DEF中的书写顺序指定A+D、B+E、C+F。对应边为AB=DE、BC=EF、 AC=DF,对应角为∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F。 找对应关系时，可先找独特的顶点，例如直角顶点、两条已知对应边的公共端点，再写完整顺序。 即使两三角形共用字母，也必须按位置配对，不能看到相同字母就认定相同对应。 △ABC △DEF D B A+D,BeE,CeF 全等三角形周长相等、面积相等。但是周长相等、面积相等甚至三个角分别相等，都不能单独反推 出全等。全等的性质用于已经证明全等之后；全等的判定用于证明全等之前。 第6页共63页 例题已知△ABC兰△BDE。写出与AC及∠ABC对应的边和角。 E 6 △ABC≡△BDE:ACBE,LABC LBDE A:B、BD、C+E,所以AC对应BE,∠ABC对应∠BDE。 方法先逐顶点连对应，再读边和角，不凭图的左右位置。 5全等的五种判定及条件位置 SSS:三边分别相等的两个三角形全等。三条边必须按同一顶点对应顺序配对。 SAS:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。夹角是两条已知边共同端点处的角，不能换成任 意一个角。 SAS:两边及其夹角 对应条件位置相同 A D Q B E AB=DE,AC=DF,LBAC=LEDF ASA：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。夹边的两个端点就是这两个角的顶点。 AAS:两角及其中一个角的对应对边分别相等的两个三角形全等。已知边不是这两角的夹边，也可 以判定全等，但直接名称为AAS。 第7页共63页 ASA:夹边 AAS:非夹边 A A 已知边 B B 已知边 B 已知∠B、∠C:BC是夹边；AB是∠C的对边 HL：在两个直角三角形中，斜边及一条直角边分别相等，则两三角形全等。使用前须确认两个直 角，不能把一条直角边误写为斜边。 HL 先确认两个直角 E D x为斜边，y为一条直角边 LC=LF=90°，AB=DE,AC=DF AAA不判全等，因为角相同仍可大小不同；SSA一般不判全等，因为给定两边及其中一边的对角 时可能出现两种不同位置。不要仅按“共有三组条件”来判断。 B J25 A 0 C AB公共，BC=BD,∠BAC=LBAD 但△ABC与△ABD不全等(SSA不充分) 公共边、公共角、对顶角、平行线得到的角，以及等量相加或相减得到的整段，是常见的第三条 件。证明时必须写出，不能用“从图可知”替代 第8页共63页 例题AB=AC,AD平分∠BAC,点D在线段BC内部。为什么可判△ABD兰△ACD? 0 AB=AC,LBAD=LCAD,AD=AD △ABD=△ACD(SAS) 在△ABD与△ACD中， AB=AC ∠BAD=∠CAD AD=AD 所以△ABD兰△ACD(SAS)。 三组条件按相同顶点顺序排列；∠BAD正是AB,AD的夹角。 方法先说在哪两个三角形中，再用大括号列三条件，接判据，最后取所需对应结论。 6线段垂直平分线的定义性质与判定 经过一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫线段的垂直平分线。它是一条直线，“中 点”和“垂直”缺一不可。 性质：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端点的距离相等。设1为AB的垂直平分线，直线与线 段AB交于M,点P在I上。若P=M,则PA=PB=AM)若P≠M,才连接PA,PB并使用PM LAB。 在△PAM与△PBM中， AM=BM ∠PMA=∠PMB=90 PM=PM 由SAS得全等，所以PA=PB。 第9页共63页 A M B 判定：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。若PA=PB,取AB中点M, 当P不在直线AB上时，在△PAM与△PBM中， PA=PB AM=BM PM=PM 由SSS得△PAM兰△PBM,所以∠PMA=∠PMB。 两角又互补，因此各为90°，PM⊥AB。若P在直线AB上且PA=PB,则P=M,也在垂直平分线 上。 A M 应用时先区分“点到两个端点等距”与“点到两条直线等距”。前者使用垂直平分线；后者需要垂线段 并联系角平分线。 第10页共63页 例题点P在AB的垂直平分线上，点Q在直线AB外，且QA=QB。若P≠Q,能否确定直线PQ? i P M A B Q P按已知在垂直平分线上；Q由判定也在同一条垂直平分线上。两不同点确定一条直线，因此直线 PQ就是AB的垂直平分线。 方法性质把位置转为等长，判定把等长转回位置；使用两点定直线前要有两点不同。 7角平分线与到两边的距离 从角的顶点出发，把角分成两个相等角的射线，叫这个角的平分线。本讲所说的角满足 0°<∠BAC<180°。 点到直线的距离是垂线段的长度。垂足可能在边的延长线上；任意一条连到边上某点的线段，不一 定是距离。 性质：角平分线上的点，到角两边所在直线的距离相等。若点P就是顶点A,两距离都为0。下面设 P≠A,射线AP为角平分线；作PE⊥直线AB于E,PF⊥直线AC于F。因两个半角都小于90°，垂 足E,F分别在射线AB,AC上。在△AEP与△AFP中， ∠AEP=∠AFP=90 ∠EAP=∠FAP AP=AP 由AAS得全等，所以PE=PF。 第11页共63页 E B 判定：在一个角内部，到这个角两边所在直线距离相等的点，在这个角的平分线上。设P在∠BAC 内部，垂足E,F分别在直线AB,AC上，且PE=PF。先检查垂足所在方向，再证明分角相等。 设C=∠BAP、B=∠PAC,则a+B=∠BAC<180°。若E=A,则PA已是到直线AB的垂线段；对 另一条直线AC,A不可能同时也是垂足，否则AB,AC会是同一条垂线。因此由垂线段最短， PF<PA=PE,矛盾。F=A同理不可能。 两个垂足不可能同时在相应射线的反向延长线上，否则α，B均大于90°。若恰有一个在反向延长线 上，例如E在射线AB的反向延长线上，则F在射线AC上。在直角三角形AEP,AFP中，斜边AP公 共、PE=PF,由HL得全等，所以180°-a=B,与α+B<180矛盾。另一种反向情况同理。 E B A 因此两个垂足都在原角的两条射线上。在直角三角形AEP,AFP中， AP=AP PE=PF ∠AEP=∠AFP=90° 由HL得全等，故∠BAP=∠PAC,AP平分∠BAC。 “角内部”不能删去。点若在原角外部而到两边所在直线等距，可能在某个相邻外角的平分线上；应 先确定点处在哪个角内，再使用判定。 一个内角与其相邻外角互补，二者平分线所成的相邻角为2×180=90，所以两条平分线互相垂 直。这里的“相邻”决定正确的射线位置。 第12页共63页 Q 0 X B 例题点P在∠BAC内部，作PE⊥直线AB于E、PF⊥直线AC于F,且PE=PF。能否直接把 PA=PB作为结论？ 不能。题设等距是到两条直线的垂距，正确结论是AP平分∠BAC,不是到顶点或任意边上点的距 离相等。 方法先看等距的对象是端点还是直线，再选对应性质或判定。 8等腰等边三角形与三线合一 有两边相等的三角形叫等腰三角形；相等的两边叫腰，第三边叫底边，两腰的夹角叫顶角。三边都 相等的三角形叫等边三角形，等边三角形也属于等腰三角形。 等腰三角形的性质是等边对等角：AB=AC→∠B=∠C。判定是等角对等边： ∠B=∠C→AB=AC。使用时看清角所对的边，不把顶点旁边的边当作对边。 若AB=AC、M为BC中点，连接AM。在△ABM与△ACM中， AB=AC BM=CM AM=AM 由SSS得两三角形全等，所以∠ABM=∠ACM、∠BAM=∠CAM,且∠AMB=∠AMC。后两 个角是邻补角，和为180°，所以各为90°。 因此，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，称三线合一。要先确认等 腰及正确的顶角、底边，不能套在任意一腰上的中线或高上。 d B M 第13页共63页 等角对等边的证明：若∠B=∠C,作∠BAC的平分线AD交BC于D。在△ABD与△ACD中， ∠BAD=∠CAD ∠ABD=∠ACD AD-AD 由AAS得两三角形全等，因此AB=AC。 A Q D 等边三角形三个内角都是60°。判定可用三边相等，或三个内角相等，或等腰三角形中有一个角为 60°。若只知道一般三角形有一个60角，仍不足以判等边。 A 60° 60 60°/ B C 条件没有说明腰和底，或没有说明某角是顶角还是底角时，要分类。若已明确AB=AC,则∠A就 是顶角，不能再无谓分情况。分类所得数值还要检查内角为正、三角形不等式、点在线段还是延长 线上。 例题一个等腰三角形有一个内角为70°。求三个内角的所有可能组合。 若70°为顶角，底角均为55°，若70为底角，另一个底角也为70°，顶角为40°。故有(70°，55,55)或 40°，70,70)。 方法先分角的身份，再用内角和；不要把两种都成立误当成唯一答案。 9含30度角的直角三角形 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。下面用全等与等边三角形证明这一性质。 第14页共63页 设∠ACB=90°、∠BAC=30°。延长BC至D,使CD=BC,连接AD。在△ACB与△ACD中， AC=AC ∠ACB=∠ACD=90 BC=CD 由SAS得两三角形全等，因此AB=AD、∠CAD=30°。 于是∠BAD=60°，△ABD为有一个60角的等腰三角形，所以它是等边三角形。故 AB=BD=2BC,即BC=AB。 A 30° & C 使用时必须同时有直角和30°角，并认清“所对的直角边”。不是任意一个角为30的三角形都能用半 斜边关系。 例题在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=14。求BC。 AB是斜边，BC是30角所对的直角边，故BC=AB=7。 方法先标直角和30度所对边，再使用结论；不计算另一条直角边。 10基本尺规作图及其依据 尺规作图使用无刻度直尺和圆规；不能用量角器或尺上刻度代替作图。保留必要弧线和交点，画出 的辅助弧不是装饰，它们记录等长条件。 作线段AB的垂直平分线：分别以A,B为圆心、同一大于AB的长为半径作弧，交于两点P,Q,作 直线PQ。两交点均满足到A,B等距，故都在垂直平分线上，PQ就是所求直线。 第15页共63页 A B 作角平分线：以顶点A为圆心作弧，与两边交于E,F,再分别以E,F为圆心、相同适当长为半径在 角内作弧交于P,作射线AP。在△AEP与△AFP中， AE=AF EP=FP AP=AP 由SSS得两三角形全等，故∠EAP=∠FAP,AP是角平分线。 C F P A 6 第16页共63页 作一个角等于已知角：设已知角的顶点为O。以O为圆心、适当长r为半径作弧，交两边于M,N。 另作射线OX,以O为圆心、同样的r为半径作弧，交初始射线于M。再以M为圆心、MN为半径 作弧，与前一条弧交于所需一侧的N;作射线ON。在△OMN与△OMN中， OM-O M ON=ON MN-MN 由SSS得两三角形全等，所以所作角∠MO'N等于已知角∠MON。 已知角 所作角 B Y N X M M 已知三边作三角形：先作其中一条边，再以两个端点为圆心、其余两边为半径作弧取交点。需要先 检查三边关系；交点在底边两侧时得到的两三角形由SSS全等。 C 4 B 6 例题作AB的垂直平分线时，为什么两次画弧必须使用相同半径？ 这样才能使同一交点P满足PA=PB,另一个交点Q满足QA=QB,从而两点都在同一条垂直平分线 上。两次半径若不同，不能得到这个等距条件。 方法把每一步作图痕迹翻译成等长条件，再说明判定依据。 11常用辅助线与面积关系 所求是分散线段的和或差，先根据点序把它们集中在同一条直线上，再寻找全等转移。不能为了“像 某个模型”而任意延长线段。 第17页共63页 出现中线时，倍长中线常把两条已知边集中到一个新三角形中。设M为BC中点，延长AM至E使 ME=AM。在△AMB与△EMC中， AM=ME ∠AMB=∠EMC BM=CM 由SAS得两三角形全等，得到CE=AB。于是可在△ACE中使用三边关系。 A B C M E 面积题先说清底和对应高，再找等面积的两块；处理面积差时可尝试消去公共部分。面积比本身不 等于边比，只有同高或同底等前提成立后，才作相应转换。 等腰存在性问题先写三种等边身份，如AB=AP、AB=BP、AP=BP,再检查点是否在规定位置、 三个顶点是否共线、各角是否为正；最后合并重复位置。给一个代数或角度答案还不够，须说明它 能在规定图形中实现。 面积相减的例子：D为AB中点、E为BC中点，CD与AE交于P。SAACD=S4AcE,两边减去共同的 SAACP,得到SAADP=S4cEP。重点是先指出两大三角形和真正的公共部分。 B 第18页共63页 例题在△ABC中，M是BC中点。说明为什么2AM<AB+AC。 按前面的倍长中线图倍长AM得AE=2AM,由SAS得CE=AB。在三个顶点不在同一直线上的 ∠ACE中，AE<AC+CE,所以2AM<AC+AB。 方法倍长不是目标；目标是把原来分散的AB、AC与2AM放进同一个三角形。 12用全等证明斜边中点性质 在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D为斜边BC的中点。下面证明AD=BD=CD,不把这个结论 预先当作已知。 延长AD至E,使DE=AD,连接CE。在△ADB与∠EDC中， AD=DE ∠ADB=∠EDC BD=CD 由SAS得△ADB兰△EDC,所以AB=EC、∠ABD=∠ECD,进而AB∥EC。 因为AB⊥AC,所以EC⊥AC。在ABAC与△ECA中， BA=EC ∠BAC=∠ECA=90 AC=CA 由SAS得△BAC兰△ECA,得到BC=EA。 BC=2BD且EA=2AD,所以AD=BD=CD。整个证明只用了中点定义、全等、平行线角关系和垂 直。 A C D 反过来，若D在BC内部且AD=BD=CD,设∠BAD=X、∠DAC=y。两组等腰三角形给 ∠B=x,∠C=y。由内角和，2(x+y)=180°，所以∠BAC=90°。 例题△ABC中，∠A=90°，D为BC中点，BC=18。求AD。 由刚证明的性质，AD=BD=BC=9。 方法使用前确认直角在A、D是斜边BC的中点，不能换成任意一边的中点。 第19页共63页 二选择题 每题只有一个正确选项。 1.如图，在△ABC中，点D在CB的延长线上，AD⊥BC。下列说法正确的是（)。 A D 第1题图 A,AD不是△ABC的高 B.AD是BC边上的高 C.BD是AC边上的高 D.AC是BC边上的高 答案B 高是从顶点向对边所在直线所作的垂线段。虽然垂足D不在线段BC内，AD仍是AABC中BC边 上的高。 2.三角形的一边长为9，另两边长的和为14。另两边长的差可能是（)。 A.14 B.10 C.8 D.9 答案C 由三角形两边之差小于第三边，另两边长的差必须小于9。四个选项中只有8满足。它确能实 现：另两边可为11与3，此时11+3>9且9+3>11。 第20页共63页 3.如图，点D在线段BC内部，AD是△ABC的一条中线。仅由这一条件，必能得到的是 （）。 A D 第3题图 A.AD⊥BC B.∠BAD=∠CAD C.AB=AC D.BD=DC 答案D 中线连接顶点与对边中点，故BD=DC。一般三角形的中线不一定垂直于对边、不一定平分顶 角，也不一定使另外两边相等。 4.如图，BC延长至D。以下不需要增加其他条件就成立的是()。 A B 第4题图 A.∠ACD>∠BAC B.∠ACD=∠ACB C.∠ACD>∠BAC+∠ABC D.∠ACD<∠ABC 答案A 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，因此∠ACD=∠BAC+∠ABC,两个内角 均为正，所以∠ACD>∠BAC。外角与相邻内角互补，不一定大小相等。 第21页共63页 5,已知△ABC三△CDA。下列对应关系正确的是()。 D C B 第5题图 A.AB对应DA B.BC对应DA C.∠ABC对应∠CAD D.AC对应CD 答案B 按全等式的顺序，AC、BD、C+A。因此BC对应DA,∠BAC对应∠DCA。 6.下列判断正确的是（）。 A.周长相等的两个三角形一定全等 B.面积相等的两个三角形一定全等 C.全等三角形的周长和面积分别相等 D.三个角分别相等的两个三角形一定全等 答案C 全等三角形能够完全重合，因此面积和周长分别相等。仅有周长相等或面积相等，不能保证形 状和大小都相同；三个角分别相等也不能保证大小相同。 第22页共63页 7.在△ABC与△DEF中，∠B=∠E,∠C=∠F。若要求直接使用ASA判定全等，还应有 （)。 A D ∠B C B 第7题图 A.AB=DE B.AC=DF C.∠A=∠D D.BC=EF 答案D ASA要求两角及其夹边分别相等。∠B,∠C的夹边为BC,∠E,∠F的夹边为EF,因此需要 BC=EF。 8.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°。要用HL证明两三角形全等，下列条件组合可 用的是（)。 D 第8题图 A.AB=DE,AC=DF B.AC=DF,BC=EF C.AB=DE D.AB=DF,AC=DE 答案A 两三角形的斜边分别是AB,DE。A提供一组斜边相等和一组直角边相等，满足HL。B只有两直 角边，虽然可用SAS,但不是HL；C只有斜边；D要求斜边分别等于对方直角边，由AB>AC 与DE>DF会同时得到DF>DE和DE>DF,条件本身矛盾。 第23页共63页 9.直线经过线段AB的中点M。下列哪项条件与已知条件合用，能保证l是AB的垂直平分线 （)? M B 第9题图 A.MA=MB B.点A不在I上 C.l⊥AB D.l与AB相交 答案C 线段的垂直平分线既要经过中点，又要垂直于该线段，二者缺一不可。 10.在△ABC中，∠A=50°，∠B=80°。下列结论正确的是（)。 50° 80° B C 第10题图 A.AB=AC B.AB=BC C.AC=BC D.AB=AC=BC 答案B ∠C=180°-50°-80°=50°。由等角对等边，∠A=∠C所对的边分别为BC,AB,所以AB=BC。 第24页共63页 11.在△ABC中，∠B=2∠A。AD平分∠BAC,D在BC上，且∠ADC=105°。则∠C为 ()。 A 105° B D C 第11题图 A.54 B.63 C.75 D.84 答案A 设∠A=2x,则∠BAD=x,∠B=4X。∠ADC是△ABD的外角，故5x=105°，得x=21°。所以 ∠C=180°-2x-4x=54°。 第25页共63页 12.如图，A,B,C,D依次在同一直线上，AB=CD,EA=FD,∠EAC=∠FDB。若EC=7, FB=2x+1,则x为()。 E ◇ C 0 第12题图 A.2 B C.3 D.4 答案C 由点序与AB=CD,得AC=AB+BC=CD+BC=DB。在△EAC与△FDB中， EA=FD ∠EAC=∠FDB AC=DB 由SAS得△EAC兰△FDB,所以EC=FB。 于是2x+1=7,解得x=3。 13.如图，在△ABC中，∠BAC=65°，∠ABC=55°。AB的垂直平分线与线段BC交于P。则 ∠PAC为()。 A 65 55° B P 第13题图 A.5 B.10 C.15 D.20 答案B 点P在AB的垂直平分线上，所以PA=PB。由等边对等角，∠PAB=∠PBA=55°。因P在线段BC 上，射线AP在顶角内，故∠PAC=65°-55=10°。 第26页共63页 14.如图，AB=AC,D在线段BC内部，∠BAD=20°，∠DAC=40°。下列结论正确的是 （）。 A 40° 20° ◇ D C 第14题图 A.BD=DC B.AD⊥BC C.∠ADB=80 D.∠ADC=80 答案D ∠BAC=60°，结合AB=AC得两个底角也为60°，所以△ABC为等边三角形。△ADC中， ∠ADC=180°-40°-60°=80°。因20°≠40°，AD不是顶角平分线，不能推出BD=DC。 第27页共63页 15.如图，M,N分别是AC,AB的中点，BM=CN,两条中线交于G。若AB+AC=18,则AB为 ()。 A N L! M G B C 第15题解答图 A.6 B.8 C.9 D.不能确定 答案C 先从中线定义推导分点比例，不直接引用重心性质。记S4ABc=a,SAACG=b,S4Bcc=C。由 M,N为中点，Sgc=5a0c-9,5c=56-号 中线M平分整三角形面积，故a+名c+号，即a=c,同理由CN得bc.于是a-b心 △BCG和△MCG以共线的BG,GM为底且同高，所以BG:GM=c:(b/2)=2:1。同理 CG:GN=2:1。由BM=CN得BG=CG。 又GM=GN。在△BGN与△CGM中， BG=CG ∠BGN=∠CGM GN=GM 由SAS得△BGN兰△CGM,所以BN=CM。 由于N,M分别为AB,AC中点，AB=2BN=2CM=AC,所以AB=9。 第28页共63页 16.如图，△ABC为等边三角形，D,E分别在线段BC,CA内部，BD=CE,AD与BE交于P。则 ∠APB为（）。 A P B D 第16题图 A.60 B.120 C.90 D.150 答案B 在△ABD与△BCE中， AB=BC ∠ABD=∠BCE=60 BD=CE 由SAS得△ABD兰△BCE,所以∠BAD=∠CBE。 设∠BAD=x,则∠ABP=60°-x,所以∠APB=180°-x-(60°-x)=120°。结果与点D在边上的 具体位置无关。 第29页共63页 17.如图，A,D,C依次在同一射线上，B不在直线AC上，BC=BD,，∠BAC=25°， ∠ACB=35°。小明用“AB=AB、BC=BD、∠BAC=∠BAD”证明△ABC兰△ABD。下列判断正 确的是（）。 B 250 35° A D C 第17题图 A.证明正确，依据SAS B.证明正确，依据AAS C.证明错误，且∠ABD=110 D.证明错误，且∠ABD=10 答案D △BCD为等腰三角形，∠BDC=∠BCD=35°。因DA,DC反向，所以∠BDA=145°。 △ABD中∠ABD=180°-25°-145°=10°。而∠ABC=120°，两三角形并不全等。小明给出的等 角不是两对等边的夹角，属于不能一般判全等的SSA情形。 第30页共63页 18.如图，AB=AC=10。点D在线段BC内部，过D分别作DE∥AC、DF∥AB,与AB,AC交于 E,F。则DE+DF为（)。 A F E B D 第18题解答图 A.10 B.BC C.20-BC D.随点D的位置变化 答案A 连接AD。由两组平行线得∠EAD=∠FDA、∠EDA=∠AD。在△EAD与△FDA中， ∠EAD=∠FDA AD-DA ∠EDA=∠FAD 由ASA得△EAD三△FDA,所以AE=DF。 由AB=AC得∠ABC=∠BCA。又DE∥AC,所以∠BDE=∠BCA=∠EBD,故BE=DE。因此 DE+DF=BE+AE=AB=10。 第31页共63页 19.如图，点P在△ABC内部，直线AP交BC于D。已知S4ABP=6,S4ACP=9,S4BCP=10。则 AP:PD为（)。 A 6 10 B C D 第19题图 A.2:3 B.5:2 C.3:2 D.3:5 答案C 因为A,P,D共线，以AP,PD为底的△ABP,△BDP同高，△ACP,△CDP也同高，故两组面积 比都等于AP:PD。 把两组相应面积相加，得AP:PD=(SAABP+S4AcP:(S4DP+S4cDP)=15:10=3:2。也可先由整三 角形面积25得到AD:PD=5:2,再作线段差。 第32页共63页 20.一个三角形的三条中线的长度之和为12，其周长为p。下列关系一定成立的是（)。 A M G B 第20题解答图 A.p<12 B.12<p<16 C.16<p<24 D.p=16 答案B 设三条中线AD,BM,CN的长分别为ma,mb,m。,其中D,M,N分别为BC,CA,AB中点。延长AD 至T,使DT=AD。在△ADB与ATDC中， AD-DT ∠ADB=∠TDC BD=CD 由SAS得△ADB兰△TDC,所以CT=AB。 在△ACT中，2AD=AT<AC+CT=AC+AB。对三条中线分别写出并相加，得m.+m,+m,<p, 故p>12。 现证明中线交点比例。先令BM,CN两条中线交于G,其中M,N分别为AC,AB中点。记 b S4A=a、S4cG=b、S4BCG=C。中点给S4AMc=S4cMG=?S4G=S4题G=2。中线各平分整三 角形面积，于是a+9c+片b+号c+号，所以a=b=c 2 2 延长AG交BC于H,记e=SARGH,f=SACGH。以AG,GH为底，同高面积关系分别给 a:e=AG:GH=b:f。由a=b得e=f。再以BH,CH为底且共用从G到BC的高，得BH=CH,所以 H=D,即A,G,D共线，AD就是第三条中线。又e=f=c/2=a/2,所以AG:GD=a:e=2:1。同 理另外两条中线也为2：1，故AG=子mBG=号mCC=号m 在△ABG,△BCG,△CAG中分别用两边之和大于第三边，得2(AG+BG+CG)>p,即 专m,+m,+m,>p。因此p<16。两处三角形的三个顶点均不在同一直线上，端点不能取。 第33页共63页 三填空题 将答案填在横线上。 21.在线段AB上，M是AB的中点，N是AM的中点。若AB=12,则MN=一。 12 A N M B 第21题图 答案3 AM=AB=6,而MN=AM=3。先由两个中点条件确定点序A,N,M,B,不把N误认成MB的 中点。 22.在△ABC中，∠A=35,∠B=55°，AC=7。以BC为底时，对应的高为。 A 35° 7 55° B C 第22题图 答案7 ∠C=180°-35°-55=90°，所以AC⊥BC,AC本身就是BC边上的高，长为7。 第34页共63页 23.如图，D是BC的中点，E是AD的中点。若△ABC的面积为40，则ABDE的面积为 A E B 0 C 第23题图 答案10 2 SaAnC=20。在ABAD中，以AD为底，E为其中点，故 BD=DC,故SAABD S。。00-10。丙次均为同高、底边减半。 24.已知△ABC兰△EFD,∠ACB=72°。则∠EDF=。 72° B 第24题图 答案72 从全等式看，AE、B“F、C~D,所以∠ACB对应∠EDF,两角相等。 第35页共63页 25.△ABC三ADEF。已知AB=5,BC=7,DF=8,则△DEF的周长为 A 8 D 第25题图 答案20 AC与DF对应，故AC=8。两个全等三角形的周长相等，△DEF的周长为5+7+8=20。 26.如图，AB=AD,BC=DC。用SSS证明△ABC兰△ADC时，除题设两组等边外，第三组 条件应写为一。 B D 第26题图 答案AC=AC AC是两三角形的公共边。完整条件为AB=AD、BC=DC、AC=AC,顶点对应顺序为A~A、 B+D、C+C。 第36页共63页 27.在△ABC与△DEF中，已知∠A=∠D、∠B=∠E、BC=EF。直接依据这三组条件，可 用判定全等（填SSS、SAS、ASA、AAS或HL)。 0 A B 第27题图 答案AAS 已知两组角相等以及其中一个已知角的对应对边相等。BC,EF不是两已知角的夹边，故直接使 用AAS。 28.点P在线段AB的垂直平分线上，PA=x+4,PB=3x-2。则PA=一。 A M 公 第28题图 答案7 由垂直平分线的性质，x+4=3x-2,得x=3,所以PA=7。所得两距离均为正。 第37页共63页 29.如图，点P在∠BAC内部，PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,且PE=PF。若∠BAP=28°，则 ∠BAC=-。 C F 28° A E B 第29题图 答案56 点P在角内，且到角两边的垂直距离相等，由角平分线的判定可知AP平分∠BAC,故整个角为 2×28=56。 30.等腰三角形的顶角比一个底角大30°。则它的顶角为一。 B C 第30题图 答案80 设一个底角为x,另一底角也为x,顶角为x+30°。由内角和得3x+30°=180°，所以x=50°，顶角 为80。 第38页共63页 31.如图，D,E分别在线段AB,AC内部，AD=AE,DB=EC。若∠B=72°，则∠A=一。 A D E 72° B C 第31题图 答案36 由点序可得AB=AD+DB=AE+EC=AC。所以∠C=∠B=72°，∠A=180°-72°-72=36。 第39页共63页 32.两块等腰三角形模板OAB和PCD满足OA=OB=3,PC=PD=5,AB=CD=4。有人认为“底 边相等且都为等腰三角形，所以顶角相等”。这两个顶角相等（填“可能”或“不可能”）。 0 6 D 第32题图 答案不可能 假设两顶角相等。由等腰三角形性质及内角和，两组底角分别相等。在△OAB与△PCD中， ∠OAB=∠PCD AB=CD ∠OBA=∠PDC 由ASA得△OAB兰△PCD,所以OA=PC。 这与3≠5矛盾，因此两顶角不可能相等。两组边长分别为3,3,4和5,5,4，均符合三角形不等式， 模板都能真实作出。 第40页共63页 33.如图，AB=AC,D为BC中点，点E在线段AD内部，∠BED=70°。则∠AEC=一。 A 70° B D 第33题图 答案110 由三线合一，AD⊥BC。在ABDE与△CDE中， BD=CD ∠BDE=∠CDE=90 DE=DE 由SAS得△BDE兰△CDE,所以∠DEC=∠DEB=70°。 EA,ED为反向射线，故∠AEC=180°-70°=110°。 34.两个三角形ABC和DEF全等，但未给出顶点对应顺序。已知AB=4,BC=6,AC=7, DE=7,EF=4。按对应顺序应写成AABC兰△一。 D A 7 4 B 6 E 第34题图 答案EFD 长度7的边AC对应DE,长度4的边AB对应EF。两组边的公共顶点A对应E,于是B对应F、C对 应D,所以正确顺序为EFD。三边互不相等，顺序唯一。 第41页共63页 35.在△ABC中，∠A=80°，∠B=40°。点D在线段BC内部运动，若△ABD为等腰三角形，则 ∠BAD的所有可能值为一。 A 80° 400 D 第35题图 答案40°，70 设∠BAD=X。由D在BC内部，必须0°<X<80°，而∠ABD=40°。 若AD=BD,则x=40°，若AB=BD,则∠BAD=∠ADB,所以2x+40°=180°，得x=70°，若 AB=AD,则∠ABD=∠ADB=40°，得x=100°，超出角内范围，应舍去。 前两个角都严格介于0°与80°之间，所作射线均与BC内部相交，故两种确实存在。 第42页共63页 36.如图，∠A=40°，∠B=60°。点P在AB的延长线上，过P分别作PE⊥AC、PF⊥BC(垂足 在相应直线上)，且PE=PF。则∠APC=。 A B C E 第36题图 答案10 ∠C=80°。点P位于∠ACB外部，不能直接说CP平分内角ACB。延长AC至H,使A,C,H依次 共线，则P位于外角∠HCB内部；点P到两边所在直线等距，所以CP平分该外角。 ∠HCB=100°，故∠BCP=50°。又∠CBP=180°-60°=120°，在△BCP中得∠BPC=10°。射线 PA,PB相同，故∠APC=10。 第43页共63页 37.如图，点P在△ABC内部，且在AB、BC的垂直平分线上。已知∠APB=110°， ∠BPC=130°。则∠BAC=一。 第37题图 答案65 由两条垂直平分线得A=PB=PC。点P在三角形内部，三条射线绕点一周，故 ∠CPA=360°-110°-130°=120°。 △APB为等腰三角形，∠PAB=35°，△APC为等腰三角形，∠PAC=30°。因为AP在∠BAC内 部，所以∠BAC=35°+30°=65°。 38.如图，△ABC中，∠A=90°，∠C=60°，AB=15。点D在线段AB内部，DE1BC于E,且 DE=AD。则CD=—O E D B AB=15 第38题图 答案10 DA⊥AC且DE⊥BC,所以DA,DE是点D到∠ACB两边的垂直距离。由距离相等及角内位置， CD平分∠ACB,故∠ACD=∠DCB=30°。 ∠B=30°，所以在△BCD中，BD=CD。在直角三角形ACD中，30°角所对的边为斜边的一半， 故CD=2AD。于是15=AB=AD+BD=3AD,得到AD=5、CD=10。 第44页共63页 30性质的章内补证：延长DA至T,使AT=AD,连接CT。在△CAD与△CAT中， CA=CA ∠CAD=∠CAT=90 AD=AT 由SAS得△CAD兰△CAT,所以CD=CT,∠ACT=∠ACD=30。 因此∠DCT=60°，△CDT为等边三角形，CD=DT=2AD. 39.如图，点P在△ABC内部，M为BC中点，直线MP与AB交于D,且D在线段AB内部。已知 SAAP=4,S4AcP=5,S4BCP=6。则AD:DB=一。 A P B M C 第39题图 答案1：6 因为BM=CM,SABPM=S4cPM·又D,P,M共线，以DP为底的△BDP和△CDP具有相等的高， 故面积相等。设两者面积均为X。 于是S4DBc=X+6+X=2X+6,而SAABC=4+5+6=15。△DBP与△ABP同高，△DBC与△ABC也 同高。故DB:AB=X:4=2x+6):15。解得x=2头，DB:AB=6:7。所以AD:DB=1:6。 所得DB<AB,X<4,与D在线段AB内部及小面积包含关系相容。 第45页共63页 40.在△ABC中，∠BAC=100°。点P满足PA=PB=PC。这样的点P位于三角形内部 (填“能”或“不能")。 A 100° 第40题图 答案不能 假设P在三角形内部。令∠PAB=X,∠PAC=y,则x+y=100。由PA=PB=PC, ∠APB=180-2x,∠APC=180-2y。 点P在内部，射线PB,PC在PA两侧，三角形内部的∠BPC<180°，但整周角给 ∠BPC=360°-(180°-2x)-（180°-2y)=200°，矛盾。故P不能位于内部。 这里不能不检查点位就使用“围点三角之和360度”；正是内部点保证三条射线分出的三个角都 小于180度。 第46页共63页 四解答题 写出计算步骤或证明过程。 41.如图，△ABC中，∠ABC=110°，∠ACB=30°。过A作AD⊥BC,垂足D在CB的延长线 上。求∠BAD与∠CAD。 A 110° 30% D B 第41题图 答案20°，60°。 因BD,BC为反向射线，∠ABD=180°-110°=70°。在直角三角形ABD中， ∠BAD=90°-70°=20°。 在直角三角形ACD中，∠ACD=∠ACB=30°，所以∠CAD=90°-30°=60°。也可先求 ∠BAC=40°，再用∠CAD=∠CAB+∠BAD检验。 第47页共63页 42.给定线段AB及线段a,b,其中AB=6,a=5,b=4。（1)用尺规在AB上方作△ABC,使 AC=a、BC=b,保留作图痕迹；(2）若在AB下方按同样条件作出△ABD,证明两三角形全 等。 B 第42题解答图 答案作图及证明见解答。 (1)以A为圆心、a为半径画孤，以B为圆心、b为半径画弧，取两弧在AB上方的交点C,连接 AC,BC。5+4>6,三条线段能够组成三角形。 (2)在△ABC与△ABD中， AB=AB AC=AD=a BC=BD=b 所以△ABC兰△ABD(SSS)。 两种位置并不意味着两种不同的形状或大小。 第48页共63页 43.如图，AB=AC,射线AD平分∠BAC,D≠A。证明DB=DC。 A D 第43题图 答案见证明。 在△BAD与△CAD中， AB=AC ∠BAD=∠CAD AD=AD 所以△BAD兰△CAD(SAS)。 由全等三角形的对应边相等，得DB=DC。所用等角正好是AB,AD与AC,AD的夹角。 第49页共63页 44.如图，为测量一段无法直接接近的距离AE,取线段AC的中点B;使E,B,F共线，且 AE⊥AC、CF LAC,点E,F在直线AC两侧。测得CF=3.2m。（1)证明△ABE兰△CBF (2)求AE。 E B 3.2m F 第44题图 答案（1)见证明；（2）3.2m。 (1)B为AC中点，故AB=CB。两条垂线给∠BAE=∠BCF=90°，相交直线给 ∠ABE=∠CBF。在△ABE与△CBF中， ∠BAE=∠BCF AB=CB ∠ABE=∠CBF 所以△ABE兰△CBF(ASA)。 (2)由对应边相等，AE=CF=3.2m。 45.如图，AB与AC的垂直平分线交于点P。证明点P也在BC的垂直平分线上。 A B C 第45题解答图 答案见证明。 点P在AB的垂直平分线上，所以PA=PB,点P在AC的垂直平分线上，所以PA=PC。因此 PB=PC。 第50页共63页 根据“到一条线段两个端点距离相等的点，在该线段的垂直平分线上”，点P在BC的垂直平分线 上。这里前两步用性质，最后一步用判定，方向不同。 46.如图，点P在∠BAC内部，E,F分别在射线AB,AC上，且PE=PF。小明直接据此断言AP 平分∠BAC。（1)说明这一步遗漏了什么条件；(2)补上PE LAB、PF LAC后，用全等证 明AP平分∠BAC。 (1)原条件 (2）补充垂直条件 C E B E B 第46题图 答案（1)等长线段须是到角两边的垂线段；(2)见证明。 (1)PE,PF若不是垂线段，其长度不代表点P到角两边的距离；只说两条连线等长，不足以使 用角平分线判定。 (2)在直角三角形AEP与AFP中， AP=AP PE=PF ∠AEP=∠AFP=90 所以Rt△AEP兰Rt△AFP(HL)。 于是∠EAP=∠FAP。由于P在所讨论角内部，所以AP平分∠BAC。 第51页共63页 47.如图，AB=AC,AD LBC于D,D在线段BC内部。请不直接引用“三线合一”，证明 BD=CD,并证明AD平分∠BAC。 A 0 第47题图 答案见证明。 在直角三角形ABD与ACD中， AB=AC AD-AD ∠ADB=∠ADC=90 所以Rt A ABD三Rt△ACD(HL)。 由对应边、对应角相等，得到BD=CD、∠BAD=∠CAD。因此AD既是底边上的中线，也是顶 角平分线。 48.如图，AB=BC,∠A=60°。（1)求∠B,∠C,(2)证明△ABC是等边三角形。 A 60° B C 第48题图 答案(1)均为60°，(2）见证明。 (1)AB=BC,所以它们所对的∠C=∠A=60°。由内角和，∠B=60°。 (2)∠A=∠B,由等角对等边得BC=AC,再结合AB=BC,三边相等，因此△ABC是等边 三角形。 第52页共63页 49.如图，点D在线段BC内部，S4ABD=S4ACD·(1)证明AD是△ABC的中线；(2）若 BC=14,求BD。 B H D 第49题解答图 答案（1)见证明；(2）7。 (1)过A作AH⊥BC于H。两个三角形以BD,DC为底时有相同的正高AH,所以 号BD:AH=DC:AH,得到BD=DC。故D为BC中点，AD是中线 (2)BD=)BC=7。等面积只在这里结合“同高、底在同一直线上”才能推出底相等，不能直接 推出三角形全等。 50.用长24cm的细铁丝围成一个等腰三角形，接头忽略不计，底边比腰短3cm。求三边长， 并检验这些长度能否真正围成三角形。 A X cm X cm B C (x-3)cm 第50题图 答案腰长均为9cm,底边长6cm。 设腰长为xcm,则底边为(x-3)cm。由周长得2x+(x-3)=24,所以x=9,底边为6。 三条长度均为正，且较短两边之和6+9=15>9，因此能围成三角形。两腰相等，周长 9+9+6=24,也符合底边比腰短3的条件。 第53页共63页 51.如图，AB=AC,延长BC至D,延长CB至E,使CD=BE。（1)证明AD=AE,(2)若 ∠BAC=40°，∠EAD=70°，求∠CAD。 为 C D 第51题图 答案（1)见证明；(2)15。 (1)由AB=AC,∠ABC=∠ACB,其相邻外角也相等，即∠ABE=∠ACD。在△ABE与 △ACD中， AB=AC ∠ABE=∠ACD BE=CD 所以△ABE兰△ACD(SAS),得到AE=AD及∠BAE=∠CAD。 (2)按点序E,B,C,D,射线从AE到AD依次经过AB,AC,所以 ∠EAD=∠EAB+∠BAC+∠CAD=2∠CAD+40°。故∠CAD=15。 第54页共63页 52.如图，点C,D在直线AB两侧，AC=BD,BC=AD。(1)小明写“△ABC三△ABD”。这个 对应顺序是否一定正确？请写出题设能够保证的全等式并证明；(2)证明AC∥BD。 C B D 第52题图 答案（1)小明的顺序不一定正确；题设能保证△ABC兰△BAD;(2）见证明。 (1)小明的顺序不一定正确，因为题设没有保证AC=AD、BC=BD,特殊情况下它也可能成 立，不能说永远错误。在△ABC与△BAD中， AB=BA BC=AD AC=BD 所以△ABC兰△BAD(SSS)。 (2)由正确对应关系，∠CAB=∠DBA。这两角是直线AC,BD被AB所截的一对内错角；又 C,D在AB两侧，与图示角位相符，故AC∥BD。本题无需引用任何特殊四边形性质。 第55页共63页 53.已知线段AB与经过A的直线！，1既不与AB重合，也不垂直于AB。（1)用尺规在l上作点 P,使PA=PB,保留作图痕迹；(2)证明这样的点只有一个；(3)若把l改为过A且垂直于 AB的直线，还能否找到这样的点？说明理由。 im.-- R 第53题解答图 答案（1)垂直平分线与1的交点；(2）唯一；(3)不能。 m M B 解答图 (1)作AB的垂直平分线m,把直线l,m的交点记为P。则PA=PB。因为l不垂直于AB而 mLAB,两线不平行，存在交点。 (2）任意符合PA=PB的点都必须在m上，又必须在I上，故只能是两直线的唯一交点。 (3)改后的1与m都垂直于AB,且它们分别经过端点A和中点M,不重合，故平行而无交点。 不存在同时在两条线上的等距点。 第56页共63页 54.如图，延长AB至D,使BD=AB,点E在线段AC内部，AE:EC=1:2。若S4DcE-SARE=8, 求△ABC的面积。 B O 第54题图 答案12。 以CE为公共底，△BCE和△DCE的高分别来自共线点B,D。更直接地，以AB,AD为底， △ABE与△ADE同高；同样△ABC与△ADC同高。因AD=2AB,SAADE=2S4ABE S4ADC=2S4ABC· 相减得S4DCE=SAADC-SAADE=2(S4ABC-S4ABE=2S4BCE。因此已知面积差就是SABCE=8。 以AC为底.CE-号AC,同高关系给S号S·所以S2=8号-12。 2 3 第57页共63页 55.如图，点P在△ABC内部。(1)证明PB+PC<AB+AC;(2）)若点P可以取三角形内部及 边界上的任意点，求PB+PC的最大值及此时P的位置。 A D B 第55题解答图 答案（1)见证明；(2)最大值为AB+AC,仅在P=A时取到。 (1)延长BP交AC于D。内部点保证B,P,D依次排列，且D在AC内部。在△PCD中， PC<PD+DC,所以PB+PC<PB+PD+DC=BD+DC。 在△ABD中，BD<AB+AD,因此PB+PC<AB+AD+DC=AB+AC。两次使用三边关系时，三 个顶点都不在同一直线上，所以都是严格不等式。 (2)内部点已证明严格小于。若P在线段BC上，PB+PC=BC<AB+AC。若P在AB内部或 P=B,由PC<PA+AC(在P=B时仍为三角形ABC的三边关系)，有 PB+PC<PB+PA+AC=AB+AC,P在AC上且P≠A时同理。 当P=A时，PB+PC=AB+AC。故最大值为AB+AC,且仅在P=A时取得。 第58页共63页 56.如图，P在线段BC内部，Q,R分别在线段AB,AC内部，且BQ=BP,CR=CP。(1)用 ∠A表示∠QPR,(2)若AP既平分∠BAC,又平分∠QPR,证明AB=AC,并证明P为BC中 点。 (1)一般位置 (2)两条角平分线 A Q B 第56题图 答案(1)∠QPR=90-∠A;(2)见证明。 ()设∠B=B.∠C=y.B0=BP使∠BPQ=∠BQP=90-号CR=CP使 ∠CPR=∠CRP=90'- 射线PB,PC反向，Q,R都在BC的A侧，故 ∠QPR=180°-∠BPQ-∠CPR=By=90-号 2 <A。 (2)因为AP分别平分两个角，所以∠QAP=∠PAR,∠QPA=∠APR。由三角形内角和， ∠AQP=∠ARP。 而QA,QB反向、RA,RC反向，因此∠AQP=90+号，∠ARP=90+。相等给出B=y,故 AB=AC。再由等腰三角形的三线合一，AP是底边上的中线，BP=PC,即P为中点。 第59页共63页 57.如图，点D,E分别在线段BC,CA内部，BD:DC=2:3,CE:EA=3:4,AD与BE交于P。 （1)求SAABP:S4BCP:S4CAP,(2）点F在线段AB内部，AF:FB=2:1。证明C,P,F在同一直线 上。 A B 0 第57题解答图 答案（1)4：3：6；（2)见证明。 (1)记S4ABP=a,S4BCp=b,S4caP=C。因BD:DC=2:3,S4BDP:S4cDP=2:3。以共线的AP,PD 为底，△ABP与△BDP同高，△ACP与△CDP也同高，所以a:c=2:3。 同理，由AE:EC=4:3以及B,P,E共线，可得a:b=4:3。取a=4t,则b=3t、c=6t,因此 a:b:c=4:3:6。 (2)延长CP交AB于H。点P在三角形内部，故H在线段AB内部。以CP,CH为底时，△ACP与 AACH同高，△BCP与△BCH也同高，所以A=C二-e。因此 SAACH CH SABCH S4AcP:S4BCP=SAACH :S4BCH=AH:HB,最后一步是共用从C到AB的高。 由（1)，AH:HB=c:b=2:1。在线段AB内部按2：1分成两段的点只有一个，又AF:FB=2:1, 所以H=F。故C,P,F共线。 第60页共63页 58.如图，△ABC纸片中，∠A=50°，∠B=60°，∠C=70°，沿AD折叠，使点B落在射线AC 上的点E处，D在线段BC内部。（1)证明E在AC的延长线上，而不在线段AC上；(2)求 ∠CDE,(3)证明S4ABc=2S4ACD+S4CDE。 A 60° B C D ◇ 第58题图 答案（1)见证明；（2）10°，(3)见证明。 折叠保持长度、角和面积，故△ABD兰△AED,∠AED=∠ABD=60,SAABD=SAAD· (1)若E=C,会有∠AED=∠ACD=70°，与60矛盾。若E在线段AC内部，EA,EC反向，故 ∠CED=120°，而∠ECD=70°，两个内角和已大于180°，不可能。又AE=AB>0,所以E≠A。 因此只能A,C,E依次共线。 (2)∠DCE=180°-70°=110°，∠CED=60°，故∠CDE=10°。 (3)因C在线段AE内部，S4D=S4ACD+S4cDE。结合折叠等面积， SAABC=SAABD+SAACD=2SAACD+SACDE 第61页共63页 59.已知线段AB的垂直平分线为l,点C不与A,B重合，点P在直线l上运动。（1)若C,A在1同 侧，求PA+PC的最小值及此时P的位置；(2)若C,B在l同侧，求PA+PC的最小值及此时P的 位置；(3)若C在l上，求PA+PC的最小值及此时P的位置。 (1) (2） (3) C P=C B 第59题解答图 答案（1)BC,P为1与线段BC的交点；(2)AC,P为1与线段AC的交点；(3)AC,P=C。 (1)点P在垂直平分线上，PA=PB,所以PA+PC=PB+PC≥BC。等号在且仅在P在线段BC上 时成立。因为B与C在两侧，线段BC恰与l交于一点，故下界能取到，最小值为BC。 (2)直接用两点之间线段最短，PA+PC≥AC。此时A,C在两侧，线段AC与I的唯一交点能取 到等号，所以最小值为AC。不能继续把BC当可达下界，因为线段BC与l无交点。 (3)PA+PC≥AC,取P=C时等号成立，故最小值为AC。当P≠C时，线段AC除端点C之外都 在一侧，不能再有其他取等位置。 第62页共63页 60.在△ABC内部有一点P,PA=PB=PC,且AP平分∠BAC。（1)仅凭这些条件，能否断定 △ABC为等边三角形？若不能，构造一个满足全部条件的非等边三角形，并写出必要角度验 证；(2)若再补充BP平分∠ABC,证明△ABC为等边三角形。 (1)反例 (2）补充条件 ∠BAC=80° A B ∠B=∠C=50° 第60题解答图 答案（1)不能，可构造内角80°，50°，50的等腰三角形；(2)见证明。 (1)作∠A=80°、∠B=∠C=50°的等腰三角形。作顶角平分线，在∠ABC内部作射线BP, 使∠ABP=40°，两射线交于P。 此时∠BAP=∠ABP=40°，所以PA=PB。在△ABP与△ACP中， AB=AC ∠BAP=∠CAP AP=AP 由SAS得△ABP兰△ACP,所以PB=PC。 射线在两顶角内部相交，且∠PBC=50°-40=10°>0，P确在三角形内部。三内角不全为60°， 所以三角形不是等边三角形。 (2)由PA=PB,∠PAB=∠PBA。两条角平分线给∠PAB=号∠A,∠PBA=号∠B,所以 ∠A=∠B。 由PA=PC得∠PAC=∠PCA;由PB=PC得∠PBC=∠PCB。又AP,BP分别为角平分线，所以 ∠AC=2∠A,∠PBC=3∠B。因此∠C=∠PCA+∠PCB=∠A+∠B.结合 ∠A=∠B,三角相等，均为60°，所以三角形等边。 第63页共63页 第1章三角形期中复习专题讲义 2026—2027学年第一学期 苏科版 八年级上册 学生版 班级____________ 姓名____________ 先复习定义与使用条件，再完成60题。遇到图形不要默认等长、垂直或中点；先从题设和已证结论找依据。提升题仍只用本章的角、全等、两种平分线、等腰及基本面积方法。 一 知识与例题 1 线段和角的先备知识 直线向两端无限延伸，没有端点；射线有一个端点，向一个方向无限延伸；线段有两个端点，长度有限。写射线时，是端点，射线与射线不是同一条射线。写线段与则表示同一条线段。 有公共端点的两条射线组成的图形叫角，公共端点叫顶点，两条射线叫角的边。的顶点是中间字母两边是射线同一顶点处有多个角时，不宜只写 点在线段上且时，叫线段的中点，所以只有“长度相等”而没有在线段上的位置条件，不能把任意点称为中点。 两点之间线段最短：从经不在直线上的点到有点到直线的距离是垂线段的长度；从直线外一点连到直线上各点的线段中，垂线段最短，其他斜线段都更长。点在直线上时，距离为 两个角的和为时，它们互余；和为时，它们互补。同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。互补只描述和，不要求两个角挨在一起。 两角有公共顶点和一条公共边，另外两边互为反向射线时，这两个角互为邻补角，和为两条直线相交形成的对顶角相等；仅有角相等，不能反过来断定它们是对顶角。 从角的顶点出发、位于角内部并把角分成两个相等角的射线，叫角平分线。若平分则 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补；反过来，满足其中相应角关系时可判定两直线平行。两条直线若都垂直于同一条直线，则它们平行（两线不重合时）。每次使用都应指出是哪两条直线和哪一对角。 例题 依次共线，射线在直线上方，求并判断这两个角是否只是互补，还是同时为邻补角。 为反向射线，两角共用所以两角是邻补角，也互补。 方法 先核对角的位置关系，再用角的和。 2 三角形与三边关系 三条线段首尾顺次相接，组成的封闭图形叫作三角形。三个顶点不在同一直线上；三边长都为正。表示顶点为的三角形；边分别与相对。 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边。已知两边第三边必须满足两端都是严格不等号；取等号时三点共线，不再是三角形。 三边关系来自两点之间线段最短：三点不在同一直线上时，换一组端点可得另外两式。由分别移项，得合起来就是 已知三条正长度时，只要检查较短两边的和是否大于最长边即可，其余两条和的不等式自动成立。若长度来自方程，还要检查正长度、三边关系以及题设中腰和底的身份。 点在一条线段的内部时可用线段和：依次共线，则点移到延长线上，所求量可能改成差，不能照抄原图中的加法。 例题 两边长为第三边为偶数。求的所有可能值。 因此偶数为或时，三个顶点在同一直线上，不能组成三角形，所以不能取。 方法 先写严格区间，再按整数或奇偶要求筛选。 3 三角形中的角与三条重要线段 三个内角都小于的三角形叫锐角三角形；有一个角为的叫直角三角形；有一个角大于的叫钝角三角形。直角三角形中，直角所对的边叫斜边，夹着直角的两条边叫直角边。 三角形内角和为三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫外角；一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，因此大于这两个不相邻内角中的任意一个。外角与相邻内角互补。 内角和的证明：过作直线使射线与同向、射线与同向。由内错角相等，这两角与恰好拼成平角，所以三个内角的和为 例如延长至则依据是而减去公共角即可。 从顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫三角形的高。关键词是“对边所在直线”：锐角三角形三条高在内部，直角三角形两条直角边本身就是高，钝角三角形有两条高的垂足在边的延长线上。 连接一个顶点与对边中点的线段叫中线。中线给出的是底边两段相等，不自动给垂直或分角相等。 三角形一个内角的平分线与其对边相交，顶点到交点的线段叫三角形的角平分线。它给出两角相等，不自动给两段底边相等。一般三角形的高、中线、角平分线不重合。 若是边上的高，则即底乘对应高再除以同一顶点、底边在同一直线上的两个三角形同高，面积比等于底边比；中线因此平分三角形面积。反过来，只有确认同高后，才能从等面积推出底边相等。 例题 在内部，面积为求面积。 两三角形共用从到直线的高，故 方法 指出共同的高，再把底比转成面积比；不假设两小三角形全等。 4 全等三角形的含义与对应顺序 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。全等既要求形状相同，也要求大小相同；平移、转动或翻转后的放置方向不同，不影响全等。 中的书写顺序指定对应边为对应角为 找对应关系时，可先找独特的顶点，例如直角顶点、两条已知对应边的公共端点，再写完整顺序。即使两三角形共用字母，也必须按位置配对，不能看到相同字母就认定相同对应。 全等三角形周长相等、面积相等。但是周长相等、面积相等甚至三个角分别相等，都不能单独反推出全等。全等的性质用于已经证明全等之后；全等的判定用于证明全等之前。 例题 已知写出与及对应的边和角。 所以对应对应 方法 先逐顶点连对应，再读边和角，不凭图的左右位置。 5 全等的五种判定及条件位置 SSS：三边分别相等的两个三角形全等。三条边必须按同一顶点对应顺序配对。 SAS：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。夹角是两条已知边共同端点处的角，不能换成任意一个角。 ASA：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。夹边的两个端点就是这两个角的顶点。 AAS：两角及其中一个角的对应对边分别相等的两个三角形全等。已知边不是这两角的夹边，也可以判定全等，但直接名称为AAS。 HL：在两个直角三角形中，斜边及一条直角边分别相等，则两三角形全等。使用前须确认两个直角，不能把一条直角边误写为斜边。 AAA不判全等，因为角相同仍可大小不同；SSA一般不判全等，因为给定两边及其中一边的对角时可能出现两种不同位置。不要仅按“共有三组条件”来判断。 公共边、公共角、对顶角、平行线得到的角，以及等量相加或相减得到的整段，是常见的第三条件。证明时必须写出，不能用“从图可知”替代。 例题 平分点在线段内部。为什么可判 在与中， 所以（SAS）。 三组条件按相同顶点顺序排列；正是的夹角。 方法 先说在哪两个三角形中，再用大括号列三条件，接判据，最后取所需对应结论。 6 线段垂直平分线的定义性质与判定 经过一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫线段的垂直平分线。它是一条直线，“中点”和“垂直”缺一不可。 性质：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端点的距离相等。设为的垂直平分线，直线与线段交于点在上。若则若才连接并使用在与中， 由SAS得全等，所以 判定：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。若取中点当不在直线上时，在与中， 由SSS得所以 两角又互补，因此各为若在直线上且则也在垂直平分线上。 应用时先区分“点到两个端点等距”与“点到两条直线等距”。前者使用垂直平分线；后者需要垂线段并联系角平分线。 例题 点在的垂直平分线上，点在直线外，且若能否确定直线 按已知在垂直平分线上；由判定也在同一条垂直平分线上。两不同点确定一条直线，因此直线就是的垂直平分线。 方法 性质把位置转为等长，判定把等长转回位置；使用两点定直线前要有两点不同。 7 角平分线与到两边的距离 从角的顶点出发，把角分成两个相等角的射线，叫这个角的平分线。本讲所说的角满足 点到直线的距离是垂线段的长度。垂足可能在边的延长线上；任意一条连到边上某点的线段，不一定是距离。 性质：角平分线上的点，到角两边所在直线的距离相等。若点就是顶点两距离都为下面设射线为角平分线；作直线于直线于因两个半角都小于垂足分别在射线上。在与中， 由AAS得全等，所以 判定：在一个角内部，到这个角两边所在直线距离相等的点，在这个角的平分线上。设在内部，垂足分别在直线上，且先检查垂足所在方向，再证明分角相等。 设则若则已是到直线的垂线段；对另一条直线不可能同时也是垂足，否则会是同一条垂线。因此由垂线段最短，矛盾。同理不可能。 两个垂足不可能同时在相应射线的反向延长线上，否则均大于若恰有一个在反向延长线上，例如在射线的反向延长线上，则在射线上。在直角三角形中，斜边公共、由HL得全等，所以与矛盾。另一种反向情况同理。 因此两个垂足都在原角的两条射线上。在直角三角形中， 由HL得全等，故平分 “角内部”不能删去。点若在原角外部而到两边所在直线等距，可能在某个相邻外角的平分线上；应先确定点处在哪个角内，再使用判定。 一个内角与其相邻外角互补，二者平分线所成的相邻角为所以两条平分线互相垂直。这里的“相邻”决定正确的射线位置。 例题 点在内部，作直线于直线于且能否直接把作为结论？ 不能。题设等距是到两条直线的垂距，正确结论是平分不是到顶点或任意边上点的距离相等。 方法 先看等距的对象是端点还是直线，再选对应性质或判定。 8 等腰等边三角形与三线合一 有两边相等的三角形叫等腰三角形；相等的两边叫腰，第三边叫底边，两腰的夹角叫顶角。三边都相等的三角形叫等边三角形，等边三角形也属于等腰三角形。 等腰三角形的性质是等边对等角：判定是等角对等边：使用时看清角所对的边，不把顶点旁边的边当作对边。 若为中点，连接在与中， 由SSS得两三角形全等，所以且后两个角是邻补角，和为所以各为 因此，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，称三线合一。要先确认等腰及正确的顶角、底边，不能套在任意一腰上的中线或高上。 等角对等边的证明：若作的平分线交于在与中， 由AAS得两三角形全等，因此 等边三角形三个内角都是判定可用三边相等，或三个内角相等，或等腰三角形中有一个角为若只知道一般三角形有一个角，仍不足以判等边。 条件没有说明腰和底，或没有说明某角是顶角还是底角时，要分类。若已明确则就是顶角，不能再无谓分情况。分类所得数值还要检查内角为正、三角形不等式、点在线段还是延长线上。 例题 一个等腰三角形有一个内角为求三个内角的所有可能组合。 若为顶角，底角均为若为底角，另一个底角也为顶角为故有或 方法 先分角的身份，再用内角和；不要把两种都成立误当成唯一答案。 9 含30度角的直角三角形 在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半。下面用全等与等边三角形证明这一性质。 设延长至使连接在与中， 由SAS得两三角形全等，因此 于是为有一个角的等腰三角形，所以它是等边三角形。故即 使用时必须同时有直角和角，并认清“所对的直角边”。不是任意一个角为的三角形都能用半斜边关系。 例题 在中，求 是斜边，是角所对的直角边，故 方法 先标直角和30度所对边，再使用结论；不计算另一条直角边。 10 基本尺规作图及其依据 尺规作图使用无刻度直尺和圆规；不能用量角器或尺上刻度代替作图。保留必要弧线和交点，画出的辅助弧不是装饰，它们记录等长条件。 作线段的垂直平分线：分别以为圆心、同一大于的长为半径作弧，交于两点作直线两交点均满足到等距，故都在垂直平分线上，就是所求直线。 作角平分线：以顶点为圆心作弧，与两边交于再分别以为圆心、相同适当长为半径在角内作弧交于作射线在与中， 由SSS得两三角形全等，故是角平分线。 作一个角等于已知角：设已知角的顶点为以为圆心、适当长为半径作弧，交两边于另作射线以为圆心、同样的为半径作弧，交初始射线于再以为圆心、为半径作弧，与前一条弧交于所需一侧的作射线在与中， 由SSS得两三角形全等，所以所作角等于已知角 已知三边作三角形：先作其中一条边，再以两个端点为圆心、其余两边为半径作弧取交点。需要先检查三边关系；交点在底边两侧时得到的两三角形由SSS全等。 例题 作的垂直平分线时，为什么两次画弧必须使用相同半径？ 这样才能使同一交点满足另一个交点满足从而两点都在同一条垂直平分线上。两次半径若不同，不能得到这个等距条件。 方法 把每一步作图痕迹翻译成等长条件，再说明判定依据。 11 常用辅助线与面积关系 所求是分散线段的和或差，先根据点序把它们集中在同一条直线上，再寻找全等转移。不能为了“像某个模型”而任意延长线段。 出现中线时，倍长中线常把两条已知边集中到一个新三角形中。设为中点，延长至使在与中， 由SAS得两三角形全等，得到于是可在中使用三边关系。 面积题先说清底和对应高，再找等面积的两块；处理面积差时可尝试消去公共部分。面积比本身不等于边比，只有同高或同底等前提成立后，才作相应转换。 等腰存在性问题先写三种等边身份，如再检查点是否在规定位置、三个顶点是否共线、各角是否为正；最后合并重复位置。给一个代数或角度答案还不够，须说明它能在规定图形中实现。 面积相减的例子：为中点、为中点，与交于两边减去共同的得到重点是先指出两大三角形和真正的公共部分。 例题 在中，是中点。说明为什么 按前面的倍长中线图倍长得由SAS得在三个顶点不在同一直线上的中，所以 方法 倍长不是目标；目标是把原来分散的AB、AC与2AM放进同一个三角形。 12 用全等证明斜边中点性质 在直角三角形中，为斜边的中点。下面证明不把这个结论预先当作已知。 延长至使连接在与中， 由SAS得所以进而 因为所以在与中， 由SAS得得到 且所以整个证明只用了中点定义、全等、平行线角关系和垂直。 反过来，若在内部且设两组等腰三角形给由内角和，所以 例题 中，为中点，求 由刚证明的性质， 方法 使用前确认直角在A、D是斜边BC的中点，不能换成任意一边的中点。 二 选择题 每题只有一个正确选项。 1. 如图，在中，点在的延长线上，下列说法正确的是（    ）。 第1题图 A. 不是的高 B. 是边上的高 C. 是边上的高 D. 是边上的高 2. 三角形的一边长为另两边长的和为另两边长的差可能是（    ）。 A. B. C. D. 3. 如图，点在线段内部，是的一条中线。仅由这一条件，必能得到的是（    ）。 第3题图 A. B. C. D. 4. 如图，延长至以下不需要增加其他条件就成立的是（    ）。 第4题图 A. B. C. D. 5. 已知下列对应关系正确的是（    ）。 第5题图 A. 对应 B. 对应 C. 对应 D. 对应 6. 下列判断正确的是（    ）。 A. 周长相等的两个三角形一定全等 B. 面积相等的两个三角形一定全等 C. 全等三角形的周长和面积分别相等 D. 三个角分别相等的两个三角形一定全等 7. 在与中，若要求直接使用ASA判定全等，还应有（    ）。 第7题图 A. B. C. D. 8. 在和中，要用HL证明两三角形全等，下列条件组合可用的是（    ）。 第8题图 A. B. C. D. 9. 直线经过线段的中点下列哪项条件与已知条件合用，能保证是的垂直平分线（    ）？ 第9题图 A. B. 点不在上 C. D. 与相交 10. 在中，下列结论正确的是（    ）。 第10题图 A. B. C. D. 11. 在中，平分在上，且则为（    ）。 第11题图 A. B. C. D. 12. 如图，依次在同一直线上，若则为（    ）。 第12题图 A. B. C. D. 13. 如图，在中，的垂直平分线与线段交于则为（    ）。 第13题图 A. B. C. D. 14. 如图，在线段内部，下列结论正确的是（    ）。 第14题图 A. B. C. D. 15. 如图，分别是的中点，两条中线交于若则为（    ）。 第15题图 A. B. C. D. 不能确定 16. 如图，为等边三角形，分别在线段内部，与交于则为（    ）。 第16题图 A. B. C. D. 17. 如图，依次在同一射线上，不在直线上，小明用“”证明下列判断正确的是（    ）。 第17题图 A. 证明正确，依据SAS B. 证明正确，依据AAS C. 证明错误，且 D. 证明错误，且 18. 如图，点在线段内部，过分别作与交于则为（    ）。 第18题图 A. B. C. D. 随点的位置变化 19. 如图，点在内部，直线交于已知则为（    ）。 第19题图 A. B. C. D. 20. 一个三角形的三条中线的长度之和为其周长为下列关系一定成立的是（    ）。 第20题图 A. B. C. D. 三 填空题 将答案填在横线上。 21. 在线段上，是的中点，是的中点。若则______。 第21题图 22. 在中，以为底时，对应的高为______。 第22题图 23. 如图，是的中点，是的中点。若的面积为则的面积为______。 第23题图 24. 已知则______。 第24题图 25. 已知则的周长为______。 第25题图 26. 如图，用SSS证明时，除题设两组等边外，第三组条件应写为______。 第26题图 27. 在与中，已知直接依据这三组条件，可用______判定全等（填SSS、SAS、ASA、AAS或HL）。 第27题图 28. 点在线段的垂直平分线上，则______。 第28题图 29. 如图，点在内部，于于且若则______。 第29题图 30. 等腰三角形的顶角比一个底角大则它的顶角为______。 第30题图 31. 如图，分别在线段内部，若则______。 第31题图 32. 两块等腰三角形模板和满足有人认为“底边相等且都为等腰三角形，所以顶角相等”。这两个顶角______相等（填“可能”或“不可能”）。 第32题图 33. 如图，为中点，点在线段内部，则______。 第33题图 34. 两个三角形和全等，但未给出顶点对应顺序。已知按对应顺序应写成______。 第34题图 35. 在中，点在线段内部运动，若为等腰三角形，则的所有可能值为______。 第35题图 36. 如图，点在的延长线上，过分别作（垂足在相应直线上），且则______。 第36题图 37. 如图，点在内部，且在的垂直平分线上。已知则______。 第37题图 38. 如图，中，点在线段内部，于且则______。 第38题图 39. 如图，点在内部，为中点，直线与交于且在线段内部。已知则______。 第39题图 40. 在中，点满足这样的点______位于三角形内部（填“能”或“不能”）。 第40题图 四 解答题 写出计算步骤或证明过程。 41. 如图，中，过作垂足在的延长线上。求与 第41题图 42. 给定线段及线段其中（1）用尺规在上方作使保留作图痕迹；（2）若在下方按同样条件作出证明两三角形全等。 第42题图 43. 如图，射线平分证明 第43题图 44. 如图，为测量一段无法直接接近的距离取线段的中点使共线，且点在直线两侧。测得（1）证明（2）求 第44题图 45. 如图，与的垂直平分线交于点证明点也在的垂直平分线上。 第45题图 46. 如图，点在内部，分别在射线上，且小明直接据此断言平分（1）说明这一步遗漏了什么条件；（2）补上后，用全等证明平分 第46题图 47. 如图，于在线段内部。请不直接引用“三线合一”，证明并证明平分 第47题图 48. 如图，（1）求（2）证明是等边三角形。 第48题图 49. 如图，点在线段内部，（1）证明是的中线；（2）若求 第49题图 50. 用长的细铁丝围成一个等腰三角形，接头忽略不计，底边比腰短求三边长，并检验这些长度能否真正围成三角形。 第50题图 51. 如图，延长至延长至使（1）证明（2）若求 第51题图 52. 如图，点在直线两侧，（1）小明写“”。这个对应顺序是否一定正确？请写出题设能够保证的全等式并证明；（2）证明 第52题图 53. 已知线段与经过的直线既不与重合，也不垂直于（1）用尺规在上作点使保留作图痕迹；（2）证明这样的点只有一个；（3）若把改为过且垂直于的直线，还能否找到这样的点？说明理由。 第53题图 54. 如图，延长至使点在线段内部，若求的面积。 第54题图 55. 如图，点在内部。（1）证明（2）若点可以取三角形内部及边界上的任意点，求的最大值及此时的位置。 第55题图 56. 如图，在线段内部，分别在线段内部，且（1）用表示（2）若既平分又平分证明并证明为中点。 第56题图 57. 如图，点分别在线段内部，与交于（1）求（2）点在线段内部，证明在同一直线上。 第57题图 58. 如图，纸片中，沿折叠，使点落在射线上的点处，在线段内部。（1）证明在的延长线上，而不在线段上；（2）求（3）证明 第58题图 59. 已知线段的垂直平分线为点不与重合，点在直线上运动。（1）若在同侧，求的最小值及此时的位置；（2）若在同侧，求的最小值及此时的位置；（3）若在上，求的最小值及此时的位置。 第59题图 60. 在内部有一点且平分（1）仅凭这些条件，能否断定为等边三角形？若不能，构造一个满足全部条件的非等边三角形，并写出必要角度验证；（2）若再补充平分证明为等边三角形。 第60题图 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $