精品解析：江苏南京市栖霞中学2026-2027学年第一学期第二次月考高一年级数学试题

南京市栖霞中学2026—2027学年第一学期第二次月考 高一年级数学学科试题 考试时间：90分钟　　试卷满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题8分，共64分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的并集的定义，将两个集合的范围合并即可得解. 【详解】因为，所以. 故选：A. 2. 设命题，，则的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用特称命题的否定可得出结论. 【详解】命题为特称命题，该命题的否定为“，”， 故选：C. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用分式不等式以及充分不必要条件的集合表示，可得答案. 【详解】由，可得或， 又集合是集合或的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将不等式右边的移到左边进行通分化简，再利用分式不等式的解法求解即可. 【详解】解：不等式 ，即，即，则， 解得，故原不等式的解集为； 故答案为： 5. 设，则的分数指数幂形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据分数指数幂的定义：（）， 逐步化简如下：化简内层根式：； 计算根号内的同底数幂乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， 因此； 化简外层三次根式：， 根据幂的乘方运算性质，底数不变，指数相乘，可得， 因此结果为. 6. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】所求的分母特征，利用变形构造，再等价变形，利用基本不等式求最值. 【详解】解：因为满足， 则 ， 当且仅当时取等号， 故选：． 【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 7. 已知全集，，，，，，则下列选项不正确的为（ ） A. B. 的不同子集的个数为8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合之间的关系作出图，逐项判断即可. 【详解】， 由，，，，， 作出图，如图所示， 由图可知，，，故A，正确； 集合的子集个数为个，故B正确； 因为，所以，错误. 故选：D 8. 已知集合，，若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用已知可得，从而有恒成立，设，利用导数求的最小值即可. 【详解】. 因为“”是“”的充分条件，所以. 所以当时，恒成立，即. 设，则，令，解得或(舍去). 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增. 所以. 所以. 二、多选题：本题共2小题，共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. “，”是“”成立的充分不必要条件 B. 命题：，，则：， C. 命题“若，则”是真命题 D. “”是“”成立的必要不充分条件 【答案】AC 【解析】 【分析】根据充分性的定义、必要性的定义、全称命题的否定的性质、比较法逐一判断即可． 【详解】对于，由，可以推出，但推不出，， 比如，但， 所以“，”是“”成立的充分不必要条件，故A正确； 对于B，根据全称命题的否定为特称命题，所以：，，故B错误； 对于C，当时，，可得，故C正确； 对于D，由不能推出，比如，，所以必要性不成立，故D错误． 故选：AC． 10. 已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ） A. 且 B. 4 C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意，可得为一元二次方程的两个根，且，进而由韦达定理可得，即可判断A；再代入BCD求解判断即可. 【详解】由题意，为一元二次方程的两个根，且， 故，即，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由，则，即，解得，故C正确； 对于D，由，则， 即，解得或，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分. 11. 已知，若集合，则______． 【答案】 【解析】 【详解】由集合相等得，可得. 12. 已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【详解】当时，不等式恒成立，满足题设， 当时，要使不等式恒成立，则，解得， 综上，的取值范围为. 四、解答题：本题共3小题，共46分. 13. 已知实数满足． （1）求的最大值； （2）求的最大值及最小值． 【答案】（1）最大值为6． （2）的最大值为，最小值为． 【解析】 【分析】（1）由已知条件及基本不等式可求得的取值范围，进而得到其最大值. （2）将已知等式变形为，再结合基本不等式建立关于的不等式求解. 【小问1详解】 因为，所以， 当且仅当时，等号成立． 故的最大值为6． 【小问2详解】 因为，所以， 解得，则， 当且仅当时，取得最大值，当且仅当时，取得最小值． 故的最大值为，最小值为． 14. 某企业2026年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元．设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为万元． （1）求关于的函数关系式； （2）求该设备的年平均盈利额的最大值（）． 【答案】（1） （2） 22万元 【解析】 【分析】(1)根据盈利总额=总收入-初始购置成本-总维修保养费用列函数式； (2)先推导年平均盈利额的表达式，再利用基本不等式求最大值. 【小问1详解】 由题意，盈利总额为年的总收入扣除初始设备购置费和年总维修保养费用的剩余值，因此， 故关于的函数关系式为。 【小问2详解】 设年平均盈利额为，根据定义得 , 由基本不等式得，当且仅当即时等号成立， 因此，即该设备的年平均盈利额的最大值为22万元. 15. 已知函数． （1）若的解集为，求，的值； （2）若，求不等式的解集； （3）在（1）的条件下，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为或； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据不等式解集得到方程的两根为1，2，代入后得到方程组，求出答案； （2）变形为，分，，，和五种情况，得到不等式的解集； （3）只需，换元后，由基本不等式求出函数最小值，进而得到，求出答案. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的两根为1，2， 所以解得 【小问2详解】 因为，所以． ①当时，不等式为，解集为； ②当时，不等式可化为，解集为或； ③当时，，不等式可化为，解集为； ④当时，，不等式可化为，解集为； ⑤当时，，不等式可化为，解集为， 综上，当时，解集为；当时，解集为或； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. 【小问3详解】 由（1）知不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， 只需． 因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，，故实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市栖霞中学2026—2027学年第一学期第二次月考 高一年级数学学科试题 考试时间：90分钟　　试卷满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题8分，共64分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，，则的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 设，则的分数指数幂形式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知全集，，，，，，则下列选项不正确的为（ ） A. B. 的不同子集的个数为8 C. D. 8. 已知集合，，若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. “，”是“”成立的充分不必要条件 B. 命题：，，则：， C. 命题“若，则”是真命题 D. “”是“”成立的必要不充分条件 10. 已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ） A. 且 B. 4 C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分. 11. 已知，若集合，则______． 12. 已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是_________． 四、解答题：本题共3小题，共46分. 13. 已知实数满足． （1）求的最大值； （2）求的最大值及最小值． 14. 某企业2026年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元．设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为万元． （1）求关于的函数关系式； （2）求该设备的年平均盈利额的最大值（）． 15. 已知函数． （1）若的解集为，求，的值； （2）若，求不等式的解集； （3）在（1）的条件下，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $