江苏省木渎高级中学2026-2027学年高一年级上学期10月月考数学试卷

江苏省木渎高级中学2026-2027学年 高一年级上学期10月月考【数学】试卷 注意事项： 1.本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必将自己的班级、姓名、考试号等填涂在答题卡上。 3.填写选择题答案时，请规范使用2B铅笔填涂。填写非选择题时，请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答， 在其他位置作答一律无效，作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.设集合A={x∈N|x≤2}，B={x∈R|1-x≥0}，则AnB=()。 A.{0,1} B.{x|-2≤x≤1} C.{1,2} D.{x|0≤x≤1} 2.不等式 3x-1≤1的解集为(）。 Aa0≤s》 B.e0<2≤ c.ee≤动 D.{x|x<0} 3.已知a,b∈R,则“a2>b2”是“a3>”的()。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知函数f)的定义域为0,4，则ge)=2四的定义域为(）。 x-1 A.(0,2) B.(0,8) C.(0,1)U(1,2) D.(0,1)U(1,8) 5.已知关于卫的不等式x2-4ac+2a2<0(a>0)的解集为(c1,2),当1+2+a取得最小值时， C1T2 实数a的值为()。 B.2V3 D.2W2 3 C.② 4 6.关于x的不等式ax2-+2a≥0的解集是(-∞，+∞)，则实数a的取值范围为()。 v2 A. B. √2√2 -44 7.设函数f(x)= x2, 卫<0，若ffa)≥4，则实数a的取值范围是(）。 x+3,x≥0. A.(-∞，-2) B.(-∞，-1 C.(-∞，-2]U[1,+∞) D.(-∞，-1U[0,+∞) 高一数学第1页共12页 8.已知关于x的不等式组 x2-2x-8>0, (k≥0)。 2x2+(2k-6)x-8k-8≤0 若该不等式组仅有一个整数解，则飞的取值范围为()。 A.[-5,3) B.[2,3) C.[2,3)U(4,5) D.[-5,3)U(4,5 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.以下四个命题中，是真命题的是()。 A.x∈R,x2-x+1>0 B.“x>2”是“x-1>1”的充分不必要条件 C.若命题p:3>0,x2+x+1<0,则p的否定为x≤0，x2+x+1≥0 D.若a<b<0,则a2<ab<b2 10.已知正实数a,b,c满足a+b=3,则下列结论正确的有()。 A.a2+b2的最小值为9 B.ab+2a+b的最大值为7 C. ab的最大值为9-6V2 a+26 D.a+2+6+2c+14的最小值为 28V5-14 a+16+1 c+1 5 11.已知函数f(x)满足x,y∈R,f(x)f(y=f(x+)+xy,且f(1)卡0，则(）。 A.f(0)=0 B.f(1)=2 C函数y=的最小值为Y D.函数g=回的最大值为1+2 4 x2+2 4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.己知集合A={1,3,a2},B={1,a+2},若AUB=A,则实数a的值为 0 13.设p:a<x<a2+1,q:2-x-2<0。若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 14.定义一种运算min{a,b}= a≤6设fa=min(6-2z2,z+m,ee[-2,2,则使f(最大 b, a>b. 值为4的m=_。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知集合A={x|-3≤x≤6}，B={x|2a-1≤x≤a+1}。 (1)若a=-2,求AUB: (2)若A∩B=B,求实数a的取值范围。 高一数学第2页共12页 16.(15分)设函数f(x)=ax2+(1-a)z+a-2(a∈R)。 (1)若不等式f(x)≥-2对于任意实数c都恒成立，求a的取值范围： (2)若不等式f(x)≥一2对于实数a∈[-1,1]时恒成立，求x的取值范围。 17.(15分)己知正数a,b满足a+b=ab。 (1)求ab的最小值： (2)求a+b的最小值： (3)求2a。十0的最小值。 a-2十6-1 高一数学第3页共12页 18.(17分)己知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+1)=a2+(a-4)x,a∈R。 (1)求函数f(c)的解析式： (2)当x∈[1,3]时，关于x的不等式f(x)≤(a-1)x2有解，求实数a的取值范围： (3)求关于x的不等式f(x)≤0的解集。 19.(17分)己知二次函数y=ax2+bx+co (1)设y<0的解集为{x|1<x<2},若存在实数x,使得不等式x2+cc+b+4<0成立，求实数a 的取值集合； (2)设y<0的解集为{x|c<x<a},且{a,b,c}≤{-4，-1,1,3}，求不等式ax2+bx-2a<0的解 集； (3)若对任意x∈R,2x+2≤y≤2x2-2x+4恒成立，求ab的最大值。 高一数学第4页共12页 江苏省木渎高级中学2026-2027学年 高一年级上学期10月月考【数学】试卷 参考答案与详细解析 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 A D C C & D AB BCD BC 1.设集合A={x∈Nx≤2，B={x∈R|1-x≥0}，则A∩B=()。 A.{0,1} B.{x|-2≤x≤1} C.{1,2} D.{x|0≤x≤1} 【答案】A 自然数集包含0，所以A={0,1,2}。由1-x≥0得x≤1，故B=(-0∞，1。两集合的公共元素为 0,1,所以A∩B={0,1},选A。 2.不等式 3如-1≤1的解集为（）。 Ae0<<》 B.e0<≤分动 c.ex≤ D.{x|x<0} 【答案】B 先确定x≠0。移项得2-1<0，临界点为0与 2 当二<0时，分子、分母同为负数，商为正数：当0<2<时，商为负数：当2>号时，商为正数。 1 x=】时等号成立，心=0不在定义域内。故解集为 1 2 02 ,选B。 3.已知a,b∈R,则“a2>2”是“a3>”的()。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】D 取a=-2,b=1,有a2>b2,但a=-8<b=1,故不充分。 取a=2,b=-3,有a3=8>b=-27,但a2<2,故不必要。因此是既不充分也不必要条件，选D。 4.已知函数fc)的定义域为0,4，则g)=f2 的定义域为()。 龙-1 A.(0,2) B.(0,8) C.(0,1)U(1,2) D.(0,1)U(1,8) 【答案】C f(2x)有意义要求0<2x<4,即0<x<2。同时分母非零，x≠1。两条件取交集，得定义域为 (0,1)(1,2),选C。 高一数学第5页共12页 5.已知关于x的不等式x2-4ax+2a2<0(a>0)的解集为(x1,2),当1+x2+ a取得最小值 C1C2 时，实数a的值为()。 A.-6 B.2V3 C.v② D.2W2 3 3 4 【答案】C 因为a>0,判别式△=16a2-8a2=8a2>0,故1，x2是相应方程的两个实根。由韦达定理， 1+x2=4a,c1x2=2a2。 所以1+x2+ 1 a4a+。-≥21402a. ·=2V2。 化1C2 等号当仅当aa,即a26,结合a>0,得a日 √ 4，选C。 6.关于x的不等式ax2-x+2a≥0的解集是（-∞，+o∞)，则实数a的取值范围为()。 A. ② -0,4 B. v2√2 C 4,4 【答案】B 令t=lx,则t≥0，问题等价于at2-t+2a≥0对所有t≥0恒成立。 若a<0,充分大的t使二次式为负；若a=0,t>0时-t<0。故必须a>0。 此时a2-t+2a=a（t-2 1 千2a顶点横坐标。>0，考察范围内 故恒成立等价于2a- 1 元≥o,即8a2≥1。结合a>0,得a≥，选B。 7.设函数f(x)= x2, x<0,若f(a》≥4.则实数a的取值范围是（）· x+3,x≥0. A.(-00,-2) B.(-0∞，-1] C.(-∞，-2U[1,+∞) D.(-o,-1U[0,+o) 【答案】D 无论a<0还是a≥0，均有f(a)≥0，所以外层函数必须使用第二段：f(f(a)=f(a)+3。题设等价于 f(a)≥1。 当a<0时，a2≥1，结合a<0得a≤-1；当a≥0时，a+3≥1恒成立。 合并得a∈(-o,-1U[0,+o),选D。 高一数学第6页共12页 8.已知关于x的不等式组 x2-2x-8>0 (k≥0)。 2x2+(2k-6)x-8k-8≤0 若该不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为()。 A.[-5,3) B.[2,3) C.[2,3)U(4,5) D.[-5,3)U(4,5] 【答案】B 第一条不等式为(x+2)(x-4)>0,解得x<-2或x>4。 第二条不等式可分解为2(x-4)(x+k+1)≤0。因k≥0，-k-1<4,故其解为-k-1≤x≤4。 两者取交集，当飞≤1时无解；当k>1时解集为【-k-1,-2)。 要恰有一个整数解，该整数只能是-3。需要-3被包含、-4被排除，即-飞一1≤-3且 -k-1>-4,解得2≤飞<3，选B。 9.以下四个命题中，是真命题的是()。 A.x∈R,x2-x+1>0 B.“x>2”是“|x-1>1”的充分不必要条件 C.若命题p:x>0,x2+x+1<0,则p的否定为x≤0，x2+x+1≥0 D.若a<b<0,则a2<ab<b2 【答案】AB A正确：x2-x+1= :习>0对任意实数恒成立 B正确：x>2可推出x-1>1;而|x-1>1的解为x<0或x>2,例如x=-1满足后者却不满 足前者，故为充分不必要条件。 C错误：否定存在量词应改为全称量词，并否定结论，量词原有范围x>0不变。正确否定为 x>0,x2+x+1≥0。 D错误：由a<b<0,两边同乘负数a得a2>ab;同乘负数b得ab>b,正确关系为a2>ab>b2。 10.己知正实数a,b,c满足a+b=3,则下列结论正确的有()。 A.a2+b2的最小值为9 B.ab+2a+b的最大值为7 C. ab 的最大值为9-6v② a+2b D.a+29+6+2c+14的最小值为 8v5-14 a+1 b+1 +e+ 5 【答案】BCD 钻误：2+水今a+b识分在b时取等号，最小值为号 2 B正确：代入b=3-a,得ab+2a+b=a(3-a)+2a+3-a=7-(a-2)2≤7。在a=2,b=1时取 等号。 cE编：由a-3-小0<6<得。6智-g-b+明品 18 高一数学第7页共12页 内6土3>0，由基本不等式，6+3)+，3≥2V8=6V②，所以原式不大于9-6V2.等号当且仅兰 b+3=3V2,此时b=3W2-3∈(0,3)，a=6-3V2>0,故最大值可取到。 D瑞由a++小=苏得克≥号 ++0+-+76) .14 a+1 Ta+1+6+1)≥5c。 记选0中的试子为，则E≥兰+ c+19 进1兴告 1414、28V5-14 c+1-5≥ 5 3 两个等号可同时成立：取a=b=)、c+1=√5，即c=V5-1>0,故该下界就是最小值。综上选BCD。 11.己知函数f(z)满足c,y∈R,f(x)f(y)=f(x+)+y,且f(1)≠0，则()。 A.f(0)=0 B.f(1)=2 的最小值为1 C.函数y=22十2 4 小所数y=织的最大值为士2 4 【答案】BC 令x=1,y=0,得f(1)f(0)=f(1)。由f(1)≠0，得f(0)=1,故A错误。 令x=1,y=-1,得f(1)f(-1)=f(0)-1=0,所以f(-1)=0。再令y=-1,得0=(x-1)-x, 即f(x-1)=x。 以t=x-1换元，得f(t)=t+1对任意实数t成立，因此f(x)=x+1,f(1)=2,B正确。代回原式 也有(x+1)(y+1)=x+y+1+xy,验证满足题设。 设2十2分母恒正。整理为22-x+2z-1=0。若之≠0，存在实数心当且仅当判别武 1-42(2z-1)≥0。 即8e2-4红-1≤0，解得13≤≤1+3。 4 4.2=0时取。=1也可实现，端点对应判别式为0。 均能取到。 故最小值为 V3,最大值为1+V。C正确、D错误，选BC。 4 4 12.己知集合A={1,3,a2,B={1,a+2},若AUB=A,则实数a的值为 【答案】2 AUB=A等价于BCA。因为1已在A中，只需a+2∈{1,3，a2}。 按列举法中元素互异性，a2≠1、a2≠3，且a+2≠1，即a≠-1。 若a+2=1,得a=-1,不满足互异性；若a+2=3,得a=1,使A中a2=1重复，也不符合。 若a+2=a2,得(a-2)(a+1)=0,即a=2或a=-1,其中a=-1己排除。a=2时 A={1,3,4、B={1,4},确有AUB=A,故a=2。 高一数学第8页共12页 13.设p:a<x<a2+1,q:x2-x-2<0。若p是g的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 【答案】(-1,1 由(-2)(c+1)<0,得g的解集为(-1,2)。而a2+1-a= ,1)2 （e-司)+>0所以n的解宋 (a,a2+1)始终非空。 p是q的充分不必要条件，要求(a,a2+1)是（-1,2)的真子集。先由包含关系得a≥-1、a2+1≤2， 即-1≤a≤1。 当a=-1时，两区间同为(-1,2)，此时为充要条件，须排除；当-1<a≤1时为真子集。因此 a∈(-1,1。 14.定义一种运算min{a,b}= a,a≤b设fo)=min6-22,z+m,t∈【-2,2，则使f四)最 b,a>b. 大值为4的m= 【答案】士3 记g(x)=6-2x2、h(x)=lx+m。要有f(x)≥4，必须同时有g(x)≥4、h(x)≥4。其中g(x)≥4等 价于x≤1。 若m<3,则当x≤1时，h(x)≤m+x<4;当lx>1时，g(x)<4。故处处f(e)<4,不可能 取得最大值4。 若|m=3,当x≤1时h(x)≤4，当lz>1时g(x)<4,所以f(x)≤4。取x=1(m=3)或 x=-1(m=-3)，有g(x)=h(x)=4,故最大值恰为4。 若m>3,令s=1(m>0)或s=-1(m<0),取x=s(1-e),其中0<e<min{1,ml-3}。 则x<1,g()>4,且h(x)=m+1-e>4,所以f(x)>4,不符合。 综上m=土3。 15.(13分)己知集合A={|-3≤x≤6}，B={x2a-1≤x≤a+1}。 (1)若a=-2,求AUB; (2)若A∩B=B,求实数a的取值范围。 【答案】(1)[-5,6；(2)【-1，+∞) 解：(1)当a=-2时，2a-1=-5、a+1=-1,所以B=【-5,-1。结合A=【-3,6,得 AUB=[-5,6。 (2)A∩B=B等价于BCA,必须分别讨论B是否为空。 当2a-1>a+1,即a>2时，B=②，满足0CA。 当a≤2时，B非空，包含关系要求 2a-1≥-3，解得-1≤a≤5。再结合a≤2，得-1≤a≤2。 a+1≤6. 其中a=2时，题干不等式直接定义的集合为B={3},仍有BCA。合并各情况，实数a的取值范围为 [-1,2]U(2,+∞)=【-1，+∞)。 高一数学第9页共12页 16.(15分)设函数f(x)=ax2+(1-a)x+a-2(a∈R)。 (1)若不等式f(x)≥-2对于任意实数x都恒成立，求a的取值范围： (2)若不等式f(x)≥-2对于实数a∈[-1,1)时恒成立，求x的取值范围。 【答】层+小： (2){1 解：(1)题设等价于ax2+(1-a)x+a≥0对任意实数x恒成立。 若a<0,开口向下，不可能处处非负：若a=0,不等式成为x≥0，也不对所有实数成立。故必须 a>0。 在a>0时，恒非负等价于判别式△=（1-a)2-4a2=1-2a-3a2≤0。 1 即3a-1a+1)≥0，解得a≤-1或a≥30结合a>0,得ae 1 (2)本问固定x,要求对【-1,1内的所有a均成立。把式子按a整理为a(x2-x+1)+x≥0。 天为区-1一(e-司+>0，该式关于。路递州显小宝东。1处取得。 故恒成立等价于-(x2-x+1)+x≥0，即-(x一1)2≥0，从而x=1。检验：当x=1时，原左边加2 为a+1≥0，确对全部a∈【-1,1)成立。因此解集为{1}。 17.(15分)已知正数a,b满足a+b=ab。 (1)求ab的最小值； (2)求a+b的最小值： (3)求2+6的最小值。 a-2千b-1 【答案】(1)4；(2)4：(3)不存在，且无下界。 解①由a+8=函，符日+名1因ab>0.可知a>1b>1 由基本不等式，ab=a+b≥2vab,所以Vab≥2，即ab≥4。等号成立要求a=b,再由a+b=ab得 a=b=2,因此最小值为4。 (2)由a+b=ab≥4，在a=b=2时取到，故a+b的最小值也是4。 (3)本问还要求分母非零，因此a≠2：b>1已保证b-1≠0。由a+b=ab得b=a i,从而 b-1= =a-1'b-1 =ao 所以2a。+80=20十8a,其中a>1、a≠2。不能在未给条件时默认a-2>0。 a-2+b-1=a-2 取a=2-二，n为大于1的正整数，再取b= m 。一：则α，6均为正数且满足全部条件。此时题中式子等 于8-加-月 随增大，上式可小于任意给定的实数，因此无下界，也不存在最小值。 高一数学第10页共12页 18.(17分)已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+1)=ax2+(a一4)x,a∈R。 (1)求函数f(x)的解析式： (2)当x∈[1,3)时，关于x的不等式f(x)≤(a-1)x2有解，求实数a的取值范围： (3)求关于x的不等式f(x)≤0的解集。 【答案】(1)f(x)=ax2-(a+4x+4:(2)[0,+∞)：(3)见分类。 解：(1)令t=x+1,则x=t-1。因此f(t)=a(t-1)2+(a-4)(t-1)=at2-(a+4)t+4,故 f(x)=ax2-(a+4)zx+4=(x-1)(ax-4)。 2)不等式等价于2-a+4到+4≤0.因2L,32>0、可化为a≥+兰-4。 题设“有解”表示至少有一个x∈山，3)满足，故只需。不小于右式在该区间的最小值。由心+生≥4，等 号在x=2∈[1,3)1处成立，得最小值为0。 所以a≥0。检验a=0时取x=2等号成立，故参数范围为0，十∞)。 (3)要求解(x-1)(a-4)≤0。 当a=0时，不等式为-4(x-1)≤0，解集为[1，十o∞)。 当a<0时，二次项系数为负，两根为4<1，不大于零的部分在两根外侧，解集为 (o1+x 当0<a<4时1<县开和向上，解笑为引 当a=4时，不等式为4x-1)2≤0，解集为{1}。 当a>4时，<1开和向上为[信小： 上述各分支均包含使等号成立的根：a=0与a=4已分别处理。 19.(17分)已知二次函数y=ax2+bx+co (1)设y<0的解集为{x|1<x<2},若存在实数x,使得不等式x2+cx+b+4<0成立，求实数a 的取值集合； (2)设y<0的解集为{xc<x<a},且{a,b,c}C{-4,-1,1,3},求不等式ax2+ba-2a<0的解 集； (3)若对任意x∈R,2x+2≤y≤2x2-2x+4恒成立，求ab的最大值。 【答案】(1)(1，+∞)：(2) -3-17-3+√17 1 2 一，2 3)2° 解：(1)由二次不等式的解集为(1,2)，可知a>0,两根为1,2，所以 y=a(x-1)(x-2)=ax2-3a.x+2a。故b=-3a、c=2a。 原不等式化为x2+2ax一3a+4<0。其二次项系数为正，要存在实数解，必须且只需判别式严格大于0： △=(2a)2-4(-3a+4)=4(a+4)(a-1)>0。 高一数学第11页共12页 解得a<-4或a>1,再结合a>0,得a∈(1，+o∞)。a=1时判别式为0，二次式只能等于或大于0， 不符合严格不等式，故端点不取。 (2)由解集为(c,a),其中c<a,可知二次项系数a>0,且两根为c,a。因此y=a(c-c)(c-a)。比 较系数，得b=-a(a+c)、c=ac。 由c∈{-4，-1,1,3}，知c≠0，所以a2=1。结合a>0得a=1。又c<a=1,故c=-4或 c=-1。 若c=-4,则b=-(1一4)=3，满足集合条件；若c=一1，则b=0,不属于给定集合，须排除。故唯 一可行的系数组为(a,b,c)=(1,3,-4)。 待解不等式为2+3z-2<0,两根为3-7、-3+V 2 。因开口向上，解集为 2 -3-√17-3+√17 2 2 (3)把x=1代入两侧，得4≤a+b+c≤4，所以a+b+c=4。 由y-(2x+2)=ax2+(b-2)x+c-2≥0对一切实数成立，且为二次函数，得a>0。该二次式在 x=1处为0，故1是二重根，必须有y-(2x+2)=a(x-1)2。 比较系数，得b=2-2a、c=2+a。代入另一侧，2ax2-2x+4-y=(2-a)(x-1)2≥0对所有x成 立，等价于a≤2。故可行参数为0<a≤2。 于是=ae-20}2气。-)°<分等号在a号时成立，时》-1，c多两创法式分别为 e-1y与e-1识，满足所有条件。因此山的最大值为分 1 高一数学第12页共12页