专题06用频率估计概率、概率的简单应用期中复习讲义(核心知识梳理+典例精讲+分层专项训练)2026-2027学年浙教版九年级数学上册

专题06用频率估计概率、概率的简单应用期中复习讲义 ✵复习目标 1.理解频率的概念，掌握频率的计算，区分频率与概率的联系和区别。 2.理解频率的稳定性，知道在大量重复试验下，可以用稳定的频率估计随机事件的概率。 3.掌握用频率估计概率的适用条件，了解该方法适用于试验结果不具备等可能性的情形。 4.会运用概率进行简单估算，掌握标记法估算总体数量、预估事件发生次数的基本方法。 ✵高频题型梳理 题型1.关于频率与概率关系说法的正误 题型2求某事件的频率 题型3.由频率估计概率 题型4.用频率估计概率的综合应用 题型5.利用概率计算随机事件发生的平均次数 题型6.概率在转盘抽奖中的应用 题型7.概率在比赛中的应用 题型8.概率的其他应用 题型9.游戏的公平性 题型10.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、频率的概念 在n次重复试验中，若事件A发生m次，则事件A发生的频率为. 频率由试验结果计算得到，随试验改变而发生波动。 知识点二、用频率估计概率 在相同条件下进行大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率。 可以利用大量重复试验得到的稳定频率，估计事件发生的概率。 说明：用频率估计概率，不要求试验结果等可能，适用范围更广；试验次数越多，频率越接近概率，估计效果越好。 注意：概率是客观存在的，不会随着试验次数的变化而改变。 知识点三、频率与概率的区别与联系 1.区别：频率是试验的统计结果，具有波动性；概率是事件本身固有的常数，刻画事件发生可能性的大小，为固定值。 2.联系：大量重复试验时，频率会逐步稳定在概率附近。 知识点四、概率的简单应用 1.标记法估算总体数量：借助样本频率估计概率，列式估算总体的数量，所得结果为估计值。 2.预估事件发生次数：预估发生次数=试验总次数×事件发生的概率。 ✵易错提醒 1.只有大量重复试验，才能用频率估计概率；少量试验得到的频率不能作为概率。 2.频率不等同于概率，频率只是概率的估计值，二者不可直接划等号。 3.标记法求出的总体数量是估计值，不是精确值。 4.用频率估计概率，要求每次试验在相同条件下开展。 ✵典例精讲 题型1.关于频率与概率关系说法的正误 1．下列说法正确的是（     ） A．随机抛掷一枚硬币10次，一定有5次正面朝上 B．概率为的事件是不可能事件 C．频率反映了随机事件发生的频繁程度 D．天气预报“明天降水概率”，是指明天有的时间会下雨 【答案】C 【详解】解：A、随机抛掷一枚硬币10次，可能有5次正面朝上，故原说法错误； B、概率为的事件是随机事件，故原说法错误； C、频率反映了随机事件发生的频繁程度，说法正确； D、天气预报“明天降水概率”，是指明天有的可能会下雨，故原说法错误； 2．某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示： 种子粒数 200 300 500 700 800 900 1000 发芽种子粒数 187 282 435 624 718 814 901 种子发芽率 0.935 0.940 0.870 0.891 0.898 0.904 0.901 下面有四个说法： ①种子粒数是700时，发芽种子的粒数是624，所以种子发芽的概率是0.91； ②随着试验的种子数量的增加，发芽种子的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9； ③试验的种子粒数最多的那次试验得到的种子发芽的频率一定是该作物种子发芽的概率； ④若用频率估计种子发芽的概率约为0.9，则可以估计种子中大约有的种子不能发芽． 其中合理的是____________（填序号）． 【答案】②④ 【分析】本题考查了用频率估计概率的知识点，掌握大量重复试验中频率稳定值可估计概率是解题的关键． 根据频率与概率的关系，大量重复试验中频率稳定值可估计概率，但单次试验频率不一定等于概率． 【详解】解：①错误，当种子粒数为700时，发芽的频率为；且用频率估计概率需要大量重复试验，单次试验的结果具有偶然性，不能代表一般情况，故该说法错误，不符合题意； ②正确，因为随着试验种子数量的增加，发芽频率在0.9附近摆动，显示出稳定性，可估计概率约为0.9，符合题意； ③错误，频率与概率不一定相等，不符合题意； ④正确，用概率0.9估计，不能发芽的概率约为0.1，1000kg种子中不能发芽的种子约为100kg，符合题意． 故答案为：②④． 3．下面是两位同学对抛掷硬币问题的不同说法，你同意吗？为什么？ (1)抛掷一枚质量分布均匀的硬币，是“出现正面”还是“出现反面”无法预测，全凭运气．因此，抛掷1000次的话也许只有200次“出现正面”，也许会有700次“出现正面”，没有什么规律． (2)抛掷一枚质量分布均匀的硬币，“出现正面”和“出现反面”的机会均等．因此，抛掷1000次的话，一定会有500次“出现正面”，500次“出现反面”． 【答案】(1) 解：不同意，理由如下： ∵抛掷一枚质量分布均匀的硬币，单次试验的结果具有随机性， 又∵大量重复试验时，“出现正面”的频率会稳定在附近，存在统计规律， ∴该说法错误． (2) 解：不同意，理由如下： ∵抛掷一枚质量分布均匀的硬币，“出现正面”和“出现反面”的概率均为，二者机会均等， 又∵频率是实际试验的结果，不一定与概率相等， ∴ 抛掷次不一定恰好有次“出现正面”，该说法错误． 【分析】结合频率的稳定性及概率与频率的区别，分别判断两种说法的正误． 【详解】（1）略 （2） 略 题型2求某事件的频率 1．在一个不透明的袋子中装有两个红球，一个白球，一个黄球，这些球除颜色外都相同．从中一次摸出两个球，记下颜色后放回，多次重复上述试验，摸到的两个球颜色相同的频率最可能接近的数值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先列出所有等可能的摸球结果，找出颜色相同的结果数，计算出对应概率，多次试验的频率会稳定在概率附近，据此即可得到答案． 【详解】解：记两个红球分别为，白球为，黄球为． ∵从中一次摸出两个球，所有等可能结果为： ， ， ， ， ， ，共种等可能的结果， 其中摸到两个球颜色相同的结果只有种，即 ， ∴摸到两个颜色相同的球的概率为 ． 根据频率估计概率，多次重复试验后，频率会稳定在概率附近，因此频率最可能接近． 【点睛】 2．今天的日期是20250113，在这串数字中，“0”出现的频率是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了频率的计算，掌根频率的计算方法成为解题的关键． 据日期“20250113”中，共有8个数字，其中数字“0”出现了2次，然后运用频率公式计算即可． 【详解】解：日期“20250113”中，共有8个数字，其中数字“0”出现了2次，数字“2”出现的频率是． 故答案为：． 3．一个不透明的袋子里有除颜色外完全相同的5个小球，其中2个红球，2个白球，1个黑球．将袋子中的小球摇匀，从中随机摸一个小球，记下颜色后放回，记作随机摸球1次． (1)小天随机摸球8次，其中3次为白球，则8次摸球中，小天摸到白球的频率为________； (2)若小天一次随机拿出两个小球，请用列表或画树状图的方法，求恰好有一球是红色的概率． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据频率频数总试验次数直接计算即可； （2）通过列表列出所有可能的拿球结果，找出恰好有一球是红色的结果数，再代入概率公式计算即可． 【详解】（1）解：∵摸球总次数为8次，摸到白球的频数为， ∴摸到白球的频率为； （2）解：列表如下： 红 红 白 白 黑 红 红，红 红，白 红，白 红，黑 红 红，红 红，白 红，白 红，黑 白 白，红 白，红 白，白 白，黑 白 白，红 白，红 白，白 白，黑 黑 黑，红 黑，红 黑，白 黑，白 由表格可得，共有20种可能的结果，其中恰好有一球是红色的结果共12种， 恰好有一球是红色的概率为． 题型3.由频率估计概率 1．在一个不透明的布袋中装有红球、白球共40个，它们除颜色外其他均相同．小明每次摸出一个球，记下颜色后放回，通过多次试验发现，摸到红球的频率稳定在0.25左右，则布袋中白球的个数可能是（     ） A．10 B．20 C．30 D．36 【答案】C 【详解】解：摸到红球的频率稳定在左右， 摸到红球的概率为， 布袋中白球的个数为． 2．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 200 500 800 1000 合格频数 47 95 188 480 763 949 合格频率 0.94 0.95 0.94 0.96 0.954 0.949 估计任抽一件衬衣是合格品的概率：________________（结果精确到0.01）． 【答案】 【分析】当试验次数足够大时，可用频率的稳定值估计概率，根据表格中频率的变化趋势得到稳定值，再按要求精确即可． 【详解】解：观察表格可得，随着抽取件数增加，合格衬衣的频率逐渐稳定在附近； 最大抽取量为1000件时，合格频率为，将结果精确到得到； 因此估计任抽一件衬衣是合格品的概率为． 3．临安清凉峰自然保护区内生活着野兔和野鸡，科研人员需要预估保护区内这两种动物的总数量．科研人员随机捕捉100只动物，其中野兔60只，野鸡40只，分别做好标记后放回保护区．待标记动物充分混合在种群中后，依次捕捉不同数量的动物，统计两类动物的数量． (1)估计在该保护区中随机捕捉一只动物是野鸡的概率； (2)若科研人员在保护区里随机捕捉500只动物，野兔360只，野鸡140只．其中，带有标记的野兔有12只，带有标记的野鸡有8只．请你估计该保护区中共有多少只野兔和多少只野鸡？ 【答案】(1) 估计在该保护区中随机捕捉一只动物是野鸡的概率为 (2) 估计该保护区共有野兔1800只，野鸡700只 【分析】（1）利用第一次捕捉样本中野鸡的频率估计所求概率； （2）依据标记重捕法的比例关系，分别列等式求解野兔和野鸡的总数． 【详解】（1）解：∵随机捕捉的100只动物中，野鸡有40只， ∴样本中捕捉一只动物是野鸡的频率为， ∴估计随机捕捉一只动物是野鸡的概率为； （2）解：设该保护区野兔总数为只，野鸡总数为只， ∵第一次标记野兔60只，重捕的360只野兔中带标记的有12只， ∴， 解得； ∵第一次标记野鸡40只，重捕的140只野鸡中带标记的有8只， ∴， 解得； 答：该保护区约有野兔1800只，野鸡700只． 题型4.用频率估计概率的综合应用 1．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（    ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率 B．任意写一个整数，它能被2整除的概率 C．掷一枚质地均匀正六面体骰子，向上的面点数是2的概率 D．不透明袋子中装有10个球，其中有7个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，简单的概率计算等知识点，解题的关键是熟练掌握简单概率的计算． 利用概率公式逐项进行求概率，然后对比图中概率，即可得出结果． 【详解】解：A. 小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意； B. 任意写一个整数，它能被2整除的概率为，不符合题意； C. 掷一枚质地均匀正六面体骰子，向上的面点数是2的概率为，接近图中概率，该选项符合题意； D. 是绿球的概率为，不符合题意； 故选：C． 2．在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的统计数据： 摸球的次数n 1000 2000 3000 5000 8000 10000 摸到黑球的次数m 510 1180 1890 3400 4896 6010 摸到黑球的频率 0.51 0.59 0.63 0.68 0.612 0.601 根据实验提供的数据，学习小组可以估计出袋子中黑球的个数是________． 【答案】30 【分析】根据表格数据估计摸到黑球的概率，再结合球的总数求得黑球的数量即可． 【详解】解：由表可知，随着摸球次数增加，摸到黑球的频率逐渐稳定在附近，因此可估计摸到黑球的概率为， 所以黑球的个数约为个． 3．在一个不透明的盒子里装有若干个黑、红两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同.搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到红球的次数m 48 62 122 198 319 401 1194 摸到红球的频率 0.48 0.31 0.407 0.396 0.399 0.401 0.398 (1)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到红球的概率的估计值为______（精确到0.1）； (2)若盒子里黑球有24个，则红球有______个； (3)在（2）的条件下，又放入个完全一样的红球并摇匀，随机摸出1个球是红球的概率是，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用大量重复试验下频率的稳定值估计摸到红球的概率； （2）根据黑球数量与黑球的概率计算总球数，进而求得红球个数； （3）根据放入红球后的概率列方程求解的值． 【详解】（1）解：， 即随着摸球次数增大，摸到红球的频率稳定在附近， ∴摸到红球的概率估计值为； （2）解：摸到黑球的概率为， 总球数为（个）， 则红球个数为（个）； （3）解：根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 题型5.利用概率计算随机事件发生的平均次数 1．在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小星和小红一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球（不放回），小星先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小星获胜 B．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小星获胜 C．一定是小红获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小红获胜 【答案】B 【分析】本题考查了概率的定义，列举法等知识，结合选项，利用排除法求解即可． 【详解】假设两人第一次都摸到红球，若第二次小星摸到红球，小红摸到白球，则小星获胜；若第二次小星摸到白球，小红摸到红球，则小红获胜；故A、C都不正确； 若第一轮两人都摸到了白球，剩下只能是红球，因为小星先摸球，则小星先摸到2个红球，所以一定是小星获胜，故B正确；若第一轮两人都摸到了红球，剩下4球为两个红球，两个白球，假设两人第三次都摸到红球，若第四次小星摸到红球，小红摸到白球，则小星获胜；若第四次小星摸到白球，小红摸到红球，则小红获胜；故D不正确． 故选：B． 2．已知，在“浙”篮球赛中，由大数据推送发现某地号运动员比赛中罚球投中的概率是．若他在一场比赛中，有次罚球机会，则他估计能投中的次数是_________． 【答案】 【分析】本题考查了已知概率求数量，掌握概率的意义是解题的关键．根据概率的意义直接计算即可. 【详解】解：该运动员比赛中罚球投中的概率是， 若有次罚球机会，则他估计能投中的次数是（次）． 故答案为：． 3．将所有可能的取值与其对应的概率相乘，再将这些结果相加，称为这个事件的数学期望，它与随机事件的平均值密切相关．一个随机事件可能出现的值为、…，对应的概率为、…，则数学期望为．例如，抛掷一个骰子，出现的概率都为，则点数的数学期望为，也可以说投骰子出现的平均点数为． (1)海猫超市推出的返现活动如下：顾客在超市中消费一定金额后，可参加抽奖，返现金额与概率如下表所示，计算返现金额的数学期望； 金额 3元 4元 5元 6元 概率 (2)某六面骰子各个面的点数分别为1，2，3，4，，（n为正整数），n为何值时，点数的数学期望最小？请说明理由． 【答案】(1)元 (2)当时，数学期望最小，理由如下： 点数的数学期望为 ， 当时，数学期望最小，最小值为． 【分析】本题考查了的最值，利用概率计算随机事件发生的数学期望，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据表中数据，利用定义法求解； （2）先根据题意，列出点数的数学期望的算式，再配方后求出最值即可． 【详解】（1）解：返现金额的数学期望为 （元）； （3） 略 题型6.概率在转盘抽奖中的应用 1．如图，某商场举行幸运大转盘活动，转盘中个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域即为中奖，小明转动一次转盘，中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由简单概率公式直接计算即可． 【详解】解：根据转盘中个扇形区域中有个红色区域，则中奖的概率为． 2．小明在一次数学活动课上制作了一个质地均匀的抽奖转盘，如图所示，盘面被等分成八个扇形区域，每个扇形区域里标的数字，，分别代表获得一、二、三等奖．若转动转盘一次，转盘停止后（当指针恰好指在分界线上时，不记，重转），指针所指区域为获奖结果，那么获得二等奖的概率为______． 【答案】 【分析】用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：有个，共有种情况， 故转动转盘一次，转盘停止后（当指针恰好指在分界线上时，不记，重转），指针所指区域为获奖结果，那么获得二等奖的概率为． 3．春节期间，某购物广场举行有奖促销活动，顾客每购物满300元，就可以从以下两种奖励方案中选择一种： 方案一：先掷一枚硬币，如果正面朝上，就获得自由转动如图所示转盘（转盘被6等分）的机会，指针指向的区域即为奖励的购物券金额；如果硬币正面朝下，则转盘中奖励的购物券金额减半； 方案二：不掷硬币，直接获得40元的购物券． (1)某顾客选择方案一，求顾客一次获得50元购物券的概率； (2)请你通过计算，比较顾客选择哪一种方案更合算． 【答案】(1) (2)方案二 【分析】（1）列举出所有可能即可求； （2）分别求出两种方案下平均获奖的情况即可． 【详解】（1）解：所有可能的情况有6种，①正面朝上指针指向50元，获得50元购物券；②正面朝上指针指向100元，获得100元购物券；③正面朝上指针指向谢谢，不得奖；④正面朝下指针指向50元，购物券金额减半获得25元购物券；⑤正面朝下指针指向100元，购物券金额减半获得50元购物券；⑥正面朝下指针指向谢谢，不得奖；其中一次获得50元购物券的情况有2种：分别是正面朝上指针指向50元，获得50元购物券；正面朝下指针指向100元，购物券金额减半获得50元购物券； 故一次获得50元购物券的概率为； （2）解：由（1）知，方案一：一次获得100元购物券的情况只有1种，故一次获得100元购物券的概率为；一次获得25元购物券的情况只有1种，故一次获得25元购物券的概率为； 一次平均获奖（元）， 方案二：直接获奖40元， 则顾客选择方案二更合算． 题型7.概率在比赛中的应用 1．体育场内，所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式（即共分为四轮比赛，每一轮比赛中，随机抽取一支队伍轮空直接晋级下一轮，非轮空的队伍之间两两进行比赛，胜者晋级下一轮．最后一轮结束时，由轮空队伍与该轮获胜队伍进行总决赛，总决赛胜者为冠军）假定每支队伍实力均等（即每场比赛双方的胜率均为），那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为（    ）．（已知：独立事件的联合概率等于各独立事件概率的乘积） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了概率的计算，根据题意，计算出每一轮比赛队伍的支数，然后求出每一轮抽到轮空概率，结合赢得总决赛的概率，算得答案即可． 【详解】解：∵所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式， ∴第一轮共有17支队伍，第二轮共有9支队伍，第三轮共有5支队伍，第四轮共有3支队伍， ∴第一轮抽中轮空概率为，第二轮抽中轮空概率为，第三轮抽中轮空概率为，第四轮抽中轮空概率为， ∵赢得总决赛概率为， ∴那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为：． 故选：B． 2．某市端午赛龙舟，甲、乙两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟．同规格较量，甲队皆占优；但乙队的快速舟可胜甲队的中速舟，乙队的中速舟可胜甲队的慢速舟，若甲队按快、中、慢的顺序出场，乙队随机安排顺序出场，则乙队获胜的概率为______． 【答案】 【分析】先列出乙队所有等可能的出场顺序，再找出乙队获胜的情况，根据概率公式计算结果即可． 【详解】解：甲队出场顺序固定为快、中、慢，对乙队出场顺序进行排列，所有等可能的结果共种，分别为快中慢、快慢中、中快慢、中慢快、慢快中、慢中快． 根据比赛规则，乙队要获得三局两胜，必须满足：乙队慢速舟对甲队快速舟（输一局），乙队快速舟对甲队中速舟（赢一局），乙队中速舟对甲队慢速舟（赢一局），仅有一种排列顺序满足获胜条件，因此乙队获胜的概率为． 3．小明与小颖做游戏，他们连续掷一枚质地均匀的硬币，每掷一次硬币，若正面朝上，则小明得1分，否则，小颖得1分，谁先得3分谁获胜．进行一段时间后，小明得了2分，小颖得了1分，这时，小明有事要离开，游戏即将中断．如果游戏继续，你认为小明和小颖获胜的概率分别是多少？ 【答案】小明获胜的概率为，小颖获胜的概率为． 【分析】根据当前比分确定最多再掷2次硬币即可分出胜负，列举所有等可能的结果，结合概率公式计算两人获胜的概率． 【详解】解：由题意得，小明已得2分，小颖已得1分，先得3分者获胜，因此最多再掷2次硬币即可分出胜负． 掷两次硬币，所有等可能的结果为（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），共4种． 若第一次掷出正面，小明累计得3分直接获胜，对应（正，正）、（正，反）2种结果； 若第一次掷出反面，第二次掷出正面，小明累计得3分获胜，对应（反，正）1种结果； 若两次均掷出反面，小颖累计得3分获胜，对应（反，反）1种结果． ∴小明获胜的结果共3种，小颖获胜的结果共1种． ∴（小明获胜），（小颖获胜）． 答：小明获胜的概率为，小颖获胜的概率为． 题型8.概率的其他应用 1．甲、乙、丙、丁四位同学在操场上练习互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，则第二次传完后，球回到手上概率最高的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查树状图法与列表法求概率．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与经过两次传球后，球回到甲、乙、丙、丁手中的情况，再利用概率公式即可求得答案．解题的关键是掌握知识点：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：画树状图得：    ∵共有种等可能的结果，经过次传球后，球回到甲手中的有种情况，回到乙手中的有种情况，回到丙手中的有种情况，回到丁手中的有种情况， ∴经过次传球后，球回到甲手中的概率是， 球回到乙手中的概率是， 球回到丙手中的概率是， 球回到丁手中的概率是， ∵， ∴第二次传完后，球回到手上概率最高的同学是甲． 故选：A． 2．有盲盒甲和盲盒乙，甲每次抽中的概率恒为，乙第一次抽中的概率为，随着次数的增加每次增加，则抽五次后恰好抽中一次概率更大的是___________．（选填“甲”或“乙”或“概率相同”）． 【答案】甲 【分析】分别计算甲五次内恰好抽中一次的概率与乙五次内恰好抽中一次的概率，比较两者大小即可得到结果． 【详解】解∶甲每次抽中概率为，每次抽不中概率为，根据独立重复试验概率公式得， 甲五次内恰好抽中一次的概率为； 乙五次抽中概率依次为，恰好抽中一次的概率为仅一次抽中其余四次不中的概率和， 乙五次内恰好抽中一次的概率为 ， ∴， 抽五次后抽中一次概率更大的是甲． 3．在街头巷尾会遇到一类“摸球游戏”，摊主的游戏道具是把分别标有数字1，2，3的3个白球和标有数字4，5，6的3个黑球（球除颜色外，其他均相同）放在口袋里，让你摸球．规定：每次付4元钱就玩一局，每局连续摸两次，每次只能摸一个，第一次摸完后把球放回口袋里搅匀后再摸一次，若前后两次摸得的都是白球，摊主就送你元钱的奖品． (1)用列表法列举出摸出的两球可能出现的结果； (2)求出获奖的概率； (3)如果有个人每人各玩一局，摊主可能会从这些人身上赚走多少钱？ 【答案】(1)解：列表如下，共有种等可能的结果数； 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 (2) (3)元 【分析】（1）通过列表的方式列举出所有可能的摸球结果即可； （2）先找出两次都摸白球的结果数，再根据概率公式计算即可； （3）将摊主的收入减去送出奖品的金额，即可得到摊主的盈利情况． 【详解】（1）共有种等可能的结果数，表略； （2）解：由（1）可得，共有36种等可能的结果数，其中前后两次摸得的都是白球的结果数为9， 所以获奖的概率为； （3）解：（元）， 答：摊主可能会从这些人身上赚走元． 题型9.游戏的公平性 1．如图，若干名同学玩扔石子进筐游戏，图①、图②分别是两种游戏方式．关于这两种方式的“公平性”有下列4种说法，其中正确的是（    ） A．两种均公平 B．两种均不公平 C．仅图①公平 D．仅图②公平 【答案】D 【分析】此题考查了游戏公平性，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 对图①、图②分别是两种站立方式分别进行判断即可． 【详解】解：图①中，若干名同学到筐的距离不相等，则图①不公平； 图②中，若干名同学到筐的距离相等，则图②公平； 故选：D． 2．如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，四个扇形的面积都相等，且分别标有，，，，转动转盘一次，若指针未指在分界线上，则记为一次有效转动；若指针指在分界线上，则需要重新转动转盘，直到完成一次有效转动为止．明明和亮亮两人用如图所示的转盘做游戏，两人各转动转盘一次，转盘停止后记下指针指向的数字．如果两人转得的数字之和为奇数，则明明胜；如果两人转得的数字之和为偶数，则亮亮胜，你对这个游戏公平性的评价是_____（填“公平”、“对明明有利”或“对亮亮有利”）． 【答案】对亮亮有利 【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率，熟练掌握概率公式是求解的关键． 根据题意，画树状图，再运用概率公式求概率，判断游戏公平性． 【详解】解：根据题意，画树状图如下． 由树状图，可知共有16种等可能的结果，其中和为奇数的结果有6种，和为偶数的结果有10种， ，， ∴这个游戏对亮亮有利， 故答案为：对亮亮有利． 3．在一只不透明的布袋中，装有质地大小均相同的四个小球，四个小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：随机摸出一个小球，记下标号后放回，搅拌均匀后再随机摸一个小球，若两球上的数字之和为4，则甲胜：若两球上的数字之和为5，则乙胜．请你利用画树状图或列表，说明这个游戏规则对甲乙双方是否公平． 【答案】这个游戏规则对甲乙双方不公平． 理由如下： 树状图如下： 一共有16种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为4的结果数有3种， 其中两球上的数字之和为5的结果数有4种， ∴，， ∵ ， ∴ 该游戏规则对甲乙双方不公平． 【详解】略 ✵分层专项训练 一、单选题 1．在一个不透明的袋子中有除颜色外完全相同的个白球和若干个黑球，通过多次摸球后发现，摸到黑球的概率是，则袋子中有（     ）黑球． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】设袋子中有x个黑球，然后依据概率计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设袋子中有x个黑球， 可得， 解得， 经检验，是原方程的解， 则袋子中有个黑球． 2．下列说法合理的是（     ） A．小明做了3次投掷均匀硬币的试验，其中有1次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷1次，正面朝上的概率还是 B．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖 C．某射击运动员射击1次只有两种可能的结果，即中靶与不中靶，所以他中靶的概率是 D．小明做了3次掷图钉的试验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 【答案】A 【分析】根据概率的特征及频率估计概率的条件判断各选项即可． 【详解】解：均匀硬币正面朝上的概率为，每次投掷结果互不影响，与之前试验结果无关，故A选项说法合理． 中奖概率仅表示中奖的可能性大小，买100张彩票不一定有5张中奖，故B选项说法不合理． 射击的中靶与不中靶不是等可能事件，不能直接得出中靶概率为，故C选项说法不合理． 3次试验次数过少，不能用频率估计概率，且图钉质地不均匀，钉尖朝上与朝下不是等可能事件，故D选项说法不合理． 3．林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下： 移植总数m 10 270 750 1500 3500 7000 14000 成活数n 8 235 662 1335 3180 6292 12628 成活的频率（精确到） 下列说法正确的是（    ） A． 若移植100棵幼树，成活数一定为90棵 B． 随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为 C． 移植的幼树越多，成活率越高 D． 若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵 【答案】B 【详解】解：A、成活数不一定为90棵，频率具有随机性，说法错误，不符合题意； B、从统计数据看，当移植总数较大时（如1500、3500、7000、14000），成活频率分别为 ，均在左右摆动，显示出稳定性，可以用频率估计该幼树移植成活的概率为，说法正确，符合题意； C、随着移植的幼树总数的增加，成活率逐渐趋于并稳定于一个数值，说法错误，不符合题意； D、基于概率估计，移植270棵时成活数可能超过235棵（如 ），说法错误，不符合题意． 二、填空题 4．现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下图所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．如图，若表中第一个数字是4，甲先填，则满足条件的填法有 种，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数结果． 4 【答案】6，9182 【分析】根据填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，可知，甲每次都会选最大的数字；再根据乙选择数字的方法判断满足条件的填法即可． 【详解】解：∵甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，表中第一个数字是4，甲先填， ∴第二个数字为9，第四个数字为8， ∵乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字． ∴第三个数字可以为1，2，3，第五个数字可以为1,2，且不能与第三个数字相同，即第三个数字有3种选法，第五个数字有2种选法， ∴满足条件的填法有6种，表中空白处可以为9182． 故答案为：6，9182 【点睛】本题考查概率的知识，解题的关键是理解甲选数字的方法，乙选数字的方法，根据其选数字的方法知道其所选数字． 5．小明用一枚质地均匀的骰子设计了一个游戏：任意掷出骰子，当掷出的是偶数点时，黑方前进一步；当掷出的是奇数点时，红方前进一步．这个游戏_______（填“公平”或“不公平”）． 【答案】公平 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件发生的概率，概率相等就公平，否则就不公平，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：任意掷出骰子，出现的点数情况如下： 1，2，3，4，5，6，共六种情况． ，，因此这个游戏公平． 故答案为：公平． 三、解答题 6．在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、白两种球共20个，某学习小组做摸球试验．将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中记下的一组数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 (1)请你估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到）； (2)假如你去摸球一次，你摸到白球的概率是______，摸到黑球的概率是______； (3)估算口袋中黑、白两种颜色的球分别有多少个． 【答案】(1) (2)； (3)黑球8个，白球12个 【分析】（1）本题需先根据表中的数据，估计出摸到白球的频率． （2）本题根据摸到白球的频率即可求出摸到白球和黑球的概率． （3）根据口袋中黑、白两种颜色的球的概率即可求出口袋中黑、白两种颜色的球有多少个． 【详解】（1）解：由表可知，当很大时，摸到白球的频率将会接近； （2）解：当很大时，摸到白球的频率将会接近 摸到白球的概率为 摸到黑球的概率为； （3）解：摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是， 口袋中有白球（个）， 黑球（个）． 7．小明周末来到公园，发现在公园一角有一种“守株待兔”游戏．游戏设计者提供了一只兔子和一个有、、、、五个出入口的兔笼，而且笼内的兔子从每个出入口走出兔笼的机会是均等的．规定：①玩家只能将小兔从、两个出入口放入，②如果小兔进入笼子后选择从或进入的出入口离开，则可获得一只价值元小兔玩具，并且每玩一次需付费元． (1)请用表格或树状图求小明玩一次“守株待兔”游戏能得到小兔玩具的概率； (2)假设有人次玩此游戏，估计游戏设计者可赚多少元？ 【答案】(1) (2)估计游戏设计者可赚元 【分析】（1）通过画树状图列出所有等可能的结果，再找出符合“①玩家只能将小兔从、两个出入口放入，②如果小兔进入笼子后选择从或进入的出入口离开”的结果数，根据概率公式计算得到小兔玩具的概率． （2）先计算每人次游戏设计者的收益，再结合人次的总参与量，用总收费减去总赔付金额，得到设计者的总盈利． 【详解】（1）解：画树状图为 共有10种等可能的结果数，其中符合“①玩家只能将小兔从、两个出入口放入，②如果小兔进入笼子后选择从或进入的出入口离开”的结果数为4， 所以小明玩一次“守株待兔”游戏能得到小兔玩具的概率； （2）解：（元）， 所以估计游戏设计者可赚1000元． 8．某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形．商场规定：顾客每购买50元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得30元、20元、10元的购物券． (1)“转动一次转盘获得100元的购物券”是___________；（选填：“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”） (2)计算：转动一次转盘获得20元购物券的概率是多少？ (3)如果顾客获得一次转转盘的机会，试判断：得到购物券的概率和未得到购物券的概率，哪个大？ 【答案】(1)不可能事件 (2) (3)未得到购物券的概率比得到购物券的概率大 【分析】（1）由于没有100元的购物券，故该事件为不可能事件； （2）用绿色区域个数除以分成的区域总数可得答案； （3）分别计算出得到购物券和未得到购物券的概率，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：∵30元、20元、10元的购物券，没有100元的购物券 ∴“转动一次转盘获得100元的购物券”是不可能事件； （2）解：， 答：转动一次转盘获得20元购物券的概率是； （3）解：得到购物券的概率为， 未得到购物券的概率为， ∵， ∴未得到购物券的概率比得到购物券的概率大． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06用频率估计概率、概率的简单应用期中复习讲义 ✵复习目标 1.理解频率的概念，掌握频率的计算，区分频率与概率的联系和区别。 2.理解频率的稳定性，知道在大量重复试验下，可以用稳定的频率估计随机事件的概率。 3.掌握用频率估计概率的适用条件，了解该方法适用于试验结果不具备等可能性的情形。 4.会运用概率进行简单估算，掌握标记法估算总体数量、预估事件发生次数的基本方法。 ✵高频题型梳理 题型1.关于频率与概率关系说法的正误 题型2求某事件的频率 题型3.由频率估计概率 题型4.用频率估计概率的综合应用 题型5.利用概率计算随机事件发生的平均次数 题型6.概率在转盘抽奖中的应用 题型7.概率在比赛中的应用 题型8.概率的其他应用 题型9.游戏的公平性 题型10.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、频率的概念 在n次重复试验中，若事件A发生m次，则事件A发生的频率为. 频率由试验结果计算得到，随试验改变而发生波动。 知识点二、用频率估计概率 在相同条件下进行大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率。 可以利用大量重复试验得到的稳定频率，估计事件发生的概率。 说明：用频率估计概率，不要求试验结果等可能，适用范围更广；试验次数越多，频率越接近概率，估计效果越好。 注意：概率是客观存在的，不会随着试验次数的变化而改变。 知识点三、频率与概率的区别与联系 1.区别：频率是试验的统计结果，具有波动性；概率是事件本身固有的常数，刻画事件发生可能性的大小，为固定值。 2.联系：大量重复试验时，频率会逐步稳定在概率附近。 知识点四、概率的简单应用 1.标记法估算总体数量：借助样本频率估计概率，列式估算总体的数量，所得结果为估计值。 2.预估事件发生次数：预估发生次数=试验总次数×事件发生的概率。 ✵易错提醒 1.只有大量重复试验，才能用频率估计概率；少量试验得到的频率不能作为概率。 2.频率不等同于概率，频率只是概率的估计值，二者不可直接划等号。 3.标记法求出的总体数量是估计值，不是精确值。 4.用频率估计概率，要求每次试验在相同条件下开展。 ✵典例精讲 题型1.关于频率与概率关系说法的正误 1．下列说法正确的是（     ） A．随机抛掷一枚硬币10次，一定有5次正面朝上 B．概率为的事件是不可能事件 C．频率反映了随机事件发生的频繁程度 D．天气预报“明天降水概率”，是指明天有的时间会下雨 2．某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示： 种子粒数 200 300 500 700 800 900 1000 发芽种子粒数 187 282 435 624 718 814 901 种子发芽率 0.935 0.940 0.870 0.891 0.898 0.904 0.901 下面有四个说法： ①种子粒数是700时，发芽种子的粒数是624，所以种子发芽的概率是0.91； ②随着试验的种子数量的增加，发芽种子的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9； ③试验的种子粒数最多的那次试验得到的种子发芽的频率一定是该作物种子发芽的概率； ④若用频率估计种子发芽的概率约为0.9，则可以估计种子中大约有的种子不能发芽． 其中合理的是____________（填序号）． 3．下面是两位同学对抛掷硬币问题的不同说法，你同意吗？为什么？ (1)抛掷一枚质量分布均匀的硬币，是“出现正面”还是“出现反面”无法预测，全凭运气．因此，抛掷1000次的话也许只有200次“出现正面”，也许会有700次“出现正面”，没有什么规律． (2)抛掷一枚质量分布均匀的硬币，“出现正面”和“出现反面”的机会均等．因此，抛掷1000次的话，一定会有500次“出现正面”，500次“出现反面”． 题型2求某事件的频率 1．在一个不透明的袋子中装有两个红球，一个白球，一个黄球，这些球除颜色外都相同．从中一次摸出两个球，记下颜色后放回，多次重复上述试验，摸到的两个球颜色相同的频率最可能接近的数值为（   ） A． B． C． D． 2．今天的日期是20250113，在这串数字中，“0”出现的频率是______． 3．一个不透明的袋子里有除颜色外完全相同的5个小球，其中2个红球，2个白球，1个黑球．将袋子中的小球摇匀，从中随机摸一个小球，记下颜色后放回，记作随机摸球1次． (1)小天随机摸球8次，其中3次为白球，则8次摸球中，小天摸到白球的频率为________； (2)若小天一次随机拿出两个小球，请用列表或画树状图的方法，求恰好有一球是红色的概率． 题型3.由频率估计概率 1．在一个不透明的布袋中装有红球、白球共40个，它们除颜色外其他均相同．小明每次摸出一个球，记下颜色后放回，通过多次试验发现，摸到红球的频率稳定在0.25左右，则布袋中白球的个数可能是（     ） A．10 B．20 C．30 D．36 2．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 200 500 800 1000 合格频数 47 95 188 480 763 949 合格频率 0.94 0.95 0.94 0.96 0.954 0.949 估计任抽一件衬衣是合格品的概率：________________（结果精确到0.01）． 3．临安清凉峰自然保护区内生活着野兔和野鸡，科研人员需要预估保护区内这两种动物的总数量．科研人员随机捕捉100只动物，其中野兔60只，野鸡40只，分别做好标记后放回保护区．待标记动物充分混合在种群中后，依次捕捉不同数量的动物，统计两类动物的数量． (1)估计在该保护区中随机捕捉一只动物是野鸡的概率； (2)若科研人员在保护区里随机捕捉500只动物，野兔360只，野鸡140只．其中，带有标记的野兔有12只，带有标记的野鸡有8只．请你估计该保护区中共有多少只野兔和多少只野鸡？ 题型4.用频率估计概率的综合应用 1．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（    ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率 B．任意写一个整数，它能被2整除的概率 C．掷一枚质地均匀正六面体骰子，向上的面点数是2的概率 D．不透明袋子中装有10个球，其中有7个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率 2．在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的统计数据： 摸球的次数n 1000 2000 3000 5000 8000 10000 摸到黑球的次数m 510 1180 1890 3400 4896 6010 摸到黑球的频率 0.51 0.59 0.63 0.68 0.612 0.601 根据实验提供的数据，学习小组可以估计出袋子中黑球的个数是________． 3．在一个不透明的盒子里装有若干个黑、红两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同.搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到红球的次数m 48 62 122 198 319 401 1194 摸到红球的频率 0.48 0.31 0.407 0.396 0.399 0.401 0.398 (1)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到红球的概率的估计值为______（精确到0.1）； (2)若盒子里黑球有24个，则红球有______个； (3)在（2）的条件下，又放入个完全一样的红球并摇匀，随机摸出1个球是红球的概率是，求的值． 题型5.利用概率计算随机事件发生的平均次数 1．在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小星和小红一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球（不放回），小星先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小星获胜 B．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小星获胜 C．一定是小红获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小红获胜 2．已知，在“浙”篮球赛中，由大数据推送发现某地号运动员比赛中罚球投中的概率是．若他在一场比赛中，有次罚球机会，则他估计能投中的次数是_________． 3．将所有可能的取值与其对应的概率相乘，再将这些结果相加，称为这个事件的数学期望，它与随机事件的平均值密切相关．一个随机事件可能出现的值为、…，对应的概率为、…，则数学期望为．例如，抛掷一个骰子，出现的概率都为，则点数的数学期望为，也可以说投骰子出现的平均点数为． (1)海猫超市推出的返现活动如下：顾客在超市中消费一定金额后，可参加抽奖，返现金额与概率如下表所示，计算返现金额的数学期望； 金额 3元 4元 5元 6元 概率 (2)某六面骰子各个面的点数分别为1，2，3，4，，（n为正整数），n为何值时，点数的数学期望最小？请说明理由． 题型6.概率在转盘抽奖中的应用 1．如图，某商场举行幸运大转盘活动，转盘中个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域即为中奖，小明转动一次转盘，中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 2．小明在一次数学活动课上制作了一个质地均匀的抽奖转盘，如图所示，盘面被等分成八个扇形区域，每个扇形区域里标的数字，，分别代表获得一、二、三等奖．若转动转盘一次，转盘停止后（当指针恰好指在分界线上时，不记，重转），指针所指区域为获奖结果，那么获得二等奖的概率为______． 3．春节期间，某购物广场举行有奖促销活动，顾客每购物满300元，就可以从以下两种奖励方案中选择一种： 方案一：先掷一枚硬币，如果正面朝上，就获得自由转动如图所示转盘（转盘被6等分）的机会，指针指向的区域即为奖励的购物券金额；如果硬币正面朝下，则转盘中奖励的购物券金额减半； 方案二：不掷硬币，直接获得40元的购物券． (1)某顾客选择方案一，求顾客一次获得50元购物券的概率； (2)请你通过计算，比较顾客选择哪一种方案更合算． 题型7.概率在比赛中的应用 1．体育场内，所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式（即共分为四轮比赛，每一轮比赛中，随机抽取一支队伍轮空直接晋级下一轮，非轮空的队伍之间两两进行比赛，胜者晋级下一轮．最后一轮结束时，由轮空队伍与该轮获胜队伍进行总决赛，总决赛胜者为冠军）假定每支队伍实力均等（即每场比赛双方的胜率均为），那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为（    ）．（已知：独立事件的联合概率等于各独立事件概率的乘积） A． B． C． D． 2．某市端午赛龙舟，甲、乙两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟．同规格较量，甲队皆占优；但乙队的快速舟可胜甲队的中速舟，乙队的中速舟可胜甲队的慢速舟，若甲队按快、中、慢的顺序出场，乙队随机安排顺序出场，则乙队获胜的概率为______． 3．小明与小颖做游戏，他们连续掷一枚质地均匀的硬币，每掷一次硬币，若正面朝上，则小明得1分，否则，小颖得1分，谁先得3分谁获胜．进行一段时间后，小明得了2分，小颖得了1分，这时，小明有事要离开，游戏即将中断．如果游戏继续，你认为小明和小颖获胜的概率分别是多少？ 题型8.概率的其他应用 1．甲、乙、丙、丁四位同学在操场上练习互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，则第二次传完后，球回到手上概率最高的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．有盲盒甲和盲盒乙，甲每次抽中的概率恒为，乙第一次抽中的概率为，随着次数的增加每次增加，则抽五次后恰好抽中一次概率更大的是___________．（选填“甲”或“乙”或“概率相同”）． 3．在街头巷尾会遇到一类“摸球游戏”，摊主的游戏道具是把分别标有数字1，2，3的3个白球和标有数字4，5，6的3个黑球（球除颜色外，其他均相同）放在口袋里，让你摸球．规定：每次付4元钱就玩一局，每局连续摸两次，每次只能摸一个，第一次摸完后把球放回口袋里搅匀后再摸一次，若前后两次摸得的都是白球，摊主就送你元钱的奖品． (1)用列表法列举出摸出的两球可能出现的结果； (2)求出获奖的概率； (3)如果有个人每人各玩一局，摊主可能会从这些人身上赚走多少钱？ 题型9.游戏的公平性 1．如图，若干名同学玩扔石子进筐游戏，图①、图②分别是两种游戏方式．关于这两种方式的“公平性”有下列4种说法，其中正确的是（    ） A．两种均公平 B．两种均不公平 C．仅图①公平 D．仅图②公平 2．如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，四个扇形的面积都相等，且分别标有，，，，转动转盘一次，若指针未指在分界线上，则记为一次有效转动；若指针指在分界线上，则需要重新转动转盘，直到完成一次有效转动为止．明明和亮亮两人用如图所示的转盘做游戏，两人各转动转盘一次，转盘停止后记下指针指向的数字．如果两人转得的数字之和为奇数，则明明胜；如果两人转得的数字之和为偶数，则亮亮胜，你对这个游戏公平性的评价是_____（填“公平”、“对明明有利”或“对亮亮有利”）． 3．在一只不透明的布袋中，装有质地大小均相同的四个小球，四个小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：随机摸出一个小球，记下标号后放回，搅拌均匀后再随机摸一个小球，若两球上的数字之和为4，则甲胜：若两球上的数字之和为5，则乙胜．请你利用画树状图或列表，说明这个游戏规则对甲乙双方是否公平． ✵分层专项训练 一、单选题 1．在一个不透明的袋子中有除颜色外完全相同的个白球和若干个黑球，通过多次摸球后发现，摸到黑球的概率是，则袋子中有（     ）黑球． A．个 B．个 C．个 D．个 2．下列说法合理的是（     ） A．小明做了3次投掷均匀硬币的试验，其中有1次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷1次，正面朝上的概率还是 B．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖 C．某射击运动员射击1次只有两种可能的结果，即中靶与不中靶，所以他中靶的概率是 D．小明做了3次掷图钉的试验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 3．林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下： 移植总数m 10 270 750 1500 3500 7000 14000 成活数n 8 235 662 1335 3180 6292 12628 成活的频率（精确到） 下列说法正确的是（    ） A． 若移植100棵幼树，成活数一定为90棵 B． 随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为 C． 移植的幼树越多，成活率越高 D． 若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵 二、填空题 4．现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下图所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．如图，若表中第一个数字是4，甲先填，则满足条件的填法有 种，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数结果． 4 5．小明用一枚质地均匀的骰子设计了一个游戏：任意掷出骰子，当掷出的是偶数点时，黑方前进一步；当掷出的是奇数点时，红方前进一步．这个游戏_______（填“公平”或“不公平”）． 三、解答题 6．在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、白两种球共20个，某学习小组做摸球试验．将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中记下的一组数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 (1)请你估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到）； (2)假如你去摸球一次，你摸到白球的概率是______，摸到黑球的概率是______； (3)估算口袋中黑、白两种颜色的球分别有多少个． 7．小明周末来到公园，发现在公园一角有一种“守株待兔”游戏．游戏设计者提供了一只兔子和一个有、、、、五个出入口的兔笼，而且笼内的兔子从每个出入口走出兔笼的机会是均等的．规定：①玩家只能将小兔从、两个出入口放入，②如果小兔进入笼子后选择从或进入的出入口离开，则可获得一只价值元小兔玩具，并且每玩一次需付费元． (1)请用表格或树状图求小明玩一次“守株待兔”游戏能得到小兔玩具的概率； (2)假设有人次玩此游戏，估计游戏设计者可赚多少元？ 8．某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形．商场规定：顾客每购买50元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得30元、20元、10元的购物券． (1)“转动一次转盘获得100元的购物券”是___________；（选填：“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”） (2)计算：转动一次转盘获得20元购物券的概率是多少？ (3)如果顾客获得一次转转盘的机会，试判断：得到购物券的概率和未得到购物券的概率，哪个大？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $