第4章第9讲比例线段（4.1～4.2）专题讲义 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

第9讲　比例线段(4.1~4.2)　　浙教版 · 数学九年级上册 数学 · 九年级上册 第 4 章　相似三角形 第 9 讲　比例线段(4.1~4.2) (一)比例的性质 　例题精析 例1 已知 a,b,c,d,e,f 六个数，如果，那么 理由如下：，， 应用此解题过程中的思路和方法解决问题： (1)若，则=＿⁠＿⁠＿. (2)已知，求的值. ▸思路点拨　(1)将题目中的结论用到式子中即可得到答案. (2)用题目解题步骤解决问题，即设，将 x,y,z 用含 k 的代数式表示出来，然后提出公共部分 k，约分即可. ▸过程详解　解：(1)2 (2)设，则 ，， ▸总结升华　在比例式中常用设 k 法，把所有的字母都用 k 来表示，即消元的思想. 　变式训练 1. (1)若，求的值. (2)若，且 ，求 a:b:c. (3)若，且 ，证明 (二)比例线段 　例题精析 例2 如图所示，有矩形 ABCD 和矩形 A′B′C′D′，，，A′B′=4cm，B′C′=6cm. (1)求和 (2)线段 A′B′,AB,B′C′,BC 成比例线段吗？ ▸思路点拨　(1)根据已知条件，代入和，即可求得结果. (2)由(1)判断线段成比例线段. ▸过程详解　解：(1)∵AB=8cm，，A′B′=4cm，B′C′=6cm，， (2)由(1)知，，，∴线段 A′B′,AB,B′C′,BC 成比例线段. ▸总结升华　四条线段 a,b,c,d 中，如果，那么这四条线段 a,b,c,d 成比例线段. 　变式训练 2. 如图，已知△ABC 中，∠°，CD⊥AB，垂足为 D，已知 ，. 问线段 AD,CD,CD,BD 是否成比例线段？写出你的理由. (三)比例尺 　例题精析 例3 在一幅比例尺是 1:2000000 的地图上，量得甲、乙两个城市之间高速公路的距离是 5.5cm. 在另一幅比例尺是 1:5000000 的地图上，这条公路的图上距离是多少？ ▸思路点拨　先利用比例尺计算出甲、乙两地之间的实际距离，然后再求解. ▸过程详解　解：设甲、乙两城高速公路实际距离 xcm. 依题意有 1:2000000=5.5:x，解得 . 设高速公路在 1:5000000 的地图上的图上距离为 ycm. 依题意有 1::11000000，解得 . 所以这条公路的图上距离是 2.2cm. ▸总结升华　比例尺 　变式训练 3. 在比例尺是 1:50 的图纸上，量得一个零件的长是 32cm，则它实际的长是（　　） A．32cm B．320cm C．160cm D．1600cm (四)比例中项及黄金分割 　例题精析 例4 已知 是 a,b 的比例中项，求 c. ▸思路点拨　由 c 是 a,b 的比例中项，得到 ，代入即可求出答案. ▸过程详解　解：∵c 是 a,b 的比例中项，，，∴c 为 3 或 -3. ▸总结升华　如果 c 是 a,b 的比例中项，那么⟺ 　变式训练 4. 已知线段 ，线段 x 是 a,b 的比例中项，则 x 等于（　　） A．36 B．6 C．-6 D．6 或 -6 例5 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，P 是线段 AB 上一点(AP>BP)，若满足，则称 P 是 AB 的黄金分割点. 黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好. 若舞台长 20 米，主持人从舞台一侧 B 进入，设他至少走 x 米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则 x 满足的方程是（　　） A． B． C． D．以上都不对 ▸思路点拨　由 P 是 AB 的黄金分割点，且 ，则 ，则，即可求解. ▸过程详解　解：由题意知，P 是 AB 的黄金分割点，且 ，则 ，， 故选 A. ▸总结升华　黄金分割就是要找出成比例的对应线段. 　变式训练 5. 宽与长的比是(约 0.618)的矩形叫黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感. 我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形 ABCD，分别取 AD,BC 的中点 E,F，连结 EF；以点 F 为圆心，FD 为半径画弧，交 BC 的延长线于点 G；作 GH⊥AD，交 AD 的延长线于点 H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（　　） A．矩形 ABFE B．矩形 EFCD C．矩形 EFGH D．矩形 DCGH (五)由平行线截得的比例线段 　例题精析 例6 如图，已知直线 分别截直线 于点 A,B,C，截直线 于点 D,E,F，且 (1)如果 ，求 DE 的长. (2)如果 DE::，求 AC 的长. ▸思路点拨　(1)由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出 DE 的长. (2)由平行线分线段成比例定理得出比例式，求出 BC 的长，即可得出 AC 的长. ▸过程详解　解：，， ，，，. ▸总结升华　三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 　变式训练 6. 如图，已知 AD∥BE∥CF，它们依次交直线 于点 A,B,C 和点 D,E,F. (1)如果 ，求 EF 的长. (2)如果 AB::，线段 x 是线段 DE 和线段 DF 的比例中项，求 x 的值. 例7 已知线段 a,b，求作线段 x，使 ，正确的作法是（　　） ▸思路点拨　对题中给出的等式进行变形，先作出已知线段 a,b 和 2b，再根据平行线分线段成比例定理作出平行线，被截得的线段即为所求线段 x. ▸过程详解　解：，线段 x 没法先作出，∴B 选项错误，根据平行线分线段成比例定理，只有 C 符合. 故选 C. ▸总结升华　在顶点处添一条平行线时，仍然满足三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 　变式训练 7. 已知线段 a,b,c，求作线段 x，使 ，以下作法正确的是（　　） (六)添平行线求线段比 　例题精析 例8 如图，已知在△ABC 中，AE:::3,AD 与 CE 相交于点 H，求的值. ▸思路点拨　过点 E 作 EF∥AD，交 BC 于点 F，根据 AE:::3，可判断出 ，继而由平行线分线段成比例定理可得出的值. ▸过程详解　解：如图，过点 E 作 EF∥AD，交 BC 于点 F. ∵AE::3，∴DF::3,DF::4. 又∵CD::3，∴CD:::2，∴CD::1. ∵EF∥AD， ▸总结升华　添加平行线，构造平行线分线段成比例的模型. 　变式训练 8. 如图，D,E 是△ABC 边 BC,AC 上的点，BD::5，连结 AD,BE，交点为 F,DF::4，那么的值是＿⁠＿⁠＿. 9. 如图，已知点 F 在 AB 上，且 AF::2,D 是 BC 延长线上一点，BC::1，连结 FD 与 AC 交于点 N，求 FN:ND 的值. 　链接好题 1. 如图，已知线段 AB，按以下步骤作图：①过点 B 作 BC⊥AB，使 ，连结 AC；②以点 C 为圆心，以 BC 长为半径画弧，交 AC 于点 D；③以点 A 为圆心，以 AD 长为半径画弧，交 AB 于点 E. 若 ，则 m 的值为（　　） A． B． C． D． 参考答案 【变式训练】 1. (1)设，， (2)设，则 ，，解得 ，，，所以 a:b::8:7. ，，，同理，即，， 2. 线段 AD,CD,CD,BD 成比例线段. 理由如下：在△ABC 中，∠°，，，⊥AB，， 在 Rt△ADC 中，，，所以 AD:::4，所以线段 AD,CD,CD,BD 成比例线段. 3. D 4. B 5. D 【解析】设正方形的边长为 2，则 . 在 Rt△DCF 中，，，，，∴矩形 DCGH 为黄金矩形. 故选 D. 6. (1)∵AD∥BE∥CF，，. (2)∵AD∥BE∥CF，，，， 7. C 8. 9. 过点 B 作 AC 的平行线交 DF 的延长线于点 E，，，∴设 ，则 ，， 【链接好题】 1. A 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $