3.5 幂函数与二次函数 讲义-2027届高考数学一轮复习

2027届高考数学一轮复习3-5幂函数与二次函数讲义 新高考全国卷考情解读 考点 新高考I卷、新高考Ⅱ卷五年考情(2022-2026) 命题解读 二次函数 2023新I卷T3、 次函数单调性应用 知识梳理 形如y=r(a∈R)的函数称为幂函数，其中a为常数. 概念 特征：系数是1；底数只有单独的自变量x:指数a是常数 y=x O<a<l 象1 0 a<0 0 i=t x=1 yux' 幂函数在(0，+∞)上都有定义 定点：幂函数的图象过定点(1,1)： 特别地：当a>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0) 当a>0时，幂函数在(0，十∞)上单调递增 单调性 特别地：当a>1时，图象下凸；当0<a<1时，图象上凸： 幂 用 当a<0时，幂函数在(0，十∞)上单调递减 (a为奇数，f(x)为奇函数 C为整数时 a为偶数，f(x)为偶函数， 奇偶性：fx)=x (p为偶数时，fx)为非奇非偶函数， a为分数时，设a= 9 p p为奇数时9为奇数，)为奇函数。 q为偶数，f(x)为偶函数， fx)=x与fx)=x在第一象限内的图象关于直线y=x对称 直线x=a(a>1)同各幂函数相交，按交点从下到上，则幂指数从小到大.（指大图高） 在(1，+∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴 F=x =x y=x y=xl y个 图象 10x 幂函数与二次函数 常 定义 R R R 20) 0】 幂 值域 b201 R 020, 6040 奇偶 奇 偶 奇 非奇非偶 你 单调 修 (一∞，0)减， 增 够 (一0,0)和(0，十0)减 李 (0,+0增 定点 (0,0),(1,1) (1,1) 解 1. 般式：fx)=ax2+bx+c(a≠0)： 对称轴X=一云顾点：（一六。产： 2.顶点式：fx)=a(x-m)2+n(a≠0：对称轴：x=m:顶点：(m,n): 学 3.零点式：fx)=a(x-x1)(x-2)(a≠0)：其中：x1,x2是方程：ax2+bx+c=0的两根： 二次函数 1.函数f()=a2+bx+c(a≠0)的图象关于直线x=-云对称 2.a>0时.f)开口向上.x=-之时，y取得最小值a:二 在对称轴左侧，y值随x值的增大而减少；在对称轴右侧：y的值随x值的增大而增大 3.a<0时.开和向下，家=一时，y取得最大价 在对称轴左侧，y值随x值的增大而增大：在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减少 第1页共14页 新高考五年真题剖析 1.(2023新I卷T4)设函数f(x)=2x(x-)在区间(0,1)上单调递减，则a的取值范围是() A.(-∞，-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞) 重点题型分析 题型1幂函数概念 【例1-1】(24-25高三·全国.一轮复习)下列函数中，属于幂函数的是() A.y=(2x)2 B.y-vx c.y=- D.y=2x 【例1-2】(26-27高三上·安微六安·阶段检测)己知幂函数f(x)=(m2-3m-3)xm-2的图象与y轴没有公共 点，则实数m的值为() A.4 B.1 C.-1 D.-4 【例1-3】（24-25高三上山东济宁.开学考试)“m=-1或m=4"是“幂函数f(x)=(m2-3m-3)xm2+m-3 在(0，+∞)上是减函数"的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【例1-4】（多选）(25-26高三上·安微阶段检测)己知函数f(x)=(m2-2m-2)xm是幂函数，则() A.f(1)=1B.m2-2m=3C.m2-2m=-1 D.f(x)是奇函数 【例1-5】(25-26高三上江西阶段检测)已知幂函数f)=(a2-a+2)x的定义域为R,则f(2)= 鲁方法提炼思维升华 幂函数只由x组成，x前面的系数只能是1，底数只能是单独的x,指数必须是常数. 变式训练 1.（25-26高三上河南·阶段检测)己知幂函数f(x)的图象经过点(4,2)，(m,3),则m=() A. B.3 C.6 D.9 2.（26-27高三上·江西阶段检测)已知幂函数f(x)=xm2-2m-3(m∈Z)在区间(0，+o)上单调递减，且f(x)为 偶函数，则m=() A.-1 B.0 C.1 D.2 第2页共14页 3.(25-26高三下.湖南长沙.开学考试)已知幂函数f()=(a2-a+2)x的定义域为R,则f(@)=() A. B.2 C. D.4 4.(多选)(25-26高三上广东肇庆阶段检测)若幂函数f(x)在(-∞，0)上单调递减，则f(2)的值可能是() A.月 B.4 C.V2 D.8 5.(25-26高三上·上海·期中)(26-27高三上.福建阶段检测)已知幂函数f(x)=(3m2+m-1)xm为偶函数， 则m=」 题型2与幂函数有关的函数的定义域、值域 【例2-1】（25-26高三上·上海闵行期中)下列函数定义域为[0，+∞)的是() A.y=x B.y=xa C.y= D.y=x 【例2-2】（24-25高三上福建阶段检测)已知f(x)=x是幂函数，则“"a是正偶数"是“f(x)的值域为[0，+o)” 的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【例2-3】(25-26高一上·江苏无锡·期末)若函数f(x)是偶函数，且值域为(0，+∞)，则f(x)可以是() A.f()= B.f()=x号 C.f(x)=x2 D.f()=x号 【例2-4】（多选）(25-26高一上江苏常州·期末)幂函数f(x)=(2m2+m-2)x-m-1,m∈N*,则下列结论 正确的是() A.m=1B.函数f(x)是奇函数C.f(-2)<f(3) D.函数f(x)的值域为(0，+o) 【例25】已知幂函数y=x“的图像过点（久，）， 则该幂函数的值域为 变式训练 1.(25-26高-上江苏扬州阶段检测)若α{-2，-1，-1,23 则满足幂函数f(x)=x的定义域与值域 相同的a构成集合A,则集合A的非空真子集个数为() A.14 B.7 C.23 D.11 第3页共14页 2.(23-24高一上安徽合肥期末)已知幂函数f)=x的图象过点(V2,写)，则下列说法中正确的是() A.定义域为{xx≠O} B.值域为R C.偶函数 D.减函数 3.(2324高一上山西吕梁阶段检测)已知幂函数f)的图象过点(8，则fx-22)的定义域为（) A.(0,2) B.(0,) C.(0,2] o.[o,引 4.(多选)(24-25高一上浙江衢州：期中)己知幂函数f()的图象经过点(2，)，则() A.函数f(x)为奇函数 B.f(④=日 C.函数f(x)的值域为R D.当x,>x1>0时，2>f(2) 5.(24-25高一上.上海阶段检测)己知k∈Z,设幂函数y=x2-6k的图象关于原点中心对称，且与x轴及y 轴均无交点，则k的值为 题型3幂函数过定点问题 【例3-1】(24-25高三上·黑龙江伊春.开学考试)己知f(x)为幂函数，m为常数，且m>1,则函数g(x)=f(x)+ m-1的图象经过的定点坐标为（) A.(1,1) B.(1,2) c.(-1,1) D.（-1,2) 【例3-2】(23-24高一上·天津滨海新区·期中)已知函数y=x,(a<0)的图象恒过定点A,若点A在一次 函数y=mx+n的图象上，其中m,n>0,则+的最小值为（） A.1 B.v2 C.2 D.4 【例3-3】(24-25高一上·广东广州·期中)下列关于幂函数f(x)=x“的描述中，正确的是() A.幂函数的图象都经过点(0,0)和(1,1) B.幂函数的图象不经过第三象限 C.当指数a取1,3，时，幂函数y=x是其定义域上的增函数 D.幂函数的图象过点(，8)则f(9)=音 第4页共14页 【例3-4】（多选）(2025高三·全国.专题练习)以下关于幂函数f(x)=x(α∈R)图像的说法，正确的有() A.f(x)的图像一定过原点 B.f(x)的图像一定过点(1,1) C.f(x)的图像可能经过第三象限 D.f(x)的图像可能经过第四象限 【例3-5】(25-26高一上山西·阶段检测)己知函数f(x)=xm-2+1(m为常数)的图象恒过定点P(a,b),则 a+b= 变式训练 1.（25-26高一·全国·寒假作业)函数y=(x-1)m的图象恒过定点() A.(1,0) B.(2,1) C.(0,-1) D.(m+1,1) 2.（24-25高一上·全国·课后作业)关于幂函数y=x的图象，下列说法正确的是（) A.幂函数图象恒过原点 B.存在a∈R,使得幂函数图象过第四象限 C.存在>0，使得幂函数为非奇非偶函数D.当0<<1时，幂函数图象恒在x轴上方 3.（24-25高一上·新疆喀什阶段检测)已知函数f(x)=√x,则下列选项错误的是() A.f(x)的图象过(0,0)点 B.f(x)的图象关于y轴对称 C.f(x)在(0，+o)上单调递增 D.f(x)>0 4.(多选)（24-25高一上·贵州黔东南·期末)已知幂函数f(x)=(a2-4a+4)xa-2,则下列说法正确的有（） A.a=1或3B.f(x)一定为奇函数 C.f(x)一定为减函数 D.f(x)必过点(1,1) 5.(23-24高一上·福建莆田·期中)已知函数y=x的图象恒过定点A,若点A在一次函数y=mx+的图象上， 其中m>0,n>0,则2+的最小值为 题型4幂函数的单调性 【例4-1】(2025天津.二模)己知函数y=2ax3(a<0),则此函数是() A.偶函数，且在区间(-o,0)上单调递减 B.偶函数，且在区间(0，+∞)上单调递增 第5页共14页 C.奇函数，且在区间(-∞，0)上单调递减 D.奇函数，且在区间(0，+∞)上单调递增 【例4-2】(25：26高一上-江苏连云港，期末)函数f冈=了*2的单调递增区间为（） 1 A.(-00,-2) B.（-2,-) c.() D.(+∞) 【例4-3】(25-26高三下·云南昭通·期中)“0<a<1"是“函数f(x)=xa+b在(0，+∞)上单调递增"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【例4-4】（多选）(25-26高二下辽宁葫芦岛·期末)下列函数中，是奇函数且在(0，+∞)上单调递减的是() A.y=x-3 B.y=月 C.y=-x2 D.y=x3 【例4-5】（2026·安徽合肥模拟预测)“m=0"是“函数f(x)=(m2-m+1)x2m-3为幂函数，且在(0，+o) 上单调递减”的 条件.（填“充分不必要”“必要不充分"“充要”“既不充分也不必要”） 变式训练 1.(26-27高三上山东·阶段检测)下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递减的是() A.y=x-3 B.y=x-2 C.y=-x2 D.y=-x3 2.(26-27高三上四川绵阳·开学考试)下列四个函数是奇函数且在定义域内单调递减的函数是() A.f)=是 B.f(x)=x C.f(x)=x3+x D.f=号-x 3.(23-24高三上山东济宁.期中)函数f(x)=V2x2-x-3的单调递增区间为() A.(-∞ B.(-∞，-1) c.原+∞) D.居+∞) 4.(23-24高一上江苏南京期末)已知幂函数f)的图象过点(2，)，则函数y=fx2+2)的单调递增区间 为() A.(-0,-2) B.（(-∞，-1) C.(0,+∞) D.(1,+) 5.(多选)(25-26高三上·四川泸州开学考试)已知定义在R上的偶函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，则f(x) 可能为() 第6页共14页 A.f)=是 B.f(x)=x2+1C.f(x)=lx|+2 D.f(x)=x 题型5与幂函数有关的函数的奇偶性 【例5-1】（25-26高三上·广东·阶段检测)己知函数f(x)=x3+c,则“f(0)=0"是“f(x)是奇函数"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D,既不充分也不必要条件 【例52】(23-24高三上上海静安阶段检测)已知a∈{12，号3，引，若f)=x为奇函数，且在(0，+∞) 上单调递增，则实数a的取值个数为() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【例5-3】（25-26高三上·重庆期中)若幂函数y=x是奇函数，且在(0，+∞)上单调递减，则a的值可以是 () A.-1 B.月 C.2 D.3 【例5-4】（多选）(2026江西·模拟预测)关于定义域为的函数f(x),下列说法正确的有() A.存在函数f(x),使得f(x)+f(-x)=x恒成立B.存在函数f(x),使得f(x)+f(-x)=x2恒成立 C.存在函数f(x),使得f(x)-f(-x)=x3恒成立D.存在函数f(x),使得f(x)-f(-x)=x4恒成立 【例5-5】（25-26高一上·甘肃定西期末)若幂函数f(x)=(t2-5t+7)x+1是奇函数，则t= 变式训练 1.（25-26高一上福建泉州·期中)若函数f(x)=(m+2)x3m为幂函数，则函数f(x)在定义域内为() A.增函数 B.减函数 C.奇函数 D.偶函数 2.(23-24高三上·陕西咸阳·阶段检测)己知幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm+3为偶函数，则2m+1og2m=() A.1 B.2 C.3 D.5 3.（23-24高一上·吉林延边期末)己知幂函数f(x)=(m2-5m+5)xm-2是R上的偶函数，且函数g(x)= f(x)-(2a-6)x在区间[1,3]上单调递减，则实数a的取值范围是() A.(-∞，4) B.(-∞，4 C.[6,+∞) D.(-∞，4U[6+∞) 第7页共14页 4.(多选)(25-26高一上山西朔州期末)己知幂函数f(x)=(m2-m-1)xm,则() A.当f(x)为奇函数时，m=-1 B.当f(x)为偶函数时，m=-2 C.当f(x)为奇函数时，f(x)在(0，+oo)上单调递减D.当f(x)为偶函数时，f(x)在(-o,0)上单调递减 5.(25-26高一上河南洛阳期中)设函数f)=226x++22(-3≤x≤3)的最大值为M,最小值为m,则M+ x2+1 m= 题型6幂函数的解析式、函数值 【例6-1】(2025·黑龙江大庆·模拟预测)已知幂函数y=f(x)的图象经过点(4,2)，则f(3)的值为() A B.v3 C.3 D.9 【例6-2】(23-24高三上·陕西汉中.阶段检测)已知幂函数f(x)=(m2+m-1)xm的图象与坐标轴没有公共 点，则f(②=() A,月 B.V2 C.2 D.2√2 【例6-3】(25-26高三上·黑龙江吉林阶段检测)已知幂函数f(x)=（a2-a+2)x的定义域为R,则f(a)= () A.月 B.1 C.4 D.8 【例6-4】（多选）(25-26高三上·海南·阶段检测)己知函数f(x)=(m2-6m+6)xm-3是幂函数，则() A.m=5 B.f(-1)=1 C.f(x)的图象关于y轴对称 D.若f(2)>1,则f(x)=x2 【例6-5】(2026上海闵行.二模)已知f(x)=(m-1)x,若y=f(x)是幂函数，且f(3)=27,则f(m)= 变式训练 1.(2026河南平顶山·模拟预测)已知幂函数f()的图象过点(7，)，则f)=（) A.x-2 B.x是 c.后 D.x2 2.(26-27高三上·新疆喀什阶段检测)若幂函数f()的图象经过点(4)，则f(-3)=（） A. B. C.9 D.27 第8页共14页 3.(23-24高三上上海·期中)设函数f(x)=a+bxx+c(a,b,c∈Z),则点(f(2),f(-2)不可能在函数() 的图像上。 A.y=x+2023 B.y=X+2024 C.y=x2023 D.y=x2024 4.(多选)(24-25高三上·江苏连云港阶段检测)下列命题中正确的是() A.若幂函数fx)的图像过点A(3,),则f(x)=x3 B若西数fe)径a在R上单调递增，则a的取位蔻同是L,+o网） C.已知函数f(x)=e+2+1向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到g(x)=ex D.已知x>0,y>0,且+3=1，则x+2y的最小值为7+2W6 5.(26-27高三上湖南·阶段检测)己知幂函数f(x)=(m2-m-1)xm为偶函数，则f(3)=」 题型7根据幂函数的单调性求参数 【例7-1】（26-27高三上·江苏南通阶段检测)若幂函数y=x为偶函数且在(0，+∞)单调递增，则实数的 可能值为() A.-2 B.- c. 【例7-2】(23-24高三上河北邢台期中)已知函数f(x)=(m2-m-1)xm2+m-3是幂函数，且在(0，+o0)上 单调递减，若a,bER,且a<0<b,la<lbl,则f(a)+f(b)的值() A.恒大于0 B.恒小于0C.等于0 D.无法判断 【例7-3】（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测)已知“t∈(a,5a"是“函数f(x)=x-3在(0，+∞)上单调递增” 的充分不必要条件，则正实数α的取值范围是() A.(3,+∞) B.[3,+∞) C.(0,3) D.(0,3] 【例7-4】(25-26高三上山东淄博阶段检测)若幂函数f(x)=(m2-3m-3)xm2+m-3在(0，+∞)上是增函 数，则实数m= 【例7-5】K25-26高三上·甘肃兰州阶段检测)已知幂函数f(x)=(m2+4m+4)xm+2在(0，+o)上单调递减.m 的值为 第9页共14页 变式训练 1.(26-27高三上·江苏盐城阶段检测)己知幂函数f(x)=x4m(m∈N+且m≠4)为奇函数，且在区间(0，+∞) 上递增，则m等于() A.1 B.1或3 C.2 D.3 2.(26-27高三上江西·阶段检测)已知幂函数f(x)=(au2-3)x在(0，+∞)上单调递减，则实数a的值为() A.2 B.v2 C.-V2 D.-2 3.(23-24高三上，黑龙江-阶段检测)函数f(x)=(m2-m-1)xm2+m-3是幂函数，对任意x1,x2∈(0，+o), 且x1≠2，满足f2<0,若a,beR,且a<0<b,lal<1b1,则f(a+fb)的值() x1-x2 A.恒大于0 B.恒小于0C.等于0 D.无法判断 4.(25-26高三上江苏泰州开学考试)若幂函数f(x)=(m2-m-1)x2m-3在(0，+∞)上单调递增，则实数m 的值为 5.(25-26高三上.上海徐汇阶段检测)若幂函数y=(m2-4m+1)xm-1为严格增函数，则的值为 题型8解不等式 【例8-1】(25-26高三上·广东·期中)己知函数f(x)=xx+x3,满足f(1-a)+f(a2-3)<0,则实数a 的取值范围为() A.(-2,+) B.(0,+0) C.(-1,2) D.(2,+∞) 【例8-2】（2025四川模拟预测)已知函数f(x)=-x3-x,则f(3)+f(-x2-1)>0的解集为() A.(-∞，-2)U(2,+o)B.(-∞，-V2U(V2,+∞)C.(-2,2)D.(-V2,V② 【例8-3】(25-26高三上江苏苏州阶段检测)已知幂函数y=xm2-2m-3(m∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，+ o)上单调递减，则满足(a+1)5>(3-2a)5的实数a的取值范围为() A.（-1)u() B.(作) c.（-1,)u(+∞ D.(（1,) 【例8-4】（多选）(25-26高一上陕西咸阳期末)已知幂函数f()过点(2，)， 则下列说法正确的是() A.f)= B.f(x)是减函数 第10页共14页 C.f(x)是奇函数 D.不等式xf(x+1)>0的解集是(-∞，-1)U(0,+o) 【例8-5】(23-24高三上辽宁大连期中)已知幂函数fx)=x的图象过点（任，8，且f(a-1)<f(8-2a), 则a的取值范围是 变式训练 1. 2.(25-26高一上江苏南京·期中)己知幂函数f(x)=(m2-m-5)x2-m,且f(1)>f(3),若f(2a)>f(a2-3), 则实数a的取值范围是() A.(-∞，-V3U(3,+o) B.(-∞，-1)U(3,+0) C.(-∞，-1)U(0,V3U(3,+∞) D.(-3,-1)U(0,3U(3,+o) 3.(24-25高一上江苏南京.阶段检测)已知幂函数y=xm2-2m-3(m∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，+oo) 上单调递减，则满足(a+1)5>(3-2a)5的实数a的取值范围为() A.(-∞，-1)U()B.(-∞3) C.(-1,)U(3+∞)D.0,) 4.(多选)(2425高一上·湖南·期中)己知幂函数f()=(m-1)x的图象经过点(8，)，下列结论正确的有（） A.m=2 B.f(0)=0 C.f(x)是偶函数 D.若f3-2x)>f(x+1),则xe(作，4 5.（25-26高一上河北唐山阶段检测)设f(x)=(t+2t+2)x是幂函数，若f(a+1)<f3-2a),则a的 取值范围是 题型9比较大小 【例9-1】(25-26高一上山东期中)已知点(3，)在幂函数f()=x的图象上，设a=f(-1),b=f(2-3), c=f(月，则a,b,c的大小关系为() A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a 【例9-2】(2026北京密云.一模)己知a,b,c∈R,则下列结论中不正确的是() A.若a>b,c<0,则a+c<b+c B.若a3>b3,则a>b C.若ac2>bc2,则a>b D.若√a<Vb,则a<b 第11页共14页 : 【例9-3】（25-26高三上河南漯河期末)已知a=0.3.2,b=0.2.3，c=0.3-0.2,则() A.c>a>b B.c>b>a C.b>a>c D.a>b>c 【例9-4】（多选）(25-26高三上江苏镇江开学考试)若a>b,m>0,c为实数，则下列不等式中一定成立的 有() A舜> b B.btm D.a3>b3 atm a c.a+后>b+日 【例9-5】（多选）(26-27高三上山东潍坊阶段检测)己知a>b>0,c<d<0,则() A.台>8 B.a2+c2≥-2ac C.ac>bd D.actd<betd 变式训练 1.(25-26高三上·上海浦东新阶段检测)己知a、b∈R,则“a>b"是“a3>b3"的(). A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 2.(25-26高三上吉林通化阶段检测)已知a=()11,b=()1,c=()11,则a,b,c的大小关系为() A.a>c>b B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a 3.（25-26高三上河北邯郸开学考试)已知a=42,b=30.4,c=1.50.8,则() A.b<c<a B.c<a<b C.a<c<b D.a<b<c 4.(多选)(25-26高三上·贵州贵阳·期中)己知a>0,b>0,m>0,则“a>b"的充要条件是() A.am>bm B.+m> C.ma>mb D.am>bm a+m 5.(26-27高三上福建阶段检测)已知a>b>0,c<0,则下列不等式成立的是() A.acbc B.B<b-c a a-c C.>6 D.(a+(+c≤o 题型10二次函数 【例10-1】(2025广东模拟预测)函数f(x)=(x-1)(x-a)与g(x)=bx2+cx表示同一个函数，则c=() A.-1 B.0 C.1 D.2 第12页共14页 【例102】(26-27高三上江西阶段检测)已知t>0且t≠1，函数f)=3x2+tx3x≤1在R上单 t比，x>1 调递增，则实数t的取值范围是() A.(1,2] 8.,引 c.B+∞) o.B2] 【例10-3】(2026江西赣州.二模)已知函数y=x2-4x+2在区间[0，t上的最大值为a,在区间[t,2t)上的 最大值为b.若a≥2b,则t的取值范围是() A.[2-3 B.[2-3,1] c.1+93] D.[3,2+3 【例10-4】（多选）(26-27高三上广东河源.阶段检测)若关于x的不等式ax2-bx+c>0的解集为M={xl 1<x<2),则下列选项正确的是() A.a<0 B.不等式cx2+bx+a>0的解集为{x1<x≤2} C.4a+2b+c<0 D.函数y=ax2+bx+c在(-∞，-引上单调递增 【例10-5】(2026天津.二模)已知a,b∈R,函数f(x)=x2-ax-b在[0,1]上的最大值为M,若M≥1对 任意b恒成立，则a的取值范围为 变式训练 1.（25-26高三上广东清远阶段检测)已知二次函数y=-x2+mx+m(m为常数)，当-2≤x≤4时，y 的最大值是15，则m的值是(). A.-19或号 B。-10或号 C.6或-19 D.6 2.(26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试)已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件f(x+4)=-f(x),且函 数y=f(x+2)是偶函数，当x∈(0,2]时，f(x)=x2-x+a,当x∈[-2,0)时，f(x)的最小值为-3，则a的 值等于() A.4 B.3 C.2 D.1 3.(26-27高三上·安徽·阶段检测)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0且a<b),若对任意的x∈R,f(x)≥0， 且f(1)≥(b-a),则实数1的取值范围为() A.(-0∞，2] B.[2,+∞) C.（-∞，3] D.[3,+∞) 4多滤(2026湾青模报预测)设函数f的定义城为[-1可：且0e)-1怎引，则〈) 第13页共14页 A.函数f(x)的值域为[0,2] B.函数f(x)在(2,3)上单调递减 C.方程f)=2有3个不同的解D.若方程[fx2-tf)+1=0有10个不同的解，则2<t< 5.(2026湖南邵阳，三模)已知函数f)={x-?,X<a,若f)存在最大值，则实数如的最大值为 2x-x2,x≥a, 第14页共14页2027届高考数学一轮复习3-5幂函数与二次函数讲义 新高考全国卷考情解读 考点 新高考I卷、新高考Ⅱ卷五年考情(2022-2026) 命题解读 二次函数 2023新I卷T3、 次函数单调性应用 知识梳理 形如y=r(a∈R)的函数称为幂函数，其中a为常数. 概念 特征：系数是1；底数只有单独的自变量x:指数a是常数 y=x O<a<l 象1 0 a<0 0 i=t x=1 yux' 幂函数在(0，+∞)上都有定义 定点：幂函数的图象过定点(1,1)： 特别地：当a>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0) 当a>0时，幂函数在(0，十∞)上单调递增 单调性 特别地：当a>1时，图象下凸；当0<a<1时，图象上凸： 幂 用 当a<0时，幂函数在(0，十∞)上单调递减 (a为奇数，f(x)为奇函数 C为整数时 a为偶数，f(x)为偶函数， 奇偶性：fx)=x (p为偶数时，fx)为非奇非偶函数， a为分数时，设a= 9 p p为奇数时9为奇数，)为奇函数。 q为偶数，f(x)为偶函数， fx)=x与fx)=x在第一象限内的图象关于直线y=x对称 直线x=a(a>1)同各幂函数相交，按交点从下到上，则幂指数从小到大.（指大图高） 在(1，+∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴 F=x =x y=x y=xl y个 图象 10x 幂函数与二次函数 常 定义 R R R 20) 0】 幂 值域 b201 R 020, 6040 奇偶 奇 偶 奇 非奇非偶 你 单调 修 (一∞，0)减， 增 够 (一0,0)和(0，十0)减 李 (0,+0增 定点 (0,0),(1,1) (1,1) 解 1. 般式：fx)=ax2+bx+c(a≠0)： 对称轴X=一云顾点：（一六。产： 2.顶点式：fx)=a(x-m)2+n(a≠0：对称轴：x=m:顶点：(m,n): 学 3.零点式：fx)=a(x-x1)(x-2)(a≠0)：其中：x1,x2是方程：ax2+bx+c=0的两根： 二次函数 1.函数f()=a2+bx+c(a≠0)的图象关于直线x=-云对称 2.a>0时.f)开口向上.x=-之时，y取得最小值a:二 在对称轴左侧，y值随x值的增大而减少；在对称轴右侧：y的值随x值的增大而增大 3.a<0时.开和向下，家=一时，y取得最大价 在对称轴左侧，y值随x值的增大而增大：在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减少 第1页共46页 新高考五年真题剖析 1.(2023新I卷T4)设函数f(x)=2xx-)在区间(0,1)上单调递减，则a的取值范围是() A.(-0∞，-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+0∞) 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】己知二次函数单调区间求参数值或范围、判断指数型复合函数的单调性、根据函数的单调性求参 数值 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答， 【详解】函数y=2x在R上单调递增，而函数f(x)=2-a在区间(0,1)上单调递减， 则有函数y=xx-四=x-)-在区间(0,1)上单调递减，因此≥1，解得a≥2， 所以a的取值范围是[2+∞). 故选：D 重点题型分析 题型1幂函数概念 【例1-1】(24-25高三·全国.一轮复习)下列函数中，属于幂函数的是() A.y=(2x)2 B.y=vx c.y=- D.y=2x 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】判断函数是否是幂函数 【分析】由幂函数的定义即可求解. 【详解】形如y=xa(a为常数且caER)为幂函数，要求底数为变量且系数为1， 对比选项仅有B:y=√F=x2符合要求. 故选：B 【例1-2】(26-27高三上·安徽六安阶段检测)己知幂函数f(x)=(m2-3m-3)xm-2的图象与y轴没有公共 点，则实数m的值为() A.4 B.1 C.-1 D.-4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】幂函数图象的判断及应用、根据函数是幂函数求参数值 【详解】因为f(x)=(m2-3m-3)xm-2是幂函数， 所以m2-3m-3=1,解得m=4或m=-1, 第2页共46页 当m=4时，f(x)=x2,函数图象过(0,0)，和y轴有交点，不符合题意： 当m=-1时：f()=x3=,x≠0，与y轴没有交点，符合题意。 所以m=-1. 【例1-3】（24-25高三上山东济宁·开学考试)“m=-1或m=4"是“幂函数f(x)=(m2-3m-3)xm2+m-3 在(0，+∞)上是减函数"的() A,充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性求参数、判断命题的必要不充分条件、求幂函数的解析式 【分析】根据幂函数的定义和性质可求参数的值，从而可判断两者之间的关系 【详解】因为f(x)=(m2-3m-3)xm2+m-3是幂函数且在(0，+o)上是减函数， 故0-0故m=1 故“m=-1或m=4是“幂函数f(x)=(m2-3m-3)xm2+m-3在(0，+o)上是减函数"的必要不充分条件， 故选：B 【例1-4】（多选）(25-26高三上·安徽阶段检测)已知函数f(x)=(m2-2m-2)xm是幂函数，则() A.f(1)=1 B.m2-2m=3 C.m2-2m=-1D.f(x)是奇函数 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、判断五种常见幂函数的奇偶性、求幂函数的解析式 【分析】由f(x)为幂函数，有m2-2m-2=1,可判断BC选项；由m的值得函数解析式判断AD选项. 【详解】函数f(x)=(m2-2m-2)xm是幂函数，则有m2-2m-2=1, 所以m2-2m=3,解得m=-1或m=3,B选项正确，C选项错误： f(x)=x1或f(x)=x3,则有f(x)是奇函数，f(1)=1,AD选项正确. 故选：ABD 【例1-5】(25-26高三上江西阶段检测)已知幂函数fx)=(a2-a+2)x的定义域为R,则f(2)= 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】求幂函数的值、根据函数是幂函数求参数值、求幂函数的解析式 【分析】根据函数是幂函数得出参数α，再代入计算求出函数值. 【详解1因为函数f)=(a2-a+2)x是幂函数，所以a2-a+2=1,所以2a2-5a+2=(2a-1)a 第3页共46页 2)=0, 所以a=域a=2, 又因为函数f)=(a2-a+2)x的定义域为R, 当a=时，f()=x2=√定义域为[0，+∞)不符合题意； 当a=2时，f(x)=x2符合题意： 所以f(x)=x2,则f(2)=22=4。 故答案为：4. 鲁方法提炼思维升华 幂函数只由x组成，x前面的系数只能是1，底数只能是单独的x,指数必须是常数. 变式训练 1.（25-26高三上河南·阶段检测)己知幂函数f(x)的图象经过点(4,2)，(m,3),则m=（) A.月 B.3 C.6 D.9 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求幂函数的解析式 【分析】根据幂函数的定义设函数解析式，通过列方程求解。 【详解】设幂函数f)=x,则f(④=4=2，解得a= 故f(m)=m2=3,解得m=9. 故选：D 2.(26-27高三上江西.阶段检测)已知幂函数f(x)=xm2-2m-3(m∈Z)在区间(0，+oo)上单调递减，且f(x)为 偶函数，则m=() A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数、由奇偶性求参数、函数奇偶性的定义与 判断 【详解】因为函数f(x)=xm2-2m-3(m∈Z)在区间(0，+oo)上单调递减， 所以m2-2m-3<0→-1<m<3,m∈Z,所以m可取0,1,2， 当m=0时，f(x)=x3为奇函数，舍去： 当m=1时，f(x)=x4,符合题意： 第4页共46页 当m=2时，f(x)=x3为奇函数，舍去： 综上m=1. 3.(25-26高三下-湖南长沙.开学考试)已知幂函数f()=(a2-a+2)x的定义域为R,则f(a)=（) A月 B.2 C. D.4 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求幂函数的值、根据函数是幂函数求参数值、求幂函数的解析式 【分析】根据幂函数的定义和性质求解 【详解】因为f)=(a2-a+2）xe为幂函数， 所以a2-a+2=1,即2a2-5a+2=0,解得a=2,或a=子所以f)=x2或f)=x2 又函数f(x)的定义域为R,所以f(x)=x2,a=2,所以f(a)=f(2)=2=4, 故选：D 4.(多选)(25-26高三上·广东肇庆·阶段检测)若幂函数f(x)在(-∞，0)上单调递减，则f(2)的值可能是() A.月 B.4 c.√2 D.8 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】判断一般幂函数的单调性、求幂函数的解析式 【分析】根据函数值，求幂函数的解析式，再结合幂函数的性质，对各项逐一验证即可. 【详解】设幂函数f(x)=xa, 若f(2)=克则a=-1,f()=x1,在(-∞，0)上单调递减，符合题意： 若f(2)=4,则a=2,f(x)=x2,在(-∞，0)上单调递减，符合题意： 若f(2)=V2,则a=子f()=a,定义域为[0，+0)，不符合题意： 若f(2)=8,则a=3,f(x)=x3,在(-∞，0)上单调递增，不符合题意： 故选：AB 5.（25-26高三上·上海·期中)(26-27高三上·福建·阶段检测)已知幂函数f(x)=(3m2+m-1)xm为偶函数， 则m= 【答案】月 【难度】0.85 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由奇偶性求参数 【分析】结合幂函数与偶函数的定义求解即可. 第5页共46页 【详解】因为f(x)=(3m2+m-1)xm是幂函数， 所以3m2+m-1=1,解得m=-1或m=号 当m=-1时，f()=x1=子是奇函数，不符合题意： 当m=时，f,)=后-区，是偶函数，符合题意 综上，m= 题型2与幂函数有关的函数的定义域、值域 【例2-1】(25-26高三上·上海闵行·期中)下列函数定义域为[0，+∞)的是() A.y=x B.y=x2 C.y=x3 D.y=x 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、求幂函数的定义域 【分析】根据幂函数的定义，分别求出各选项所对应的函数的定义域，即可判断. 【详解】对于A:y=x立=二，所以函数y=x的定义域为(0，+∞)，故A错误； 对于B:y==√，所以函数y=x的定义域为[0，+o),故B正确： 对于C:y=后=，所以函数y=x的定义域为R,故C错误； 对于D:y=x= 1 1 所以函数y=x的定义域为{xx≠O},故D错误. 故选：B 【例2-2】（24-25高三上福建.阶段检测)己知f(x)=x“是幂函数，则“a是正偶数"是“f(x)的值域为[0，+o)” 的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求幂函数的值域、判断命题的充分不必要条件 【分析】利用幂函数的性质结合充分、必要条件的定义判定即可 【详解】当a是正偶数时，显然f(x)=x≥0，即其值域为[0，+oo) 当f(x)=√x时，f(x)的值域为[0，+oo),但a不是正偶数. 故“α是正偶数"是“f(x)的值域为[0，+o)"的充分不必要条件. 故选：A 第6页共46页 【例2-3】(25-26高一上·江苏无锡·期末)若函数f(x)是偶函数，且值域为(0，+∞)，则f(x)可以是() 3 A.f(x)=x B.f(x)=x3 C.f(x)=x2 D.f(x)=x 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求幂函数的值域、幂函数的奇偶性的应用 【分析】根据幂函数的性质逐一分析每个选项， 【详解】A选项，f()=x后=√，需满足x3≥0，即定义域为xx≥0， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，A选项错误： C选项，f(x)=x2≥0，值域为[0，+∞)，值域不符合题意，C选项错误； D选项，f)=x宁=京需满足x>0,即定义域为[xk>以， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，D选项错误： B选项，f)=x= ,定义域为{xx≠0，定义域关于原点对称， 且f(-x) 荐=f(),是偶函数，且值域也满足(0，+∞)，B选项正确。 1 故选：B 【例2-4】（多选）(25-26高一上江苏常州期末)幂函数f(x)=(2m2+m-2)x-m-1,m∈N*,则下列结论 正确的是() A.m=1 B.函数f(x)是奇函数C.f(-2)<f(3) D.函数f(x)的值域为(0，+o) 【答案】AD 【难度】0.75 【知识点】求幂函数的值域、根据函数是幂函数求参数值、函数奇偶性的定义与判断 【分析】由题意，结合幂函数的概念，可求得m=1,代入函数解析式，根据幂函数的图像性质，逐项判断 即可 【详解】对于A选项，由幂函数定义可知，系数2m2+m-2=1,解得m=1或m=- 又因为m∈N*,所以m=1,故A正确： 对于B选项，当m=1时，f)=x2=3:其定义域为(-∞，0)u(0,+oo), 且满足f(x)=子=f(-x,所以函数f(x)是偶函数，故B错误： 对于c选项，f闭=可如，f(-)=可京f6)=京司 所以f(-2)>f(3),故C错误： 对于D选项，函数f(x)=的值域为(0，+∞)，故D正确 第7页共46页 【例25】已知幂函数=x的图像过点(2，， 则该幂函数的值域为 【答案】(0，+∞) 【难度】0.65 【知识点】求幂函数的值域、求幂函数的解析式 【分析】代入点可得y=京结合匠>0即可得函数值域 【详解】将点(2,9）代入y=可得2=号=2片，即0=-号 2 可得y== 因为v>0,可得y=>0,所以该幂函数的值域是(0，+0). 故答案为：(0，+o). 变式训练 1.(25-26高一上江苏扬州-阶段检测)若ae{-2,-1,-,1,23},则满足幂函数f()=x的定义域与值域 相同的@构成集合A,则集合A的非空真子集个数为() A.14 B.7 C.23 D.11 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求幂函数的值域、判断集合的子集（真子集）的个数、求幂函数的定义域 【分析】分别分析取不同值时，f(x)的定义域和值域，可得集合A,根据非空真子集个数的求法，代入公式， 即可得答案 【详解】当u=-2时，f,)=x2=之，定义域为(-∞，0)u(0,+o),值域为(0，+∞)，不符合题意： 当=-1时，f)=x1=,定义域和值域都为(-o,0)U(0,+∞)，符合题意： 当a=-时，f)=x-=京定义域为(-m,0)u0,+o,值域为0，+四)，不符合题意： 当a=时，f)=后=V,定义域和值域都为0，+四)，符合腮意： 当a=1时，f(x)=x,定义域和值域都为R,符合题意： 当a=2时，f(x)=x2,定义域为R,值域为[0，+o),不符合题意； 当a=3时，f(x)=x3,定义域和值域都为R,符合题意； 所以集合A={仁1,2,1,3}，则集合A的非空真子集个数为24-2=14 故选：A 2.(23-24高一上安徽合肥期末)已知幂函数f()=x的图象过点(V2,写)，则下列说法中正确的是() A.定义域为{xx≠O}B.值域为R C.偶函数 D.减函数 第8页共46页 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断一般幂函数的单调性、求幂函数的值域、判断五种常见幂函数的奇偶性、求幂函数的定义域 【分析】结合幂函数性质逐项判断即可得。 【详解】因为幂函数f因=x的图象过点(2，）所以（回°-号 所以a=-1,所以f)=x1=是 对A、B:因为f)=x1=是定义域为x≠0}，值域为yy≠0，故A正确、B错误： 对C:f(-x)=三=-f),且定义域为xx≠0，故f)为奇函数，故c错误： 对D:f(x)=在区间(-o,0),(0,+∞)上单调递减， 由f(-2)=-<f(1)=1可知f()在定义域上不是减函数，故D错误。 故选：A 3.(23-24高一上山西昌梁阶段检测)已知幂函数f()的图象过点(8写)，则fx-2x2)的定义域为() A.(0,2) .(（o,) C.0,2] .o 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求幂函数的解析式、求与幂函数有关的复合函数定义域 【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【详解】“f)是幂函数，设f)=x”,将(8图)代入解析式， 得8m-经解得m=-故f)=x=京则f-2x)=示 故x-2x2>0,解得xe(0,) 故选：B 4.(多选)(24-25高一上浙江衢州，期中)已知幂函数f()的图象经过点(2，)》，则（) A.函数f(x)为奇函数 B.f(④=日 C.函数f(x)的值域为R D.当>x1>0时，2>f(9) 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】求幂函数的值域、求幂函数的解析式、求幂函数的值、函数奇偶性的定义与判断 【分析】先求出f,)=1再根据幂函数图象性质解决即可. 第9页共46页 【详解】设幂函数为f(x)=xa 将(2，)代入解析式得=2，故a=-1,所以fx)=定义域为(-o,0)U(0,+∞)， 因为f(-)=-=-f),故函数为奇函数，故A正确： 函数f(4=子故B错误： 显然fx)的值域为(-∞，0)U(0,+∞)，故C错误； 1.1 当6>x1>0时，@-f(生) 丝一 1 (1-x2)2 2 2x1X2x1+X2 2红26+时>0， 即满足r@>f(要)，故D正确 2 故选：AD 5.(24-25高一上上海阶段检测)已知kEZ,设幂函数y=x2-6k的图象关于原点中心对称，且与x轴及y 轴均无交点，则k的值为 【答案】1或3或5 【难度】0.65 【知识点】根据幂函数值域求参数或范围、幂函数图象的判断及应用、幂函数的奇偶性的应用 【详解】由题意，k2-6k≤0且k2-6k为奇数，所以k2-6k<0, 令k2-6k<0,解得0<k<6,因为k∈Z,所以k=1,2,3,4,5: 当k=1时，k2-6k=-5,幂函数为y=x5,图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，满足 题意： 当k=2时，k2-6k=-8,幂函数为y=x8,图象成轴对称，不关于原点对称，不满足题意： 当k=3时，k2-6k=-9,幂函数为y=x9,，图象成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，满足题意： 当k=4时，k2-6k=一8，幂函数为y=x8,图象成轴对称，不关于原点对称，不满足题意： 当k=5时，k2-6k=-5,幂函数为y=x5,图象成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，满足题意： 综上，k的值为1或3或5.故答案为：1或3或5 题型3幂函数过定点问题 【例3-1】(24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试)己知f(x)为幂函数，m为常数，且m>1,则函数g(x)=f(x)+ mx-1的图象经过的定点坐标为() A.(1,1) B.(1,2) c.(-1,1) D.-1,2) 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】幂函数图象过定点问题 第10页共46页 【分析】结合幂函数的性质计算即可得. 【详解】因为幂函数的图象过定点(1,1)，即有f(1)=1, 所以g(1)=f(1)+m12-1=1+1=2,即g(x)的图象经过定点(1,2). 故选：B 【例3-2】(23-24高一上·天津滨海新区·期中)已知函数y=x“,(α<0)的图象恒过定点A,若点A在一次 函数y=mx+n的图象上，其中m,n>0,则号+的最小值为() A.1 B.V2 C.2 D.4 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1"的妙用求最值、幂函数图象过定点问题 【分析】求出定点A的坐标，并求出m,的关系，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得， 【详解】依题意，A(1,1),则m+n=1, 因此片+片(m+0片+=2++≥2+2 卫.m=4, m n 当且仅当m=n=时取等号，所以当m=n=时，1+取得最小值4. m .11 故选：D 【例3-3】(24-25高一上·广东广州·期中)下列关于幂函数f(x)=x的描述中，正确的是() A.幂函数的图象都经过点(0,0)和(1,1) B.幂函数的图象不经过第三象限 C.当指数a取1,3，时，幂函数y=x“是其定义域上的增函数 D.幂函数的图象过点(8)，则f9=言 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】幂函数图象的判断及应用、判断一般幂函数的单调性、求幂函数的值、幂函数图象过定点问题 【分析】根据幂函数的图象性质分别判断每个选项即可. 【详解】对于A,当a<0时，幂函数f(x)=x“在x=0处无定义，故图象不会经过点(0,0)，选项A错误： 对于B,当x>0时，幂函数f(x)=x“都有意义，且x>0,故幂函数的图象不经过第四象限，选项B错误： 对于C,当a=1时，f)=x,在R上单调递增：当a=3时，fx)=x3,在R上单调递增：当a=时，f()= 第11页共46页 x后=√，定义域为[0，+∞)，且在[0，+∞)上单调递增，选项C正确： 对于D,幂函数的图象过点（任8，即f(目=(）=8，所以a=-三，即f)=x元， 所以(9)=9号=33=京选项0精误： 故选：C 【例3-4】（多选）（2025高三·全国.专题练习)以下关于幂函数f(x)=x(a∈R)图像的说法，正确的有() A.f(x)的图像一定过原点 B.f(x)的图像一定过点(1,1) C.f(x)的图像可能经过第三象限 D.f(x)的图像可能经过第四象限 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】幂函数图象的判断及应用、幂函数图象过定点问题 【分析】根据幂函数的定义域，定点，图象等分别判断各个选项即可. 【详解】函数f(x)=x1不过原点，A选项错误： 而f(1)=1“=1,所有幂函数f(x)的图像一定过点(1,1)，B选项正确： 函数f(x)=x3为奇函数，图像经过一、三象限，C选项正确： 当x>0时，f(x)=xa>0,f(x)的图像不可能在第四象限，D选项错误. 故选：BC 【例3-5】(25-26高一上山西·阶段检测)己知函数f(x)=xm-2+1(m为常数)的图象恒过定点P(a,b),则 a+b= 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】幂函数图象过定点问题 【分析】根据幂函数过定点(1,1)得f(x)的图象过定点(1,2)，进而得a+b=3 【详解】令x=1,则f(1)=1m-2+1=2,故f(x)的图象过定点(1,2)， 故a=1,b=2,a+b=3. 故答案为：3. 变式训练 1.（25-26高一·全国·寒假作业)函数y=(x-1)m的图象恒过定点() 第12页共46页 A.(1,0) B.(2,1) C.(0,-1) D.(m+1,1) 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】幂函数图象过定点问题 【分析】根据题意，利用幂函数的图象与性质，即可求解」 1 【详解】由函数y=(x-1)m,令x-1=1,可得x=2且y=1, 所以函数y=(x-1)的图象恒过定点(2,1). 2.(24-25高一上·全国·课后作业)关于幂函数y=x的图象，下列说法正确的是（) A.幂函数图象恒过原点 B.存在a《∈R,使得幂函数图象过第四象限 C.存在>0，使得幂函数为非奇非偶函数D.当0<<1时，幂函数图象恒在x轴上方 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】判断五种常见幂函数的奇偶性、幂函数图象的判断及应用、幂函数图象过定点问题 【分析】根据幂函数的定义和性质，对各个选项的正确性进行判断，从而得出结论 【详解】若a=-1,y=x1的图象不过原点，A错误： 对于幂函数y=x,当x>0时，x>0恒成立，因此函数图象不过第四象限，B错误： 当a=时，y=x的定义域为(0，+∞)，且在(0，+∞)上单调递增，为非奇非偶函数，C正确： 当a=时，y=的图象过第一、三象限，D错误. 故选：C 3.（24-25高一上·新疆喀什·阶段检测)己知函数f(x)=√x,则下列选项错误的是() A.f(x)的图象过(0,0)点 B.f(x)的图象关于y轴对称 C.f(x)在(0，+o)上单调递增 D.f(x)>0 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断五种常见幂函数的奇偶性、幂函数图象过定点问题、判断与幂函数相关的复合函数的单调性 【分析】根据函数的性质求解即可. 第13页共46页 【详解】对于选项A,因为f(O)=0,所以f(x)的图象过(0，O)点，故A正确： 对于选项B,函数定义域为R,且f(-x)=√-x=√x=f(x),所以f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，故 B正确： 对于选项C,当x>0时，f)=V反=x克，根据幂函数性质可知，f(x)在(0，+o)上单调递增，故C正确： 对于选项D,因为x≥0，所以fx)=√x≥0，故D错误 故选：D 4.(多选)(24-25高一上贵州黔东南·期末)已知幂函数f(x)=(a2-4a+4)xa-2，则下列说法正确的有（) A.a=1或3 B.f(x)一定为奇函数 C.f(x)一定为减函数 D.f(x)必过点(1,1) 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】判断五种常见幂函数的奇偶性、判断一般幂函数的单调性、根据函数是幂函数求参数值、幂函数 图象过定点问题 【分析】根据幂函数的概念可求α的值，再结合幂函数的性质对各选项进行判断. 【详解】对于A,根据幂函数的定义可得a2-4a+4=1→a=1或3，故A正确： 对于B,当a=1或3时，f(x)=x1或f(x)=x都为奇函数，故B正确： 对于C,当a=1时，f(x)=x1不是减函数，当a=3时，f(x)=x是增函数，故C错误： 对于D,因为对任意a∈R都有1=1，所以幂函数均经过点(1,1)，故D正确. 故选：ABD 5.(23-24高一上福建莆田.期中)己知函数y=x的图象恒过定点A,若点A在一次函数y=mx+n的图象上， 其中m>0,n>0,则2+的最小值为 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1"的妙用求最值、幂函数图象过定点问题 【分析】求出函数=产的图象恒过定点A(1,1),得到m+n=1,使用基本不等式求片+的最小值， 【详解】函数y=x的图象恒过定点A(1,1),所以m+n=1, 因为m,n>0,所以+=（侵+）m+)=2+0+”=2+2 m×=4, 1n m 第14页共46页 当m=n=时，三+的最小值为4. 故答案为：4 题型4幂函数的单调性 【例4-1】(2025天津.二模)已知函数y=2ax3(a<0),则此函数是() A.偶函数，且在区间(-o,0)上单调递减 B.偶函数，且在区间(0，+o)上单调递增 C.奇函数，且在区间(-∞，0)上单调递减 D.奇函数，且在区间(0，十∞)上单调递增 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】判断一般幂函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据奇函数定义及幂函数单调性判断求解。 【详解】因为函数f(x)=2ax3(a<0),定义域为R, f(-x)=2a(-x)3=-2ax3=-f(x),所以f(x)是奇函数， 因为y=x3在区间(-∞，+o)上单调递增，a<0,所以函数f(x)=2ax3在区间(-∞，+o∞)上单调递减， 故选：C 【例4-2】（25-26高一上-江苏连云港期末)函数f()=x+2的单调递增区间为（） 1 A.(-00,-2) B.（-2,-) c.（-1) D.（-+∞) 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】复合函数的单调性、具体函数的定义域、判断与幂函数相关的复合函数的单调性 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断即可. 【详解】对于函数f四==（←2-x+2), 1 令-x2-x+2>0,解得-2<x<1,所以函数的定义域为(-2,1)， 又y=-2-x+2=-(x+)+在(1上单调递减，y=x在(0，+0)上单调递减， 所以函数f)=2-x+2 的单调递增区间为(，1) 故选：C 【例4-3】(25-26高三下.云南昭通·期中)“0<a<1"是“函数f(x)=xa+b在(0，+∞)上单调递增"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 第15页共46页 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由幂函数的单调性求参数、根据解析式直接判断函数的单调性 【详解】由幂函数的性质可知，当0<a<1时，函数f(x)=xa+b在(0，+oo)上单调递增： 若函数f(x)=xa+b在(0，+o)上单调递增，则a>0,不能推出0<a<1. 所以“0<a<1"是“函数f(x)=xa+b在(0，+∞)上单调递增”的充分不必要条件 【例4-4】（多选）(25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末)下列函数中，是奇函数且在(0，+∞)上单调递减的是() A.y=x-3 B.y= C.y=-x2 D.y=x3 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】判断一般幂函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性、判断 五种常见幂函数的奇偶性 【详解】选项A:y=x3=的定义域为(-四，0)U(0,+),关于原点对称，且f(-x)==-寺=-f), 是奇函数： 根据幂函数性质，幂指数-3<0，在(0，+∞)上单调递减，故A符合要求； 选项B:y=的定义域为(-o,0)U(0,+∞)，关于原点对称，f(-)=-上=-f),是奇函数： 且在(0，+∞)上单调递减，故B符合要求： 选项C:y=-x2是二次函数，满足f(-x)=-(-x)2=-x2=f(x),是偶函数，不符合： 选项D:y=x3是奇函数，但幂指数3>0，在(0，+∞)上单调递增，不符合。 【例4-5】（2026安徽合肥模拟预测)“"m=0是“函数f(x)=(m2-m+1)x2m-3为幂函数，且在(0，+o) 上单调递减”的 条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 【答案】充分不必要 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由幂函数的单调性求参数、根据函数是幂函数求参数值 【详解】当f(x)=(m2-m+1)x2m-3为幂函数时m2-m+1=1,解得m=0或m=1, 当m=0时，f(x)=x3在(0，+o)上单调递减： 当m=1时，f(x)=x-1在(0，+o∞)上单调递减 所以“m=0"是“f(x)=(m2-m+1)x2m-3为幂函数，且在(0，+oo)上单调递减"的充分不必要条件. 变式训练 1.(26-27高三上山东·阶段检测)下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递减的是() A.y=x-3 B.y=x-2 C.y=-x2 D.y=-x3 【答案】D 第16页共46页 【难度】0.94 【知识点】判断一般幂函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性、判断 五种常见幂函数的奇偶性 【详解】对于A:y=x3=亭，定义域为xx≠0，关于原点对称， f(-)=-=-京=-f(),函数为奇函数， 该函数在(-∞，0)，(0，+∞)上单调递减，但在整个定义域内不单调递减，故A错误： 对于B:y=x2=2,定义域为x≠0，关于原点对称， f(-)==克=f),函数为偶函数，故B错误： 对于C:y=-x2,定义域为R,关于原点对称 f(-x)=-(-x)2=-x2=f(x),函数为偶函数，故C错误： 对于D:y=-x3,定义域为R,关于原点对称， f(-x)=-(-x)3=x3=-f(x),函数为奇函数， 设x1<x2,f(x1)-fx2)=-x-(-x)=x3-x=(x2-x1)(x3+x1x2+x): x1<x2:X2-X1>0, 又好+x1x2+号=(x+)'+要>0，fx)-f)>0,即fc)>fx), y=-x3在R上单调递减，故D正确. 2.(26-27高三上四川绵阳·开学考试)下列四个函数是奇函数且在定义域内单调递减的函数是() A.f(x)= B.f(x)=- C.f(x)=x3+x D.f=子-x 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】判断一般幂函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性、判断 五种常见幂函数的奇偶性 【详解】Af(x)=二是奇函数，但该函数在定义域(-∞，0)U(0,+∞)上不单调，排除. Bf(x)=一Vx,定义域R,f(-x)=-厂x=V=-f(x),是奇函数： y=Vx在R上递增，故f(x)=-c在R上单调递减，符合题意： C.fx)=x3+x的定义域为R,f(-x)=(-x)3-x=-x3-x=-f(x),即函数f(x)为奇函数， 又因为函数y=x3、y=x在R上均为增函数，故函数f(x)=x3+x在R上为增函数，排除 D.f)=号-x的定义域为R,f(o)=号≠0，故f()不是奇函数，排除 3.(23-24高三上山东济宁·期中)函数f(x)=V2x2-x-3的单调递增区间为() 第17页共46页 A.（∞， B.（-∞，-1) C.) D.昼+∞) 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间、判断与幂函数相关的复合函数的单调性 【分析】由根式性质求定义域，结合二次函数和幂函数的性质确定增区间 【详解】由题意，令t=2x2-x-3=(2x-3)(x+1)≥0，即x≤-1或x≥ 根据二次函数性质知：t=2x2-x-3在(-∞，-1刂上递减，在(，+∞）上递增 又y=V在定义域上递增，故f)=V2x2-x-3的单调递增区间为妮，+∞) 故选：C 4.(23-24高一上江苏南京期末)已知幂函数f()的图象过点(2，) 则函数y=f(x2+2x)的单调递增区间 为() A.(-0,-2) B.(-0∞，-1) C.(0,+o) D.(1+o) 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求幂函数的解析式、判断与幂函数相关的复合函数的单调性 【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，然后利用复合函数的单调性得出结果， 【详解】设f)=,因为f)的图象过点(2，) 所以2=吾解得位=-子即f)=x克，可得f)在(0，+四)上单调递减， 则函数y=f(x2+2x)=(x2+2)立=1 √x2+2x 由x2+2x>0,解得x<-2或x>0, 则函数y=x2+2x在(-∞，-2)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增， 所以函数y=f(x2+2x)的单调递增区间为(-o∞，-2) 故选：A 5.(多选)(25-26高三上·四川泸州·开学考试)已知定义在R上的偶函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，则f(x) 可能为() A.f()= B.f(x)=x2+1 C.f(x)=Ix1+2 D.f(x)=x 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】判断一般幂函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 第18页共46页 【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质逐项判断即可 【详解】选项A:f(-)===f),是偶函数，定义域为x≠0， 因为幂函数f(因=是=x2,由于幂指数-2<0，所以f()=在(0，+∞)上单调递减，A不满足题意： 选项B:f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x),是偶函数，定义域为{xx∈R, 由二次函数的图象与性质得f(x)=x2+1在(0，+oo)上单调递增，B正确： 选项C:f(-x)=I-x+2=x+2=f(x),是偶函数，定义域为{xx∈R}, 当x∈(0，+oo)时，f(x)=x+2,则f(x)在(0，+oo)上单调递增，C正确： 选项D:f)=x= 1 1 ,则f(x)定义域为(0，+∞)，不是偶函数，D不满足题意： Y2 故选：BC 题型5与幂函数有关的函数的奇偶性 【例5-1】(25-26高三上广东·阶段检测)己知函数f(x)=x3+c,则“f(0)=0”是“f(x)是奇函数”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】充要条件的证明、函数奇偶性的应用、判断五种常见幂函数的奇偶性 【分析】利用奇函数的性质，结合充分条件、必要条件的定义逐项判断。 【详解】函数f(x)=x3+c, 若f(0)=0,则c=0,f(x)=x3是奇函数： 若f(x)是奇函数，则f(0)=0. 故“f(O)=0"是“f(x)是奇函数"的充要条件. 故选：C 【例5-2】(23-24高三上上海静安阶段检测)已知aE{-1,23,引，若f()=x2为奇函数，且在(0，+∞) 上单调递增，则实数α的取值个数为() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断一般幂函数的单调性、判断五种常见幂函数的奇偶性 【分析】a=-1时，不满足单调性，a=2或a=时，不满足奇偶性，当a=3或a=时，满足要求，得到 答案 第19页共46页 【详解】当a=-1时，f(x)=x1在(0，+∞)上单调递减，不合要求， 当a=2时，f(-x)=(-x)2=x2=f(x),故f(x)=x2为偶函数，不合要求， 当a=时，f()=x的定义域为(0，+o),不是奇函数，不合要求， 当a=3时，f(-x)=(-x)3=-x3=-fx),fw)=x为奇函数， 且f(x)=x3在(0，+∞)上单调递增，满足要求， 当a=时，f(-)=(-x)-x后=-f),故f)=x为奇函数， 且f(x)=x在(0，+o∞)上单调递增，满足要求. 故选：B 【例5-3】(25-26高三上·重庆期中)若幂函数y=x是奇函数，且在(0，+∞)上单调递减，则a的值可以是 () A.-1 C.2 D.3 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】幂函数的奇偶性的应用、由幂函数的单调性求参数 【分析】根据幂函数的图像性质，运用排除法即可求解。 【详解】因为幂函数y=x是奇函数，y=x2是偶函数排除C, y=x2是非奇非偶函数，排除B、 又幂函数y=x在(0，+oo)上单调递减，所以a为负数，排除D选项， 幂函数y=x1是奇函数，且在(0，+∞)上单调递减，所以A正确. 故选：A 【例5-4】（多选）(2026江西·模拟预测)关于定义域为R的函数f(x),下列说法正确的有() A.存在函数f(x),使得f(x)+f(-x)=x恒成立B.存在函数f(x),使得f(x)+f(-x)=x2恒成立 C.存在函数f(x),使得f(x)-f(-x)=x3恒成立D.存在函数f(x),使得f(x)-f(-x)=x4恒成立 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断五种常见幂函数的奇偶性 【分析】根据函数奇偶性定义计算判断结合幂函数的奇偶性判断求解 【详解】对于定义域为R的函数f(x),函数g(x)=f(x)+f(-x)与h(x)=f(x)-f(-x)的定义域均为R, 因g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x),h(-x)=f-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x]=-h(x), 故g(x)=f(x)+f(-x)为偶函数，h(x)=f(x)-f(-x)为奇函数， 第20页共46页 而y=x为奇函数，y=x4为偶函数，A,D错误，y=x2为偶函数，y=x3为奇函数，B,C正确： 【例5-5】(25-26高一上.甘肃定西·期末)若幂函数f(x)=(t2-5t+7)x+1是奇函数，则t= 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】幂函数的奇偶性的应用、根据函数是幂函数求参数值 【分析】利用幂函数的定义以及奇函数的性质即可求解 【详解】由题可知t2-5t+7=1,即t2-5t+6=0,解得t=2或t=3. 当t=2时，f(x)=x,其定义域为R,f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),此时fx)为奇函数： 当t=3时，fx)=x4,其定义域为R,f(-x)=(-x)4=x4=f(x),此时f(x)为偶函数： 综上，t=2. 故答案为：2 变式训练 1.(25-26高一上福建泉州期中)若函数f(x)=(m+2)x3m为幂函数，则函数f(x)在定义域内为() A.增函数 B.减函数 C.奇函数 D.偶函数 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、判断一般幂函数的单调性、判断五种常见幂函数的奇偶性 【详解】函数f(x)=(m+2)x3m为幂函数，m+2=1,得m=-1, f)=x3=寻，定义域为xx≠0， “f(-)=守=-京-f,故f在定义域内为奇函数，故D选项错误，C选项正确： 根据幂函数的性质知f(x)=x3在(-∞，0)，(0，+o∞)上单调递减，但在其整个定义域上不具有单调性， 故选项A,B错误 2.(23-24高三上陕西咸阳·阶段检测)己知幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm+3为偶函数，则2m+log2m=() A.1 B.2 C.3 D.5 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、判断五种常见幂函数的奇偶性 【分析】利用幂函数的定义与奇偶性求得，从而得解。 【详解】因为函数f(x)=(m2-3m+3)xm+3为幂函数， 所以m2-3m+3=1,解得m=1或m=2, 又因为f(x)为偶函数，所以m=1, 第21页共46页 所以2m+log2m=21+log21=2 故选：B 3.(23-24高一上·吉林延边期末)己知幂函数f(x)=(m2-5m+5)xm-2是R上的偶函数，且函数g(x)= f(x)-(2a-6)x在区间[1,3]上单调递减，则实数a的取值范围是() A.(-0,4) B.(-∞，4 C.[6,+∞) D.(-∞，4U[6,+∞) 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围、判断五种常见幂函数的奇 偶性 【分析】根据幂函数的定义与奇偶性求出m的值，可得出函数f(x)的解析式，再利用二次函数的单调性可得 出关于实数a的不等式，从而得解 【详解】因为幂函数f(x)=(m2-5m+5)xm-2是R上的偶函数， 则m2-5m+5=1,解得m=1或m=4, 当m=1时，f(x)=x1,该函数是定义域为{x|x≠0的奇函数，不合乎题意： 当m=4时，f(x)=x2,该函数是定义域为R的偶函数，合乎题意. 所以f(x)=x2,则g(x)=x2-(2a-6)x,其对称轴方程为x=a-3, 因为g(x)在区间[1,3]上单调递减，则a-3≥3，解得a≥6. 故选：C. 4.(多选)(25-26高一上山西朔州期末)已知幂函数f(x)=(m2-m-1)xm,则() A.当f(x)为奇函数时，m=-1 B.当f(x)为偶函数时，m=-2 C.当f(x)为奇函数时，f(x)在(0，+∞)上单调递减D.当f(x)为偶函数时，f(x)在(-o,0)上单调递减 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、函数奇偶性的定义与判断、判断一般幂函数的单调性、判断五种常 见幂函数的奇偶性 【分析】根据幂函数定义计算可得m=-1或=2，再分别利用函数奇偶性定义、单调性定义对选项逐一判 断即可得出结论 【详解】由幂函数的定义可知m2-m-1=1,即m2-m-2=0,解得m=-1或m=2, 当m=-1时，f()=为奇函数，且f)在(0，+o)上单调递减，A,C正确： 当m=2时，f(x)=x2为偶函数，且f(x)在(-o∞，0)上单调递减，B错误，D正确. 故选：ACD. 第22页共46页 5.(25-26高一上-河南洛阳期中)设函数f)=2026++:（-3≤x≤3)的最大值为M,最小值为m,则M+ x2+1 m= 【答案】4052 【难度】0.4 【知识点】幂函数的奇偶性的应用、函数奇偶性的应用 【分析】化简函数f)=2026+25+052,设g()=025+052匹(-3≤x≤3)，可得函数g在[-3,31上为 x2+1 x2+1 奇函数，进而得到g()max+g()mi血=0，进而求解即可. 【i详解】f00=2026+45=2026+2452匹(-3≤x≤3》. x2+1 x2+1 设g)=05+052(-3≤x≤3)，定义域关于原点对称， x2+1 由g(-0=)402L型=-"5+052=-g00,知函数g60为奇函数， (-x)2+1 x2+1 g(x)max+g(x)min=0, 因为M=2026+g(x)mx,m=2026+g()mn'所以M+m=4052+g()max+g()mn=4052. 故答案为：4052. 题型6幂函数的解析式、函数值 【例6-1】(2025·黑龙江大庆·模拟预测)已知幂函数y=f(x)的图象经过点(4,2)，则f(3)的值为() A青 B.V3 C.3 D.9 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求幂函数的值、求幂函数的解析式 【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，进而求出函数值. 【详解】设f(x)=x,则2=4a=即f(x)=x2,f3)=3五=V3, 故选：B. 【例6-2】(23-24高三上·陕西汉中.阶段检测)已知幂函数f(x)=(m2+m-1)xm的图象与坐标轴没有公共 点，则f(√2=() A.月 B.v2 C.2 D.2W2 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】幂函数图象的判断及应用、求幂函数的值、根据函数是幂函数求参数值、求幂函数的解析式 【分析】由幂函数定义得到m2+m-1=1,求出m=-2或1，舍去不合要求的m,代入求值， 【详解】令m2+m-1=1,解得m=-2或1， 第23页共46页 若m=一2，则f(x)=x-2,与坐标轴没有公共点，满足要求， 若m=1,则f(x)=x,与坐标轴有公共点，交点为原点，不合要求， 故☑=（回2= 故选：A 【例6-3】(25-26高三上·黑龙江吉林阶段检测)已知幂函数f)=（a2-a+2)x的定义域为R,则f(a)= () A吉 B.1 C.4 D.8 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求幂函数的值、根据函数是幂函数求参数值 【分析】由幂函数的定义可求出a=2或a=分结合幂函数的定义域为R,即可选出正确答案 【详解】由幂函数的概念可得a2-知+2=1，解得a=2或a= 2 当a=时，f(x)=V:,定义域为[0，+o),不符合题意，舍去： 当a=2时，f(x)=x2,定义域为R,符合题意，所以a=2, 所以f(a)=22=4. 故选：C 【例6-4】（多选）(25-26高三上海南·阶段检测)已知函数f(x)=(m2-6m+6)xm-3是幂函数，则() A.m=5 B.f(-1)=1 C.f(x)的图象关于y轴对称 D.若f(2)>1,则f(x)=x2 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】求幂函数的值、奇偶函数对称性的应用、判断五种常见幂函数的奇偶性、求幂函数的解析式 【分析】根据幂函数的定义求得m=1或m=5,进而有f(x)=x2或f(x)=x2,结合幂函数的性质依次判 断各项的正误」 【详解】由f(x)=(m2-6m+6)xm-3是幂函数，则m2-6m+6=1→m2-6m+5=(m-1)(m-5)=0, 所以m=1或m=5,故f(x)=x2或f(x)=x2,A错， 所以f(-1)=(-1)-2=1或f(-1)=(-1)2=1,B对， 显然fx)=x2、f(x)=x2都是偶函数，C对， f(2=22=1,而f(2=22=4>1,故f0=2,D对 故选：BCD 第24页共46页 【例6-5】(2026·上海闵行·二模)已知f(x)=(m-1)x,若y=f(x)是幂函数，且f(3)=27,则f(m)= 【答案】8 【难度】0.85 【知识点】求幂函数的值、根据函数是幂函数求参数值、求幂函数的解析式 【分析】先根据幂函数的定义求出参数，再利用已知函数值求出幂指数α得到完整解析式，最后代入计算得 到f(m)的值 【详解】已知f(x)=(m-1)x,且y=f(x)是幂函数： 根据幂函数的定义，可得m-1=1,解得m=2: 将条件f(3)=27代入得3=27=33，解得a=3,即函数解析式为f(x)=x3: 将m=2代入解析式得f(m)=f(2)=23=8. 变式训练 1.(2026河南平顶山·模拟预测)已知幂函数f)的图象过点(7，)， 则f(x)=() A.x-2 B.x C. D.x2 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求幂函数的解析式 【分析】根据幂函数的定义求解即可。 【详解】设幂函数f)=x(aeR),则7=方=7，所以a=- 故fa=x立 2.(26-27高三上·新疆喀什阶段检测)若幂函数f)的图象经过点(4)，则f(-3)=（） A京 8. C.9 D.27 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求幂函数的值、求幂函数的解析式 【详解】由题意，可设f(x)=xa, 由4=高a=-2,所以f)=x2所以f(-3)=(-3)2=号 3.(23-24高三上上海·期中)设函数f(x)=a+bxx+c(a,b,c∈Z),则点(f(2),f(-2)不可能在函数() 的图像上 A.y=x+2023 B.y=X+2024 C.y=x2023 D.y=x2024 【答案】A 第25页共46页 【难度】0.65 【知识点】求幂函数的值 【分析】先表示出点的坐标，然后逐项代入函数中判断点在函数上的可能性即可. 【详解】因为(f(2),f(-2)即为(a+4+ca-4b+c), 对于A:若点在函数上，则有a-4b+c=Q+4h+c+2023,所以b=-2023 8 显然b度Z,所以点不可能在y=x+2023上： 对于B:若点在函数上，则有a-4b+c=a+4b+c+2024,所以b=-224=-253, 8 所以当a,c∈Z,b=-253时，点在y=x+2024上： 对于C:若点在函数上，则有(a+4b+c)223=a-4b+c, 若取a=1,b=0,c=0时，(a+4h+c)2023=a-4b+c显然成立，所以点可能在y=x2023上： 对于D:若点在函数上，则有(a+4b+)2024=a-4b+c, 若取a=1,b=0,c=0时，(a+4b+c)2024=Q-4b+c显然成立，所以点可能在y=x2024上： 故选：A 4.(多选)(24-25高三上江苏连云港阶段检测)下列命题中正确的是() A.若幂函数f)的图像过点A(3,2)则f)=x3 B.若商数/=径，a在上单调造增，则a的以植范周是L,十四） C.己知函数f(x)=e+2+1向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到g(x)=ex D. 已知x>0,y>0,+3=1,则x+2y的最小值为7+2V6 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求最值、基本不等式“1"的妙用求最值、分段函数的性质及应用、求幂函数的解析式 【分析】A选项，设出函数解析式，代入点的坐标，求出解析式；B选项，举出反例：C选项，利用平移规则 计算即可：D选项，利用基本不等式“1"的妙用求出最小值， 【详解】对于A,f()=x,将A(3,)代入得，3=立，解得a=-3,故f)=x3,故A正确： 对于B,当a=0时，f(x)= 2,x≥0，其图象如下：满足f)在R上单调递增，故B错误： x,X<0 f(x) 对于C,函数f(x)=ex+2+1向右平移2个单位，得到y=e(x-2)+2+1=e-x+4+1, 第26页共46页 再向下平移1个单位得到y=ex-2)+2+1=ex+4与g(x)=ex不符，故C错误： 对于D,已知x>0,y>0,且+3=1， x+2y=c+20+)=1+6+2+5≥7+2Es-7+26. x y 当且仅当=“，即x=1+V6,y=3+时，等号成立， 则x+2y的最小值为7+2V6,故D正确 故选：AD 5.（26-27高三上湖南.阶段检测)己知幂函数f(x)=(m2-m-1)xm为偶函数，则f(3)= 【答案】9 【难度】0.85 【知识点】求幂函数的值、根据函数是幂函数求参数值、由奇偶性求参数 【详解】由题意可得m2-m-1=1,解得m=-1或m=2, 当m=-1时，f(x)=x1为奇函数，不符合题意： 当m=2时，f(x)=x2为偶函数，符合题意， 所以f3)=9. 题型7根据幂函数的单调性求参数 【例7-1】(26-27高三上·江苏南通阶段检测)若幂函数y=x“为偶函数且在(0，+∞)单调递增，则实数a的 可能值为() A.-2 C. 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】幂函数的奇偶性的应用、函数奇偶性的定义与判断、由幂函数的单调性求参数 【详解】幂函数y=x在(0，+o∞)单调递增的充要条件是a>0,故A,B选项错误， 由偶函数的性质f(x)=f(-x)验证C,D选项 选项C:口-子对应函数y=x后=反，定义域为R,且满足仁灯=反，是偶函数，c选项正确， 选项D:口=号对应函数y=是=V厄，定义域是0，+四)，定义域不关于原点对称，既不是奇函数又不是偶 函数，D选项错误。 【例7-2】(23-24高三上.河北邢台.期中)已知函数f(x)=(m2-m-1)xm+m-3是幂函数，且在(0，+oo)上 单调递减，若a,b∈R,且a<0<b,lal<Ib,则f(a)+f(b)的值() A.恒大于0 B.恒小于0C.等于0 D.无法判断 【答案】B 第27页共46页 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、幂函数的奇偶性的应用、根据函数是幂函数求参数值 【分析】由幂函数的定义与性质求得函数解析式，确定其是奇函数，然后利用单调性与奇偶性可判断。 【详解】由m2-m-1=1得m=2或m=-1, m=2时，f(x)=x3在R上是增函数，不合题意， m=-1时，f(x)=x3,在(0，+o)上是减函数，满足题意，所以f(x)=x3, a<0<b,a<lb,则b>-a>0,f(-a)>f(b),f(x)=-x3是奇函数， 因此f(-a)=-f(a),所以-f(a)>f(b),即f(a）+f(b)<0, 故选：B 【例7-3】(26-27高三上.安徽阜阳.阶段检测)已知“t∈(a,5ao"是“函数f(x)=x-3在(0，+o∞)上单调递增” 的充分不必要条件，则正实数a的取值范围是() A.(3,+∞) B.[3,+∞) C.(0,3) D.(0,3] 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据充分不必要条件求参数、由幂函数的单调性求参数 【分析】根据幂函数的性质求得t>3,由题意知(a,5a)是3，+o)的真子集，列不等式即可求解 【详解】因为函数fx)=x-3在(0，+∞)上单调递增，所以t-3>0,解得t>3, 因为“t∈(a,5a)"是“函数f(x)=x-3在(0，+oo)上单调递增"的充分不必要条件，且a>0, 所以(a,5a)是(3，+o)的真子集，所以a≥3， 即正实数a的取值范围是[3，+∞). 【例7-4】(25-26高三上山东淄博.阶段检测)若幂函数f(x)=(m2-3m-3)xm2+m-3在(0，+o)上是增函 数，则实数m=」 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】由幂函数的单调性求参数、根据函数是幂函数求参数值 【分析】结合幂函数的定义以及单调性求值. 【详解】f(x)是幂函数，所以m2-3m-3=1,解得m=4或m=-1: 当m=4时，f(x)=x17,f(x)在(0，+o∞)上递增，符合题意： 当m=-1时，f(x)=x3,f(x)在(0，+∞)上递减，不符合题意： 综上所述，m=4. 故答案为：4 第28页共46页 【例7-5K25-26高三上.甘肃兰州阶段检测)已知幂函数f(x)=(m2+4m+4)xm+2在(0，+o)上单调递减.m 的值为 【答案】-3 【难度】0.85 【知识点】由幂函数的单调性求参数、根据函数是幂函数求参数值 【分析】根据幂函数的结构特征求出，再根据单调性即可得答案 【详解】因为函数f(x)=(m2+4m+4)xm+2是幂函数， 所以m2+4m+4=1,解得m=-3或m=-1, 当m=-3时，f(x)=x1在区间(0，+o∞)上单调递减， 当m=-1时，f(x)=x在(0，+∞)上单调递增，不满足题意， 故m=-3. 故答案为：-3 变式训练 1.(26-27高三上·江苏盐城阶段检测)已知幂函数f(x)=x4m(mEN+且m≠4)为奇函数，且在区间(0，+o) 上递增，则m等于() A.1 B.1或3 C.2 D.3 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数、由奇偶性求参数 【详解】因为幂函数f(x)=x4m(m∈N+且m≠4)为奇函数，且在区间(0，+oo)上递增， 则4-m为奇数且4-m>0,m∈N+, 故m=1或m=3. 2.(26-27高三上·江西·阶段检测)已知幂函数f(x)=(a2-3)x在(0，+∞)上单调递减，则实数a的值为() A.2 B.V2 C.-V2 D.-2 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数 【分析】根据幂函数的定义及单调性求解即可」 【详解】因为f(x)是幂函数，所以a2-3=1,解得a2=4,a=2或a=-2. 又函数在(0，+oo)单调递减，要求指数a<0,所以a=-2. 3.(23-24高三上，黑龙江-阶段检测)函数f(x)=(m2-m-1)xm2+m-3是幂函数，对任意x1,x2∈(0，+o), 且x1≠x2,满足-f2<0,若a,beR,且a<0<b,lal<b1,则f(a)+fb)的值() x1-X2 第29页共46页 A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性求参数、函数奇偶性的应用、求函数值 【分析】利用幂函数的定义以及结合二2<0成立等价于函数为减函数可求出m的值，利用函数的单调 x1-x2 性与奇函数求解即可。 【详解】因为对任意x1,x互2E(0,+∞，且x1≠x2,满足2<0，所以fo在(0，+四)上为减函数， X1-x2 由已知f(x)=(m2-m-1)xm2+m-3是幂函数，可得m2-m-1=1, 解得m=2或m=-1, 当m=2时，f(x)=x3,在(0，+oo)上为增函数，故不成立. 当m=-1时，f(x)=x3,在(0，+oo)上为减函数，满足条件， 故m=-1,f(x)=x3,故f(x)为奇函数， 因为a<0<b,la<lbl,所以0<-a<b, 所以f(-a)>f(b),所以-f(a)>f(b),所以f(a)+f(b)<0. 故选：B 4.(25-26高三上江苏泰州开学考试)若幂函数f(x)=(m2-m-1)x2m-3在(0，+o)上单调递增，则实数m 的值为 【答案】2 【难度】0.94 【知识点】由幂函数的单调性求参数、根据函数是幂函数求参数值 【分析】利用幂函数概念及单调性即可求解 【详解】因为f(x)=(m2-m-1)x2m-3是幂函数，所以m2-m-1=1→(m-2)(m+1)=0, 解得m=2或m=-1, 又因为幂函数f(x)=(m2-m-1)x2m-3在(0，+oo)上单调递增， 所以2m-3>0,故m=-1舍去，所以m=2, 故答案为：2 5.(25-26高三上·上海徐汇阶段检测)若幂函数y=(m2一4m+1)xm-1为严格增函数，则m的值为 【答案】4 【难度】0.94 【知识点】由幂函数的单调性求参数、根据函数是幂函数求参数值 【分析】由幂函数的单调性求参数值，注意验证 第30页共46页 【详解】由题意，幂函数为严格增函数，则} m2-4m+1=1,可得m=4,此时y=x3满足题意. m-1>0 故答案为：4 题型8解不等式 【例8-1】(25-26高三上广东·期中)已知函数f(x)=xx+x3,满足f(1-a)+f(a2-3)<0,则实数a 的取值范围为() A.(-2,+o) B.(0,+∞) C.（-1,2) D.(2,+o) 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由函数奇偶性解不等式、函数奇偶性的定义与判断、判断与幂函数相关的复合函数的单调性、根 据函数的单调性解不等式 【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解 得即可 【详解】函数f(x)=xx|+x3的定义域为R,且f(-x)=-x-x+(-x)3=-xx+x3)=-f(x), 所以f(x)=xx|+x3为奇函数， 当x>0时f(x)=x2+x3,因为y=x2,y=x3均在[0，+o)上单调递增， 所以f(x)=x2+x3在[0，+∞)上单调递增，又f(x)=xx+x3为连续函数， 所以f(x)=xx+x3在R上单调递增， 不等式f(1-a)+f(a2-3)<0,即f(a2-3)<f(a-1),即a2-3<a-1,解得-1<a<2, 所以实数a的取值范围为(-1,2). 故选：C 【例8-2】(2025四川小模拟预测)己知函数f(x)=-x3-x,则f(3)+f(-x2-1)>0的解集为() A.(-o,-2)U(2,+∞)B.(-∞，-V2U(V2,+∞）C.(-2,2)D.（-V2,V② 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由函数奇偶性解不等式、解不含参数的一元二次不等式、判断与幂函数相关的复合函数的单调性、 根据函数的单调性解不等式 【分析】f(x)是R上的奇函数且在(-∞，+∞)上递减，即可将原不等式等价转化为x2+1>3,求解即可. 【详解】由于f(x)的定义域为R,且f(-x)=-(-x)3-(-x)=x3+x=-f(x),故f(x)是奇函数， 又因为y=一x3,y=-x均为在R上的减函数，则f(x)在R上单调递减. 从而不等式f3)+f(-x2-1)>0等价于f(3)>-f(-x2-1)=f(x2+1),即x2+1>3. 此即2<x2,即(x-√②(x+√2>0，解得(-∞，-√②U(W2,+∞) 第31页共46页 故选：B 【例8-3】(25-26高三上江苏苏州-阶段检测)已知幂函数y=xm2-2m-3(m∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，+ ∞)上单调递减，则满足(a+1)5>(3-2a)5的实数a的取值范围为() A.(（-1,)u() B.6)c.（-1,)u(+D.（-1,) 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】由幂函数的单调性解不等式、幂函数的奇偶性的应用、由幂函数的单调性求参数 【分析】结合幂函数性质由条件求，结合函数y=x的性质化简不等式，解不等式可得结论. 【详解】因为函数y=xm2-2m-3在(0，+∞)上单调递减， 所以m2-2m-3<0,又m∈Z,所以m=0,1,2, 因为函数y=xm2-2m-3(m∈Z的图象关于y轴对称，所以m2-2m-3=(m-3)(m+1)为偶数， m=0,2不符合题意舍去，所以m=1, 函数y=x的定义域为(-∞，0)U(0,+∞)，且函数y=x在(-∞，0)和(0，+∞)上单调递减， 当x<0时，y<0,当x>0时，y>0, 所以不等式(a+1)5>3-2a)5可化为 a+1>0 (a+1<0 3-2a>0或 2a0ng+0。所以-1<a<或a> a+1<3-2a (a+1<3-2a 所以a的取值范围为(-1，)U(3,+∞). 故选：C 【例8-4】（多选）(25-26高一上·陕西咸阳期末)已知幂函数f(x)过点(2，》， 则下列说法正确的是() A.f)=月 B.f(x)是减函数 C.f(x)是奇函数 D.不等式xf(x+1)>0的解集是(-∞，-1)U(0,+∞) 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】判断一般幂函数的单调性、由幂函数的单调性解不等式、函数奇偶性的定义与判断、求幂函数的 解析式 【分析】根据幂函数定义以及经过点的坐标可得f(x)=二，再由其单调性、奇偶性可判断B错误，C正确，由 分式不等式可得D正确 【详解】设幂函数f(x)=x,则f(2)=2=,即a=-1, 即f(x)=x1=三A正确， 第32页共46页 函数fx)=的定义域为(-∞，0)U(0,+o), 则函数f(x)在定义域(-∞，0)和(0，+∞)上分别单调递减，但在整个定义域上并不单调递减，B错误， 函数f(x)=的定义域关于原点对称，且f(-x)=上=-f(x),所以函数f(x)为奇函数，C正确， 不等式为xfx+1)=名>0，即x+1)>0解得x>0或x<-1, 即不等式xf(x+1)>0的解集是(-∞，-1)U(0,+∞)，D正确. 故选：ACD 【例8-5】(23-24高三上辽宁大连期中)已知幂函数f)=x的图象过点（任，8），且f(a-1)<f(8-2a), 则a的取值范围是 【答案】(3,4) 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性解不等式、根据函数是幂函数求参数值 【导语】先求出幂函数的表达式，再用增减性即可 【详解】因为f)=x的图象过点（得8）所以f(月=（母=22a=23,解得a=- 所以f(x)在定义域(0，+∞)上递减：故0<8-2a<a-1;解得aE(3,4) 故答案为：(3,4) 变式训练 1. 2.(25-26高一上江苏南京·期中)己知幂函数f(x)=(m2-m-5)x2-m,且f(1)>f(3),若f(2a)>f(a2-3), 则实数a的取值范围是() A.（-∞，-V3)U(3,+∞) B.(-∞，-1)U(3,+∞) C.(-∞，-1)U(0,V3)U(3,+∞) D.(-3,-1)U(0,V3U(3,+∞) 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性解不等式、求幂函数的解析式、根据函数的单调性解不等式 【分析】通过幂函数定义解出m,再通过f(1)>f(3)判定出m=3,根据单调性再解f(2a)>f(a2-3)即可. 【详解】由f(x)=(m2-m-5)x2-m为幂函数可知：m2-m-5=1→m=-2或3， 又f(1)>f(3):故f(x)在(0，+o)单调递减，故m=3,所以f(x)=x-1, 则f2>fG2-3列附品>六号>0，整理得>0， 2a(a2-3) 解得a>3或0<a<V3或-3<a<-1, 实数a的取值范围是(-V3,-1)U(0,3)U(3,+o). 第33页共46页 故选：D 3.(24-25高一上江苏南京阶段检测)已知幂函数y=xm22m-3(m∈☑的图象关于y轴对称，且在(0，+o) 上单调递减，则满足(a+1)5>(3-2a)5的实数a的取值范围为() A.(-∞，-1)U(子)B.(-∞，) C.（-1,3)U(3+∞)D.0,) 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性解不等式、幂函数的奇偶性的应用、由幂函数的单调性求参数 【分析】结合幂函数性质由条件求，结合函数y=x5的性质化简不等式，解不等式可得结论. 【详解】因为函数y=xm2-2m-3在(0，+o)上单调递减， 所以m2-2m-3<0,又m∈Z,所以m=0,1,2, 因为函数y=xm2-2m-3(meZ的图象关于y轴对称， 所以m2-2m-3=(m-3)(m+1)为偶数，所以m=1, 函数y=x5的定义域为(-o∞，0)U(0,+o∞)， 且函数y=x5在(-o∞，0)和(0，+o)上单调递减， 当x<0时，y<0,当x>0时，y>0, 所以不等式(a+1)5>(3-2a)5可化为 a+1>0 (a+1<0 3-2a>0 或 20或6+2如0所以-1<a<孩a>2 a+1<3-2a (a+1<3-2a 所以a的取值范围为(-1，)U(,+o) 故选：C 4.(多选)(2425高一上·湖南期中)已知幂函数f()=(m-1)x的图象经过点(8，)，下列结论正确的有(） A.m=2 B.f(O)=0 C.f(x)是偶函数 D.若f3-2x)>f(x+1),则xe(作，4 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】判断一般幂函数的单调性、由幂函数的单调性解不等式、函数奇偶性的定义与判断、根据函数是 幂函数求参数值 【分析】根据幂函数的性质可得m=2,代入点坐标可求解f(x)=x3,即可求解AB,根据偶函数的定义求解 C,根据幂函数的单调性以及奇偶性可列不等式求解D. 【详解】对于A,由于幂函数f()=(m-1)x的图象经过点(8) 第34页共46页 8=专，解得a=-,故f网=x,A正确， m-1=1 .（m=2 故 16 对于B,f(O)无意义，故B错误， 对于C,f因=x元定义域为xk≠0，关于原点对称， 1 且f(-x=1 可京fW.故r)是偶随数c正确， 1 对于D,由于f(x)是偶函数，且在(0，+∞)单调递减， 故由f3-2x)>fx+1)可得3-2x<x+1,解得号<x<4且x≠三故D错误， 故选：AC 5.（25-26高一上河北唐山阶段检测)设f(x)=(t2+2t+2)x是幂函数，若f(a+1)<f3-2a),则a的 取值范围是 【答案】[1，) 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性解不等式、根据函数是幂函数求参数值 【分析】根据幂函数的定义求出的值，得到函数解析式，结合函数的单调性解不等式即可 【详解】因为f(x)=(t2+2t+2)x2是幂函数，所以t2+2t+2=1,解得t=-1,所以f(x)=√x. 易知f(x)是增函数， 因为fa+1)<f3-2a),所以0≤a+1<3-2a,解得-1≤a<号 故答案为：【1引 题型9比较大小 【例9-1】(25-26高一上山东期中)已知点(3，)在幂函数f()=x的图象上，设a=f(-1),b=f(2-3), c=f(月)则a,b,c的大小关系为() A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、求幂函数的解析式 【分析】根据题意，求得f()=,得到f()在(0，+∞)上单调递减，进而即得。 【详解】由点(3，)在幂函数f)=x的图象上，可得3=子解得a=-1, 所以f)=x1=是函数f)在(0，+∞)上单调递减， 因为23=>>0，所以0<f(2)<f(分)，即0<b<c 第35页共46页 又因为a=f(-1)=-1<0,所以c>b>a. 故选：D 【例9-2】(2026北京密云一模)己知a,b,c∈R,则下列结论中不正确的是() A.若a>b,c<0,则a+c<b+c B.若a3>b3,则a>b C.若ac2>bc2,则a>b D.若√a<Vb,则a<b 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】由幂函数的单调性解不等式、由不等式的性质比较数（式）大小 【详解】对于A,因为a>b,由不等式的性质，a+c>b+c,故A错. 对于B,因为函数y=x3在R上单调递增，a3>b3,所以a>b,故B正确 对于C,已知ac2>bc2且c2≥0，说明c≠0，那么c2>0,所以a>b,故C正确 对于D,已知√a<√b,所以a≥0，b≥0，因为函数y=√x在[0，+oo)上单调递增，所以a<b,故D正确 【例9-3】（25-26高三上河南漯河期末)己知a=0.3.2,b=0.2.3,c=0.3-0.2,则() A.c>a>b B.c>b>a C.b>a>c D.a>b>c 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性比较大小 【分析】利用幂函数的单调性可得出a、b、c的大小关系. 【详解】因为幂函数y=x.1在(0，+o∞)上为增函数， 且a=(0.32)01=0.0901,b=(0.2)01=0.00801, 所以c=(0.32)1= 信= 又因为g>0.09>0008>0,所以c>a>b 故选：A, 【例9-4】（多选）(25-26高三上江苏镇江开学考试)若a>b,m>0,c为实数，则下列不等式中一定成立的 有() a b A.24>2+1 B.>8 a+m C.a+5>b+ D.a3>b3 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式） 大小 第36页共46页 【分析】A选项，利用不等式的性质得到A正确；B、C可举出反例；D选项，利用幂函数的性质可得D正确. 【详解】A选项，因为2+1>0，所以a>b两边同除以c2+1>0得号>A正确： b B选项，不妨令a=0,b=-1,m=1,此时2无意义，不满足+m>。,B错误： a+m a C选项，不妨设a=1,b=-1,此时a+1=b+1=0,C错误： a D选项，因为a>b,y=x3在R上单调递增，所以a>b3,D正确. 故选：AD 【例9-5】（多选）(26-27高三上山东潍坊·阶段检测)已知a>b>0,c<d<0,则() A.>8 B.a2+c2≥-2ac C.ac>bd D.actd<bctd 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式） 大小 【详解】对选项A::a>b>0,行 又“Q<0,不等式两边同乘负数，不等号方向改变，÷>行故A正确。 对选项B:由(a+c)2≥0展开移项得a2+c2≥-2ac, 当且仅当a=一c时等号成立，故B正确， 对选项C:a>b>0,c<0.ac<bc 又.'c<d<0,b>0,.bc<bd:∴.ac<bc<bd,即ac<bd,故C错误， 对选项D:,c<d<0,.c+d<0:设t=c+d<0,函数y=x在(0，+o)上单调递减， 又，a>b>0,.at<b,即a+d<bc+d,故D正确. 变式训练 1.（25-26高三上·上海浦东新·阶段检测)己知a、b∈R,则“a>b"是“a3>b3"的(). A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、充要条件的证明 【分析】根据函数y=x3的单调性，判断“a>b和“a3>b3"的逻辑关系，即可得答案. 【详解】由于函数y=x3在R上单调递增， 故当a>b时，可得a3>b3: 当a3>b3时，也可得a>b, 第37页共46页 故“a>b"是“a3>b3"的充要条件， 故选：C 2.(25-26高三上吉林通化.阶段检测)已知a=()11,b=()11,c=()11,则a,b,c的大小关系为（) A.a>c>b B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】由幂函数的单调性比较大小 【分析】根据给定条件，利用幂函数的单调性比较大小. 【详解】依题意，b=(=31“,而幂函数y=x1在(0，+四)上单调递减：叉对<<3， 因此()11>()11>311，所以a,b,c的大小关系为c>a>b. 故选：C 3.(25-26高三上河北邯郸开学考试)已知a=4.2,b=30.4,c=1.50.8,则() A.b<c<a B.c<a<b C.a<c<b D.a<b<c 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性比较大小 【分析】根据指数性质化简，构造函数y=x4,根据单调性比较大小 【详解】a=402=(22)02=204,c=1.50.8=(1.5)°4=2.2504，对于幂函数y=x04, 因为指数0.4>0，故y=x0.4在[0，+o)上单调递增，又2<2.25<3，所以a<c<b. 故选：C 4.(多选)(25-26高三上贵州贵阳·期中)己知a>0,b>0,m>0,则“a>b"的充要条件是() A.am>bm B.btm C.ma>mb D.am>bm atm a 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较指数幂的大小、探求命题为真的充要条件、由不等式的性质比 较数（式）大小 【分析】根据不等式的性质判断AB:根据指数函数的图象与性质判断C;根据幂函数的图象与性质判断D. 【详解】A:若a>b>0,m>0,则am>bm: 若am>bm,m>0,得a>b,故A符合题意： 8:若Hm之8，a>0,b>0,m之0 a+m 第38页共46页 得a(b+m>b(a+m),即am>bm,所以a>b: 若a>b>0,m>0,则am>bm,所以am+ab>bm+ab, 即ab+m>b(a+m,得m>。,故B符合题意： a+m C:当0<m<1时，由ma>mb,得a<b, 当m>1时，由ma>m°，得a>b: 若a>b>0,m>0,当0<m<1时，ma<m, 当m>1时，由ma>m,故C不符合题意； D:若am>bm,a>0,b>0,m>0,由幂函数的图象与性质知a>b: 若a>b>0,m>0,则am>bm,故D符合题意 故选：ABD 5.（26-27高三上福建.阶段检测)己知a>b>0,c<0,则下列不等式成立的是() A.ac>bc a-c C.>6 D.(a+)(日+c≤o 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小 【分析】对A,根据条件，利用幂函数的性质，即可求解：对B和C,根据条件，利用作差法，即可求解： 对D,先展开变形，再结合条件，即可求解. 【详解】对于A,因为c<0,则y=x(x>0)在区间(0，+o)上单调递减， 又a>b>0,所以a<b,故A错误， 对于B,因为}--c=b(a-c)-a-g=c(a-) 又a>b>0,c<0, a a-c a(a-c) a(a-c) 所以a-c≥0，a-b>0,则g-三=a2<0,所以<三故8正确， a-c a(a-c) 对于C因为后-台=2，又a>b>0,c<0,所以b-a<0, 则后->0，故>5所以C正确， ab 对于D,因为a>0,c<0,则(a+)很+c）=ac世≤0，所以D正确。 ac 题型10二次函数 【例10-1】(2025·广东·模拟预测)函数f(x)=(x-1)(x-a)与g(x)=bx2+cx表示同一个函数，则c=() A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求二次函数的解析式 第39页共46页 【分析】利用二次函数的两点式得出相应方程的根，再由函数相同计算参数即可. 【详解】注意到方程f(x)=0有两个解1，a,方程g(x)=0的其中一个解为0，故只可能a=0, 所以f(x)=x2-x,故c=-1, 故选：A 【例102】(2627高三上江西阶段检测)已知t>0且t≠1，函数f=32+4x-3x≤1在R上单 t,x>1 调递增，则实数t的取值范围是() A.(1,2] B.(1,引 c.层，+∞) D.B2] 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围、 根据分段函数的单调性求参数、由指数（型）的单调性求参数 【分析】二次函数f(x)=-3x2+4tx-3在(-o,1]上递增，指数函数f(x)=t'在(1，+oo)上递增，左段在 x=1处的函数值≤右段在x=1处的函数值 【详解】f)=-3以2+4x-3x≤1，开口向下，对称轴为x-芒-号 因为f)在x≤1递增，所以对称轴≥1，解得t≥是 因为y=t单调递增，所以t>1, 因为f(x)= -3x2+4tx-3,x≤1在R上单调递增， t,x>1 所以-3·12+4t·1-3≤t,解得4t-6≤t,即t≤2， (t2 则实数t的取值范围是 t>1 即实数t的取值范围是≤t≤2，即B,2 t≤2 【例10-3】(2026江西赣州.二模)已知函数y=x2-4x+2在区间[0，t上的最大值为a,在区间[t,2t上的 最大值为b.若a≥2b,则t的取值范围是() A.[2-3, B.[2-3,1 c.1+3 D.[3,2+3 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】对t分情况①t>4,②2≤t≤4，③1≤t≤2，④<t≤1，⑤0<t≤封论，前四种情况都与 a≥2b矛盾，第五种情况可根据单调性求解 【详解】设g(x)=x2-4x+2,易得g(x)在[0,2]上递增，在(2，+oo)上递减，且有两个零点2-√2和2+√2， 因y=f(x)=x2-4x+2可由g(x)保持x轴上方部分并将x轴下方部分沿x轴翻折得到， 第40页共46页 如上图，f(x)在0,2-√2上递减，在(2-√2,2)上递增， 在(2,2+√②上递减，在(2+√2，+∞)上递增. 45 ①当t>4时，f(x)=x2-4x+2在[0，t的最大值a=ft), f)=x2-4x+2在[t,2的最大值为b=f(20)>f),矛盾： ②当2≤t≤4时，fx)=x2-4x+2在[0，t的最大值a=f(0)=2, fx)=|x2-4x+2在[t,2t的最大值为b=f(2t)>f(4=2,矛盾； ③当1≤t≤2时，f(x)=x2-4x+2在[0，t的最大值a=f(0)=2, f(x)=|x2-4x+2在[t,2t的最大值为b=f2)=2,矛盾： ④当<t≤1时，fw)=x2-4x+2在[0，t的最大值a=f0)=2,因1<2t≤2， fx)=x2-4x+2在[t,2t]单调递增，最大值b=f(2t),f(2t)>f1)=1,矛盾； ⑤当0<t≤时，f(x)=x2-4x+2在[0，t的最大值a=f0)=2, “a≥2b,“b≤1，由图可知，此时只需令f(t)=t2-4t+2≤1即可， 解得2-V3≤t≤1或3≤t≤2+V3,所以2-V3≤t≤ 综上所述，的取值范围是[2-V3引 【例104】（多选）(26-27高三上广东河源阶段检测)若关于x的不等式ax2-bx+c>0的解集为M={x- 1<x<2},则下列选项正确的是() A.a<0 B.不等式cx2+bx+a>0的解集为{x1<x≤2 C.4a+2b+c<0 D.函数y=ax2+bx+c在(-∞，-引上单调递增 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】二次函数的图象分析与判断、判断二次函数的单调性和求解单调区间、解含有参数的一元二次不 等式、由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【分析】根据一元二次不等式与方程的关系，可得a<0,判断A: 结合一元二次不等式的解法求得不等式cx2+bx+a>0的解集，判断B: 得到a,b,c的关系，可判断C; 分析函数y=ax2+bx十c在(-∞，-引上的单调性，可判断D. 第41页共46页 【详解】由关于x的不等式ax2-bx+c>0的解集为M={x-1<x<2}, 得-1和2是关于x的方程ax2-bx+c=0的两个实数根，且a<0, a<0 (a<0 所以a+b+c=0,得b=a所以A正确： (4a-2b+c=0 (c=-2a 不等式cx2+bx+a>0等价于-2ax2+ax+a>0, 即2x2-x-1>0,(2x+1)x-1)>0,解得x<-域x>1 所以不等式cx2+bx+a>0的解集为xk<-域x>1,所以B不正确： 因为4a+2b+c=4a+2a-2a=4a<0,所以C正确： 函数y=ar2+br+c=r2+ax-2a=a(x+}-器 因为a<0,所以函数y=a2+bx+c在(-o∞，-引上单调递增：所以D正确. 【例10-5】(2026天津.二模)己知a,bER,函数f(x)=x2-ax-b在[0,1]上的最大值为M,若M≥1对 任意b恒成立，则a的取值范围为 【答案】(-∞，-1]U[3,+o) 【难度】0.25 【知识点】求二次函数的值域或最值、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、根据二次函数的最值或值 域求参数 【分析】分析b对函数的影响，再对a分类讨论，根据二次函数的单调性找到最值和M≥1的关系，进行求解 【详解】设gx)=x2-ax,x∈[0,1]，则f(x)=lgx)-b, 对于固定的a,g(x)在[0,1的值域是[m,Mg],值域的区间长度为L=Mg-m, 此时f(x)=|g(x)-bl在[0,1]的最大值为M的含义是：数轴上，点b到区间[m,Mg]上所有点的最大距离为M 若m≤b≤Mg,则maxb-m,Mg-b}≥之若b<m或b>Mg,则maxb-m,Mg-b}>2 所以Mmn=2m 2 M≥1对任意b恒成立等价于Mmin≥1，即：Mg-m≥2， g)=x2-ax=x-}-号 ①当≤0时，即：a≤0时，g(x)在[0,1上单调递增， 所以Mg-m=g(1)-g(0)=(1-a)-0=1-a，令1-a≥2，解得a≤-1，符合题意： ②当0<<1，即：0<a<2时，m=g(份=- ,而g(0)=0,g(1)=1-a, 若0<a<1,则：Mg=1-a,Mg-m=1-a-( 1=(a-2)2 4 因为0<a<1,所以1<a-22<4,则<a少<1，不满足条件： 4 第42页共46页 若1≤a<2,则Mg=0.Mg-m=0-(9=号令4≥2， 解得：a≥2W2或a≤-2W2,不满足条件： ③当≥1，即：a≥2时，g(x)在[0,1]上单调递减， 所以Mg-m=g(0)-g(1)=a-1,令a-1≥2，解得：a≥3，符合条件. 综上所述，a的取值范围为(-o,-1]U[3,+o). 变式训练 1.(25-26高三上广东清远阶段检测)已知二次函数y=-x2+mx+m（m为常数)，当-2≤x≤4时，y 的最大值是15，则m的值是(). A.-19或号 B.-10或号 c.6或-19 D.6 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】根据二次函数的性质分三种情况讨论：当罗≤-2，当-2<罗<4，当罗≥4，分别求出的值. 【详解】二次函数y=-x2+x+m的图象的对称轴为直线x=罗 ①当≤-2，即m≤-4时，对于-2≤x≤4，y随着x的增大而减小，故当x=-2时，y取得最大值，即ymx=- 4-2m+m=-m-4=15,解得m=-19,符合题意： ②当-2<受<4，即-4<m<8时，在x=处y取得最大值， 即yx=号+m=15,得m2+4n-60=0,解得m=6或m=-10(舍去)为 ③当罗≥4，即m≥8时，对于-2≤x≤4，y随着x的增大而增大， 故当x=4时，y取得最大值， 即yar=-16+4m+m=5m-16=15,解得m=号（舍去）. 综上所述，m=-19或6. 故选：C. 2.(26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试)已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件f(x+4)=-f(x),且函 数y=f(x+2)是偶函数，当x∈(0,2]时，f(x)=x2-x+a,当x∈[-2,0)时，f(x)的最小值为-3，则a的 值等于() A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、求二次函数的值域或最值、根据二 第43页共46页 次函数的最值或值域求参数 【分析】借助函数的奇偶性与周期性，求出参数的值. 【详解】已知函数y=f(x+2)是偶函数，所以f(-x+2)=f(x+2), 即函数f(x)图像关于x=2对称，即f(x)=f(4-x), 当x∈[-2,0)时，-x∈(0,2]，所以f(-x)=(-x)2-（-x)+a=x2+x+a, 因为f(x+4)=-f(x),所以f(4-x)=-f(-x): 即f=-f(-)=-2-x-a=-(x+)}+}-a, 在区间[-2,0)中，f(x)的最小值为f(-2)=-(-2)2-(-2)-a=-2-a=-3,解得a=1. 3.(26-27高三上·安微阶段检测)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0且a<b),若对任意的x∈R,f(x)≥0， 且f(1)≥λ(b-a),则实数的取值范围为() A.(-0,2] B.[2,+o) C.(-∞，3] D.[3,+∞) 【答案】c 【难度】0.4 【知识点】二次函数的图象分析与判断、利用不等式求值或取值范围、基本不等式求和的最小值、函数不等 式恒成立问题 【分析】通过已知条件得到a>0。,c之进行化简，进而利用均值不等式求的最小值即可. b-a 【详解】因为函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0且a<b),f(x)≥0， a>0,且a=b-4ac≤0，即c≥若atb+e2a+b+号 义a<b,.b-a>0, b-a t=>).-e b-a t-1 令u=t-1(u>0),则t=u+1,故上式1+“+1++ (+2+6) 对u>0,有u+?≥2u×?-6,当且仅当H=号即μ=3时等号成立， 所（μ++6）≥6+6)=3，故1≤3 4(多油(2026湾南模极预则)设西数的定义城为[-1：且r的产1g则〈) A.函数f(x)的值域为[0,2] B.函数f(x)在(2,3)上单调递减 C.方程f(x)=2有3个不同的解 D.若方程f-f闭+1=0有10个不同的解，则2<t< 第44页共46页 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间、根据函数零点的个数求参数范围、分段函数的值域或最 值、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据给定条件，求出函数f(x),分段求出值域判断A: 确定单调性判断B;求出方程的解判断C:转化为一元二次方程，并利用其根的分布列式求解判断D. 【详解】依题意，当-1≤x≤1时，f(x)=1-x2: 当1<x≤3时，-1<x-2≤1，则f(x)=2f(x-2)=2[1-x-2)2]=-2(x-2)2+2: 当3<x≤5时，1<x-2≤3，则f(x)=2fc-2)=2[-2(x-4)2+2]=-4(x-4)2+4, 对于A,当x∈[-1,1时，f(x)e[0,1]:当xe(1,3]时，f(x)e[0,2]:当xe3,5]时， fx)E[0,4,函数f(x)的值域为[0,4，A错误： 对于B,当x∈(2,3)时，f(x)=-2(x-2)2+2在(2,3)上单调递减，B正确： 对于C,由选项A及f(x)=2,得-2x-2)2+2=2或-4(x-4)2+4=2,解得x=2 或x=4士号方程f)=2有3个不同的解，C正确： 对于D,观察图象，令f(x)=m,m∈[0,4，方程[f(x]2-tf(x)+1=0有10个不同的解， 等价于方程gm)=m2-tm+1=0在(0,1)，(1,2)内各有一个实数根， (g0)=1>0 因此9国2-t<0,解得2<t<号D正确 g(2)=5-2t>0 -1012345 5.（2026湖南邵阳·三模)己知函数f(x)= (ax-2,x<a, 若f(x)存在最大值，则实数a的最大值为 2x-x2,x≥a, 【答案】+ 【难度】0.4 【知识点】分段函数的性质及应用、根据二次函数的最值或值域求参数、分段函数的值域或最值、根据分段 函数的值域（最值）求参数 【详解】若f(x)存在最大值，根据一次函数的单调性可知a≥0，分类讨论， 当0≤a≤1，x≥a时，y=2x-x2=-(x-1)2+1的最大值为f(1)=1, 第45页共46页 而y=ax-2在区间(-o,a上为单调递增函数，则a2-2≤1，解得-V5≤a≤√5， 故0≤a≤1， 当a>1,x≥a时，y=2x-x2的最大值为f(a=2a-a2, 而y=ax-2在区间（一o,a)上为单调递增函数， 则a2-2≤2a-a2,即a2-a-1≤0，解得，5≤a≤5， 放1<a≤5 综上所述可得a的取值范围为0≤a≤S,故a的最大值为艹 第46页共46页 2027届高考数学一轮复习 3-5 幂函数与二次函数 讲义 新高考全国卷考情解读 考点 新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷五年考情(2022-2026) 命题解读 二次函数 2023新Ⅰ卷T3、 二次函数单调性应用 知识梳理 新高考五年真题剖析 1.(2023新Ⅰ卷T4)设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 重点题型分析 题型1 幂函数概念 【例1-1】（24-25高三·全国·一轮复习）下列函数中，属于幂函数的是（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（26-27高三上·安徽六安·阶段检测）已知幂函数的图象与轴没有公共点，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【例1-3】（24-25高三上·山东济宁·开学考试）“或”是“幂函数在上是减函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例1-4】(多选)（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知函数是幂函数，则（    ） A． B． C． D．是奇函数 【例1-5】（25-26高三上·江西·阶段检测）已知幂函数的定义域为，则_____. 幂函数只由组成，前面的系数只能是1，底数只能是单独的，指数必须是常数. 变式训练 1.（25-26高三上·河南·阶段检测）已知幂函数的图象经过点，，则（    ） A． B．3 C．6 D．9 2.（26-27高三上·江西·阶段检测）已知幂函数在区间上单调递减，且为偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 3.（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知幂函数的定义域为，则（   ） A． B．2 C． D．4 4.(多选)（25-26高三上·广东肇庆·阶段检测）若幂函数在上单调递减，则的值可能是（    ） A． B．4 C． D．8 5.（25-26高三上·上海·期中）（26-27高三上·福建·阶段检测）已知幂函数为偶函数，则__________． 题型2 与幂函数有关的函数的定义域、值域 【例2-1】（25-26高三上·上海闵行·期中）下列函数定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25高三上·福建·阶段检测）已知是幂函数，则“是正偶数”是“的值域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2-3】（25-26高一上·江苏无锡·期末）若函数是偶函数，且值域为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【例2-4】(多选)（25-26高一上·江苏常州·期末）幂函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数是奇函数 C． D．函数的值域为 【例2-5】已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域为______． 变式训练 1.（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）若，则满足幂函数的定义域与值域相同的构成集合，则集合的非空真子集个数为（    ） A．14 B．7 C．23 D．11 2.（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知幂函数的图象过点，则下列说法中正确的是（ ） A．定义域为 B．值域为 C．偶函数 D．减函数 3.（23-24高一上·山西吕梁·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 4.(多选)（24-25高一上·浙江衢州·期中）已知幂函数的图象经过点，则（   ） A．函数为奇函数 B． C．函数的值域为 D．当时， 5.（24-25高一上·上海·阶段检测）已知，设幂函数的图象关于原点中心对称，且与x轴及y轴均无交点，则k的值为__________． 题型3 幂函数过定点问题 【例3-1】（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（23-24高一上·天津滨海新区·期中）已知函数，的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中m，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【例3-3】（24-25高一上·广东广州·期中）下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过点和 B．幂函数的图象不经过第三象限 C．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的增函数 D．幂函数的图象过点，则 【例3-4】(多选)（2025高三·全国·专题练习）以下关于幂函数图像的说法，正确的有（    ） A．的图像一定过原点 B．的图像一定过点 C．的图像可能经过第三象限 D．的图像可能经过第四象限 【例3-5】（25-26高一上·山西·阶段检测）已知函数（为常数）的图象恒过定点，则___________． 变式训练 1.（25-26高一·全国·寒假作业）函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高一上·全国·课后作业）关于幂函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．幂函数图象恒过原点 B．存在，使得幂函数图象过第四象限 C．存在，使得幂函数为非奇非偶函数 D．当时，幂函数图象恒在轴上方 3.（24-25高一上·新疆喀什·阶段检测）已知函数，则下列选项错误的是（    ） A．的图象过点 B．的图象关于轴对称 C．在上单调递增 D． 4.(多选)（24-25高一上·贵州黔东南·期末）已知幂函数，则下列说法正确的有（    ） A．或3 B．一定为奇函数 C．一定为减函数 D．必过点 5.（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为_________. 题型4 幂函数的单调性 【例4-1】（2025·天津·二模）已知函数，则此函数是（   ） A．偶函数，且在区间上单调递减 B．偶函数，且在区间上单调递增 C．奇函数，且在区间上单调递减 D．奇函数，且在区间上单调递增 【例4-2】（25-26高一上·江苏连云港·期末）函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【例4-3】（25-26高三下·云南昭通·期中）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例4-4】(多选)（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）下列函数中，是奇函数且在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【例4-5】（2026·安徽合肥·模拟预测）“”是“函数为幂函数，且在上单调递减”的__________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”） 变式训练 1.（26-27高三上·山东·阶段检测）下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 2.（26-27高三上·四川绵阳·开学考试）下列四个函数是奇函数且在定义域内单调递减的函数是（） A． B． C． D． 3.（23-24高三上·山东济宁·期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 4.（23-24高一上·江苏南京·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 5.(多选)（25-26高三上·四川泸州·开学考试）已知定义在上的偶函数在上单调递增，则可能为（   ） A． B． C． D． 题型5 与幂函数有关的函数的奇偶性 【例5-1】（25-26高三上·广东·阶段检测）已知函数，则“”是“是奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例5-2】（23-24高三上·上海静安·阶段检测）已知，若为奇函数，且在上单调递增，则实数a的取值个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例5-3】（25-26高三上·重庆·期中）若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【例5-4】(多选)（2026·江西·模拟预测）关于定义域为的函数，下列说法正确的有（     ） A．存在函数，使得恒成立 B．存在函数，使得恒成立 C．存在函数，使得恒成立 D．存在函数，使得恒成立 【例5-5】（25-26高一上·甘肃定西·期末）若幂函数是奇函数，则___________. 变式训练 1.（25-26高一上·福建泉州·期中）若函数为幂函数，则函数在定义域内为（ ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 2.（23-24高三上·陕西咸阳·阶段检测）已知幂函数为偶函数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 3.（23-24高一上·吉林延边·期末）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4.(多选)（25-26高一上·山西朔州·期末）已知幂函数，则（   ） A．当为奇函数时， B．当为偶函数时， C．当为奇函数时，在上单调递减 D．当为偶函数时，在上单调递减 5.（25-26高一上·河南洛阳·期中）设函数的最大值为，最小值为，则__________. 题型6 幂函数的解析式、函数值 【例6-1】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知幂函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C．3 D．9 【例6-2】（23-24高三上·陕西汉中·阶段检测）已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（   ） A． B． C．2 D． 【例6-3】（25-26高三上·黑龙江吉林·阶段检测）已知幂函数的定义域为，则（    ） A． B．1 C．4 D．8 【例6-4】(多选)（25-26高三上·海南·阶段检测）已知函数是幂函数，则（   ） A． B． C．的图象关于y轴对称 D．若，则 【例6-5】（2026·上海闵行·二模）已知，若是幂函数，且，则______. 变式训练 1.（2026·河南平顶山·模拟预测）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 2.（26-27高三上·新疆喀什·阶段检测）若幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 3.（23-24高三上·上海·期中）设函数 ，则点不可能在函数（    ）的图像上． A． B． C． D． 4.(多选)（24-25高三上·江苏连云港·阶段检测）下列命题中正确的是（   ） A．若幂函数的图像过点，则 B．若函数在上单调递增，则a的取值范围是 C．已知函数向右平移2个单位,再向下平移1个单位得到 D．已知，且，则的最小值为 5.（26-27高三上·湖南·阶段检测）已知幂函数 为偶函数，则_______ 题型7 根据幂函数的单调性求参数 【例7-1】（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）若幂函数为偶函数且在单调递增，则实数的可能值为（   ） A． B． C． D． 【例7-2】（23-24高三上·河北邢台·期中）已知函数是幂函数，且在上单调递减，若，且，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【例7-3】（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件，则正实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例7-4】（25-26高三上·山东淄博·阶段检测）若幂函数在上是增函数，则实数________． 【例7-5】（25-26高三上·甘肃兰州·阶段检测）已知幂函数在上单调递减．的值为_________． 变式训练 1.（26-27高三上·江苏盐城·阶段检测）已知幂函数（且）为奇函数，且在区间上递增，则等于（    ） A．1 B．1或3 C．2 D．3 2.（26-27高三上·江西·阶段检测）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 3.（23-24高三上·黑龙江·阶段检测）函数是幂函数，对任意，，且，满足，若，，且，，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 4.（25-26高三上·江苏泰州·开学考试）若幂函数在上单调递增，则实数m的值为________． 5.（25-26高三上·上海徐汇·阶段检测）若幂函数为严格增函数，则m的值为__________. 题型8 解不等式 【例8-1】（25-26高三上·广东·期中）已知函数，满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例8-2】（2025·四川·模拟预测）已知函数，则的解集为（　　） A． B． C． D． 【例8-3】（25-26高三上·江苏苏州·阶段检测）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例8-4】(多选)（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知幂函数过点，则下列说法正确的是（   ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．不等式的解集是 【例8-5】（23-24高三上·辽宁大连·期中）已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是________． 变式训练 1. 2.（25-26高一上·江苏南京·期中）已知幂函数，且，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高一上·江苏南京·阶段检测）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4.(多选)（24-25高一上·湖南·期中）已知幂函数的图象经过点，下列结论正确的有（    ） A． B． C．是偶函数 D．若，则 5.（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）设是幂函数，若，则的取值范围是______． 题型9 比较大小 【例9-1】（25-26高一上·山东·期中）已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【例9-2】（2026·北京密云·一模）已知，则下列结论中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例9-3】（25-26高三上·河南漯河·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【例9-4】(多选)（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）若，为实数，则下列不等式中一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【例9-5】（多选）（26-27高三上·山东潍坊·阶段检测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 变式训练 1.（25-26高三上·上海浦东新·阶段检测）已知，则“”是“”的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 2.（25-26高三上·吉林通化·阶段检测）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高三上·河北邯郸·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 4.(多选)（25-26高三上·贵州贵阳·期中）已知，，，则“”的充要条件是（   ） A． B． C． D． 5.（26-27高三上·福建·阶段检测）已知，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 题型10 二次函数 【例10-1】（2025·广东·模拟预测）函数与表示同一个函数，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【例10-2】（26-27高三上·江西·阶段检测）已知且，函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例10-3】（2026·江西赣州·二模）已知函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例10-4】(多选)（26-27高三上·广东河源·阶段检测）若关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（     ） A． B．不等式的解集为 C． D．函数在上单调递增 【例10-5】（2026·天津·二模）已知，，函数在上的最大值为，若对任意恒成立，则的取值范围为__________. 变式训练 1.（25-26高三上·广东清远·阶段检测）已知二次函数（为常数），当时，的最大值是15，则的值是（    ）． A．或 B．或 C．6或 D．6 2.（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知定义在R上的函数满足条件，且函数是偶函数，当时，，当时，的最小值为，则a的值等于（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3.（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知函数（且），若对任意的，，且，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 4.(多选)（2026·海南·模拟预测）设函数的定义域为，且，则（     ） A．函数的值域为 B．函数在上单调递减 C．方程有3个不同的解 D．若方程有10个不同的解，则 5.（2026·湖南邵阳·三模）已知函数若存在最大值，则实数的最大值为___________． 学科网(北京)股份有限公司第 1 页 共 25 页 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习 3-5 幂函数与二次函数 讲义 新高考全国卷考情解读 考点 新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷五年考情(2022-2026) 命题解读 二次函数 2023新Ⅰ卷T3、 二次函数单调性应用 知识梳理 新高考五年真题剖析 1.(2023新Ⅰ卷T4)设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、判断指数型复合函数的单调性、根据函数的单调性求参数值 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 重点题型分析 题型1 幂函数概念 【例1-1】（24-25高三·全国·一轮复习）下列函数中，属于幂函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】判断函数是否是幂函数 【分析】由幂函数的定义即可求解. 【详解】形如（α为常数且α∈R）为幂函数，要求底数为变量且系数为1， 对比选项仅有B：符合要求. 故选：B. 【例1-2】（26-27高三上·安徽六安·阶段检测）已知幂函数的图象与轴没有公共点，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】幂函数图象的判断及应用、根据函数是幂函数求参数值 【详解】因为是幂函数， 所以，解得或， 当时，，函数图象过，和轴有交点，不符合题意； 当时：，，与轴没有交点，符合题意. 所以. 【例1-3】（24-25高三上·山东济宁·开学考试）“或”是“幂函数在上是减函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性求参数、判断命题的必要不充分条件、求幂函数的解析式 【分析】根据幂函数的定义和性质可求参数的值，从而可判断两者之间的关系 【详解】因为是幂函数且在上是减函数， 故，故， 故“或”是“幂函数在上是减函数”的必要不充分条件， 故选：B. 【例1-4】(多选)（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知函数是幂函数，则（    ） A． B． C． D．是奇函数 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、判断五种常见幂函数的奇偶性、求幂函数的解析式 【分析】由为幂函数，有，可判断BC选项；由的值得函数解析式判断AD选项. 【详解】函数是幂函数，则有， 所以，解得或，B选项正确，C选项错误； 或，则有是奇函数，，AD选项正确. 故选：ABD. 【例1-5】（25-26高三上·江西·阶段检测）已知幂函数的定义域为，则_____. 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】求幂函数的值、根据函数是幂函数求参数值、求幂函数的解析式 【分析】根据函数是幂函数得出参数，再代入计算求出函数值. 【详解】因为函数是幂函数，所以，所以， 所以或， 又因为函数的定义域为， 当时，定义域为不符合题意； 当时，符合题意； 所以，则。 故答案为：4. 幂函数只由组成，前面的系数只能是1，底数只能是单独的，指数必须是常数. 变式训练 1.（25-26高三上·河南·阶段检测）已知幂函数的图象经过点，，则（    ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求幂函数的解析式 【分析】根据幂函数的定义设函数解析式，通过列方程求解. 【详解】设幂函数，则，解得. 故，解得. 故选： 2.（26-27高三上·江西·阶段检测）已知幂函数在区间上单调递减，且为偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数、由奇偶性求参数、函数奇偶性的定义与判断 【详解】因为函数在区间上单调递减， 所以，所以可取0,1,2， 当时，为奇函数，舍去； 当时，，符合题意； 当时，为奇函数，舍去； 综上. 3.（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知幂函数的定义域为，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求幂函数的值、根据函数是幂函数求参数值、求幂函数的解析式 【分析】根据幂函数的定义和性质求解. 【详解】因为为幂函数， 所以，即，解得，或，所以或 又函数的定义域为，所以，，所以， 故选：D 4.(多选)（25-26高三上·广东肇庆·阶段检测）若幂函数在上单调递减，则的值可能是（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】判断一般幂函数的单调性、求幂函数的解析式 【分析】根据函数值，求幂函数的解析式，再结合幂函数的性质，对各项逐一验证即可. 【详解】设幂函数， 若，则，，在上单调递减，符合题意； 若，则，，在上单调递减，符合题意； 若，则，，定义域为，不符合题意； 若，则，，在上单调递增，不符合题意； 故选：AB 5.（25-26高三上·上海·期中）（26-27高三上·福建·阶段检测）已知幂函数为偶函数，则__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由奇偶性求参数 【分析】结合幂函数与偶函数的定义求解即可. 【详解】因为是幂函数， 所以，解得或. 当时，，是奇函数，不符合题意； 当时，，是偶函数，符合题意. 综上，. 题型2 与幂函数有关的函数的定义域、值域 【例2-1】（25-26高三上·上海闵行·期中）下列函数定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、求幂函数的定义域 【分析】根据幂函数的定义，分别求出各选项所对应的函数的定义域，即可判断. 【详解】对于A：，所以函数的定义域为，故A错误； 对于B：，所以函数的定义域为，故B正确； 对于C：，所以函数的定义域为，故C错误； 对于D：，所以函数的定义域为，故D错误. 故选：B 【例2-2】（24-25高三上·福建·阶段检测）已知是幂函数，则“是正偶数”是“的值域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求幂函数的值域、判断命题的充分不必要条件 【分析】利用幂函数的性质结合充分、必要条件的定义判定即可. 【详解】当是正偶数时，显然，即其值域为． 当时，的值域为，但不是正偶数． 故“是正偶数”是“的值域为”的充分不必要条件． 故选：A 【例2-3】（25-26高一上·江苏无锡·期末）若函数是偶函数，且值域为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求幂函数的值域、幂函数的奇偶性的应用 【分析】根据幂函数的性质逐一分析每个选项. 【详解】A选项，，需满足，即定义域为， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，A选项错误； C选项，，值域为，值域不符合题意，C选项错误； D选项，，需满足，即定义域为， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，D选项错误； B选项，，定义域为，定义域关于原点对称， 且，是偶函数，且值域也满足，B选项正确. 故选：B 【例2-4】(多选)（25-26高一上·江苏常州·期末）幂函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数是奇函数 C． D．函数的值域为 【答案】AD 【难度】0.75 【知识点】求幂函数的值域、根据函数是幂函数求参数值、函数奇偶性的定义与判断 【分析】由题意，结合幂函数的概念，可求得，代入函数解析式，根据幂函数的图像性质，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，由幂函数定义可知，系数，解得或， 又因为，所以，故A正确； 对于B选项，当时，，其定义域为， 且满足，所以函数是偶函数，故B错误； 对于C选项，由可知，，， 所以，故C错误； 对于D选项，函数的值域为，故D正确. 【例2-5】已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求幂函数的值域、求幂函数的解析式 【分析】代入点可得，结合即可得函数值域. 【详解】将点代入可得，即， 可得， 因为，可得，所以该幂函数的值域是. 故答案为：. 变式训练 1.（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）若，则满足幂函数的定义域与值域相同的构成集合，则集合的非空真子集个数为（    ） A．14 B．7 C．23 D．11 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求幂函数的值域、判断集合的子集（真子集）的个数、求幂函数的定义域 【分析】分别分析取不同值时，的定义域和值域，可得集合A，根据非空真子集个数的求法，代入公式，即可得答案. 【详解】当时，，定义域为，值域为，不符合题意； 当时，，定义域和值域都为，符合题意； 当时，，定义域为，值域为，不符合题意； 当时，，定义域和值域都为，符合题意； 当时，，定义域和值域都为R，符合题意； 当时，，定义域为R，值域为，不符合题意； 当时，，定义域和值域都为R，符合题意； 所以集合，则集合的非空真子集个数为. 故选：A. 2.（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知幂函数的图象过点，则下列说法中正确的是（ ） A．定义域为 B．值域为 C．偶函数 D．减函数 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断一般幂函数的单调性、求幂函数的值域、判断五种常见幂函数的奇偶性、求幂函数的定义域 【分析】结合幂函数性质逐项判断即可得. 【详解】因为幂函数的图象过点，所以， 所以，所以， 对A、B：因为，定义域为，值域为，故A正确、B错误； 对C：，且定义域为，故为奇函数，故C错误； 对D：在区间，上单调递减， 由可知在定义域上不是减函数，故D错误. 故选：A. 3.（23-24高一上·山西吕梁·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求幂函数的解析式、求与幂函数有关的复合函数定义域 【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故，则， 故，解得 故选：B 4.(多选)（24-25高一上·浙江衢州·期中）已知幂函数的图象经过点，则（   ） A．函数为奇函数 B． C．函数的值域为 D．当时， 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】求幂函数的值域、求幂函数的解析式、求幂函数的值、函数奇偶性的定义与判断 【分析】先求出，再根据幂函数图象性质解决即可. 【详解】设幂函数为 将代入解析式得，故，所以，定义域为， 因为，故函数为奇函数，故A正确； 函数，故B错误； 显然的值域为，故C错误； 当时，， 即满足，故D正确 故选：AD 5.（24-25高一上·上海·阶段检测）已知，设幂函数的图象关于原点中心对称，且与x轴及y轴均无交点，则k的值为__________． 【答案】1或3或5 【难度】0.65 【知识点】根据幂函数值域求参数或范围、幂函数图象的判断及应用、幂函数的奇偶性的应用 【详解】由题意，且为奇数，所以， 令，解得，因为，所以； 当时，，幂函数为，图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，满足题意； 当时，，幂函数为，图象成轴对称，不关于原点对称，不满足题意； 当时，，幂函数为，图象成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，满足题意； 当k＝4时，，幂函数为，图象成轴对称，不关于原点对称，不满足题意； 当时，，幂函数为，图象成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，满足题意； 综上，k的值为1或3或5．故答案为：1或3或5． 题型3 幂函数过定点问题 【例3-1】（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】幂函数图象过定点问题 【分析】结合幂函数的性质计算即可得. 【详解】因为幂函数的图象过定点，即有， 所以，即的图象经过定点. 故选：B. 【例3-2】（23-24高一上·天津滨海新区·期中）已知函数，的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中m，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、幂函数图象过定点问题 【分析】求出定点A的坐标，并求出的关系，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】依题意，，则， 因此， 当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值4. 故选：D 【例3-3】（24-25高一上·广东广州·期中）下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过点和 B．幂函数的图象不经过第三象限 C．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的增函数 D．幂函数的图象过点，则 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】幂函数图象的判断及应用、判断一般幂函数的单调性、求幂函数的值、幂函数图象过定点问题 【分析】根据幂函数的图象性质分别判断每个选项即可. 【详解】对于A，当时，幂函数在处无定义，故图象不会经过点，选项A错误； 对于B，当时，幂函数都有意义，且，故幂函数的图象不经过第四象限，选项B错误； 对于C，当时，，在R上单调递增；当时，，在上单调递增；当时，，定义域为，且在上单调递增，选项C正确； 对于D，幂函数的图象过点，即，所以，即， 所以，选项D错误； 故选：C. 【例3-4】(多选)（2025高三·全国·专题练习）以下关于幂函数图像的说法，正确的有（    ） A．的图像一定过原点 B．的图像一定过点 C．的图像可能经过第三象限 D．的图像可能经过第四象限 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】幂函数图象的判断及应用、幂函数图象过定点问题 【分析】根据幂函数的定义域，定点，图象等分别判断各个选项即可. 【详解】函数不过原点，A选项错误； 而，所有幂函数的图像一定过点，B选项正确； 函数为奇函数，图像经过一、三象限，C选项正确； 当时，，的图像不可能在第四象限，D选项错误. 故选：BC. 【例3-5】（25-26高一上·山西·阶段检测）已知函数（为常数）的图象恒过定点，则___________． 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】幂函数图象过定点问题 【分析】根据幂函数过定点得的图象过定点，进而得 【详解】令，则，故的图象过定点， 故，． 故答案为：3． 变式训练 1.（25-26高一·全国·寒假作业）函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】幂函数图象过定点问题 【分析】根据题意，利用幂函数的图象与性质，即可求解. 【详解】由函数，令，可得且， 所以函数的图象恒过定点. 2.（24-25高一上·全国·课后作业）关于幂函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．幂函数图象恒过原点 B．存在，使得幂函数图象过第四象限 C．存在，使得幂函数为非奇非偶函数 D．当时，幂函数图象恒在轴上方 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断五种常见幂函数的奇偶性、幂函数图象的判断及应用、幂函数图象过定点问题 【分析】根据幂函数的定义和性质，对各个选项的正确性进行判断，从而得出结论. 【详解】若的图象不过原点，A错误； 对于幂函数，当时，恒成立，因此函数图象不过第四象限，B错误； 当时，的定义域为，且在上单调递增，为非奇非偶函数，C正确； 当时，的图象过第一、三象限，D错误． 故选：C. 3.（24-25高一上·新疆喀什·阶段检测）已知函数，则下列选项错误的是（    ） A．的图象过点 B．的图象关于轴对称 C．在上单调递增 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断五种常见幂函数的奇偶性、幂函数图象过定点问题、判断与幂函数相关的复合函数的单调性 【分析】根据函数的性质求解即可. 【详解】对于选项A，因为，所以的图象过点，故A正确； 对于选项B，函数定义域为，且，所以为偶函数，图象关于轴对称，故B正确； 对于选项C，当时，，根据幂函数性质可知，在上单调递增，故C正确； 对于选项D，因为，所以，故D错误. 故选：D 4.(多选)（24-25高一上·贵州黔东南·期末）已知幂函数，则下列说法正确的有（    ） A．或3 B．一定为奇函数 C．一定为减函数 D．必过点 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】判断五种常见幂函数的奇偶性、判断一般幂函数的单调性、根据函数是幂函数求参数值、幂函数图象过定点问题 【分析】根据幂函数的概念可求的值，再结合幂函数的性质对各选项进行判断. 【详解】对于A，根据幂函数的定义可得或，故A正确； 对于B，当或时，或都为奇函数，故B正确； 对于C，当时，不是减函数，当时，是增函数，故C错误； 对于D，因为对任意都有，所以幂函数均经过点，故D正确. 故选：ABD 5.（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为_________. 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值、幂函数图象过定点问题 【分析】求出函数的图象恒过定点，得到，使用基本不等式求的最小值. 【详解】函数的图象恒过定点，所以 , 因为，所以， 当时，的最小值为4. 故答案为：4 题型4 幂函数的单调性 【例4-1】（2025·天津·二模）已知函数，则此函数是（   ） A．偶函数，且在区间上单调递减 B．偶函数，且在区间上单调递增 C．奇函数，且在区间上单调递减 D．奇函数，且在区间上单调递增 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断一般幂函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据奇函数定义及幂函数单调性判断求解. 【详解】因为函数，定义域为， ，所以是奇函数， 因为在区间上单调递增，，所以函数在区间上单调递减， 故选：C. 【例4-2】（25-26高一上·江苏连云港·期末）函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】复合函数的单调性、具体函数的定义域、判断与幂函数相关的复合函数的单调性 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断即可. 【详解】对于函数， 令，解得，所以函数的定义域为， 又在上单调递减，在上单调递减， 所以函数的单调递增区间为. 故选：C 【例4-3】（25-26高三下·云南昭通·期中）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由幂函数的单调性求参数、根据解析式直接判断函数的单调性 【详解】由幂函数的性质可知，当时，函数在上单调递增； 若函数在上单调递增，则，不能推出. 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 【例4-4】(多选)（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）下列函数中，是奇函数且在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】判断一般幂函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性、判断五种常见幂函数的奇偶性 【详解】选项A：的定义域为，关于原点对称，且，是奇函数； 根据幂函数性质，幂指数，在上单调递减，故A符合要求； 选项B：的定义域为，关于原点对称，，是奇函数； 且在上单调递减，故B符合要求； 选项C：是二次函数，满足，是偶函数，不符合； 选项D：是奇函数，但幂指数，在上单调递增，不符合. 【例4-5】（2026·安徽合肥·模拟预测）“”是“函数为幂函数，且在上单调递减”的__________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”） 【答案】充分不必要 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由幂函数的单调性求参数、根据函数是幂函数求参数值 【详解】当为幂函数时，解得或， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减. 所以 “”是“为幂函数，且在上单调递减”的充分不必要条件． 变式训练 1.（26-27高三上·山东·阶段检测）下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断一般幂函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性、判断五种常见幂函数的奇偶性 【详解】对于A：，定义域为，关于原点对称， ，函数为奇函数， 该函数在，上单调递减，但在整个定义域内不单调递减，故A错误； 对于B：，定义域为，关于原点对称， ，函数为偶函数，故B错误； 对于C：，定义域为，关于原点对称， ，函数为偶函数，故C错误； 对于D：，定义域为，关于原点对称， ，函数为奇函数， 设，， ，， 又，，即， 在上单调递减，故D正确. 2.（26-27高三上·四川绵阳·开学考试）下列四个函数是奇函数且在定义域内单调递减的函数是（） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】判断一般幂函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性、判断五种常见幂函数的奇偶性 【详解】A.是奇函数，但该函数在定义域上不单调，排除. B.，定义域， ，是奇函数； 在上递增，故在上单调递减，符合题意； C.的定义域为，，即函数为奇函数， 又因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，排除. D.的定义域为，，故不是奇函数，排除. 3.（23-24高三上·山东济宁·期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间、判断与幂函数相关的复合函数的单调性 【分析】由根式性质求定义域，结合二次函数和幂函数的性质确定增区间. 【详解】由题意，令 ，即或， 根据二次函数性质知：在上递减，在上递增 又在定义域上递增，故的单调递增区间为. 故选：C 4.（23-24高一上·江苏南京·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求幂函数的解析式、判断与幂函数相关的复合函数的单调性 【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，然后利用复合函数的单调性得出结果． 【详解】设，因为的图象过点， 所以，解得，即，可得在上单调递减， 则函数， 由，解得或， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故选：A. 5.(多选)（25-26高三上·四川泸州·开学考试）已知定义在上的偶函数在上单调递增，则可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】判断一般幂函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质逐项判断即可. 【详解】选项A：，是偶函数，定义域为， 因为幂函数，由于幂指数，所以在上单调递减，A不满足题意； 选项B：，是偶函数，定义域为， 由二次函数的图象与性质得在上单调递增，B正确； 选项C：，是偶函数，定义域为， 当时，，则在上单调递增，C正确； 选项D：，则定义域为，不是偶函数，D不满足题意； 故选：BC 题型5 与幂函数有关的函数的奇偶性 【例5-1】（25-26高三上·广东·阶段检测）已知函数，则“”是“是奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】充要条件的证明、函数奇偶性的应用、判断五种常见幂函数的奇偶性 【分析】利用奇函数的性质，结合充分条件、必要条件的定义逐项判断. 【详解】函数， 若，则，是奇函数； 若是奇函数，则. 故“”是“是奇函数”的充要条件. 故选：C. 【例5-2】（23-24高三上·上海静安·阶段检测）已知，若为奇函数，且在上单调递增，则实数a的取值个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断一般幂函数的单调性、判断五种常见幂函数的奇偶性 【分析】时，不满足单调性，或时，不满足奇偶性，当或时，满足要求，得到答案. 【详解】当时，在上单调递减，不合要求， 当时，，故为偶函数，不合要求， 当时，的定义域为，不是奇函数，不合要求， 当时，，为奇函数， 且在上单调递增，满足要求， 当时，，故为奇函数， 且在上单调递增，满足要求. 故选：B 【例5-3】（25-26高三上·重庆·期中）若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】幂函数的奇偶性的应用、由幂函数的单调性求参数 【分析】根据幂函数的图像性质，运用排除法即可求解. 【详解】因为幂函数是奇函数，是偶函数排除C， 是非奇非偶函数，排除B、 又幂函数在上单调递减，所以为负数，排除D选项， 幂函数是奇函数，且在上单调递减，所以A正确. 故选：A 【例5-4】(多选)（2026·江西·模拟预测）关于定义域为的函数，下列说法正确的有（     ） A．存在函数，使得恒成立 B．存在函数，使得恒成立 C．存在函数，使得恒成立 D．存在函数，使得恒成立 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断五种常见幂函数的奇偶性 【分析】根据函数奇偶性定义计算判断结合幂函数的奇偶性判断求解. 【详解】对于定义域为的函数，函数与的定义域均为， 因 ， 故为偶函数， 为奇函数， 而为奇函数，为偶函数，A,D错误，为偶函数，为奇函数，B，C正确； 【例5-5】（25-26高一上·甘肃定西·期末）若幂函数是奇函数，则___________. 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】幂函数的奇偶性的应用、根据函数是幂函数求参数值 【分析】利用幂函数的定义以及奇函数的性质即可求解 【详解】由题可知，即，解得或． 当时，，其定义域为，，此时为奇函数； 当时，，其定义域为，，此时为偶函数； 综上，. 故答案为： 变式训练 1.（25-26高一上·福建泉州·期中）若函数为幂函数，则函数在定义域内为（ ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、判断一般幂函数的单调性、判断五种常见幂函数的奇偶性 【详解】函数为幂函数，，得， ，定义域为， ，故在定义域内为奇函数，故D选项错误，C选项正确； 根据幂函数的性质知在，上单调递减，但在其整个定义域上不具有单调性， 故选项A，B错误. 2.（23-24高三上·陕西咸阳·阶段检测）已知幂函数为偶函数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、判断五种常见幂函数的奇偶性 【分析】利用幂函数的定义与奇偶性求得m，从而得解. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，解得或， 又因为为偶函数，所以， 所以. 故选：B. 3.（23-24高一上·吉林延边·期末）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围、判断五种常见幂函数的奇偶性 【分析】根据幂函数的定义与奇偶性求出的值，可得出函数的解析式，再利用二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，从而得解. 【详解】因为幂函数是上的偶函数， 则，解得或， 当时，，该函数是定义域为的奇函数，不合乎题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意. 所以，则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递减，则，解得. 故选：C． 4.(多选)（25-26高一上·山西朔州·期末）已知幂函数，则（   ） A．当为奇函数时， B．当为偶函数时， C．当为奇函数时，在上单调递减 D．当为偶函数时，在上单调递减 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、函数奇偶性的定义与判断、判断一般幂函数的单调性、判断五种常见幂函数的奇偶性 【分析】根据幂函数定义计算可得或，再分别利用函数奇偶性定义、单调性定义对选项逐一判断即可得出结论. 【详解】由幂函数的定义可知，即，解得或， 当时，为奇函数，且在上单调递减，A，C正确； 当时，为偶函数，且在上单调递减，B错误，D正确． 故选：ACD． 5.（25-26高一上·河南洛阳·期中）设函数的最大值为，最小值为，则__________. 【答案】4052 【难度】0.4 【知识点】幂函数的奇偶性的应用、函数奇偶性的应用 【分析】化简函数，设，可得函数在上为奇函数，进而得到，进而求解即可. 【详解】， 设，定义域关于原点对称， 由，知函数为奇函数， ， 因为，，所以. 故答案为：4052. 题型6 幂函数的解析式、函数值 【例6-1】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知幂函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C．3 D．9 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求幂函数的值、求幂函数的解析式 【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，进而求出函数值. 【详解】设，则即， 故选：B． 【例6-2】（23-24高三上·陕西汉中·阶段检测）已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】幂函数图象的判断及应用、求幂函数的值、根据函数是幂函数求参数值、求幂函数的解析式 【分析】由幂函数定义得到，求出或1，舍去不合要求的，代入求值. 【详解】令，解得或1， 若，则，与坐标轴没有公共点，满足要求， 若，则，与坐标轴有公共点，交点为原点，不合要求， 故. 故选：A 【例6-3】（25-26高三上·黑龙江吉林·阶段检测）已知幂函数的定义域为，则（    ） A． B．1 C．4 D．8 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求幂函数的值、根据函数是幂函数求参数值 【分析】由幂函数的定义可求出或，结合幂函数的定义域为，即可选出正确答案. 【详解】由幂函数的概念可得，解得或. 当时，，定义域为，不符合题意，舍去； 当时，，定义域为，符合题意，所以， 所以. 故选：C 【例6-4】(多选)（25-26高三上·海南·阶段检测）已知函数是幂函数，则（   ） A． B． C．的图象关于y轴对称 D．若，则 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】求幂函数的值、奇偶函数对称性的应用、判断五种常见幂函数的奇偶性、求幂函数的解析式 【分析】根据幂函数的定义求得或，进而有或，结合幂函数的性质依次判断各项的正误. 【详解】由是幂函数，则， 所以或，故或，A错， 所以或，B对， 显然、都是偶函数，C对， 由，而，故，D对. 故选：BCD 【例6-5】（2026·上海闵行·二模）已知，若是幂函数，且，则______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求幂函数的值、根据函数是幂函数求参数值、求幂函数的解析式 【分析】先根据幂函数的定义求出参数，再利用已知函数值求出幂指数得到完整解析式，最后代入计算得到的值. 【详解】已知，且是幂函数： 根据幂函数的定义，可得，解得； 将条件代入得，解得，即函数解析式为； 将代入解析式得. 变式训练 1.（2026·河南平顶山·模拟预测）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求幂函数的解析式 【分析】根据幂函数的定义求解即可. 【详解】设幂函数，则，所以， 故. 2.（26-27高三上·新疆喀什·阶段检测）若幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求幂函数的值、求幂函数的解析式 【详解】由题意，可设， 由 ，所以.所以. 3.（23-24高三上·上海·期中）设函数 ，则点不可能在函数（    ）的图像上． A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求幂函数的值 【分析】先表示出点的坐标，然后逐项代入函数中判断点在函数上的可能性即可. 【详解】因为即为， 对于A：若点在函数上，则有，所以， 显然，所以点不可能在上； 对于B：若点在函数上，则有，所以， 所以当，时，点在上； 对于C：若点在函数上，则有， 若取时，显然成立，所以点可能在上； 对于D：若点在函数上，则有， 若取时，显然成立，所以点可能在上； 故选：A. 4.(多选)（24-25高三上·江苏连云港·阶段检测）下列命题中正确的是（   ） A．若幂函数的图像过点，则 B．若函数在上单调递增，则a的取值范围是 C．已知函数向右平移2个单位,再向下平移1个单位得到 D．已知，且，则的最小值为 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值、分段函数的性质及应用、求幂函数的解析式 【分析】A选项，设出函数解析式，代入点的坐标，求出解析式；B选项，举出反例；C选项，利用平移规则计算即可；D选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】对于A，，将代入得，，解得，故，故A正确； 对于B，当时，，其图象如下：满足在上单调递增，故B错误； 对于C，函数向右平移2个单位,得到, 再向下平移1个单位得到与不符，故C错误； 对于D，已知，，且， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 则的最小值为，故D正确. 故选：AD. 5.（26-27高三上·湖南·阶段检测）已知幂函数 为偶函数，则_______ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求幂函数的值、根据函数是幂函数求参数值、由奇偶性求参数 【详解】由题意可得，解得或， 当时，为奇函数，不符合题意； 当时，为偶函数，符合题意， 所以. 题型7 根据幂函数的单调性求参数 【例7-1】（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）若幂函数为偶函数且在单调递增，则实数的可能值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】幂函数的奇偶性的应用、函数奇偶性的定义与判断、由幂函数的单调性求参数 【详解】幂函数在单调递增的充要条件是，故A，B选项错误， 由偶函数的性质验证C，D选项 选项C：，对应函数，定义域为，且满足，是偶函数，C选项正确， 选项D：，对应函数，定义域是，定义域不关于原点对称，既不是奇函数又不是偶函数，D选项错误. 【例7-2】（23-24高三上·河北邢台·期中）已知函数是幂函数，且在上单调递减，若，且，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、幂函数的奇偶性的应用、根据函数是幂函数求参数值 【分析】由幂函数的定义与性质求得函数解析式，确定其是奇函数，然后利用单调性与奇偶性可判断. 【详解】由得或， 时，在上是增函数，不合题意， 时，，在上是减函数，满足题意，所以， ，则，，是奇函数， 因此，所以，即， 故选：B. 【例7-3】（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件，则正实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据充分不必要条件求参数、由幂函数的单调性求参数 【分析】根据幂函数的性质求得，由题意知是的真子集，列不等式即可求解. 【详解】因为函数在上单调递增，所以，解得. 因为“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件，且， 所以是的真子集，所以， 即正实数的取值范围是. 【例7-4】（25-26高三上·山东淄博·阶段检测）若幂函数在上是增函数，则实数________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由幂函数的单调性求参数、根据函数是幂函数求参数值 【分析】结合幂函数的定义以及单调性求值. 【详解】是幂函数，所以，解得或； 当时，，在上递增，符合题意； 当时，，在上递减，不符合题意； 综上所述，. 故答案为： 【例7-5】（25-26高三上·甘肃兰州·阶段检测）已知幂函数在上单调递减．的值为_________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由幂函数的单调性求参数、根据函数是幂函数求参数值 【分析】根据幂函数的结构特征求出m，再根据单调性即可得答案. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，在区间上单调递减， 当时，在上单调递增，不满足题意， 故． 故答案为： 变式训练 1.（26-27高三上·江苏盐城·阶段检测）已知幂函数（且）为奇函数，且在区间上递增，则等于（    ） A．1 B．1或3 C．2 D．3 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数、由奇偶性求参数 【详解】因为幂函数（且）为奇函数，且在区间上递增， 则为奇数且，， 故或. 2.（26-27高三上·江西·阶段检测）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数 【分析】根据幂函数的定义及单调性求解即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得，或. 又函数在单调递减，要求指数，所以. 3.（23-24高三上·黑龙江·阶段检测）函数是幂函数，对任意，，且，满足，若，，且，，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性求参数、函数奇偶性的应用、求函数值 【分析】利用幂函数的定义以及结合成立等价于函数为减函数可求出的值，利用函数的单调性与奇函数求解即可. 【详解】因为对任意，，且，满足，所以在上为减函数， 由已知是幂函数，可得， 解得或， 当时，，在上为增函数，故不成立. 当时，，在上为减函数，满足条件， 故，，故为奇函数， 因为，，所以， 所以，所以，所以. 故选：B 4.（25-26高三上·江苏泰州·开学考试）若幂函数在上单调递增，则实数m的值为________． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】由幂函数的单调性求参数、根据函数是幂函数求参数值 【分析】利用幂函数概念及单调性即可求解. 【详解】因为是幂函数，所以， 解得或， 又因为幂函数在上单调递增， 所以，故舍去，所以， 故答案为： 5.（25-26高三上·上海徐汇·阶段检测）若幂函数为严格增函数，则m的值为__________. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】由幂函数的单调性求参数、根据函数是幂函数求参数值 【分析】由幂函数的单调性求参数值，注意验证. 【详解】由题意，幂函数为严格增函数，则，可得，此时满足题意. 故答案为： 题型8 解不等式 【例8-1】（25-26高三上·广东·期中）已知函数，满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由函数奇偶性解不等式、函数奇偶性的定义与判断、判断与幂函数相关的复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数， 当时，因为，均在上单调递增， 所以在上单调递增，又为连续函数， 所以在上单调递增， 不等式，即，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C 【例8-2】（2025·四川·模拟预测）已知函数，则的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由函数奇偶性解不等式、解不含参数的一元二次不等式、判断与幂函数相关的复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】是上的奇函数且在上递减，即可将原不等式等价转化为，求解即可. 【详解】由于的定义域为，且，故是奇函数， 又因为均为在上的减函数，则在上单调递减. 从而不等式等价于，即. 此即，即，解得. 故选：B. 【例8-3】（25-26高三上·江苏苏州·阶段检测）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】由幂函数的单调性解不等式、幂函数的奇偶性的应用、由幂函数的单调性求参数 【分析】结合幂函数性质由条件求，结合函数的性质化简不等式，解不等式可得结论. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，又，所以， 因为函数的图象关于轴对称，所以为偶数， 不符合题意舍去，所以， 函数的定义域为，且函数在和上单调递减， 当时，，当时，， 所以不等式可化为 或或，所以或， 所以的取值范围为. 故选：C. 【例8-4】(多选)（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知幂函数过点，则下列说法正确的是（   ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．不等式的解集是 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】判断一般幂函数的单调性、由幂函数的单调性解不等式、函数奇偶性的定义与判断、求幂函数的解析式 【分析】根据幂函数定义以及经过点的坐标可得，再由其单调性、奇偶性可判断B错误，C正确，由分式不等式可得D正确. 【详解】设幂函数，则，即， 即，A正确， 函数的定义域为， 则函数在定义域和上分别单调递减，但在整个定义域上并不单调递减，B错误， 函数的定义域关于原点对称，且，所以函数为奇函数，C正确， 不等式为，即,解得或， 即不等式的解集是，D正确. 故选：ACD 【例8-5】（23-24高三上·辽宁大连·期中）已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性解不等式、根据函数是幂函数求参数值 【导语】先求出幂函数的表达式，再用增减性即可 【详解】因为的图象过点所以，解得 所以在定义域上递减；故；解得 故答案为： 变式训练 1. 2.（25-26高一上·江苏南京·期中）已知幂函数，且，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性解不等式、求幂函数的解析式、根据函数的单调性解不等式 【分析】通过幂函数定义解出，再通过判定出，根据单调性再解即可. 【详解】由为幂函数可知：或， 又，故在单调递减，故，所以， 则得，即，整理得， 解得或或， 实数的取值范围是. 故选：D. 3.（24-25高一上·江苏南京·阶段检测）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性解不等式、幂函数的奇偶性的应用、由幂函数的单调性求参数 【分析】结合幂函数性质由条件求，结合函数的性质化简不等式，解不等式可得结论. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，又，所以， 因为函数的图象关于轴对称， 所以为偶数，所以， 函数的定义域为， 且函数在和上单调递减， 当时，，当时，， 所以不等式可化为 或或，所以或， 所以的取值范围为. 故选：C. 4.(多选)（24-25高一上·湖南·期中）已知幂函数的图象经过点，下列结论正确的有（    ） A． B． C．是偶函数 D．若，则 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】判断一般幂函数的单调性、由幂函数的单调性解不等式、函数奇偶性的定义与判断、根据函数是幂函数求参数值 【分析】根据幂函数的性质可得，代入点坐标可求解，即可求解AB,根据偶函数的定义求解C，根据幂函数的单调性以及奇偶性可列不等式求解D. 【详解】对于A，由于幂函数的图象经过点， 故，解得，故，A正确， 对于B，无意义，故B错误， 对于C，定义域为，关于原点对称， 且，故是偶函数，C正确， 对于D，由于是偶函数，且在单调递减， 故由可得，解得且，故D错误， 故选：AC 5.（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）设是幂函数，若，则的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性解不等式、根据函数是幂函数求参数值 【分析】根据幂函数的定义求出的值，得到函数解析式，结合函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得，所以． 易知是增函数. 因为，所以，解得． 故答案为：. 题型9 比较大小 【例9-1】（25-26高一上·山东·期中）已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、求幂函数的解析式 【分析】根据题意，求得，得到在上单调递减，进而即得. 【详解】由点在幂函数的图象上，可得，解得， 所以，函数在上单调递减， 因为，所以，即， 又因为，所以. 故选：D. 【例9-2】（2026·北京密云·一模）已知，则下列结论中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】由幂函数的单调性解不等式、由不等式的性质比较数（式）大小 【详解】对于A，因为，由不等式的性质，，故A错. 对于B，因为函数在上单调递增，，所以，故B正确 对于C， 已知且，说明，那么，所以，故C正确. 对于D，已知，所以，因为函数在上单调递增，所以，故D正确. 【例9-3】（25-26高三上·河南漯河·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性比较大小 【分析】利用幂函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为幂函数在上为增函数， 且，， 所以， 又因为，所以. 故选：A.， 【例9-4】(多选)（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）若，为实数，则下列不等式中一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】A选项，利用不等式的性质得到A正确；B、C可举出反例；D选项，利用幂函数的性质可得D正确. 【详解】A选项，因为，所以两边同除以得，A正确； B选项，不妨令，此时无意义，不满足，B错误； C选项，不妨设，此时，C错误； D选项，因为，在R上单调递增，所以，D正确. 故选：AD 【例9-5】（多选）（26-27高三上·山东潍坊·阶段检测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【详解】对选项A：∵ ，∴ . 又∵，不等式两边同乘负数，不等号方向改变，∴ ，故A正确. 对选项B： 由展开移项得 ， 当且仅当 时等号成立，故B正确. 对选项C：∵ ∴ . 又∵，∴ ；∴ ，即 ，故C错误. 对选项D：∵，∴ ；设 ，函数 在 上单调递减， 又∵，∴ ，即 ，故D正确. 变式训练 1.（25-26高三上·上海浦东新·阶段检测）已知，则“”是“”的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、充要条件的证明 【分析】根据函数的单调性，判断“”和“”的逻辑关系，即可得答案. 【详解】由于函数在上单调递增， 故当时，可得； 当时，也可得， 故“”是“”的充要条件， 故选：C 2.（25-26高三上·吉林通化·阶段检测）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由幂函数的单调性比较大小 【分析】根据给定条件，利用幂函数的单调性比较大小. 【详解】依题意，，而幂函数在上单调递减，又， 因此，所以的大小关系为. 故选：C 3.（25-26高三上·河北邯郸·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性比较大小 【分析】根据指数性质化简，构造函数，根据单调性比较大小. 【详解】，，对于幂函数， 因为指数，故在上单调递增，又，所以． 故选：C. 4.(多选)（25-26高三上·贵州贵阳·期中）已知，，，则“”的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较指数幂的大小、探求命题为真的充要条件、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据不等式的性质判断AB；根据指数函数的图象与性质判断C；根据幂函数的图象与性质判断D. 【详解】A：若，则； 若，得，故A符合题意； B：若， 得，即，所以； 若，则，所以， 即，得，故B符合题意； C：当时，由，得， 当时，由，得； 若，当时，， 当时，由，故C不符合题意； D：若，由幂函数的图象与性质知； 若，则，故D符合题意. 故选：ABD 5.（26-27高三上·福建·阶段检测）已知，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小 【分析】对A，根据条件，利用幂函数的性质，即可求解；对B和C，根据条件，利用作差法，即可求解；对D，先展开变形，再结合条件，即可求解. 【详解】对于A，因为，则在区间上单调递减， 又，所以，故A错误， 对于B，因为，又，， 所以，则，所以，故B正确， 对于C，因为，又，，所以， 则，故，所以C正确， 对于D，因为，，则，所以D正确. 题型10 二次函数 【例10-1】（2025·广东·模拟预测）函数与表示同一个函数，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求二次函数的解析式 【分析】利用二次函数的两点式得出相应方程的根，再由函数相同计算参数即可. 【详解】注意到方程有两个解，方程的其中一个解为0，故只可能， 所以，故， 故选：A. 【例10-2】（26-27高三上·江西·阶段检测）已知且，函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围、根据分段函数的单调性求参数、由指数（型）的单调性求参数 【分析】二次函数在上递增，指数函数在 上递增，左段在处的函数值右段在处的函数值. 【详解】，开口向下，对称轴为， 因为在递增，所以对称轴,解得, 因为单调递增，所以， 因为在上单调递增， 所以,解得,即， 则实数的取值范围是，即实数的取值范围是，即. 【例10-3】（2026·江西赣州·二模）已知函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】对分情况①，②，③，④，⑤讨论，前四种情况都与矛盾，第五种情况可根据单调性求解. 【详解】设，易得在上递增，在上递减，且有两个零点和， 因可由保持轴上方部分并将轴下方部分沿轴翻折得到， 如上图，在上递减，在上递增， 在上递减，在上递增. ① 当时，在的最大值， 在的最大值为，矛盾； ② 当时，在的最大值， 在的最大值为，矛盾； ③ 当时，在的最大值， 在的最大值为，矛盾； ④ 当时，在的最大值，因， 在单调递增，最大值，，矛盾； ⑤ 当时，在的最大值， ，，由图可知，此时只需令 即可， 解得或，所以， 综上所述，的取值范围是. 【例10-4】(多选)（26-27高三上·广东河源·阶段检测）若关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（     ） A． B．不等式的解集为 C． D．函数在上单调递增 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】二次函数的图象分析与判断、判断二次函数的单调性和求解单调区间、解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【分析】根据一元二次不等式与方程的关系，可得，判断A； 结合一元二次不等式的解法求得不等式的解集，判断B； 得到的关系，可判断C； 分析函数在上的单调性，可判断D. 【详解】由关于的不等式的解集为， 得和是关于的方程的两个实数根，且， 所以，得.所以A正确； 不等式等价于， 即，，解得或. 所以不等式的解集为或，所以B不正确； 因为，所以C正确； 函数， 因为，所以函数在上单调递增；所以D正确. 【例10-5】（2026·天津·二模）已知，，函数在上的最大值为，若对任意恒成立，则的取值范围为__________. 【答案】 【难度】0.25 【知识点】求二次函数的值域或最值、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】分析对函数的影响，再对分类讨论，根据二次函数的单调性找到最值和的关系，进行求解. 【详解】设，，则， 对于固定的，在的值域是，值域的区间长度为， 此时在的最大值为的含义是：数轴上，点到区间上所有点的最大距离为. 若，则，若或，则， 所以. 对任意恒成立等价于，即：， ， ①当时，即：时，在上单调递增， 所以 ，令，解得，符合题意； ②当，即：时，，而，， 若，则：，， 因为，所以 ，则 ，不满足条件； 若，则，，令， 解得：或，不满足条件； ③当，即：时，在上单调递减， 所以，令，解得：，符合条件. 综上所述，的取值范围为. 变式训练 1.（25-26高三上·广东清远·阶段检测）已知二次函数（为常数），当时，的最大值是15，则的值是（    ）． A．或 B．或 C．6或 D．6 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】根据二次函数的性质分三种情况讨论：当，当，当，分别求出的值. 【详解】二次函数的图象的对称轴为直线． ①当，即时，对于，随着的增大而减小，故当时，取得最大值，即，解得，符合题意； ②当，即时，在处取得最大值， 即，得，解得或（舍去）； ③当，即时，对于，随着的增大而增大， 故当时，取得最大值， 即，解得（舍去）． 综上所述，或6． 故选：C． 2.（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知定义在R上的函数满足条件，且函数是偶函数，当时，，当时，的最小值为，则a的值等于（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、求二次函数的值域或最值、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】借助函数的奇偶性与周期性，求出参数的值. 【详解】已知函数是偶函数，所以， 即函数图像关于对称，即， 当时，，所以， 因为，所以， 即， 在区间中，的最小值为，解得. 3.（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知函数（且），若对任意的，，且，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】二次函数的图象分析与判断、利用不等式求值或取值范围、基本不等式求和的最小值、函数不等式恒成立问题 【分析】通过已知条件得到，进行化简，进而利用均值不等式求的最小值即可. 【详解】因为函数（且），， ，且，即，， 又，， 又，，即， 令，则， 令，则，故上式， 对，有，当且仅当，即时等号成立， 所以，故. 4.(多选)（2026·海南·模拟预测）设函数的定义域为，且，则（     ） A．函数的值域为 B．函数在上单调递减 C．方程有3个不同的解 D．若方程有10个不同的解，则 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间、根据函数零点的个数求参数范围、分段函数的值域或最值、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据给定条件，求出函数，分段求出值域判断A； 确定单调性判断B；求出方程的解判断C；转化为一元二次方程，并利用其根的分布列式求解判断D. 【详解】依题意，当时，； 当时，，则； 当时，，则， 对于A，当时，；当时，；当时， ，函数的值域为，A错误； 对于B，当时，在上单调递减，B正确； 对于C，由选项A及，得或，解得 或，方程有3个不同的解，C正确； 对于D，观察图象，令，方程有10个不同的解， 等价于方程在内各有一个实数根， 因此，解得，D正确. 5.（2026·湖南邵阳·三模）已知函数若存在最大值，则实数的最大值为___________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】分段函数的性质及应用、根据二次函数的最值或值域求参数、分段函数的值域或最值、根据分段函数的值域（最值）求参数 【详解】若存在最大值，根据一次函数的单调性可知，分类讨论， 当，时，的最大值为， 而在区间上为单调递增函数，则，解得， 故， 当，时，的最大值为， 而在区间上为单调递增函数， 则，即，解得， 故， 综上所述可得的取值范围为，故的最大值为． 学科网(北京)股份有限公司第 1 页 共 25 页 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $