第09讲 幂函数与二次函数 讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第09讲 幂函数与二次函数 第09讲 幂函数与二次函数 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解幂函数的概念，掌握五个常见幂函数的图象与性质，会比较幂值大小； 2．熟练求二次函数解析式，会用配方法确定对称轴、顶点与单调性； 3．掌握二次函数在闭区间上的最值求法，会按"轴在左／内／右"分类讨论； 4．能用幂函数与二次函数的单调性、奇偶性处理含参与不等式的综合问题。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 幂函数的概念与判定 选择题 第3~6题 中 只看形式：系数为 、底数为 、指数为常数 幂函数的图象、性质与比较大小 选择题、填空题 第4~8题 中偏难 同指数比底数、同底数比指数、都不同插 二次函数解析式的求法 选择题、填空题 第6题、第13题 中偏难 顶点用顶点式、两根用两根式、对称关系定轴 二次函数的单调性与最值 选择题、填空题 第6~8题、第14题 中偏难 配方定轴，再分类讨论轴与区间的位置 含参二次函数闭区间最值 选择题、解答题 第8题、第17~20题 中偏难 轴在左／内／右三类讨论，补"综上" 命题规律分析 幂函数与二次函数是函数部分的"计算主力"，新高考中常落在第 4~8 题、第 13~14 题，也常在解答题第 17~20 题中作为基础得分点。常考三类问题：比较幂值大小（同指数比底数、同底数比指数、都不同插中间量 ）、求二次函数解析式（顶点式／两根式／一般式按条件选形式）、二次函数在闭区间上的最值（轴在左、轴在内、轴在右三类讨论）。本讲面向 90~120 分学生，在基础之上把这三处难度整体上抬：比较大小升级为三数排序、求解析式加入"由对称关系定轴"、含参最值要求写出完整的分类结论。培优得分策略是牢牢记住三个高频陷阱—— 不是幂函数、对称轴公式的负号、含参分类讨论漏类或忘记写"综上"。 考点1 幂函数 知识点1 幂函数的概念与五个常见幂函数 形如 （ 为常数）的函数叫幂函数：系数为 、底数为 、指数为常数。 五个常见幂函数 、、、、 的图象都经过点 。 【易错清单】 1．、、 都不是幂函数； 2． 时图象不过原点，以两坐标轴为渐近线； 3．比较幂值大小前必须先确认底数大于 。 知识点2 比较幂值大小的三种通法 同指数比底数（用幂函数 的单调性）；同底数比指数（用指数函数 的单调性）；都不同则插入中间量 （或 ）搭桥。 【易错清单】 1．把幂函数与指数函数的单调性用反； 2．底数在 与 之间时忘记"指数越大值越小"； 3．只比较两个数就排序，漏验第三个数的大小关系。 考点2 二次函数的图象、性质与最值 知识点3 二次函数的三种形式与图象性质 （）的对称轴为 ，顶点为 。 三种常用形式：一般式、顶点式 、两根式 ；求解析式时按已知条件选形式。 【易错清单】 1．对称轴公式漏掉负号，写成 ； 2．忽略二次项系数 的前提； 3．由两点函数值相等推对称轴时，必须确认两点横坐标关于对称轴对称。 知识点4 二次函数在闭区间上的最值 比较对称轴 与区间 的位置，分三类：轴在左（）、轴在内（）、轴在右（）。 轴在内时，一个最值在顶点取得，另一个在离对称轴较远的端点取得。 【易错清单】 1．分类讨论后忘记写"综上"，或漏掉某一类； 2．端点处等号能否取到判断失误； 3．把"在区间上恒成立"当成"在某一点成立"。 【题型1 幂函数的概念与判定】 【例1】已知函数 是幂函数，且在 上单调递增，则实数 的值为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 【变式1-1】下列函数中是幂函数的是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-2】已知幂函数 的图象经过点 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-3】已知幂函数 是偶函数，则实数 的值为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 【题型2 幂函数的图象、性质与比较大小】 【例2】设 ，，，则 ，， 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-1】已知 ，，则 与 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D．无法确定 【变式2-2】已知幂函数 的图象经过点 ，则 的奇偶性与单调性是（　　） A．偶函数，在 上递增　B．奇函数，在 上递增　C．非奇非偶，在 上递增　D．非奇非偶，在 上递减 【变式2-3】已知幂函数 的图象经过点 ，则该函数是（　　） A．奇函数　B．偶函数　C．非奇非偶函数　D．既是奇函数又是偶函数 【题型3 二次函数解析式的求法】 【例3】已知二次函数 满足 ，且 ， 的最小值为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-1】已知二次函数 的图象顶点为 ，且经过点 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-2】已知二次函数的图象与 轴交于点 与 ，且经过点 ，则该函数的解析式为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-3】已知二次函数 满足 ，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型4 二次函数的单调性与最值】 【例4】已知函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 的值为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 【变式4-1】已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-2】函数 在区间 上的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-3】已知函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型5 幂函数与二次函数的综合】 【例5】已知幂函数 ，则不等式 的解集是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-1】已知 ，，，则 ，， 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-2】已知幂函数 是偶函数，且在 上单调递减，则 可以是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-3】已知幂函数 在 上单调递减，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 二次函数在闭区间上的最值（含参讨论）】 【例6】已知函数 在区间 上的最小值为 ，求 的解析式。 【变式6-1】已知函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-2】已知函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-3】已知函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 一、单选题 1．（★★）下列函数中是幂函数的是（　　） A．　B．　C．　D． 2．（★★）函数 的定义域是（　　） A．　B．　C．　D． 3．（★★）二次函数 的图象的对称轴是（　　） A．　B．　C．　D． 4．（★★）已知幂函数 的图象经过点 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 5．（★★）函数 的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★★）已知函数 在区间 （）上的最大值为 ，最小值为 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）已知函数 （）。若 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★★）已知函数 。若关于 的方程 有四个不同的实数根，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★★）下列关于幂函数的说法中，正确的是（　　） A．幂函数 的系数一定是 　B．函数 是幂函数　C． 在 上单调递减　D．幂函数的图象都经过点 10．（★★）已知函数 ，下列说法正确的是（　　） A．图象开口向上　B．图象的对称轴为 　C． 的最小值为 　D． 11．（★★★）已知函数 （），则下列结论正确的是（　　） A． 的最小值为 　B．若 在 上单调递增，则 　C．若 对一切 恒成立，则 　D．若 在 上的最小值为 ，则 或 12．（★★★）已知函数 （），则下列结论正确的是（　　） A．若 为偶函数，则 　B．当 时， 在 上的值域为 　C．若 在 上单调递减，则 　D．若 在 上的最小值为 ，则 三、填空题 13．（★★）已知幂函数 的图象经过点 ，则 ____________。 14．（★★）函数 在区间 上的值域是____________。 15．（★★★）已知函数 是幂函数且是偶函数，则不等式 的解集是____________。 16．（★★★）若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是____________。 四、解答题 17．（★★）已知二次函数 的图象经过点 ，且顶点为 。 (1) 求 的解析式； (2) 求 在区间 上的最大值与最小值。 18．（★★）比较下列各组数的大小： (1) 与 ； (2) 与 ； (3) 与 。 19．（★★）已知幂函数 的图象经过点 。 (1) 求 的值； (2) 判断 的奇偶性，并说明 在 上的单调性。 20．（★★★）已知函数 （）。 (1) 求 在区间 上的最小值 ； (2) 若 ，求实数 的取值范围。 21．（★★★）已知函数 （）。 (1) 求 在区间 上的最小值 ； (2) 若 ，求实数 的取值范围。 22．（★★★）已知函数 （）。 (1) 若 在 上单调递增，求实数 的取值范围； (2) 求 在区间 上的最小值 的解析式。 23．（★★★）已知函数 （）。 (1) 求 的图象的顶点坐标； (2) 求 在区间 上的最小值 的解析式； (3) 若存在 ，使 ，求实数 的取值范围。 24．（★★★）已知函数 （）。 (1) 若 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围； (2) 求 在区间 上的最小值 的解析式； (3) 若对一切 都有 成立，求实数 的取值范围。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第09讲 幂函数与二次函数 第09讲 幂函数与二次函数 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解幂函数的概念，掌握五个常见幂函数的图象与性质，会比较幂值大小； 2．熟练求二次函数解析式，会用配方法确定对称轴、顶点与单调性； 3．掌握二次函数在闭区间上的最值求法，会按"轴在左／内／右"分类讨论； 4．能用幂函数与二次函数的单调性、奇偶性处理含参与不等式的综合问题。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 幂函数的概念与判定 选择题 第3~6题 中 只看形式：系数为 、底数为 、指数为常数 幂函数的图象、性质与比较大小 选择题、填空题 第4~8题 中偏难 同指数比底数、同底数比指数、都不同插 二次函数解析式的求法 选择题、填空题 第6题、第13题 中偏难 顶点用顶点式、两根用两根式、对称关系定轴 二次函数的单调性与最值 选择题、填空题 第6~8题、第14题 中偏难 配方定轴，再分类讨论轴与区间的位置 含参二次函数闭区间最值 选择题、解答题 第8题、第17~20题 中偏难 轴在左／内／右三类讨论，补"综上" 命题规律分析 幂函数与二次函数是函数部分的"计算主力"，新高考中常落在第 4~8 题、第 13~14 题，也常在解答题第 17~20 题中作为基础得分点。常考三类问题：比较幂值大小（同指数比底数、同底数比指数、都不同插中间量 ）、求二次函数解析式（顶点式／两根式／一般式按条件选形式）、二次函数在闭区间上的最值（轴在左、轴在内、轴在右三类讨论）。本讲面向 90~120 分学生，在基础之上把这三处难度整体上抬：比较大小升级为三数排序、求解析式加入"由对称关系定轴"、含参最值要求写出完整的分类结论。培优得分策略是牢牢记住三个高频陷阱—— 不是幂函数、对称轴公式的负号、含参分类讨论漏类或忘记写"综上"。 考点1 幂函数 知识点1 幂函数的概念与五个常见幂函数 形如 （ 为常数）的函数叫幂函数：系数为 、底数为 、指数为常数。 五个常见幂函数 、、、、 的图象都经过点 。 【易错清单】 1．、、 都不是幂函数； 2． 时图象不过原点，以两坐标轴为渐近线； 3．比较幂值大小前必须先确认底数大于 。 知识点2 比较幂值大小的三种通法 同指数比底数（用幂函数 的单调性）；同底数比指数（用指数函数 的单调性）；都不同则插入中间量 （或 ）搭桥。 【易错清单】 1．把幂函数与指数函数的单调性用反； 2．底数在 与 之间时忘记"指数越大值越小"； 3．只比较两个数就排序，漏验第三个数的大小关系。 考点2 二次函数的图象、性质与最值 知识点3 二次函数的三种形式与图象性质 （）的对称轴为 ，顶点为 。 三种常用形式：一般式、顶点式 、两根式 ；求解析式时按已知条件选形式。 【易错清单】 1．对称轴公式漏掉负号，写成 ； 2．忽略二次项系数 的前提； 3．由两点函数值相等推对称轴时，必须确认两点横坐标关于对称轴对称。 知识点4 二次函数在闭区间上的最值 比较对称轴 与区间 的位置，分三类：轴在左（）、轴在内（）、轴在右（）。 轴在内时，一个最值在顶点取得，另一个在离对称轴较远的端点取得。 【易错清单】 1．分类讨论后忘记写"综上"，或漏掉某一类； 2．端点处等号能否取到判断失误； 3．把"在区间上恒成立"当成"在某一点成立"。 【题型1 幂函数的概念与判定】 【例1】已知函数 是幂函数，且在 上单调递增，则实数 的值为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 【答案】B 【解题思路】幂函数的系数必须为 ，再结合单调性筛出满足条件的根。 【解答过程】由幂函数的定义，系数 ，即 ，解得 或 。 又在 上单调递增要求指数为正，即 ，故 。故选B。 【多解·巧解】也可以先筛后验：由"递增"先得 ，直接排除 ，再把 代回系数方程验证即可。含参幂函数题的条件往往不止一个，先挑约束最强的那条筛，能省一半计算。 【易错提醒】只解系数方程就选 C 是本题最大的坑——系数方程给出的是"候选值"，还必须用"递增"（指数为正）或"奇偶性"等条件做二次筛选。 【变式1-1】下列函数中是幂函数的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】对照幂函数 的三个形式特征：系数为 、底数为 、指数为常数。 【解答过程】A的系数是 不是 ；C含有常数项 ；D的底数是常数 、指数是自变量，是指数函数；B符合 的形式（）。故选B。 【变式1-2】已知幂函数 的图象经过点 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】把已知点坐标代入解析式，把两侧化为同底数幂比较指数。 【解答过程】由题意 ，即 ，所以 ，解得 。故选B。 【变式1-3】已知幂函数 是偶函数，则实数 的值为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 【答案】B 【解题思路】系数为 给出候选值，再用"偶函数"筛出正确的根。 【解答过程】由幂函数的定义，系数 ，即 ，解得 或 。 当 时 ，是偶函数，符合； 当 时 ，是奇函数，不合。 故 。故选B。 【题型2 幂函数的图象、性质与比较大小】 【例2】设 ，，，则 ，， 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】先把三个数"配对"： 与 指数相同用幂函数比较， 与 底数相同用指数函数比较，再串联。 【解答过程】① 与 ：指数同为 ，底数 ，由幂函数 在 上递增得 ； ② 与 ：底数同为 ，且 ，由指数函数 递减，指数 ，得 。 综上 。故选B。 【多解·巧解】比较三数大小先"配对"：能配成同指数的用幂函数，能配成同底数的用指数函数，剩下配不上的再与中间量 比较。本题 是"枢纽"，与 同指数、与 同底数，抓住枢纽即可把三数串成一条链。 【易错提醒】底数 时指数函数递减，"指数越大值越大"的结论不能套用；此处指数越大值越小，故 而不是 。 【变式2-1】已知 ，，则 与 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D．无法确定 【答案】B 【解题思路】指数相同，用幂函数 的单调性比较。 【解答过程】因为 在 上单调递增，且 ，所以 。故选B。 【变式2-2】已知幂函数 的图象经过点 ，则 的奇偶性与单调性是（　　） A．偶函数，在 上递增　B．奇函数，在 上递增　C．非奇非偶，在 上递增　D．非奇非偶，在 上递减 【答案】C 【解题思路】先求 ，再由定义域是否对称判断奇偶性，由指数正负判断单调性。 【解答过程】由 得 ，所以 ，即 。 其定义域为 ，不关于原点对称，故既不是奇函数也不是偶函数；又指数 ，在 上单调递增。故选C。 【变式2-3】已知幂函数 的图象经过点 ，则该函数是（　　） A．奇函数　B．偶函数　C．非奇非偶函数　D．既是奇函数又是偶函数 【答案】B 【解题思路】求出 后按奇偶性定义判断。 【解答过程】由 得 ，即 ，定义域为 ，且 ，是偶函数。故选B。 【题型3 二次函数解析式的求法】 【例3】已知二次函数 满足 ，且 ， 的最小值为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】由 读出对称轴，再由顶点与另一条件定系数。 【解答过程】由 知，自变量 与 的函数值相等，故对称轴为两者的中点，即 。 于是顶点为 ，设 。 由 ，解得 。 所以 。故选A。 【多解·巧解】 这类"对称关系"的读法是取括号内两式的平均值： 就是对称轴。有了对称轴与最小值，用顶点式最快；本题不必先设一般式再解三元方程组。 【易错提醒】对称轴算错（把中点写成 或直接取 ）会导致整体答案偏移。检验方法：取对称轴两侧等距的点，如 与 ，应有 ，代入所得解析式核对。 【变式3-1】已知二次函数 的图象顶点为 ，且经过点 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】已知顶点设顶点式，再用另一点定系数。 【解答过程】设 ，把 代入得 ，即 ，所以 。故选A。 【变式3-2】已知二次函数的图象与 轴交于点 与 ，且经过点 ，则该函数的解析式为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】已知两根设两根式，再代入第三点。 【解答过程】设 ，把 代入得 ，解得 ，所以 。故选A。 【变式3-3】已知二次函数 满足 ，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】由 得对称轴，再用对称轴公式求 ，用 求 。 【解答过程】由 知对称轴为 ，即 ，解得 。 由 得 。 所以 。故选A。 【题型4 二次函数的单调性与最值】 【例4】已知函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 的值为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 【答案】A 【解题思路】配方定轴，按对称轴与区间的位置分三类讨论最大值位置，解出后回代检验。 【解答过程】，对称轴 ，开口向下。 ① 当 时， 在 上递减，最大值 ，不合； ② 当 时，最大值 ，解得 （ 舍去），满足 ； ③ 当 时， 在 上递增，最大值 ，解得 ，不满足 ，舍去。 综上 。故选A。 【多解·巧解】开口向下时，最大值"要么在顶点、要么在离轴较远的端点"。本题轴在左（）时最大值恒为 ，可直接排除，无需解方程。先看哪些类"不可能"，再对可能的类列方程，能显著提速。 【易错提醒】解出 后必须回代检验它是否落在 内——它不满足，应舍去。含参最值题"分类—解方程—回代检验"三步缺一不可。 【变式4-1】已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】开口向上的二次函数在对称轴右侧递增，只需对称轴不超过 。 【解答过程】，对称轴 ，开口向上，要使 在 上递增，需 。故选A。 【变式4-2】函数 在区间 上的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】配方定轴，开口向下时顶点处取最大值。 【解答过程】，对称轴 落在 内，开口向下，所以最大值 。故选A。 【变式4-3】已知函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】最大值在端点取得，用 与 确定 的上限。 【解答过程】，对称轴 ，开口向上。，要使区间 上的最大值为 ，需 ，即 ，解得 。故选A。 【题型5 幂函数与二次函数的综合】 【例5】已知幂函数 ，则不等式 的解集是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先确定幂函数的定义域与单调性，再由单调性把不等式化为自变量的比较，最后补定义域约束。 【解答过程】，定义域为 ，且在 上单调递减。 由 ，结合单调性得 ，即 ，解得 。 又由定义域得 且 ，即 且 。 综上 ，即解集为 。故选A。 【多解·巧解】也可以两边平方去根号：由 及递减性，，一步把"定义域"与"单调性"两个条件同时写进不等式链，最不易漏条件。 【易错提醒】忽略定义域会出错：必须保证 与 。若只由单调性得 ，就会把 的非法值也算进来。 【变式5-1】已知 ，，，则 ，， 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】 与 同指数用幂函数比较， 与 同底数用指数函数比较。 【解答过程】因为 在 上递增，且 ，所以 ；因为 递增，且 ，所以 。综上 。故选A。 【变式5-2】已知幂函数 是偶函数，且在 上单调递减，则 可以是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先由"递减"筛出负指数，再由"偶函数"筛出指数为偶数者。 【解答过程】要使 在 上递减，需 ，四个选项中只有 A（）、B（）满足； 再检验奇偶性： 是偶函数，符合； 是奇函数，不合。故选A。 【变式5-3】已知幂函数 在 上单调递减，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】由 求 ，再用"递减"验证。 【解答过程】由 ，得 ，此时 ， 在 上单调递减，符合。故选A。 【题型6 二次函数在闭区间上的最值（含参讨论）】 【例6】已知函数 在区间 上的最小值为 ，求 的解析式。 【答案】 【解题思路】配方定轴后，按对称轴 与区间 的位置分三类讨论。 【解答过程】，对称轴 ，开口向上。 ① 当 时， 在 上单调递增，最小值 ； ② 当 时，对称轴落在区间内，最小值 ； ③ 当 时， 在 上单调递减，最小值 。 综上，。 【多解·巧解】先画"轴与区间的三种位置草图"再动笔，可保证不漏类。临界值 、（轴恰落在区间端点）时最小值仍为顶点值 ，故统一写成 、、 三段。 【易错提醒】分段讨论后必须写"综上"并整理成关于 的分段函数；漏掉 一类（此时最小值恒为 ，与 无关）会少一段结论。 【变式6-1】已知函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】最小值在顶点取得，说明对称轴必须落在区间内。 【解答过程】，最小值 在 处取得。要使其为区间 上的最小值，需 ，即 。故选A。 【变式6-2】已知函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】最大值在顶点取得，说明对称轴必须落在区间内。 【解答过程】，最大值 在 处取得。要使其为区间 上的最大值，需 ，即 。故选A。 【变式6-3】已知函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】配方后比较两端的函数值，确定最大值在哪个端点取得。 【解答过程】，对称轴 ，开口向上。端点值 ，，故最大值 ，解得 。故选A。 一、单选题 1．（★★）下列函数中是幂函数的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】按幂函数的形式特征判断。 【解答过程】A是一次函数；C含常数项；D的底数是常数、指数是自变量，是指数函数；B符合 的形式。故选B。 2．（★★）函数 的定义域是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把分数指数幂化为根式，按奇次根式的限制求定义域。 【解答过程】，奇次根式对自变量无限制，故定义域为 。故选A。 3．（★★）二次函数 的图象的对称轴是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】用对称轴公式 。 【解答过程】，，所以对称轴 。故选B。 4．（★★）已知幂函数 的图象经过点 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】代入点坐标，把 化为 的幂。 【解答过程】由 得 。故选B。 5．（★★）函数 的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】配方后顶点处取最大值。 【解答过程】，开口向下，所以最大值为 。故选B。 6．（★★★）已知函数 在区间 （）上的最大值为 ，最小值为 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】最小值 在顶点处取得，要求对称轴落在区间内；最大值 又要求右端点的函数值不超过 ，两个条件联立取交集。 【解答过程】配方得 ，对称轴为 ，开口向上。最小值为 ，说明 必须落在 内，即 。此时端点 ，要使最大值为 ，只需右端点满足 ，即 ，解得 。与 取交集得 。故选A。 7．（★★★）已知函数 （）。若 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】恒成立向最小值转化，配方后按对称轴与区间 的位置分三类讨论，再逐类求出 的范围取并集。 【解答过程】，对称轴为 ，开口向上。① 当 时， 在 上递增，最小值 ，由 得 ，结合 得 ；② 当 时，最小值 ，由 得 ，即 ，结合 得 ；③ 当 时， 在 上递减，最小值 ，由 得 ，与 无交集。综上 。故选A。 8．（★★★）已知函数 。若关于 的方程 有四个不同的实数根，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把方程根的问题转化为水平直线 与函数 图象的交点个数问题，先画出图象看清"凹口"。 【解答过程】，它在 上非正、在两侧为正。当 时，，是以 为顶点、开口向下的一段抛物线；当 或 时，，图象向两侧上升。于是 的图象在 处取最大值 ，在 与 处取最小值 。水平直线 与图象的交点个数： 时 个， 时 个， 时 个， 时 个。故方程有四个不同实根当且仅当 。故选A。 二、多选题 9．（★★）下列关于幂函数的说法中，正确的是（　　） A．幂函数 的系数一定是 　B．函数 是幂函数　C． 在 上单调递减　D．幂函数的图象都经过点 【答案】ACD 【解题思路】逐项对照幂函数的定义与性质判断。 【解答过程】A正确，这是幂函数的形式特征；B错误， 的系数为 ，不是幂函数；C正确，指数 ，在 上单调递减；D正确， 对任意 成立。故选ACD。 10．（★★）已知函数 ，下列说法正确的是（　　） A．图象开口向上　B．图象的对称轴为 　C． 的最小值为 　D． 【答案】ABC 【解题思路】配方后逐项核对开口、对称轴、最值与函数值。 【解答过程】。二次项系数 ，开口向上，A正确；对称轴为 ，B正确；最小值为 ，C正确；，D错误。故选ABC。 11．（★★★）已知函数 （），则下列结论正确的是（　　） A． 的最小值为 　B．若 在 上单调递增，则 　C．若 对一切 恒成立，则 　D．若 在 上的最小值为 ，则 或 【答案】ABC 【解题思路】逐项独立推导：A 读顶点；B 由递增区间定参数；C 用判别式；D 分三类讨论最小值，注意 时最小值恒由 给出。 【解答过程】，开口向上。A：最小值在顶点取得，为 ，正确；B： 的单调递增区间为 ，要使 落在其中需 ，正确；C：恒成立需 ，即 ，解得 ，正确；D：分三类求 上的最小值。当 时最小值 ，得 ，不合；当 时最小值 ，即 ，得 或 ，均合；当 时最小值 ，得 ，不合。故 或 ，D 错误。故选ABC。 12．（★★★）已知函数 （），则下列结论正确的是（　　） A．若 为偶函数，则 　B．当 时， 在 上的值域为 　C．若 在 上单调递减，则 　D．若 在 上的最小值为 ，则 【答案】ABC 【解题思路】逐项独立推导：A 用偶函数定义；B 配方后比较顶点值与两端点值；C 由递减区间定参数；D 分三类讨论最小值，注意 时最小值恒为 。 【解答过程】A：，由 对一切 成立得 ，正确；B：当 时 ，在 上最小值为 ，端点 、，故值域为 ，正确；C： 的单调递减区间为 ，要使 落在其中需 ，正确；D：。当 时最小值 对一切 都成立；当 时最小值 ，得 ；当 时最小值 ，得 ，不合。故 ，D 错误。故选ABC。 三、填空题 13．（★★）已知幂函数 的图象经过点 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】先由已知点求出 ，再代入求值。 【解答过程】由 得 ，所以 ，即 ，所以 。 14．（★★）函数 在区间 上的值域是____________。 【答案】 【解题思路】配方定轴，比较顶点值与两端点值。 【解答过程】，对称轴 落在 内，所以最小值 ；端点处 ，，所以最大值为 。故值域为 。 15．（★★★）已知函数 是幂函数且是偶函数，则不等式 的解集是____________。 【答案】 【解题思路】先由"幂函数系数为 "和"偶函数"两个条件定出 ，再解关于 的二次不等式。 【解答过程】由幂函数的定义，系数 ，即 ，解得 或 。又 是偶函数：当 时 是奇函数，不合；当 时 是偶函数，符合。故 ，不等式即 。展开得 ，即 ，分解得 ，解得 。故解集为 。 16．（★★★）若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】恒成立向最小值转化，配方后按对称轴与区间 的位置分三类讨论，再取并集。 【解答过程】设 ，开口向上，对称轴为 。要使 在 上恒成立，只需 在 上的最小值不小于 。① 当 时， 在 上递增，最小值 ，得 ，故 ；② 当 时，最小值 ，即 ，解得 ，与 取交集得 ；③ 当 时， 在 上递减，最小值 ，得 ，故 。综上 。 四、解答题 17．（★★）已知二次函数 的图象经过点 ，且顶点为 。 (1) 求 的解析式； (2) 求 在区间 上的最大值与最小值。 【答案】(1) ； (2) 最大值为 ，最小值为 。 【解题思路】(1) 已知顶点设顶点式；(2) 比较顶点值与两端点值。 【解答过程】(1) 设 ，把 代入得 ，解得 ，所以 。 (2) 对称轴 落在 内，所以最小值 ；端点 ，，所以最大值 。 【多解·巧解】已知顶点用顶点式是最省力的一步，直接把两个参数（ 与顶点）用两个条件确定。若改用一般式 ，则要解三元方程组，计算量翻倍。 【易错提醒】(2) 中先确认对称轴落在区间内，才能把顶点值当成最小值；若对称轴在区间外，最小值应在端点取。判断"轴在不在区间内"是二次最值的第一步。 18．（★★）比较下列各组数的大小： (1) 与 ； (2) 与 ； (3) 与 。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】按"同指数用幂函数、同底数用指数函数、其余与 比较"三种方法处理。 【解答过程】(1) 幂函数 在 上递增，，所以 。 (2) 指数函数 单调递增，，所以 。 (3) 。 【多解·巧解】比较大小的"看形"口诀：指数相同比底数（幂函数），底数相同比指数（指数函数），两者都不同就插入 搭桥。第 (1) 组同指数、第 (2) 组同底数、第 (3) 组直接与 比。 【易错提醒】第 (1) 组容易误用指数函数：底数 与 不同，"同底数"结论不适用，必须用幂函数 ；先看是"同底"还是"同指数"再选工具。 19．（★★）已知幂函数 的图象经过点 。 (1) 求 的值； (2) 判断 的奇偶性，并说明 在 上的单调性。 【答案】(1) ； (2) 是偶函数，在 上单调递减。 【解题思路】(1) 代入点坐标解指数；(2) 先看定义域是否对称，再比较 与 。 【解答过程】(1) 由 ，得 。 (2) 由(1)知 ，定义域为 ，关于原点对称。因为 ，所以 是偶函数。因为 ，所以 在 上单调递减。 【多解·巧解】判断幂函数奇偶性的固定动作：先写定义域并检查是否关于原点对称（ 为负整数时定义域为 ，对称），再比较 与 。指数为负偶数对应偶函数、负奇数对应奇函数。 【易错提醒】(2) 中若直接说" 是偶数，所以是偶函数"而跳过定义域检查，看似对但推理不完整；奇偶性的第一步永远是定义域是否对称。 20．（★★★）已知函数 （）。 (1) 求 在区间 上的最小值 ； (2) 若 ，求实数 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 配方定轴后按对称轴与 的位置分三类；(2) 把三类结论分别解出 ，每类都与自身范围取交集后再合并。 【解答过程】(1) ，对称轴为 ，开口向上。 ① 当 时， 在 上递增，最小值 ； ② 当 时，最小值 ； ③ 当 时， 在 上递减，最小值 。 综上 。 (2) 分三类解 ： ① 当 时，恒有 ，故一切 都满足； ② 当 时，，得 ，满足 ； ③ 当 时，，得 ，不满足 ，舍去。 综上 。 【多解·巧解】本题是"分段函数反向代入"：已知 的取值反求 ，必须把每类解出的根带回到该类的自变量范围里检验。第 ① 类的 恒等于 、与 无关，因此整段 都是解，这一步最容易被漏掉。 【易错提醒】(1) 漏掉 一段（此时最小值恒为 ）会使 不完整；(2) 三类解出的根都要回代所设范围， 因不在 内而舍去，不能保留在答案里。 21．（★★★）已知函数 （）。 (1) 求 在区间 上的最小值 ； (2) 若 ，求实数 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 配方得 ，按对称轴位置分三类；(2) 把 拆成三段分别求解，再与各段范围取交集后并集。 【解答过程】(1) ，对称轴为 ，开口向上。 ① 当 时， 在 上递增，最小值 ； ② 当 时，最小值 ； ③ 当 时， 在 上递减，最小值 。 综上 。 (2) 分三类解 ： ① 当 时，，得 ，结合 得 ； ② 当 时， 不成立，此段无解； ③ 当 时，，即 ，分解得 ，得 或 ，结合 得 。 综上 或 。 【多解·巧解】(2) 的做法是"逐段求解、逐段检验"：每一类都在自己的 范围内解出子集，最后取并集。第 ② 段的 与 无关，可直接判为无解，省去不必要的计算。 【易错提醒】(1) 中 一段的最小值是 ，不要错写成 （漏掉顶点的常数 ）；(2) 三类结果要取并集，不能只保留其中一段。 22．（★★★）已知函数 （）。 (1) 若 在 上单调递增，求实数 的取值范围； (2) 求 在区间 上的最小值 的解析式。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 由单调递增区间 定参数；(2) 配方后按对称轴与 的位置分三类求最小值。 【解答过程】(1) ，开口向上，其单调递增区间为 。 要使 落在其中，需 ，故 的取值范围为 。 (2) 对称轴为 。 ① 当 时， 在 上递增，最小值 ； ② 当 时，最小值 ； ③ 当 时， 在 上递减，最小值 。 综上 。 【多解·巧解】(1) 只需把"在 上递增"翻译成"区间 包含于递增区间 "，一步得 ；(2) 中"轴在左"一段的最小值 由端点直接读出，先写出这一段能减少出错。 【易错提醒】(1) 不要把条件写成 ——开口向上时对称轴右侧才递增，区间落在右侧要求轴在右端之外，即 ；(2) 分界点 与 处两段表达式取值一致，可任意归入相邻一段，但三类必须写全。 23．（★★★）已知函数 （）。 (1) 求 的图象的顶点坐标； (2) 求 在区间 上的最小值 的解析式； (3) 若存在 ，使 ，求实数 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】(1) 配方读顶点；(2) 按对称轴与 的位置分三类求最小值；(3) "存在 使 "等价于最小值 ，把 (2) 的结论逐段代入求解再合并。 【解答过程】(1) ，故图象的顶点坐标为 。 (2) ① 当 时， 在 上递增，最小值 ； ② 当 时，最小值 ； ③ 当 时， 在 上递减，最小值 。 综上 。 (3) 存在 使 等价于 在 上的最小值 。分三类： ① 当 时，，得 ，结合 得 ； ② 当 时， 恒成立，得 ； ③ 当 时，，分解得 ，得 ，结合 得 。 综上 。 【多解·巧解】(3) 把"存在"翻译成"最小值 "是关键：存在性看最有利的一端，只要最小值达标即可。逐段求出的子集分别是 、、，恰好拼成 。 【易错提醒】(3) 若把"存在"误作"对一切"（即最大值 ），会得到完全不同的答案；"存在 "对应最小值，"对一切 "才对应最大值。第 ① 段的子集是 ，别把 漏掉。 24．（★★★）已知函数 （）。 (1) 若 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围； (2) 求 在区间 上的最小值 的解析式； (3) 若对一切 都有 成立，求实数 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】(1) 由递增区间 定参数；(2) 分三类求 上的最小值；(3) 恒成立等价于最小值 ，逐段求解再合并。 【解答过程】(1) ，开口向上，单调递增区间为 。 要使 落在其中，需 ，故 。 (2) ① 当 时， 在 上递增，最小值 ； ② 当 时，最小值 ； ③ 当 时， 在 上递减，最小值 。 综上 。 (3) 对一切 有 等价于最小值 。分三类： ① 当 时，，得 ，结合 得 ； ② 当 时，，得 ，即 ，结合 得 ； ③ 当 时，，得 ，与 无交集。 综上 。 【多解·巧解】(3) 把 (2) 的分段结论直接搬来做恒成立，是"最值—恒成立"联动的标准动作：逐段求出 的子集后取并集，第 ① 段给出 ，第 ② 段给出 ，两段拼成 。 【易错提醒】(2) 中 一段的常数项别算错，最小值是 ；(3) 第 ② 段得到 后必须与 取交集，注意 确实落在 内，可与第 ① 段顺利拼合。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $