专题2.3 幂函数与二次函数（基础复习讲义）-2027年高考数学一轮复习

【名师基础】　2027年高考数学一轮复习·名师基础系列　基础不牢，地动山摇 专题 2.3 幂函数与二次函数（基础复习讲义） 【新高考专用】 考点要求 1．了解幂函数的概念，会画五个常见幂函数的图象，理解其性质； 2．理解二次函数的图象与性质，会用配方法研究对称轴、顶点与最值； 3．会求二次函数的解析式（顶点式、两根式、一般式）； 4．会讨论二次函数在闭区间上的最值，会由单调性求参数范围。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 基础层拿分策略 幂函数的概念与判定 选择题 第3~6题 基础 只看形式：系数为 、底数为 、指数为常数 幂函数的图象与性质 选择题、填空题 第4~6题 基础／中档 正指数递增、负指数递减，都过 二次函数解析式的求法 选择题、解答题 第6题／第15题 基础／中档 顶点用顶点式、两根用两根式 二次函数的单调性与最值 选择题、填空题 第6题／第13题 中档 配方定轴，再比较轴与区间的位置 比较幂值大小 选择题 第4~6题 中档 同底看指数、同指数看幂、都不同插 命题规律分析 幂函数与二次函数是函数部分的"计算主力"，新高考中常以选择题第4～6题、填空题第13题的位置出现，也常在解答题第15～16题中作为基础得分点。常考三类问题：比较幂值大小（同底看指数函数、同指数看幂函数、都不同插中间量 ）、求二次函数解析式（顶点式／两根式／一般式选形式）、二次函数在闭区间上的最值（轴在左、轴在内、轴在右三类讨论）。本讲难度定位为：基础判定与计算题全对，第6题、第10题、第13题档的"含参最值""比较大小"题通过固定套路拿分。三个高频陷阱务必避开： 不是幂函数、对称轴公式的负号、含参分类讨论后漏掉某一类或忘记写"综上"。 考点1 幂函数 知识点1 幂函数的概念与五个常见幂函数 一般地，形如 （ 为常数）的函数叫做幂函数。幂函数的三个形式特征：系数必须是 ，底数必须是自变量 ，指数必须是常数。 五个常见幂函数：，，，，。它们的图象都经过点 ，在 上都有定义。 在第一象限内的规律：当 时， 单调递增，图象过点 与 ；当 时， 单调递减，图象过点 且以两坐标轴为渐近线，不过原点。 【方法技巧】 1．判断一个函数是否为幂函数，只对照形式 ，三个特征缺一不可； 2．求幂函数解析式，只需把已知点的坐标代入 解出 ； 3．幂函数的定义域由 决定： 为负数时不含 ， 时为 ， 为正整数时为 。 【易错清单】 1．，， 都不是幂函数（系数不是 、有常数项、底数是常数）； 2．不要以为所有幂函数图象都过原点， 时不过原点； 3．比较幂值大小时必须先确认底数为正，否则不能使用单调性结论。 知识点2 比较幂值大小的三种通法 方法一（同指数、不同底数）：利用幂函数 的单调性。例如比较 与 ，因为 在 上递增，而 ，所以 。 方法二（同底数、不同指数）：利用指数函数 的单调性。例如比较 与 ，因为 递增，而 ，所以 。 方法三（底数与指数都不同）：插入中间量 （或 ）搭桥，即分别判断每个数与 的大小，再排序。 【方法技巧】 1．比较大小先"看形"：指数相同用幂函数，底数相同用指数函数，都不同就插 ； 2．看到 次幂先判断与 的大小：底数大于 时 ，底数在 与 之间时 ； 3．书写时把每一步的依据（哪个函数、单调性如何）写清楚，这是解答题的给分点。 【易错清单】 1．把幂函数与指数函数的单调性用反：幂函数看底数比较，指数函数看指数比较； 2．底数小于 时忘记"指数越大值越小"这一反向结论； 3．只比较了两个数就直接排序，漏掉三个数中的大小关系验证。 考点2 二次函数的图象、性质与最值 知识点3 二次函数的三种形式与图象性质 二次函数 （）的图象是抛物线，对称轴为 ，顶点坐标为 。 三种常用形式：一般式 ；顶点式 ，其中 是顶点；两根式 ，其中 ， 是与 轴交点的横坐标。求解析式时按已知条件选形式。 当 时抛物线开口向上，函数在 上递减、在 上递增，有最小值 ；当 时开口向下，单调性与最值情况相反。 【方法技巧】 1．求解析式"三选一"：已知顶点用顶点式，已知与 轴两交点用两根式，已知任意三点用一般式； 2．判断单调性只看两件事：开口方向、对称轴位置，不需要画图； 3．看到" 为一次式"这类条件，设一般式代入比较系数最快。 【易错清单】 1．对称轴公式记错，写成 ，漏掉负号； 2．忽略二次项系数 的前提； 3．由两点函数值相等推对称轴时，必须确认这两个点的横坐标关于对称轴对称，不能只看函数值。 知识点4 二次函数在闭区间上的最值 求二次函数在闭区间 上的最值，核心是比较对称轴 与区间的位置关系，分三类讨论：① 轴在区间左侧（）：函数在区间上递增，最值在两端点取得；② 轴在区间内（）：一个最值在顶点取得，另一个在离对称轴较远的端点取得；③ 轴在区间右侧（）：函数在区间上递减，最值在两端点取得。 若对称轴含参数，讨论的临界点就是"轴恰等于区间端点"；若区间端点含参数，同样按上述三类展开讨论。 规范书写模板：设对称轴 → 比较 与端点的大小 → 分三类分别求最值 → 写成关于参数的分段函数（或分段结论）。 【方法技巧】 1．解题第一步永远是"配方定轴"，把 写成 的形式； 2．含参最值题先画"轴与区间的三种位置草图"，再动笔写，不会漏类； 3．写的结论必须是完整的分类形式，最后补一句"综上"，这是解答题的规范要求。 【易错清单】 1．分类讨论后忘记写"综上"，或漏掉某一类； 2．把"在区间上恒成立"当成"在某一点成立"，导致条件写松； 3．端点处等号能否取到判断失误，使参数范围多一个或少一个端点。 【题型1 幂函数的概念与判定】 【例1】下列函数中是幂函数的是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-1】若幂函数 的图象经过点 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-2】已知函数 是幂函数，则实数 的值为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 【变式1-3】已知 ，，，则 ，， 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型2 幂函数的图象与性质】 【例2】函数 的定义域是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-1】下列幂函数中，在 上单调递减的是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-2】已知幂函数 的图象经过点 ，则 ____________。 【变式2-3】若幂函数 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增，则 的一个可能取值是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型3 二次函数解析式的求法】 【例3】已知二次函数 的图象顶点为 ，且经过点 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-1】已知二次函数的图象与 轴交于点 与 ，且经过点 ，则该二次函数的解析式为____________。 【变式3-2】已知二次函数 的图象关于直线 对称，且 ，则 ____________。 【变式3-3】已知二次函数 满足 ，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型4 二次函数的单调性与最值】 【例4】函数 在区间 上的最小值是（　　） A．　B．　C．　D． 或 【变式4-1】函数 在区间 上的最大值是____________。 【变式4-2】已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是____________。 【变式4-3】已知函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型5 幂函数与二次函数的综合】 【例5】已知 ，，，则 ，， 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-1】已知 ，，，则 ，， 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-2】已知幂函数 是偶函数，且在 上单调递减，则 可以是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-3】已知函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 二次函数在闭区间上的最值（含参讨论）】 【例6】已知函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-1】已知函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 的取值范围是____________。 【变式6-2】已知函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 的取值范围是____________。 【变式6-3】已知函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 一、单选题 1．（★）下列函数中是幂函数的是（　　） A．　B．　C．　D． 2．（★）函数 的定义域是（　　） A．　B．　C．　D． 3．（★）函数 的图象的对称轴是（　　） A．　B．　C．　D． 4．（★）已知幂函数 的图象经过点 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 5．（★）函数 的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★）已知 ，，，则 ，， 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★）已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★）已知二次函数 的图象顶点为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★）下列关于幂函数的说法中，正确的是（　　） A．幂函数 的系数一定是 　B．函数 是幂函数　C． 在 上单调递减　D．幂函数的图象都经过点 10．（★）关于二次函数 ，下列结论正确的是（　　） A．图象开口向上　B．图象的对称轴为 　C．函数的最小值为 　D． 11．（★★）已知函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 的可能取值是（　　） A．　B．　C．　D． 三、填空题 12．（★）已知幂函数 的图象经过点 ，则 ____________。 13．（★★）函数 在区间 上的值域是____________。 14．（★★）已知函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 的取值范围是____________。 四、解答题 15．（★）已知二次函数 的图象经过点 ，且顶点为 。 (1) 求 的解析式； (2) 求 在区间 上的最大值与最小值。 16．（★）比较下列各组数的大小： (1) 与 ； (2) 与 ； (3) 与 。 17．（★★）已知幂函数 的图象经过点 。 (1) 求 的值； (2) 判断 的奇偶性，并说明 在 上的单调性。 18．（★★）已知函数 。 (1) 求 在区间 上的值域； (2) 若 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围。 19．（★★）已知函数 （）在区间 上的最小值为 ，求 的解析式。 【名师基础】　—— 本讲义完 —— 【名师基础】专题2.3 幂函数与二次函数　1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $【名师基础】　2027年高考数学一轮复习·名师基础系列　基础不牢，地动山摇 专题 2.3 幂函数与二次函数（基础复习讲义） 【新高考专用】 考点要求 1．了解幂函数的概念，会画五个常见幂函数的图象，理解其性质； 2．理解二次函数的图象与性质，会用配方法研究对称轴、顶点与最值； 3．会求二次函数的解析式（顶点式、两根式、一般式）； 4．会讨论二次函数在闭区间上的最值，会由单调性求参数范围。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 基础层拿分策略 幂函数的概念与判定 选择题 第3~6题 基础 只看形式：系数为 、底数为 、指数为常数 幂函数的图象与性质 选择题、填空题 第4~6题 基础／中档 正指数递增、负指数递减，都过 二次函数解析式的求法 选择题、解答题 第6题／第15题 基础／中档 顶点用顶点式、两根用两根式 二次函数的单调性与最值 选择题、填空题 第6题／第13题 中档 配方定轴，再比较轴与区间的位置 比较幂值大小 选择题 第4~6题 中档 同底看指数、同指数看幂、都不同插 命题规律分析 幂函数与二次函数是函数部分的"计算主力"，新高考中常以选择题第4～6题、填空题第13题的位置出现，也常在解答题第15～16题中作为基础得分点。常考三类问题：比较幂值大小（同底看指数函数、同指数看幂函数、都不同插中间量 ）、求二次函数解析式（顶点式／两根式／一般式选形式）、二次函数在闭区间上的最值（轴在左、轴在内、轴在右三类讨论）。本讲难度定位为：基础判定与计算题全对，第6题、第10题、第13题档的"含参最值""比较大小"题通过固定套路拿分。三个高频陷阱务必避开： 不是幂函数、对称轴公式的负号、含参分类讨论后漏掉某一类或忘记写"综上"。 考点1 幂函数 知识点1 幂函数的概念与五个常见幂函数 一般地，形如 （ 为常数）的函数叫做幂函数。幂函数的三个形式特征：系数必须是 ，底数必须是自变量 ，指数必须是常数。 五个常见幂函数：，，，，。它们的图象都经过点 ，在 上都有定义。 在第一象限内的规律：当 时， 单调递增，图象过点 与 ；当 时， 单调递减，图象过点 且以两坐标轴为渐近线，不过原点。 【方法技巧】 1．判断一个函数是否为幂函数，只对照形式 ，三个特征缺一不可； 2．求幂函数解析式，只需把已知点的坐标代入 解出 ； 3．幂函数的定义域由 决定： 为负数时不含 ， 时为 ， 为正整数时为 。 【易错清单】 1．，， 都不是幂函数（系数不是 、有常数项、底数是常数）； 2．不要以为所有幂函数图象都过原点， 时不过原点； 3．比较幂值大小时必须先确认底数为正，否则不能使用单调性结论。 知识点2 比较幂值大小的三种通法 方法一（同指数、不同底数）：利用幂函数 的单调性。例如比较 与 ，因为 在 上递增，而 ，所以 。 方法二（同底数、不同指数）：利用指数函数 的单调性。例如比较 与 ，因为 递增，而 ，所以 。 方法三（底数与指数都不同）：插入中间量 （或 ）搭桥，即分别判断每个数与 的大小，再排序。 【方法技巧】 1．比较大小先"看形"：指数相同用幂函数，底数相同用指数函数，都不同就插 ； 2．看到 次幂先判断与 的大小：底数大于 时 ，底数在 与 之间时 ； 3．书写时把每一步的依据（哪个函数、单调性如何）写清楚，这是解答题的给分点。 【易错清单】 1．把幂函数与指数函数的单调性用反：幂函数看底数比较，指数函数看指数比较； 2．底数小于 时忘记"指数越大值越小"这一反向结论； 3．只比较了两个数就直接排序，漏掉三个数中的大小关系验证。 考点2 二次函数的图象、性质与最值 知识点3 二次函数的三种形式与图象性质 二次函数 （）的图象是抛物线，对称轴为 ，顶点坐标为 。 三种常用形式：一般式 ；顶点式 ，其中 是顶点；两根式 ，其中 ， 是与 轴交点的横坐标。求解析式时按已知条件选形式。 当 时抛物线开口向上，函数在 上递减、在 上递增，有最小值 ；当 时开口向下，单调性与最值情况相反。 【方法技巧】 1．求解析式"三选一"：已知顶点用顶点式，已知与 轴两交点用两根式，已知任意三点用一般式； 2．判断单调性只看两件事：开口方向、对称轴位置，不需要画图； 3．看到" 为一次式"这类条件，设一般式代入比较系数最快。 【易错清单】 1．对称轴公式记错，写成 ，漏掉负号； 2．忽略二次项系数 的前提； 3．由两点函数值相等推对称轴时，必须确认这两个点的横坐标关于对称轴对称，不能只看函数值。 知识点4 二次函数在闭区间上的最值 求二次函数在闭区间 上的最值，核心是比较对称轴 与区间的位置关系，分三类讨论：① 轴在区间左侧（）：函数在区间上递增，最值在两端点取得；② 轴在区间内（）：一个最值在顶点取得，另一个在离对称轴较远的端点取得；③ 轴在区间右侧（）：函数在区间上递减，最值在两端点取得。 若对称轴含参数，讨论的临界点就是"轴恰等于区间端点"；若区间端点含参数，同样按上述三类展开讨论。 规范书写模板：设对称轴 → 比较 与端点的大小 → 分三类分别求最值 → 写成关于参数的分段函数（或分段结论）。 【方法技巧】 1．解题第一步永远是"配方定轴"，把 写成 的形式； 2．含参最值题先画"轴与区间的三种位置草图"，再动笔写，不会漏类； 3．写的结论必须是完整的分类形式，最后补一句"综上"，这是解答题的规范要求。 【易错清单】 1．分类讨论后忘记写"综上"，或漏掉某一类； 2．把"在区间上恒成立"当成"在某一点成立"，导致条件写松； 3．端点处等号能否取到判断失误，使参数范围多一个或少一个端点。 【题型1 幂函数的概念与判定】 【例1】下列函数中是幂函数的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】对照幂函数的形式 ，检查系数、底数、指数三个特征。 【解答过程】A的系数是 不是 ；B含有常数项；D的底数是常数 、指数是自变量，是指数函数；C符合 的形式（）。故选C。 【方法点睛】幂函数"三看"：系数是 、底数是 、指数是常数。 与 长得像，但一个是"指数在自变量上"，一个"指数是常数"，务必分清。 【变式1-1】若幂函数 的图象经过点 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】把已知点坐标代入幂函数解析式，解出指数。 【解答过程】由题意 ，所以 。故选B。 【变式1-2】已知函数 是幂函数，则实数 的值为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 【答案】C 【解题思路】幂函数的系数必须为 ，据此列方程求 。 【解答过程】由幂函数的定义，系数 ，即 ，解得 或 。故选C。 【方法点睛】含参幂函数题只有一个条件可用——系数等于 ，列方程解出所有可能值即可，不要自行添加"指数为正整数"之类题目未给的条件。 【变式1-3】已知 ，，，则 ，， 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】 与 指数相同，用幂函数 的单调性比较； 与 底数相同，用指数函数 的单调性比较。 【解答过程】因为 在 上单调递增，且 ，所以 ；因为 单调递增，且 ，所以 。综上 。故选A。 【方法点睛】比较大小的"看形"口诀：指数相同比底数（幂函数），底数相同比指数（指数函数）。分类配对比较，再串起来排序。 【题型2 幂函数的图象与性质】 【例2】函数 的定义域是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】，按偶次根式的限制求定义域。 【解答过程】，由 得定义域为 。故选B。 【方法点睛】分数指数幂与根式的互化要熟：，，。定义域问题最终都回到根式与分式的限制。 【变式2-1】下列幂函数中，在 上单调递减的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】幂函数在 上的单调性由指数的正负决定：正指数递增，负指数递减。 【解答过程】A、B、D的指数分别为 ，，，都是正数，在 上单调递增；C的指数为 ，在 上单调递减。故选C。 【变式2-2】已知幂函数 的图象经过点 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】代入点坐标解指数。 【解答过程】由题意 ，即 ，所以 ，解得 。 【变式2-3】若幂函数 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增，则 的一个可能取值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】既要定义域为 ，又要为奇函数，还要在正半轴递增，三个条件同时筛。 【解答过程】A中 ，在 上递减，不符；B中 ，定义域为 ，不是 ，不符；D中 ，是偶函数，不符；C中 ，定义域为 ，是奇函数且在 上递增，符合。故选C。 【方法点睛】幂函数的奇偶性看指数：正整数指数中奇数对应奇函数、偶数对应偶函数；负整数指数同理，但要先确认定义域是否对称。 【题型3 二次函数解析式的求法】 【例3】已知二次函数 的图象顶点为 ，且经过点 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】已知顶点，设顶点式 ，再用另一点确定 。 【解答过程】设 ，把 代入得 ，即 ，所以 。故选A。 【方法点睛】求解析式"选形式"：给顶点就用顶点式，给两个 轴交点就用两根式，只给三个点才辛苦地用一般式解方程组。 【变式3-1】已知二次函数的图象与 轴交于点 与 ，且经过点 ，则该二次函数的解析式为____________。 【答案】 【解题思路】已知两根，设两根式 ，再代入第三点。 【解答过程】设 ，把 代入得 ，解得 ，所以 。 【变式3-2】已知二次函数 的图象关于直线 对称，且 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】用对称轴公式 建立关于 的方程。 【解答过程】由对称轴 ，得 。 【变式3-3】已知二次函数 满足 ，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】设一般式 ，代入条件比较系数。 【解答过程】设 （），由 得 。因为 ，所以 。由 得 且 ，解得 ，。所以 。故选A。 【方法点睛】遇到" 一次式"的条件，直接设一般式代入比较系数最稳，不要试图"猜"解析式。 【题型4 二次函数的单调性与最值】 【例4】函数 在区间 上的最小值是（　　） A．　B．　C．　D． 或 【答案】A 【解题思路】配方求对称轴，判断对称轴是否落在给定区间内。 【解答过程】，对称轴 落在 内，开口向上，所以最小值在顶点处取得，即 。故选A。 【方法点睛】二次函数求最值永远先"配方定轴"。若轴落在区间内，最小值就是顶点值；若轴在区间外，最小值在离轴较近的端点取得。 【变式4-1】函数 在区间 上的最大值是____________。 【答案】 【解题思路】配方求对称轴，开口向下时顶点处取最大值。 【解答过程】，对称轴 落在 内，开口向下，所以最大值在顶点处取得，即 。 【变式4-2】已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】开口向上的二次函数在对称轴右侧递增，只需对称轴不超过 。 【解答过程】，对称轴 ，开口向上。要使 在 上递增，需 。 【变式4-3】已知函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】先判断对称轴与区间的位置关系，确定最大值在哪个端点取得。 【解答过程】，对称轴 在区间 的右侧，开口向上，所以 在 上单调递减，最大值在 处取得。由 ，得 。故选C。 【方法点睛】"轴在区间右侧且开口向上"意味着函数在区间上递减，最大值在左端点。判断"左端点还是右端点"是这类题的关键一步。 【题型5 幂函数与二次函数的综合】 【例5】已知 ，，，则 ，， 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】 与 底数相同，用指数函数 比较； 与 指数相同，用幂函数 比较。 【解答过程】因为 单调递增，且 ，所以 ；因为 在 上单调递增，且 ，所以 。综上 。故选B。 【方法点睛】三个数比较大小，先找"配对关系"：能配成同底的就配同底，能配成同指数的就配同指数，剩下的插入 搭桥。 【变式5-1】已知 ，，，则 ，， 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】 与 指数相同用幂函数比较； 与 比较后即可定位。 【解答过程】因为 在 上递增，且 ，所以 ；又 。综上 。故选A。 【变式5-2】已知幂函数 是偶函数，且在 上单调递减，则 可以是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先由"在 上递减"筛出负指数，再由偶函数确定指数的奇偶性。 【解答过程】要使 在 上递减，需 ，B、C、D中只有 A符合（）；再检验：，定义域关于原点对称，且 ，是偶函数，符合条件。故选A。 【方法点睛】幂函数挑参数要"双条筛"：先看单调性定指数符号，再看奇偶性定指数奇偶，最后还要检查定义域是否关于原点对称。 【变式5-3】已知函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】按对称轴与区间的位置关系分三类讨论最值取得的位置，再解出 并检验是否落在该类范围内。 【解答过程】，对称轴 。 当 时， 在 上递增，最小值 ，解得 ，符合 ； 当 时，最小值 ，解得 ，不符合 ，舍去； 当 时， 在 上递减，最小值 ，解得 ，不符合 ，舍去。 综上 。故选A。 【方法点睛】含参最值题的标准流程："分三类 → 各类列方程 → 解出后回代检验"。漏掉检验就会把不符合该类的解留下来，这是最常见的失分点。 【题型6 二次函数在闭区间上的最值（含参讨论）】 【例6】已知函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】最小值 在顶点处取得，因此对称轴必须落在区间内。 【解答过程】，对称轴 ，最小值 在 处取得。要使其成为区间 上的最小值，必须满足 ，即 。故选A。 【方法点睛】"端点为参数"的最值题，从"最值在哪儿取得"反推参数范围最省力：顶点值取到了就说明轴在区间内，端点值取到了就说明轴在区间外。 【变式6-1】已知函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】最大值在端点取得，由 与 确定右端点的上限。 【解答过程】，对称轴 ，开口向上。，且由 得 ，此时区间 上的最大值为 ，符合题意。故 。 【变式6-2】已知函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】最大值 在顶点处取得，说明对称轴必须落在区间 内。 【解答过程】，对称轴 ，最大值 在 处取得。要使其为区间 上的最大值，需 ，即 。 【变式6-3】已知函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】最小值 在顶点处取得，说明对称轴必须落在区间内。 【解答过程】，对称轴 ，最小值 在 处取得。要使其为区间 上的最小值，需 ，即 。故选A。 【方法点睛】这类题的书写要写清"为什么是这两个端点"： 时区间包含对称轴，最小值必为顶点值 ； 时区间在轴左侧，最小值会大于 。 一、单选题 1．（★）下列函数中是幂函数的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】按幂函数的形式特征判断。 【解答过程】A是一次函数；C含常数项；D的底数是常数、指数是自变量，是指数函数；B符合 的形式。故选B。 2．（★）函数 的定义域是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】化为根式后按偶次根式的限制求定义域。 【解答过程】，由 得定义域为 。故选B。 3．（★）函数 的图象的对称轴是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】用对称轴公式 。 【解答过程】，，所以对称轴 。故选B。 4．（★）已知幂函数 的图象经过点 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】代入点坐标，把 化为 的幂。 【解答过程】由题意 ，所以 。故选B。 5．（★）函数 的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】配方后顶点处取最大值。 【解答过程】，开口向下，所以最大值为 。故选B。 6．（★★）已知 ，，，则 ，， 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】 与 同指数用幂函数比较， 与 同底数用指数函数比较。 【解答过程】因为 在 上递增，，所以 ；因为 递增，，所以 。综上 。故选A。 7．（★★）已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】开口向上的二次函数在对称轴右侧递增，只需对称轴不超过 。 【解答过程】，对称轴 ，开口向上，要使 在 上递增，需 。故选A。 8．（★★）已知二次函数 的图象顶点为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】用顶点坐标同时确定 与 。 【解答过程】由对称轴 得 ；由顶点在图象上得 ，解得 。所以 。故选A。 二、多选题 9．（★）下列关于幂函数的说法中，正确的是（　　） A．幂函数 的系数一定是 　B．函数 是幂函数　C． 在 上单调递减　D．幂函数的图象都经过点 【答案】ACD 【解题思路】逐项对照幂函数的定义与性质判断。 【解答过程】A正确，这是幂函数的形式特征；B错误， 的系数为 ，不是幂函数；C正确，指数 ，在 上单调递减；D正确， 对任意 成立。故选ACD。 10．（★）关于二次函数 ，下列结论正确的是（　　） A．图象开口向上　B．图象的对称轴为 　C．函数的最小值为 　D． 【答案】ABC 【解题思路】配方后逐项核对开口、对称轴、最值与函数值。 【解答过程】。二次项系数 ，开口向上，A正确；对称轴为 ，B正确；最小值为 ，C正确；，D错误。故选ABC。 11．（★★）已知函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 的可能取值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】ABC 【解题思路】最小值在顶点处取得，说明对称轴必须在区间内。 【解答过程】，最小值 在 处取得，故需 ，即 。选项中 ，， 均满足， 不满足。故选ABC。 三、填空题 12．（★）已知幂函数 的图象经过点 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】先由已知点求出 ，再代入求值。 【解答过程】由 得 ，所以 ，即 ，所以 。 13．（★★）函数 在区间 上的值域是____________。 【答案】 【解题思路】配方定轴，比较顶点值与两端点值。 【解答过程】，对称轴 落在 内，所以最小值 ；端点处 ，，所以最大值为 。故值域为 。 14．（★★）已知函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】最大值在顶点处取得，说明对称轴必须落在区间内。 【解答过程】，最大值 在 处取得，要使其为区间 上的最大值，需 ，即 。 四、解答题 15．（★）已知二次函数 的图象经过点 ，且顶点为 。 (1) 求 的解析式； (2) 求 在区间 上的最大值与最小值。 【答案】(1) ； (2) 最大值为 ，最小值为 。 【解题思路】(1) 已知顶点设顶点式；(2) 比较顶点值与两端点值。 【解答过程】(1) 设 ，把 代入得 ，解得 ，所以 。 (2) 对称轴 落在 内，所以最小值 ；端点 ，，所以最大值 。 16．（★）比较下列各组数的大小： (1) 与 ； (2) 与 ； (3) 与 。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】按"同指数用幂函数、同底数用指数函数、与 比较"三种方法分别处理。 【解答过程】(1) 幂函数 在 上递增，，所以 。 (2) 指数函数 单调递增，，所以 。 (3) 。 17．（★★）已知幂函数 的图象经过点 。 (1) 求 的值； (2) 判断 的奇偶性，并说明 在 上的单调性。 【答案】(1) ； (2) 是偶函数，在 上单调递减。 【解题思路】(1) 代入点坐标解指数；(2) 先看定义域是否关于原点对称，再比较 与 ；单调性由指数的正负判断。 【解答过程】(1) 由 ，得 。 (2) 由(1)知 ，定义域为 ，关于原点对称。因为 ，所以 是偶函数。因为 ，所以 在 上单调递减。 18．（★★）已知函数 。 (1) 求 在区间 上的值域； (2) 若 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 配方定轴，比较顶点值与端点值；(2) 由"对称轴右侧递增"反推区间左端点的限制。 【解答过程】(1) ，对称轴 落在 内，最小值 ；端点 ，，最大值 。故值域为 。 (2) 的单调递增区间为 ，要使 落在其中（即 在该区间上递增），需 。 19．（★★）已知函数 （）在区间 上的最小值为 ，求 的解析式。 【答案】 【解题思路】按对称轴 与区间 的位置关系分三类讨论，分别求最值后写成关于 的分段函数。 【解答过程】，对称轴 ，开口向上。 当 时， 在 上单调递增，； 当 时，对称轴落在区间内，； 当 时， 在 上单调递减，。 综上，。 【名师基础】　—— 本讲义完 —— 【名师基础】专题2.3 幂函数与二次函数　1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $