第16讲·分式的加法与减法·培优讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版八年级数学上册
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精品
内容正文：
第16讲·分式的加法与减法·培优讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026年人教版八年级数学上册
参考答案与试题解析
🍔 思维导图
🍟 课程目标
· 掌握同分母分式加减法法则：分母不变，分子相加减，结果化为最简分式
· 掌握异分母分式加减法：会确定最简公分母并正确通分
· 会进行分式的加减化简，能正确处理「先化简再求值」与自选合适值代入
· 掌握分式加减乘除混合运算的顺序，能灵活使用运算律简化计算
· 会处理分式运算中的新定义问题、程序框图问题与错题诊断问题
· 能运用分式加减法解决工程问题、行程问题与购买方案等实际应用
🍗 知识梳理
✅️ 1.同分母分式的加减法
法则： ± = ，即分母不变，分子相加减
分子相加减时要作为整体加括号，避免符号错误，尤其是减号后面是多项式时
计算结果必须化成最简分式：分子分母约去公因式
分母互为相反数时，先提取负号化为同分母，如 - = +
概念辨析例题：计算： - 的结果是（ ）
答案：3
解析：分母相同，分子相减： = = 3。同分母相减后要先分解因式再约分，不能直接把分母丢掉。
✅️ 2.异分母分式的加减法与通分
法则：先通分化为同分母分式，再按同分母法则加减，即 ± =
最简公分母的确定：取各分母系数的最小公倍数，再取所有因式的最高次幂的积
分母是多项式时，必须先分解因式再找最简公分母，避免公分母过大导致计算繁琐
通分的依据是分式的基本性质：分子分母同乘同一个不为0的整式，分式的值不变
概念辨析例题：计算 - 的结果是（ ）
答案：
解析：最简公分母为 (x-1)(x+1)=x2-1，通分得 - = = 。注意减号后分子要加括号。
✅️ 3.分式的化简与求值
化简顺序：先算乘除（能约分的先约分），再算加减（先通分），最后约成最简分式
「先化简再求值」必须先把原式化到最简，再代入数值，不可直接代入原始数据
自选值代入时，所取的数必须使原式的所有分母、除式都不为0，这一点要单独检验
若题目给出方程条件，常采用整体代入，如由 x2-3x+1=0 得 x+=3
概念辨析例题：先化简，再求值：left( + right) ÷ ，其中 a=3
答案：
解析：先分解因式： + = - ，通分后化简为 · = ，代入 a=3 得 。注意 4-a2 提取负号后的符号变化。
✅️ 4.分式的加减乘除混合运算
运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号的先算括号里的，与有理数运算顺序一致
除法先转化为乘法：除以一个分式等于乘这个分式的倒数，再约分
合理使用运算律：分配律、结合律可大幅简化计算，如拆项相消 = -
多项式与分式相加减时，把多项式看成分母为1的分式再通分
概念辨析例题：计算： - · 的结果是（ ）
答案：
解析：先算乘法：· = 1；再算减法： - 1 = = -。先分解因式约分再运算，比直接通分简便得多。
✅️ 5.分式运算中的新定义与规律探究
新定义问题：先读懂定义（如「和谐分式」= 整式 + 分子为常数的分式），再把待判断的式子按定义变形
常用手段是「分离常数」： 化为 a + 的形式
程序框图问题：按框图顺序逐步代入计算，注意循环条件与输出位置
错题诊断题：逐行检查每一步的依据，通常在符号、通分、约分三处出错
概念辨析例题：定义：若分式能化成「整式 + 分子为常数的分式」的形式，称为「和谐分式」．判断 是否为和谐分式
答案：是， = 2 +
解析：分离常数： = = + = 2 + ，符合「整式+分子为常数的分式」的形式，故是和谐分式。
✅️ 6.分式加减法的实际应用
基本思路：设未知数 → 用分式表示相关量 → 依等量关系列分式方程 → 求解并检验
常见模型：工程问题（工作效率 = 工作量 ÷ 工作时间）、行程问题（时间 = 路程 ÷ 速度）
购买方案问题：用总价 ÷ 单价表示数量，再按数量差列方程
检验双保险：既要检验是否为增根（分母不为0），也要检验是否符合实际意义
概念辨析例题：某商品原价每盒 p 元，现降价2元，用500元现在比原来多买多少盒？
答案： 盒
解析：现在可买 盒，原来可买 盒，多买 - = = 盒。列式后通分，注意 p>2 才有实际意义。
🧀 知识总结表
运算类型
法则与公式
关键注意
同分母加减
± =
分子作为整体加括号，结果约成最简分式
异分母加减
± =
先分解因式再定最简公分母，避免公分母过大
分式乘法
· =
先约分再相乘，能大幅减少计算量
分式除法
÷ = ·
先转乘法再约分，注意除式不能为0
混合运算
先乘方，再乘除，最后加减
有括号先算括号内，可用运算律与拆项相消简化
化简求值
先化到最简，再代入数值
代入值必须使原式所有分母、除式均不为0
📩 核心考点
【考点1】同分母与异分母分式的加减法（第1-13题）
· 同分母：分母不变、分子相加减，分子是多项式时一定加括号
· 异分母：先把分母分解因式，再取各因式最高次幂的积作最简公分母
· 分母互为相反数时，先提负号统一分母，再合并
· 最后一步必做：分子分解因式与分母约分，化到最简分式
1．
【答案】D
【知识点】异分母分式加减法
【详解】解：
．
2．
【答案】A
【知识点】异分母分式加减法
【分析】本题主要考查了分式的减法计算，先通分，再把分子合并同类项即可得到答案．
【详解】解：
，
故选：A．
3．
【答案】D
【知识点】异分母分式加减法、同分母分式加减法
【分析】本题考查了分式的加减运算，先把分母转化为同分母，再根据同分母分式加减运算法则进行计算即可，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：
，
故选：．
4．
【答案】D
【知识点】异分母分式加减法
【分析】本题考查异分母的分式的加减运算．利用，求出，再求出倒数即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故选：D．
5．
【答案】B
【知识点】同分母分式加减法
【分析】本题主要考查了同分母分式加减法，熟练掌握同分母分式加减法法则是解题的关键．
根据同分母分式的加减法法则进行计算即可．
【详解】解：，
故选：B．
6．
【答案】A
【知识点】已知分式恒等式，确定分子或分母
【分析】本题考查分式加法运算，利用异分母分式加法运算法则计算等式右边，比较分子系数即可求解．
【详解】解：∵，，
∴ ，
∴，
故的值为3．
故选：A．
7．
【答案】C
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．根据分式的运算法则，逐项分析即可判断．
【详解】解：A、，故此选项计算正确，不符合题意；
B、，故此选项计算正确，不符合题意；
C、，故此选项计算错误，符合题意；
D、，故此选项计算正确，不符合题意；
故选：C．
8．
【答案】C
【知识点】同分母分式加减法
【分析】本题考查分式化简．根据题意利用分数计算直接作差即可．
【详解】解：，
故选：C．
9．
【答案】C
【知识点】整式的加减运算、分式加减混合运算、三角形三边关系的应用、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形三边关系的运用，分式的运算，根据已知易得：或，从而可得或，进而可得或，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
或，
或，
∴一定是腰长为的等腰三角形，
故选：C．
10．
【答案】A
【知识点】异分母分式加减法
【分析】本题考查了分式的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
先通分，然后合并，即可得到答案．
【详解】解：
故选A．
11．
【答案】A
【知识点】同分母分式加减法
【分析】本题主要考查了分式加减运算，熟练掌握分式加减运算法则，是解题的关键．根据同分母分式加减运算法则，进行计算即可．
【详解】解：．
故选：A．
12．
【答案】D
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知式子的值，求代数式的值、分式化简求值
【分析】此题考查了完全平方公式，将已知等式变形得到，再将两边平方，利用完全平方公式展开即可求出所求式子的值．
【详解】解：∵，
∴，
将两边平方得：，
∴，
∴．
故选：D．
13．
【答案】B
【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值
【分析】先根据分式运算法则化简M，结合分式有意义的条件确定x的取值范围，再逐一判断选项即可．
【详解】，
根据分式有意义的条件，得且，
∴且，
逐一判断选项：
A项：若，则，得，不满足，原式无意义，故A错误；
B项：若，则，得，满足且，原式有意义，故B正确；
C项：若，则，得，不满足，原式无意义，故C错误；
D项：∵，
∴可取任意不等于0和2的实数，
∴M没有最大值，故D错误．
【考点2】分式加减法的化简与求值（第14-26题）
· 「先化简再求值」：不化简就代入会因数值过大而算错，务必先化到最简
· 自选值代入：排除使分母、除式为0的值，并写明检验过程
· 整体代入：由已知等式变形出 x+、x2+ 等整体值
· 注意 4-a2、1-x 这类因式提取负号后的符号翻转
14．
【答案】A
【知识点】异分母分式加减法
【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键．
由题意得，对进行通分化简即可．
【详解】解：∵的结果为，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
15．
【答案】C
【知识点】运用平方差公式进行运算、分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查的是分式的混合运算，先计算括号内分式加法运算，再计算除法运算即可.
【详解】解：
；
故选：C
16．
【答案】A
【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求使分式值为整数时未知数的整数值、分式化简求值
【分析】先对原式因式分解，将除法转化为乘法约分得到化简结果，再结合分式有意义的条件逐个判断选项即可．
【详解】解：
，故A正确；
选项B：时原算式中两个分母均为0，无意义，故B错误；
选项C：当时，，，
∴ ，为负数，故C错误；
选项D：若为整数，只需为整数，例如时，也为整数，故D错误．
17．
【答案】D
【知识点】异分母分式加减法
【分析】本题考查分式的加减运算．先统一分母符号，再通过通分将分式化为同分母分式，最后合并分子并化简得到结果即可解答．
【详解】解：原式可变形为，
确定最简公分母为，通分后得： ，
合并分子并展开得：，
化简分子：，
原式，
故选：．
18．
【答案】C
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，先将除法运算转换为乘法运算，然后对括号内的代数式通分化简，利用完全平方公式，最后通过约分得到最简结果.
【详解】解：
，
化简结果为 ．
故选： C．
19．
【答案】C
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，可设，则，由可得，可得，再根据新定义计算得到结果．
【详解】解：设，则，
则，
，
则的值为．
故选：C
20．
【答案】B
【知识点】分式有意义的条件、分式最值、约分
【分析】先对分式因式分解约分，根据分式有意义的条件确定自然数的取值范围，再分析分式的取值，判断最值.
【详解】解：∵ 分式有意义要求分母不为0，
∴ ，得 ，
∵ 为自然数，∴ ， 的可取值为 ，
∵，
当时，，
当为大于等于2的自然数时，，，且越大，越小，
因此分式的值的最大值为，无最小值，只有B选项结论正确.
21．
【答案】B
【知识点】分式加减乘除混合运算、数字类规律探索
【分析】本题考查了数字类规律探索，根据题中规定发现并总结出一般规律是解题的关键．
根据题中规定，分别算出，发现并总结出一般规律，即可判断说法①；
根据题中规定，分别算出，发现并总结出一般规律，即可判断说法②；
根据题中规定，分别算出，，比较二者的结果，即可判断说法③；
综上，即可得出所有正确的说法．
【详解】，
，，
，，
由此，，……，这列数每4个循环一次，即．
①，，故①正确；
②，，，
，，
又，……，这列数每4个循环一次，即，
，……，这列数也是每4个循环一次，即．
又，
，
，故②不正确；
③，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，故③正确；
综上，正确结论为①③，共2个，
故选：B．
22．
【答案】
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，在解题时要注意运算顺序和简便方法的应用是本题的关键．根据分式混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：，
，
，
．
故答案为：．
23．
【答案】3
【知识点】分式除法、分式化简求值
【分析】先对分子分母进行因式分解，将除法改成乘法后，约分化简，最后代入求值即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
24．
【答案】1
【知识点】同分母分式加减法
【分析】本题主要考查了分式的加法运算等知识点，利用同分母分式相加减的运算法则计算即可，熟练掌握其运算法则是解决此题的关键．
【详解】
25．
【答案】/
【知识点】异分母分式加减法
【分析】本题考查分式的加减，根据分式的加减运算法则求解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
26．
【答案】3
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】先对分式约分，再合并同类项即可得到结果．
【详解】解：．
【考点3】分式的加减乘除混合运算（第27-39题）
· 定顺序：先乘方 → 再乘除 → 后加减，括号优先
· 先约后算：除法转乘法后，先分解因式约分，再通分加减
· 拆项相消： = - 可快速求和
· 整式参与运算时视作分母为1，整体通分后再合并
27．
【答案】
【知识点】异分母分式加减法
【分析】本题考查分式的加减运算，需依据分式的基本性质进行通分，将异分母分式转化为同分母分式后，再利用同分母分式的加减法则计算．
（1）根据分式的基本性质，分式的分子与分母同乘一个不等于0的整式，分式的值不变，对的分子分母同乘，得，对的分子分母同乘，得，再根据同分母分式加法法则，分母不变，分子相加，即可解答；
（2）（2）根据分式的基本性质，对的分子分母同乘，得，对的分子分母同乘，得，再根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减，即可解答．
【详解】（1）．
（2）．
28．
【答案】
【知识点】整式与分式相加减
【分析】本题考查了分式的减法，先通分，再相减即可．
【详解】解：，
故答案为：．
29．
【答案】
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查分式混合运算，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．先将分式的分子分母因式分解，再由分式混合运算法则求解即可得到答案．
【详解】解：
故答案为：．
30．
【答案】
【知识点】分式有意义的条件、分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的运算，涉及到分式有意义的条件的应用，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．先根据新定义，对原分式进行化简整理得到为整数，则可得到，解得或，结合分式分式有意义条件，可得到．
【详解】解：
•
，
∵分式的值为整数，
∴2的值为整数，
∴的值为整数，
∴，
∴或，
∵当时，分式无意义，
∴．
故答案为：．
31．
【答案】
【知识点】异分母分式加减法、分式化简求值
【分析】本题考查分式的比较大小．先将式子通分转化为同分母分式，再化简，最后与式子比较大小．
【详解】解：对进行化简，
，
∵，且，分式分母均不为，
∴．
故答案为：．
32．
【答案】1
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先将除法转化为乘法进行计算，再进行分式的减法运算，合并同分母分式即可．
【详解】解：
，
故答案为：1．
33．
【答案】1
【知识点】同分母分式加减法
【分析】本题主要考查了分式的化简，解题的关键是掌握分式的加减运算法则．
两个分式分母相同，直接合并分子后化简．
【详解】解：
=
=
= 1其中，
故答案为：1．
34．
【答案】
【知识点】异分母分式加减法
【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握是解题的关键．
先通分再带入计算即可．
【详解】解：．
故答案为．
35．
【答案】/
【知识点】分式化简求值、直线、线段、射线的数量问题
【分析】本题主要考查了线段和射线的条数，分式的化简求值．先求出，再根据分式的加减运算化简，再把代入化简后的结果，即可．
【详解】解：根据题意得：图中线段有3条，射线有6条，
∴，
，
当时，原式．
故答案为：
36．
【答案】2025
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、分式化简求值
【分析】本题考查了代数式求值，平方差公式的运用，掌握整式，分式的混合运算，平方差公式是关键．
根据题意得到，根据整式，分式的混合运算将原式变形得到，由此即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵
，
∴原式，
故答案为： ．
37．
【答案】米
【知识点】分式除法、分式加减的实际应用
【详解】解：电线粗细均匀，米长电线的质量为，其余电线的总质量为，
其余电线的长度为米，
这捆电线的总长度为米．
38．
【答案】
【知识点】分式化简求值
【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的拆分与代数运算是关键．
将代入中，通过分式拆分或代数替换进行计算即可．
将转换为，代入中，通过分式拆分或代数替换进行计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
，
即
．
故答案为：．
39．
【答案】/
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，即可求解．
【详解】解：原式
．
【考点4】分式加减法的综合应用（第40-52题）
· 新定义题：把定义翻译成等式，用分离常数法变形后对照判断
· 程序框图题：按箭头顺序逐步代入，注意循环与输出条件
· 错题诊断题：逐行核对依据，重点查符号、通分、约分三处
· 应用题：设元 → 分式表量 → 列方程 → 求解 → 双重检验（分母不为0且符合实际）
40．
【答案】
【知识点】新定义下的实数运算、分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握二阶行列式的运算规定以及分式的混合运算法则是解此题的关键．．
按二阶行列式的运算方法先列出算式，再利用分式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：
故答案为：．
41．
【答案】
【知识点】分式化简求值
【分析】本题考查了分式的化简求值．
由条件得，将分式化简后代入求值即可．
【详解】解：由，得，
．
故答案为：．
42．
【答案】乙
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的运算的应用，读懂题意，熟练应用作差法比较大小是解题的关键．
分别表示出甲乙两船返回的时间，通过作差法，比较时间的大小，得到结果．
【详解】解：∵甲船逆流航行1小时的路程为，甲返航时实际速度为，
∴甲返航时间为，
∵乙船逆流航行1小时的路程为，乙返航时实际速度为，
∴乙返航时间为，
∴
，
∵，
∴，
∴，
即乙船先返回港．
故答案为：乙．
43．
【答案】
【知识点】同分母分式加减法、已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，分式的约分，解题关键是将已知式子适当变形，再整体代入求值．
先将，变形为，再整体代入求值．
【详解】解：∵，
∴，
∴
故答案为：．
44．
【答案】
【知识点】分式加减乘除混合运算、已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查分式的混合运算，已知式子的值求代数式的值．由得到，根据分式的混合运算将所求式子进行化简，再把代入后进一步化简即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
45．
【答案】
【知识点】分式化简求值
【分析】本题考查了分式的通分和约分，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
由已知条件化简得到 ，然后代入分式计算即可．
【详解】解：由 ，得 ，
即 ，
∴ ．
故答案为：．
46．
【答案】
【知识点】分式加减混合运算
【分析】本题考查了新定义运算，分式的加减运算，正确理解新定义运算的方法是解题的关键．根据新定义运算，求得，再计算得，即得方程组，即得答案．
【详解】，
，
，
．
故答案为：．
47．
【答案】 李明
【知识点】分式加减乘除混合运算、分式加减的实际应用
【分析】本题考查了分式混合运算的应用，理解题意是解题的关键．
根据时间路程速度，求出张华从甲地到乙地所用的时间；再求出李明从甲地到乙地所用的时间，利用作差法比较两人所用时间的多少，用时较少的即可先到达乙地．
【详解】解：张华从甲地到乙地所用的时间为；
李明从甲地到乙地所用的时间为，
，
∵，，，
∴，即张华所用的时间大于李明所用的时间，
∴先到达乙地的是李明．
故答案为：；李明．
48．
【答案】5
【知识点】分式化简求值
【分析】将方程左右两边各项同时除以，再化简即可；
【详解】解：∵，
将上述方程左右两边各项同时除以，
得：，
即，
∴．
【点睛】本题考查了分式化简求值，正确的运算是解题的关键．
49．
【答案】
【知识点】同分母分式加减法、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】由真分式的定义得的结果是整式，对此进行化简得，要使其为整式、需满足的条件，即可求解．
【详解】解：由题意得
是整式，
，，
；
故答案：．
【点睛】本题考查了新定义，分式的减法，求代数式值，理解新定义，根据新定义将问题转化为分式的减法运算是解题的关键．
50．
【答案】(1)
(2)
【知识点】异分母分式加减法、同分母分式加减法
【分析】（1）（2）利用分式加减法运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
【点睛】本题主要考查了分式加减法运算，熟练掌握是解决本题的关键．
51．
【答案】
【知识点】异分母分式加减法、完全平方公式分解因式、平方差公式分解因式
【分析】本题考查分式的加减运算．利用分式加减运算法则结合因式分解求解即可．
【详解】解：原式
．
52．
【答案】，
【知识点】分式化简求值
【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，
原式．
📊 课后巩固
🍬 复习建议
· 先把法则记牢：同分母分母不变分子相加减，异分母先通分再加减
· 通分前一定先分解因式，最简公分母取各因式的最高次幂的积
· 化简求值题坚持「先化到最简再代入」，代入前检验分母是否为0
· 混合运算先定顺序：先乘方、再乘除、后加减，能约分的先约分
· 遇到减号后面的多项式，第一反应是加括号，这是符号错误的第一高发点
【作业 1】
【答案】
【知识点】分式加减的实际应用
【分析】本题主要考查了分式减法的应用，通过计算原来和现在用500元能购买的盒数之差，得到多买的盒数．利用分式的通分和化简求解．
【详解】解：原来每盒售价p元，500元可购买盒；
现在每盒售价元，500元可购买盒．
现在比原来多买（盒）
答：现在可比原来多买盒．
【作业 2】
【答案】
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的混合运算，先计算括号里的加法运算，再因式分解进行计算即可.
【详解】解：原式=
.
【作业 3】
【答案】(1)1
(2)
【知识点】同分母分式加减法、分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．
（1）根据同分母分式减法运算法则计算；
（2）利用乘法分配律展开，再进行化简．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【作业 4】
【答案】，2
【知识点】分式化简求值
【分析】本题考查了分式化简求值；先计算同分母分式加法，将分子进行因式分解，再进行约分化简，然后代值计算，即可求解．
【详解】解：
，
将代入，得：
原式．
【作业 5】
【答案】
【知识点】异分母分式加减法
【分析】本题考查异分母分式的减法运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
将两个分式的分母化为相同的代数式，再进行分子的加减运算，最后化简结果．
【详解】解：
．
【作业 6】
【答案】
【知识点】异分母分式加减法
【分析】本题考查分式的加减运算．利用分式加减运算法则结合因式分解求解即可．
【详解】解：
．
【作业 7】
【答案】，
【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键．
先根据分式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可．
【详解】解：
；
当时，原式．
【作业 8】
【答案】，当时，原式
【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值
【分析】本题考查了分式化简求值，先把除法化为乘法，再化简，得，结合分母不为0以及，则把代入进行计算，即可作答．
【详解】解：
．
∵，
∴，
∴把代入，得．
【作业 9】
【答案】(1)①③④
(2)
(3)结果是“和谐分式”, 当时，该式的值为整数．
【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值
【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟练掌握“和谐分式”的定义是解题的关键．
（1）根据“和谐分式”的定义解答即可；
（2）根据“和谐分式”的定义把分式化简即可；
（3）根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据分式为整数求出x的值即可．
【详解】（1）解：①，故是“和谐分式”；
②不符合和谐分式定义，故不是“和谐分式”；
③，故是“和谐分式”；
④，故是“和谐分式”；
属于“和谐分式”的是①③④，
故答案为：①③④；
（2）解：
；
（3）解：
∵该式的值为整数，
∴，，
解得或或1或，
又，1，，，
∴，
即当时，该式的值为整数．
【作业 10】
【答案】(1)通分；分式的基本性质
(2)
三，第三步错误原因为去括号未变号．
完整的解答过程
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化、异分母分式加减法、分式加减乘除混合运算
【分析】（）根据分式的基本性质填写即可．
（）结合分式混合运算法则，先乘除，后加减，有括号的先算括号内的；说明各步骤错误原因，再展示正确完整的运算过程．
【详解】（1）解：第二步括号内将异分母分式变形为同分母分式，
这个变形是通分，依据是分式的基本性质；
（2）略
【作业 11】
【答案】，
【知识点】分式化简求值
【详解】解：原式
；
当时，原式．
【作业 12】
【答案】(1)①③④
(2)
(3)，
【知识点】分式加减乘除混合运算、求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】本题考查分式的化简，熟练掌握新定义，是解题的关键：
（1）根据新定义，逐一进行判断即可；
（2）根据新定义，进行计算即可；
（3）除法变乘法，约分化简后，进行加减运算，再根据新定义，进行求解即可．
【详解】（1）解：；故①是和谐分式；
不能化成一个整式与一个分子为常数的分式；故②不是和谐分式；
；故③是和谐分式；
；故④是和谐分式；
故答案为：①③④
（2）；
故答案为：；
（3）原式
；
∵，
∴当时，分式的值为整数，
∴，
∵时，分式无意义，
∴当时，分式的值为整数．
【作业 13】
【答案】
【知识点】分式加减乘除混合运算
【详解】解：原式
．
【作业 14】
【答案】(1)
(2)1
(3)
【知识点】同分母分式加减法
【分析】本题考查分式的加减法，解答本题的关键是明确分式的加减法的计算方法，注意最后结果要化为最简．
（1）根据同分母分式加减法则进行运算即可；
（2）将式子整理后，利用同分母分式加减法则进行运算即可；
（3）将式子整理后，利用同分母分式加减法则进行运算即可；
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
；
（3）解：，
，
．
【作业 15】
【答案】(1)，
(2)该工程队应采取方案B，证明：
∵
，
，即．
∴该工程队应采取方案B．
【知识点】分式加减的实际应用
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式的加减计算，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
（）根据工作时间等于工作总量除以工作效率，求出，即可；
（）先根据题意求出，，再利用作差法求出，的大小即可得到答案．
【详解】（1）解
（2）略
【作业 16】
【答案】(1)三 分式的基本性质（或分式的分子与分母都乘以（或都除以）同一个不答于零的整式，分式的值不变）
(2)五，括号前面是“”，去掉括号后，括号里的第二项没有变号
(3)
(4)答案不唯一，例如，最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形等
【知识点】异分母分式加减法、求使分式变形成立的条件
【分析】（1）根据分式的基本性质，熟练通分解答即可．
（2）从解答过程看出，第五步出现错误，去括号时，变号不彻底．
（3）根据运算直接解答即可．
（4）从知识理解，运用等方面给出合理的建议即可．
本题考查了分式的性质，通分，熟练掌握通分是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，得第三步是通分，其依据是分式的基本性质，
故答案为：三 分式的基本性质（或分式的分子与分母都乘以（或都除以）同一个不答于零的整式，分式的值不变）．
（2）解：从解答过程看出，第五步出现错误，去括号时，变号不彻底．
故答案为：五，括号前面是“”，去掉括号后，括号里的第二项没有变号．
（3）解：原式，
因此最后的答案是．
（4）解：答案不唯一，例如，最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形等．
【作业 17】
【答案】
【知识点】同分母分式加减法
【分析】本题考查分式的加减，根据同分母分式的加减法法则计算解题．
【详解】解：原式．
【作业 18】
【答案】
证明：．
由数轴，得，
，，，
．
，，互不相等，
，，，
．
故
【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、分式化简求值
【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果，根据数轴得，判断结果的正负.
【详解】略
【点睛】本题考查了分式的加减法，解决本题的关键是熟练掌握运算法则．
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第16讲·分式的加法与减法·培优讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026年人教版八年级数学上册
🍔 思维导图
🍟 课程目标
· 掌握同分母分式加减法法则：分母不变，分子相加减，结果化为最简分式
· 掌握异分母分式加减法：会确定最简公分母并正确通分
· 会进行分式的加减化简，能正确处理「先化简再求值」与自选合适值代入
· 掌握分式加减乘除混合运算的顺序，能灵活使用运算律简化计算
· 会处理分式运算中的新定义问题、程序框图问题与错题诊断问题
· 能运用分式加减法解决工程问题、行程问题与购买方案等实际应用
🍗 知识梳理
✅️ 1.同分母分式的加减法
法则： ± = ，即分母不变，分子相加减
分子相加减时要作为整体加括号，避免符号错误，尤其是减号后面是多项式时
计算结果必须化成最简分式：分子分母约去公因式
分母互为相反数时，先提取负号化为同分母，如 - = +
概念辨析例题：计算： - 的结果是（ ）
答案：3
解析：分母相同，分子相减： = = 3。同分母相减后要先分解因式再约分，不能直接把分母丢掉。
✅️ 2.异分母分式的加减法与通分
法则：先通分化为同分母分式，再按同分母法则加减，即 ± =
最简公分母的确定：取各分母系数的最小公倍数，再取所有因式的最高次幂的积
分母是多项式时，必须先分解因式再找最简公分母，避免公分母过大导致计算繁琐
通分的依据是分式的基本性质：分子分母同乘同一个不为0的整式，分式的值不变
概念辨析例题：计算 - 的结果是（ ）
答案：
解析：最简公分母为 (x-1)(x+1)=x2-1，通分得 - = = 。注意减号后分子要加括号。
✅️ 3.分式的化简与求值
化简顺序：先算乘除（能约分的先约分），再算加减（先通分），最后约成最简分式
「先化简再求值」必须先把原式化到最简，再代入数值，不可直接代入原始数据
自选值代入时，所取的数必须使原式的所有分母、除式都不为0，这一点要单独检验
若题目给出方程条件，常采用整体代入，如由 x2-3x+1=0 得 x+=3
概念辨析例题：先化简，再求值：left( + right) ÷ ，其中 a=3
答案：
解析：先分解因式： + = - ，通分后化简为 · = ，代入 a=3 得 。注意 4-a2 提取负号后的符号变化。
✅️ 4.分式的加减乘除混合运算
运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号的先算括号里的，与有理数运算顺序一致
除法先转化为乘法：除以一个分式等于乘这个分式的倒数，再约分
合理使用运算律：分配律、结合律可大幅简化计算，如拆项相消 = -
多项式与分式相加减时，把多项式看成分母为1的分式再通分
概念辨析例题：计算： - · 的结果是（ ）
答案：
解析：先算乘法：· = 1；再算减法： - 1 = = -。先分解因式约分再运算，比直接通分简便得多。
✅️ 5.分式运算中的新定义与规律探究
新定义问题：先读懂定义（如「和谐分式」= 整式 + 分子为常数的分式），再把待判断的式子按定义变形
常用手段是「分离常数」： 化为 a + 的形式
程序框图问题：按框图顺序逐步代入计算，注意循环条件与输出位置
错题诊断题：逐行检查每一步的依据，通常在符号、通分、约分三处出错
概念辨析例题：定义：若分式能化成「整式 + 分子为常数的分式」的形式，称为「和谐分式」．判断 是否为和谐分式
答案：是， = 2 +
解析：分离常数： = = + = 2 + ，符合「整式+分子为常数的分式」的形式，故是和谐分式。
✅️ 6.分式加减法的实际应用
基本思路：设未知数 → 用分式表示相关量 → 依等量关系列分式方程 → 求解并检验
常见模型：工程问题（工作效率 = 工作量 ÷ 工作时间）、行程问题（时间 = 路程 ÷ 速度）
购买方案问题：用总价 ÷ 单价表示数量，再按数量差列方程
检验双保险：既要检验是否为增根（分母不为0），也要检验是否符合实际意义
概念辨析例题：某商品原价每盒 p 元，现降价2元，用500元现在比原来多买多少盒？
答案： 盒
解析：现在可买 盒，原来可买 盒，多买 - = = 盒。列式后通分，注意 p>2 才有实际意义。
🧀 知识总结表
运算类型
法则与公式
关键注意
同分母加减
± =
分子作为整体加括号，结果约成最简分式
异分母加减
± =
先分解因式再定最简公分母，避免公分母过大
分式乘法
· =
先约分再相乘，能大幅减少计算量
分式除法
÷ = ·
先转乘法再约分，注意除式不能为0
混合运算
先乘方，再乘除，最后加减
有括号先算括号内，可用运算律与拆项相消简化
化简求值
先化到最简，再代入数值
代入值必须使原式所有分母、除式均不为0
📩 核心考点
【考点1】同分母与异分母分式的加减法（第1-13题）
· 同分母：分母不变、分子相加减，分子是多项式时一定加括号
· 异分母：先把分母分解因式，再取各因式最高次幂的积作最简公分母
· 分母互为相反数时，先提负号统一分母，再合并
· 最后一步必做：分子分解因式与分母约分，化到最简分式
1．（2026·河南三门峡·三模）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·山东威海·期中）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·浙江嘉兴·二模）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）有一并联电路，两电阻阻值分别为，，总电阻为R，三者的关系为：．若已知R、，则为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·河南周口·二模）化简的结果是（ ）
A．0 B．1 C． D．
6．（25-26八年级上·广西桂林·期末）若，则的值是（ ）
A．3 B．2 C． D．
7．（2025·河北·模拟预测）下列分式计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025·甘肃兰州·一模）计算：（ ）
A． B． C．1 D．x
9．（23-24八年级下·浙江衢州·期末）已知的三边长分别为，且，则一定是（ ）
A．等边三角形 B．腰长为的等腰三角形
C．腰长为的等腰三角形 D．腰长为的等腰三角形
10．（12-13八年级下·山东·阶段检测）化简：等于（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·广东·模拟预测）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
12．（24-25八年级上·四川南充·阶段检测）已知，则的值是（ ）
A．21 B．23 C．25 D．27
13．（2026·河北沧州·模拟预测）已知，下列有关M的值，说法正确的是（ ）
A．存在 B．存在 C．存在 D．M存在最大值
【考点2】分式加减法的化简与求值（第14-26题）
· 「先化简再求值」：不化简就代入会因数值过大而算错，务必先化到最简
· 自选值代入：排除使分母、除式为0的值，并写明检验过程
· 整体代入：由已知等式变形出 x+、x2+ 等整体值
· 注意 4-a2、1-x 这类因式提取负号后的符号翻转
14．（2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算的结果为，则（ ）
A．x B．y C． D．
15．（2025·山西吕梁·二模）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
16．（2026·河北·一模）已知，则下列判断正确的是（ ）
A．的计算结果为 B．当时，
C．当时，的值为正数 D．若是整数，则或
17．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
18．（25-26八年级上·河南·期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
19．（24-25七年级下·河北沧州·阶段检测）对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为： ，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
20．（25-26八年级下·江苏宿迁·阶段检测）“若a为自然数，下列关于分式的值的结论正确的是（ ）
A．有最大值是1 B．有最大值是2 C．有最小值是1 D．有最小值，没有最大值
21．（24-25九年级上·重庆秀山·期末）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为．已知，并规定：，，下列说法：
①；
②；
③对于任意正整数，都有成立
其中正确结论的个数有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
22．（25-26八年级上·全国·单元测试）计算：______．
23．（2026·安徽·二模）若，则__________．
24．（21-22八年级上·福建福州·期末）计算：______．
25．（23-24八年级上·山东泰安·阶段检测）计算_____________．
26．（2026·湖北孝感·三模）计算的结果为______．
【考点3】分式的加减乘除混合运算（第27-39题）
· 定顺序：先乘方 → 再乘除 → 后加减，括号优先
· 先约后算：除法转乘法后，先分解因式约分，再通分加减
· 拆项相消： = - 可快速求和
· 整式参与运算时视作分母为1，整体通分后再合并
27．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：
（1）；括号内应依次填入：______、______、______．
（2）；括号内应依次填入：______、______、______．
28．（2024·湖北襄阳·一模）计算_______．
29．（2025·黑龙江绥化·中考真题）计算：________．
30．（26-27八年级上·全国·课后作业）若分式的值为整数，则整数x的值为 ______．
31．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知两个式子：：，：，其中，则__________．（填“＞”“＜”或“＝”）
32．（2026·湖北·模拟预测）计算的结果是___．
33．（25-26八年级上·山西忻州·期末）化简的结果是________．
34．（2025·广东深圳·一模）已知，，则______．
35．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图：a、b分别表示图中线段和射线的条数，则代数式__________．
36．（24-25九年级下·四川成都·阶段检测）若，则代数式的值为_____
37．（25-26八年级下·全国·暑假作业）有一大捆粗细均匀的电线，现要确定其长度的值，从中先取出1米长的电线，称它的质量为，再称其余电线的总质量为，则这捆电线的总长度是________．
38．（25-26九年级上·全国·课后作业）（1）若，则的值为____________．
（2）若，则的值为____________．
39．（25-26八年级上·山东德州·期末）化简的结果是____________________ ．
【考点4】分式加减法的综合应用（第40-52题）
· 新定义题：把定义翻译成等式，用分离常数法变形后对照判断
· 程序框图题：按箭头顺序逐步代入，注意循环与输出条件
· 错题诊断题：逐行核对依据，重点查符号、通分、约分三处
· 应用题：设元 → 分式表量 → 列方程 → 求解 → 双重检验（分母不为0且符合实际）
40．（25-26八年级上·全国·课后作业）形如的式子称为二阶行列式，规定它的运算方法如下：，例如：．化简：______．
41．（25-26八年级上·山东泰安·期中）若，则分式的值为_____．
42．（25-26八年级上·全国·课后作业）在一条河里，甲、乙两船从港口同时同向逆流出发，分别航行1小时后立即原路返航，若甲船在静水中的速度为，乙船在静水中的速度为，水流速度为，________船先返回港．
43．（24-25八年级下·江西抚州·阶段检测）已知，则______．
44．（24-25九年级下·四川成都·期中）已知，且，则__________．
45．（24-25八年级上·重庆·期中）若，则分式的值为___________．
46．（24-25八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）对于代数式m和n，定义运算“”：，例如：，若，则________．
47．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）张华和李明同时从甲地沿同一线路步行去乙地．张华在前半段路程的平均步行速度是，在后半段路程的平均步行速度是；李明全程的步行速度是．已知甲乙两地的路程为，且，张华从甲地到乙地所用的时间为______；张华和李明先到达乙地的是_______（填“张华”或“李明”或“同时到达”或“不能确定”）
48．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，则的值为______．
49．（23-24七年级上·上海松江·期末）我们知道假分数可以化成整数或者整数与真分数的和的形式．如果一个分式的分子的次数大于或等于分母的次数，那么这个分式可以化成一个整式或整式与“真分式”的和的形式．（我们规定：分子的次数低于分母的次数的分式称为“真分式”）．
如；又如：．若可以写成一个整式与“真分式”的和的形式，则a＋b =_______．
50．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：
(1)．
(2)．
51．（25-26八年级上·吉林长春·期末）计算：．
52．（26-27八年级上·北京·课堂例题）先化简，再求值：，其中．
📊 课后巩固
🍬 复习建议
· 先把法则记牢：同分母分母不变分子相加减，异分母先通分再加减
· 通分前一定先分解因式，最简公分母取各因式的最高次幂的积
· 化简求值题坚持「先化到最简再代入」，代入前检验分母是否为0
· 混合运算先定顺序：先乘方、再乘除、后加减，能约分的先约分
· 遇到减号后面的多项式，第一反应是加括号，这是符号错误的第一高发点
【作业 1】（25-26八年级上·全国·课后作业）某种商品，原来每盒的售价为p元，现在每盒的售价降低了2元．那么同样用500元钱购买这种商品，现在可比原来多买多少盒？
【作业 2】（23-24八年级上·陕西渭南·期末）化简：．
【作业 3】（25-26八年级上·北京通州·期末）计算下列各题
(1)；
(2)．
【作业 4】（2025·江苏无锡·中考真题）先化简，再求值：．其中．
【作业 5】（2024·福建三明·模拟预测）计算：．
【作业 6】（24-25七年级上·上海青浦·阶段检测）计算：．
【作业 7】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）先化简，再求值：，其中．
【作业 8】（23-24九年级下·上海·期中）先化简：，再从中选择一个合适的值代入求值
【作业 9】（25-26八年级上·河北石家庄·开学考试）定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如，，则是“和谐分式”．
(1)下列分式：①；②；③；④，其中，属于“和谐分式”的是 ．（填序号）
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．
(3)先化简，结果是“和谐分式”吗？并求当x取什么整数时，该式的值为整数．
【作业 10】（25-26八年级下·江西吉安·期末）按要求填空：以下是某同学化简分式的部分运算过程：
解：原式第一步
第二步
第三步
…
(1)上面第二步计算中，括号里的变形是______，其依据是______．
(2)上面的运算过程中第_____步出现了错误，错误原因是______．请你写出完整的解答过程．
【作业 11】（24-25八年级下·福建漳州·期末）先化简，再求值：，其中．
【作业 12】（24-25八年级上·江西上饶·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是________（填序号）；
①；②；③；④．
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：＝________；
(3)应用：先化简，并回答：x取什么整数时，该式的值为整数？
【作业 13】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）计算：．
【作业 14】（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：
(1)
(2)
(3)
【作业 15】（24-25八年级下·江苏淮安·期中）某工程队接到24千米的道路施工任务后，列出如下两种施工方案：
方案A
计划12千米按每天施工a千米完成，剩下的12千米按每天施工b千米完成，预计完成施工任务所需的时间为t₁天．
方案B
设完成施工任务所需的时间为t₂天，其中一半时间每天完成施工a千米，另一半时间每天完成施工b千米．
备注
A、B两种方案中的a，b均为正整数，且．
(1)按方案A施工需要的天数_______；按方案B施工需要的天数_______；（用含a、b的式子来表示）
(2)若要尽快完成施工任务，该工程队应选择上述哪种方案？请说明你的理由．
【作业 16】（24-25八年级下·山西晋城·阶段检测）下面是小康同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
……第五步
……第六步
任务：
(1)化简过程中，第______步是进行分式的通分，通分的依据是______．
(2)从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______．
(3)请你直接写出正确的结果．
(4)除纠正上述错误外，请根据平时的学习经验，就分式化简需注意的事项给其他同学提一条建议．
【作业 17】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：．
【作业 18】（25-26八年级下·全国·课后作业）有理数，，在数轴上的位置如下图所示，且，，．求证：．
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