第11讲 乘法公式 培优讲义（知识梳理+典例+练习）2026-2027学年人教版八年级数学上册

第11讲·乘法公式·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年人教版八年级数学上册 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 理解平方差公式的结构特征并能灵活运用 · 理解完全平方公式的结构并能熟练计算 · 会利用乘法公式进行简便计算与化简求值 · 掌握完全平方式中字母系数的确定方法 · 能运用数形结合思想验证乘法公式并解决实际问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.平方差公式 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 结构特征：两个二项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数 应用时先判断哪个数相同、哪个数互为相反数，再套公式 公式中a、b可以表示数、字母或整式 概念辨析例题：计算(3a+2b)(3a-2b)的结果是（　　）A．9a2-4b2　B．9a2+4b2　C．3a2-2b2　D．9a2-4ab+4b2 答案：A 解析：两数3a与2b，一项相同一项互为相反数，符合平方差公式结构，(3a+2b)(3a-2b)=(3a)2-(2b)2=9a2-4b2，故选A。 ✅️ 2.完全平方公式 完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2 口诀：首平方、尾平方、积的二倍放中央 注意符号：减法形式的中间项为负 公式中a、b可以表示数、字母或整式 概念辨析例题：计算(x+3)2的结果是（　　）A．x2+9　B．x2+3x+9　C．x2+6x+9　D．x2-6x+9 答案：C 解析：由完全平方公式(x+3)2=x2+2·x·3+32=x2+6x+9，故选C。 ✅️ 3.完全平方式与公式变形 完全平方式：形如a2±2ab+b2的多项式 已知两平方项求中间项系数：2ab即两数积的2倍 变形：a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab (a+b)2与(a-b)2的关系：(a+b)2-(a-b)2=4ab 概念辨析例题：若x2+mx+9是完全平方式，则m的值为（　　）A．3　B．6　C．±3　D．±6 答案：D 解析：x2+mx+9=x2+mx+32，完全平方式中间项为±2·x·3=±6x，所以m=±6，故选D。 ✅️ 4.乘法公式的综合应用 简便计算：把相近的数写成两数和与两数差的形式 连续使用公式：先平方差再完全平方 化简求值：先运用公式化简再代入求值 数形结合：用图形面积验证乘法公式（如正方形分割） 概念辨析例题：用简便方法计算102×98，正确的结果是（　　）A．9996　B．9998　C．10004　D．9994 答案：A 解析：102×98=(100+2)(100-2)=1002-22=10000-4=9996，故选A。 🧀 知识总结表 核心概念 公式/规律 注意事项 平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 一项相同一项相反 完全平方公式 (a±b)2=a2±2ab+b2 中间项是积的2倍 完全平方式 a2±2ab+b2 求m注意正负号 公式变形 a2+b2=(a±b)2∓2ab 灵活选用 简便计算 拆成和差形式套公式 先识别结构再计算 📩 核心考点 【考点1】平方差公式（第1-16题） · 判断两项是否一项相同一项相反 · 直接套用(a+b)(a-b)=a2-b2 · 符号与字母系数不要漏 1．（25-26八年级上·山西晋城·期中）从边长为的大正方形纸板的右下角剪去一个边长为的小正方形后，将其裁剪成两个完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个长方形（如图2），那么通过计算图1和图2中阴影部分的面积，可以验证的等式是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）图1是长为，宽为的一个长方形，将其进行分割，剪拼，得到如图2所示的大正方形．通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 3．（21-22八年级上·辽宁盘锦·期末）将长为，宽为的一个长方形沿虚线剪去一个宽为的小长方形（阴影部分），得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图所示的图形，则从图到图可以解释的等式是（    ）． A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．30 D．36 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则m的值为（   ） A．6 B．9 C．3 D． 6．（25-26七年级上·上海·期末）下列各式中能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·上海闵行·阶段检测）下列代数式中，等于的是（   ）． A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如图的剪拼过程（由左向右）可以验证的公式是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·上海闵行·期末）下列算式中，适合运用完全平方公式计算的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·广东佛山·阶段检测）下列各式中能用平方差公式的计算的是（　　） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·重庆秀山·期末）如果对多项式“”进行因式分解的结果为，则“”中的数是（　　） A． B．1 C．2 D． 12．（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）若、是方程的两个根，则的值为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 13．（25-26八年级上·山东临沂·阶段检测）已知：，，，则代数式的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 14．（24-25九年级上·浙江·期中）已知，且，，都是大于1的数，若满足，，，则（   ） A． B． C． D． 15．（24-25七年级下·河北唐山·阶段检测）设，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 16．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）若是一个完全平方式，则等于（    ） A． B． C． D． 【考点2】完全平方公式（第17-30题） · 按首平方尾平方积的二倍展开 · 减法形式注意中间项符号 · 字母系数平方别漏 17．（24-25八年级上·河南周口·阶段检测）有下列计算：①；②；③；④；⑤.其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．（2025·河北沧州·模拟预测）将数字填入如图所示的图形中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于21，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记为A，B，C，且．已知交点处的三个圆圈填入的数字分别为x，y，． 结论Ⅰ：；结论Ⅱ：． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（   ） A．结论Ⅰ正确，结论Ⅱ不正确 B．结论Ⅰ不正确，结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、结论Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、结论Ⅱ都不正确 19．（2023七年级下·浙江衢州·竞赛）已知，，，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 20．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）已知， 则的值是（　　） A．4 B． C．8 D． 21．（23-24七年级下·重庆北碚·期中）的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 22．（2025·湖南邵阳·一模）化简：___________． 23．（25-26七年级下·山东青岛·期中）设，，则M与N的大小关系是M___________N（填“>”、“<”或“=”） 24．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段检测）某农场为了鼓励学生集体到农场去参加劳动，许诺学生到农场劳动后，每人将得到与参加劳动人数数量相等的苹果，第一天去农场参加劳动的学生有a人，第二天有人，这两天农场共送出 ____________个苹果． 25．（23-24八年级上·全国·单元测试）______ 26．（23-24八年级下·山东滨州·阶段检测）若，则__________． 27．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）已知，那么代数式的值为______． 28．（24-25七年级下·江苏南京·阶段检测）若是完全平方式，则常数m的值为___________． 29．（25-26六年级下·全国·课后作业）如图所示，圆环形绿地的面积是__________（结果保留）． 30．（23-24七年级下·四川成都·期末）如果是一个完全平方式，那么的值是__________． 【考点3】公式变形与图形验证（第31-42题） · 已知两平方项求中间项系数 · a2+b2与(a+b)2互化 · 图形面积验证公式 31．（25-26六年级下·全国·课后作业）利用完全平方公式计算：__________． 32．（2025·陕西咸阳·三模）计算：_______． 33．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段检测）图1是长为，宽为的一个长方形，将其进行分割，剪拼，得到如图2所示的大正方形．通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是_______． 34．（24-25七年级下·四川成都·期末）若与 的乘积中不含x的二次项，则m的值为____________． 35．（2025·湖南长沙·一模）已知，，则__________． 36．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，分别表示边长为的正方形的面积，且三点在一条直线上，若，则图中阴影部分的面积为______． 37．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）已知，则m的值为________． 38．（24-25七年级下·江苏常州·期中）已知将代数式展开后得，则的值为______． 39．（25-26九年级上·重庆长寿·期中）若，则的值为________． 40．（24-25七年级下·安徽合肥·开学考试）若，，则的值为 _____． 41．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，四边形与四边形都是正方形，且在上，连接、、、．若正方形的面积为21，正方形的面积为3，则阴影部分的总面积为__________． 42．（24-25七年级下·山东聊城·期末）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲中阴影部分的面积为3，图乙中新构造的大正方形面积为27，则图乙中阴影部分面积为______． 【考点4】化简求值与阅读探究（第43-52题） · 先化简再代入求值 · 连续套用两个公式 · 阅读材料找规律再计算 43．（23-24七年级下·山西晋中·期中）图1为某校六（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示六（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则____________． 44．（24-25八年级上·山西大同·期末）若是一个完全平方式，则m的值为_______． 45．（24-25七年级下·全国·课后作业）填空： （1）( )___ ；         （2）________; （3）____ ; （4）___________ 46．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）的个位数字为________． 47．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知：，，则、的大小关系是__________. 48．（24-25七年级下·全国·课后作业）模型观念 如图①所示，从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的梯形，然后拼成一个平行四边形（如图②所示）． （1）图①中阴影部分的面积是____． （2）图②中拼成的平行四边形的底边长是____，对应的高是___（注意观察图①），所以平行四边形的面积是______． （3）因为①，②两个图形中阴影部分的面积相等，所以可以发现等式：___，这就是平方差公式． 49．（2025·江苏连云港·模拟预测）新定义：对于一个给定的正整数，如果它可以表示为两个连续奇数的平方差，并且这两个连续奇数的和恰好是某个正整数的平方，则称为“差方数”． 例如：，且，所以是“差方数”． 则第个“差方数”是______． 50．（24-25七年级下·陕西西安·期末）一个底面是正方形的长方体，高为，底面正方形边长为，如果它的高不变，底面正方形边长增加了，那么它的体积增加了多少？ 51．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）试说明：代数式的值与的取值无关． 52．（24-25八年级上·河南新乡·期末）观察下列等式，并回答问题 ， ， ， ， …… (1)将2028写成两整数平方差的形式： ________________ (2)用含有字母（的整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律． 课后巩固 【作业 1】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： 【作业 2】（24-25七年级下·山东青岛·期中）先化简，再求值：，其中． 【作业 3】（25-26八年级上·安徽安庆·开学考试）先化简，后求值：，其中，． 【作业 4】（25-26七年级下·全国·课后作业）利用平方差公式计算： (1)； (2)． 【作业 5】（25-26八年级上·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中，． 【作业 6】（24-25七年级下·广东梅州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【作业 7】（2025八年级上·全国·专题练习）对于正整数，整式是不是10的倍数？请说明理由． 【作业 8】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式的计算是否正确？如果不正确，请改正过来． (1)； (2)； (3)； (4)． 【作业 9】（25-26八年级上·云南昆明·期末）请阅读下列材料并解答问题： 材料一：若，求的值． 解：设，则 我们解决上述问题的这种方法叫做换元法，利用换元法将式子转化为更简单的形式． 材料二：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个小正方形和长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证公式． 解决问题： (1)已知，求的值 (2)如图②，点是线段上一点，以为边向两侧作正方形和正方形，面积分别是和．若，求出的面积． 【作业 10】（2025八年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【作业 11】（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）阅读下列材料：某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：．他很受启发．后来在求时，联想到“凑成”平方差公式，改造此法：将乘积式前面乘1，并且把1写成得： ． 解答问题： (1)计算：； (2)化简：． 【作业 12】（25-26七年级下·全国·课后作业）利用完全平方公式计算： (1)； (2)． 【作业 13】（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）先化简，再求值：，其中，． 【作业 14】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【作业 15】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段检测）探究代数式的最小值时，我们可以这样处理： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题： (1)当________时，有最小值是________； (2)多项式有最________（填“大”或“小”）值，该值为________； (3)已知，求的最小值； 【作业 16】（25-26八年级上·新疆和田·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 【作业 17】（25-26八年级上·全国·随堂练习）先阅读下列例题： 课后巩固 🍬 复习建议 · 平方差公式要求一项相同、一项互为相反数 · 完全平方公式展开后是三项，中间项为积的2倍 · 完全平方式求字母系数注意正负两种可能 · 简便计算先把数拆成两数和与两数差 · 化简求值先展开合并再代入，避免先代后错 【作业 1】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： 【作业 2】（24-25七年级下·山东青岛·期中）先化简，再求值：，其中． 【作业 3】（25-26八年级上·安徽安庆·开学考试）先化简，后求值：，其中，． 【作业 4】（25-26七年级下·全国·课后作业）利用平方差公式计算： (1)； (2)． 【作业 5】（25-26八年级上·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中，． 【作业 6】（24-25七年级下·广东梅州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【作业 7】（2025八年级上·全国·专题练习）对于正整数，整式是不是10的倍数？请说明理由． 【作业 8】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式的计算是否正确？如果不正确，请改正过来． (1)； (2)； (3)； (4)． 【作业 9】（25-26八年级上·云南昆明·期末）请阅读下列材料并解答问题： 材料一：若，求的值． 解：设，则 我们解决上述问题的这种方法叫做换元法，利用换元法将式子转化为更简单的形式． 材料二：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个小正方形和长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证公式． 解决问题： (1)已知，求的值 (2)如图②，点是线段上一点，以为边向两侧作正方形和正方形，面积分别是和．若，求出的面积． 【作业 10】（2025八年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【作业 11】（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）阅读下列材料：某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：．他很受启发．后来在求时，联想到“凑成”平方差公式，改造此法：将乘积式前面乘1，并且把1写成得： ． 解答问题： (1)计算：； (2)化简：． 【作业 12】（25-26七年级下·全国·课后作业）利用完全平方公式计算： (1)； (2)． 【作业 13】（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）先化简，再求值：，其中，． 【作业 14】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【作业 15】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段检测）探究代数式的最小值时，我们可以这样处理： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题： (1)当________时，有最小值是________； (2)多项式有最________（填“大”或“小”）值，该值为________； (3)已知，求的最小值； 【作业 16】（25-26八年级上·新疆和田·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 【作业 17】（25-26八年级上·全国·随堂练习）先阅读下列例题： 已知，求和的值．解：把等式左边变形， 得，即． 因为，所以，即．仿照以上解法，解答下列问题． (1)无论取何值，多项式的值总是（   ） A．正数    B．负数    C．非正数    D．非负数 (2)已知的三边长分别为，且，则为 三角形； (3)已知，求和的值． 【作业 18】（24-25七年级下·全国·课后作业）观察下列各式： ； ； ； … (1)根据前面的规律可求得________（其中为正整数）． (2)根据上述规律求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲·乘法公式·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年人教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 理解平方差公式的结构特征并能灵活运用 · 理解完全平方公式的结构并能熟练计算 · 会利用乘法公式进行简便计算与化简求值 · 掌握完全平方式中字母系数的确定方法 · 能运用数形结合思想验证乘法公式并解决实际问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.平方差公式 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 结构特征：两个二项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数 应用时先判断哪个数相同、哪个数互为相反数，再套公式 公式中a、b可以表示数、字母或整式 概念辨析例题：计算(3a+2b)(3a-2b)的结果是（　　）A．9a2-4b2　B．9a2+4b2　C．3a2-2b2　D．9a2-4ab+4b2 答案：A 解析：两数3a与2b，一项相同一项互为相反数，符合平方差公式结构，(3a+2b)(3a-2b)=(3a)2-(2b)2=9a2-4b2，故选A。 ✅️ 2.完全平方公式 完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2 口诀：首平方、尾平方、积的二倍放中央 注意符号：减法形式的中间项为负 公式中a、b可以表示数、字母或整式 概念辨析例题：计算(x+3)2的结果是（　　）A．x2+9　B．x2+3x+9　C．x2+6x+9　D．x2-6x+9 答案：C 解析：由完全平方公式(x+3)2=x2+2·x·3+32=x2+6x+9，故选C。 ✅️ 3.完全平方式与公式变形 完全平方式：形如a2±2ab+b2的多项式 已知两平方项求中间项系数：2ab即两数积的2倍 变形：a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab (a+b)2与(a-b)2的关系：(a+b)2-(a-b)2=4ab 概念辨析例题：若x2+mx+9是完全平方式，则m的值为（　　）A．3　B．6　C．±3　D．±6 答案：D 解析：x2+mx+9=x2+mx+32，完全平方式中间项为±2·x·3=±6x，所以m=±6，故选D。 ✅️ 4.乘法公式的综合应用 简便计算：把相近的数写成两数和与两数差的形式 连续使用公式：先平方差再完全平方 化简求值：先运用公式化简再代入求值 数形结合：用图形面积验证乘法公式（如正方形分割） 概念辨析例题：用简便方法计算102×98，正确的结果是（　　）A．9996　B．9998　C．10004　D．9994 答案：A 解析：102×98=(100+2)(100-2)=1002-22=10000-4=9996，故选A。 🧀 知识总结表 核心概念 公式/规律 注意事项 平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 一项相同一项相反 完全平方公式 (a±b)2=a2±2ab+b2 中间项是积的2倍 完全平方式 a2±2ab+b2 求m注意正负号 公式变形 a2+b2=(a±b)2∓2ab 灵活选用 简便计算 拆成和差形式套公式 先识别结构再计算 📩 核心考点 【考点1】平方差公式（第1-16题） · 判断两项是否一项相同一项相反 · 直接套用(a+b)(a-b)=a2-b2 · 符号与字母系数不要漏 1．（25-26八年级上·山西晋城·期中）从边长为的大正方形纸板的右下角剪去一个边长为的小正方形后，将其裁剪成两个完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个长方形（如图2），那么通过计算图1和图2中阴影部分的面积，可以验证的等式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积，熟练掌握平方差公式是解题关键．图1中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即为，图2中阴影部分的面积等于长为、宽为的长方形的面积，即为，由此即可得． 【详解】解：图1中阴影部分的面积为， 图2中阴影部分的面积为， 因为图1中和图2中阴影部分的面积相等， 所以可以验证的等式是， 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）图1是长为，宽为的一个长方形，将其进行分割，剪拼，得到如图2所示的大正方形．通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】根据题意，得拼成小正方形中与原来图形面积相等的是；结合原来是一个长为，宽为长方形，计算其面积，根据面积不变性质，建立等式解答即可． 本题考查了平方差公式的几何意义，及其应用，正确理解意义，灵活应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意，根据题意，得拼成小正方形中与原来图形面积相等的是；结合原来是一个长为，宽为长方形， 根据面积不变性质，建立等式得． 故选：D． 3．（21-22八年级上·辽宁盘锦·期末）将长为，宽为的一个长方形沿虚线剪去一个宽为的小长方形（阴影部分），得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图所示的图形，则从图到图可以解释的等式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查的知识点是平方差公式与几何图形，解题关键是熟练掌握图形变形前后的面积相等． 利用变形前后两个图形的面积相等，建立等式即可． 【详解】解：由图可得长为，宽为的长方形面积为； 由图可得两个长方形面积为， 从图到图可以解释的等式是． 故选：． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．30 D．36 【答案】B 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查代数式求值，配方法等．根据题意将原方程通过配方法转化为完全平方的形式，利用平方数的非负性确定x和y的值，进而求解的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴， 故选：B． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则m的值为（   ） A．6 B．9 C．3 D． 【答案】C 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是解题关键．利用完全平方公式展开，得到，即可求出m的值． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 6．（25-26七年级上·上海·期末）下列各式中能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式，平方差公式为，需找出可表示为两数和与两数差相乘的选项． 【详解】解：A、不能用平方差公式计算，不符合题意； B、符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，符合题意； C、不能用平方差公式计算，不符合题意； D、不能用平方差公式计算，不符合题意； 故选：B． 7．（25-26七年级上·上海闵行·阶段检测）下列代数式中，等于的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查完全平方公式．利用完全平方公式进行计算，即可得出结果． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项符合题意； 故选：D． 8．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如图的剪拼过程（由左向右）可以验证的公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用．解题的关键在于根据题意正确的表示面积．根据图形面积得出答案即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：A． 9．（24-25七年级上·上海闵行·期末）下列算式中，适合运用完全平方公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了完全平方公式， 先根据整式的乘法法则或公式计算，再根据完全平方公式的特征判断即可． 【详解】解：因为没有运用完全平方公式，所以A不符合题意； 因为没有运用完全平方公式，所以B不符合题意； 因为没有运用完全平方公式，所以C不符合题意； 因为运用完全平方公式，所以D符合题意． 故选：D． 10．（24-25七年级下·广东佛山·阶段检测）下列各式中能用平方差公式的计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】根据两个数的和乘以这两个数的差的标准去判断解答即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：A. ，式子中有四个不同的数，不符合公式要求的只有两个相同的数，不符合题意； B. ，都是差，没有两个数的和，不符合题意； C. ，符合要求；     D. 都是两个数的和的形式，不符合要求； 故选：C． 11．（24-25八年级上·重庆秀山·期末）如果对多项式“”进行因式分解的结果为，则“”中的数是（　　） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式成为解题的关键． 将给定的因式分解结果展开，与原多项式对比即可解答． 【详解】解：∵多项式“”进行因式分解的结果为， ∴“”中的数是2． 故选C． 12．（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）若、是方程的两个根，则的值为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式等知识点，掌握、是一元二次方程的两个根，则，成为解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系可得、，再根据完全平方公式可得，然后再整体代入计算即可． 【详解】解：∵、是方程的两个根， ∴、， ∴． 故选∶C． 13．（25-26八年级上·山东临沂·阶段检测）已知：，，，则代数式的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查完全平方公式：由的表达式可得它们之间的差值，再将所求代数式用完全平方公式变形，整体代入计算． 【详解】解： ， ∴原式． 故选：D． 14．（24-25九年级上·浙江·期中）已知，且，，都是大于1的数，若满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质、运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查不等式的性质，平方差公式的应用，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据，可得，又由于，，都是大于1的数，可得，，，进而得出，，，可得：，再根据完全平方公式可得，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，都是大于1的数， ∴，，， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵，，都是大于1的数， ∴． 故选：D． 15．（24-25七年级下·河北唐山·阶段检测）设，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用； ，由平方差公式和完全平方公式进行运算，即可求解；能熟练利用平方差公式和完全平方公式进行运算是解题的关键． 【详解】解： ， ， 故选：B． 16．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）若是一个完全平方式，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方公式，根据一次项等于二次项底数积的倍，列式即可求解，掌握完全平方公式 是解题的关键． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 故选：． 【考点2】完全平方公式（第17-30题） · 按首平方尾平方积的二倍展开 · 减法形式注意中间项符号 · 字母系数平方别漏 17．（24-25八年级上·河南周口·阶段检测）有下列计算：①；②；③；④；⑤.其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】计算多项式乘多项式、多项式除以单项式、运用完全平方公式进行运算、计算单项式乘单项式 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，利用单项式乘单项式法则、单项式乘多项式法则、多项式乘多项式法则、多项式除单项式法则、积的乘方法则、完全平方公式等知识点逐个计算得结论． 【详解】解：，故①运算错误； ，故②运算错误； ，故③运算正确； ，故④运算正确； ，故⑤运算错误； 综上所述，正确的有③④，一共2个． 故选：B． 18．（2025·河北沧州·模拟预测）将数字填入如图所示的图形中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于21，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记为A，B，C，且．已知交点处的三个圆圈填入的数字分别为x，y，． 结论Ⅰ：；结论Ⅱ：． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（   ） A．结论Ⅰ正确，结论Ⅱ不正确 B．结论Ⅰ不正确，结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、结论Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、结论Ⅱ都不正确 【答案】A 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、整式加减的应用 【分析】本题考查了整式的运算、完全平方公式以及有理数的乘方运算．解决本题的关键是理解x，y，这三个数每个都加了两次，并且能把凑成完全平方式． 根据x，y，这三个数每个都加了两次，三个圆上的数字之和应为63，1至9的和为45，可得；根据，1至9的平方和为285，通过配方，可得的值． 【详解】解：每个圆圈上的四个数字的和都等于21， 三个圆上的数字之和应为， 其中的x，y，这三个数每个都加了两次， ， ， ； 每个圆圈上的四个数字的平方和分别记A，B，C，且． ， ， ， 整理得， ， ， ， 综上可知，结论Ⅰ正确，结论Ⅱ不正确． 故选A． 19．（2023七年级下·浙江衢州·竞赛）已知，，，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查代数式的化简求值．本题可先根据已知条件求出的值，再将代数式进行变形，最后代入求值． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴原式； 故选：A． 20．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）已知， 则的值是（　　） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【知识点】运用完全平方公式进行运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，偶次方的非负性等，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．先将变形化为，即可得到，求出即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 21．（23-24七年级下·重庆北碚·期中）的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【知识点】乘方的应用、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，有理数的乘方．熟练掌握平方差公式进行运算是解题的关键． 由题意知， ，由，可知每4个3相乘为1个循环，由，可知的个位数字为9，然后作答即可． 【详解】解：由题意知， …… ， ∵， ∴每4个3相乘为1个循环， ∵， ∴的个位数字为9， 故选：D． 22．（2025·湖南邵阳·一模）化简：___________． 【答案】 【知识点】整式的混合运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式的化简，熟练掌握运算法则是解题关键 先根据完全平方公式去括号，再计算加减即可 【详解】解： 故答案为： 23．（25-26七年级下·山东青岛·期中）设，，则M与N的大小关系是M___________N（填“>”、“<”或“=”） 【答案】= 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】根据平方差公式和完全平方公式将与化简，再进行比较即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴． 24．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段检测）某农场为了鼓励学生集体到农场去参加劳动，许诺学生到农场劳动后，每人将得到与参加劳动人数数量相等的苹果，第一天去农场参加劳动的学生有a人，第二天有人，这两天农场共送出 ____________个苹果． 【答案】 【知识点】整式的混合运算、列代数式 【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算的应用，根据题意列出代数式，结合整式的混合法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：（个）， 故答案为：． 25．（23-24八年级上·全国·单元测试）______ 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的特点是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 26．（23-24八年级下·山东滨州·阶段检测）若，则__________． 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式，以及数学的整体思想，将变形为，将看作一个整体，再结合完全平方公式求解，即可解题． 【详解】解： ． 故答案为：． 27．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）已知，那么代数式的值为______． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了求代数式的值、平方差公式的应用，由题意可得，再利用平方差公式将所求式子变形为，整体代入计算即可得解，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 28．（24-25七年级下·江苏南京·阶段检测）若是完全平方式，则常数m的值为___________． 【答案】4 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键；根据完全平方式得出，即可求出答案． 【详解】解：是完全平方式， ， ， 故答案为：4． 29．（25-26六年级下·全国·课后作业）如图所示，圆环形绿地的面积是__________（结果保留）． 【答案】 【知识点】圆环的面积、运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了圆的面积公式及平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．利用圆的面积公式可得：圆环形绿地的面积是，再运用平方差公式计算即可． 【详解】解：圆环形绿地的面积是， ， ． 故答案为：． 30．（23-24七年级下·四川成都·期末）如果是一个完全平方式，那么的值是__________． 【答案】或 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】根据完全平方式的特征进行计算，即可解答．本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的特征是解题的关键． 【详解】解：是一个完全平方式， ， ， ， ， 解得：或， 故答案为： 或． 【考点3】公式变形与图形验证（第31-42题） · 已知两平方项求中间项系数 · a2+b2与(a+b)2互化 · 图形面积验证公式 31．（25-26六年级下·全国·课后作业）利用完全平方公式计算：__________． 【答案】1 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查完全平方公式的应用，将原式识别为完全平方公式的形式，从而简化计算． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为 1． 32．（2025·陕西咸阳·三模）计算：_______． 【答案】/ 【知识点】整式的加减运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题关键是熟记整式运算法则，准确进行计算． 根据整式运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 33．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段检测）图1是长为，宽为的一个长方形，将其进行分割，剪拼，得到如图2所示的大正方形．通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是_______． 【答案】 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于长方形的面积解答即可． 本题考查了图形面积的不同表示，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得大正方形的面积减去小正方形的面积等于长方形的面积， 故． 故答案为：． 34．（24-25七年级下·四川成都·期末）若与 的乘积中不含x的二次项，则m的值为____________． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键，利用多项式乘以多项式法则计算，由结果不含的二次项确定出的值即可． 【详解】解：由题意得， ； 由结果中不含的二次项，得到， 解得：， 故答案为：． 35．（2025·湖南长沙·一模）已知，，则__________． 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式与完全平方公式．熟练掌握平方差公式与完全平方公式是解题的关键． 先利用平方差公式求出的值，再根据完全平方公式求出的值即可． 【详解】解：设， 则 ， 则， ， ， 则， ， ， ． 故答案为：． 36．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，分别表示边长为的正方形的面积，且三点在一条直线上，若，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景．完全平方公式为：，，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．由已知可得：，，然后利用完全平方公式进行变形即可解答． 【详解】解： ， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积为： ． 图中阴影部分的面积为：． 故答案为：． 37．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）已知，则m的值为________． 【答案】1 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． 先根据完全平方公式得到，再解方程即可． 【详解】解： 解得：， 故答案为：． 38．（24-25七年级下·江苏常州·期中）已知将代数式展开后得，则的值为______． 【答案】或5 【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用平方根解方程 【分析】本题考查了完全平方公式：、利用平方根解方程，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先根据完全平方公式可得，则可得，再利用平方根解方程可得，然后求出的值，代入计算即可得． 【详解】解：， ∵将代数式展开后得， ∴， ∴， 当时，，则； 当时，，则； 综上，的值为或5， 故答案为：或5． 39．（25-26九年级上·重庆长寿·期中）若，则的值为________． 【答案】9 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式，非负数的性质，掌握完全平方公式的结构特征是解题关键．将给定方程整理后，通过完成平方得到关于x和y的平方和为零，从而求出x和y的值，再代入表达式求值． 【详解】解：， ， ， ， ，， ，， ， 故答案为：9． 40．（24-25七年级下·安徽合肥·开学考试）若，，则的值为 _____． 【答案】4 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】此题考查了完全平方公式，代数式求值．将第一个等式左边利用完全平方公式展开，将的值代入计算即可求出的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：4． 41．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，四边形与四边形都是正方形，且在上，连接、、、．若正方形的面积为21，正方形的面积为3，则阴影部分的总面积为__________． 【答案】9 【知识点】平方差公式与几何图形、运用平方差公式进行运算、因式分解的应用 【分析】设正方形的边长为，正方形的边长为，则，再根据梯形的面积公式，结合平方差公式求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则， 又阴影部分为梯形和梯形， 则总面积 ． 42．（24-25七年级下·山东聊城·期末）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲中阴影部分的面积为3，图乙中新构造的大正方形面积为27，则图乙中阴影部分面积为______． 【答案】12 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数量关系． 根据设正方形和的边长为和可得和，两式相减可得 ，据此求解． 【详解】设正方形和的边长分别为和， 所以图甲阴影部分面积为：，即①， 图乙中新构造的大正方形面积为：，即②， ②-①，得，即， ∴图乙阴影部分面积为：． 故答案为：12． 【考点4】化简求值与阅读探究（第43-52题） · 先化简再代入求值 · 连续套用两个公式 · 阅读材料找规律再计算 43．（23-24七年级下·山西晋中·期中）图1为某校六（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示六（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则____________． 【答案】16 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】根据，得到，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∵，， ∴， ∴． 44．（24-25八年级上·山西大同·期末）若是一个完全平方式，则m的值为_______． 【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题主要查了完全平方公式．根据完全平方公式的特征解答即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式，且二次项系数为1， ∴， 故答案为：． 45．（24-25七年级下·全国·课后作业）填空： （1）( )___ ；         （2）________; （3）____ ; （4）___________ 【答案】 x a 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式成为解题的关键． 根据完全平方公式解答即可． 【详解】解：（1）；         （2）； （3）；      （4）． 故答案为：（1）x，；（2），；（3）；（4）a，，． 46．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）的个位数字为________． 【答案】9 【知识点】运用平方差公式进行运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了利用平方差公式计算，有理数的乘方运算．先利用平方差公式计算，化简算式得到，再分析的个位数字规律，最后确定整个表达式的个位数字． 【详解】解： ， ∵，，，，，… ∴（为正整数）的个位数字以3，9，7，1，四个数为一循环， ， ∴的个位数字为1， ∴的个位数字为9， 故答案为：9． 47．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知：，，则、的大小关系是__________. 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式的应用； 利用平方差公式对M，N进行变形，然后计算出，可得答案． 【详解】解：∵ ； ； ∴ ， ∴， 故答案为：． 48．（24-25七年级下·全国·课后作业）模型观念 如图①所示，从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的梯形，然后拼成一个平行四边形（如图②所示）． （1）图①中阴影部分的面积是____． （2）图②中拼成的平行四边形的底边长是____，对应的高是___（注意观察图①），所以平行四边形的面积是______． （3）因为①，②两个图形中阴影部分的面积相等，所以可以发现等式：___，这就是平方差公式． 【答案】 【知识点】平方差公式与几何图形、列代数式 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景及图形面积的计算，解题的关键是通过计算两种不同图形的面积，建立等式，从而推导出平方差公式． （1）用大正方形面积减去小正方形面积，得到图①阴影部分的面积； （2）观察图形，确定图②中平行四边形的底边长和高，再用底乘高计算其面积； （3）根据两个图形中阴影部分面积相等，列出等式，推导出平方差公式． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解：底边长为；对应的高为； 故答案为：；；． （3） 故答案为：． 49．（2025·江苏连云港·模拟预测）新定义：对于一个给定的正整数，如果它可以表示为两个连续奇数的平方差，并且这两个连续奇数的和恰好是某个正整数的平方，则称为“差方数”． 例如：，且，所以是“差方数”． 则第个“差方数”是______． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了平方差公式、“差方数”，设两个连续奇数为 和 ，其中 为正整数，根据差方数的定义可知，其中为偶数，为整数，根据“差方数”的定义可知，当时，代入求出第个“差方数”即可． 【详解】解：设两个连续奇数为 和 ，其中 为正整数， 则平方差为 ，即 ， 两个连续奇数的和为 ，且必须为某个正整数的平方， 设 ，则 ， 为整数， 必须为偶数， 令，则 ， 代入得 ， “差方数”为 ，其中 为正整数， 第个“差方数”对应， 即 ． 50．（24-25七年级下·陕西西安·期末）一个底面是正方形的长方体，高为，底面正方形边长为，如果它的高不变，底面正方形边长增加了，那么它的体积增加了多少？ 【答案】增加了 【知识点】整式的加减运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式混合运算的应用，涉及完全平方公式，长方体变化后的高为，底面边长为，根据长方体的体积公式求解，分别用整式表示两个长方体的体积，再求差，即可得到体积增加的值．熟练掌握整式混合运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， 答：它的体积增加了． 51．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）试说明：代数式的值与的取值无关． 【答案】 证明： ， ∴原式的值是一个常数，它的值与的取值无关． 【知识点】运用平方差公式进行运算、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查平方差公式，单项式乘多项式，合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用平方差公式，单项式乘多项式，合并同类项法则计算后即可得出结论． 【详解】略 52．（24-25八年级上·河南新乡·期末）观察下列等式，并回答问题 ， ， ， ， …… (1)将2028写成两整数平方差的形式： ________________ (2)用含有字母（的整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律． 【答案】(1)507；； (2)；验证： 右边 ． 即左边右边， 这一规律成立． 【知识点】运用平方差公式进行运算、数字类规律探索、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查了找规律，用代数式表示，整式的运算，解题的关键是整理题目给出的规律． （1）利用题意得到，根据进行整理，即可解题； （2）根据题中等式进行归纳即可表示出该规律，再利用整式的运算法则即可验证． 【详解】（1）解：由题中等式可知，（为正整数）， ， ． （2）解：由题中等式可知，这一规律为： 课后巩固 【作业 1】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： 【答案】1 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查的是完全平方公式；根据完全平方公式计算即可解答． 【详解】解：原式 ． 【作业 2】（24-25七年级下·山东青岛·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了整式的化简与求值、平方差公式，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．先利用平方差公式和整式的运算法则化简，再代入的值计算即可． 【详解】解： ， 代入，原式． 【作业 3】（25-26八年级上·安徽安庆·开学考试）先化简，后求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】根据平方差公式，完全平方公式，正确化简后转化为代数式的值计算即可． 本题考查了整式的化简求值，正确化简是解题的关键． 【详解】解： 当时， 原式． 【作业 4】（25-26七年级下·全国·课后作业）利用平方差公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）将写成，写成，再利用平方差公式计算即可； （2）将写成，写成，再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【作业 5】（25-26八年级上·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了整式的化简求值．用完全平方公式和平方差公式展开，合并同类项，代入a，b的值即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式． 【作业 6】（24-25七年级下·广东梅州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的化简与求值，掌握乘法公式及整式的各运算法则是解题的关键． 先根据完全平方公式和平方差公式去括号，再合并同类项化简后，代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【作业 7】（2025八年级上·全国·专题练习）对于正整数，整式是不是10的倍数？请说明理由． 【答案】 解：对于正整数，整式是10的倍数．理由如下： ． 对于正整数，整式是10的倍数． 【知识点】整式的加减运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，正确的运算是解题的关键． 利用平方差公式把整式化简，化简后的式子中只要含有因数10即可． 【详解】略 【作业 8】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式的计算是否正确？如果不正确，请改正过来． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) 不正确，改正为： (2) 不正确，改正为： (3) 不正确，改正为： (4) 不正确，改正为： 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查完全平方公式的计算，熟练掌握完全平方公式是解题关键；直接用完全平方公式对每小题的计算进行判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴计算不正确，改正为：； （2）解：∵， ∴计算不正确，改正为：； （3）解：∵ ， ∴计算不正确， 改正为：； （4）解：∵ ， ∴ 计算不正确，改正为：． 【作业 9】（25-26八年级上·云南昆明·期末）请阅读下列材料并解答问题： 材料一：若，求的值． 解：设，则 我们解决上述问题的这种方法叫做换元法，利用换元法将式子转化为更简单的形式． 材料二：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个小正方形和长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证公式． 解决问题： (1)已知，求的值 (2)如图②，点是线段上一点，以为边向两侧作正方形和正方形，面积分别是和．若，求出的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题包含两个小题，均考查完全平方公式的应用与换元法的结合． （1）通过换元将代数式转化为完全平方公式的形式，利用已知条件求解； （2）通过设边长，结合完全平方公式求出乘积，进而计算三角形面积． 【详解】（1）解：设，，则， 且． 由完全平方公式，， 因此； （2）解：设，，则，，，故． 由完全平方公式，，代入得，解得． 在中，，， 因此的面积为． 【作业 10】（2025八年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】，18 【知识点】整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、绝对值非负性 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，平方的非负性，绝对值的非负性，灵活应用完全平方公式和平方差公式进行化简是解题的关键．先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再根据，求出，最后将的值代入化简后的式子即可求解． 【详解】解：原式 ． ，即， ， ， 原式 ． 【作业 11】（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）阅读下列材料：某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：．他很受启发．后来在求时，联想到“凑成”平方差公式，改造此法：将乘积式前面乘1，并且把1写成得： ． 解答问题： (1)计算：； (2)化简：． 【答案】(1) (2)当时，原式，当时，原式 【知识点】同底数幂相乘、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，同底数幂的乘法，平方差公式的应用，弄清题中的规律是解题的关键． （1）先整理，则原式为，再利用题中的规律进行计算，即可作答． （2）进行分类讨论，当或两种情况，利用题中的规律计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：当时， 原式 当时， 原式 ． 综上：当时，原式，当时，原式． 【作业 12】（25-26七年级下·全国·课后作业）利用完全平方公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】解题思路是将原式中的数变形为整十/整百数与一个较小数的和或差，再利用完全平方公式展开计算，熟练掌握公式即可得到正确结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【作业 13】（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、零指数幂、整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查了整式的化简求值、完全平方公式、平方差公式，首先利用完全平方公式和平方差公式把括号中的式子展开，再根据合并同类项的法则合并同类项，可得：原式，再利用多项式除以单项式的法则把多项式化简，把字母的值代入化简后的代数式中计算求值． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 【作业 14】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键． （1）（2）（3）直接利用完全平方公式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【作业 15】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段检测）探究代数式的最小值时，我们可以这样处理： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题： (1)当________时，有最小值是________； (2)多项式有最________（填“大”或“小”）值，该值为________； (3)已知，求的最小值； 【答案】(1)， (2)大， (3)的最小值是． 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）化成完全平方公式和的形式计算即可； （2）化成完全平方公式和的形式计算即可； （3）把原式化成再利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ∵ ∴当时，的值最小，最小值是0． ∴． ∴当时，的值最小，最小值是． ∴的最小值是． 故答案为：，； （2）解： ∵， ∴当时，的值最大，最大值是0． ∴． ∴当时，的值最大，最大值是． 故答案为：大，； （3）解：∵， ， ∴， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0． ∴． ∴当时，的值最小，最小值是． ∴的最小值是． 【作业 16】（25-26八年级上·新疆和田·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】多项式除以单项式、运用完全平方公式进行运算、计算单项式除以单项式、计算单项式乘单项式 【分析】本题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． （）先进行乘方运算，再进行乘除运算即可； （）根据多项式除以单项式的运算法则计算即可； （）先进行乘方运算，再进行括号内的加减运算，最后进行除法运算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【作业 17】（25-26八年级上·全国·随堂练习）先阅读下列例题： 课后巩固 🍬 复习建议 · 平方差公式要求一项相同、一项互为相反数 · 完全平方公式展开后是三项，中间项为积的2倍 · 完全平方式求字母系数注意正负两种可能 · 简便计算先把数拆成两数和与两数差 · 化简求值先展开合并再代入，避免先代后错 【作业 1】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： 【答案】1 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查的是完全平方公式；根据完全平方公式计算即可解答． 【详解】解：原式 ． 【作业 2】（24-25七年级下·山东青岛·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了整式的化简与求值、平方差公式，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．先利用平方差公式和整式的运算法则化简，再代入的值计算即可． 【详解】解： ， 代入，原式． 【作业 3】（25-26八年级上·安徽安庆·开学考试）先化简，后求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】根据平方差公式，完全平方公式，正确化简后转化为代数式的值计算即可． 本题考查了整式的化简求值，正确化简是解题的关键． 【详解】解： 当时， 原式． 【作业 4】（25-26七年级下·全国·课后作业）利用平方差公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）将写成，写成，再利用平方差公式计算即可； （2）将写成，写成，再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【作业 5】（25-26八年级上·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了整式的化简求值．用完全平方公式和平方差公式展开，合并同类项，代入a，b的值即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式． 【作业 6】（24-25七年级下·广东梅州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的化简与求值，掌握乘法公式及整式的各运算法则是解题的关键． 先根据完全平方公式和平方差公式去括号，再合并同类项化简后，代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【作业 7】（2025八年级上·全国·专题练习）对于正整数，整式是不是10的倍数？请说明理由． 【答案】 解：对于正整数，整式是10的倍数．理由如下： ． 对于正整数，整式是10的倍数． 【知识点】整式的加减运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，正确的运算是解题的关键． 利用平方差公式把整式化简，化简后的式子中只要含有因数10即可． 【详解】略 【作业 8】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式的计算是否正确？如果不正确，请改正过来． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) 不正确，改正为： (2) 不正确，改正为： (3) 不正确，改正为： (4) 不正确，改正为： 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查完全平方公式的计算，熟练掌握完全平方公式是解题关键；直接用完全平方公式对每小题的计算进行判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴计算不正确，改正为：； （2）解：∵， ∴计算不正确，改正为：； （3）解：∵ ， ∴计算不正确， 改正为：； （4）解：∵ ， ∴ 计算不正确，改正为：． 【作业 9】（25-26八年级上·云南昆明·期末）请阅读下列材料并解答问题： 材料一：若，求的值． 解：设，则 我们解决上述问题的这种方法叫做换元法，利用换元法将式子转化为更简单的形式． 材料二：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个小正方形和长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证公式． 解决问题： (1)已知，求的值 (2)如图②，点是线段上一点，以为边向两侧作正方形和正方形，面积分别是和．若，求出的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题包含两个小题，均考查完全平方公式的应用与换元法的结合． （1）通过换元将代数式转化为完全平方公式的形式，利用已知条件求解； （2）通过设边长，结合完全平方公式求出乘积，进而计算三角形面积． 【详解】（1）解：设，，则， 且． 由完全平方公式，， 因此； （2）解：设，，则，，，故． 由完全平方公式，，代入得，解得． 在中，，， 因此的面积为． 【作业 10】（2025八年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】，18 【知识点】整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、绝对值非负性 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，平方的非负性，绝对值的非负性，灵活应用完全平方公式和平方差公式进行化简是解题的关键．先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再根据，求出，最后将的值代入化简后的式子即可求解． 【详解】解：原式 ． ，即， ， ， 原式 ． 【作业 11】（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）阅读下列材料：某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：．他很受启发．后来在求时，联想到“凑成”平方差公式，改造此法：将乘积式前面乘1，并且把1写成得： ． 解答问题： (1)计算：； (2)化简：． 【答案】(1) (2)当时，原式，当时，原式 【知识点】同底数幂相乘、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，同底数幂的乘法，平方差公式的应用，弄清题中的规律是解题的关键． （1）先整理，则原式为，再利用题中的规律进行计算，即可作答． （2）进行分类讨论，当或两种情况，利用题中的规律计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：当时， 原式 当时， 原式 ． 综上：当时，原式，当时，原式． 【作业 12】（25-26七年级下·全国·课后作业）利用完全平方公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】解题思路是将原式中的数变形为整十/整百数与一个较小数的和或差，再利用完全平方公式展开计算，熟练掌握公式即可得到正确结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【作业 13】（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、零指数幂、整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查了整式的化简求值、完全平方公式、平方差公式，首先利用完全平方公式和平方差公式把括号中的式子展开，再根据合并同类项的法则合并同类项，可得：原式，再利用多项式除以单项式的法则把多项式化简，把字母的值代入化简后的代数式中计算求值． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 【作业 14】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键． （1）（2）（3）直接利用完全平方公式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【作业 15】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段检测）探究代数式的最小值时，我们可以这样处理： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题： (1)当________时，有最小值是________； (2)多项式有最________（填“大”或“小”）值，该值为________； (3)已知，求的最小值； 【答案】(1)， (2)大， (3)的最小值是． 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）化成完全平方公式和的形式计算即可； （2）化成完全平方公式和的形式计算即可； （3）把原式化成再利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ∵ ∴当时，的值最小，最小值是0． ∴． ∴当时，的值最小，最小值是． ∴的最小值是． 故答案为：，； （2）解： ∵， ∴当时，的值最大，最大值是0． ∴． ∴当时，的值最大，最大值是． 故答案为：大，； （3）解：∵， ， ∴， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0． ∴． ∴当时，的值最小，最小值是． ∴的最小值是． 【作业 16】（25-26八年级上·新疆和田·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】多项式除以单项式、运用完全平方公式进行运算、计算单项式除以单项式、计算单项式乘单项式 【分析】本题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． （）先进行乘方运算，再进行乘除运算即可； （）根据多项式除以单项式的运算法则计算即可； （）先进行乘方运算，再进行括号内的加减运算，最后进行除法运算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【作业 17】（25-26八年级上·全国·随堂练习）先阅读下列例题： 已知，求和的值．解：把等式左边变形， 得，即． 因为，所以，即．仿照以上解法，解答下列问题． (1)无论取何值，多项式的值总是（   ） A．正数    B．负数    C．非正数    D．非负数 (2)已知的三边长分别为，且，则为 三角形； (3)已知，求和的值． 【答案】(1)A (2)等腰 (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，平方和算术平方根的非负性，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）将式子利用完全平方公式变形，再根据平方的非负性得出结果即可； （2）将式子利用完全平方公式变形，再根据平方和算术平方根的非负性求出a、b、c的值，即可解答； （3）将式子利用完全平方公式变形，再根据平方的非负性求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， 又 ∵， ， ∴值总是正数， 故选：A． （2）解：， ， 即， ， ， ， 是等腰三角形． （3）解：， ， ， ， ． 【作业 18】（24-25七年级下·全国·课后作业）观察下列各式： ； ； ； … (1)根据前面的规律可求得________（其中为正整数）． (2)根据上述规律求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了平方差公式、多项式乘多项式及其规律问题等知识点，认真观察各式、归纳出规律是解题的关键． （1）由已知等式可得出x的指数为即可解答； （2）将所求代数式乘以，再根据（1）的规律计算即可． 【详解】（1）解：； ； ； …… ． 故答案为：． （2）解： ． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $