精品解析：云南大学附属中学星耀喻昭学校2026-2027学年上学期期中考试九年级数学试卷

云南大学附属中学星耀喻昭学校2026-2027学年上学期期中考试 九年级数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：100分） 诚信誓言：我以我的荣誉起誓，在本次考试中，诚实守信，成绩真实． 一、选择题（本大题共15题，每题2分，共30分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各选项分析判断即可． 【详解】解：A．图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意， B．图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意， C．图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意， D．图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意． 2. 已知是方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 解得：． 3. 若，两点都在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出反比例函数的解析式，再将代入反比例函数的解析式计算即可得出结果． 【详解】解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数得． 4. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移法则即可解决问题． 【详解】解：将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为，即． 5. 亮亮用配方法求解一元二次方程，其步骤如下： 解：原方程变形为． ① ，即． ② ． ③ ，． ④ 在进行最终验算时，发现所得结果有误，上面计算步骤出现错误的步骤是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据用配方法求解一元二次方程的步骤解答即可； 【详解】解：步骤①将常数项移到等号右侧，得到，变形正确； 步骤②，给左侧加1凑完全平方，根据等式的性质，右侧的4也必须同步加1，才能保证等式成立，但亮亮只给左侧加了1，右侧没有加，错误得到，实际正确结果应该是，所以出错的是步骤②； 步骤③、④都是基于步骤②的错误推导的连锁结果，但最初的错误出在步骤②． 6. 如图，把绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余的性质，根据旋转的性质可得，，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 【详解】解：绕点逆时针旋转，得到， ，， ， ． 故选：A． 7. 如图，是的弦，半径于点．若，，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】连接，由垂径定理可得，再由勾股定理可得，最后根据即可求出． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， ∵是的弦，半径， ∴， ∴， ∴． 8. 我国北宋文人欧阳修的名言“立身以立学为先，立学以读书为本”道出了读书修身的重要意义．为了鼓励全民阅读，安徽某图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆3000人次，第三个月进馆4320人次，设进馆人次的月平均增长率为x，则下列选项中符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均增长率的等量关系，列出方程即可. 【详解】解：由题意，得. 9. 已知抛物线上有三个点，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵抛物线上有三个点，，， ∴，，， ∴． 10. 如图，已知四边形内接于，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为四边形内接于，所以根据圆内接四边形对角互补的性质，可求出的度数．因为是对应的圆心角，是对应的圆周角，所以根据圆周角定理，可得到与的数量关系，进而求出的大小． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴  ∴  11. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与一次函数的图象特点逐一排除即可． 【详解】解：根据二次函数的图象与一次函数的图象性质逐项分析判断如下： A、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； B、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，符合题意； C、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； D、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意． 12. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数是常数，与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点A坐标为，根据反比例函数图象的中心对称性质得点B坐标为，再根据计算即可． 【详解】解：设点A坐标为， ∵点A与点B关于原点对称， ∴点B坐标为， ∴， 即的面积为1． 13. 关于的一元二次方程有实数根，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义，二次项系数，一元二次方程有实数根即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴， ∵一元二次方程有实数根， ∴， 整理得， ， ∴且． 14. 如图，在地面上的A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与点A的水平距离为处达到最高点C，点C距离地面的高度为，水柱落地点D到A处的距离为，则水管的顶端B距地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，得到，设抛物线的解析式为，将代入求出函数解析式，进而求出时的函数值即为的长． 【详解】解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，如图所示： 则：， 设抛物线的解析式为， 将代入，得：， 解得， ∴， 当时，， ∴高度为． 15. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④当时，x的值只能为0；⑤，其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线开口方向、对称轴及与坐标轴交点确定系数关系，代入特殊值验证． 【详解】解：由图象可得，抛物线开口向上，则， ∵对称轴为直线 ， ∴， ∴， 故①错误； ∵， ∴， 故③正确； 当时，图象在轴下方， ∴， 故②错误； ∵抛物线过点，对称轴为， ∴点关于对称轴的对称点为， ∴当时，或， 故④错误； 当 时，， 将代入得 ，即， ∴， ∵， ∴， 故⑤正确； 综上，正确的结论有2个． 二、填空题（本大题共4题，每题2分，共8分） 16. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值是___________． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴， ． 17. “杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用，如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想使动力不超过，则动力臂至少需要_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意和图象中的数据，可以计算出阻力和阻力臂的函数关系式，然后根据动力动力臂阻力阻力臂，即可得到动力臂的最小值． 【详解】解：阻力和阻力臂的函数关系式为， ∵点在该函数图象上， ∴， 解得， ∴阻力和阻力臂的函数关系式为， ∴， ∵， ∴当时，， ∴小明想使动力不超过，则动力臂需满足， ∴动力臂至少需要． 18. 若m、n是方程的两个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】已知m、n是一元二次方程的两个根，可借助根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入目标代数式完成计算． 【详解】解：∵ 一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为5，常数项为， ∴ 根据根与系数的关系，两根之和，两根之积， 将上述值代入所求代数式，可得：． 19. 草编是我国传统手工艺，以草本植物为原料，手艺人就地取用玉米皮、席草、麦秸等材料，运用编、结、辫、扣等技法，制作草帽、草篮、草席等生活用品与各式草编饰品．其品类丰富、做工精良，风格朴素雅致，兼具实用与美观，长久畅销海内外．如图，小涵决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的圆锥形草帽，粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．请帮助小涵计算所需扇形卡纸的面积为_______ ． (结果含π) 【答案】 【解析】 【分析】先由圆锥母线长和高，用勾股定理求出底面半径；再计算底面周长（即扇形弧长）；最后根据弧长公式列方程求解圆心角，再由扇形面积公式即可求解． 【详解】解：由圆锥母线长、高，得底面半径为， 底面周长为， 扇形弧长公式为， 化简得， 解得， ∴扇形卡纸的圆心角的度数为， ∴面积为：． 三、解答题（本大题共8题，共62分） 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）移项后，利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解： 移项得， 因式分解得，，即， ∴或， 解得，． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，， （1）将平移，使点A移动到点，请画出； （2）作出关于O点成中心对称的； （3）作出绕点O顺时针旋转90°的． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：将平移，使点A移动到点， ∵，， ∴将向左平移4个单位长度，向下平移2个单位长度，得到； 【小问2详解】 解：的三个顶点坐标分别为，，， 关于O点成中心对称的对称点分别为：，，， 从而得到； 【小问3详解】 解：的三个顶点坐标分别为，，， 绕点O顺时针旋转90°的点分别为：，，， 从而得到． 22. 如图所示，是圆O的一条弦，是圆O直径，，垂足为E． （1）若，求的度数； （2）若，，求圆O的半径长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由垂径定理得到，则，再由圆周角定理可得答案； （2）设圆O的半径为r，则，，由垂径定理可得，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵是圆O的一条弦，是圆O直径，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设圆O的半径为r，则，， ∵是圆O的一条弦，是圆O直径，， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴圆O的半径为． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）结合函数图象，则的x的取值范围为___________________； （3）连接，，则的面积为___________． 【答案】（1）； （2）或 （3）8 【解析】 【分析】（1）把代入，求得，得到；再把代入，得到，最后把，代入求解即可； （2）直线在双曲线上方时交点的横坐标的取值范围即为不等式的解集； （3）先求出直线与y轴的交点坐标，再求面积即可． 【小问1详解】 解：把代入，得， ， 反比例函数的解析式是； 把代入，得， ， 把，代入， 得， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：， ， 结合函数图象可知，不等式的解为或； 【小问3详解】 解：设直线与y轴相交于点C， 令，则， ， 的面积为． 24. 如图所示，以平行四边形的顶点为圆心，为半径作圆，分别交，于点，，延长交于点． （1）求证：； （2）连接，若四边形是菱形，，则阴影部分的面积为__________． 【答案】（1）证明：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质证得，，再通过等腰三角形的性质得到，从而证得，然后由圆心角定理证得； （2）作于，利用菱形的性质可得，是等边三角形，得到，通过等腰三角形的性质结合勾股定理得到，然后通过求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，作于， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ． 25. 中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．今年中秋节期间，某商家以50元/盒的价格购进一批某品牌月饼．在销售中，该商家发现售价定为80元/盒时，每天可售出100盒；每盒的售价每降低1元时，每天可多售出5盒，设该品牌月饼售价降低元时，商家每天销售该品牌月饼的利润为元． （1）要使每天销售该品牌月饼的利润为3120元，为了尽快减少库存，每盒月饼的售价应定为多少元？ （2）每盒月饼的售价定为多少元时，每天销售该月饼获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）每盒月饼的售价应定为74元； （2）当售价为元时，每天销售该月饼获得利润最大，为3125元． 【解析】 【分析】（1）根据总利润等于每盒利润乘以销量，列出函数关系式，令，求出的值，即可； （2）利用二次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：由题意，； 当时， 解得， ∵尽快减少库存， ∴，此时售价为（元）； 答：每盒月饼的售价应定为74元； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的开口向下，当时，函数有最大值为； 故当售价为元时，每天销售该月饼获得利润最大，为3125元． 26. 已知抛物线经过点，且当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．设m是抛物线与x轴交点的横坐标． （1）求该抛物线的对称轴和解析式； （2）求代数式的值． 【答案】（1）抛物线的对称轴为直线，解析式为 （2）代数式的值为 【解析】 【分析】（1）利用对称轴和点的坐标求解析式即可； （2）利用抛物线与轴的交点方程，通过代数变形整体代入求值． 【小问1详解】 解：抛物线经过点， 代入得，即， 又当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 对称轴为即， ， 该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：是抛物线与轴交点的横坐标， ， 两边除以得， ， 方程两边除以得，即， ， ， ， ， ． 27. 如图①，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图②，连接，点E是第四象限内抛物线上的动点，过点E作于点F，轴交于点G，求面积的最大值及此时点E的坐标； 【答案】（1） （2）解：存在，；理由如下， 点A关于抛物线的对称轴的对称点为点B，连接，交对称轴于点M，连接， ∴， ∴此时的值最小，即的周长最小， 令，则， ， 设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 令，则， ， （3）面积的最大值为，点E的坐标为 【解析】 【分析】（1）把，代入求解即可； （2）点A关于抛物线的对称轴的对称点为点B，连接，交对称轴于点M，连接，此时的值最小，即的周长最小，再求出直线的解析式为，根据点M在对称轴上，即可求得答案； （3）设点E的坐标为，则，再证明是等腰直角三角形，可进一步求得，最后根据二次函数的图象与性质，即可求得答案． 【小问1详解】 解：把，代入， 得， 解得， 抛物线的解析式是； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设点E的坐标为， 轴交于点G， ， ， 在中，， ， 轴， ， ， ， ， ， 整理得， 当时，取得最大值，此时面积取得最大值，最大值为， 当时，， 此时点E的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南大学附属中学星耀喻昭学校2026-2027学年上学期期中考试 九年级数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：100分） 诚信誓言：我以我的荣誉起誓，在本次考试中，诚实守信，成绩真实． 一、选择题（本大题共15题，每题2分，共30分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 已知是方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 若，两点都在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 亮亮用配方法求解一元二次方程，其步骤如下： 解：原方程变形为． ① ，即． ② ． ③ ，． ④ 在进行最终验算时，发现所得结果有误，上面计算步骤出现错误的步骤是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 6. 如图，把绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的弦，半径于点．若，，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 8. 我国北宋文人欧阳修的名言“立身以立学为先，立学以读书为本”道出了读书修身的重要意义．为了鼓励全民阅读，安徽某图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆3000人次，第三个月进馆4320人次，设进馆人次的月平均增长率为x，则下列选项中符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线上有三个点，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知四边形内接于，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 11. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数是常数，与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 13. 关于的一元二次方程有实数根，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 且 D. 且 14. 如图，在地面上的A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与点A的水平距离为处达到最高点C，点C距离地面的高度为，水柱落地点D到A处的距离为，则水管的顶端B距地面的高度为（ ） A. B. C. D. 15. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④当时，x的值只能为0；⑤，其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共4题，每题2分，共8分） 16. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值是___________． 17. “杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用，如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想使动力不超过，则动力臂至少需要_______． 18. 若m、n是方程的两个根，则________． 19. 草编是我国传统手工艺，以草本植物为原料，手艺人就地取用玉米皮、席草、麦秸等材料，运用编、结、辫、扣等技法，制作草帽、草篮、草席等生活用品与各式草编饰品．其品类丰富、做工精良，风格朴素雅致，兼具实用与美观，长久畅销海内外．如图，小涵决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的圆锥形草帽，粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠．请帮助小涵计算所需扇形卡纸的面积为_______ ． (结果含π) 三、解答题（本大题共8题，共62分） 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，， （1）将平移，使点A移动到点，请画出； （2）作出关于O点成中心对称的； （3）作出绕点O顺时针旋转90°的． 22. 如图所示，是圆O的一条弦，是圆O直径，，垂足为E． （1）若，求的度数； （2）若，，求圆O的半径长． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）结合函数图象，则的x的取值范围为___________________； （3）连接，，则的面积为___________． 24. 如图所示，以平行四边形的顶点为圆心，为半径作圆，分别交，于点，，延长交于点． （1）求证：； （2）连接，若四边形是菱形，，则阴影部分的面积为__________． 25. 中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．今年中秋节期间，某商家以50元/盒的价格购进一批某品牌月饼．在销售中，该商家发现售价定为80元/盒时，每天可售出100盒；每盒的售价每降低1元时，每天可多售出5盒，设该品牌月饼售价降低元时，商家每天销售该品牌月饼的利润为元． （1）要使每天销售该品牌月饼的利润为3120元，为了尽快减少库存，每盒月饼的售价应定为多少元？ （2）每盒月饼的售价定为多少元时，每天销售该月饼获得利润最大？最大利润是多少？ 26. 已知抛物线经过点，且当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．设m是抛物线与x轴交点的横坐标． （1）求该抛物线的对称轴和解析式； （2）求代数式的值． 27. 如图①，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图②，连接，点E是第四象限内抛物线上的动点，过点E作于点F，轴交于点G，求面积的最大值及此时点E的坐标； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $