专题06 直线与圆 动态最值与综合 压轴题专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题06 动态最值与综合 直线与圆 · 章级培优　压轴题专项训练 解题通法 题型归纳 题型一、圆上点到直线与定点的距离 题型二、弦长的最值 题型三、面积的最值 题型四、斜率与截距型目标 题型五、三角换元与向量综合 压轴挑战 ▍ 解题通法 圆一动，距离、弦长、面积、斜率、数量积就都跟着动，真正变化的却只有一个量：圆心到定直线的距离 ，或圆心到定点的距离．本讲把“动”拆成五种问法：点到直线与定点的距离、弦长与面积的最值、斜率与截距型目标、三角换元与向量综合．每道题的第一个动作都一样——把动的一方换成一个距离，再回到 与 的比较、 与 的边界，或 里去． ▍ 题型归纳 ▍ 题型一、圆上点到直线与定点的距离 ▸ 典例 1 已知圆 （）上到直线 的距离为 的点有且仅有两个，则 的取值范围是           ． ▍ 题型模版 1.特征：圆上到定直线的距离等于定值的点有几个；或圆上点到定直线、定点的距离的最值． 2.方法：“距离为 ”先换成一对平行线，到圆心的距离为 与 ，逐条与 比再相加；最值直接用 ；直线过定点时，先把圆心到它的距离写成参数式，再取最值． 3.提醒：直线与圆相交时最小距离是 而不是 ；两条平行线都要数，端点处要单独验． ▸ 变式 1-1 在平面直角坐标系 中，记 为点 到直线 的距离，当 ， 变化时， 的最大值为           ． ▸ 变式 1-2 已知半径为 的圆经过点 ，则其圆心到原点的距离的最小值为           ． ▍ 题型二、弦长的最值 ▸ 典例 2 已知圆 ，直线 ．当 变化时， 被圆 截得的弦长的最小值为 ，则 的值为           ． ▍ 题型模版 1.特征：直线含参数或过定点，与圆交于两点，问弦长、弦长范围，或“弦长为定值时参数等于多少”． 2.方法：先求圆心到直线的距离 ，弦长写成 ；弦最短即 最大，弦最长即 最小（过圆心）． 3.提醒：定点要在圆内才有最短弦；求出的参数要回代检验 ，竖直线没有斜率的要单独讨论． ▸ 变式 2-1 已知直线 与圆 交于 两点，过 分别作 的垂线，与 轴交于 两点，则           ． ▸ 变式 2-2 设直线 与圆 相交于 两点，若 ，则圆 的面积为           ． ▍ 题型三、面积的最值 ▸ 典例 3 直线 分别与 轴、 轴交于 两点，点 在圆 上，则 面积的取值范围是           ． ▍ 题型模版 1.特征：圆上一点与定直线（或定弦）围成三角形，问面积的范围、最值，或由面积反求参数． 2.方法：把面积写成底乘高的一半，底固定时只算点到直线的距离；弦为底时，面积写成 ，再用基本不等式． 3.提醒：距离要取绝对值；面积最值点不一定在“最高处”，含参时要回代检验直线与圆确实相交． ▸ 变式 3-1 过点 的直线 与圆 交于 两点，当 的面积取最大值时，直线 的方程为           ． ▸ 变式 3-2 已知圆 ，直线 与圆 交于 两点，求 面积的最大值，并求此时 的值． ▍ 题型四、斜率与截距型目标 ▸ 典例 4 已知实数 满足方程 ． (1)求 的最大值与最小值； (2)求 的最大值与最小值． ▍ 题型模版 1.特征：已知点 在圆上，求 、、 一类目标的最值或范围． 2.方法：分式看成过定点 的斜率，一次式看成动直线的截距；目标与圆有公共点，就令圆心到该直线的距离不超过半径． 3.提醒：设斜率前先看定点是否在圆上、目标是否可能取到竖直方向；解出的两个端点要代回原题验证． ▸ 变式 4-1 已知实数 满足 ，则 的最大值为           ，最小值为           ． ▸ 变式 4-2 已知点 在圆 上运动，则 的最大值为           ． ▍ 题型五、三角换元与向量综合 ▸ 典例 5 在平面直角坐标系 中，已知 ，，点 在圆 上．若 ，则点 的横坐标的取值范围是           ． ▍ 题型模版 1.特征：题面出现数量积、模、夹角，或问“圆上存在点使某个角等于定值”的参数范围． 2.方法：数量积先化坐标，能用 消二次项就消；求范围可令 ， 化成三角函数；角度问题放进直角三角形，用正弦刻画． 3.提醒：消元后要写清 的取值范围（圆上点的横坐标有界）；“存在”问题取的是最大张角，对应相切位置． ▸ 变式 5-1 在 中，，，， 为 所在平面内的动点，且 ，则 的取值范围是           ． ▸ 变式 5-2 设点 ，若圆 上存在点 使 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． ▍ 压轴挑战 1．已知直线 分别与 轴、 轴交于 两点，点 在圆 上，则 面积的最大值为 （　　） A． B． C． D． 2．已知圆 截直线 所得弦的长度为 ，则实数 的值为 （　　） A． B． C． D． 3．已知 的半径为 ，直线 与 相切于点 ，直线 与 交于 两点， 为 的中点，若 ，则 的最大值为 （　　） A． B． C． D． 4．已知圆 ，，，直线 与三个圆均有两个交点，记 被 截得的弦长分别为 ，则 （　　） A． 可以取任意实数 B．满足 的直线 共有 条 C．存在 使 D．当 时， 的最大值为 5．已知 ，，则下列说法正确的是 （　　） A．点 的坐标为 B．当 时， 与 轴相切 C．当 时， 与 相切 D．当 与 相交时，两交点所在直线的方程为 6．以点 为圆心且与直线 （）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为           ． 7．已知点 ，点 是圆 上的一个动点，则线段 中点的轨迹方程为           ． 8．在平面直角坐标系 中，已知 ， 是圆 上的两个动点，满足 ．求 面积的最大值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 动态最值与综合 直线与圆 · 章级培优　压轴题专项训练 解题通法 题型归纳 题型一、圆上点到直线与定点的距离 题型二、弦长的最值 题型三、面积的最值 题型四、斜率与截距型目标 题型五、三角换元与向量综合 压轴挑战 ▍ 解题通法 圆一动，距离、弦长、面积、斜率、数量积就都跟着动，真正变化的却只有一个量：圆心到定直线的距离 ，或圆心到定点的距离．本讲把“动”拆成五种问法：点到直线与定点的距离、弦长与面积的最值、斜率与截距型目标、三角换元与向量综合．每道题的第一个动作都一样——把动的一方换成一个距离，再回到 与 的比较、 与 的边界，或 里去． ▍ 题型归纳 ▍ 题型一、圆上点到直线与定点的距离 ▸ 典例 1 已知圆 （）上到直线 的距离为 的点有且仅有两个，则 的取值范围是           ． 【答案】 【分析】把“到直线的距离为 ”翻译成两条平行线，分别与圆比较圆心距和半径，再把两处的交点个数相加；只数靠近直线的一条，就会漏掉一半情形． 【详解】解：直线化为 ，圆心 ，半径 ． 圆心到直线的距离 ． 到该直线距离为 的点，都在与它平行、且到它距离为 的两条直线上： 与 ．它们到圆心的距离分别是 与 ． 圆与 ： 时两个交点， 时一个， 时没有；圆与 ： 时没有， 时一个， 时两个． 总数为 ，只可能是“ 给两个、 给零个”，即 且 ． 时总数为 ， 时总数为 ，两个端点都取不到，故 ． ▍ 题型模版 1.特征：圆上到定直线的距离等于定值的点有几个；或圆上点到定直线、定点的距离的最值． 2.方法：“距离为 ”先换成一对平行线，到圆心的距离为 与 ，逐条与 比再相加；最值直接用 ；直线过定点时，先把圆心到它的距离写成参数式，再取最值． 3.提醒：直线与圆相交时最小距离是 而不是 ；两条平行线都要数，端点处要单独验． ▸ 变式 1-1 在平面直角坐标系 中，记 为点 到直线 的距离，当 ， 变化时， 的最大值为           ． 【答案】 【详解】解：点 的轨迹是单位圆 ，直线 恒过定点 ． 圆心 到该直线的距离 ，于是 到直线的距离 ． 因为 ，所以 ，即 ． 当 时，直线为 ，圆心到它的距离为 ；此时取 ，，等号成立． 所以 的最大值为 ． ▸ 变式 1-2 已知半径为 的圆经过点 ，则其圆心到原点的距离的最小值为           ． 【答案】 【详解】解：设圆心为 ，因为圆经过点 且半径为 ，所以 ，即 在以 为圆心、 为半径的圆上． 由 ，得 ，当 在线段 上时取等号． 所以圆心到原点的距离的最小值为 ． ▍ 题型二、弦长的最值 ▸ 典例 2 已知圆 ，直线 ．当 变化时， 被圆 截得的弦长的最小值为 ，则 的值为           ． 【答案】 【分析】弦长只由圆心到直线的距离 决定， 越大弦越短； 变化时先求 的最大值，再让最短弦等于 ． 【详解】解：圆心 ，半径 ．圆心到 的距离 ． 因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，即 的最大值为 ． 弦长 随 的增大而减小，故最短弦长为 ． 解得 ，即 ．此时 ，直线确实与圆相交，最短弦长取得到． ▍ 题型模版 1.特征：直线含参数或过定点，与圆交于两点，问弦长、弦长范围，或“弦长为定值时参数等于多少”． 2.方法：先求圆心到直线的距离 ，弦长写成 ；弦最短即 最大，弦最长即 最小（过圆心）． 3.提醒：定点要在圆内才有最短弦；求出的参数要回代检验 ，竖直线没有斜率的要单独讨论． ▸ 变式 2-1 已知直线 与圆 交于 两点，过 分别作 的垂线，与 轴交于 两点，则           ． 【答案】 【详解】解：圆心为原点，半径 ，圆心到 的距离 ，所以 ． 的斜率为 ，故垂线的斜率为 ．设 ，，因为 在 上，所以 ． 过 的垂线为 ，令 得 ；同理 ． 所以 ． 又 ，得 ． 故 ． ▸ 变式 2-2 设直线 与圆 相交于 两点，若 ，则圆 的面积为           ． 【答案】 【详解】解：把圆 的方程配方，得 ，所以圆心 ，半径 ． 圆心 到直线 的距离 ． 由 得 ，解得 ． 所以 ，圆 的面积为 ． ▍ 题型三、面积的最值 ▸ 典例 3 直线 分别与 轴、 轴交于 两点，点 在圆 上，则 面积的取值范围是           ． 【答案】 【分析】底 是定值，面积只由 到 的距离决定；圆上点到定直线的距离范围是 ． 【详解】解：令 得 ，令 得 ，所以 ． 圆心 ，半径 ，圆心到 的距离 ． 因为 ，所以点 到 的距离的取值范围是 ，即 ． 面积 ，所以 ． ▍ 题型模版 1.特征：圆上一点与定直线（或定弦）围成三角形，问面积的范围、最值，或由面积反求参数． 2.方法：把面积写成底乘高的一半，底固定时只算点到直线的距离；弦为底时，面积写成 ，再用基本不等式． 3.提醒：距离要取绝对值；面积最值点不一定在“最高处”，含参时要回代检验直线与圆确实相交． ▸ 变式 3-1 过点 的直线 与圆 交于 两点，当 的面积取最大值时，直线 的方程为           ． 【答案】 【详解】解：设圆心到 的距离为 ，则 ，． 面积 ，当且仅当 时取等号，此时面积的最大值为 ． 竖直线 到圆心的距离为 ，与圆不相交，故 的斜率存在，设 ． 由 得 ，即 ，． 所以 ． ▸ 变式 3-2 已知圆 ，直线 与圆 交于 两点，求 面积的最大值，并求此时 的值． 【答案】面积的最大值为 ，此时 或 【详解】解：圆心 ，半径 ，圆心到 的距离 ，直线与圆相交要求 ． 面积 ，于是 ，当且仅当 时取等号． 由 得 ，即 或 ． 此时 ，直线与圆确实交于两点． 所以面积的最大值为 ，此时 或 ． ▍ 题型四、斜率与截距型目标 ▸ 典例 4 已知实数 满足方程 ． (1)求 的最大值与最小值； (2)求 的最大值与最小值． 【答案】(1)最大值 ，最小值 ；(2)最大值 ，最小值 【分析】 是过原点的直线的斜率， 是直线 的纵截距；两者都在直线与圆相切时取到端点值． 【详解】解：(1)设 ，即 ．因为它与圆有公共点，所以圆心 到它的距离不超过半径：． 平方整理得 ，即 ，所以 ． 故 的最大值为 ，最小值为 ． (2)设 ，即 ．由 得 ． 所以 ，即 的最大值为 ，最小值为 ． ▍ 题型模版 1.特征：已知点 在圆上，求 、、 一类目标的最值或范围． 2.方法：分式看成过定点 的斜率，一次式看成动直线的截距；目标与圆有公共点，就令圆心到该直线的距离不超过半径． 3.提醒：设斜率前先看定点是否在圆上、目标是否可能取到竖直方向；解出的两个端点要代回原题验证． ▸ 变式 4-1 已知实数 满足 ，则 的最大值为           ，最小值为           ． 【答案】， 【详解】解：设 ，即 ．因为直线与圆有公共点，所以 ． 即 ，所以 ． 故 的最大值为 ，最小值为 ． ▸ 变式 4-2 已知点 在圆 上运动，则 的最大值为           ． 【答案】 【详解】解：设 ，即 ，它表示过定点 的直线，点 在这条直线上． 因为直线与圆有公共点，所以圆心 到它的距离不超过半径：，即 ． 平方整理得 ，即 ． 解得 ，故最大值为 ． ▍ 题型五、三角换元与向量综合 ▸ 典例 5 在平面直角坐标系 中，已知 ，，点 在圆 上．若 ，则点 的横坐标的取值范围是           ． 【答案】 【分析】先把数量积写成坐标式，用 把它压成关于 的一次不等式，再与圆联立求临界点，最后看圆上哪一段弧满足不等号． 【详解】解：设 ，则 ，． ． 由 得 ，即 ，也就是 ． 把 代入 ，得 ，即 ，解得 或 ，对应交点为 与 ． 圆上满足 的是从 经最左点 到 的那一段弧，所以 ． ▍ 题型模版 1.特征：题面出现数量积、模、夹角，或问“圆上存在点使某个角等于定值”的参数范围． 2.方法：数量积先化坐标，能用 消二次项就消；求范围可令 ， 化成三角函数；角度问题放进直角三角形，用正弦刻画． 3.提醒：消元后要写清 的取值范围（圆上点的横坐标有界）；“存在”问题取的是最大张角，对应相切位置． ▸ 变式 5-1 在 中，，，， 为 所在平面内的动点，且 ，则 的取值范围是           ． 【答案】 【详解】解：以 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴建立坐标系，则 ，． 设 ，由 得 ；，． ． 令 ，，则 ，其中 ． 所以 的取值范围是 ． ▸ 变式 5-2 设点 ，若圆 上存在点 使 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当 与圆相切时， 取到最大值，此时 ，． 圆上存在点 使 ，等价于 不超过这个最大值，即 ． 平方得 ，即 ． 又当 趋近于射线 与圆的交点时 趋近于 ，由连续性， 内的角都能取到． 所以 ，选 A． ▍ 压轴挑战 1．已知直线 分别与 轴、 轴交于 两点，点 在圆 上，则 面积的最大值为 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】底 固定，面积最大即点 到 的距离最大，用圆心距加半径． 【详解】解：令 得 ，令 得 ，所以 ． 圆心 到直线 的距离为 ，半径为 ． 点 到 的距离的最大值为 ，故面积的最大值为 ． 所以选 C． 2．已知圆 截直线 所得弦的长度为 ，则实数 的值为 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把圆化成标准方程读出圆心与半径，再用“半径、弦心距、半弦长”的勾股关系解出参数． 【详解】解：配方得 ，圆心 ，半径 ． 圆心到直线 的距离 ． 由 得 ，解得 ，选 B． 3．已知 的半径为 ，直线 与 相切于点 ，直线 与 交于 两点， 为 的中点，若 ，则 的最大值为 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】切线给出直角，弦中点又给出 ，于是 四点共圆；把 与夹角都用同一个角表示，数量积就化成一个三角函数． 【详解】解：由 与圆相切得 ，又 ，，所以 ，． 由 为 的中点得 ，即 ，故 都在以 为直径的圆上． 设 ，则 ，，且 ． ． 用两角差的余弦展开，得 ， 即 ． 当 ，即 时取到最大值 ，选 A． 4．已知圆 ，，，直线 与三个圆均有两个交点，记 被 截得的弦长分别为 ，则 （　　） A． 可以取任意实数 B．满足 的直线 共有 条 C．存在 使 D．当 时， 的最大值为 【答案】BD 【分析】三个圆心构成边长为 的正三角形，半径都是 ，每段弦长只由圆心到 的距离决定，四个选项都翻译成距离的比较． 【详解】解：三个圆心 ，， 构成边长为 的正三角形，半径都是 ．设 ，则 ，，，且 ． A：三圆都被截，要求 都小于 ，即 要落进一个长度大于三者极差的区间．取 时， 与 的差为 ，而允许的区间长度 ，开区间装不下，此时不存在这样的 ，故 A 错． B： 等价于 ，即 或 ．若 ，则 ，，全相等要求 ，得 与 两条；若 ，则 ，得 ，得 一条．共 条，且此时三个距离都等于 ，确实各截得两段弦，B 对． C：，三个都等于 要求对应距离全为 ，即 同时经过三个圆心，而三个圆心不共线，不可能，C 错． D： 时 ，（需 ），所以 ．令 ，则和为 ． 设 ，则 ，故 在 上单调递增，在 上单调递减，最大值 ． 所以 的最大值为 ，D 对．故选 BD． 5．已知 ，，则下列说法正确的是 （　　） A．点 的坐标为 B．当 时， 与 轴相切 C．当 时， 与 相切 D．当 与 相交时，两交点所在直线的方程为 【答案】BC 【分析】把 配方取出圆心与半径，四个选项分别落回圆心坐标、与坐标轴相切、两圆位置关系、公共弦方程． 【详解】解： 配方得 （），圆心 ，半径 ，A 错． 当 时 ，圆心 到 轴的距离也是 ， 与 轴相切，B 对． 当 时 ，，两圆内切，C 对． 两圆方程相减得 ，即公共弦所在直线为 ，与所给方程差一个常数项，D 错． 故选 BC． 6．以点 为圆心且与直线 （）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为           ． 【答案】 【分析】含参直线先找定点，半径就是圆心到动直线的距离，最大值不超过圆心到定点的距离． 【详解】解：把直线整理为 ，令 且 ，得定点 ． 设圆心为 ，则半径 等于 到该直线的距离，而点到动直线的距离不超过它到定点的距离，所以 ，当直线与 垂直时取等号． 故半径最大的圆的标准方程为 ． 7．已知点 ，点 是圆 上的一个动点，则线段 中点的轨迹方程为           ． 【答案】 【分析】中点用“相关点法”：把中点坐标反解成 的坐标，再代回圆，所得即中点的轨迹． 【详解】解：设 ，线段 的中点为 ． 由中点坐标公式，，，即 ，． 因为 在圆 上，所以 ，化简得 ． 故所求轨迹方程为 ． 8．在平面直角坐标系 中，已知 ， 是圆 上的两个动点，满足 ．求 面积的最大值． 【答案】 【分析】 说明 在 的垂直平分线上，而圆心也在垂直平分线上，于是 ；设弦心距为 ，把面积写成 的函数再求最值． 【详解】解：圆心 ，半径 ，，故 在圆内． 因为 且 ，所以 是 的垂直平分线，． 设圆心到 的距离为 （），则 ．当 与 分居圆心两侧时， 到 的距离最大，为 ． 于是 ． 设 ，则 ． 令 ，得 ，即 ，结合 得 ． 当 时 ，当 时 ，故 时面积最大． 此时 ，高为 ，． 所以 面积的最大值为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $