专题08 直线与圆综合最值（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册
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摘要：
**基本信息**
聚焦直线与圆的8类最值问题，通过典例+变式构建从几何直观到代数转化的系统训练，强化数形结合思想与推理运算能力。
**专项设计**
|模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑|
|----|-----------|----------|----------|
|常考题型·精准突破|8题型（每题型含1例+多变式）|覆盖距离、弦长、切线长及代数表达式最值，突出动态几何与参数转化|从基础距离公式到圆的性质应用，构建“几何模型→代数化→最值求解”的逻辑链条|
|综合攻坚·知能拔高|19题（选择/填空/解答）|综合多知识点，强调实际应用与复杂情境下的最值求解|整合各类题型方法，体现知识迁移与综合应用，发展数学眼光与思维|
内容正文：
专题08 直线与圆的最值问题
常考题型·精准突破
题型1 两点间的距离最值问题
题型2点到线、两平行线间距离最值问题
题型3定点到圆上的最值问题（含将军饮马问题）
题型4弦长最值问题
题型5切线长最值问题
题型6 形如的最值问题
题型7形如的最值问题
题型8 形如的最值问题
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 两点间的距离最值问题
【例1】（25-26高三上·北京海淀·期末）已知点，点，当变化时，的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】已知点和点，根据两点间距离公式可得：
，
故当时，，故选A
【变式1】（25-26高二上·内蒙古通辽·阶段检测）已知，点在轴上，则的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】B
【解析】设，则N关于轴对称的点为，
所以的最小值为；故选：B.
【变式2】（25-26高二上·重庆·期末）的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知，
，
设，
则的几何意义为的值，
如图，作点关于x轴的对称点，连接，
与x轴的交点即为所求点P，此时取得最小值，为.
而，
即的最小值为，
所以的最小值为故选：D
◆题型2点到线、两平行线间距离最值问题
【例2】（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）点到直线的最大距离为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】C
【解析】由题意知，
直线即，所以该直线恒过定点，
则点到直线的最大距离即为点到定点的距离，即.故选：C.
【变式2】（25-26高二上·重庆·阶段检测）若点到直线（为任意实数）的距离取最大值时，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】直线方程可化为，
，解得，
所以直线恒过点，设为点
此时为点到直线的最大距离，且，
由斜率关系可得.故选：B.
【变式3】（25-26高二上·河北承德·阶段检测）已知直线和的交点为，则点到直线的距离的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】联立，解得，即点的坐标为，
点到直线的距离，
当时，，
当时，，恒有，于是，
综上，点到直线的距离的取值范围是.故选：C.
【变式4】（25-26高二上·河南·期中）直线与上各有一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直线
，
，即的最小值为这两条平行线间的距离，
设为之间的距离，则.故选：C
◆题型3定点到圆上的最值问题（含将军饮马问题）
【例3】（25-26高三上·天津和平·期末）若直线：与圆：相交于，两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
令，解得，故直线过定点，
又，故在圆内，
，故圆心，半径为4，
连接，当和垂直时，最小，
其中，
由垂径定理得.故选：C
【变式1】（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）已知中，，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，
设，由可得，整理得，
其轨迹是以点为圆心，半径为的圆.点到直线距离的最大值为圆的半径长2，
所以的面积的最大值为．故选：D．
【变式2】（25-26高二上·天津和平·期中）已知圆，若直线与圆相交于，两点，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】B
【解析】圆，即，圆心，半径，
直线，即，恒过定点，
由，则点在圆内，
当直线与垂直时，弦最小，此时，
所以的最小值为.故选：B
【变式3】（2026·陕西渭南·二模）已知圆，圆，点是圆上一点，当的面积最大时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圆化为，
则圆心，半径，圆的圆心，半径，
因为，所以点在圆上，则，
当的面积最大时，，
在中，，则，
所以，
所以.故选：A.
【变式4】（25-26高三下·山东济南·开学考试）已知是圆上的动点，点满足，点，则的最大值为（ ）
A．8 B．9 C． D．
【答案】C
【解析】设，，
由，得，，
因为点在圆上，即，则，
所以点的轨迹是以为圆心，3为半径的圆，
因为，，所以点在圆外，
所以的最大值为.故选：C
◆题型4弦长最值问题
【例4】（2026·福建宁德·二模）直线被圆截得的弦长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直线即，
所以直线过定点，且斜率存在，
圆的圆心为，半径，
则，直线的斜率，
当时，直线被圆截得的弦长的最小值为，
此时直线的斜率，符合题意.
【变式1】（2026·陕西榆林·模拟预测）当直线与圆相交所得弦长最短时，实数的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】直线过定点，
圆的标准方程为，则圆心为，半径为.
定点在圆内，当时，直线与圆相交所得弦长最短.
因为，所以直线的斜率为1，故，解得.
【变式2】（2026·山东菏泽·二模）已知圆：，直线：，则直线被圆截得的弦长的最小值为（）
A． B． C． D．10
【答案】B
【解析】由整理为：，
所以联立方程组得，解得，即直线恒过定点，
因为，所以圆心，半径，
所以圆心到定点的距离为：，
所以点在圆内，直线与圆始终相交，
当最大时，弦长最小；当直线时，，
所以弦长最小值为：.
【变式3】（25-26高二上·天津和平·阶段检测）设圆的一条切线与x轴､y轴分别交于点A､B，则的最小值为（ ）
A．4 B． C．6 D．8
【答案】A
【解析】设切线方程为，即，由圆心到直线的距离等于半径得
，∴，令，
则，，故t的最小值为4.由题意知，故选A.
◆题型5切线长最值问题
【例5】（26-27高三·全国·一轮复习）由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】C
【解析】圆即为，可知圆心为，半径，
在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A，连接CA，
在中，．要使最小，则应最小．
又当PC与直线垂直时，最小，其最小值为．
故的最小值为．
【变式1】（25-26高三上·广西贵港·开学考试）已知圆，过直线上的动点P作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．3
【答案】B
【解析】连接，则，
当最小时，最小，又圆的圆心为，半径为，
则，故的最小值为．故选B．
【变式2】（25-26高二上·河南洛阳·期末）过直线上的动点向圆引切线，切点为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】连接，则，如下图所示：
圆的圆心为坐标原点，半径为，由勾股定理可得，
所以当取最小值时，取最小值，
故当与直线垂直时，取最小值，
即的最小值为，所以.故选B.
【变式3】（25-26高二上·福建·阶段检测）点P在直线上运动，从点P向圆引切线，则切线长的最小值为_______.
【答案】
【解析】由题意得圆的圆心为，
将化为一般方程，可得，
在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A．连接，
如图，作出符合题意的图形，
在中，．要使最小，则应最小．
又当与直线垂直时，最小，其最小值为，
故由勾股定理得的最小值为．
◆题型6 形如的最值问题
【例6】若在圆上运动，则的最大值为 ；
【答案】/
【解析】设，可得，
又因为点在圆上运动，则直线与圆有公共点，
且圆心坐标为，半径为，
由点到直线的距离公式可得，整理可得，解得.
因此，的最大值为.
【变式1】已知实数满足，则的取值范围 .
【解析】设直线的方程为y－3＝k(x＋1)，即kx－y＋3＋k＝0.
∵直线与圆有交点，∴，可得，
【变式2】（25-26高二上·甘肃金昌·阶段检测）已知实数x，y满足方程，则的最大值和最小值的和是（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】B
【解析】由题意，，表示以（2,0）为圆心，为半径的圆，
表示圆上的点P（x,y）与原点连线的斜率，如图：
易知，当直线与圆相切时分别取得最大值和最小值
设切线为：，
于是圆心到切线的距离
故的最大值和最小值的和是0，故选,B
◆题型7形如的最值问题
【例7】（2026·山西大同二模）设是圆上的任意点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】表示点到的距离的平方，
是圆上一点，
的最大值为圆心到的距离与半径之和的平方，
即.故选：.
【变式1】（25-26高二上·广西南宁·开学考试）已知，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】因为，
所以问题可转化为求直线上的点到点的距离的最小值，
故求点到直线的距离即可，因为距离，
所以．故选：D.
【变式2】（2026·陕西延安·三模）“太极图”形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，如图所示，将“太极图”放在平面直角坐标系中，图中所有曲线均为圆或半圆，其中最大的圆半径为2.已知点是阴影区域(含边界)上的一个动点，则的值不可能是（ ）
A．0 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【解析】由于，
设，即表示阴影区域(含边界)上的点P和点之间的距离，
则；
当P在半圆上时，的最小值为；
当P在x轴下方的阴影区域（包含边界）时，
的最小值为和或之间的距离，为，
而，即的最小值为；
当P在第二象限的阴影区域（包含边界）时，圆弧所在圆的方程为，
的最大值为；
故的最小值为，最大值为
结合可知的值不可能是10.
【变式3】（25-26高二·西藏山南·期末）已知实数满足方程，则的最大值和最小值分别为________和________.
【答案】
【解析】已知实数满足方程，即，
其表示以为圆心，为半径的圆.
表示圆上的一点与原点距离的平方，
由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．
圆心与原点的距离为2，
所以的最大值是，最小值是．
◆题型8 形如的最值问题
【例8】（2026·河南开封·三模）若实数x，y满足，则的最大值为（ ）
A．3 B．5 C．2 D．
【答案】C
【解析】因为，所以，令，，，
其中，所以的最大值为
【变式1】（25-26高一上·河南郑州·期末）已知实数满足方程，则的最小值和最大值分别为（ ）
A．-9，1 B．-10，1 C．-9，2 D．-10，2
【答案】A
【解析】即为
y－2x可看作是直线y＝2x＋b在y轴上的截距，
当直线y＝2x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，
此时，解得b＝－9或1．所以y－2x的最大值为1，最小值为－9．故选A.
【变式2】已知实数x，y满足，则的最小值为
【答案】
【解析】令，即，则，解得，即，故的最小值为
【变式3】（25-26高三上·云南普洱·期末）已知实数，满足方程，则的最大值和最小值分别为______和______.
【答案】
【解析】因为，即，表示以为圆心，半径的圆，
令，即，则圆心到直线的距离，
解得，所以的最大值为，最小值为；
综合攻坚·知能拔高
1．（25-26高二上·重庆·期中）点到直线 的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出直线所过定点，点到直线的距离的最大值为.
【详解】直线，
即，由，解得，
所以直线过定点，，
点到直线的距离的最大值为.
故选：C
2．（25-26高二上·重庆九龙坡·阶段检测）、分别为与上任一点，则的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】C
【分析】先通过直线平行的判定公式判断已知直线互相平行，再利用平行线的距离公式计算求解．
【详解】直线和直线满足，
两条直线互相平行，
又、分别为与上任一点，
的最小值就是平行线（即）与之间的距离，
.
故选：C
3.（2026·山东泰安·模拟预测）已知直线与圆，过直线上的任意一点向圆引切线，设切点为，若线段长度的最小值为，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，则，可得，而的最小值是圆心到直线的距离，然后列方程可求出实数m的值.
【详解】圆，设，
则，则，，
则，所以圆心到直线的距离是，
，得，．
故选：A．
4.（25-26高二上·河北唐山·期末）过圆：上的动点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形周长的最大值为（ ）
A．8 B．16 C． D．
【答案】B
【分析】由勾股定理表示出切线长以及所求周长，根据几何关系可得当共线且按此顺序排列时取得最大值，计算求解即可.
【详解】由题意，，
四边形周长为，
当共线且按此顺序排列时，，
则四边形周长最大值为16，故选：B.
5.（25-26高二上·吉林·期末）已知实数，满足，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】写出圆的标准方程，利用三角换元转化为三角函数求最大值即可.
【详解】由，可得，
设，，
则，
当且仅当，即时，等号成立，故选D.
6．若实数满足，则的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】设，将原问题转化为直线和圆相切问题，根据圆心到直线的距离等于半径，列方程求解，即得答案.
【详解】由题意知实数满足，即点在圆上，
则可看作点和点的连线的斜率，设点为P，设，
则，即，
当和圆相切时，k取最大值或最小值；
由圆心到直线的距离为，
得，解得或，
故的最大值是0，最小值是.
7．（25-26高二上·福建漳州·期末）已知圆，圆，其中，若两圆外切，则的最大值为（ ）
A． B．5 C． D．8
【答案】D
【分析】根据两个圆方程，将问题转化为圆上点到定点的距离最大值，求解即可.
【详解】圆，配方可得：，
所以圆心，半径.
圆，可知圆心，半径，
又因为两圆外切，所以圆心距就是两圆的半径和，
即：，
化简得：，
求的最大值，就是点到定点的距离的最大值.
圆心到点的距离，
圆半径为3，所以最大距离为：.
故选：D.
8．已知圆，点P是圆上的一点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则四边形的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，将四边形的面积表示出来，可得，再由，即可得到结果.
【详解】由题意知四边形的面积，
所以当取得最小值时，四边形的面积取得最小值.
又，所以.
故选:B.
9．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知圆，直线，为直线上一动点，定点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出圆心关于的对称点，结合图形可得的最小值为
【详解】设圆心关于的对称点为，则解得即，
所以.N为与直线交点时等号成立，
故选：B
10．（多选）（2026·湖北武汉·模拟预测）已知点，，M为圆O：上一点，则（ ）
A．点B在圆O外 B．的最大值为6
C． D．的最大值为9
【答案】ABD
【分析】由点与圆心间的距离与圆的半径比较，确定点与圆的位置关系，判断A；求出圆上的点到定点的距离的最大值为定点到圆心的距离加上圆半径，判断B；设，表示出，得其关系，即可判断C；求得，即可得其最大值，判断D.
【详解】对于A，，所以B在圆O外，故A正确；
对于B，由图知，当且仅当点为圆与轴的左交点时取等，故B正确；
对于C，D，设，则，
故，
，
则，故C错误；
所以由B项可得，，当且仅当时取等，故D正确．
11．（多选）（25-26高二下·广东深圳·期末）已知圆，直线，为上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，则（ ）
A．的最小值为 B．四边形的面积可能为
C．直线的斜率存在 D．直线过定点
【答案】ABD
【分析】对A，根据条件得，再求出的最小值，即可求解；对B，利用A中结果，即可求解；对C，根据条件，直接求出直线的方程，再利用的取值范围，即可求解；对D，根据C可得直线的方程为，即可求解.
【详解】易知圆的圆心为，半径为，
对于A，因为，又圆心到直线的距离，
则，所以的最小值为，故A正确，
对于B，因为四边形面积，
由选项A知，所以，故B正确，
对于C，设，则，，
以为圆心，为半径的圆的方程为，即①，
又在圆②上，由①②得到，即，
所以直线的方程为，又点在直线上运动，
当时，直线的斜率不存在，所以C错误，
对于D，由选项C知直线的方程为，且，
所以直线的方程为，即，
由，得到，所以直线恒过定点，故D正确.
12．（多选题）（25-26高二上·吉林长春·期末）已知实数满足，下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．的最大值为49
D．点到直线的距离的最大值为
【答案】BCD
【分析】设，利用点到直线的距离公式求得的范围判断A；设，利用点到直线的距离公式求得的范围判断B；表示圆上的点到的距离的平方，求得可求最大值判断C；求得点到直线的距离，进而可求点到直线的距离的最大值判断D.
【详解】方程表示以为圆心，半径的圆，
对于A，设，则，因为点在圆上，
所以，整理得，解得，
所以的最小值为，故A错误；
对于B，设，则，因为点在圆上，
所以，整理得，解得，
所以的最小值为，故B正确；
对于C，表示圆上的点到的距离的平方，
设圆上的点到的距离，
又，所以，即，
所以的最大值为49，故C正确；
对于D，点到直线的距离，
所以点到直线的距离的最大值为，故D正确.
故选：BCD.
13．（25-26高二上·云南保山·期末）已知点，点在圆上运动，则的取值范围为_________．
【答案】
【详解】圆的标准方程为，
则圆心为，半径，
又圆心到点A的距离，所以点A在圆外，
则的最大值为，的最小值为，
则的取值范围为
14．已知直线，，则直线与之间的距离最大值为______.
【答案】5
【分析】分别求出直线，过的定点，，当与两直线垂直时距离最大，且最大值为，由此即可求解．
【详解】直线化简为：，
令且，解得，，
所以直线过定点，
直线化简为：，
令且，解得，，
所以直线过定点，，
当与直线，垂直时，直线，的距离最大，
且最大值为，
故答案为：5．
15．（25-26高二上·山西·期中），，函数的最小值为______.
【答案】
【分析】根据两点间的距离及点到直线的距离公式构造点到点，点到直线的距离，由图可得解.
【详解】设点，和直线，
，到的距离分别为，，易知，
如图，
显然.
故答案为：
16.（25-26高一下·重庆·期中）已知圆.
(1)过点向圆作切线，求切线的方程；
(2)若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值.
【解】（1）由题意得 ，则点在圆外，故有条切线，
若切线的斜率不存在，易得直线恰为圆的一条切线；
若切线的斜率存在，设切线的方程为，即.
因为直线与圆相切，所以圆心到的距离为，
即 ，解得，
所以切线的方程为，即.
综上，切线的方程为或.
（2）如图，由圆心到直线的距离为 ，可得直线与圆相离，
由切线的性质得，则，
则当最小时，有最小值，
由图知，当时，最小，最小值恰为点到直线的距离，
故的最小值为.
17．（25-26高二下·上海·期中）已知直线，与圆．
(1)证明：圆与直线一定会相交；
(2)求直线被圆截得的线段长度的最小值．
【解】（1）变形为，
令 ，解得，即直线恒过定点，
圆的圆心为，半径，点到圆心的距离平方：，
故点在圆内部，因此圆与直线恒相交．
（2）因为直线过圆内定点，圆心到直线的距离，
当直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最小，
，由垂径定理可得最短弦长为 ．
18．（25-26高二上·全国·期末）已知实数满足方程.求：
(1)的最大值和最小值；
(2)的最大值和最小值；
(3)的最大值和最小值．
【解】（1）原方程表示以点为圆心，为半径的圆．
设，即，则当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值，
此时，解得，
故的最大值为，最小值为.
（2）设，即，
则当直线与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值，
此时，解得，
故的最大值为，最小值为.
（3）易知表示圆上的点与原点距离的平方．
由平面几何知识知，它在原点与圆心所在的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为2，
故，.
19．（25-26高二下·黑龙江·开学考试）已知圆，直线过原点.
(1)若直线与圆相切，求直线的方程；
(2)若直线与圆交于两点，当的面积最大时，求直线的方程.
【解】（1）圆的圆心的坐标为，半径，
①当直线的斜率不存在时，直线为，
圆心到直线的距离，
直线为圆的切线，
②当斜率存在时，设直线为，
圆心到直线的距离，
由题知直线与圆相切，
则，解得，
所以直线的方程为.
综上所述，直线的方程为或.
（2）直线的斜率不存在时，直线为与圆相切，不符合题意，故直线斜率必存在，
设直线的方程为，
圆心到直线的距离，弦长，
所以，
当时，面积最大，
此时，整理得，
解得，
所以直线的方程或.
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专题08 直线与圆的最值问题
常考题型·精准突破
题型1 两点间的距离最值问题
题型2点到线、两平行线间距离最值问题
题型3定点到圆上的最值问题（含将军饮马问题）
题型4弦长最值问题
题型5切线长最值问题
题型6 形如的最值问题
题型7形如的最值问题
题型8 形如的最值问题
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 两点间的距离最值问题
【例1】（25-26高三上·北京海淀·期末）已知点，点，当变化时，的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式1】（25-26高二上·内蒙古通辽·阶段检测）已知，点在轴上，则的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．
【变式2】（25-26高二上·重庆·期末）的最小值为（ ）
A． B． C． D．
◆题型2点到线、两平行线间距离最值问题
【例2】（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）点到直线的最大距离为（ ）
A．2 B． C． D．1
【变式2】（25-26高二上·重庆·阶段检测）若点到直线（为任意实数）的距离取最大值时，则（ ）
A． B． C． D．2
【变式3】（25-26高二上·河北承德·阶段检测）已知直线和的交点为，则点到直线的距离的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4】（25-26高二上·河南·期中）直线与上各有一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
◆题型3定点到圆上的最值问题（含将军饮马问题）
【例3】（25-26高三上·天津和平·期末）若直线：与圆：相交于，两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）已知中，，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26高二上·天津和平·期中）已知圆，若直线与圆相交于，两点，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．2
【变式3】（2026·陕西渭南·二模）已知圆，圆，点是圆上一点，当的面积最大时，（ ）
A． B． C． D．
【变式4】（25-26高三下·山东济南·开学考试）已知是圆上的动点，点满足，点，则的最大值为（ ）
A．8 B．9 C． D．
◆题型4弦长最值问题
【例4】（2026·福建宁德·二模）直线被圆截得的弦长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2026·陕西榆林·模拟预测）当直线与圆相交所得弦长最短时，实数的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【变式2】（2026·山东菏泽·二模）已知圆：，直线：，则直线被圆截得的弦长的最小值为（）
A． B． C． D．10
【变式3】（25-26高二上·天津和平·阶段检测）设圆的一条切线与x轴､y轴分别交于点A､B，则的最小值为（ ）
A．4 B． C．6 D．8
◆题型5切线长最值问题
【例5】（26-27高三·全国·一轮复习）由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．3
【变式1】（25-26高三上·广西贵港·开学考试）已知圆，过直线上的动点P作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．3
【变式2】（25-26高二上·河南洛阳·期末）过直线上的动点向圆引切线，切点为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（25-26高二上·福建·阶段检测）点P在直线上运动，从点P向圆引切线，则切线长的最小值为_______.
◆题型6 形如的最值问题
【例6】若在圆上运动，则的最大值为 ；
【变式1】已知实数满足，则的取值范围 .
【变式2】（25-26高二上·甘肃金昌·阶段检测）已知实数x，y满足方程，则的最大值和最小值的和是（ ）
A．1 B．0 C． D．
◆题型7形如的最值问题
【例7】（2026·山西大同二模）设是圆上的任意点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26高二上·广西南宁·开学考试）已知，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2】（2026·陕西延安·三模）“太极图”形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，如图所示，将“太极图”放在平面直角坐标系中，图中所有曲线均为圆或半圆，其中最大的圆半径为2.已知点是阴影区域(含边界)上的一个动点，则的值不可能是（ ）
A．0 B．6 C．8 D．10
【变式3】（25-26高二·西藏山南·期末）已知实数满足方程，则的最大值和最小值分别为________和________.
◆题型8 形如的最值问题
【例8】（2026·河南开封·三模）若实数x，y满足，则的最大值为（ ）
A．3 B．5 C．2 D．
【变式1】（25-26高一上·河南郑州·期末）已知实数满足方程，则的最小值和最大值分别为（ ）
A．-9，1 B．-10，1 C．-9，2 D．-10，2
【变式2】已知实数x，y满足，则的最小值为
【变式3】（25-26高三上·云南普洱·期末）已知实数，满足方程，则的最大值和最小值分别为______和______.
综合攻坚·知能拔高
1．（25-26高二上·重庆·期中）点到直线 的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高二上·重庆九龙坡·阶段检测）、分别为与上任一点，则的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．6
3.（2026·山东泰安·模拟预测）已知直线与圆，过直线上的任意一点向圆引切线，设切点为，若线段长度的最小值为，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
4.（25-26高二上·河北唐山·期末）过圆：上的动点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形周长的最大值为（ ）
A．8 B．16 C． D．
5.（25-26高二上·吉林·期末）已知实数，满足，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
6．若实数满足，则的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．
7．（25-26高二上·福建漳州·期末）已知圆，圆，其中，若两圆外切，则的最大值为（ ）
A． B．5 C． D．8
8．已知圆，点P是圆上的一点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则四边形的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知圆，直线，为直线上一动点，定点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．（多选）（2026·湖北武汉·模拟预测）已知点，，M为圆O：上一点，则（ ）
A．点B在圆O外 B．的最大值为6
C． D．的最大值为9
11．（多选）（25-26高二下·广东深圳·期末）已知圆，直线，为上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，则（ ）
A．的最小值为 B．四边形的面积可能为
C．直线的斜率存在 D．直线过定点
12．（多选题）（25-26高二上·吉林长春·期末）已知实数满足，下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．的最大值为49
D．点到直线的距离的最大值为
13．（25-26高二上·云南保山·期末）已知点，点在圆上运动，则的取值范围为_________．
14．已知直线，，则直线与之间的距离最大值为______.
15．（25-26高二上·山西·期中），，函数的最小值为______.
16.（25-26高一下·重庆·期中）已知圆.
(1)过点向圆作切线，求切线的方程；
(2)若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值.
17．（25-26高二下·上海·期中）已知直线，与圆．
(1)证明：圆与直线一定会相交；
(2)求直线被圆截得的线段长度的最小值．
18．（25-26高二上·全国·期末）已知实数满足方程.求：
(1)的最大值和最小值；
(2)的最大值和最小值；
(3)的最大值和最小值．
19．（25-26高二下·黑龙江·开学考试）已知圆，直线过原点.
(1)若直线与圆相切，求直线的方程；
(2)若直线与圆交于两点，当的面积最大时，求直线的方程.
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