2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册习题2.5第13题及其28个变式训练题

人教A版选择性必修一习题2.5第13题及其28个变式 【人教A版选择性必修一习题2.5第13题】已知圆，直线l：．当b为何值时，圆上恰有3个点到直线的距离等于1？ （变式1）（改变点的个数为1）已知圆，直线l：．当b为何值时，圆上恰有1个点到直线的距离等于1？ （变式2）（改变点的个数为2）已知圆，直线l：．当b为何值时，圆上恰有2个点到直线的距离等于1？ （变式3）（改变点的个数为4）已知圆，直线：. 若该圆上恰有四个点到直线的距离都等于，则的取值范围是________. （变式4）已知直线，圆上恰有3个点到直线的距离都等于1，则_________. （变式5）已知圆，直线，当圆上恰有三个点到直线的距离等于时，实数 . （变式6）（多选）已知圆，直线，下列说法正确的是（   ） A．当或时，圆O上没有点到直线l的距离等于1 B．当时，圆O上恰有三个点到直线l的距离等于1 C．当时，圆O上恰有三个点到直线l的距离等于1 D．当时，圆O上恰有四个点到直线l的距离等于1 （变式7）已知圆，圆上恰有两个点到直线的距离都等于1，则的取值范围为______． （变式8）已知圆，直线，圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则___________． （变式9）若圆上恰有三个点到直线的距离等于，则的值为_____． （变式10）已知圆，直线，圆上至少有三个点到直线的距离都等于2，则b的范围是______. （变式11）在平面直角坐标系中，已知圆，直线(其中为常数)．下列有关直线与圆的命题中正确命题的序号是________． ①当时，圆上有四个不同的点到直线的距离为1； ②若圆上有四个不同的点到直线的距离为1，则； ③若圆上恰有三个不同的点到直线的距离为1，则； ④若圆上恰有两个不同的点到直线的距离为1，则； ⑤当时，圆上只有一个点到直线的距离为1. （变式12）已知圆，直线，圆上恰有一个点到直线的距离等于1，则_________． （变式13）若圆上恰有四个点到直线的距离等于1，则的取值范围为__________． （变式14）已知圆，直线，若圆上至少有3个不同的点到直线的距离都等于，则的取值范围是_________ （变式15）已知直线过点且斜率为1，若圆上恰有3个点到的距离为1，则的值为__________. （变式16）已知圆上恰有两个点到直线的距离为1，则正数的取值范围是________. （变式17）已知圆：，直线：，，圆上恰有3个点到直线的距离为，则直线的方程为_____. （变式18）已知圆和不过第三象限的直线，若圆上恰有三点到直线l的距离均为3，则实数___________________． （变式19）已知圆，直线，圆上恰好有两个点到直线的距离等于1．则符合条件的实数可以为______．（只需写出一个满足条件的实数即可） （变式20）若圆上恰有个点到直线的距离为，则实数的取值范围为__________. （变式21）若圆上恰有相异两点到直线的距离等于1，则r的取值范围是________. （变式22）在平面直角坐标系中，已知圆O：和圆． (1)若圆O与圆C关于直线l对称，求直线l的方程； (2)若圆O上恰有三个点到直线的距离都等于1，求b的值. （变式23）已知圆：，点. (1)若直线与相切，切点为，求； (2)已知直线过点，若圆上恰有三个点到的距离都等于1，求的方程. （变式24）已知圆经过点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知直线过点，圆上恰有三个点到直线的距离等于1，求直线的方程. （变式25）已知圆．若圆C上恰有三个点到直线l（斜率存在）的距离为1，且l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程． （变式26）已知斜率为的直线与圆心为的圆相切于点，且点在轴上. （1）求圆的方程； （2）若直线与直线平行，且圆上恰有四个不同点到直线距离等于，求直线纵截距的取值范围. （变式27）已知圆，直线，若圆上恰有两点到直线的距离为1，求的取值范围． （变式28）（直线方程不含参，圆的方程含参）已知直线，圆，若圆上恰有三个点到直线的距离都等于，则（    ） A．2 B．4 C． D．8 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版选择性必修一习题2.5第13题及其28个变式 【人教A版选择性必修一习题2.5第13题】已知圆，直线l：．当b为何值时，圆上恰有3个点到直线的距离等于1？ 【答案】 【分析】首先计算圆心到直线的距离为，然后根据圆上点到直线的距离等于1的个数为3个， 可得，然后根据关系式计算参数即可. 【解析】因为圆上恰有3个点到直线的距离都等于1, 所以只需要圆心到直线的距离为即可,直线方程为:, 所以圆心到直线的距离为:,解得, 故当时,圆上恰有3个点到直线l的距离都等于1． （变式1）（改变点的个数为1）已知圆，直线l：．当b为何值时，圆上恰有1个点到直线的距离等于1？ 【答案】或 【分析】首先计算圆心到直线的距离为，然后根据圆上点到直线的距离等于1的个数为1个，可得，然后根据关系式计算参数即可. 【详解】由题知圆的方程为,所以圆心为,半径为,若圆上恰有1个点到直线的距离等于1， 则圆心到直线的距离满足，则，解得．解得或. （变式2）（改变点的个数为2）已知圆，直线l：．当b为何值时，圆上恰有2个点到直线的距离等于1？ 【答案】或 【分析】首先计算圆心到直线的距离为，然后根据圆上点到直线的距离等于1的个数为2个，可得，然后根据关系式计算参数即可. 【解析】若圆上恰有2个点到直线的距离等于1，则圆心到直线的距离满足，则， 解得．解得或. （变式3）（改变点的个数为4）已知圆，直线：. 若该圆上恰有四个点到直线的距离都等于，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】利用点到直线距离公式可得圆心到直线距离为，根据题意建立关系即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径为2，若圆上恰有四个点到直线的距离都等于，则圆心到直线的距离满足，解得. （变式4）已知直线，圆上恰有3个点到直线的距离都等于1，则_________. 【答案】 【分析】利用点到直线的距离公式列方程，由此求得的值. 【详解】圆的圆心为，半径为，直线，即，要使圆上恰有3个点到直线的距离都等于1，则圆心到直线的距离，解得. （变式5）已知圆，直线，当圆上恰有三个点到直线的距离等于时，实数 . 【答案】 【分析】由圆上恰有三个点到直线的距离等于，得到圆心到直线的距离等于，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，则，计算即可得解. 【详解】圆上恰有三个点到直线的距离等于，圆心到直线的距离等于， ，圆心,圆心到直线的距离，. （变式6）（多选）已知圆，直线，下列说法正确的是（   ） A．当或时，圆O上没有点到直线l的距离等于1 B．当时，圆O上恰有三个点到直线l的距离等于1 C．当时，圆O上恰有三个点到直线l的距离等于1 D．当时，圆O上恰有四个点到直线l的距离等于1 【答案】CD 【分析】先求出圆心到直线的距离，根据选项中参数的范围求得的范围，结合图形，即可一一判断. 【详解】 由题设条件，圆的半径为2，圆心到直线的距离为. 对于A，当或时, ，则，当时，由图1知，圆O上有一点到直线l的距离等于1，故A错误；对于B，D，当时，，由图2知，圆O上恰有四个点到直线l的距离等于1，故B错误，D正确； 对于C，当时，，由图3知，圆O上恰有三个点到直线l的距离等于1，故C正确. 故选：CD. （变式7）已知圆，圆上恰有两个点到直线的距离都等于1，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，由题意可得圆心到直线的距离满足，利用点到直线的距离公式计算，解不等式即可. 【详解】由圆的方程：，可得圆心为坐标原点，半径为3． 若圆上恰有2个点到直线的距离等于1，则圆心到直线的距离满足，则， 解得，解得． （变式8）已知圆，直线，圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则___________． 【答案】4 【分析】由圆心到直线距离可确定，进而得解. 【详解】圆的圆心为，由题可知圆心到直线距离，则. （变式9）若圆上恰有三个点到直线的距离等于，则的值为_____． 【答案】或 【分析】根据条件，将问题转化成圆心到直线的距离为，再利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】因为圆的圆心为，半径为，要使圆上恰有三个点到直线的距离等于，则圆心到直线的距离为， 所以，整理得到，解得或， （变式10）已知圆，直线，圆上至少有三个点到直线的距离都等于2，则b的范围是______. 【答案】 【分析】由圆的方程可得圆心与半径，求得圆心到直线的距离，由题意建立不等式，可得答案. 【详解】由圆，可得圆心与半径，则圆心到直线的距离， 由题意可得，解得. （变式11）在平面直角坐标系中，已知圆，直线(其中为常数)．下列有关直线与圆的命题中正确命题的序号是________． ①当时，圆上有四个不同的点到直线的距离为1； ②若圆上有四个不同的点到直线的距离为1，则； ③若圆上恰有三个不同的点到直线的距离为1，则； ④若圆上恰有两个不同的点到直线的距离为1，则； ⑤当时，圆上只有一个点到直线的距离为1. 【答案】①②⑤ 【分析】求出圆心到直线的距离与圆的半径比较，推出圆上的点到直线的距离是1的个数，判断选项即可． 【详解】圆心到直线的距离为，圆的半径为2， （1）当即时，，圆上有四个不同点到直线的距离为1； （2）当时，，圆上恰有三个不同点到直线的距离为1； （3）当或时，圆上恰有两个不同点到直线的距离为1； （4）当时，，圆上只有一个点到直线的距离为1．故①②⑤正确． （变式12）已知圆，直线，圆上恰有一个点到直线的距离等于1，则_________． 【答案】1 【分析】由圆心到直线距离可确定，进而得解. 【详解】圆的圆心为，，由题可知圆心到直线距离，则. （变式13）若圆上恰有四个点到直线的距离等于1，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】求得圆心坐标和半径，结合题意得到圆心到直线的距离小于2，列出不等式，即可求解. 【详解】由圆可得圆心，半径为，设圆心到直线的距离，要使得圆上恰有四个点到直线的距离为1，则满足， 则，即，解得，即的取值范围为． （变式14）已知圆，直线，若圆上至少有3个不同的点到直线的距离都等于，则的取值范围是_________ 【答案】 【分析】数形结合，找到满足题意的临界状态，再利用点到直线的距离公式，列出不等式，即可求得范围. 【详解】根据题意，作图如下所示： 因为圆的半径为，故当圆心到直线的距离小于等于时，满足题意，也即当直线与平行，且介于之间（也可与重合）时，满足题意；则圆心到直线的距离，解得. （变式15）已知直线过点且斜率为1，若圆上恰有3个点到的距离为1，则的值为__________. 【答案】 【分析】由于圆上恰有3个点到的距离为1，则圆心到直线的距离等于半径减去1，列方程即可求解． 【详解】由于直线过点且斜率为1，则直线， 圆上恰有3个点到的距离为1，圆心到直线的距离等于半径减去1， 圆心到直线的距离为，解得． （变式16）已知圆上恰有两个点到直线的距离为1，则正数的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据点与直线的位置关系可得圆心到直线的距离满足，从而列不等式求解即可得正数的取值范围. 【详解】易知圆的圆心为，半径为3，且圆上恰有两个点到直线的距离为1，所以到直线的距离满足，由，得，因为，所以正数的取值范围是. （变式17）已知圆：，直线：，，圆上恰有3个点到直线的距离为，则直线的方程为_____. 【答案】或 【分析】根据两直线垂直设直线的方程为，由题意得圆心到直线的距离，解得或，即得答案. 【详解】因直线：，，则直线的方程可设为，由圆：可知圆心为，半径为.要使圆上恰有3个点到直线的距离为， 需使圆心到直线的距离， 解得或，故直线的方程为或. （变式18）已知圆和不过第三象限的直线，若圆上恰有三点到直线l的距离均为3，则实数___________________． 【答案】26 【分析】首先得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离为3，即可求出的值，再由直线不过第三象限求出的取值范围，即可得解． 【详解】因为得圆心为，半径，因为圆C上恰有三点到直线l的距离均为3，所以圆心到直线的距离为3，即，解得或， 又因为直线不过第三象限，所以，即，所以． （变式19）已知圆，直线，圆上恰好有两个点到直线的距离等于1．则符合条件的实数可以为______．（只需写出一个满足条件的实数即可） 【答案】（答案不唯一，符合即可） 【分析】圆上的点到直线由两个点的距离为1，转化为圆心到直线的距离大于1小于3，求解即可. 【详解】圆心为，圆的半径为2，设圆心到直线的距离为， 因为圆上恰好有两个点到直线的距离等于1，所以，即， 解得，，所以的取值范围为. （变式20）若圆上恰有个点到直线的距离为，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】求出与直线平行且到直线的距离为的直线的方程为、，数形结合可知，圆与直线相交，与直线相离，利用点到直线的距离公式可求得的取值范围. 【详解】如下图所示： 设与直线平行且与直线之间的距离为的直线方程为，则，解得或，圆心到直线的距离为，圆到直线的距离为，由图可知，圆与直线相交，与直线相离，所以，，即. （变式21）若圆上恰有相异两点到直线的距离等于1，则r的取值范围是________. 【答案】 【分析】利用圆的性质，结合点到直线的距离公式进行求解即可. 【详解】该圆的圆心到直线的距离为，因为圆上恰有相异两点到直线的距离等于1，所以有， （变式22）在平面直角坐标系中，已知圆O：和圆． (1)若圆O与圆C关于直线l对称，求直线l的方程； (2)若圆O上恰有三个点到直线的距离都等于1，求b的值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由题意所求直线方程即公共弦方程，两个圆方程相减即可求解. （2）将原问题转换为圆心到直线的距离等于1，由点到直线的距离公式即可得解. 【详解】（1）由题意圆O：和圆即关于直线l对称． 两式相减得，公共弦方程即直线l的方程为. （2）圆O：的圆心为，半径为，若圆O上恰有三个点到直线的距离都等于1，则圆心到直线的距离等于1，所以，解得. （变式23）已知圆：，点. (1)若直线与相切，切点为，求； (2)已知直线过点，若圆上恰有三个点到的距离都等于1，求的方程. 【答案】(1)；(2)或. 【分析】（1）利用切线的性质，结合勾股定理计算即得. （2）根据给定条件，把问题转化为圆心到直线距离为1，再列式计算得解. 【详解】（1）圆：的圆心，半径，， 由直线与相切于点，得. （2）要圆上恰有三个点到的距离都等于1，当且仅当圆心到直线的距离为1， 而点在圆外，直线与圆相离，则直线的斜率存在， 设直线的方程为，即，由，解得或， 所以直线的方程为或. （变式24）已知圆经过点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知直线过点，圆上恰有三个点到直线的距离等于1，求直线的方程. 【答案】(1)；(2)或. 【分析】（1）利用待定系数法即可求得圆C的方程； （2）利用点到直线距离公式即可求得直线l的方程. 【详解】（1）设圆C的标准方程为，因为圆心C在直线上，①，因为圆经过点，将A，B两点代入圆方程可得： ②，③， 联立①②③解得，，，，圆C的方程为. （2）因为圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1， 圆心C到直线l的距离，当直线l斜率不存在时，直线l的方程为， 圆心C到直线l的距离为1，符合题意； 当直线l斜率存在时，设直线l的方程为，即， 圆心C到直线l的距离，解得， 直线l的方程为，即， 综上，所求直线l的方程为或. （变式25）已知圆．若圆C上恰有三个点到直线l（斜率存在）的距离为1，且l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程． 【答案】或； 【分析】将圆的方程整理为标准式，明确其圆心与半径，根据题意，作图并分情况建立方程，可得答案. 【详解】 圆C标准方程为，圆心为，半径为，圆C上恰有三个点到直线l（斜率存在）的距离为1，则圆心到直线l的距离为，由题意截距不为0时，设直线方程，所以，解得，所以直线l方程为．当截距为0时，设l方程为，即，由，解得（舍去）或，直线l方程为， 综上，直线l方程为，； （变式26）已知斜率为的直线与圆心为的圆相切于点，且点在轴上. （1）求圆的方程； （2）若直线与直线平行，且圆上恰有四个不同点到直线距离等于，求直线纵截距的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由题意可知，从而可得，求出，再由即可求解. （2）设：，由题意可得圆心到直线的距离，解不等式即可. 【详解】（1）依题意，设点的坐标为.，，解得， 即点的坐标为，从而圆的半径.故所求圆的方程为. （2）因为，设：，由圆上恰有四个不同点到直线距离等于， 得圆心到直线的距离，解得.即直线纵截距的取值范围为. （变式27）已知圆，直线，若圆上恰有两点到直线的距离为1，求的取值范围． 【答案】 【分析】由题意可得圆心到直线的距离为满足，由点到直线的距离公式求出，代入求解即可. 【详解】由题意可知，半径，设圆心到直线的距离为， 则有，所以，又因为，由，解得或； 由，解得，所以或，即实数的取值范围为. （变式28）（直线方程不含参，圆的方程含参）已知直线，圆，若圆上恰有三个点到直线的距离都等于，则（    ） A．2 B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】由于圆心到直线的距离为，根据圆上恰有三个点到直线的距离等于，可以得到圆心到直线的距离 ，可得半径的值. 【详解】圆心，则点C到直线的距离，又因为圆C上恰有三个点到直线的距离为，所以圆心到直线的距离，即.故选：C． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $