专题05 直线与圆 隐圆与轨迹（压轴题）讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题05 隐圆与轨迹 直线与圆 · 章级培优　压轴题专项训练 解题通法 题型归纳 题型一、阿波罗尼斯圆 题型二、定角对定边 题型三、极化恒等式与数量积定值 题型四、距离平方和与平方差为定值 题型五、垂直、直角与定比分点轨迹 压轴挑战 ▍ 解题通法 隐圆题的难处不在算，而在认．题面只给一个角、一个比或一个数量积，曲线并不出场；把条件翻译成“到定点的距离等于定值”，圆就现身了．本专题把五个触发器逐一落地：到两定点距离之比为定值，对应阿波罗尼斯圆；定边对定角，对应两段圆弧；数量积为定值，对应以两定点中点为圆心的圆；距离平方和为定值仍是圆，平方差则退化为直线；垂直与定比分点，分别对应直径圆与位似圆．认对模型之后，最值只需比较圆心距与半径． ▍ 题型归纳 ▍ 题型一、阿波罗尼斯圆 ▸ 典例 1 已知点 与两个定点 ， 的距离之比为 ，求点 的轨迹方程． 【答案】 【分析】距离之比不为 ，轨迹是阿波罗尼斯圆；平方整理后配方，圆心落在直线 上． 【详解】解：设 ，由 ，得 ． 两边平方，得 ， 整理得 ，即 ， 配方得 ，圆心为 ，半径为 ． 回检：比值 ，圆真实存在； 到圆心距离为 ， 不在圆上，无需去点． ▍ 题型模版 1.特征：题面给出动点到两个定点的距离之比为定值 ，且 ，． 2.方法：设点后平方整理，配成标准方程；圆心在两定点所在直线上，半径由比值与两定点间距离决定． 3.提醒： 时轨迹是两定点连线的垂直平分线，不是圆；平方前后要确认没有增解． ▸ 变式 1-1 已知两定点 ，，动点 满足 ，求点 的轨迹所围成图形的面积． 【答案】 【详解】解：设 ，由 得 ． 整理得 ，即 ， 所以点 的轨迹是以 为圆心、 为半径的圆， 其围成图形的面积为 ． ▸ 变式 1-2 在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，且 ，求 面积的最大值． 【答案】 【详解】解：由正弦定理， 化为 ，即 ． 又 ，即 ． 以 所在直线为 轴， 的中点为原点建立坐标系，则 ，． 设 ，由 得 ， 整理得 ，即 ． 所以点 在以 为圆心、 为半径的圆上运动，且不在 轴上． 点 到 的距离的最大值为 ， 故 面积的最大值为 ． ▍ 题型二、定角对定边 ▸ 典例 2 已知 ，，动点 满足 ，求点 到 轴距离的最大值． 【答案】 【分析】定边所对的圆周角为定值， 在以 为弦的圆弧上；先由正弦定理求外接圆半径，再由圆心距定圆心，最大距离等于半径加圆心到 的距离． 【详解】解：，设 外接圆的半径为 ，由正弦定理得 ， 所以 ． 圆心到直线 的距离为 ． 因为 为锐角，点 在弦 所对的优弧上，圆心与 在 同侧， 所以点 到 轴距离的最大值为 ． 取最大值时点 在圆心正上方或正下方，不是 ，可以取到． ▍ 题型模版 1.特征：一条定线段 所对的张角 为定值． 2.方法：先用正弦定理求外接圆半径 ，再求圆心到 的距离 ，圆心落在 的垂直平分线上． 3.提醒： 为锐角时 在优弧上， 为钝角时 在劣弧上；两段弧都要写，并去掉 ． ▸ 变式 2-1 已知 ，，动点 满足 ，求点 的轨迹所在圆的半径与圆心坐标． 【答案】半径为 ，圆心为 或 【详解】解：设 外接圆的半径为 ，由正弦定理得 ，所以 ． 圆心到直线 的距离为 ． 又 的中点为 ，圆心在 的垂直平分线上， 故圆心为 或 ． ▸ 变式 2-2 已知 ，，动点 满足 ，求点 的轨迹方程． 【答案】 或 ，各取不含 的优弧 【详解】解：，由正弦定理得 ，所以 ． 的中点为 ，圆心到 的距离为 ， 圆心在过中点且与 垂直的直线 上，故圆心为 或 ． 所以轨迹方程为 或 ，各取不含 的优弧． ▍ 题型三、极化恒等式与数量积定值 ▸ 典例 3 在 中，，，， 为 所在平面内的动点，且 ，求 的取值范围． 【答案】 【分析】取 的中点 ，用极化恒等式把数量积化为到 的距离； 在以 为圆心、 为半径的圆上，距离的取值范围由圆心距加减半径给出． 【详解】解：以 为原点，， 所在直线分别为 轴、 轴建立坐标系， 则 ，，， 的中点为 ． 由极化恒等式得 ． 点 在以 为圆心、 为半径的圆上，， 所以 ， 故 ，即 ． ▍ 题型模版 1.特征：题面出现 为定值，或求 ． 2.方法：取 的中点 ，用 与 ，把两个量都压成 ． 3.提醒：数量积为定值时轨迹是圆，定值等于 时退化为一点；求范围时用圆心距加减半径． ▸ 变式 3-1 已知点 在圆 上，点 的坐标为 ， 为坐标原点，求 的最大值． 【答案】 【详解】解：，设 ，则 ， 所以 ． 由 得 ，当 为 时取到 ， 故 的最大值为 ． ▸ 变式 3-2 在 中， 是 的中点，，，求 的值． 【答案】 【详解】解：由 为 的中点得 ，且 ． 又 ，， 所以 ． 其中 ， 故 ． ▍ 题型四、距离平方和与平方差为定值 ▸ 典例 4 已知线段 的长为 ，点 为平面内一点，且 ，求 的最大值． 【答案】 【分析】平方和用中线公式压成到 中点的距离，轨迹是圆；角的正切写成坐标式后，用圆上点的参数表示求最值． 【详解】解：以 的中点 为原点， 所在直线为 轴建立坐标系，则 ，． 设 ，由中线公式得 ， 由 得 ，所以点 的轨迹是圆 （去掉 两点）． 当 不在 轴上时，；令 ，， 则 ，等号在 时取到． 所以 的最大值为 ，此时 ，不是 ，可以取到． ▍ 题型模版 1.特征：题面给出 或 为定值． 2.方法：平方和为定值时，用 化为到中点的距离，轨迹是圆；平方差为定值时，展开后二次项抵消，轨迹是直线． 3.提醒：平方和为定值时要检验定值不小于 ，否则轨迹不存在；平方差的轨迹是垂直于 的直线． ▸ 变式 4-1 已知 ，，动点 满足 ． (1)求点 的轨迹方程，并说明轨迹的形状； (2)求 的最小值． 【答案】(1)，轨迹是垂直于 的直线；(2) 【详解】解：(1)设 ，则 ， 由 得 ，轨迹是过 且垂直于 的直线． (2) 的最小值即原点到该直线的距离，为 ． ▸ 变式 4-2 已知 ，，点 在圆 上运动，求 的最大值与最小值． 【答案】最大值 ，最小值 【详解】解：设 ，则 ． 圆心 ，半径 ，，所以 ， 故 的最大值为 ，最小值为 ． ▍ 题型五、垂直、直角与定比分点轨迹 ▸ 典例 5 已知圆 ，点 ， 为圆 上任意一点，点 在线段 上，且 ． (1)求点 的轨迹方程； (2)求 的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】 由 按定比派生，用 反解 再代回圆方程；范围由新圆的圆心距与半径给出． 【详解】解：(1)设 ，，则 ． 由 得 ，即 ，． 反解得 ，，代回圆方程得 ， 即 ． (2)新圆的圆心为 ，半径为 ， 故 ，即 ． ▍ 题型模版 1.特征：动点由已知曲线上的点按定比派生，或条件给出垂直、直角． 2.方法：定比分点先写向量关系 ，用所求点反解已知点再代回；直角用“直径所对的圆周角为直角”的逆定理，化为以定线段为直径的圆． 3.提醒：定比要从定点量起，误读成从动点量起会让圆心与半径全变；直角轨迹要删去定线段的两个端点． ▸ 变式 5-1 已知 ，，动点 满足 ． (1)求点 的轨迹； (2)求点 到直线 的距离的最大值． 【答案】(1)，去掉 两点；(2) 【详解】解：(1)由 知点 在以 为直径的圆上，圆心为原点，半径为 ， 故轨迹为 ，并去掉 两点． (2)圆心到 的距离为 ， 故点 到 距离的最大值为 ． 取最大值的点为 ，不是 ，可以取到． ▸ 变式 5-2 已知圆 ，直线 与圆 交于 两点，且 ． (1)求弦 的中点 的轨迹方程； (2)若 经过点 ，求 的方程． 【答案】(1)；(2) 或 【详解】解：(1)设圆心 到 的距离为 ，由 得 ． 因为 是弦 的中点，所以 ，，即 在圆 上． 反过来，对 上任一点 ，过 作 的垂线，它到 的距离为 ， 截圆 所得弦长为 ，故轨迹是整圆 ． (2)设 ，由 得 ，即 ， 所以 ；竖直线 到 的距离为 ，不合题意． 故 的方程为 或 ． ▍ 压轴挑战 1．已知 ，，动点 的坐标为 ，则下列条件中，点 的轨迹是圆的是 （　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】四个选项分别对应阿波罗尼斯圆、直径圆、平方和圆与退化线段，逐个翻译成方程再判断． 【详解】解：A 项，，整理得 ，是圆； B 项，，点 在以 为直径的圆 上（去掉 ），是圆； C 项，取 的中点 ，，得 ，是圆 ； D 项，，点 只能落在线段 上，不是圆． 故选 ABC． 2．已知 ，，动点 满足 ，则点 的轨迹长度为 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】定角对定边先定外接圆半径与圆心，再判断 在优弧还是劣弧上，弧长用圆心角乘半径． 【详解】解：由正弦定理得 ，所以 ． 因为 为锐角，点 在弦 所对的优弧上， 该优弧所对圆心角为 ． 一段优弧的长为 ，两段共 ，选 B． 3．已知 ，，若圆 上存在点 满足 ，则 的取值范围是 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】数量积为定值先认出点 所在的圆，再把“存在点”翻译成两圆有公共点，用圆心距与半径列不等式． 【详解】解：设 ，则 ，即 ． 题意化为圆 与圆 有公共点． 圆心 ，， 由 得 ， 左边恒成立（最小值为 ），右边化为 ，解得 ． 故选 A． 4．设点 为圆 上的动点， 是圆的切线，且 ，则点 的轨迹方程为 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】切线给出直角，把 放进直角三角形里用勾股定理，动点到定点距离为定值即得圆． 【详解】解：设圆心为 ，由 为切线得 ，且 ． 在 中，， 所以点 的轨迹是以 为圆心、 为半径的圆， 即 ，故选 D． 5．已知圆 ，点 ， 为圆 上任意一点，点 在线段 上，且 ，则 的最大值为 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】定比分点写成向量关系，用 表示 再代回圆方程，得到以定点为圆心的新圆． 【详解】解：由 得 ，即 的坐标为 ， 所以 ． 由 得 ，即 ． 所以点 的轨迹是以 为圆心、 为半径的圆， 故 的最大值为 ，选 C． 6．已知 满足 ，，则 面积的最大值为           ． 【答案】 【分析】距离之比为定值，建系后得到阿波罗尼斯圆；面积的最值化为圆上点到 的距离的最值． 【详解】解：以 所在直线为 轴， 的中垂线为 轴建立坐标系，则 ，． 设 ，由 得 ， 整理得 ，即 ， 所以点 在以 为圆心、 为半径的圆上（去掉 轴上的两点）． 因为 ，点 到 距离的最大值为 ， 故 面积的最大值为 ． 7．已知圆 和两点 ，（），若圆 上存在点 ，使得 ，则 的最大值为           ． 【答案】 【分析】直角对定边， 在以 为直径的圆上；“存在点”翻译成两圆有公共点，最大值由外切给出． 【详解】解：由 知点 在以 为直径的圆 上（去掉 ）， 题意化为圆 与圆 有公共点，即 ． 圆心 ，，由 且 得 ． 故 的最大值为 ，此时两圆外切，切点在射线 上，不是 ，可以取到． 8．已知点 ，圆 ，过点 的动直线 与圆 交于 两点，线段 的中点为 ， 为坐标原点． (1)求点 的轨迹方程； (2)当 时，求 的方程及 的面积． 【答案】(1)；(2)， 的面积为 【分析】弦中点与圆心连线垂直于弦，数量积为零即得轨迹；第(2)问由 知 在 的垂直平分线上，用垂直关系定斜率． 【详解】解：(1)圆 化为 ，圆心为 ，半径为 ，点 在圆内． 由垂径定理，，所以 ， 即 ，整理得 ， 即 ．当 与 或 重合时也满足上式，故轨迹为该圆． (2)由(1)知点 在以 为圆心、 为半径的圆上，所以 ． 又 ，所以 都在线段 的垂直平分线上，故 ，即 ． 因为 ，所以 ， ，即 ． 此时 为圆心 到 的垂足，由点到直线的距离公式得 ， 由两点间距离公式得 ， 原点 到 的距离 ， 故 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 隐圆与轨迹 直线与圆 · 章级培优　压轴题专项训练 解题通法 题型归纳 题型一、阿波罗尼斯圆 题型二、定角对定边 题型三、极化恒等式与数量积定值 题型四、距离平方和与平方差为定值 题型五、垂直、直角与定比分点轨迹 压轴挑战 ▍ 解题通法 隐圆题的难处不在算，而在认．题面只给一个角、一个比或一个数量积，曲线并不出场；把条件翻译成“到定点的距离等于定值”，圆就现身了．本专题把五个触发器逐一落地：到两定点距离之比为定值，对应阿波罗尼斯圆；定边对定角，对应两段圆弧；数量积为定值，对应以两定点中点为圆心的圆；距离平方和为定值仍是圆，平方差则退化为直线；垂直与定比分点，分别对应直径圆与位似圆．认对模型之后，最值只需比较圆心距与半径． ▍ 题型归纳 ▍ 题型一、阿波罗尼斯圆 ▸ 典例 1 已知点 与两个定点 ， 的距离之比为 ，求点 的轨迹方程． ▍ 题型模版 1.特征：题面给出动点到两个定点的距离之比为定值 ，且 ，． 2.方法：设点后平方整理，配成标准方程；圆心在两定点所在直线上，半径由比值与两定点间距离决定． 3.提醒： 时轨迹是两定点连线的垂直平分线，不是圆；平方前后要确认没有增解． ▸ 变式 1-1 已知两定点 ，，动点 满足 ，求点 的轨迹所围成图形的面积． ▸ 变式 1-2 在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，且 ，求 面积的最大值． ▍ 题型二、定角对定边 ▸ 典例 2 已知 ，，动点 满足 ，求点 到 轴距离的最大值． ▍ 题型模版 1.特征：一条定线段 所对的张角 为定值． 2.方法：先用正弦定理求外接圆半径 ，再求圆心到 的距离 ，圆心落在 的垂直平分线上． 3.提醒： 为锐角时 在优弧上， 为钝角时 在劣弧上；两段弧都要写，并去掉 ． ▸ 变式 2-1 已知 ，，动点 满足 ，求点 的轨迹所在圆的半径与圆心坐标． ▸ 变式 2-2 已知 ，，动点 满足 ，求点 的轨迹方程． ▍ 题型三、极化恒等式与数量积定值 ▸ 典例 3 在 中，，，， 为 所在平面内的动点，且 ，求 的取值范围． ▍ 题型模版 1.特征：题面出现 为定值，或求 ． 2.方法：取 的中点 ，用 与 ，把两个量都压成 ． 3.提醒：数量积为定值时轨迹是圆，定值等于 时退化为一点；求范围时用圆心距加减半径． ▸ 变式 3-1 已知点 在圆 上，点 的坐标为 ， 为坐标原点，求 的最大值． ▸ 变式 3-2 在 中， 是 的中点，，，求 的值． ▍ 题型四、距离平方和与平方差为定值 ▸ 典例 4 已知线段 的长为 ，点 为平面内一点，且 ，求 的最大值． ▍ 题型模版 1.特征：题面给出 或 为定值． 2.方法：平方和为定值时，用 化为到中点的距离，轨迹是圆；平方差为定值时，展开后二次项抵消，轨迹是直线． 3.提醒：平方和为定值时要检验定值不小于 ，否则轨迹不存在；平方差的轨迹是垂直于 的直线． ▸ 变式 4-1 已知 ，，动点 满足 ． (1)求点 的轨迹方程，并说明轨迹的形状； (2)求 的最小值． ▸ 变式 4-2 已知 ，，点 在圆 上运动，求 的最大值与最小值． ▍ 题型五、垂直、直角与定比分点轨迹 ▸ 典例 5 已知圆 ，点 ， 为圆 上任意一点，点 在线段 上，且 ． (1)求点 的轨迹方程； (2)求 的取值范围． ▍ 题型模版 1.特征：动点由已知曲线上的点按定比派生，或条件给出垂直、直角． 2.方法：定比分点先写向量关系 ，用所求点反解已知点再代回；直角用“直径所对的圆周角为直角”的逆定理，化为以定线段为直径的圆． 3.提醒：定比要从定点量起，误读成从动点量起会让圆心与半径全变；直角轨迹要删去定线段的两个端点． ▸ 变式 5-1 已知 ，，动点 满足 ． (1)求点 的轨迹； (2)求点 到直线 的距离的最大值． ▸ 变式 5-2 已知圆 ，直线 与圆 交于 两点，且 ． (1)求弦 的中点 的轨迹方程； (2)若 经过点 ，求 的方程． ▍ 压轴挑战 1．已知 ，，动点 的坐标为 ，则下列条件中，点 的轨迹是圆的是 （　　） A． B． C． D． 2．已知 ，，动点 满足 ，则点 的轨迹长度为 （　　） A． B． C． D． 3．已知 ，，若圆 上存在点 满足 ，则 的取值范围是 （　　） A． B． C． D． 4．设点 为圆 上的动点， 是圆的切线，且 ，则点 的轨迹方程为 （　　） A． B． C． D． 5．已知圆 ，点 ， 为圆 上任意一点，点 在线段 上，且 ，则 的最大值为 （　　） A． B． C． D． 6．已知 满足 ，，则 面积的最大值为           ． 7．已知圆 和两点 ，（），若圆 上存在点 ，使得 ，则 的最大值为           ． 8．已知点 ，圆 ，过点 的动直线 与圆 交于 两点，线段 的中点为 ， 为坐标原点． (1)求点 的轨迹方程； (2)当 时，求 的方程及 的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $